Реферат: Доказательство утверждения частным случаем которого является великая теорема Ферма

Работа Скворцова Александра Петровича,

учителя, ветерана педагогического труда

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Содержание

Общее утверждение

Утверждение 1

Доказательство Части первой «Утверждения 1»

Доказательство Части второй «Утверждения 1»

Пример

Примечание

«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)

Утверждение 2

Доказательство Части первой «Утверждения 2»

Доказательство Части второй «Утверждения 2»

Примечание

Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма

Утверждение 3

Доказательство Части первой «Утверждения 3»

Доказательство Части второй «Утверждения 3»

Примечание

Общий вывод

Литература

Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения />, частными случаями которых являются уравнения Ферма />, где а – чётное число, />и/>— целые числа, />, />,/> — =натуральные числа.

Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения /> и его общего решения, чётность которого совпадает с числами, исследуемыми в моей работе.

Этот метод позволяет:

Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для />, т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено).

Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения />, где/>— натуральное число, а – чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).

Судить о возможности существования частного решения уравнения />при/>(илиb = ±1, или c = ±1), которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие:

а) b = ±1; c = ±3; a = 2.

б) b = />3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33).

4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения />, гдеа – чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство этого в данной работе приведено).

5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма />. Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма />, где/> — натуральное число. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

**********

Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.

И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения />), подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения».

≥

ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма

1. Уравнение /> (/>,/> — натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, /> и /> таких, чтобы /> — было четным, /> и /> — нечетными целыми числами.

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел />, /> и /> может быть либо />, либо />.

***********

Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть2 случая

для показателя q:

1) /> при /> — натуральном;

2) /> при /> — натуральном, а для этого достаточно рассмотреть случай />.

Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для простого показателя />

Часть 1

Уравнение />(/>,/>— натуральные числа, где />при />— натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо />, либо />.

**********

Последнее утверждение (либо />, либо />) в дальнейшем будем называть «исключением» из общего правила.

*********

Часть первая(Утверждения 1)

--PAGE_BREAK--

Доказательство

Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для />— простого.

Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение /> разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, /> и />. И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа />, />и /> не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо.

Из уравнения (1) следует:

/>(2),

где /> — четное целое число, т.к. />и /> — нечетные;

/>≠ 0, т.к. /> и /> — взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;

/>— нечетное целое число при />и /> — нечетных,/>— простом.

********

Примечание

То, что /> — нечетное число при />и /> — нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона />, />, />, … и тогда получим для />:

/>— сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для />:

/>— сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени /> — простой можно доказать, что при />и /> нечетных

(3) /> — сумма нечетных />слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. — №10. – С. 23).

*******

Пусть /> (4),

где />— нечетное число (на основании (3)).

Тогда уравнение (2) примет вид:

/>(5),

где /> — четное число, которое можно представить в виде

/>(6),

где /> — целое число (при />= 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),

/>(4) – нечетное число.

Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

/>, т.е. />(7), где /> — целое число (/>), /> — натуральное число.

Сумму же нечетных чисел /> и /> обозначим через />, т.е.

/>(8),

где /> — целое число (/>, т.к. /> и /> — взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим />и />:

/>=> /> => />

Откуда (11) /> — нечетное число при /> — нечетном и /> — четном, т.к. />, причем (12) /> (явно) при />.

********

Вывод:

На основании (8) и (11) имеем: (13) /> — нечетное число;

из соотношений (7) и (12) имеем: (14) /> (явно) при />.

Этодополнительная информацияо свойствах предполагаемых взаимно простых числах />, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и />. Учитывая соотношения (9) и (10), получим:

/>/>/>

продолжение
--PAGE_BREAK--

Таким образом, получили следующее уравнение:

/>(15),

где />— целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа/> следующим образом:

(16) /> — нечетное число при /> — нечетном;

(17) /> — нечетное число при /> — нечетном;

(18) /> — нечетное число при />— нечетном;

(19) /> — четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t=0 иr=0 (при t=0 /> и /> — четные из (16) и (17), при r=0 />= 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).

*******

Примечание.

Общий вид уравнения (15) следующий:

(20) />,

целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел) являются:

(21) />;

(22) />;

(23) />;

(24) />, где /> — целые числа.

То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество.

*******

Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.

/>= С

/>= В

/>= N

/>= К,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят«плюсы» и выполняется Условие 1.

Условие1 (начало).

с = С

b = B

n = N

Случай «+».

(16+) />= С — нечетное число при /> — нечетном;

(17+) />= В — нечетное число при /> — нечетном;

(18+) />=N — нечетное число при />— нечетном;

(19+) /> = К — четное число.

Казалось бы, все в порядке: четность /> в (16+), …, (19+) совпадает при />-нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа />.

Попробуем найти сумму />, воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):

/>,

т.е. /> пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5), />!

Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+» />является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18+)) при />-четном.

Однако, если />— четное, то />(в (16+) и (17+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа />— четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречиюв Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.

Вывод.Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.

*******

Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15) />есть еще решения. Нетрудно догадаться, что решениями уравнения (15) являются следующие выражения />n, />:

Случаи «+» и «-».

(16±) />;

(17±) />;

(18±) />;

(19±) />.

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)

******

Случай «-».

(16-) />;

продолжение
--PAGE_BREAK--

(17-) />;

(18-) />;

(19-) />.

Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы»(Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».

И в этом случае сумма /> пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), />!

Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-» />является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при />-четном.

Однако, если />— четное, то />(в (16-)и (17-)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа />— четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию(в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.

*******

Вывод.Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.

*******

Примечание.

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), тосиbмогут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями (CиВ). Это свойство назовем «новым свойством />». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

с =B

b =С

n = N

«Новые» случаи «+» и «-».

(16´±) c />=±В

(17´±) b />=±С

(18±) />=±N

(19±) />=±К

И в этом случае сумма /> пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), />!

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих«Новых» случаях «+» и «-» />является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при />-четном.

Однако, если />— четное, то />(в ((16´±)и ((17´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа />— четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию(в «Новых» случаях«+» и«-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.

*******

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.

*******

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев (пояснение ниже), рассматривающих «новые свойства />», когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

Уравнение (15) симметрично и для nи для /> (для уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (NиК). Это свойство назовем «похожим свойством nи />». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых nи/> меняютсясвоими выражениями (NиК )).

