Реферат: Обобщение классических средних величин

--PAGE_BREAK--Аналогично, <shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image345.wmz» o:><img width=«218» height=«31» src=«dopb76275.zip» v:shapes="_x0000_i1230">, …, <shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image347.wmz» o:><img width=«207» height=«31» src=«dopb76276.zip» v:shapes="_x0000_i1231">. Но искомое  решение <shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image349.wmz» o:><img width=«439» height=«25» src=«dopb76277.zip» v:shapes="_x0000_i1232">
<shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image351.wmz» o:><img width=«161» height=«54» src=«dopb76278.zip» v:shapes="_x0000_i1233">, pi<shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image182.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb76194.zip» v:shapes="_x0000_i1234">R.
2.  Характеристическое свойство  квази-средних
Теперь мы готовы для квази-средних  указать упомянутое  выше аксиоматическое определение. Будем исходить от частных случаев – простейших средних. Так взвешенные среднее арифметическое <shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image353.wmz» o:><img width=«140» height=«50» src=«dopb76279.zip» v:shapes="_x0000_i1235"> и среднее геометрическое  <shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image023.wmz» o:><img width=«147» height=«50» src=«dopb76280.zip» v:shapes="_x0000_i1236"> можно определить как непрерывные хотя бы в одной точке решения функциональных уравнений  <shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image356.wmz» o:><img width=«302» height=«25» src=«dopb76281.zip» v:shapes="_x0000_i1237"> и <shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image358.wmz» o:><img width=«297» height=«25» src=«dopb76282.zip» v:shapes="_x0000_i1238"> соответственно, а также эти решения должны удовлетворять условию усреднения, иначе не обязательно <shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image360.wmz» o:><img width=«61» height=«49» src=«dopb76112.zip» v:shapes="_x0000_i1239"> и  <shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image029.wmz» o:><img width=«45» height=«27» src=«dopb76113.zip» v:shapes="_x0000_i1240">. Первое условие есть результат теоремы 1, а второе условие мы докажем  далее в общем случае.
Заметим, что  операцию умножения, которая используется в уравнении для среднего геометрического, можно представить как  <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image361.wmz» o:><img width=«268» height=«27» src=«dopb76283.zip» v:shapes="_x0000_i1241">, где <shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image363.wmz» o:><img width=«62» height=«24» src=«dopb76284.zip» v:shapes="_x0000_i1242">, то есть  функция, задающая среднее геометрическое. Операция сложения  в уравнении для среднего арифметического представляется аналогично, но с функцией<shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image365.wmz» o:><img width=«44» height=«24» src=«dopb76285.zip» v:shapes="_x0000_i1243">.
Тогда вообще для квази-средних рассмотрим операцию, обобщающую сложение и умножение, <shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image367.wmz» o:><img width=«172» height=«28» src=«dopb76286.zip» v:shapes="_x0000_i1244">, где <shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image369.wmz» o:><img width=«36» height=«21» src=«dopb76287.zip» v:shapes="_x0000_i1245">– произвольная непрерывная, строго монотонная функция, множество значений которой – один из промежутков (–<shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image371.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb76288.zip» v:shapes="_x0000_i1246">; а), (–<shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image373.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb76288.zip» v:shapes="_x0000_i1247">; а], (b; <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image373.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb76288.zip» v:shapes="_x0000_i1248">), [b; <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image373.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb76288.zip» v:shapes="_x0000_i1249">), (–<shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image373.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb76288.zip» v:shapes="_x0000_i1250">;<shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image373.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb76288.zip» v:shapes="_x0000_i1251">), где a≤0 и b≥0, что гарантирует существование операции для любых x и yиз области определения функции  <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image039.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb76289.zip» v:shapes="_x0000_i1252">.  Сформулируем  общий  результат, выражающий аксиоматическое определение квази-средних  [1].
Теорема 2.   Квази-средние – это такие функции <shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image375.wmz» o:><img width=«21» height=«17» src=«dopb76290.zip» v:shapes="_x0000_i1253"> от nпеременных, для которых выполнены условия:
1)    непрерывность хотя бы в одной точке;
2)    <shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image377.wmz» o:><img width=«366» height=«24» src=«dopb76291.zip» v:shapes="_x0000_i1254">;
3)    <shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image379.wmz» o:><img width=«324» height=«24» src=«dopb76292.zip» v:shapes="_x0000_i1255">.
Доказательство. Очевидно, что квази-средние, ранее определённые как <shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image381.wmz» o:><img width=«205» height=«51» src=«dopb76293.zip» v:shapes="_x0000_i1256">  удовлетворяют перечисленным свойствам. Важно показать обратное – других величин с данными свойствами не существует. Для этого  выведем вид функций <shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image383.wmz» o:><img width=«21» height=«17» src=«dopb76290.zip» v:shapes="_x0000_i1257">, исходя из указанных условий.
Распишем уравнение<shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image377.wmz» o:><img width=«366» height=«25» src=«dopb76294.zip» v:shapes="_x0000_i1258">, используя определение операции   <shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image385.wmz» o:><img width=«186» height=«28» src=«dopb76295.zip» v:shapes="_x0000_i1259">:
 <shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image387.wmz» o:><img width=«370» height=«27» src=«dopb76296.zip» v:shapes="_x0000_i1260">=
=<shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image389.wmz» o:><img width=«305» height=«28» src=«dopb76297.zip» v:shapes="_x0000_i1261">,
<shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image391.wmz» o:><img width=«396» height=«27» src=«dopb76298.zip» v:shapes="_x0000_i1262">=
=<shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image393.wmz» o:><img width=«253» height=«24» src=«dopb76299.zip» v:shapes="_x0000_i1263">
Далее, если определить <shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image395.wmz» o:><img width=«312» height=«27» src=«dopb76300.zip» v:shapes="_x0000_i1264"> иобозначить <shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image397.wmz» o:><img width=«72» height=«23» src=«dopb76301.zip» v:shapes="_x0000_i1265">, <shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image399.wmz» o:><img width=«72» height=«23» src=«dopb76302.zip» v:shapes="_x0000_i1266">, то последнее  выражение   перепишется  так<shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image401.wmz» o:><img width=«364» height=«25» src=«dopb76303.zip» v:shapes="_x0000_i1267">, где функция H  непрерывна хотя бы в одной точке.  Тогда единственной такой функцией будет  <shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image403.wmz» o:><img width=«240» height=«25» src=«dopb76304.zip» v:shapes="_x0000_i1268">, pi<shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image182.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb76194.zip» v:shapes="_x0000_i1269">R.Возвращаясь к прежним переменным и функциям, найдём    <shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image405.wmz» o:><img width=«198» height=«51» src=«dopb76305.zip» v:shapes="_x0000_i1270">,  pi<shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image182.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb76194.zip» v:shapes="_x0000_i1271">R.
Осталось показать, что <shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image360.wmz» o:><img width=«61» height=«49» src=«dopb76112.zip» v:shapes="_x0000_i1272"> и  <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image029.wmz» o:><img width=«45» height=«26» src=«dopb76306.zip» v:shapes="_x0000_i1273">. Используем свойство усреднения найденного решения:  <shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image379.wmz» o:><img width=«324» height=«24» src=«dopb76292.zip» v:shapes="_x0000_i1274">.
