Реферат: Билеты по математическому анализу

--PAGE_BREAK--Док-во   {an}-посл-ть левых концов отрезков явл.монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1.

{bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n®¥)an и с2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c  — их общее значение. Действительно имеет предел lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) в силу условия 2) o= lim(n®¥)(bn-an)=с2-с1=>с1=с2=с

Ясно что т. с общая  для всех отрезков, поскольку "n an£c£bn. Теперь докажем что она одна.

Допустим что $другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bnсходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му.

Принцип вложенных отрезков

Т-ма. Любая пос-ть вложенных отрезков содержит единств. т-ку сÎвсем отрезкам посл-ти одновременно, к которой они стягиваются.

Док-во. {an}пос-ть левых концов явл. монотонно неубыв. И огран. свеху числом b1; посл-ть правых концов {bn} монотонно не возр. и ограничена снизу а1, поэтому эти посл-ти сходящ., т.е. $числа c1=lim(n®¥)an и c2=lim(n®¥)bn.

Докажемчто с1=с2 и сл-но их общая знач. может обозначить через с. Действ. имеется предел lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)bn®lim(n®¥)an=c2-c1=c ясно что с общая для всех отрезков поскольку для "n an£c£bn. Осталось доказать единство данной т-ки (от противного). Допустим есть c‘¹c к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые пределы окр. точек с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” {an}, {bn}, должен нах-ся в окрестности т-ки с, а др. в с‘, т.к. an и bn®c иc‘ одновр. Противореч. док-ет т-му.
7.Ф-ции одной переменной

Если задано правило по которому каждому значению перем. Величины х из мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем. У то в этом случае говорят, что задана ф-ция 1-й переменной.

Y=f(x); x –аргумент независ. перемен., y— зав. пер.

X=Df=D(f) y={y;y=f(x),xÎX} x1ÎX1, y1=f(x1)

1)аналит. способ; 2)Табличный способ;

3) Графический способ;

4)Min иmax ф-ции: ф-ция f(x) ограничена, если огран. ее мн-во знач У, т.е. $m,M: m£f(x)£M "xÎX

m£f(x) "xÎX => огр. сн.; f(x)£M, "xÎX=> огр. св.
Обратные ф-ции

Если задано правило по которому каждому значению yÎYставится в соответствие ®ед. знач. х, причем y=f(x), то в этом случае говорят, что на мн-ве Yопределена ф-ция обратная ф-ции f(x)и обозначают такую ф-цию x=f^-1(y).
Предел ф-ции в точке

Свойства предела ф-ции в точке

Односторонние пределы ф-ции в т-ке:

Предел ф-ции в т-ке

Предел и непрерывность функции

Предел. Односторонний предел.


Предел ф-ции в точке

y=f(x) X

опр. "{xn} ÌX, xn®x0

f(xn)®A,=> f(x) в т. x0 (при , xn®x0) предел = А

А=lim(x®x0)f(x) или f(x)®A приx®x0

Т-ка x0 может Îи Ïмн-ву Х.
Свойства предела ф-ции в точке

1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный

2) Если в ткех0 предел ф-ции f(x) lim(x®x0)f(x)=A

lim(x®x0)g(x)£B=> то тогда в этой т-ке $предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций.

а)lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B

б)lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B

в)lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B

г)lim(x®x0)C=C

д)lim(x®x0)C*f(x)=C*A

Док-во xn®x0, $lim(x®x0)f(x)=A по опр.  f(xn)®A {f(xn)}
Односторонние пределы ф-ции в т-ке:

Опр. А — предел ф-ции f(x) справа от точки х0, если f(x)®A при х®х0, и x>x0

Формально это означает, что для любой посл-ти {xn}®x0, вып-ся условие xn>x0, f(x)®A. Обозначим f(x0+0) и f(x0+) lim(x®x0+0)f(x)®

И также с минусами.
Признак $предела

Т-ма Для того чтобы f(x) имела предел в т-ке х0 необх., тогда в этой т-ке ф-ция f имеет совпадающ. Между собой одностор. предел(f(x0+)=f(x0-) (1), которые равны пределу ф-ции.

