Реферат: Классы конечных групп F замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП />, ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ />-ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-43 МОКЕЕВА О. А.
Научный руководитель:
доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2008
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1 Некоторые базисные леммы
2 Критерий принадлежности факторизуемой группы
классическим классам конечных групп
3 Сверхрадикальные формации
Заключение
Список использованных источников
Перечень условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
/>— множество всех натуральных чисел;
/>— множество всех простых чисел;
/>— некоторое множество простых чисел, т. е. />;
/>---
дополнение к /> во множестве всех простых чисел; в частности, />;
примарное число — любое число вида />.
Буквами /> обозначаются простые числа.
Пусть /> — группа. Тогда:
/>— порядок группы />;
/>---
множество всех простых делителей порядка группы />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/>— коммутант группы />, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы />;
/>— подгруппа Фиттинга группы />, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы />;
/>— наибольшая нормальная />-нильпотентная подгруппа группы />;
/>— подгруппа Фраттини группы />, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы />;
/>— наибольшая нормальная />-подгруппа группы />;
/>— />-холлова подгруппа группы />;
/>— силовская />-подгруппа группы />;
/>— дополнение к силовской />-подгруппе в группе />, т. е. />-холлова подгруппа группы />;
/>— нильпотентная длина группы />;
/>— />-длина группы />;
/>— минимальное число порождающих элементов группы />;
/>— цоколь группы />, т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы />;
/>— циклическая группа порядка />.
--PAGE_BREAK--Если /> и /> — подгруппы группы />, то :
/>— /> является подгруппой группы />;
/>— /> является собственной подгруппой группы />;
/>— /> является нормальной подгруппой группы />;
/>--
— ядро подгруппы /> в группе />, т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с /> в />;
/>— нормальное замыкание подгруппы /> в группе />, т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с /> подгруппами группы />;
/>— индекс подгруппы /> в группе />;
/>;
/>— нормализатор подгруппы /> в группе />;
/>— централизатор подгруппы /> в группе />;
/>— взаимный коммутант подгрупп /> и />;
/>— подгруппа, порожденная подгруппами /> и />.
Минимальная нормальная подгруппа группы /> — неединичная нормальная подгруппа группы />, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы />;
/>— /> является максимальной подгруппой группы />.
Если /> и /> — подгруппы группы />, то:
/>— прямое произведение подгрупп /> и />;
/>— полупрямое произведение нормальной подгруппы /> и подгруппы />;
/>— /> и /> изоморфны;
/>— регулярное сплетение подгрупп /> и />.
Подгруппы /> и /> группы /> называются перестановочными, если />.
Группу /> называют:
/>-замкнутой, если силовская />-подгруппа группы /> нормальна в />;
/>-нильпотентной, если />-холлова подгруппа группы /> нормальна в />;
/>-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо />-группы, либо />-группы;
/>-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо />-группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой, если существует номер /> такой, что />;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическая группа — неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.
/>-замкнутая группа — группа, обладающая нормальной холловской />-подгруппой.
/>-специальная группа — группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской />-подгруппой.
/>-разложимая группа — группа, являющаяся одновременно />-специальной и />-замкнутой.
Группа Шмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
продолжение--PAGE_BREAK--
Добавлением к подгруппе /> группы /> называется такая подгруппа /> из />, что />.
Цепь — это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд подгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп /> называется:
субнормальным, если /> для любого />;
нормальным, если /> для любого />;
главным, если /> является минимальной нормальной подгруппой в /> для всех />.
Класс групп — совокупность групп, содержащая с каждой своей группой /> и все ей изоморфные группы.
/>-группа — группа, принадлежащая классу групп />.
Формация — класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если /> — класс групп, то:
/>— множество всех простых делителей порядков всех групп из />;
/>— множество всех тех простых чисел />, для которых />;
/>— формация, порожденная классом />;
/>— насыщенная формация, порожденная классом />;
/>— класс всех групп />, представимых в виде
/>
где />, />;
/>;
/>— класс всех минимальных не />-групп, т. е. групп не принадлежащих />, но все собственные подгруппы которых принадлежат />;
/>— класс всех />-групп из />;
/>— класс всех конечных групп;
/>— класс всех разрешимых конечных групп;
/>— класс всех />-групп;
/>— класс всех разрешимых />-групп;
/>— класс всех разрешимых />-групп;
/>— класс всех нильпотентных групп;
/>— класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной />.
Если /> и /> — классы групп, то:
/>.
Если /> — класс групп и /> — группа, то:
/>— пересечение всех нормальных подгрупп /> из /> таких, что />;
/>— произведение всех нормальных />-подгрупп группы />.
Если /> и /> — формации, то:
/>— произведение формаций;
/>— пересечение всех />-абнормальных максимальных подгрупп группы />.
Если /> — насыщенная формация, то:
/>— существенная характеристика формации />.
/>-абнормальной называется максимальная подгруппа /> группы />, если />, где /> — некоторая непустая формация.
/>-гиперцентральной подгруппой в /> называется разрешимая нормальная подгруппа /> группы />, если /> обладает субнормальным рядом /> таким, что
продолжение--PAGE_BREAK--
(1) каждый фактор /> является главным фактором группы />;
(2) если порядок фактора /> есть степень простого числа />, то />.
/>— />-гиперцентр группы />, т. е. произведение всех />-гиперцентральных подгрупп группы />.
Введение
Вопросы, посвященные факторизации групп, в теории конечных групп занимают важное место. Под факторизацией конечной группы понимается представление ее в виде произведения некоторых еe подгрупп, взятых в определенном порядке, или попарно перестановочных. Исследуются как способы факторизации заданной группы, так и свойства групп, допускающих ту или иную заданную факторизацию.
Начало исследований по факторизации конечных групп восходит к классическим работам Ф. Холла [62, 63], посвященных изучению строения разрешимых групп. Как известно, Ф. Холлом было доказано [63], что конечная разрешимая группа допускает факторизацию при помощи некоторых своих перестановочных силовских подгрупп различных порядков (составляющих так называемую силовскую базу разрешимой группы).
Следующий важный шаг в данном направлении был сделан С.А.Чунихиным, которым был исследован ряд важных арифметических свойств конечных групп [43]. Вопросами факторизации конечных групп занималось много математиков, и развитию данного направления посвящено много научных работ известных математиков.
Кегель и Виландт [68, 75] установили, что конечная группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами разрешима. Теорема Кегеля — Виландта послужила источником многочисленных обобщений и стимулировала дальнейшее развитие ряда вопросов, связанных с факторизациями конечных групп.
Cреди дальнейших исследований, посвященных факторизации групп, выделяются работы Л.С. Казарина [6, 7, 67], Л.А. Шеметкова [45, 46], В.С. Монахова [13, 14], А.Н. Скибы [12, 61], В.Н. Тютянова [38] и др.
Важную роль для дальнейшего строения факторизуемых групп оказала идея Гашюца о том [59], что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцем насыщенной формацией.
Напомним, что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп, замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.
Эффективность метода Гашюца проявилась прежде всего в том, что многие коренные свойства конечных групп имеют инвариантный характер при переходе от одной насыщенной формации к другой.
Известно, что класс нильпотентных групп /> замкнут относительно произведения нормальных подгрупп. В работе [64] Хоуксом была поставлена задача об описании наследственных разрешимых формаций Фиттинга, т. е. формаций />, замкнутых относительно произведения нормальных />-подгрупп. Брайс и Косси в работе [53] доказали, что любая разрешимая наследственная формация Фиттинга является насыщенной. Полное решение проблемы Хоукса было получено В.Н. Семенчуком в работах [27, 30].
Развивая подход Хоукса, Л.А. Шеметков предложил изучать формации />, замкнутые относительно произведения />-подгрупп, обладающих некоторыми заданными свойствами. В настоящее время данная тематика активно развивается математиками Испании, Китая, Беларуси.
В теории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальности является понятие />-субнормальности и />-достижимости. В дальнейшем такие подгруппы будем нызывать обобщенно субнормальными.
Одной из первых классификационных проблем данного направления является проблема Л.А. Шеметкова об описании наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, т. е. формаций /> с тем свойством, что любая группа />, где /> и /> — />-субнормальные />-подгруппы, принадлежит />.
Данная проблема сразу привлекла пристальное внимание специалистов по теории классов конечных групп. В работе [28] В.Н. Семенчуком в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы. Л.А. Шеметковым и В.Н. Семенчуком в работе [33] найдены серии произвольных наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций.
Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных (/>-субнормальных, />-достижимых) />-подгрупп, индексы которых взаимно просты.
Классифицировать наследственные насыщенные формации /> с тем свойством, что любая группа />, где /> и /> — />-субнормальные />-подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит />.
В 1996 году В.Н. Тютянов в работе [38] доказал, что любая конечная группа вида />, где /> и /> — />-нильпотентные подгруппы и индексы />, /> не делятся на некоторое простое число />, является />-нильпотентной группой.
Естественно возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительно произведения />-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число.