Возьмём <shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image408.wmz» o:><img width=«103» height=«25» src=«dopb76307.zip» v:shapes="_x0000_i1275">, но тогда<shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image410.wmz» o:><img width=«145» height=«57» src=«dopb76308.zip» v:shapes="_x0000_i1276"> или  <shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image412.wmz» o:><img width=«116» height=«50» src=«dopb76309.zip» v:shapes="_x0000_i1277">, и поэтому<shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image414.wmz» o:><img width=«57» height=«54» src=«dopb76310.zip» v:shapes="_x0000_i1278">. А если предположить, что  какое-то  <shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image416.wmz» o:><img width=«53» height=«25» src=«dopb76311.zip» v:shapes="_x0000_i1279">, то для  <shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image418.wmz» o:><img width=«134» height=«25» src=«dopb76312.zip» v:shapes="_x0000_i1280"> и  <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image420.wmz» o:><img width=«136» height=«27» src=«dopb76313.zip» v:shapes="_x0000_i1281">, <shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image422.wmz» o:><img width=«139» height=«23» src=«dopb76314.zip» v:shapes="_x0000_i1282">  имеем
<shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image424.wmz» o:><img width=«127» height=«52» src=«dopb76315.zip» v:shapes="_x0000_i1283">=<shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image426.wmz» o:><img width=«287» height=«29» src=«dopb76316.zip» v:shapes="_x0000_i1284">=
=<shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image428.wmz» o:><img width=«400» height=«29» src=«dopb76317.zip» v:shapes="_x0000_i1285">,    что противоречит условию.
Аналогично можно определить квази-средние вида <shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image095.wmz» o:><img width=«184» height=«51» src=«dopb76318.zip» v:shapes="_x0000_i1286">.
Теорема 3.   Квази-средние вида <shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image095.wmz» o:><img width=«218» height=«51» src=«dopb76319.zip» v:shapes="_x0000_i1287">– это такие функции <shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image375.wmz» o:><img width=«21» height=«17» src=«dopb76290.zip» v:shapes="_x0000_i1288"> от nпеременных, для которых выполнены условия:
1)    непрерывность хотя бы в одной точке;
2)    <shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image377.wmz» o:><img width=«366» height=«25» src=«dopb76294.zip» v:shapes="_x0000_i1289">;
3)    рефлексивность, то есть <shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image432.wmz» o:><img width=«102» height=«26» src=«dopb76320.zip» v:shapes="_x0000_i1290">;
4)    симметричность.
Действительно, свойства 1 и 2  выделяют функции <shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image405.wmz» o:><img width=«198» height=«49» src=«dopb76321.zip» v:shapes="_x0000_i1291">,  pi<shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image182.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb76194.zip» v:shapes="_x0000_i1292">R,  далеесвойство 3 обеспечивает <shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image360.wmz» o:><img width=«61» height=«49» src=«dopb76112.zip» v:shapes="_x0000_i1293">,  а из свойства 4  вытекает<shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image146.wmz» o:><img width=«115» height=«28» src=«dopb76322.zip» v:shapes="_x0000_i1294">.
Теперь мы можем аксиоматически задавать частные случаи квази-средних, указывая для них свои операции в функциональном уравнении             <shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image377.wmz» o:><img width=«366» height=«25» src=«dopb76294.zip» v:shapes="_x0000_i1295">.  Например:
для среднего арифметического  <shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image436.wmz» o:><img width=«58» height=«50» src=«dopb76323.zip» v:shapes="_x0000_i1296"> задающая его функция  <shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image438.wmz» o:><img width=«52» height=«25» src=«dopb76324.zip» v:shapes="_x0000_i1297">,   и поэтому   <shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image440.wmz» o:><img width=«224» height=«28» src=«dopb76325.zip» v:shapes="_x0000_i1298">;
для среднего геометрического   <shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image442.wmz» o:><img width=«60» height=«56» src=«dopb76326.zip» v:shapes="_x0000_i1299">    <shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image444.wmz» o:><img width=«70» height=«24» src=«dopb76327.zip» v:shapes="_x0000_i1300">,  <shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image446.wmz» o:><img width=«53» height=«20» src=«dopb76328.zip» v:shapes="_x0000_i1301"><shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image448.wmz» o:><img width=«28» height=«20» src=«dopb76329.zip» v:shapes="_x0000_i1302">;
для среднего гармонического    <shape id="_x0000_i1303" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image450.wmz» o:><img width=«56» height=«69» src=«dopb76330.zip» v:shapes="_x0000_i1303">      <shape id="_x0000_i1304" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image452.wmz» o:><img width=«55» height=«49» src=«dopb76331.zip» v:shapes="_x0000_i1304">,  <shape id="_x0000_i1305" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image446.wmz» o:><img width=«53» height=«20» src=«dopb76328.zip» v:shapes="_x0000_i1305"><shape id="_x0000_i1306" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image454.wmz» o:><img width=«78» height=«24» src=«dopb76332.zip» v:shapes="_x0000_i1306">;
для среднего квадратичного     <shape id="_x0000_i1307" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image456.wmz» o:><img width=«74» height=«54» src=«dopb76333.zip» v:shapes="_x0000_i1307">   <shape id="_x0000_i1308" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image458.wmz» o:><img width=«60» height=«30» src=«dopb76334.zip» v:shapes="_x0000_i1308">,   <shape id="_x0000_i1309" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image446.wmz» o:><img width=«53» height=«20» src=«dopb76328.zip» v:shapes="_x0000_i1309"><shape id="_x0000_i1310" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image460.wmz» o:><img width=«79» height=«35» src=«dopb76335.zip» v:shapes="_x0000_i1310">.
3.  Тождественные  квази-средние
Квази-среднее  <shape id="_x0000_i1311" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image405.wmz» o:><img width=«206» height=«51» src=«dopb76336.zip» v:shapes="_x0000_i1311"> определено, если задана функция <shape id="_x0000_i1312" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image463.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb76337.zip» v:shapes="_x0000_i1312">. Возникает естественный вопрос, справедливо ли обратное предложение:  если <shape id="_x0000_i1313" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image465.wmz» o:><img width=«191» height=«29» src=«dopb76338.zip» v:shapes="_x0000_i1313"> для любых <shape id="_x0000_i1314" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image009.wmz» o:><img width=«52» height=«28» src=«dopb76339.zip» v:shapes="_x0000_i1314"> или <shape id="_x0000_i1315" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image468.wmz» o:><img width=«24» height=«23» src=«dopb76340.zip» v:shapes="_x0000_i1315"> и <shape id="_x0000_i1316" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image470.wmz» o:><img width=«25» height=«23» src=«dopb76341.zip» v:shapes="_x0000_i1316"> –тождественны, то следует ли отсюда, что задающие их функции <shape id="_x0000_i1317" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image472.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb76342.zip» v:shapes="_x0000_i1317"> и <shape id="_x0000_i1318" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image474.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb76343.zip» v:shapes="_x0000_i1318"> также тождественны. Ответ на этот вопрос даёт следующая
Теорема 4.  Необходимым и достаточным условием тождественности квази-средних  <shape id="_x0000_i1319" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image476.wmz» o:><img width=«206» height=«51» src=«dopb76344.zip» v:shapes="_x0000_i1319"> и <shape id="_x0000_i1320" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image478.wmz» o:><img width=«213» height=«51» src=«dopb76345.zip» v:shapes="_x0000_i1320"> является  условие <shape id="_x0000_i1321" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image480.wmz» o:><img width=«144» height=«25» src=«dopb76346.zip» v:shapes="_x0000_i1321">, где   <shape id="_x0000_i1322" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image482.wmz» o:><img width=«104» height=«23» src=«dopb76347.zip» v:shapes="_x0000_i1322">.