Условие 3

c = C

b = B

n = К

/>N

« Похожие» случаи «+» и «-».

(16±) с =± С = ± (/>)

(17±) b= ± В =± (/>)

(18´±) n= ± К = ± (/>)

(19´±) />=± N= ± (/>)

Согласно одному из Выводов (формула (14)) /> (явно) при />. Но это возможно, глядя на (19´±) />=±N= ±(/>) только при t — четном, при которых в (16±) и (17±) cиb– четные,чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию(в «Похожих» случаях«+» и«-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, гдеопять же />=± N= ± ( />) и передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства />» (пояснение следует)), мы придем к прежнему результату: cиb– четные,чего не должно быть.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Это значит, что мы опять придем к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.

********

Пояснение(почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые свойства />»).

Запишем Условия (1, …, 3).

Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3

с = С с =B c = C c =B

b = B b =С b = B=> b = C

n = N n = N n = К n = К

/>/>/>/>

Если теперь поменять обозначения между собойвУсловии 2+3 снаb, аbнаc

в верхних двух строчках и n на />, а/>на nвнижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1»нами будет исследовано до конца:

Условие 2+3 Условие 1

c =Bb = B с = С

b = C=> с = С => b = B

n = К />n = N

/>n = N/>

Вывод.

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3,

Уравнение (1) />(/>,/>— натуральные числа, где />при />— натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.

2. 1-я часть «Утверждения 1»(для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.

*********

Часть вторая(Утверждения1)

Возможны случаи: либо />, либо />.

(Об «Исключении» из общего правила)

Доказательство

Условие 1(продолжение).

Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, Nи К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки.

Пояснение.

Случаев всего 14, когда перед С, В, Nи К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m = 4 элементов (c, b, nи/>) по n = 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В, Nи К) в каждом (по n= 0; 4 элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы уже рассмотрели — это 2 случая: Случаи «-» и«+» соответственно):

/>/>/>/>

********

Случай 1.

/>(16)

/>(17′)

/>(18)

/>(19)

Тогдасумма />имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность />:

/>/>/>=> />.

Выразим из (25) и (26) />:

/>=> />

/>=> />.

По условию />должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.

Т.о., /> имеют вид:

/>, />, а их сумма />.

Т.к. из (8) />, то /> => />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Из (19) с учетом (29) выразим />:

/>, т.е. />.

Т.о., />, />, т.е.

/>,

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму />:

т.к. />, т.е. />.

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для b:

/>, т.к. из (29) вытекает />.

Итак, />.

Учитывая (35), получим /> => />.

Теперь, с учетом (38), можно получить окончательное выражение для с (из (34)):

/>, т.е. />.

Таким образом, уравнение />(15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:

/>, />,

где />— взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.

/>, />,

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 3

/>(16)

/>(17′)

/>(18)

/>(19′).

Тогдасумма />имеет вид:

Учитывая (14) и (19′), можно получить разность />:

/>/>-/> => /> (26′).

Выразим из (25) и (26′) />:

/>=> />

/>=> />.

По условию />должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель />.

Т.о., />имеют вид:

/>(30′), />(31′), а их сумма />.

Т.к. из (8) />, то /> => />.

Из (19´) с учетом (29) выразим />:

/>, т.е. />(33´).

Т.о., />, />,

где />,

т.е. /> (34´), />(35´), выражения которых, с учетом (33´), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму />:

т.к. />, т.е. />.

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для b:

/>, т.к. из (29) вытекает />.

Итак, />.

Учитывая (35´), получим /> => />(/>).

продолжение
--PAGE_BREAK--

Теперь, с учетом (/>), можно получить окончательное выражение для с (из (34´)):

/>, т.е. />(39´´).

Таким образом, уравнение />(15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеет следующие решения:

/>(39´´),/>(38´´), где />— взаимно простые нечетные

/>, />(33´), целые числа.

********

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´), (37), (38´´) и (33´),т.е.

/>(39´´´),/>(38´´´), />(37´), />(33),

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).

Ранее мы обозначили правые части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е

/>= С

/>= В

/>= N

/>= К

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (16) />2.(16´) />(39´)

(17´) /> (37) (17) />(37´)

(18) /> (18´) />(38´)

(19)/>(33) (19´) />(33´)

3. (16) />(39´´) 4. (16´) />(39´´´)

(17´) /> (37) (17) />(37´)

(18) />(38´´) (18´) />(38´´´)

(19´) />(33´) (19)/>(33)

*********

Рассмотрим еще 10 случаев.

5. с = С 6. с = — С 7. c = C 8. c = — C

b = — B b = B b = — Bb = B

n= — N n = N n = — Nn = N

/>/>/>/>

9. с = С. 10. с = -С 11. с = С 12. с = -С

b = B b = -B b = B b = -B

n =- N n = N n = N n =- N

/>/>/>/>

13. с = С 14. с = -С

b = B b =- B

n =- N n = N

/>/>

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5

/>(16)

/>(17´)

/>(18´)

/>(19).

Тогдасумма />имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность />:

/>/>/>=> />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Выразим из (25) и (26) />:

/>=> />

/>=> />.

По условию /> должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.

Т.о., />имеют вид:

/>, />, а их сумма />.

Т.к. из (8) />, то /> => />.

Из (19) с учетом (29) выразим />:

/>, т.е. />.

Т.о., />, />, т.е.

/>,

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность />:

т.к. />, т.е. />(36´).

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:

/>где />.

Т.к. b + c =2n, то b-2n = b — (b + c) = — c = -1 => c= 1 (40).

Учитывая (34), получим /> => />(38´).

Теперь, с учетом (38´), можно получить окончательное выражение для b(из (35)):

/>, т.е./> (41).

Таким образом, уравнение />(15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19), в конечном счете, имеет следующие решения:

/>(41), />, где /> — взаимно простые нечетные целые />(40),/>(38´), числа

*******

Случай 6

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями(16), (17′), (18´) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38´´) и (33), т.е.

/>(40´),/> (38),

/>(41´), />(33´), где />— взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай7

/>(16)

/>(17´)

/>(18´)

/>(19´)

Тогда сумма />имеет вид:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность />:

/>/>/>=> />(26´).

Выразим из (25) и (26´) />:

/>=> />

/>=> />.

По условию />должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.

Т.о., />имеют вид:

/>(30´), />(31´), а их сумма />.

Т.к. из (8) />, то /> => />.

Из (19´), с учетом (29), выразим />:

/>, т.е. />(33´).

продолжение
--PAGE_BREAK--

Т.о., />, />, т.е.

/>(34´),

/>(35´),

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность />:

т.к. />, т.е. />(36´).

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:

/>где />.

Т.к. b+c=2n, то b-2n = b-(b+c) = -c = -1 => c= 1 (40).

Учитывая (34´), получим /> => />(38´´´).

Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для b(из (35´)):

/>, т.е. /> (41´´).

Таким образом, уравнение />(15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие решения:

/>(40),/>(38´´´),

/>(41´´), />(33´), где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е.

/>(40´),/>(38´´),

/>/>, /> (33), где /> — взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15)/>, где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:

а) />; />; />; />;

б) />; />; />; />.

А это в свою очередь означает, что и уравнение />при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметьцелые решения либо при />, либо при />.

Случай 9

/>(16)

/>(17)

/>(18´)

/>(19)

Из (16) и (17) имеем:

/>/>

Учитывая (14) и (19), можно получить разность /> другим способом:

/>/>/>=> />.

Следовательно,

/>=/>=> 2t= 4r(/> ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= 2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.

*********

Случай 10

/>(16´)

/>(17´)

/>(18)

/>(19´),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 9.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность /> другим способом:

/>/>— />=> />.

Следовательно, -/>=-/>=> 2t= 4r(/> ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= 2r (32´) => в (16´) и (17´) cиb– четные,чего не должно быть.

********

Случай 11

/>(16)

/>(17)

/>(18)

/>(19´)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность /> другим способом:

/>/>— />=> />.

Следовательно, />=-/>=> 2t= — 4r(/> ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= -2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.

Мы пришли к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых /> решений.

Случай 12

/>(16´)

/>(17´)

/>(18´)

/>(19),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 11 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 11.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность /> другим способом:

/>/>/>=> />.

Следовательно, -/>=/>=> 2t= — 4r(/> ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= -2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.

*******

Случай 13

/>(16)

/>(17)

/>(18´)

/>(19´)

Из (16) и (17) имеем:

/>/>

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность /> другим способом:

/>/>— />=> />.

Следовательно, />=-/>=> 2t= — 4r(/> ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= -2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.

********

Случай 14

/>(16´)

/>(17´)

/>(18)

/>(19),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 13 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 13.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность /> другим способом:

/>/>/>=> />.

Следовательно, -/>=/>=> 2t= — 4r(/> ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b) => t= -2r (32´) => в (16) и (17) cиb– четные,чего не должно быть.

***********

Вывод.

1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено.

**********

Условие 2(продолжение).

Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b, поэтомуси bмогут меняться своими выражениями (CиВ). Это свойство нами было названо «новым свойством />».

В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрелидва«Новых» случая «+» и «-».

Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства />», когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы).

********

«Новый» случай 15

(Отличающийся «новым свойством />» от случая 1: с= С, b= -В, n= N, />K)

с= — В (16-B),

b= С (17+C),

n= N(18),

/>K(19) — это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8, т.е.

/>(40´),/>(38´´),

/>/>, /> (33),

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

Доказательство

Сумма />имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность />:

/>/>/>=> />.

Выразим из (25) и (26) />:

/>=> />

/>=> />.

По условию /> должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.

Т.о., />имеют вид:

/>, />, а их сумма />.

Т.к. из (8) />, то /> => />.

Из (19) с учетом (29) выразим />:

/>, т.е. />.

Т.о., />, />, т.е.

/>, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь найдем сумму с/>:

т.к. />, т.е. />.

Теперь, учитывая (32), получим значение для с:

/>,

т.к. из (29) вытекает />.

Итак, />.

Учитывая (34), получим /> => />.

Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):

/>, т.е. />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Таким образом, уравнение />(15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):

/>/>

/>/>, где />— взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.

*********

Примечание

То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).

Случай 15. Случай 8

с= — В (16-B), с= — С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n= N(18),n= N(18),

/>K(19), />K(19).

У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.

Соображение

Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с иb.

«Общие свойства длясиb»:

сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b=2К/>

Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:

с(-b)= СВ, с+(– b)= -С -В= 2К.

Отсюда получаем квадратное уравнение

/>— 2К/>+ С В =0 => X1,2 = К/>/>,

где, например, Х1 = -b, а Х2 = с, то есть

Х1= -b= К +/>=/>+/>= />+/>= />+ />= -В =>b= В,

где на основании />/> и Х1 = — b= -/>

Х2= с= К-/>= />-/>= />-/>= />— />= -С => с= — С,

где на основании (40´) />и Х2 = />Таким образом, мы получили случай 8:

Случай 8

с= — С (16´),

b= В (17),

n= N(18),

/>K(19),

где

/>/>

/>/>, а />— взаимно простые нечетные целые числа.

Теперь обозначим Х1=с, а Х2 = -b. Тогда получим:

Х1=с= К+/>=/>+/>= />+/>= />+ />= -В =>с = -В,

где на основании (40´) />и Х1 = с = -1.

Х2 = -b= К-/>= />-/>= />-/>= />— />= -С => — b= -С => b= С,

где на основании />/> и Х2= -/>

Таким образом, мы получили случай 15:

Случай 15

продолжение
--PAGE_BREAK--

с= -В (16-B),

b= С (17+C),

n= N(18),

/>K(19),

где

/>/>

/>/>, а />— взаимно простые нечетные целые числа.

Таким образом, одно и то же квадратное уравнение />— 2К/>+ С В =0, дает одинаковые решения X1,2 = К/>/>(X1(2) =-/>Х2(1)= -1)идля Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:

/>/>

/>/>, а />— взаимно простые нечетные целые числа.

В этом мы непосредственно и убедились.

Следовательно, «Общие свойства для сиb» (сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b= 2К) действительно определяют Случаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у сиb и отличающиеся друг от друга у нихвыражениями (Си В), а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений. Этой похожестью сиb, их отличием друг от друга и вышерассмотренными «Общими свойствами для сиb» мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.

*********

Вывод (критерий одинаковости окончательных решений).

Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для сиb» (сb= const´/>, с – b= const´´, с – b= const´´´), то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид.

*********

«Новый» случай 16

(Отличающийся «новым свойством />» от случая 2:с= — С, b= В, n= -N, />-K)

Случай 16. Случай 7.

с= В с= С

b= -Сb= -В

n= -Nn= -N

/>-K/>-K

Окончательные решения в случае 7:

/>(40),/>(38´´´),

/>(41´), />(33´),

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= С+В = const´´,с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

/>(40),/>(38´´´),

/>(41´), />(33´),

где /> — взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.

********

«Новый» случай 17

(Отличающийся « новым свойством />» от случая 3:с= С, b= -В, n= N, />-K)

Случай 17. Случай 6.

с= — В (16-B), с= — С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n= N(18),n= N(18),

/>-K(19´), />-K(19´).

Окончательные решения в случае 6:

/>(40´),/> (38),

/>(41´), />(33´),

продолжение
--PAGE_BREAK--

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= -С –В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

/>(40´),/> (38),

/>(41´), />(33´),

где />— взаимно простые целые нечетные числа.

*********

«Новый» случай 18

(Отличающийся «новым свойством />» от случая 4:с= — С, b= В, n=- N, />K)

Случай 18. Случай 5.

с= В (16+B), с= С (16),

b=- С (17-C), b= -В (17´),

n=- N(18´),n= -N(18´),

/>K(19), />K(19).

Окончательные решения в случае 5:

/>(40),/>(38´),

/>(41), />,

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= С +В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

/>(41), />,

где /> — взаимно простые нечетные целые />(40),/>(38´), числа.

********

«Новый» случай 19

(Отличающийся «новым свойством />» от случая 5:с= С, b=- В, n=- N, />K)

Случай 19. Случай 4.

с= — В (16-B), с= — С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n=- N(18´),n= -N(18´),

/>K(19), />K(19)

Окончательные решения в случае 4:

/>(39´´´),/>(38´´´),

/>(37´), />(33),

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= -С — В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

/>(39´´´),/>(38´´´),

/>(37´), />(33),

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

********

«Новый» случай 20

(Отличающийся «новым свойством />» от случая 6:с= — С, b= В, n= N, />-K)

Случай 20. Случай 3.

с= В (16+B), с= С (16),

b= -С (17-C), b= -В (17´),

продолжение
--PAGE_BREAK--

n= N(18),n= N(18),

/>-K(19´), />-K(19´).

Окончательные решения в случае 3:

/>(39´´),/>(38´´),

/>, />(33´),

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

/>(39´´),/>(38´´), где />— взаимно простые нечетные

/>, />(33´), целые числа.

********

«Новый» случай 21

(Отличающийся «новым свойством />» от случая 7:с= С, b= -В, n= -N, />-K)

Случай 21. Случай 2.

с= -В (16-B), с= — С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n=- N(18´),n= -N(18´),

/>-K(19´), />-K(19´).

Окончательные решения в случае 2:

/>, />

где /> — взаимно простые нечетные целые числа

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= — С — В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 21 и 2 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

/>, />,

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

*********

«Новый» случай 22

(Отличающийся «новым свойством />» от случая 8:с= -С, b= В, n= N, />K)

Случай 22. Случай 1.

с= В (16+B), с= С (16),

b= -С (17-C), b=- В (17´),

n= N(18),n= N(18),

/>K(19), />K(19)

Окончательные решения в случае 1:

/>, />,

/>, />

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= — СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 22 и 1 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

/>, />,

где />— взаимно простые нечетные целые числа.

продолжение
--PAGE_BREAK--

**********

Вывод

Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

*********

«Новый» случай 23

(Отличающийся «новым свойством />» от случая 9:с= С, b= В, n= -N, />K)

Случай 23. Случай 12.

с= В (16+B), с= — С (16´),

b= С (17+C), b= — В (17´),

n= — N(18´),n= — N(18´),

/>K(19), />K(19)

Окончательный вывод в случае 12: cиb– четные,чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.

********

«Новый» случай 24

(Отличающийся «новым свойством />» от случая 10:с= -С, b= -В, n= N, />-K)

Случай 24. Случай 11.

с= -В (16-B), с= С (16),

b=-С (17-C), b= В (17),

n= N(18),n= N(18),

/>-K(19´), />-K(19´).

Окончательный вывод в случае 11: cиb– четные,чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= СВ = const´, с – b= С — В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.

*******

«Новый» случай 25

(Отличающийся « новым свойством />» от случая 11:с= С, b= В, n= N, />-K)

Случай 25. Случай 10.

с= В (16+B), с= — С (16´),

b= С (17+C), b= — В (17´),

n= N(18),n= N(18),

/>-K(19´), />-K(19´).

Окончательный вывод в случае 10: cиb– четные,чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb(сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.

*********

«Новый» случай 26

(Отличающийся «новым свойством />» от случая 12:с= — С, b=- В, n= -N,/>K)

Случай 26. Случай 9.

с= — В (16-B), с= С (16),

продолжение
--PAGE_BREAK--

b= — С (17-C), b= В (17),

n= — N(18´),n= — N(18´),

/>K(19), />K(19).

Окончательный вывод в случае 9:cиb– четные,чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb» (сb= СВ = const´, с – b= С — В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 26 и 9 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.

********

«Новый» случай 27

(Отличающийся «новым свойством />» от случая 13:с= С, b= В, n= -N,/>-K)

Случай 27. Случай «-».

с= В (16+B), с= — С (16´),

b= С (17+C), b= — В (17´),

n= — N(18´),n= — N(18´),

/>-K(19´), />-K(19´).

Окончательный вывод в случае «-»: cиb– четные,чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb» ( сb= СВ = const´, с – b= — С + В = const´´, с – b= — 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 27 и «-» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.

********

«Новый» случай 28

(Отличающийся «новым свойством />» от случая 14:с= -С, b= -В, n= N,/>K)

Случай 28. Случай «+».

с= — В (16-B), с= С (16),

b= — С (17-C), b= В (17),

n= N(18),n= N(18),

/>K(19), />K(19).

Окончательный вывод в случае «+»: cиb– четные,чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с иb(сb= СВ = const´, с – b= С — В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 28 и «+» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. cиb– четные,чего не должно быть.

********

Вывод

1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условия 1 и 2 ( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены.

