Реферат: История тригонометрии в формулах и аксиомах

--PAGE_BREAK--


Если величину угла a измерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а измениться
<img width=«52» height=«41» src=«ref-1_289445056-199.coolpic» v:shapes="_x0000_s1032"><img width=«52» height=«41» src=«ref-1_289445255-196.coolpic» v:shapes="_x0000_s1033"><img width=«59» height=«41» src=«ref-1_289445451-207.coolpic» v:shapes="_x0000_s1034">лишь числовое значение отношений                     и т.д. Поэтому отношения                   

  можно рассматривать как функции угла a.

<img width=«221» height=«86» src=«ref-1_289445658-1295.coolpic» v:shapes="_x0000_s1036 _x0000_s1048 _x0000_s1052 _x0000_s1056"> <img width=«139» height=«91» src=«ref-1_289446953-1205.coolpic» v:shapes="_x0000_s1046 _x0000_s1044 _x0000_s1035 _x0000_s1049 _x0000_s1053 _x0000_s1054">
<img width=«31» height=«31» src=«ref-1_289448158-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1039"> <img width=«6» height=«17» src=«ref-1_289448311-86.coolpic» v:shapes="_x0000_s1041">


<img width=«35» height=«36» src=«ref-1_289448397-162.coolpic» alt=«Подпись: А» v:shapes="_x0000_s1042"> <img width=«39» height=«36» src=«ref-1_289448559-177.coolpic» alt=«Подпись: А1» v:shapes="_x0000_s1043">       <img width=«32» height=«31» src=«ref-1_289448736-152.coolpic» v:shapes="_x0000_s1038"> <img width=«6» height=«17» src=«ref-1_289448888-86.coolpic» v:shapes="_x0000_s1040">





Рис.1.

Синусом острого угла называется отношение противоположного этому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:

<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_289448974-109.coolpic» v:shapes="_x0000_s1058">


sina=
Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются отвлеченными числами.

Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный треугольник с острым углом aи измерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение, например, sin
a
.

Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от размеров треугольника, для вычисления значений sin углов a=30°; 45°; 60° рассмотрим прямоугольный треугольник с углом a=30°; и катетом ВС=a=1, тогда гипотенуза этого треугольника с=2, а второй катет b=Ö3; рассмотрим также треугольник с углом a=45° и катетом a=1, тогда для этого треугольника c=Ö2 иb=1.

Полученные результаты запишем в таблицу.

<img width=«179» height=«164» src=«ref-1_289449480-1892.coolpic» v:shapes="_x0000_s1100 _x0000_s1096 _x0000_s1090 _x0000_s1088 _x0000_s1089 _x0000_s1073 _x0000_s1068 _x0000_s1070 _x0000_s1072 _x0000_s1091 _x0000_s1094 _x0000_s1095 _x0000_s1092 _x0000_s1099">
<img width=«248» height=«166» src=«ref-1_289451372-2170.coolpic» v:shapes="_x0000_s1087 _x0000_s1086 _x0000_s1085 _x0000_s1080 _x0000_s1079 _x0000_s1078 _x0000_s1077 _x0000_s1069 _x0000_s1074 _x0000_s1075 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1081 _x0000_s1082">Рис.2.

Приближенные значения тригонометрических функций для углов от 0° до 90° можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части будет равна 2°.
    продолжение
--PAGE_BREAK--90°N
<img width=«166» height=«163» src=«ref-1_289453542-1636.coolpic» v:shapes="_x0000_s1109 _x0000_s1111 _x0000_s1108 _x0000_s1101 _x0000_s1102 _x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1105 _x0000_s1106 _x0000_s1110">


  0,79

                        а

А         b          С 0,62             0° M                            Рис.3.

Радиусы АМ и АN разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ и гипотенузой АВ=1. Если угол ВАС=a, то по определению тригонометрических функций мы имеем:
sina=а
Для угла 52° на шкале радиуса АN находим, что а=0,79, а на шкале радиуса АМ находим, что b=0,62., то есть sin52°=0,79.

Построив прямоугольные треугольники для углов a=2°, 4°, 6°, 8°,…, 88°, согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях и вычислениях) с точностью до 0,01. Для углов 0°и 90°прямоугольных треугольников не существует. Однако, если гипотенуза АВ будет стремиться  по положению к радиусу АМ, то угол a®0, а катеты а®0 и b®1. В таком случае для полноты значений тригонометрических функций принимают, что

sin°=а=0; cos°=b=1.
<img width=«16» height=«37» src=«ref-1_289455178-111.coolpic» v:shapes="_x0000_s1114"><img width=«64» height=«41» src=«ref-1_289455289-209.coolpic» v:shapes="_x0000_s1113"><img width=«16» height=«35» src=«ref-1_289455498-111.coolpic» v:shapes="_x0000_s1116"><img width=«16» height=«35» src=«ref-1_289455498-111.coolpic» v:shapes="_x0000_s1115"><img width=«16» height=«41» src=«ref-1_289455720-114.coolpic» v:shapes="_x0000_s1112">Что касается значений tga и ctga, то при a®0 отношение ®0, т.е.                  , а отношение        при a®0 неограниченно возрастает. Этот результат записывают как     ®¥, где символ ¥ указывает, что величина            неограниченно возрастает и не может быть выражена никаким числом, так как знак ¥ не является каким-либо числом. Таким образом, принимают, что tg°=0, а ctg°не существует, что чаще записывают какctg°=¥.

Рассуждая аналогично  при a®90° приходим к целесообразности принять что

sin90°=1; cos90°=0, tg90° не существует (tg90°®¥) и ctg90°=0.
Приведем таблицу значений синусов для углов от 0° до 90° с шагом 2°, которую можно получить указанным выше способом.

градусы




2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

sin

0,00

0,03

0,07

0,10

0,14

0,17

0,21

0,24

0,28

0,31

0,34

0,37

градусы

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

46

sin

0,41

0,44

0,47

0,50

0,53

0,56

0,59

0,62

0,64

0,67

0,69

0,72

градусы

48

50

52

54

56

68

60

62

64

66

68

70

sin

0,74

0,77

0,79

0,81

0,83

0,93

0,87

0,88

0,90

0,91

0,93

0,94

градусы

72

74

76

78

80

82

84

86

88

90





sin

0,95

0,96

0,97

0,98

0,98

0,99

0,99

1,00

1,00

1,00





Пользуясь значениями тригонометрической функции y=sinx из таблицы, построим график.

<img width=«270» height=«229» src=«ref-1_289455834-1096.coolpic» v:shapes="_x0000_s1132 _x0000_s1119 _x0000_s1126 _x0000_s1118 _x0000_s1127 _x0000_s1128 _x0000_s1129 _x0000_s1130">y

 


1
0             30°                 60°             90°          x

                        Рис.4.
    продолжение
--PAGE_BREAK--