Доказательство. Если  указанное  условие  выполняется, то
<shape id="_x0000_i1323" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image484.wmz» o:><img width=«466» height=«55» src=«dopb76348.zip» v:shapes="_x0000_i1323">
<shape id="_x0000_i1324" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image486.wmz» o:><img width=«375» height=«53» src=«dopb76349.zip» v:shapes="_x0000_i1324">,  и поэтому 
<shape id="_x0000_i1325" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image488.wmz» o:><img width=«115» height=«50» src=«dopb76350.zip» v:shapes="_x0000_i1325">=<shape id="_x0000_i1326" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image490.wmz» o:><img width=«111» height=«50» src=«dopb76351.zip» v:shapes="_x0000_i1326"> или <shape id="_x0000_i1327" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image492.wmz» o:><img width=«91» height=«27» src=«dopb76352.zip» v:shapes="_x0000_i1327">=<shape id="_x0000_i1328" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image494.wmz» o:><img width=«84» height=«27» src=«dopb76353.zip» v:shapes="_x0000_i1328"> для любых <shape id="_x0000_i1329" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image009.wmz» o:><img width=«52» height=«27» src=«dopb76354.zip» v:shapes="_x0000_i1329">, то есть условие достаточно.
Обратно, пусть <shape id="_x0000_i1330" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image494.wmz» o:><img width=«78» height=«27» src=«dopb76355.zip» v:shapes="_x0000_i1330">=<shape id="_x0000_i1331" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image492.wmz» o:><img width=«95» height=«27» src=«dopb76356.zip» v:shapes="_x0000_i1331">,  <shape id="_x0000_i1332" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image490.wmz» o:><img width=«111» height=«51» src=«dopb76357.zip» v:shapes="_x0000_i1332">=<shape id="_x0000_i1333" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image488.wmz» o:><img width=«108» height=«52» src=«dopb76358.zip» v:shapes="_x0000_i1333"> или <shape id="_x0000_i1334" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image501.wmz» o:><img width=«235» height=«56» src=«dopb76359.zip» v:shapes="_x0000_i1334">. Обозначая <shape id="_x0000_i1335" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image503.wmz» o:><img width=«115» height=«29» src=«dopb76360.zip» v:shapes="_x0000_i1335"> и <shape id="_x0000_i1336" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image505.wmz» o:><img width=«71» height=«27» src=«dopb76361.zip» v:shapes="_x0000_i1336">, перепишем  <shape id="_x0000_i1337" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image507.wmz» o:><img width=«80» height=«51» src=«dopb76362.zip» v:shapes="_x0000_i1337">=<shape id="_x0000_i1338" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image509.wmz» o:><img width=«77» height=«48» src=«dopb76363.zip» v:shapes="_x0000_i1338">.
Сведём это равенство к функциональному уравнению. Возьмём точку <shape id="_x0000_i1339" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image511.wmz» o:><img width=«24» height=«25» src=«dopb76364.zip» v:shapes="_x0000_i1339">  из области значений функции <shape id="_x0000_i1340" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image513.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb76342.zip» v:shapes="_x0000_i1340"> и представим <shape id="_x0000_i1341" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image514.wmz» o:><img width=«95» height=«25» src=«dopb76365.zip» v:shapes="_x0000_i1341">. Тогда   <shape id="_x0000_i1342" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image516.wmz» o:><img width=«128» height=«51» src=«dopb76366.zip» v:shapes="_x0000_i1342">=<shape id="_x0000_i1343" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image518.wmz» o:><img width=«112» height=«55» src=«dopb76367.zip» v:shapes="_x0000_i1343"> или <shape id="_x0000_i1344" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image520.wmz» o:><img width=«116» height=«54» src=«dopb76368.zip» v:shapes="_x0000_i1344">=<shape id="_x0000_i1345" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image522.wmz» o:><img width=«112» height=«51» src=«dopb76369.zip» v:shapes="_x0000_i1345">.  Полагая <shape id="_x0000_i1346" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image524.wmz» o:><img width=«24» height=«28» src=«dopb76370.zip» v:shapes="_x0000_i1346">, где<shape id="_x0000_i1347" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image526.wmz» o:><img width=«201» height=«24» src=«dopb76371.zip» v:shapes="_x0000_i1347"> для каждого i, найдём <shape id="_x0000_i1348" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image528.wmz» o:><img width=«88» height=«28» src=«dopb76372.zip» v:shapes="_x0000_i1348">=<shape id="_x0000_i1349" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image530.wmz» o:><img width=«128» height=«26» src=«dopb76373.zip» v:shapes="_x0000_i1349">,  где     <shape id="_x0000_i1350" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image532.wmz» o:><img width=«153» height=«57» src=«dopb76374.zip» v:shapes="_x0000_i1350"> не зависит от <shape id="_x0000_i1351" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image534.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb76375.zip» v:shapes="_x0000_i1351">.
Поэтому <shape id="_x0000_i1352" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image520.wmz» o:><img width=«116» height=«52» src=«dopb76376.zip» v:shapes="_x0000_i1352">=<shape id="_x0000_i1353" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image537.wmz» o:><img width=«148» height=«52» src=«dopb76377.zip» v:shapes="_x0000_i1353">, что с обозначениями <shape id="_x0000_i1354" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image539.wmz» o:><img width=«61» height=«48» src=«dopb76378.zip» v:shapes="_x0000_i1354">, <shape id="_x0000_i1355" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image541.wmz» o:><img width=«81» height=«27» src=«dopb76379.zip» v:shapes="_x0000_i1355">, <shape id="_x0000_i1356" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image543.wmz» o:><img width=«134» height=«25» src=«dopb76380.zip» v:shapes="_x0000_i1356"> перепишется так: <shape id="_x0000_i1357" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image545.wmz» o:><img width=«274» height=«25» src=«dopb76381.zip» v:shapes="_x0000_i1357">. 
Тогда  решением этого функционального уравнения будет функция <shape id="_x0000_i1358" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image547.wmz» o:><img width=«134» height=«25» src=«dopb76382.zip» v:shapes="_x0000_i1358">, <shape id="_x0000_i1359" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image549.wmz» o:><img width=«327» height=«27» src=«dopb76383.zip» v:shapes="_x0000_i1359">, где<shape id="_x0000_i1360" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image551.wmz» o:><img width=«175» height=«27» src=«dopb76384.zip» v:shapes="_x0000_i1360">.  Так как<shape id="_x0000_i1361" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image553.wmz» o:><img width=«116» height=«27» src=«dopb76385.zip» v:shapes="_x0000_i1361">, то <shape id="_x0000_i1362" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image555.wmz» o:><img width=«152» height=«28» src=«dopb76386.zip» v:shapes="_x0000_i1362">, или<shape id="_x0000_i1363" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image557.wmz» o:><img width=«147» height=«25» src=«dopb76387.zip» v:shapes="_x0000_i1363">,   если взять<shape id="_x0000_i1364" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image559.wmz» o:><img width=«79» height=«25» src=«dopb76388.zip» v:shapes="_x0000_i1364">.
Таким образом, чтобы задать одно и то же квази-среднее <shape id="_x0000_i1365" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image405.wmz» o:><img width=«202» height=«51» src=«dopb76389.zip» v:shapes="_x0000_i1365"> мы можем взять любую функцию из целого класса функций <shape id="_x0000_i1366" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image562.wmz» o:><img width=«51» height=«27» src=«dopb76390.zip» v:shapes="_x0000_i1366">, где  а≠0 иb– произвольныепостоянные, и другого способа получить тождественные квази-средние не существует.
4.  Однородные квази-средние
Ранее мы говорили, что квази-средние в общем случае неоднородны, то есть соотношение <shape id="_x0000_i1367" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image564.wmz» o:><img width=«269» height=«25» src=«dopb76391.zip» v:shapes="_x0000_i1367"> для любых <shape id="_x0000_i1368" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image566.wmz» o:><img width=«105» height=«28» src=«dopb76392.zip» v:shapes="_x0000_i1368"> не выполняется, но их подкласс – взвешенные средние степенные <shape id="_x0000_i1369" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image025.wmz» o:><img width=«183» height=«63» src=«dopb76393.zip» v:shapes="_x0000_i1369">обладают однородностью. Теперь покажем, что других  квази-средних с данным свойством не существует [2].
