Реферат: Методы коллокаций и Галеркина

Методы коллокаций и Галеркина

Метод коллокаций

Пусть необходимо определить функцию/>, удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению

/>(2.50)

и линейными краевыми условиями

/>, (2.51)

причем />

Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций

/>(2.52)

которую назовем системой базисных функций.

Пусть функция /> удовлетворяет неоднородным краевым условиям

/>(2.53)

а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:

/>. (2.54)

Если краевые условия (2.51) однородны (A=B=0), то можно положить />и рассматривать лишь систему функций />.

Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций

/>. (2.55)

Тогда функция yудовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем

и аналогично />

Составим функцию />. Подставляя сюда вместо yвыражение (2.55), будем иметь

/>.(2.56)

Если при некотором выборе коэффициентов ciвыполнено равенство

/>при />

то функция yявляется точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции />и коэффициенты ciв общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция /> обращалась в нуль в заданной системе точек />из интервала [a, b], которые называются точками коллокации. Сама функция Rназываетсяневязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.

Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений

/>. (2.57)

Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты />, после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).

Пример. Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу

/> (2.58)

1. Метод коллокаций.

В качестве базисных функций выберем полиномы

/>.

Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям: /> За точки коллокации возьмем следующие абсциссы:

Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим

Найдем функцию />

/> (2.59)

В точках коллокации /> получим

/>.

--PAGE_BREAK--

Подставляя сюда (2.59), найдем

/>(2.60)

Решив эту систему, определим коэффициенты />:

/>=0.957, />=− 0.022.

Следовательно, приближенное решение будет иметь вид

/>.

Например, при x=получим y(0)=0.957.

2. Метод сеток.

Для грубого решения выбираем шаг h=1/2 (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к методу сеток

Полагая />, ввиду симметрии уравнения и краевых условий, будем иметь:

/> (2.61)

Таким образом, нужно определить лишь две ординаты y и />. Полагая x=и пользуясь симметричными формулами для производных

/>,

получим:

Аналогично, при x=1/2, то есть при i=1, получаем

Учитывая теперь (2.61), найдем систему

Решая эту систему, отыщем y=0.967, y1=0.721. Итак, сравним: метод коллокации дает y=0.957, а метод сеток y=0.967.

Метод Галеркина

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями

/>, (2.62)

/> (2.63)

Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы

/>(2.64)

где /> – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.63), а /> – какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однороднымкраевым условиям

/>(2.65)

и, кроме того функции />при /> образуют в классе функций c2[a, b], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.

Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.

Обозначим через Gкласс функций y(x), принадлежащих c2[a, b] (то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a, b]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций /> полна в классе G, если для любого /> и любой функции />можно указать такое nи такие параметры />, что имеет место неравенство

продолжение

--PAGE_BREAK--

где />

Это означает, что для любой допустимой функции /> найдется такая функция />, которая на [a, b] будет сколь угодно точно приближать функцию y(x)вместе с ее производными /> и />.

Докажем, что если для некоторой функции F(x) и полной системы функций /> выполняется соотношение ортогональности

/>(2.66)

то функция />. Для этого из полной системы /> последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему />

причем /> иначе /> были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F(x), найдем

Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.66), придем к равенству

/> (2.67)

Вычислим последний интеграл:

/>так как />

Таким образом, уравнение (2.67) принимает вид

/>.

Полагая здесь k=1, получим />, и так как />, то />. Полагая k=2, получим />, и так далее. Следовательно, все коэффициенты /> в разложении функции F(x) равны нулю и поэтому F(x)тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Возвращаясь теперь к задаче (2.62), (2.63), видим, что если бы мы нашли такую функцию y(x), удовлетворяющую условиям (2.63), и чтобы /> было ортогонально /> при любых />, то это означало бы, что />, и задача (2.62), (2.63) была бы решена. Если же ортогональность есть только при />, то в разложении /> по системе /> входят /> и более старшие коэффициенты, то есть />

Метод Галеркина состоит в том, что решение задачи (2.62), (2.63) ищется в виде (2.64), причем требуют ортогональности /> к функциям полной системы /> для />, то есть

продолжение
--PAGE_BREAK--

/> (2.68)где

Это дает алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов ak. Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение.

Если оператор /> нелинейный, то система (2.68) тоже будет нелинейной и решение ее весьма затруднительно. Если же оператор /> линейный, то система (2.68) также будет линейной и можно решать задачу с большим числом коэффициентов.

В методе Галеркина функция /> должна удовлетворять краевым условиям (2.63). Поэтому /> можно выбрать в виде

/>,

и коэффициенты /> найти как решение системы уравнений

Таким же образом отыскиваются функции />. Выберем, например, полную систему /> в виде многочленов последовательных степеней:

/>.

Коэффициенты /> найдем из однородных краевых условий (2.65)

/>(2.65а)

при всех />.

Так, для />/>и условия (2.65а) принимают вид:

В этой системе из двух уравнений три неизвестных: /> /> и />. Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например, />. Аналогично отыскивают коэффициенты /> для />.

Для простых условий вида />то есть /> функции /> можно вычислять по правилу

или

Отметим, что при нелинейном краевом условии вида, например, />линейная комбинация (2.64) с произвольными коэффициентами ak уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор L.

Пример 1. Методом Галеркина найти приближенное решение уравнения

с условиями

В качестве системы базисных функций />выберем

Ограничимся четырьмя функциями />, то есть k=0, 1, 2, 3. Решение будем искать в виде

Найдем функцию/>.

Так как

/>, а />, />,

то получим

продолжение
--PAGE_BREAK--

Потребует теперь ортогональности функции F(x) к функциям />. Это приводит к системе

Подставляя сюда вместо /> выражение этой функции и производя интегрирования, найдем

Решение этой системы: