Реферат: Инвариантные подгруппы бипримарных групп
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
Инвариантные подгруппы бипримарных групп
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-41 Таратын В.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии Монахов В.С.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Основные обозначения
2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп
3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы
Заключение
Список литературы
Введение
В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: «Инвариантные подгруппы бипримарных групп». Цель этой курсовой работы состоит в том, чтобы исследовать существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах.
Моя курсовая работа состоит из трех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе, что значительно упрощает дальнейшую работу и проверку курсовой.
Во втором пункте было рассказано про инвариантные подгруппы бипримарных групп.
В третьем пункте изложен материал о порядках силовских подгрупп общей линейной группы.
Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы:
Теорема. Пусть />— конечная разрешимая группа, порядка />, />— простое число и />не делит />. Если />, то либо />обладает характеристической />-подгруппой порядка />, либо справедливо одно из следующих утверждений:
1) />, /> и /> делит порядок />;
2) />, /> делит порядок />, где /> — простое число, причем />, если />, и />, если />;
3) />, /> 1 и /> делит порядок />.
Теорема. Пусть />— группа порядка />, />и />— простые числа. Если />, то либо />обладает характеристической />-подгруппой порядка />, либо справедливо одно из следующих утверждений:
1) />, />, /> и />;
2) />, />, />, причем />, если />, и />, если />;
3) />, />, /> и />.
Теорема. Группа порядка />, />, не имеющая неединичных инвариантных />-подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:
1) />, />, /> и />;
2) />, />, /> и />, если />, />, если />;
3) />, />, /> и />.
Теорема. Пусть />и />— различные простые числа и />— порядок силовской />-подгруппы из группы />. Тогда и только />, когда выполняется одно из условий:
1) />, />, /> — любое натуральное число за исключением />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />;
2) />, />, /> — любое натуральное число />;
3) />, />, /> — любое натуральное число /> за исключением />, где />; />, где /> — любое целое число, удовлетворяющее неравенству />. Для /> дополнительно исключаются числа />, />, /> и />; для /> дополнительно исключаются /> и />.
Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из девяти источников.
1. Основные обозначения
--PAGE_BREAK--/>
группа
/>
порядок группы />
/>
класс всех разрешимых групп
/>
класс всех нильпотентных групп
/>
/>является подгруппой группы />
/>
/>является нормальной подгруппой группы />
/>
прямое произведение подгрупп /> и />
/>
подгруппа Фраттини группы />
/>
фактор-группа группы /> по />
/>
множество всех простых делителей натурального числа />
/>
множество всех простых делителей порядка группы />
/>
подгруппа Фиттинга группы />
/>
наибольшая инвариантная />-подгруппа группы />
/>
индекс подгруппы /> в группе />
2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп
/>1. Введение. Две работы (1) и (2), написанные Бернсайдом в 1904 г., посвящены конечным бипримарным группам — группам порядка />, /> и /> — различные простые числа. В первой работе доказана разрешимость таких групп. Во второй — устанавливался следующий факт: в группе порядка /> при /> существует характеристическая />-подгруппа порядка />, за исключением двух случаев />, /> и />, />.
Однако группа />, являющаяся расширением элементарной абелевой группы /> порядка /> с помощью силовской />-подгруппы из группы автоморфизмов группы />, имеет порядок />, /> и в /> нет неединичных инвариантных />-подгрупп. Этот пример указывает на то, что в работе имеется пробел.
В настоящей работе рассматривается более общая ситуация, чем в. А именно, изучаются разрешимые группы порядка />, где />. Основным результатом является
Теорема Пусть />— конечная разрешимая группа, порядка />, />— простое число и />не делит />. Если />, то либо />обладает характеристической />-подгруппой порядка />, либо справедливо одно из следующих утверждений:
1) />, /> и /> делит порядок />;
2) />, /> делит порядок />, где /> — простое число, причем />, если />, и />, если />;
3) />, /> 1 и /> делит порядок />.
Если /> и /> — различные простые числа, /> и /> — целые положительные числа, то либо />, либо />. Поэтому теорема распространяется па все бипримарные группы.
Теорема Пусть />— группа порядка />, />и />— простые числа. Если />, то либо />обладает характеристической />-подгруппой порядка />, либо справедливо одно из следующих утверждений:
1) />, />, /> и />;
2) />, />, />, причем />, если />, и />, если />;
продолжение--PAGE_BREAK--
3) />, />, /> и />.
Следствие Если />и />— нечетные простые числа и />, то любая группа порядка />обладает характеристической />-подгруппой порядка />.
Следующая теорема показывает, что границы, установленные для чисел /> и />, являются точными и что инвариантной />-подгруппы в исключительных случаях теорем (4) и (1) может и не быть.
Теорема Группа порядка />, />, не имеющая неединичных инвариантных />-подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:
1) />, />, /> и />;
2) />, />, /> и />, если />, />, если />;
3) />, />, /> и />.
/>2. Порядки силовских подгрупп полных линейных групп. На множестве натуральных чисел введем следующую функцию:
/>
где /> и /> взаимно просто с />. Из определения вытекает, что /> есть показатель, с которым /> входит в произведение />. Поэтому
/>
где /> — целая часть числа /> (см. ) и /> — наибольшее число, при котором />.
Тогда
/>
Лемма />.
Лемма Пусть />— показатель, которому />принадлежит по модулю />, и пусть />, />не делит />. Тогда и только тогда />делит />, когда />кратно />. Если />, />не делит />, то, за исключением случая />, число />есть наивысшая степень />, которая делит />.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из свойств показателей (см. (5)). Вычислим />, используя бином Ньютона:
/>
Заметим, что
/>
есть целое число. Действительно, /> и число /> делит произведение />. Учитывая, что />, из леммы получаем, что /> и /> делит />. Теперь
/>
/>
где /> — целое число. Так как /> не делит />, то выражение в скобках не делится на />, за исключением случая />. Лемма доказана.
Исключение />, в лемме существенно; легко заметить, что при />, /> лемма неверна. Случай /> был как раз и пропущен в рассуждениях работы (5).
Лемма Пусть />, />— нечетное число и />— наименьшее целое число, при котором />. Пусть />. Определим число />так: если, />, то />. если />, тo />/>— нечетное число. Тогда
1) если /> — нечетное число, то />; />;
2) если /> — четное число и />, /> — нечетное число, то />, />, где />, />, /> и /> — нечетные числа.
Доказательство. Воспользуемся биномом Ньютона:
/>
Если /> — нечетное число, то
/>
/> — нечетное число. Если /> — четное число, то
/>
/> — нечетное число.
Пусть теперь /> — нечетное число />. Тогда
/>где
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
Ho /> — нечетное число, поэтому /> — нечетное число. Так как />, если />, и />, если />, то />, где /> — нечетное число.
И наконец, если />, />. /> — нечетное число, то
/>
/> — нечетное число. Лемма доказана.
Лемма Пусть />и />— различные простые числа, />— показатель числа />по модулю />и />, />не делит />. Пусть />, />или />и />— порядок силовской />-подгруппы группы />. Если />, то />, где />— целое число, удовлетворяющее неравенству />. Если />, то />. Здесь число />определяется как и в лемме3.
Доказательство. Порядок группы /> известен (см.2):
/>
Ясно, что /> — наивысшая степень />, которая делит произведение />.
Рассмотрим, вначале случай, когда />. Применяя лемму (3), заключаем, что в произведении /> лишь следующие сомножители кратны />:
/>
где /> определяется неравенством />. Так как /> есть наивысшая степень />, которая делит />, где />, /> не делит />, то наивысшая степень />, которая делит />, есть />.
Следовательно,
/>.
Пусть теперь />. Тогда /> и />. Заметим, что
/>
Применим индукцию по />. Если />, то />, а так как />, /> и />, то утверждение для /> справедливо.
Предположим, что равенство выполняется для />, и докажем его для />. Пусть вначале /> есть нечетное число, т.е. />, /> и />. По лемме (4) />, /> — нечетное число. Поэтому />. Так как />, а />, то утверждение для /> справедливо.
Пусть теперь /> — четное число. Тогда /> и />. Кроме того, если />, /> не делит />, то по лемме />, /> — нечетное число. Значит,
/>
Лемма доказана полностью.
Лемма Пусть />и />— различные простые числа и />— порядок некоторой />-подгруппы группы />. Тогда либо />, либо справедливо одно из следующих утверждении:
1) />, />, /> и />;
2) />, />, /> и />, если />, />, если />;
3) />, />, />, и />.