Теорема 5. Взвешенные средние степенные – единственные однородные квази-средние.
Доказательство. Предположим, что равенство <shape id="_x0000_i1370" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image569.wmz» o:><img width=«244» height=«25» src=«dopb76394.zip» v:shapes="_x0000_i1370"> имеет место, и выведем  из него вид задающей квази-среднее функции <shape id="_x0000_i1371" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image039.wmz» o:><img width=«14» height=«21» src=«dopb76395.zip» v:shapes="_x0000_i1371">.  Перепишем<shape id="_x0000_i1372" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image572.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb76396.zip» v:shapes="_x0000_i1372"><shape id="_x0000_i1373" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image574.wmz» o:><img width=«229» height=«25» src=«dopb76397.zip» v:shapes="_x0000_i1373">  или    <shape id="_x0000_i1374" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image576.wmz» o:><img width=«155» height=«54» src=«dopb76398.zip» v:shapes="_x0000_i1374">=<shape id="_x0000_i1375" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image578.wmz» o:><img width=«117» height=«53» src=«dopb76399.zip» v:shapes="_x0000_i1375">. Получили тождественные  квази-средние, заданные функциями  <shape id="_x0000_i1376" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image580.wmz» o:><img width=«44» height=«24» src=«dopb76400.zip» v:shapes="_x0000_i1376"> и <shape id="_x0000_i1377" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image582.wmz» o:><img width=«36» height=«23» src=«dopb76401.zip» v:shapes="_x0000_i1377">. В силу теоремы 4 имеем <shape id="_x0000_i1378" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image584.wmz» o:><img width=«184» height=«24» src=«dopb76402.zip» v:shapes="_x0000_i1378"> (*), где <shape id="_x0000_i1379" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image586.wmz» o:><img width=«37» height=«25» src=«dopb76403.zip» v:shapes="_x0000_i1379">и <shape id="_x0000_i1380" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image588.wmz» o:><img width=«37» height=«24» src=«dopb76404.zip» v:shapes="_x0000_i1380">– функции от λ, <shape id="_x0000_i1381" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image586.wmz» o:><img width=«37» height=«24» src=«dopb76405.zip» v:shapes="_x0000_i1381">≠0.  Также мы можем положить<shape id="_x0000_i1382" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image591.wmz» o:><img width=«69» height=«23» src=«dopb76406.zip» v:shapes="_x0000_i1382">.
Тогда <shape id="_x0000_i1383" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image593.wmz» o:><img width=«292» height=«24» src=«dopb76407.zip» v:shapes="_x0000_i1383">. Подставляя теперь <shape id="_x0000_i1384" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image588.wmz» o:><img width=«37» height=«24» src=«dopb76404.zip» v:shapes="_x0000_i1384"> в (*) и заменяя λ  на  y, найдём, что <shape id="_x0000_i1385" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image595.wmz» o:><img width=«184» height=«25» src=«dopb76408.zip» v:shapes="_x0000_i1385"> (**). Аналогично <shape id="_x0000_i1386" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image597.wmz» o:><img width=«186» height=«24» src=«dopb76409.zip» v:shapes="_x0000_i1386">.
Последние два равенства дают <shape id="_x0000_i1387" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image599.wmz» o:><img width=«151» height=«47» src=«dopb76410.zip» v:shapes="_x0000_i1387">   для  x, y≠1 (***).
Отсюда следует, что функции в левой и правой частях (***) равны постоянной  d, то есть  <shape id="_x0000_i1388" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image601.wmz» o:><img width=«124» height=«24» src=«dopb76411.zip» v:shapes="_x0000_i1388">.
Из (**) вытекает сейчас равенство <shape id="_x0000_i1389" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image603.wmz» o:><img width=«250» height=«24» src=«dopb76412.zip» v:shapes="_x0000_i1389">, которое, очевидно,  справедливо и для значений x=1 и y=1, и поэтому ограничение на (***) несущественно.
 Итак, мы получили функциональное уравнение <shape id="_x0000_i1390" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image603.wmz» o:><img width=«245» height=«22» src=«dopb76413.zip» v:shapes="_x0000_i1390">, рассматривая его, различаем два случая:
1)  при d=0  <shape id="_x0000_i1391" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image606.wmz» o:><img width=«148» height=«22» src=«dopb76414.zip» v:shapes="_x0000_i1391">, и поэтому для x>0 <shape id="_x0000_i1392" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image608.wmz» o:><img width=«83» height=«25» src=«dopb76415.zip» v:shapes="_x0000_i1392">;
2) при d≠полагая <shape id="_x0000_i1393" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image610.wmz» o:><img width=«120» height=«24» src=«dopb76416.zip» v:shapes="_x0000_i1393">, сведём уравнение к  <shape id="_x0000_i1394" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image612.wmz» o:><img width=«151» height=«24» src=«dopb76417.zip» v:shapes="_x0000_i1394">, и поэтому для x>0 <shape id="_x0000_i1395" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image614.wmz» o:><img width=«66» height=«26» src=«dopb76418.zip» v:shapes="_x0000_i1395">  и  <shape id="_x0000_i1396" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image616.wmz» o:><img width=«125» height=«27» src=«dopb76419.zip» v:shapes="_x0000_i1396">.
В первом случае по теореме 4 о тождественных квази-средних  <shape id="_x0000_i1397" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image618.wmz» o:><img width=«69» height=«24» src=«dopb76420.zip» v:shapes="_x0000_i1397"> можно заменить на<shape id="_x0000_i1398" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image620.wmz» o:><img width=«56» height=«25» src=«dopb76421.zip» v:shapes="_x0000_i1398">, и тогдаполучаем среднее геометрическое, которое принято считать частным случаем среднего степенного при  <shape id="_x0000_i1399" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image622.wmz» o:><img width=«44» height=«22» src=«dopb76422.zip» v:shapes="_x0000_i1399">.  Во втором, заменяя <shape id="_x0000_i1400" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image616.wmz» o:><img width=«125» height=«30» src=«dopb76423.zip» v:shapes="_x0000_i1400"> на <shape id="_x0000_i1401" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image625.wmz» o:><img width=«67» height=«30» src=«dopb76424.zip» v:shapes="_x0000_i1401"> – среднее степенное.
Следствие. Средние степенные – единственный класс  квази-средних, удовлетворяющих сильному определению средней величины.
5.  Аддитивные квази-средние
Рассмотрим ещё один класс квази-средних. Назовём свойство <shape id="_x0000_i1402" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image627.wmz» o:><img width=«265» height=«27» src=«dopb76425.zip» v:shapes="_x0000_i1402">  аддитивностью и найдём все квази-средние  с данным свойством.
Теорема 6. Взвешенное среднее арифметическое и квази-среднее, заданное показательной функцией <shape id="_x0000_i1403" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image629.wmz» o:><img width=«60» height=«30» src=«dopb76426.zip» v:shapes="_x0000_i1403">– единственные аддитивные квази-средние.
Доказательство. Аддитивность указанных квази-средних показывается простой проверкой. Для доказательства их единственности предполагаем, что равенство <shape id="_x0000_i1404" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image631.wmz» o:><img width=«244» height=«25» src=«dopb76427.zip» v:shapes="_x0000_i1404">  имеет место, и выводим  из него вид задающей квази-среднее функции <shape id="_x0000_i1405" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image039.wmz» o:><img width=«14» height=«24» src=«dopb76428.zip» v:shapes="_x0000_i1405">.  Переписываем соотношение
<shape id="_x0000_i1406" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image634.wmz» o:><img width=«253» height=«25» src=«dopb76429.zip» v:shapes="_x0000_i1406"> или  <shape id="_x0000_i1407" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image636.wmz» o:><img width=«155» height=«52» src=«dopb76430.zip» v:shapes="_x0000_i1407">=<shape id="_x0000_i1408" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image638.wmz» o:><img width=«112» height=«52» src=«dopb76431.zip» v:shapes="_x0000_i1408">.  Получаем тождественные  квази-средние, заданные функциями  <shape id="_x0000_i1409" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image640.wmz» o:><img width=«56» height=«24» src=«dopb76432.zip» v:shapes="_x0000_i1409"> и <shape id="_x0000_i1410" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image582.wmz» o:><img width=«36» height=«24» src=«dopb76433.zip» v:shapes="_x0000_i1410">. В силу теоремы  имеем <shape id="_x0000_i1411" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image643.wmz» o:><img width=«187» height=«24» src=«dopb76434.zip» v:shapes="_x0000_i1411"> (*), где <shape id="_x0000_i1412" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image645.wmz» o:><img width=«32» height=«24» src=«dopb76435.zip» v:shapes="_x0000_i1412">и <shape id="_x0000_i1413" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image647.wmz» o:><img width=«33» height=«24» src=«dopb76436.zip» v:shapes="_x0000_i1413">– функции от t, <shape id="_x0000_i1414" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image649.wmz» o:><img width=«32» height=«25» src=«dopb76437.zip» v:shapes="_x0000_i1414">≠0, а  также можем положить<shape id="_x0000_i1415" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image651.wmz» o:><img width=«65» height=«21» src=«dopb76438.zip» v:shapes="_x0000_i1415">.
Далее рассуждая аналогично предыдущей теореме, приходим к функциональному уравнению <shape id="_x0000_i1416" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image653.wmz» o:><img width=«265» height=«24» src=«dopb76439.zip» v:shapes="_x0000_i1416">, рассматривая которое,  вновь различаем два случая:
1)  при d=0  <shape id="_x0000_i1417" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image655.wmz» o:><img width=«155» height=«24» src=«dopb76440.zip» v:shapes="_x0000_i1417">, и поэтому <shape id="_x0000_i1418" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image657.wmz» o:><img width=«83» height=«24» src=«dopb76441.zip» v:shapes="_x0000_i1418">;
2) при d≠полагая <shape id="_x0000_i1419" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image610.wmz» o:><img width=«120» height=«24» src=«dopb76416.zip» v:shapes="_x0000_i1419">, сведём уравнение к  <shape id="_x0000_i1420" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image659.wmz» o:><img width=«144» height=«24» src=«dopb76442.zip» v:shapes="_x0000_i1420">, и поэтому <shape id="_x0000_i1421" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image661.wmz» o:><img width=«78» height=«29» src=«dopb76443.zip» v:shapes="_x0000_i1421">  и  <shape id="_x0000_i1422" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image663.wmz» o:><img width=«138» height=«29» src=«dopb76444.zip» v:shapes="_x0000_i1422">.
В первом случае  имеем среднее арифметическое.  Во втором – квази-среднее, заданное показательной функцией <shape id="_x0000_i1423" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image665.wmz» o:><img width=«68» height=«27» src=«dopb76445.zip» v:shapes="_x0000_i1423">.
И в заключении этой главы на основе доказанных теорем 5 и 6 простое
Следствие. Взвешенное среднее арифметическое – единственное однородное и одновременно аддитивное квази-среднее.
Глава 3. Квази-средние и выпуклые функции
Для классических средних существует множество неравенств, которые могут быть обобщены в различных направлениях. Одним из таких обобщений являются неравенства для квази-средних, которые мы и рассмотрим в этой главе. Как их частные случаи мы также получим основные неравенства для средних степенных (неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом; неравенства, характеризующие свойство монотонности средних степенных; неравенство Гюйгенса; неравенство Гёльдера) и их аналоги.
Как в основе доказательств приведённых  ранее теорем  лежали функциональные уравнения, так и сейчас нам будет важно отдельно рассмотреть ряд положений, касающихся выпуклых функций.
1.  Некоторые вопросы теории выпуклых функций
Выпуклые функции определяются по-разному, но наиболее естественным, пожалуй, является основанное на геометрических соображениях такое
Определение. Функция <shape id="_x0000_i1424" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image667.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb76446.zip» v:shapes="_x0000_i1424"> называется выпуклой вниз (вверх) на промежутке X, если любая хорда кривой <shape id="_x0000_i1425" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image669.wmz» o:><img width=«61» height=«25» src=«dopb76447.zip» v:shapes="_x0000_i1425"> лежит не ниже (не выше)  дуги, которую эта хорда стягивает.
Далее будем рассматривать выпуклые вниз функции, а все результаты для выпуклых вверх функций при желании можно получить простым обращением знака в неравенствах.
Теорема 7 (неравенство Иенсена).  Для того, чтобынепрерывнаяфункция <shape id="_x0000_i1426" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image463.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb76289.zip» v:shapes="_x0000_i1426"> была выпуклой вниз на промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство <shape id="_x0000_i1427" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image671.wmz» o:><img width=«159» height=«53» src=«dopb76448.zip» v:shapes="_x0000_i1427"> для всех <shape id="_x0000_i1428" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image673.wmz» o:><img width=«48» height=«24» src=«dopb76449.zip» v:shapes="_x0000_i1428"> и <shape id="_x0000_i1429" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image029.wmz» o:><img width=«45» height=«27» src=«dopb76113.zip» v:shapes="_x0000_i1429">,<shape id="_x0000_i1430" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image054.wmz» o:><img width=«67» height=«23» src=«dopb76127.zip» v:shapes="_x0000_i1430">, <shape id="_x0000_i1431" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image675.wmz» o:><img width=«73» height=«54» src=«dopb76450.zip» v:shapes="_x0000_i1431">.
Доказательство[2]. Выясним вначале, что геометрически означает указанное неравенство при n=2. Любая точка <shape id="_x0000_i1432" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image677.wmz» o:><img width=«73» height=«27» src=«dopb76451.zip» v:shapes="_x0000_i1432"> может быть представлена в виде <shape id="_x0000_i1433" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image679.wmz» o:><img width=«104» height=«27» src=«dopb76452.zip» v:shapes="_x0000_i1433">, где <shape id="_x0000_i1434" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image027.wmz» o:><img width=«53» height=«51» src=«dopb76453.zip» v:shapes="_x0000_i1434">, <shape id="_x0000_i1435" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image029.wmz» o:><img width=«40» height=«28» src=«dopb76454.zip» v:shapes="_x0000_i1435">. Так как концы хорды – это точки <shape id="_x0000_i1436" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image683.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb76455.zip» v:shapes="_x0000_i1436">и <shape id="_x0000_i1437" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image685.wmz» o:><img width=«79» height=«25» src=«dopb76456.zip» v:shapes="_x0000_i1437">, то точка хорды с абсциссой  xимеет ординату <shape id="_x0000_i1438" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image687.wmz» o:><img width=«152» height=«25» src=«dopb76457.zip» v:shapes="_x0000_i1438">. Таким образом неравенство <shape id="_x0000_i1439" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image689.wmz» o:><img width=«212» height=«26» src=«dopb76458.zip» v:shapes="_x0000_i1439"> означает, что при <shape id="_x0000_i1440" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image679.wmz» o:><img width=«104» height=«27» src=«dopb76452.zip» v:shapes="_x0000_i1440"> точка графика функции лежит не выше соответствующей точки хорды,  и это верно для любой точки хорды, так как мы берём любые pi  при  условии <shape id="_x0000_i1441" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image027.wmz» o:><img width=«53» height=«51» src=«dopb76453.zip» v:shapes="_x0000_i1441">, <shape id="_x0000_i1442" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image029.wmz» o:><img width=«40» height=«28» src=«dopb76454.zip» v:shapes="_x0000_i1442">.
И поэтому для непрерывной функции определение выпуклости вниз  и данное неравенство при n=2 эквивалентны. 
Покажем сейчас, что это неравенство справедливо и для любого числа точек. Рассуждаем по индукции. Если <shape id="_x0000_i1443" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image691.wmz» o:><img width=«129» height=«25» src=«dopb76459.zip» v:shapes="_x0000_i1443">, то   <shape id="_x0000_i1444" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image693.wmz» o:><img width=«491» height=«47» src=«dopb76460.zip» v:shapes="_x0000_i1444">
<shape id="_x0000_i1445" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image695.wmz» o:><img width=«278» height=«50» src=«dopb76461.zip» v:shapes="_x0000_i1445"><shape id="_x0000_i1446" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image697.wmz» o:><img width=«291» height=«49» src=«dopb76462.zip» v:shapes="_x0000_i1446">
<shape id="_x0000_i1447" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:allowoverlap=«f»><imagedata src=«15317.files/image699.wmz» o:><img width=«255» height=«23» src=«dopb76463.zip» v:shapes="_x0000_i1447">  и т.д.
Верно и обратное, если неравенство <shape id="_x0000_i1448" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image701.wmz» o:><img width=«154» height=«50» src=«dopb76464.zip» v:shapes="_x0000_i1448"> выполняется для какого-то n>2, то  оно выполняется и для n=2.
Действительно, перепишем <shape id="_x0000_i1449" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image703.wmz» o:><img width=«266» height=«52» src=«dopb76465.zip» v:shapes="_x0000_i1449"> и возьмём <shape id="_x0000_i1450" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image705.wmz» o:><img width=«55» height=«27» src=«dopb76466.zip» v:shapes="_x0000_i1450"> для <shape id="_x0000_i1451" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image707.wmz» o:><img width=«64» height=«26» src=«dopb76467.zip» v:shapes="_x0000_i1451">.  Тогда <shape id="_x0000_i1452" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image709.wmz» o:><img width=«226» height=«25» src=«dopb76468.zip» v:shapes="_x0000_i1452">, где  <shape id="_x0000_i1453" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image711.wmz» o:><img width=«49» height=«25» src=«dopb76469.zip» v:shapes="_x0000_i1453">, <shape id="_x0000_i1454" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image713.wmz» o:><img width=«72» height=«47» src=«dopb76470.zip» v:shapes="_x0000_i1454"> и <shape id="_x0000_i1455" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image715.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb76471.zip» v:shapes="_x0000_i1455">.
Очевидно, если все  <shape id="_x0000_i1456" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image717.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb76472.zip» v:shapes="_x0000_i1456"> равны друг другу, то мы получаем равенство в нашем неравенстве. В противном случае равенствопри n=2 <shape id="_x0000_i1457" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image719.wmz» o:><img width=«232» height=«26» src=«dopb76473.zip» v:shapes="_x0000_i1457"> (<shape id="_x0000_i1458" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image721.wmz» o:><img width=«56» height=«29» src=«dopb76474.zip» v:shapes="_x0000_i1458">) означает, что любая хорда кривой <shape id="_x0000_i1459" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image669.wmz» o:><img width=«61» height=«25» src=«dopb76447.zip» v:shapes="_x0000_i1459"> совпадает с дугой, которую эта хорда стягивает, то есть функция  <shape id="_x0000_i1460" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image463.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb76289.zip» v:shapes="_x0000_i1460"> линейна. Мы можем поэтому сделать следующее
Замечание.Если функция  <shape id="_x0000_i1461" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image463.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb76289.zip» v:shapes="_x0000_i1461"> не линейна на промежутке X, то равенство в неравенстве Иенсена достигается только тогда, когда все  <shape id="_x0000_i1462" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image717.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb76472.zip» v:shapes="_x0000_i1462"> равны друг другу.
Таким образом определение выпуклой функции и данное неравенство для любого n  эквивалентны. Поэтому выполнимость неравенства, если необходимо, мы можем считать аналитическим определением выпуклой функции.
Теорема 8 (аналог неравенства Иенсена).  Для  выпуклой  вниз  на отрезке  <shape id="_x0000_i1463" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image723.wmz» o:><img width=«36» height=«26» src=«dopb76475.zip» v:shapes="_x0000_i1463">  функции  <shape id="_x0000_i1464" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image463.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb76289.zip» v:shapes="_x0000_i1464">  справедливо  неравенство 
 <shape id="_x0000_i1465" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image725.wmz» o:><img width=«333» height=«58» src=«dopb76476.zip» v:shapes="_x0000_i1465">  для  всех <shape id="_x0000_i1466" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image727.wmz» o:><img width=«65» height=«29» src=«dopb76477.zip» v:shapes="_x0000_i1466"> и <shape id="_x0000_i1467" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image029.wmz» o:><img width=«45» height=«27» src=«dopb76113.zip» v:shapes="_x0000_i1467">, <shape id="_x0000_i1468" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image054.wmz» o:><img width=«67» height=«23» src=«dopb76127.zip» v:shapes="_x0000_i1468">,<shape id="_x0000_i1469" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image027.wmz» o:><img width=«63» height=«50» src=«dopb76478.zip» v:shapes="_x0000_i1469">.
Доказательство. Представив <shape id="_x0000_i1470" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image730.wmz» o:><img width=«154» height=«28» src=«dopb76479.zip» v:shapes="_x0000_i1470">,  <shape id="_x0000_i1471" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image732.wmz» o:><img width=«215» height=«28» src=«dopb76480.zip» v:shapes="_x0000_i1471">, где <shape id="_x0000_i1472" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image734.wmz» o:><img width=«80» height=«25» src=«dopb76481.zip» v:shapes="_x0000_i1472">,  докажем вначале вспомогательное утверждение. Справедливо неравенство <shape id="_x0000_i1473" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image736.wmz» o:><img width=«239» height=«28» src=«dopb76482.zip» v:shapes="_x0000_i1473">,  <shape id="_x0000_i1474" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image738.wmz» o:><img width=«62» height=«22» src=«dopb76483.zip» v:shapes="_x0000_i1474">. Действительно,
<shape id="_x0000_i1475" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image740.wmz» o:><img width=«475» height=«83» src=«dopb76484.zip» v:shapes="_x0000_i1475">
Теперь имеем:
<shape id="_x0000_i1476" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image742.wmz» o:><img width=«498» height=«60» src=«dopb76485.zip» v:shapes="_x0000_i1476">
<shape id="_x0000_i1477" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image744.wmz» o:><img width=«424» height=«57» src=«dopb76486.zip» v:shapes="_x0000_i1477">.
Равенство в нашем неравенстве достигается  только тогда, когда  обеспечивается равенство в каждой из произведённых оценок.  Поэтому, если   функция  <shape id="_x0000_i1478" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image463.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb76289.zip» v:shapes="_x0000_i1478"> не линейна, то равенство  будет только тогда,  когда <shape id="_x0000_i1479" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image717.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb76472.zip» v:shapes="_x0000_i1479"> равны либо <shape id="_x0000_i1480" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image746.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb76487.zip» v:shapes="_x0000_i1480">,  либо  <shape id="_x0000_i1481" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image748.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb76488.zip» v:shapes="_x0000_i1481">, что следует из условия   <shape id="_x0000_i1482" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image750.wmz» o:><img width=«316» height=«24» src=«dopb76489.zip» v:shapes="_x0000_i1482">, и только тогда,  когда все  <shape id="_x0000_i1483" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image717.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb76472.zip» v:shapes="_x0000_i1483"> равны друг другу, что следует из условия  <shape id="_x0000_i1484" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image752.wmz» o:><img width=«301» height=«57» src=«dopb76490.zip» v:shapes="_x0000_i1484">. В результате мы имеем такое
Замечание.Если функция  <shape id="_x0000_i1485" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image463.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb76289.zip» v:shapes="_x0000_i1485"> не линейна на <shape id="_x0000_i1486" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image723.wmz» o:><img width=«36» height=«26» src=«dopb76475.zip» v:shapes="_x0000_i1486">, то равенство в доказанном соотношении  достигается только тогда, когда  все  <shape id="_x0000_i1487" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image717.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb76472.zip» v:shapes="_x0000_i1487"> равны  a  или  все  <shape id="_x0000_i1488" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image717.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb76472.zip» v:shapes="_x0000_i1488"> равны b.
И  важная для практического применения теорем 7 и  8, позволяющая определять выпуклость достаточно широкого класса функций
Теорема 9 (достаточный признак выпуклой функции).  Если функция <shape id="_x0000_i1489" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image039.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb76289.zip» v:shapes="_x0000_i1489"> дважды дифференцируема в некотором интервале  и <shape id="_x0000_i1490" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image754.wmz» o:><img width=«49» height=«28» src=«dopb76491.zip» v:shapes="_x0000_i1490"> (<shape id="_x0000_i1491" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image756.wmz» o:><img width=«49» height=«28» src=«dopb76492.zip» v:shapes="_x0000_i1491">),  то  <shape id="_x0000_i1492" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image039.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb76289.zip» v:shapes="_x0000_i1492"> выпукла вниз (вверх) на этом интервале.
Доказательство[4]. Если <shape id="_x0000_i1493" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image758.wmz» o:><img width=«67» height=«30» src=«dopb76493.zip» v:shapes="_x0000_i1493">, то <shape id="_x0000_i1494" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image760.wmz» o:><img width=«127» height=«52» src=«dopb76494.zip» v:shapes="_x0000_i1494">, и по формуле Тейлора <shape id="_x0000_i1495" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image762.wmz» o:><img width=«316» height=«48» src=«dopb76495.zip» v:shapes="_x0000_i1495">. Умножая на piи складывая эти равенства, мы получаем  <shape id="_x0000_i1496" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image764.wmz» o:><img width=«283» height=«49» src=«dopb76496.zip» v:shapes="_x0000_i1496">, а отсюда в силу <shape id="_x0000_i1497" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image766.wmz» o:><img width=«69» height=«28» src=«dopb76497.zip» v:shapes="_x0000_i1497"> заключаем, что <shape id="_x0000_i1498" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image671.wmz» o:><img width=«169» height=«53» src=«dopb76498.zip» v:shapes="_x0000_i1498">.
Теперь приведём определение выпуклой функции от двух переменных и сформулируем аналогичные утверждения, доказательства которых будут теми же, если не считать очевидных изменений в обозначениях.
Определение. Функция <shape id="_x0000_i1499" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image769.wmz» o:><img width=«57» height=«24» src=«dopb76499.zip» v:shapes="_x0000_i1499"> называется выпуклой вниз (вверх) в выпуклой области D (то есть области, целиком содержащей отрезок, соединяющий любые её точки),  если любая хорда поверхности <shape id="_x0000_i1500" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image771.wmz» o:><img width=«78» height=«26» src=«dopb76500.zip» v:shapes="_x0000_i1500"> лежит не ниже (не выше)  соответствующей дуги на поверхности, которую эта хорда стягивает.
Теорема 10 (неравенство Иенсена). Для того, чтобынепрерывная функция <shape id="_x0000_i1501" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image769.wmz» o:><img width=«52» height=«26» src=«dopb76501.zip» v:shapes="_x0000_i1501"> была выпуклой вниз в области D, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство <shape id="_x0000_i1502" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image774.wmz» o:><img width=«252» height=«54» src=«dopb76502.zip» v:shapes="_x0000_i1502"> для всех <shape id="_x0000_i1503" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image776.wmz» o:><img width=«80» height=«25» src=«dopb76503.zip» v:shapes="_x0000_i1503"> и <shape id="_x0000_i1504" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image029.wmz» o:><img width=«45» height=«28» src=«dopb76504.zip» v:shapes="_x0000_i1504">,<shape id="_x0000_i1505" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image054.wmz» o:><img width=«67» height=«23» src=«dopb76127.zip» v:shapes="_x0000_i1505">, <shape id="_x0000_i1506" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image027.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb76505.zip» v:shapes="_x0000_i1506">.
Теорема 11 (аналог неравенства Иенсена). Для выпуклой вниз  в прямоугольной области  <shape id="_x0000_i1507" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image780.wmz» o:><img width=«80» height=«26» src=«dopb76506.zip» v:shapes="_x0000_i1507">,  <shape id="_x0000_i1508" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image782.wmz» o:><img width=«63» height=«22» src=«dopb76507.zip» v:shapes="_x0000_i1508">, <shape id="_x0000_i1509" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image784.wmz» o:><img width=«63» height=«23» src=«dopb76508.zip» v:shapes="_x0000_i1509">  функции  <shape id="_x0000_i1510" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image769.wmz» o:><img width=«52» height=«26» src=«dopb76501.zip» v:shapes="_x0000_i1510">  справедливо  неравенство
<shape id="_x0000_i1511" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image786.wmz» o:><img width=«452» height=«59» src=«dopb76509.zip» v:shapes="_x0000_i1511">,
для всех <shape id="_x0000_i1512" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image727.wmz» o:><img width=«65» height=«28» src=«dopb76510.zip» v:shapes="_x0000_i1512">, <shape id="_x0000_i1513" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image789.wmz» o:><img width=«68» height=«28» src=«dopb76511.zip» v:shapes="_x0000_i1513">, <shape id="_x0000_i1514" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image029.wmz» o:><img width=«45» height=«30» src=«dopb76512.zip» v:shapes="_x0000_i1514">, <shape id="_x0000_i1515" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image054.wmz» o:><img width=«67» height=«23» src=«dopb76127.zip» v:shapes="_x0000_i1515">, <shape id="_x0000_i1516" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image027.wmz» o:><img width=«61» height=«52» src=«dopb76513.zip» v:shapes="_x0000_i1516">. 
Теорема 12 (достаточный признак выпуклой функции).  Если  функция <shape id="_x0000_i1517" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image769.wmz» o:><img width=«47» height=«26» src=«dopb76514.zip» v:shapes="_x0000_i1517"> дважды дифференцируема в некоторой открытой области  и <shape id="_x0000_i1518" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image794.wmz» o:><img width=«55» height=«31» src=«dopb76515.zip» v:shapes="_x0000_i1518">, <shape id="_x0000_i1519" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image796.wmz» o:><img width=«61» height=«33» src=«dopb76516.zip» v:shapes="_x0000_i1519">, <shape id="_x0000_i1520" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image798.wmz» o:><img width=«138» height=«33» src=«dopb76517.zip» v:shapes="_x0000_i1520">   <shape id="_x0000_i1521" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image800.wmz» o:><img width=«56» height=«28» src=«dopb76518.zip» v:shapes="_x0000_i1521">, <shape id="_x0000_i1522" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image802.wmz» o:><img width=«53» height=«29» src=«dopb76519.zip» v:shapes="_x0000_i1522">, <shape id="_x0000_i1523" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image804.wmz» o:><img width=«141» height=«29» src=«dopb76520.zip» v:shapes="_x0000_i1523">, то  <shape id="_x0000_i1524" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image769.wmz» o:><img width=«52» height=«26» src=«dopb76501.zip» v:shapes="_x0000_i1524"> выпукла вниз (вверх) в этой области.
Сейчас на основе доказанных теорем перейдём непосредственно к обобщениям  неравенств Коши и Гёльдера и их аналогам.