*********

Итак, уравнение (15) />, если cи b– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение(после анализа всехполученных решений) только в следующих целых числах:

а) />; />; />; />;

б) />; />; />; />.

А это в свою очередь означает, что и рассматриваемоеуравнение />(/>,/>— натуральные числа, где />при />— натуральном) может иметь целые решения либо при />, либо при />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

************

Вывод:2-я часть «Утверждения 1» доказана.

В результате исследования уравнения (1) мы имеем:

Вывод1. Уравнение (1) />(/>,/>— натуральные числа, />при />— натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.

Возможны случаи: либо />, либо />.

*******

В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример.

Пример

Нетрудно доказать вышерассмотренным методом, что уравнение /> (42), где /> — натуральное число, a – четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b, c.(Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к. />=/>= с + b— число четное при q= 2 и bи cнечетных целых числах).

При />«Исключением» являются />, или />.

(При />«Исключением» являются, например, />или />,при которых а = 2 ивыполняется тождество/>(этот случай рассматривать не будем).

Действительно, решениями уравнения, например, a3 = c2 — b2 (43)являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:

a = α2 – δ2 — четное число при α и δ – нечетных или четных.

c = α3 + 3αδ2 — четное число при α и δ – нечетных или четных.

b = 3α2δ + δ3 — четное число при α и δ – нечетных или четных.

(Такой же результат получается(a, c, b– четные числа) для любого уравнения

/>(42), где/>— натуральное.)

Однако вернемся к уравнению (43) a3 = c2 — b2.

«Исключением» являются следующие его решения:

1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и />= ±3);

2. b = />3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и />= />3),

при которых получаем соответственно тождества:

1. 23 ≡ (±3)2 – (±1)2

2. (-2)3 ≡ (±1)2 – (±3)2

**********

Примечание.

Великая теорема Ферма для /> доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».

Для степени p = 2 в уравнении />такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.

Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателя/> простом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при /> простом. Имея дело с уравнением (44) />, где/> простое, a, b, c — целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.

«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам | a | > p, | b | > p, | c | > p (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. — С. 13).

Вывод: Великая теорема Ферма для степени/>простом доказана.

********

Утверждение 2,

частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q= 4

Часть 1

Уравнение />(/>— четное,q = 4 = 2m, гдеm= 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.

Часть 2

Случаи (либо b= ± 1, либо c= ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

**********

Часть первая(Утверждения 2)

Уравнение />(/>— четное,q = 4 = 2m, гдеm= 2)не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Доказательство

Итак, имеем уравнение />(1), где />— четное, числаa, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует: />=> />(2).

Пусть /> (3), где /> и β — целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β(4), где β– нечетное число при cи b— нечетных.

*********

Примечание

То, что βв уравнении (4) нечетное число, хорошоизвестный факт в теории чисел, который легко доказывается.

Представим нечетные числа b иc в виде:

b= 2n1+ 1; c= 2n2+ 1,

где n1и n2 — произвольные целые числа. Тогда

b2+ c2 = (2n1+ 1)2+ (2n2+ 1)2= 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать.

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):

/>= />, где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c≠, b≠ 0, т.е.

/>(5),

где k– целое число, отличное от нуля, т.к. cи bвзаимно простые целые числа (при />– целое числоk— четное число, т.к. />пропорционально 4 (явно) при b и с – нечетных числа => 2l-2k– четное число при/>).

Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:

/>=> /> => />

Откуда β= b2 + 2l-2k(8) — нечетное число (из (4)) при b– нечетном и 2l-2k— четном.

*********

Вывод:

Из соотношения (4) имеем:

(9) />— нечетное число.

Из соотношения (5) имеем:

(10) />пропорционально 2 (явно), т.е. />— четное число.

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и />. Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

/>,

/>/>т.е. /> (11),

где /> — целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для />), могут быть выражены через другие целые числа /> следующим образом:

(12) /> — нечетное число при />— нечетном;

(13) /> — нечетное число при /> — нечетном;

(14) /> — нечетное число при />— нечетном;

(15) />— четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t=0 иr=0 (при t=0 /> и /> — четные из (12) и (13), при r=0 />= 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). .

*******

Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.

/>= С

/>= В

/>= N

/>= К,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят«плюсы» и выполняетсяУсловие1.

********

Условие1 (начало)

с2 = С

b2 = B

/>= N

Случай «+».

продолжение
--PAGE_BREAK--

(12+) /> — нечетное число при />— нечетном;

(13+) /> — нечетное число при /> — нечетном;

(14+) /> — нечетное число при />— нечетном;

(15+) />— четное число.

Казалось бы, все нормально: четность чисел />в (12+),…, (15+) совпадают при />— нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа />.

Попробуем найти сумму />, воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

/>,

т.е. />=> (/>) пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

/>!

Т.е., вопреки «Выводу», />является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при />— четном.

Однако, если /> — четное, то /> (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) /> и (1) /> числа /> — четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

********

Вывод.Следовательно, это уравнение (1) />в данном Условии 1 (начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах, где />— четное натуральное число.

********

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Выводтот же. (СмотриСлучай «-» на стр.8.)

********

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 2.

********

Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения (11) они равнозначны), тос2 и b2могут меняться своими выражениями (CиВ). Это свойство назовем «новым свойством />». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять перед теми же В, С, N и К стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

с2 = В

b2 = С

/>= N

«Новые» случаи «+» и «-».

(12´±) c2/>=±В

(13´±) b2/>=±С

(14±) />=±N

(15±) />=±К.

И в этом случае сумма /> пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), />!

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих«Новых» случаях «+» и «-» />является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при />-четном.

Однако, если />— четное, то />(в ((12´±)и ((13´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа />— четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию(в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.

*******

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства />», когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы).

Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 2.

********

Уравнение (11/>) симметрично и для />и для /> (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (NиК). Это свойство назовем «похожим свойством />и />». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых />и /> меняютсясвоими выражениями (NиК)).

Условие 3.

