Реферат: Метод хорд
МЕТОД ХОРД
Метод хорд — один з поширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення.
Нехай задано рівняння
/>,
де /> на відрізку /> має неперервні похідні першого й другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку, і/>, тобто корінь /> рівняння відокремлений на /> .
Ідея методу хорд в тому, що на досить малому відрізку дуга кривої />замінюється хордою і абсциса точки перетину хорди з віссю />є наближеним значенням кореня.
/>/>
а б
/>/>
в г
рис.1
Нехай для визначеності/>, />, />, />(рис.1,а). Візьмемо за початкове наближення шуканого кореня />значення/>. Через точки />і />проведемо хорду і за першенаближення кореня />візьмемо абсцису />точки перетину хорди з віссю />. Тепер наближене значення />кореня можна уточнити, якщо застосувати метод хорд до відрізка />. Абсциса />точки перетину хорди />буде другим наближенням кореня. Продовжуючи цей процес необмежено, дістанемо послідовність />наближених значень кореня/>даного рівняння.
Для виведення формули методу хорд запишемо рівняння прямої, що проходить через точки />і />:
/>.
Поклавши />, знайдемо абсцису точки перетину хорди />з віссю
/>: />.
Значення />можна взяти за наступне наближення, тобто
/>, тобто/>= 0,1,2,
--PAGE_BREAK--У цьому разі і тоді, коли />, />, />, />(рис. 1, б) кінець />відрізка />є нерухомим.
Якщо />, />, />, />(рис. 1, в), або />, />, />, />(рис. 1, г), аналогічно можна записати формулу:
/>, тобто/>= 0,1,2,… .
У цьому випадку точка />є нерухомим кінцем відрізка />.
У загальному випадку нерухомим буде той кінець відрізка ізоляції кореня, в якому знак функції />збігається із знаком другої похідної, а за початкове наближення />можна взяти точку відрізка />, в якій />.
Отже, метод хорд можна записати так:
/>, тобто/>= 0,1,2, (1)
де />
З формули (1) видно, що метод хорд є методом ітерацій />, в якому
/>(2)
Зауважимо, що рівняння />
на відрізку />рівносильне рівнянню />.
Достатні умови збіжності методу хорд дає така теорема.
Теорема. Нехай на відрізку />функція />неперервна разом із своїми похідними до другого порядку включно, причому />, а похідні />і />зберігають сталі знаки на />, тоді існує такий окіл кореня />рівняння />, що для будь-якого початкового наближення />з цього околу послідовність />, обчислена за формулою (1), збігатиметься до кореня />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Доведення. Для доведення теореми досить показати, що в деякому околі />кореня />похідна />функції (2) задовольняє умову />для будь-яких />.
Обчислимо
/>.
Поклавши />і врахувавши, що />, маємо
/>. (3)
Запишемо для />в околі точки />формулу Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа:
/>,
де />/>лежить між />і />.
Поклавши в ній/>, дістанемо
/>, (4)
Із формули (3), враховуючи (4), знаходимо />.
Оскільки />і />— неперервні на />, то і />буде неперервною на />функцією, тому />.
Звідси і з неперервності />випливає, що на відрізку />існує окіл />точки />такий, що />для будь-якого />. Тоді з теореми про достатні умови методу ітерацій (Нехай рівняння />має корінь />і в деякому околі />/>цього кореня функція />задовольняє умову Ліпшиця />, де/>; тоді для будь-якого />послідовність />, обчислена за формулою />, />збігається до кореня />, причому швидкість збіжності характеризується нерівністю />) випливає, що послідовність {/>}, обчислена за формулою (1), збігається до кореня />, якщо початкове наближення />. Теорему доведено.
продолжение--PAGE_BREAK--
Нехай />— неперервна і зберігає на />сталий знак, причому
/>, де />, />.
З формули
/>
дістаємо />.
Звідси, враховуючи, що />,
маємо />.
Застосувавши теорему Лагранжа, дістанемо
/>,
де />лежить між точками />і />, а />— між />і />. Далі запишемо:
/> або />
Оскільки />зберігає на />сталий знак, то />.
Тому />(5)
Якщо на відрізку />справедлива нерівність />, то із (5) випливає оцінка: />.
Отже, корінь />рівняння />буде знайдено методом хорд із наперед заданою точністю />, якщо для двох послідовних наближень />і />справджуватиметься нерівність
/>.
продолжение--PAGE_BREAK--
Приклад 1.Відокремити корені рівняння />аналітично і уточнити один з них методом хорд з точністю до 0,01.
Розв’язання. Маємо функцію
/>.
Похідна
/>; />.
Складемо таблицю знаків функції />:
/>
/>
-1
/>
/>
-
-
+
+
Рівняння має один дійсний корінь, що лежить на проміжку />
Щоб уточнити корінь, знаходимо другу похідну />; на проміжку />виконується нерівність />.
Для обчислень використаємо формулу
/>, де />.
Результати обчислень розміщуємо в таблиці.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
1
2
3
4
-0,882
-0,943
-0,946
-0,946
-0,6861
-0,8386
-0,8466
0,7779
0,8892
0,8949
0,1556
0,1778
0,1790
-0,441
-0,4715
-0,473
1,5
0,2173
0,0121
0,0014
1,7
0,4173
0,2121
0,2014
1
0,118
0,057
0,054
продолжение--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
0,6
0,2
0,43
0,4586
0,36
0,0986
-0,1392
-0,142
1
0,742
0,058
0,5081
0,5570
0,5506
0,0064
-0,0470
-0,008
2
0,750
0,50
0,5125
05627
0,5625
0,0002
-0,0408
-0,0002
3
0,7502
0,0498
0,5126
0,5628
0,5628
Відповідь: />
Задачі для самостійного розв’язування.
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
продолжение--PAGE_BREAK--
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>;
/>,
/>