Доказательство. Пусть /> — показатель числа /> по модулю /> и />, /> не делит />. Так как /> — порядок силовской />-подгруппы группы />, то />. Если />, то лемма справедлива. Поэтому пусть в дальнейшем />. Рассмотрим вначале случай, когда />. По лемме в этом случае />, где /> определяется неравенством />. Допустим, что />. Так как />, то /> и /> — противоречие. Значит, />, поэтому либо />, либо />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть />. Тогда />, а так как />, то /> и />. Если />, то /> и /> — противоречие. Если />, то />. Кроме того, />. Поэтому из условия /> следует, что />. Получили утверждение для /> из пункта 2.
Теперь пусть />. Тогда />. Легко показать, что />, поэтому />. Если />, то /> и />. Отсюда следует, что
/>
получили противоречие. Значит, />, т.е. /> и />. Поэтому />. Воспользуемся неравенством />, которое справедливо при />. Тогда
/>
и из /> следует, что /> и />. Получили утверждение из пункта 3. Случай /> разобран полностью.
Рассмотрим теперь случай />. Тогда />. Пусть /> — наименьшее целое число, при котором />, и пусть />. Предположим, что />. Тогда />. Но /> и />, поэтому /> и />. Если />, то />, /> и />. Кроме того, />. Отсюда />. Следовательно, при /> справедливо неравенство />. Так как />, то /> и />
Таким образом, при /> всегда />. Значит, надо рассмотреть лишь два случая: /> и />.
Пусть />, тогда />. Непосредственно проверяется, что /> при />. При /> имеем />, причем />. Поэтому />. Получили утверждение из пункта 1.
Осталось рассмотреть />. Теперь />. В /> силовская />-подгруппа имеет порядок />. Так как />, то /> и />. Но />, />. Поэтому этот случай записан в пункте 2. Лемма доказана полностью.
Доказательство теоремы. Пусть />, /> — упорядоченная пара простых чисел, /> — натуральное число и />, />, /> удовлетворяют одному из трех требований теоремы. Через /> обозначим элементарную абелеву группу порядка />, через /> — силовскую />-подгруппу группы />. Так как /> есть группа автоморфизмов группы />, то группа />, являющаяся расширением группы /> с помощью группы />, не имеет инвариантных />-подгрупп />. Покажем, что /> — искомая группа. Вычислим порядок группы />. Из леммы следует, что /> причем:
1) />, если /> и />;
2) />, если />, /> и />, если />, />, />;
3) />, если />, />.
В первых двух случаях непосредственно проверяется, что />. Используя неравенство />, которое справедливо при />, в третьем случае получаем />. Таким образом, /> и в каждом из трех случаев />. Теорема доказана.
/>3. Доказательство теоремы. Допустим, что теорема неверна и группа /> — контрпример минимального порядка. Пусть /> — силовская />-подгруппа, /> — силовское />-дополнение в />.
Обозначим через /> наибольшую инвариантную />-подгруппу из />. Подгруппа /> характеристическая и /> не имеет неединичных инвариантных />-подгрупп. Предположим, что />. Факторгруппа /> имеет порядок />. Если />, то /> — противоречие. Поэтому /> и для /> выполняется одно из утверждений пунктов 1 — 3 заключения теоремы. Но тогда это утверждение выполняется и для /> — противоречие. Следовательно, в /> нет неединичных инвариантных />-подгрупп.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> — подгруппа Фиттинга группы />. Так как /> разрешима, то />. Ясно, что />. Если />, то /> и группа /> удовлетворяет условию теоремы. Но для /> не выполняется ни одно из утверждений пунктов 1 — 3 заключения теоремы, иначе оно выполнялось бы и для />. Поэтому группа /> обладает неединичной инвариантной />-подгруппой />. Теперь /> централизует />, а это противоречит теореме о том, что в разрешимых группах подгруппа Фиттинга содержит свой централизатор (см. ). Таким образом, />.
Допустим, что подгруппа Фраттини /> группы /> неединична. Тогда факторгруппа /> удовлетворяет условию теоремы. Если в /> имеется неединичная инвариантная />-подгруппа />, то по теореме Гашюца группа /> нильпотентна и /> обладает инвариантной />-подгруппой /> — противоречие. Но для /> не выполняется ни одно из утверждений пунктов 1 — 3. Следовательно, /> и все силовские в /> подгруппы элементарные абелевы.