Док-во. f(x) имеет в т-ке х0 предел А, тогда f(x)®Aнезависимо от того приближается ли х к х0 по значению больше х0 или меньше это означает равенство (1)
Предел ф-ции в т-ке

Число А наз-ся пределом ф-ции в т-ке х0 если "e>0 найдется такое число В>0, для всех х отличных от х0 и (х-х0)<0должно ½f(x)-A½<e

"e>0 из ½х-х0½<dдолжно быть

Пусть ½f(x)-x0½<e, если d=e, то ½х-х0½<d=> ½f(x)-x0½<e
Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.

 Ф-ция f(x)
непрерывна в т-ке х0 если предельное значение в этой т-ке равно самому знач. в этой точке.

Предел и непрерывность функции

Пусть ф-ция f(x) определена на некотором пр-ке Х* и пусть точка х0ÎХ или х0ÏХ.

Опр. Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х=х0, если для "e>0 $d>0 такое, что для всех хÎХ, х¹х0, удовлетвор. неравенству ½х-х0½<e, выполняется неравенство½f(x)-A½<e.

ПримерИспользуя определение, док-ть что ф-ция f(x)=C(C-некоторое число) в точке х=х0(х0-любое число) имеет предел, равный С, т.е. lim (x®x0)C=C

Возьмем любое e>0. Тогда для любого числа d>0выполняется треюуемое неравенство ½f(x)-C½=½C-C½=0<e, =>lim(x®x0)C=C

Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.

Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) имеют в т-ке х0 пределы В и С. Тогда ф-ции f(x)±g(x),f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при С¹0) имеют в т-ке х0 пределы, равные соответственно В±С, В*С, В/С, т.е. lim[f(x)±g(x)]= B±C, lim[f(x)*g(x)]= B*C, lim[f(x)/g(x)]= B/C

Теорема также верна если х0 явл. +¥, -¥, ¥

Опр. Ф-ция f(x) наз-ся непрерыной в точке х=х0, если предел ф-ции и ее значение в этой точке равны, т.е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)

ТеоремаПусть ф-ции f(x)иg(x) непрерывны в т-ке х0. Тогда ф-ции f(x)±g(x), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой т-ке.

10. Предел. Односторонний предел.

Опр.Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А$окрестность (х0):"xÎокрестности (x0) выполняется условие f(x)Îокрестности.

ТеоремаВсе определения предела эквивалентны между собой.

Опр. Число А называется пределом ф-ции f(x)справа от т.х0(правым предело f(x0))если f(x)®A при х®х0, х>x0

Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0выполняется условие f(xn)®A

Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(x®x0+o)f(x) где запись x®x0+o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0.

Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-)

Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т.е. f(x0+)=

f(x0-)=lim(x®x0)f(x)=A

Док-во

а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x)®А независимо от того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или <, а это означает равенство 1.

б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что $просто предел. Возьмем произвольную {xn}®х0 разобьем если это необходимо эту последовательность на две подпоследовательности.

1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n};

2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n};

x’n®x0-o x’’n®x0+o, т.к. односторонние пределы $и равны, то f(x‘n)®A и f(x‘‘n)®A поэтому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа:

1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)®A на основании связи между сходимостью последовательностей
Пределы ф-ции на бесконечности

Два замечательных предела

Б/м ф-ции и их сравнения

Непрерывные ф-ции. Непрерывность.


11. Пределы ф-ции на бесконечности

Они нужны для исследования поведения ф-ции на переферии.

Опр. ф-ция f(x) имеет предел число А при x®+¥если "{xn}которая ®к +¥соответствующая ей последовательность {f(xn)}®A в этом случае мы пишем lim(x®+¥)f(x)=A. Совершенно аналогично с -¥.