2.  Обобщение неравенства Коши и его аналог
Известное неравенство Коши <shape id="_x0000_i1525" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image806.wmz» o:><img width=«187» height=«27» src=«dopb76521.zip» v:shapes="_x0000_i1525"> или <shape id="_x0000_i1526" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image808.wmz» o:><img width=«115» height=«48» src=«dopb76522.zip» v:shapes="_x0000_i1526"> говорит о том, что среднее геометрическое и среднее арифметическое сравнимы  для любых чисел xi>0  и любых весов <shape id="_x0000_i1527" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image029.wmz» o:><img width=«45» height=«28» src=«dopb76504.zip» v:shapes="_x0000_i1527">,  <shape id="_x0000_i1528" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image054.wmz» o:><img width=«67» height=«23» src=«dopb76127.zip» v:shapes="_x0000_i1528">,<shape id="_x0000_i1529" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image027.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb76505.zip» v:shapes="_x0000_i1529">. 
Возникает вопрос, будут ли сравнимы квази-средние, их обобщающие, то есть справедливо ли неравенство <shape id="_x0000_i1530" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image494.wmz» o:><img width=«84» height=«27» src=«dopb76353.zip» v:shapes="_x0000_i1530">≤<shape id="_x0000_i1531" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image492.wmz» o:><img width=«91» height=«27» src=«dopb76352.zip» v:shapes="_x0000_i1531">, или <shape id="_x0000_i1532" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image810.wmz» o:><img width=«114» height=«48» src=«dopb76523.zip» v:shapes="_x0000_i1532">≤<shape id="_x0000_i1533" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image812.wmz» o:><img width=«117» height=«48» src=«dopb76524.zip» v:shapes="_x0000_i1533">.
Теорема 13 (о сравнении квази-средних).  Для того, чтобы  выполнялось неравенство <shape id="_x0000_i1534" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image494.wmz» o:><img width=«100» height=«28» src=«dopb76525.zip» v:shapes="_x0000_i1534">≤<shape id="_x0000_i1535" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image492.wmz» o:><img width=«95» height=«27» src=«dopb76356.zip» v:shapes="_x0000_i1535">, или <shape id="_x0000_i1536" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image810.wmz» o:><img width=«121» height=«53» src=«dopb76526.zip» v:shapes="_x0000_i1536">≤<shape id="_x0000_i1537" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image812.wmz» o:><img width=«125» height=«53» src=«dopb76527.zip» v:shapes="_x0000_i1537"> для всех <shape id="_x0000_i1538" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image029.wmz» o:><img width=«42» height=«26» src=«dopb76528.zip» v:shapes="_x0000_i1538">, <shape id="_x0000_i1539" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image054.wmz» o:><img width=«67» height=«23» src=«dopb76127.zip» v:shapes="_x0000_i1539">, <shape id="_x0000_i1540" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image027.wmz» o:><img width=«69» height=«49» src=«dopb76529.zip» v:shapes="_x0000_i1540">, необходимо и достаточно, чтобы функция <shape id="_x0000_i1541" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image819.wmz» o:><img width=«64» height=«25» src=«dopb76530.zip» v:shapes="_x0000_i1541"> была выпуклой вниз, если <shape id="_x0000_i1542" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image821.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb76343.zip» v:shapes="_x0000_i1542"> возрастает,  или  выпуклой вверх, если <shape id="_x0000_i1543" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image821.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb76343.zip» v:shapes="_x0000_i1543"> убывает.
Доказательство[2]. Пусть <shape id="_x0000_i1544" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image821.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb76343.zip» v:shapes="_x0000_i1544"> возрастает. Тогда  из неравенства <shape id="_x0000_i1545" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image810.wmz» o:><img width=«121» height=«53» src=«dopb76526.zip» v:shapes="_x0000_i1545">≤<shape id="_x0000_i1546" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image812.wmz» o:><img width=«125» height=«53» src=«dopb76527.zip» v:shapes="_x0000_i1546"> следует <shape id="_x0000_i1547" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image822.wmz» o:><img width=«248» height=«58» src=«dopb76531.zip» v:shapes="_x0000_i1547">. Обозначая <shape id="_x0000_i1548" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image824.wmz» o:><img width=«120» height=«30» src=«dopb76532.zip» v:shapes="_x0000_i1548"> и <shape id="_x0000_i1549" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image826.wmz» o:><img width=«78» height=«28» src=«dopb76533.zip» v:shapes="_x0000_i1549">, получаем <shape id="_x0000_i1550" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image507.wmz» o:><img width=«80» height=«53» src=«dopb76534.zip» v:shapes="_x0000_i1550">≤<shape id="_x0000_i1551" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image509.wmz» o:><img width=«77» height=«52» src=«dopb76535.zip» v:shapes="_x0000_i1551">, то есть мы просто переписываем неравенство <shape id="_x0000_i1552" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image494.wmz» o:><img width=«84» height=«28» src=«dopb76536.zip» v:shapes="_x0000_i1552">≤<shape id="_x0000_i1553" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image492.wmz» o:><img width=«90» height=«28» src=«dopb76537.zip» v:shapes="_x0000_i1553"> в другой форме.   Новое же неравенство по теореме 7 справедливо тогда и только тогда, когда функция <shape id="_x0000_i1554" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image832.wmz» o:><img width=«39» height=«22» src=«dopb76538.zip» v:shapes="_x0000_i1554">, или  <shape id="_x0000_i1555" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image834.wmz» o:><img width=«61» height=«26» src=«dopb76539.zip» v:shapes="_x0000_i1555"> выпукла вниз.
При убывании <shape id="_x0000_i1556" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image821.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb76343.zip» v:shapes="_x0000_i1556"> рассуждаем аналогично.
Замечание.Если <shape id="_x0000_i1557" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image836.wmz» o:><img width=«136» height=«24» src=«dopb76540.zip» v:shapes="_x0000_i1557">, где <shape id="_x0000_i1558" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image838.wmz» o:><img width=«112» height=«21» src=«dopb76541.zip» v:shapes="_x0000_i1558">, на некотором промежутке, содержащем все<shape id="_x0000_i1559" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image717.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb76472.zip» v:shapes="_x0000_i1559">, то равенство в доказанном соотношении достигается только тогда, когда все  <shape id="_x0000_i1560" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image717.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb76472.zip» v:shapes="_x0000_i1560"> равны друг другу.
Действительно, пусть <shape id="_x0000_i1561" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image840.wmz» o:><img width=«87» height=«28» src=«dopb76542.zip» v:shapes="_x0000_i1561">=<shape id="_x0000_i1562" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image492.wmz» o:><img width=«91» height=«28» src=«dopb76543.zip» v:shapes="_x0000_i1562">. Тогда <shape id="_x0000_i1563" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image507.wmz» o:><img width=«80» height=«53» src=«dopb76534.zip» v:shapes="_x0000_i1563">=<shape id="_x0000_i1564" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image509.wmz» o:><img width=«77» height=«52» src=«dopb76535.zip» v:shapes="_x0000_i1564">, и поэтому если функция <shape id="_x0000_i1565" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image843.wmz» o:><img width=«39» height=«22» src=«dopb76544.zip» v:shapes="_x0000_i1565"> не линейна, то есть <shape id="_x0000_i1566" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image845.wmz» o:><img width=«170» height=«28» src=«dopb76545.zip» v:shapes="_x0000_i1566">, или<shape id="_x0000_i1567" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image847.wmz» o:><img width=«141» height=«24» src=«dopb76546.zip» v:shapes="_x0000_i1567">, то равенство достигается только тогда, когда все  все <shape id="_x0000_i1568" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image849.wmz» o:><img width=«21» height=«26» src=«dopb76547.zip» v:shapes="_x0000_i1568">, а следовательно, и <shape id="_x0000_i1569" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15317.files/image717.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb76472.zip» v:shapes="_x0000_i1569">, равны друг другу.
    продолжение
--PAGE_BREAK--