с2 = С

продолжение
--PAGE_BREAK--

b2 = B

/>= К

« Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c2= ± (/>) = ± С

(13±) b2 = ± (/>) = ± В

(14´±) />= /> = ±К

(15´±) />/>= ±N

Согласно одному из Выводов (формула (10) />пропорционально 2 (явно), при />. Но это возможно, глядя на четное (15´±) />=±N= ±(/>) только при t — четном, при которых в (12±) и (13±) cиb– четные,чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию(в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, гдеопять же />=± N= ± ( />) и передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства />» (пояснение (стр.10), подобное для />при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: cиb– четные,чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.

********

Вывод.Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.

*******

Вывод

1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) />(1), где />— четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.

2. 1-я часть «Утверждения 2»(для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.

*********

Часть вторая(Утверждения 2)

Случаи (либо b= ± 1, либо c= ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

Доказательство

Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо /> (из />), либо /> (из />), либо b и c— четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.

Условие 1 (продолжение).

Случай 1.

/>(12)

/>(13′)

/>(14)

/>(15) ,

которые также являются решениями уравнения (11)

/>.

Тогда сумма />имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность />:

/>/>/>=> />.

Выразим из (17) и (16) />:

/>=> />

/>=> />.

По условию />должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.

Т.о., /> имеют вид:

/>, />, а их сумма />.

Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то /> => />.

Из (15) с учетом (20) выразим />:

/>, т.е. />.

Т.о., />, />, т.е.

/>,

выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями

продолжение
--PAGE_BREAK--

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму />:

/>т.к. />, т.е. />.

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:

/>, т.к. из (20) получается

/>(20′).

Итак, /> (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

********

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим

/>=> />.

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):

/>, т.е. />.

Таким образом, уравнение /> (11), решениями которого являются (12), (13′), (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:

/>, />,

/>(28), />,

где />— взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.

/>(30´),=> c=/>(30´),/>(29´)

/>(28´),=> b= />1 (28´),/>(24´), где

/>— взаимно простые нечетные целые числа.

Случай 3

/>(12)

/>(13′)

/>(14)

/>(15′) ,

которые также являются решениями уравнения

/>(11).

Тогдасумма />имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность />:

/>/>-/>=> />.

Выразим из (31) и (16) />:

/>=> /> (32)

/>=> />(33).

По условию />должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель />.

Т.о., />имеют вид:

/>(34), />(35), а их сумма />.

Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то /> и />.

Из (15´) с учетом (20) выразим />:

/>, т.е. />(24´).

Т.о., />, />,

где/>, т.е.

/>,

выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму />:

т.к. />, т.е. />.

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:

продолжение
--PAGE_BREAK--

/>, т.к. из (20) получается

/>.

Итак, /> (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

*******

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26´), получим /> => />(29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):

/>, т.е. />(30´´).

Таким образом, уравнение />(11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:

/>(30´´),/>,

/>(28), />(24´),

где />— взаимно простые нечетные целые числа.

***********

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.

/>(30´´´),=>/>(30´´´), />(29´´´),/>(28´), =>b= />(28´), />(24),

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

/>= С

/>= В

/>= N

/>= К.

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (12) />2. (12´) />(30´)

(13´) /> (28) (13) />(28´)

(14) /> (29) (14´) />(29´)

(15)/>(24) (15´)/>(24´)

3. (12) />(30´´) 4. (12´) />(30´´´)

(13´) /> (28) (13) />(28´)

(14)/>(29´´) (14´) />(29´´´)

(15´)/>(24´) (15) />(24).

Рассмотрим еще 4 случая.

5. с2 = С 6. с2 = — С 7. c2 = C 8. c2 = -C

b2 = — Bb2 = Bb2 = — Bb2 = B

/>= — N/>= N/>= — N />= N

/>/>/>/>

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.

/>(12),

/>(13´),

/>(14´),

/>(15), которые также являются решениями уравнения

/>(11)

Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующиерешения уравнения (15):

продолжение
--PAGE_BREAK--

/>(41), />, где /> — взаимно простые нечетные целые />(40),/>(38´), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:

/>(32) => b/>(32), />(24)

/>(31) => с= />(31),/>(29´),

где />взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 6

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.

/>(31´),/> (29),

/>(32´), />(24´), где />— взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

*******

Случай 7

/>(12),

/>(13´),

/>(14´),

/>(15´), которые также являются решениями уравнения

/>(11).

Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующиерешения уравнения (15):

/>(40),/>(38´´´),

/>(41´´), />(33´),

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

/>(31) => с= />(31),/>(29´´´),

/>(32´)=> b/>(32´´), />(24´),

где />— взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´),т.е.

/>(31´),/>(29´´),

/>/>, /> (24), где />— взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

********

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) />, где cи b– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:

а) />; b/>; />; />;

б) />; />; />; />.

********

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 2 и его результат, полностью совпадают с исследованием решений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 1) и с его результатом.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 1, Часть 2):

1. (16) />2. (16´) />(39´)

(17´) /> (37) (17) />(37´)

(18) /> (18´) />(38´)

(19)/>(33) (19´) />(33´)

3. (16) />(39´´) 4. (16´) />(39´´´)

продолжение
--PAGE_BREAK--

(17´) /> (37) (17) />(37´)

(18) />(38´´) (18´) />(38´´´)

(19´) />(33´) (19)/>(33).

А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):

1. (12) />2. (12´) />(30´)

(13´) /> (28) (13) />(28´)

(14) /> (29) (14´) />(29´)

(15)/>(24) (15´)/>(24´)

3. (12) />(30´´) 4. (12´) />(30´´´)

(13´) /> (28) (13) />(28´)

(14)/>(29´´) (14´) />(29´´´)

(15´)/>(24´) (15) />(24).

Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) cи bв верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11)

с2 и b2 в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.

********

Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

либо />, либо />, либо cи bне являются целыми числами,либо cи b– четные числа, чего не должно быть.

********

Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) />(1), где />— четное натуральное число, т.е. либо />, либо />.

*******

Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .- Наука. – 1982. — С. 13), что для четных степеней уравнения />(где/>, q=2 q/>) — показатели четные при /> ≠ 0 и q/> ≠ 0 — натуральных, в уравнении/>целочисленные его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:

|/>| > 2, | />| > 2, | c/>| > 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1,

т.е. в уравнении a2+ b4 = c4b/> и c/> => в уравнении />(1) при/>— четном числе b/> и c/>,

т.е. случаи (либо b= ± 1, либо c= ± 1)ОТСУТСТВУЮТ.

********

Вывод:2-я часть «Утверждения 2» доказана.