Опр. Будем говорить что ф-ция f(x)имеет пределом число А при x®¥{f(xn)}сходится к А

Бесконечные пределы ф-ции

Вводятся как удобные соглашения в случае, когда конечные пределы не $-ют.

Р-рим на премере
:lim(x®o+)(1/x)

Очевидно не сущ-ет, т.к. для "{xn}®+о посл-ть {f(xn)}={1/xn}, а числ. посл-ть сводятся к +¥.

Поэтому можно записать lim(x®o+)1/x=+¥что говорит о неограниченных возрастаниях предела ф-ции при приближении к 0.

Аналогично с -¥.

Более того символы +¥и -¥употребляются в качестве предела ф-ции в данной т-ке лишь условно и означают например, что если {xn}®x0 то {f(xn)}®±¥,¥
12. Два замечательных предела

1) lim(x®0)sin/x=1

2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотношение:

lim(n®¥)(1+1/n)^n=e (1)

lim(n®0)(1+x)^1/x=e (2)

t=1/x => при х®0 t®¥из предела (2)=> lim(x®¥) (1+1/x)^x=e (3)

Док-во

1)x®+¥n x:n=[x] => n£x<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n

Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n£(1+1/n)^x£(1+1/n)^(n+1) (4)

Рассмотрим  пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х®+¥, n®¥)

lim(n®¥)(1+1/(n+1))=lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1*lim(n®¥)1/(1+1/(n+1))=e

lim(n®¥)(1+1/n)^n+1= lim(n®¥)(1+1/n)^n*lim(n®¥)(1+1/n)=e*1=e

2) x®-¥. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y®+¥,при x®-¥.

lim(x®-¥)(1+1/x)^x=lim(y®+¥)(1-1/y)^-y= lim(y®+¥)((y-1)/y)^y=lim(y®+¥)(1+1/(y-1))^y=e

3) Пусть x®¥произвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn сходящихся к ®¥мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x®¥)(1+1/xn)^xn=e (5)

Условие 5~3, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn2 подпосл-ти: {x‘n}®+¥,

{x‘‘n}®-¥. Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо предельное соотношение 5 если заменить xn®x‘nx‘‘n. По т-ме о связи
    продолжение
--PAGE_BREAK--13. Б/м ф-ции и их сравнения

Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м  если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:

а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.

б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0

Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:

1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м aимеет более высокий порядок малости чем b.

2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0(A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка.

3) если a(х)/b(х)®1, то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)),при х®х0.

4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х).

Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥и х®¥.
14. Непрерывные ф-ции. Непрерывность.


Опр.f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т.е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)-непрерывность ф-ции в т-ке.  Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство lim(x®x0)x=x0(1‘). Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить через Dу приращение ф-ции, т.е. Dу=f(x0+Dx)-f(x0) (приращение ф-ции в т. х0). “D” — символ приращения.

Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(Dx®0)Dy=0~ Dу®0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции ®0 приращение аргумента.

f(x) непрерывна в т-ке х0 <º>Dy®0 при Dх®0.

Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки.

Опр. Если f(x)имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+))и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е. f(x0+)=lim(x®x0,x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0.

Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(x®x0, x<x0)f(x)=f(x0), то ф-ция наз-ся непр. слева в т. х0.

Ясно что справедлива сл.теорема вытекающая из связи односторонних пределов ф-ция f(x)непр. в т-ке х тогда, когда она непр. в этой т-ке, как справа, так и слева. f(x0-)=f(x0+)=f(x0)

Опр. Ф-ция f(x)непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка при этом, если пр-ток Dсодержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв. одностор. непр. ф-ции в этой т-ке.

Пример Р-рим степенную производст. ф-цию

Q=f(k)=k^1/2 Q-объем выпуска продукции, к – объем капитала. D(f)=R+=>f(0)=0 и очевидно f(0+) $и равно 0 =>что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет меняться и выпуск пр-ции (DQ®0 при Dk®0). Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва



Классификация т-ки разрыва

Непр. ф-ции на пр-ке

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА



15. Классификация т-ки разрыва

Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го, и 2-го рода.