Пусть />, /> — силовская подгруппа группы />. Тогда группа автоморфизмов /> группы /> является прямым произведением групп /> (см. ). Так как /> совпадает со своим централизатором в />, то /> изоморфна некоторой />-подгруппе из />. Но силовская />-подгруппа из /> имеет вид />, где /> — некоторая силовская />-подгруппа из /> (см. ). Поэтому /> изоморфна некоторой подгруппе из />. По условию теоремы />, поэтому существует номер /> такой, что />.
Если />, то /> и />, есть силовская />-подгруппа группы />. Применяя лемму, заключаем, что />, /> и /> или />, /> и />, или />, /> и />. Используя условие />, нетрудно получить соответствующие оценки для числа />. Теорема доказана.
/>4. Пример. В 1969 г.Г.Я. Мордкович на Гомельском алгебраическом семинаре С.А. Чунихина высказал предположение: в группе порядка /> при /> либо силовская />-подгруппа инвариантна, либо существует неединичная инвариантная />-подгруппа. Мы построим пример, опровергающий это предположение.
Напомним, что /> означает наибольшую инвариантную />-подгруппу группы />. Группа /> называется />-замкнутой, если в ней силовская />-подгруппа инвариантна.
Лемма Пусть />, где />— подгруппа группы />, />. Если />для всех />, то />.
Доказательство проведем индукцией по />. Для /> лемма справедлива. Пусть утверждение верно для /> и />. Так как /> и />, то /> и />. Теперь />. Отсюда следует, что />. Лемма доказана.
Нам потребуется следующая конструкция Л.А. Шеметкова (см. ).
Лемма Л.А. Шеметков Для любой упорядоченной пары />, />различных простых чисел существует группа />порядка />со следующими свойствами:
1) />, /> — показатель, которому принадлежит /> по модулю />;
2) /> не />-замкнута, силовская />-подгруппа из /> максимальна в /> и />.
Предположение Для каждого из следующих трех случаев
1) />, />;
2) />, />;
3) />, /> существует не />-замкнутая группа /> порядка />, причем /> и />.
Доказательство. Пусть />, /> — упорядоченная пара простых чисел, удовлетворяющая одному из требований предложения. Пусть /> — />-группа из леммы с максимальной силовской />-подгруппой, /> — />-группа, построенная в теореме, с инвариантной силовской />-подгруппой и />, где />. Так как /> не />-замкнута, то и /> не />-замкнута. Кроме того, /> и />, />. Поэтому, /> по лемме. Осталось показать, что в каждом из трех случаев натуральное число /> можно задать так, что группа /> будет иметь порядок />, причем />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть />, />. Тогда />, а />. Если />, то />, где />, />. Нетрудно проверить, что />.
Пусть теперь />, />. Предположим, что />. Тогда />, /> и />, где />, a />. Если в качестве /> выбрать натуральное число, удовлетворяющее неравенству: />, то />. Допустим теперь, что />. Тогда />, /> и />, где />, />. Так как />, то существует натуральное число />, удовлетворяющее неравенству />. Если положить />, то />.
Наконец, пусть />, />. Тогда />, /> и />, где />, />. Теперь в качестве /> надо выбрать натуральное число, удовлетворяющее неравенству />. Тогда />. Предположение доказано.
3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы
В заметке (1) исправлена ошибка, допущенная Бернсайдом в работе (2). А именно в (3) доказано, что группа /> порядка />, где /> и /> — различные простые числа и />, либо обладает характеристической />-подгруппой порядка />, либо справедливо одно из следующих утверждений:
1) />, />, /> и />;
2) />, />, /> и />, если />, />, если />;
3) />, />, /> и />.
Доказательство этого результата сводится к случаю, когда силовская />-подгруппа из /> является минимальной инвариантной подгруппой, совпадающей со своим централизатором. В этом случае силовская /> — подгруппа из /> изоморфно вкладывается в общую линейную группу /> и возникает необходимость сравнить порядок силовской />-подгруппы из /> с числом />. В лемме 2.5 из указывались значения />, /> и нижняя граница для числа />, при которых порядок силовской /> — подгруппы из /> больше />.
Цель настоящей заметки — указать все значения чисел />, /> и />, при которых силовская />-подгруппа из /> имеет порядок больший, чем />.
