Реферат: Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия
--PAGE_BREAK--<img width=«63» height=«31» src=«ref-1_291080192-307.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1032"><img width=«61» height=«31» src=«ref-1_291080499-287.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1031"><img width=«60» height=«31» src=«ref-1_291079910-282.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1036">Если М – середина АВ, то l =1Коорд x,y,z середины отрезка АВ выглядят так:
<img width=«60» height=«31» src=«ref-1_291081068-284.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1035"><img width=«57» height=«31» src=«ref-1_291081352-266.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034">
Если т А В принадлежат плоскости ОХУ, то аппликата т А и В и М = 0 и задачу решают первые 2 ф-лы, а если А и В М лежат на плоскости ОХ, тор первой ф-лой.
23. Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой
Если взять на плоскости фиксированную точку О и какую-либо прямую L, то положение этой прямой относительно плоскости будет определено если задать расстояние от нее до т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра из т. О на эту прямую; и единичный вектор n0=1 – перпендикулярный прямой L и направленный из начальной т. О к этой прямой.
Когда текущая т. М движется по прямой L, радиус вектор-r меняется так, что проекция на направление n0 будет постоянной и равной р:
<img width=«73» height=«21» src=«ref-1_291081618-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">это соотношение выполняется для каждой точки прямой L и нарушается когда т. М лежит вне ее.
Заметив, что:<img width=«92» height=«21» src=«ref-1_291081893-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042"> это можно записать так:
<img width=«75» height=«18» src=«ref-1_291082181-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> (2) полученное ур-е наз. нормальным (нормированным) уравнением прямой в векторной форме. Радиус в-р r – произвольной точки прямой наз. текущим радиус в-ром прямой.
Выбрав на плоскости Декартову систему координат и поместив ее начало в т. О, в-ры r, n0 можно записать так:
n0={cosj, sinj}; r={x,y}
уравнение (2) примет вид:
<img width=«127» height=«18» src=«ref-1_291082439-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> (3) это нормальное уравнение прямой в координатной форме, относительно прямых х и у; оно явл ур-ем 1 степени, тем самым в Декартовой прямоугольной системе всякое положение прямой определяется ур-ем 1 степени относительно переменных х и у верно и обратное.
Уравнение Ax+By+C=0 (4) называется общим уравнением прямой А2+В2¹ 0
если домножить его на постоянный множитель m, положа:
m×А= cosj, m×В= sinj, m×С = -р, где:
<img width=«84» height=«39» src=«ref-1_291082749-315.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1037">
называется нормирующим множителем.
И уравнение получается нормальным.Общее уравнение (4) определяет прямую как множество точек М плоскости декартовы координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
<img width=«216» height=«32» src=«ref-1_291083064-433.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1039">Нормальный в-р прямой - всякий ненулевой (не обязательно- единичный) в-р перпендикулярный этой прямой. Вектор n = {A,B} будет нормальным вектором прямой, заданной ур-ем (4), таким оборазом коэффициенты А и В при текущих координатах х и у являются координатами нормального в-ра этой прямой. Все отсальный нормальные в-ры прямой можно получить умножая в-р n на произвольное ¹ 0 число.
24. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.
Для того, чтобы найти ур-е прЯмой L, проходящей через т. М0, заданную радиус-вектором r0={x0,y0}, перпендикулярную вектору n={A,B}, проведем радиус-вектор r={x,y} в произвольной т. М этой прямой
в-р М0М = r-r0 лежит на прямой L, а значит перпендикулярен в-ру n, поэтому их скалярное пр-е = 0
(r-r0)× n = 0 (8) равенство справедливо для всех т. М принадлежащих прямой и нарушается, если точка на прямой не лежит. Ур-е (8) явл в-рным уравнением исходной прямой выражая это произв, через коорд в-ров получим ур-е прямой в коорд форме:
A(x-x0)+B(y-y0)=0 (9)
25. Исследование уравнения прямой неполные ур-я прямой..
Если хотя бы один из коэффициентов А, В, С ур-я Ах+Ву+С=0 равен 0, ур-е наз. неполным. По виду уравнения прямой можно судить о ее положении на плоксоти ОХУ. Возможны случаи:
1 С=0 L: Ax+By=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая проходит через начало координат
<img width=«216» height=«32» src=«ref-1_291083497-429.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1038">2 А=0 L: Ву+С=0 - нормальный в-р n={0,B} перпендикулярен оси ОХ отсюда следует, что прямая параллельна ось ОХ
<img width=«53» height=«28» src=«ref-1_291083926-278.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1041">3 В = 0 L: Ay+C=0 0 - номральный в-р n={А,0} перпендикулярен оси ОY отсюда следует, что прямая параллельна ось ОУ
4 А=0, С=0 L: By=0Ûy=0ÛL=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0Ûx=0ÛL=OY
6 A¹ 0, В ¹ 0, С ¹ 0 L; — не проходит через начало координат и пересекает обе оси.
26. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Если общее уравнение прямой, при В ¹ 0 переписать в виде:
<img width=«67» height=«29» src=«ref-1_291084204-281.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1040">и приравняв:
<img width=«55» height=«41» src=«ref-1_291084485-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> и <img width=«55» height=«41» src=«ref-1_291084745-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">получим ур-е с угловым коэффициентом
у=кх+b (10), где число к = tga, a — величина угла наклона прямой к оси ОХ, угол, отсчитываемый в направлении противоположном движению часовой стрелки от положительного направления оси ОХ до данной прямой.
В случае L||ОХ, или L=OX, a=0
В случае L||ОY, или L=OY, a=П/2 и угловой коэффициент не существует.
27. Ур-е прямой, проход через данную т., с данным угловым коэфф. Ур-е прямой проход через две данные точки.
Если прямая задана т М0(х0, у0) и угловым коэффициентом к, тогда на основании ур-я (10) можно получить ур-е искомой прямой:
у-у0=к(х-х0) (11)
Ур-е прямой проходящей через две заданных точки
Зададим прямую точками М1(х1, у1) и М2(х2, у2), х1 ¹ х2. М1 и М2 принадлежат прямой, откуда следует:
у-у1=к(х-х1) для М1и у-у2=к(х-х2) для М2
откуда:
(12) Эта ф-ла позволяет вычисли ть угловой коэффициент, зная коорд двух точек.
Если у1 ¹ у2, то подставляя к из ф-лы (12) в равенство: у-у1=к(х-х1), получаем:
<img width=«78» height=«32» src=«ref-1_291085003-333.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1042">(13) Искомое уравнении прямой, проход через две заданных точки.
28. Расстояние от точки до прямой на плоскости
Расстоянием от т. М* до прямой L наз. длину отрезка М*N – перпендикуляра L^ опущенного из т. М* на эту прямую.
Если М*(х*, у*) – заданная точка,
а <img width=«127» height=«18» src=«ref-1_291082439-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047"> — нормальное ур-к прямой L, то расстояние от М* до L выч. по ф-ле:
d=d(M*,L)=|x*cosj+y*sinj-p| (14)
d=d(M*,L)=|rx×n0 -p|
обозначим через d(M*,L)= rx×n0 –p= x*cosj+y*sinj-p т. е.: d(M*,L)= |d|
по знаку d можно судить о расположении точек О и М*, относительно прямой L:
Если О и М* расположены по разные стороны относительно прямой, то d > 0, если по одну сторону – то d<0. Величина d называется отклонением т. М* от прямой L.
Если прямая задана общим уравнением, то расстояние вычисляется по ф-ле:
<img width=«137» height=«36» src=«ref-1_291085646-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">
29. Уравнение прямой в отрезках
Рассматривая общее ур-е прямой, при А, В, С ¹ 0, переписав его в виде:
<img width=«63» height=«42» src=«ref-1_291086089-309.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1043"> и положив
а = — С/A в = — С/В получим ур-е прямой в отрезках:
<img width=«60» height=«40» src=«ref-1_291086398-276.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1044"> (16)
Для нахождения т. М1 пересечения прямой (16) с осью ОХ достаточно решить систему уравнений:
<img width=«120» height=«56» src=«ref-1_291086674-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">
для пересечения с осью ОУ получаем:
<img width=«127» height=«56» src=«ref-1_291087096-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">
Параметры а и в в(16) определяют величину отрезков Ом1 и ОМ2, отсекаемых прямой от осей координат.
30. каноническое уравнение прямой
Ненулевой в-р коллинеарный прямой называется ее направляющим в-ром.