а) если в т-ке х0 $оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но ¹f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.

Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f  так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции fпостроить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.

б)если в т-ке х0 $оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между собой f(x0+)¹f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.

в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $или бесконечен, то х0 наз-сят-кой р-рыва 2-го рода.

При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во внимание сл. замечания:

1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения=> при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти опр-ния.

2) Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях своей обл. опр., то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр.

3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их геометр. св-ва:

график непр. ф-ции на пр-ке Dпредставляет сплошную(без р-рывов) кривую на пл-тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги.

I)Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки.(св-во локал. огранич-ти)

Док-во использует опр-ние на языке eи d. Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое e>0 можно найти d>0 ½f(x)-f(x0)½<eпри ½х-х0½<d~ f(x0)-e<f(x)<f(x0)+eв окрестности в т-ке х0.

II) Св-ва сохранения знака Если f(x)непр. в т-ке х0 и f(x0)¹то $окрестность этой т-ки в которой ф-ция принимает тот же знак что и знак х0.

III)Теорема о промежуточных знач. ф-ции f(x)непр. на отрезке [a,b] иf(a)=A, f(b)=B причем A¹B => CÎ(A,B) $cÎ(a,b):f(c)=C f(c)=f(c‘)=f(c‘‘).

IV)Теорема о прохожд. непр. ф-циичерез 0. Если f(x) непр. на отрезке (a,b)и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то $т-ка сÎ(a,b).

Док-воОдновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=dТ-ма доказана.

Пусть f(d)¹0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1].Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку dили перейдем к новому отрезку [a2,d2]продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2]длинна которых (a-b)/2^n®, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)¹то по св-ву сохр. знаков в некоторой dокрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn]с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков.
Непр. ф-ции на пр-ке

f непр. в т-ке х0 => fнепрер. в т-ке х0 и f(x0)¹0 => f непр. на [a,b] и f(x)*f(b)=0(f(x)*f(b)>0 в окр-ти х0)=> $сÎ(a,b). f(c)=0 сл-но 2 св-ва непр. ф-ции на отрезке обоснованны.

Т-ма1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x)огран. на этом отрезке, т.е. $с>0:½f(x)½£c "xÎ(a,b).

Т-ма 2( о $экстр. непр. ф-ции на отр.). Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е. $т-ка max X*:f(x*)³f(x) "xÎ[a,b], т-ка min X_:f(x_)£f(x) "xÎ[a,b].

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА.Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на  др. пр-ки

Контрпример 1.f(x)=1/2 на (0;1]®f – неогр. на (0;1] хотя и непрерывны.

Контрпример 2.f(x)=x; на (0;1) f(x) – непр. inf(xÎ(0;1))x=0, но т-ки x_Î(0;1):f(x_)=0, т-ки x*, хотя sup(xÎ(0;1))x=1

Док-во т-мы 1.  Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b]f(x)неогр.

Обозн. [a1,b1]и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn]котор. оттяг. к т-ке d (d=cс надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр. на [a,b]и => в т-ке dи по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn]с достаточно большим 0.

Док-во т-мы 2. Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b]по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при хÎ[a,b])=M(<¥). InfE(f)= inff(x)=m(m>-¥). Для опр. докажем [a,b]f(x) достигает макс. на [a,b], т.е. $х*:f(x)=M. Допустим противное, такой т-ки не $и сл-но f(x)<M "xÎ[a,b]рассмотрим вспомогат. ф-цию g(x)=1/(M-f(x) при хÎ[a,b]. g(x) – непр. как отношение 2-х непр. ф-ций и то знач. 0 согластно т-ме 1 g(x)- огран. т.е. $c>0

!0<g(x)£c g³, на [a,b]– 1/(M-f(x))£c => 1£c(M-f(x)) => f(x) £M-1/c "xÎ[a,b]

Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b]а в правой части стоит “C”

Следствие: если f(x) непр. [a,b]тогда она принимает все знач. заключ. Между ее max и min, т.е. E(f)=[m;M], где m и M –max иminf на отрезке.
Дифференцирование ф-ций

Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.

Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Логранджа
Теорема Коши

Правило Лопиталя

16. Дифференцирование ф-ций

Центральная идея диффер. ф-ций явл-ся изучение гладких ф-ций (без изломов и р-рывов кривые) с помощью понятия пр-ной или с помощью линейных ф-ций y=kx+bобладает простейшими наглядн. ф-циями; у=k‘ => k>0 то у возр. при всех х, k<0-то у убыв. при всех х, k=0 – ф-ция постоянна

Определение пр-ной

1) Пусть ф-ция y=f(x) определена по крайней мере в окр-тях т-ки х0, таким приращения Dх эл-нт. Составим соотв. ему приращения ф-ции т-ки х0. Dy=Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)

Образуем разностное отношение Dy/Dx=Df(x0)/Dx (1) (это разностное отношение явл. ф-цией Dх, т.к. х0-фиксирована, причем при Dх®0 мы имеем дело с неопр. 0/0).

Опр. Пр-ной ф-ции y=f(x)наз-ся предел разностного отношения 1 (при условии если он $), когда Dх®0. Производная это предел отношения приращения в данной т-ке к приращению аргумента при усл., что посл-ть ®к 0. Эта производная обозначается через df(x0)/dxили f‘(x0), у‘ (если данная т-ка х0 подразумевается или же речь идет о пр-ной в любой текущей т-ке х. Итак согласно определению f‘(x0)=lim(Dx®0) (f(x0+Dx)-f(x0))/Dx (2)

Если ф-ция f(x)имеет в т-ке х0 пр-ную, т.е. предел в правой части (2) $, то говорят что f(x)дифференц. в т-ке х0.

2) Непрерывность и дифференцируемость

Т-ма. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она непрерывна в этой т-ке, причем имеет место разложения Df  в т-ке х0 Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)= f‘(x0)Dx+a(Dx)Dx (3), где a(Dx)-б/м ф-ия приDх®

Док-во. Заметим, что разложение (3) верно, что из него сразу следует что при Dх®0 Df(x0)®0, => в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная $то из определения (2) и связи предела с б/м =>, что $б/м ф-ция a(Dх) такая что Df(x0)/Dx=f‘(x0)+a(Dx) отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на Dx.

Примеры.

1)Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е. y=c=const "x, тогда y‘=0для "х. В этом случае Dy/Dx числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это отношение равно 0, =>значит эго отн-ние = 0.

2)Пр-ная степенной ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1) "kÎN. Док-м для к=0 исходя из опр-ния пр-ной. Возьмем "т-ку х и дадим приращение Dх составим разностное отношение Dу/Dх=(х+Dх)^2-x^2/Dx=2х+ Dх =>lim(Dx®0)Dy/Dx=2x=y‘. В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к.

3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. В данном случае Dy/Dx=(e^x+Dx-e^x)/Dx=e^x(e^Dx-1)/ Dx. Одеако предел дробного сомножителя = 1.

4)y=f(x)=½x½=(x, x>0;-x,x<0). Ясна что для "х¹0 производная легко нах-ся, причем при y‘=1приx>0 y‘=-1 при x<0. Однако в т-ке x=0пр-ная не $. Причина с геом т-ки зрения явл. невозможность проведения бесисл. мн-во кассат. к гр-ку ф-ции. Все кассат. имеют угол от [-1,+1], а с аналит. т-ки зрения означает что прдел 2 не $при x0=0. При Dx>0 Dy/Dx=Dx/Dx=1=>lim(Dx®0,Dx>0)Dy/Dx=1А левый предел разн-го отн-ния будет –1. Т.к. одностор. пред. Не совпадают пр-ная не $. В данном случае $одностор. пр-ная.

    продолжение
--PAGE_BREAK--