*******

В результате исследования уравнения (1) мы имеем:

Вывод:

1. Уравнение (1) />, где />≥2 — четноене имеет решений в попарно простых целых числах a, b, иcтаких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.

2. «Утверждение 2» нами полностью доказано.

*******

Примечание

Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2m, гдеm= 2, распространяется и на показатель степени q=2mприm>2 – натуральном.

Если уравнение al+ b4 = c4, где/>≥2 — четное, неразрешимо в попарно простых целых числах a, b, иc, то и уравнениеa4+ b4 = c4не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).

Вывод :Великая теорема Ферма для показателя l= q= 4доказана.

3. Результат доказательства, а именно четность чисел a, b, cв уравнении al+ b4 = c4(/>≥2 — четное), а, следовательно, в уравнении a4+ b4 = c4 дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не только упоминалось самим Ферма, но и им использовалось.

продолжение
--PAGE_BREAK--

На основанииВыводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.

Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана.

********

Утверждение 3

Часть 1

Уравнение />(/>≥ 3 – нечетное натуральное,q = 4 = 2m, гдеm= 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо b= ± 1, либо c= ± 1.

*********

Часть первая(Утверждения 3)

Доказательство

Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2».

Итак, имеем уравнение />(1), где />≥ 3– нечетное натуральное, числаa, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует:

/>=> />(2).

Пусть /> (3), где /> и β — целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β(4), где β– нечетное число при си b– нечетных.

******

Примечание

То, что βв уравнении (4) нечетное число, хорошоизвестный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).

Представим нечетные числа b иc в виде:

b= 2n1+ 1; c= 2n2+ 1, где n1и n2 — произвольные целые числа. Тогда

b2+ c2 = (2n1+ 1)2+ (2n2+ 1)2= 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):

/>= />, где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c≠, b≠ 0, т.е.

/>(5),

где k– целое число, отличное от нуля, т.к. cи bвзаимно простые целые числа.

Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:

/>=> /> => />

Откуда β= b2 + 2l-2k(8) — нечетное число (из (4)) при b– нечетном и 2l-2k— четном, т.к./>≥ 3 – нечетное натуральное число.

Вывод:

1. Из соотношения (4) имеем:

(9) />— нечетное число.

2. Из соотношения (5) имеем:

(10) />пропорционально 2 (явно), т.е. />— четное число.

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и />. Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

/>/>/>,

т.е. /> (11),

(12) /> — нечетное число при />— нечетном;

(13) /> — нечетное число при /> — нечетном;

продолжение
--PAGE_BREAK--

(14) /> — нечетное число при />— нечетном;

(15) />— четное число.

Для простоты опять (как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.

/>= С

/>= В

/>= N

/>= К ,

Условие1 (начало).

с2 = С

b2 = B

/>= N

Случай «+».

(12+) /> — нечетное число при />— нечетном;

(13+) /> — нечетное число при /> — нечетном;

(14+) /> — нечетное число при />— нечетном;

(15+) />— четное число.

Казалось бы, все нормально: четность чисел />в (12+), …, (15+) совпадают при />-нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Попробуем найти сумму />, воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

/>,

т.е. />=> (/>) пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

/>!

Т.е., вопреки «Выводу», />является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при />-четном.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.

*******

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) />в данном Условии 1(начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах, где />— нечетное натуральное число.

********

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Выводтот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)

*********

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 3.

********

Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения 11 они равнозначны), тос2 и b2могут меняться своими выражениями (CиВ). Это свойство назовем «новым свойством />». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало).

с2 = В

b2 = С

/>= N

«Новые» случаи «+» и «-».

(12´±) c2/>=±В

(13´±) b2/>=±С

(14±) />=±N

(15±) />=±К.

И в этом случае сумма /> пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), />!

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих«Новых» случаях «+» и«-» />является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при />-четном.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Мы пришли к противоречию(в «Новых» случаях«+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.

********

Вывод.Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало)не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.

*******

Примечание

Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства />», когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы).

Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 3.

********

Уравнение (11) симметрично и для />и для /> (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (NиК). Это свойство назовем «похожим свойством />и />». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых />и /> меняютсясвоими выражениями (NиК)).

Условие 3.

с2 = С

b2 = B

/>= К

«Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c2= ± (/>) = ± С

(13±) b2 = ± (/>) = ± В

(14´±) />= /> = ±К

(15´±) />/>= ±N.

Согласно одному из Выводов (формула (10) />пропорционально 2 (явно), при />. Но это возможно, глядя на четное(15´±) />=±N= ±(/>) только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) cиb– четные,чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию(в «Похожих» случаях«+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, гдеопять же />=± N= ± ( />) и передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства />» (пояснение (стр.10),подобное для />проведено при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: cиb– четные,чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых />решений.

********

Вывод.Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.

*******

Вывод

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3уравнение (1) />(1), где />≥ 3– нечетноенатуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых />отличных от нуля числах.

2. 1-я часть «Утверждения3»(для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.

*********

Часть вторая(Утверждения3)

Возможны случаи: либо />, либо />.

(Об «Исключении» из общего правила)

Доказательство

Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо /> (из />), либо /> (из />), либо b и c– четные, чего не должно быть, либоb и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно толькочасть Условия 1.

Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки.

Случай 1.

/>(12)

/>(13′)

/>(14)

/>(15), которые также являются решениями уравнения

(11) />.

Тогда сумма />имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность />:

/>/>/>=> />.

Выразим из (17) и (16) />:

/>=> />

продолжение
--PAGE_BREAK--

/>=> />.

По условию />должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель />.

Т.о., /> имеют вид:

/>, />, а их сумма />.

Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то /> => />.

Из (15) с учетом (20) выразим />:

/>, т.е. />.

Т.о., />, />, т.е.

/>,

выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму />:

/>т.к. />, т.е. />.

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:

/>, т.к. из (20) получается

/>(20′).

Итак, /> (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

********

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим /> => />.

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):

/>, т.е. />.

/>, />,

/>(28), />,

где />— взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

/>(30´),=> c=/>(30´),/>(29´)

/>(28´),=> b= />1 (28´),/>(24´), где

/>— взаимно простые нечетные целые числа.

**********

Случай 3.

/>(12)

/>(13′)

/>(14)

/>(15′), которые также являются решениями уравнения

/>(11).