Из аксиом следует, что через заданную точку проходит только одна прямая с заданным направляющим в-ром.
Прямая L, с направл. в-ром S проходящая через т. М0(х0, у0). проходит через т. М(х, у) тогда и только тогда, когда в-ры М0М и S 0 коллинеарны т. е. М0М=tS, t'R) (17) Это ур-е наз векторным уравнением прямой.
Если М0(х0, у0), М(х, у) – текущие точки прямой L; S={m,n} – направляющий вектор прямой, тогда в-р М0М = {x-x0, y-y0}
Записав условия коллинеарности из (17) в векторной форме получим: x-x0=tm, y-y0=tn или:
<img width=«78» height=«29» src=«ref-1_291087523-290.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1045">(18) Ур-е наз. каноническим ур-ем прямой на плоскости.
<img width=«194» height=«34» src=«ref-1_291087813-432.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1050">Обозначает лишь пропорциональность и в случае, когда m = 0 или n = 0 равносильно ур-ям: х-х0=0 или у-у0=0 соответственно.
31. <img width=«206» height=«34» src=«ref-1_291088245-466.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1051">Параметрическое уравнение прямой на плоскости.
Представляет собой другую форму записи ур-я (17)
пусть r=ОМ, а r0=OM0 – радиус в-ры точек М и М0 относительно начала координат, тогда М0М = r-r0 и ур-е (17) зап. в виде: r=r0+tS, t'R
или в координатной форме, в системе ОХУ:
<img width=«71» height=«39» src=«ref-1_291088711-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">(20), t'R
ур-я (19) и (20) наз параметрическими уравнениями прямой на плоскости в векторной и координатной формах.
32. Угол между двумя прямыми на плоскости.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости
а) прямые L1 L2 заданы общими уравнениями
L1:=А1х+В1у+С1=0, А12+В12>0
L2:=А2х+В2у+С2=0, А22+В22>0
j(угол между ними)= углу между их нормальными в-рами n1 ={A1,B1} и n2={A2,B2}
оттуда вытекает, что
<img width=«227» height=«33» src=«ref-1_291089058-590.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1046">
L1|| L2 Ûn1 || n2Ûn1 = ln2
A1=lA2, B1=lB2
<img width=«60» height=«38» src=«ref-1_291089648-301.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1047">
L1 ^L2 Ûn1 ^ n2Ûn1×n2 =0 Û
ÛA1×A2+B1×B2=0
б) прямые заданы каноническим уравнением
угол между ними равен углу между их направляющими векторами:
S1={m1,n1} S2{m2,n2} поэтому:
<img width=«231» height=«35» src=«ref-1_291089949-594.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1052">L1|| L2 ÛS1 || S2
<img width=«60» height=«38» src=«ref-1_291090543-310.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1054">
L1 ^L2 ÛS1 ^S2 ÛS1×S2=0 Û
m1×m2+n1×n2=0
в) прямые заданы ур-ем с угловым коэффициентом
L1:= у=к1х+в1
L2:= у=к2х+в2
за угол между прямыми принимаемся наименьший угол на который нужно повернуть прямую L1 против часовой стрелки до совмещения с прямой L2 вокруг т. пересечения прямых.
Через a1 и a2 обоз углы наклона прямых L1 и L2 к оси ОХ
Угол между прямыми j= a2- a1
<img width=«175» height=«38» src=«ref-1_291090853-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">
tga1=k1, tga2=k2
<img width=«80» height=«33» src=«ref-1_291091338-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">
L1|| L2 Ûa1 = a2 (j=0) Ûk1=k2
L1 ^L2 Û j=П/2
k2= -1/k1
33. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости.
Зафиксировав неку т. О в пространстве положение плоскости П будет определено, если задать следующие величины: расстояние до нее от начальной т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра, опущенного из т. О на плоскость П и единичный в-р n0, |n0|=1, перпендикулярный плоскости П и направленный из начальной т. О к этой плоскости.
Когда текущая т. М движется по плоскости ее радиус в-р r меняется так, что
prn0 OM=p (1)
это соотношение вып для каждой т. принадлежащей плоскости, а для не принадлежащей – нарушается.
