Реферат: Основы математики
Задание № 1
В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд два ряда шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
Всего возможно. (это общее количество возможных элементарных исходов испытания). Интересующая нас событие заключается в том, что данная выборка содержит 2 белых шара, подсчитаем число благоприятствующих этому событию вариантов:
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
По формуле полной вероятности имеем:
/>
/>
/>
Задание № 2
Имеется 2 урны: в первой 3 белых и 4 черных шара, во второй 5 белых и 7 черных. Из наудачу выбранной урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Решение:
Пусть событие А сводится к тому, что шар достали (из одной из урн). Предположим, что:
Н1 = шар достали из урны первой
Н2 = шар достали из урны второй
Вероятность того, что шар достали из первой урны Р (Н1) = 1/3, а вероятность того, что шар достали из второй урны Р (Н1) = 1/5. Согласно условию задачи в случае Н1 шар достанут с вероятностью: Р (А/Н1) = 3/7, а в случае Н2 – с вероятностью Р (А/Н2) = 5/12. По формуле полной вероятности имеем:
Р (А) = Р (Н1) * Р (А/Н1) + Р (Н2) * Р (А/Н2),
/>
Задание № 3
Дана вероятность p появления события А в серии из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
р
n
к
к1
к2
0,3
6
3
1
3
а) равно к раз;
б) не менее к раз;
в) не менее к1раз и не более к2раз.
Решение:
В нашем случае р = 0,3, тогда g= 1 – 0,3 = 0,7, n= 6 и к = 3, отсюда вероятность появления события в серии из 6 независимых испытаний:
а) n= 6, к = 3, р = 0,3, тогда g= 0,7. По формуле Бернуле имеем:
/>=
/>
б) вероятность появления события а не менее 3 раз из независимых испытаний предположим, что событие должно повторяться более 3 раз: Рn(к1;n) = Ф (в) – Ф (а),
/>/>
/>
/>
Р6 (1; 6) = Ф (3,74) – (+Ф (-0,71)) = 0,6233 + 0,2528 = 0,8761
Так как рассматриваемое событие появляется не менее 3 раз, имеем:
1 – Рn(К1; n) = = 1 — 0,8761 = 0,1449
в) вероятность того, что событие появится в серии из 6 независимых испытаний не менее 1 раза и не более 3 раз можно найти по Формуле Лапласа:
Рn(к1; к2) = Ф (в) – Ф (а),
/>
/>
/>
Р6 (1; 3) = Ф (1,07) – (+Ф (-0,71)) = 0,3103 + 0,2528 = 0,5631
Задание № 4
х
-2
-1
3
р
0,2
0,5
0,1
0,2
Таблицей задан закон распределения дискретной случайной, величины Х. Найти математическое ожидание М (х), D (х) и среднее квадратическое отклонение σ (х). Закон распределения.
Решение:
М (х) = -2 * 0.2 + (-1) * 0,5 + 0 * 0,1 + 3 * 0,2 = -0,4 – 0,5 + 0 + 0,6 = 0,5
D (х) = М (х2) – (М (х))2, найдем х2;
х
-2
-1
3
р
0,2
0,5
0,1
0,2
М (х2) = 4 * 0,2 + 1 * 0,5 + 0 * 0,1 + 9 * 0,2 = 0,8 + 0,5 + 0 + 1,8 = 3,1, тогда D(х) = = 3,1 + (0,5)2= 3,1 – 0,25 = 2,85.
Среднее квадратическое отклонение:
/>
Задание № 5
Дана интегральная функция распределения случайная величина Х. Найти дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание М (х), дисперсия D(х) и среднее квадратическое отклонение σ(х).
/>
Решение:
/>
/>
/>
/>
/>
Среднее квадратическое отклонение равно:
/>
Задание № 6
а
σ
α
β
Δ
11
3
14
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--58,5
58,8
58,9
59,0
59,5
60,3
60,3
60,5
60,5
61,5
62,5
62,6
62,8
63,0
63,9
63,9
64,3
64,3
65,2
65,3
65,3
65,5
65,9
66,0
66,2
66,4
66,5
66,5
66,7
67,3
67,8
68,2
68,5
69,5
70,5
70,5
70,9
71,5
73,1
73,7
74,0
74,0
74,7
74,8
75,1
75,8
79,2
79,3
79,3
79,5
81,3
81,3
83,5
85,1
85,5
85,6
85,7
86,9
87,7
91,5
92,8
93,0
93,2
94,8
95,0
99,9
3) Определим размах R: R= хmax— хmin= 99,9 — 26,7 = 73,2
/>
Нижняя граница х= хmin– L/ 2 = 26,7 – 10 / 2 = 21,7;
Верхняя граница хi= хmax+ L/ 2 = 99.9 + 10 / 2 = 104,9,
следовательно, у нас имеются интервалы: [21,7; 31,7); [31,7; 41,7); [41,7; 51,7); [51,7; 61,7); [61,7; 71,7); [71,7; 81,7); [81,7; 91,7); [91,7; 104,7].
5) wi = ni / n
х 1-i x i
[21,7;
31,7)
[31,7;
41,7)
[41,7;
51,7)
[51,7;
61,7)
[61,7;
71,7)
[71,7;
81,7)
[81,7;
91,7)
[91,7;
104,7]
ni
1
9
14
19
29
14
8
6
wi
0,01
0,09
0,14
0,19
0,29
0,14
0,08
0,06
/>
Рис. 1. Гистограмма относительных частот
Перейдем от составленного интервального распределения к точечному выборочному распределению, взяв за значение признака середины частичных интервалов. Построим полигон относительных частот и найдем эмпирическую функцию распределения, построим ее график:
x i
26,7
36,7
46,7
56,7
66,7
76,7
86,7
98,3
ni
1
9
14
19
29
14
8
6
wi
0,01
0,09
0,14
0,19
0,29
0,14
0,08
0,06
/>
Рис. 2. График интервального распределения.
/>
/>
/>
Рис. 3. График эмпирической функции распределения
= />∑ xiwi= ∑ xiwi
∑ xiwi= 26,7 * 0,01 + 36,7 * 0,09 + 46,7 * 0,14 + 56,7 * 0,19 + 66,7 * 0,29 + 76,7 * 0,14 + 86,7 *0,08 + 98,3 * 0,06 =26,71 + 3, 303 + 6,538 + 10,773 +
+ 19,343 + 10,738 + 6,936 + 5,898 = 90,2
/>= ∑/>= = (26,7 – 90,2)2* 0,01 +(36,7 – 90,2)2*0,09 + (46,7 – 90,2)2* 0,14 + (56,7 – 90,2)2* 0,19 + (66,7 – 90,2)2* 0,29 + (76,7 – 90,2)2*0,14 + (86,7 – 90,2)2* 0,08 + (98,3 – 90,2)2* 0,06 = 40,32 + 257,6 + 264,92 +213,23 + 160,15 + 25,52 + 0,98 + 3,94 = 966,66
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
/>
Задание № 8
Даны среднее квадратическое отклонение σ, выборочное среднее />и объем выборки nнормального распределенного признака генеральной совокупности. Найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней />с заданной надежностью γ.
σ
/>
n
γ
7
112,4
26
0,95
Решение:
Доверительный интервал, в котором с вероятностью γбудет находиться средний интервал совокупности) для нормального распределения случайной величины с известным квадратичным отклонением σ, выборочной средней />и объемом выборки nравен.
/>
t– решение уравнения 2Ф (t) = γ, Ф (t) – функция Лапласа. В нашем случае Ф (t) = = 0,475, следовательно, значение Ф (t) соответствует t= 2,13, тогда доверительный интервал будет равен:
/>
/>
/>.
В этом интервале с вероятностью γ= 0,95, будет находиться средняя генеральной совокупности.
Задание № 9
Даны исправленное среднее квадратическое отклонение S, выборочное среднее />и объем выборки nнормально распределенного признака генеральной совокупности. Пользуясь распределением Стьюдента, найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней />, с заданной надежностью γ.
S
/>
n
γ
13
119.5
18
0,99
Решение:
Доверительный интервал, для нормального распределения случайной величины с известным квадратичным отклонением σ, но с известным исправленным средним квадратичным отклонением S, выборочной средней />и объемом выборки nи доверительной вероятностью γ, имеет вид.
/>
где tγ= t(γ; n) – коэффициенты Стьюдента, значения n= 18 и γ= 0,99, tγ= 2,39, то есть t(0,99; 18) = 2,39.
Тогда доверительный интервал:
/>
/>
/>
В интервале (112,16; 126,84) с вероятностью γ= 0,99 будет находиться средняя генеральной совокупности.
Задание № 10
При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты.
эмпирические частоты, ni
3
13
17
45
13
14
5
теоретические частоты, n’i
5
15
14
50
11
12
3
Решение:
В соответствии с критерием согласия х 2 (Пирсона) определим наблюдаемое значение критерия:
/>
/>
/>
/>
Таким образом, Хо2 = 2,91, по таблице критических точек распределения при уровне значимости d = 0,05 и числе степени свободы к = m – 3 = 7 – 3 = 4, где m – число различных вариантов выборки, находим: Хкр2.
Хкр2 = х2 (0,05; 4) = 8,0
Так как Хо2 <Хкр2, то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.