Тогдасумма />имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность />:

/>/>-/>=> />.

Выразим из (31) и (16) />:

/>=> /> (32)

/>=> />(33)

По условию />должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель />.

Т.о., />имеют вид:

/>(34), />(35), а их сумма />.

Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то /> и />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Из (15´) с учетом (20) выразим />:

/>, т.е. />(24´).

Т.о. />, />, где/>, т.е.

/>,

выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму />:

т.к. />, т.е. />.

Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:

/>, т.к. из (20) получается

/>.

Итак, /> (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.

*******

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26´), получим /> => />(29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):

/>, т.е. />(30´´).

/>(30´´),/>,

/>(28), />(24´),

где />— взаимно простые нечетные целые числа.

***********

Случай 4

/>(30´´´),=>/>(30´´´), />(29´´´),/>(28´), =>b= />(28´), />(24), где

/>— взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

/>= С

/>= В

/>= N

/>= К

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (12) />2. (12´) />(30´)

(13´) /> (28) (13) />(28´)

(14) /> (29) (14´) />(29´)

(15)/>(24) (15´)/>(24´)

3. (12) />(30´´) 4. (12´) />(30´´´)

(13´) /> (28) (13) />(28´)

(14)/>(29´´) (14´) />(29´´´)

(15´)/>(24´) (15) />(24).

Рассмотрим еще 4 случая.

5. с2 = С 6. с2 = — С 7. c2 = C 8. c2 = -C

b2 = — Bb2 = Bb2 = — Bb2 = B

продолжение
--PAGE_BREAK--

/>= — N/>= N/>= — N />= N

/>/>/>/>

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.

/>(12),

/>(13´),

/>(14´),

/>(15), которые также являются решениями уравнения

/>(11).

/>(41), />, где /> — взаимно простые нечетные целые />(40),/>(38´), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:

/>(32) => b/>(32), />(24)

/>(31) => с= />(31),/>(29´),

где />— взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 6

/>(31´),/> (29),

/>(32´), />(24´),

где />— взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

*******

Случай 7.

/>(12),

/>(13´),

/>(14´),

/>(15´), которые также являются решениями уравнения

/>(11).

/>(40),/>(38´´´),

/>(41´´), />(33´),

где /> — взаимно простые нечетные целые числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

/>(31) => с= />(31),/>(29´´´),

/>(32´´)=> b/>(32´´), />(24´), где />—

взаимно простые целые нечетные числа.

*********

Случай 8

/>(31´),/>(29´´),

/>/>, /> (24),

где />— взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

Таким образом, уравнение (11) />, где cи b– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующих целых числах:

а) />; b/>; />; />;

продолжение
--PAGE_BREAK--

б) />; />; />; />.

**********

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11) />, где cи b– взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:

а) />; b/>; />; />;

б) />; />; />; />.

********

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 3 и его результат полностью совпадают с исследованием решений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 2) и с его результатом.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):

1. (12) />2. (12´) />(30´)

(13´) /> (28) (13) />(28´)

(14) /> (29) (14´) />(29´)

(15)/>(24) (15´)/>(24´)

3. (12) />(30´´) 4. (12´) />(30´´´)

(13´) /> (28) (13) />(28´)

(14)/>(29´´) (14´) />(29´´´)

(15´)/>(24´) (15) />(24).

А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):

1. (12) />2. (12´) />(30´)

(13´) /> (28) (13) />(28´)

(14) /> (29) (14´) />(29´)

(15)/>(24) (15´)/>(24´)

3. (12) />(30´´) 4. (12´) />(30´´´)

(13´) /> (28) (13) />(28´)

(14)/>(29´´) (14´) />(29´´´)

(15´)/>(24´) (15) />(24).

Наблюдается полное совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.

*********

Нетрудно понять, что остальные случаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений 1 и 2) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

либо />, либо />, либо cи bне являются целыми числами,либо cи b– четные числа, чего не должно быть.

********

Из этого набора решений уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) />(1), где />— нечетное натуральное число, т.е. либо />, либо />, которые таковыми и являются.

*******

Вывод:2-я часть «Утверждения 3» доказана.

В результате исследования уравнения (1), мы имеем:

Вывод:

1. Уравнение (1) />(/>≥ 3 – нечетное натуральное,q = 4 = 2m, гдеm= 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.

Возможны случаи: либо />, либо />.

2. «Утверждение 3» нами полностью доказано.

продолжение
--PAGE_BREAK--

*******

Примечание

Понятно, что приведенное сокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущее доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение al+ b4 = c4при />≥ 3 – нечетном натуральном и q = 4 = 2 m, где m= 2, распространяется и на показатель степени q = 2 m, где m> 2 – натуральном.

**********

На основании доказательства справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3» вытекает и справедливость «Общего утверждения».

ОБЩИЙ ВЫВОД

1. Уравнение />(/>,/>— натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах />, />и />таких, чтобы />— было четным, />и />— нечетными целыми числами.

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел />, />и />можетбыть либо />, либо />.

Таким образом, «Общее утверждение»доказано.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. — №10. – С. 23.

2.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М., Наука. – 1982 — С. 13.

Май 2009 г., Скворцов А.П.

Уважаемые любители математики и специалисты!

Если не трудно, попробуйте разобраться с данной работой и по возможности ее оценить.

Если в ней есть что-то стоящее, интересное, то очень хотелось бы получить отзыв о данной работе.

Я убежден, что примененный мною метод в данной работе позволит провести анализ и некоторых других уравнений на их разрешимость в целых числах.

Предлагаю вашему вниманию перечень некоторых моих работ по физике и математике, с некоторыми из них ознакомлены специалисты некоторых ВУЗов г. Томска, с другими – учителя и учащиеся г. Колпашева. А работа по физике (я сам учитель физики) о существовании гипотетических гравитационно-временных волн («Гравитация и время») в популярном изложении опубликована на страницах журнала «Знак вопроса» №4-2004 г.

Работы по математике:

Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению двух других отрезков.

Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного отношению двух других отрезков.

Нахождение действительных корней приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

4. Решение уравнения />в целых числах при />— натуральном.

5. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах уравнения р1+ р2= р3, где произведение р1р2р3 = R3,R – рациональное число (или рациональная функция), р1, р2и р3могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.