(1) являет уравнением этой Плоскости П
prn0 OM=r×n0 илиr×n0-p=0 (2)
ур-е (2) – нормальное уравнение плоскости в векторной форме. Радиус-вектор r произвольной т. плоскости наз. ее текущим радиус вектором.
Введем в пространстве прямоугольную Декартову систему координат, поместив ее начало в т. О, тогда в-ры r и n0 можно записать так: n0={cosa, cosb, cosd);
r={x,y,z}
Ур-е (2) примет вид:
x×cosa +y×cosb+z×cosd-p=0 (3) – нормальное уравнение плоскости в координатной форме
Особенности ур-я (3)
1 Сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах = 1:
cos2a+cos2b+cos2d=1
2 свободный член (-р) £0
Относительно переменных x,y,z – ур-е (3) явл. ур-ем 1 степени.
Всякое ур-е 1 степени определяет плоскость
Ур-е:
Ax+By+Cz+D=0 (4) – уравнение плоскости общего вида.
Всякий ненулевой, перпендикулярный плоскости вектор наз. нормальным вектором этой плоскости. В-р n={A,B,C} нормальный в-р плоскости, заданной ур-ем (4), таким образом коэффициенты при координатах в ур-е (4) являются координатами нормального в-ра этой плоскости. Все другие нормальные вектора получают из в-ра n умножая его на любое ¹ 0 число.
34. Ур-е плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению
Уравнение плоскости, проходящей через т. М0, заданной r0={x0,y0,x0}, перпендикулярной в-ру n={A,B,C}строится так:
Проведем радиус в-р r={x,y,z} в произвольную т. М этой плоскости. В-р М0М=r-r0 лежит в плоскости П и значит перпендикулярен в-ру n., поэтому их скалярное пр-е = 0
(r-r0)×n=0 (1) Рав-во (1) справедливо для всех т. М плоскости П и нарушается если М не принадлежит этой плоскости, тем самым – (1) – векторное уравнение искомой плоскости, в координатной форме это выражается так:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)+D=0
35. Исследование ур-я плоскости. неполное ур-е плоскости
По виду общего ур-я можно судить о том как лежит плоскость относительно системы координат OXYZ. Если хотя бы один из коэффициентов общего ур-я = 0, то оно наз. неполным.
Возможны случаи:
1 D=0 П: Ax+By+Сz=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая проходит через начало координат
2 А=0 П: Ву+ Сz +D=0 - нормальный в-р n={0,B,C} перпендикулярен оси ОХ отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОХ
3 В = 0 П: Aх + Cz +D=0 - нормальный в-р n={А,0, С} перпендикулярен оси ОY отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОУ
4 С=0 П: Ax+By+D=0, n={А,B,0} перпендикулярен OZÛП ||OZ плоскость параллельна оси OZ
5 А=0, C=0 П: By+D=0Û y= — D/BÛ тогда из 2 П||ОХ, из 4 П||OZ значит П||OXZ
6 А=0, В=0 П: Cz+D=0Ûz= — D/CÛ П||ОХ, П||OY значит П||OXY
7 C=0, В=0 П: Ax+D=0Û x= — D/AÛ П||ОZ, П||OY значит П||OYZ
8 A=0, В=0, D=0 П: Cz=0 Û z=0Û П||ОXY, OÎ П значит П= OXY
9 A=0, C=0, D=0 П: By=0 Û y=0Û П||ОXZ, OÎ П значит П= OXZ
10 B=0, C=0, D=0 П: Ax=0 Û x=0Û П||ОXY, OÎ П значит П= OXY
11 A¹ 0, В ¹ 0, С ¹ 0 П; — не параллельна ни одной из осей и пересекает их.
36. Уравнение плоскости проходящей через три данный точки
Даны М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3) не лежащие на одной прямой. Пусть М(x,y,z) – точка искомой плоскости.
r1={x1,y1,z1}, r2={x2,y2,z2}, r3={x3,y3,z3} и r={x,y,z} – радиус векторы данных точек.
В силу компланарности в-ров М1М=r-r1, M1M2=r2-r1, M1M3=r3-r1 их смешанное произведение = 0, т. е. радиус в-р т. М удовлетворяет условию:
(r-r1)(r2-r1)(r3-r1)=0 (10)
а ее координаты линейному уравнению:
<img width=«165» height=«63» src=«ref-1_291091667-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике