Реферат: Дифференциал уравнение n-го порядка

--PAGE_BREAK--
     Модифицированный метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение (2.5.1)  y/=f(x,y) с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участинтегральную кривую заменим    прямой                      линией.

<img width=«445» height=«270» src=«ref-2_1262952909-11812.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025">

                                           Рис.1 Метод Эйлера в графическом видa
 Получаем точку Мк(хк, ук).  Через Мк проводим касательную:  у=ук=f(xk,yk)(x-xk). Делим отрезок (хк, хк1) пополам:

                                           xNk/=xk+h/2=xk+1/2                                                (2.5.6)

                                               yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2

Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную:

                                           y(xk+1/2)=f(xk+1/2, yk+1/2)=αk                           (2.5.7)

Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом αк и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк/. Тогда:

                                           ук+1=ук+αкh

                                           xk+1=xk+h

                          (2.5.8)                 αk=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2)

                                           yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h

(2.5.8)-рекурентные формулы метода Эйлера.

      Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (11) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.

      Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

                                          | ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk),                          (2.5.9)

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

 Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными условиями y/(x0)=y/0, y(x0)=y0, выполняется замена:

                                            y/=z                                                     (2.5.10)

                                            z/=f(x,y,z)

Тем самым преобразуются начальные условия: y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.    (2.5.12)
3.Описание алгоритмов решения задачи

3.1.Описание переменных.

Наименование

Тип

Описание

Входные данные

Xi

double

Начальное значение (x) интервала вычисления

Xkon

double

Конечное значение (x) интервала вычисления

n

integer

Количество шагов

Yi

double

Начальное значение y

kx

double

Коэффициент при переменой x

ky

double

Коэффициент при переменной y

Выходные данные

h

double

Фиксированное приращение аргумента (x)

res

double

Расчётное значение уравнение y’=F(x,y) в точке (x)

Промежуточные

i

integer

Счётчик цикла

Yprom

double

Промежуточное значение y в точке Xprom

Xprom

double

Промежуточное значение x при h/2

a

double

Решение уравнения в точках f(Xprom,Yprom)

f1

double

Функция f(x,y)

3.2. Блок- схема главного модуля
<img width=«660» height=«528» src=«ref-2_1262964721-3464.coolpic» v:shapes="_x0000_s1189 _x0000_s1188 _x0000_s1192 _x0000_s1193 _x0000_s1195 _x0000_s1196 _x0000_s1199 _x0000_s1200 _x0000_s1201 _x0000_s1203 _x0000_s1205 _x0000_s1207 _x0000_s1208 _x0000_s1210 _x0000_s1211 _x0000_s1212 _x0000_s1231 _x0000_s1232"><img width=«660» height=«528» src=«ref-2_1262968185-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">

3.3 Описание алгоритма главной программы.


Номер блока

Описание

1

Ввод начального и конечного значений интервала вычисления уравнения, количество шагов, начальное значение у, а также коэффициенты при kxи ky.

2

Вычисление фиксированного приращения аргумента х

3

Цикл с шагом 1 и конечным значением не превышающим количество шагов, который высчитывает значение   yна определённом интервале

4

Функция для расчёта уравнения вида y’=f(x,y);



5



Вывод результатов на интервале X

3.4 Блок-схема функции “func”.

<img width=«660» height=«540» src=«ref-2_1262968258-3122.coolpic» v:shapes="_x0000_s1214 _x0000_s1213 _x0000_s1215 _x0000_s1217 _x0000_s1218 _x0000_s1219 _x0000_s1221 _x0000_s1222 _x0000_s1224 _x0000_s1226 _x0000_s1227"><img width=«660» height=«540» src=«ref-2_1262971380-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">3.5 Описание блок- схемы функции “func”.

Номер

блока

Описание

1

Вычисление: функции f1 с подстановкой начальных значений; промежуточных значений Yprom и Xprom,  значения aдля вычисления f(Xprom,Yprom) и расчёт результатов функции и переход на следующий шаг.

2

Приращение аргумента xна h

3

Вывод результатов уравнения и интервала
    продолжение
--PAGE_BREAK--