Теорема Пусть />и />— различные простые числа и />— порядок силовской />-подгруппы из группы />. Тогда и только тогда />, когда выполняется одно из условий:
1) />, />, /> — любое натуральное число за исключением />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />;
2) />, />, /> — любое натуральное число />;
3) />, />, /> — любое натуральное число /> за исключением />, где />; />, где /> — любое целое число, удовлетворяющее неравенству />. Для /> дополнительно исключаются числа />, />, /> и />; для /> дополнительно исключаются /> и />.
Доказательство теоремы основывается на формуле для вычисления порядка силовской />-подгруппы общей линейной группы />, полученной в .
Пусть /> и /> — различные простые числа, /> — показатель числа /> по модулю /> и />, /> не делит />. Через /> обозначим порядок силовской />-подгруппы группы />, а через /> — показатель, с которым /> входит в произведение />. В доказана следующая
продолжение--PAGE_BREAK--
Лемма Если />, то />. Если />, то />и число />определяется так: пусть />— наименьшее целое, при котором />и />; если />, то />; если />, то />, />— нечетное число.
Напомним, что /> — целая часть числа />, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее /> (см. ).
Лемма Если />— натуральное число, то
/>
Доказательство. Пусть /> — наибольшее целое число, при котором />. Так как />, то
/>
С другой стороны,
/> и />.
Лемма Если />— натуральное число />, то />.
Доказательство проводим индукцией по />. Если />, то
/>
Пусть утверждение верно для />. Докажем его для />.
Если /> кратно />, то
/>. Но /> — целое число, а /> —
дробное. Поэтому
/>
Если /> кратно />, то />.
Пусть, наконец, оба числа /> и /> не кратны />, тогда />, причем /> не целое число. Так как число /> целое, то />, откуда />. Лемма доказана.
Лемма Если />— натуральное число, а />— наибольшее целое число, при котором />, то />.
Доказательство. По лемме, />, поэтому />. Неравенство /> докажем индукцией по />. Для /> и /> справедливость неравенства проверяется непосредственно.
Пусть /> и пусть это неравенство верно для всех />. Докажем его для />. Разность /> обозначим через />. Так как />, то />. Поэтому если /> — наибольшее целое число, при котором, />, то /> и по индукции имеем />
Вычислим />. Так как
/>
то
/>
Лемма доказана.
Замечание. Границы, указанные в лемме, точные. Левая граница достигается при />, правая — при />.
Лемма Если натуральное число />, то />и />.
Доказательство обоих неравенств легко получить индукцией по />.
Доказательство теоремы 3. Сохраним все обозначения леммы. Рассмотрим вначале случай, когда />. По лемме (5), в этом случае />, где />. Допустим, что />. Так как />, то /> и />. Поэтому />, и, применяя лемму, получаем />, что противоречит условию теоремы.
Значит, />, поэтому либо />, либо />.
Пусть />. Тогда />, а так как />, то /> и />.
Пусть />. Тогда />. Если /> четное, то />, т.е.4 делит />. Противоречие. Значит, /> нечетное. Поэтому />, и так как число /> нечетное, то />. Таким образом, если />, то />.
Итак, если />, то либо /> и />, либо /> и />.
Пусть />. Тогда из леммы следует, что
/>
Предположим, что />. Тогда /> (см. лемму ), а так как при /> справедливо неравенство />, то />. Учитывая, что /> или />, получаем />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Если />, то /> и />. Кроме того, />, поэтому
/> и />.
Таким образом, при /> выполняется неравенство />. Так как />, то />. Противоречие с условием теоремы.
Следовательно, /> или /> и /> или />.
Итак, нам необходимо рассмотреть следующие случаи: />, />; />, />; />, />.
Случай 1. Пусть />, />. В этом случае
/>
Если />, то, вычисляя /> для каждого значения /> с помощью натуральных логарифмов, убеждаемся; что /> в точности для следующих />, />, />, />, />, />, />, />, />--/>, />--/>.
Пусть /> и /> — наибольшее натуральное число, при котором />. Ясно, что />. С помощью индукции легко проверяется неравенство; />. Используя лемму, мы получаем:
/>
Теперь
/> Таким образом, />.
Случай 2. Пусть />, />. В этом случае />, где />, если /> четное, и /> если /> нечетное, а />. Если /> или 3, а />, то непосредственно убеждаемся, что />. Если />, то />, а /> и /> т.е. />. Используя лемму, получаем
/> т.е./>
Теперь пусть />. Из леммы имеем /> или />. Поэтому />. Осталось рассмотреть случай, когда />. Тогда />, поэтому, используя леммы и, получаем:
/>
Таким образом, при любом /> имеет место неравенство />.
Случай 3. Пусть />, />. В этом случае />, где /> — целая часть числа />. Если />, то /> и />. Отсюда следует, что />. Противоречие. Значит, /> и />. Мы можем записать />, />.
Рассмотрим вначале случай, когда />, т.е. когда />.
Тогда />, />.
Если />, то />, где /> — основание натуральных логарифмов и
/>, т.е. />.
Если />, то /> и />, т.е. />. Найдем значения /> для /> и />. Для /> имеем:
/>
Для /> имеем:
/>
Если />, то />, и при /> получаем
/>, т.е. />.
Если />, то />. Определим для /> и /> значения />, при которых />. Для /> имеем />, т.е. />, а />. Для /> имеем />, т.е. />, а />.
Теперь рассмотрим случай, когда />, т.е. когда />.
Если />, то /> и />. Непосредственно убеждаемся, что лишь при /> или /> имеет место неравенство />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Если />, то /> и />. Непосредственно убеждаемся, что лишь только при /> и /> имеет место неравенство />.
Пусть />. Так как />, a />, то
/>,
так как />.
Таким образом, />.
Пусть теперь />. Тогда />. Пусть вначале />. Тогда />, и по лемме 3 имеем />. Поэтому
/>
Здесь мы воспользовались неравенством />, которое вытекает из неравенства />. Таким образом, доказано, что />.
Остался случай />. Так как />, то
/>
и, применяя лемму, получаем
/>
Таким образом, />.
Теорема доказана.
Заключение
Итак, в данной курсовой работе исследовано существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах. Также изучены и доказаны следующие основные теоремы:
Теорема. Пусть />— конечная разрешимая группа, порядка />, />— простое число и />не делит />. Если />, то либо />обладает характеристической />-подгруппой порядка />, либо справедливо одно из следующих утверждений:
1) />, /> и /> делит порядок />;
2) />, /> делит порядок />, где /> — простое число, причем />, если />, и />, если />;
3) />, /> 1 и /> делит порядок />.
Теорема. Пусть />— группа порядка />, />и />— простые числа. Если />, то либо />обладает характеристической />-подгруппой порядка />, либо справедливо одно из следующих утверждений:
1) />, />, /> и />;
2) />, />, />, причем />, если />, и />, если />;
3) />, />, /> и />.
Теорема. Группа порядка />, />, не имеющая неединичных инвариантных />-подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:
1) />, />, /> и />;
2) />, />, /> и />, если />, />, если />;
3) />, />, /> и />.
Теорема. Пусть />и />— различные простые числа и />— порядок силовской />-подгруппы из группы />. Тогда и только />, когда выполняется одно из условий:
1) />, />, /> — любое натуральное число за исключением />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />, />;
2) />, />, /> — любое натуральное число />;
3) />, />, /> — любое натуральное число /> за исключением />, где />; />, где /> — любое целое число, удовлетворяющее неравенству />. Для /> дополнительно исключаются числа />, />, /> и />; для /> дополнительно исключаются /> и />.
Список литературы
9 Burnside W., On groups of order />, Proc. London Math. Soc.2, № 1 (1904), 388--392.
9 Вurnside W., On groups of order /> (Second paper), Proc. London Math. Soc., 2, № 2 (1905), 432--437.
9 Вurnside W., Theory of groups of finite order, Cambridge, 1911.
9 Виноградов И.М., Основы теории чисел, М., Наука, 1965.
9 Huppert В., Endliche Gruppen. I, Berlin, Springer, 1967.
9 Шеметков Л.А., К теореме Д.К. Фаддеева о конечных разрешимых группах, Матем. заметки, 5, № 6 (1969), 665--668.
9 Монахов В.С., Инвариантные подгруппы бипримарных групп. Матем. заметки, 18, № 6 (1975) б 877-886.
9 Burnside W., On groups of order /> (second paper), Proc. London Math. Soc., 2, N 2 (1905), 432--437.
9 Виноградов И.М., Основы теории чисел, М., 1965.