В попытках решения этих и других классификационных проблем выявилась особая роль критических групп формации /> ( минимальных не />-групп), т. е. групп, не принадлежащих некоторому классу групп />, но все собственные подгруппы которых принадлежат />. Еще в 1933 году С.А. Чунихин [40] поставил задачу изучения строения группы, в зависимости от свойств ее критических подгрупп. Развивая данную идею С.А. Чунихина, Л.А. Шеметков на восьмом (Сумы, 1982 г.) и девятом (Москва, 1984 г.) Всесоюзных симпозиумах по теории групп отметил особую роль критических групп при изучении не только отдельной группы, но и при описании классов групп.
Таким образом, задача классификации наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительно произведения />-подгрупп, обладающих заданными свойствами, занимает важное место в современной теории классов групп. На реализацию этой актуальной задачи и направлено данное диссертационное исследование.
1. Некоторые базисные леммы
В теории конечных групп одним из основных понятий является понятие субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].
Напомним, что подгруппа /> называется субнормальной подгруппой группы />, если существует цепь подгрупп
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
такая, что для любого /> подгруппа /> нормальна в />.
Естественным обобщением понятия субнормальности является понятие />-субнормальности, которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в монографии [44].
Пусть /> — непустая формация. Подгруппу /> группы /> называют />-субнормальной, если либо />, либо существует максимальная цепь
/>
такая, что /> для всех />.
Несколько другое понятие />-субнормальности введено Кегелем в работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальности и />-субнормальности в смысле Шеметкова.
Подгруппу /> называют />-субнормальной в смысле Кегеля или />-достижимой, если существует цепь подгрупп
/>
такая, что для любого /> либо подгруппа /> нормальна в />, либо />.
Для любой непустой формации /> множество всех />-достижимых подгрупп произвольной группы /> содержит множество всех субнормальных подгрупп группы /> и множество всех />-субнормальных подгрупп группы />. Если же /> — непустая нильпотентная формация, то множество всех />-достижимых подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для любой группы />.
В Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации сверхрадикальных формаций.
Напомним, что формация /> называется сверхрадикальной, если она удовлетворяет следующим требованиям:
1) /> — нормально наследственная формация;
2) любая группа />, где /> и /> — />-субнормальные />-подгруппы из />, принадлежит />.
В.Н. Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено полное решение данной проблемы.
В данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы
В данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не />-групп) и обобщенно субнормальных (/>-субнормальных и />-достижимых) подгрупп, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов диссертации.
Напомним, что критической группой формации /> ( минимальной не />-группой) называется группа, не принадлежащая />, все собственные подгруппы которой принадлежат />. Множество всех таких групп обозначают />. Через /> обозначают множество всех разрешимых групп, а через /> — множество всех групп, у которых />-корадикал /> разрешим.
1.1 Лемма. Пусть /> — насыщенная формация, /> — наследственная насыщенная формация. Если /> и />, где />, то />.
Доказательство. Пусть />. По теореме 2.2.1, /> — />-группа. Очевидно, что />. По лемме 2.2.2, />, где /> — />-группа, /> — />-группа и />. Так как /> и />, то />. Следовательно, /> — />-группа. Пусть /> — />-главный фактор />. Если /> — />-группа, то />/>-централен.
Пусть /> — />-группа. По теореме 2.2.3, />. Пусть /> и /> — произвольная />-абнормальная максимальная подгруппа группы />. Тогда />. Так как />, то, по теореме 2.2.4, />. Следовательно, />. Поскольку
/>
то />. Учитывая, что />, по теореме 2.2.5, имеем
/>
где /> — максимальные внутренние локальные экраны, соответственно /> и />. Если />, то />. Отсюда и из того, что
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
следует />. А это значит, что />/>-централен.
Пусть />. Так как /> — насыщенная формация и />, то />. Следовательно, /> — />-нормализатор группы />. В силу того, что /> покрывает />, то />/>-централен. Следовательно, />. По теореме 2.2.4, />. Лемма доказана.
1.2 Лемма. Пусть /> — непустая наследственная формация. Если /> — />-субнормальная подгруппа, то /> — субнормальная подгруппа.
Доказательство. Пусть /> — />-субнормальная подгруппа группы />. Если />, то лемма очевидна. Пусть />. Тогда /> содержится в максимальной />-нормальной подгруппе /> группы />. По индукции, /> — субнормальная подгруппа из />. Так как /> и /> — наследственная формация, то />. Следовательно, />, значит, />. Поскольку /> — нормальная подгруппа группы />, то /> — субнормальная подгруппа />. Лемма доказана.
1.3 Лемма. Пусть /> — наследственная насыщенная формация, /> — />-субнормальная подгруппа группы /> такая, что />. Тогда />.
Доказательство. Пусть />. Очевидно,
/>
Так как />, то по индукции />. Следовательно,
/>
Отсюда, согласно лемме 2.2.6,
/>
Пусть />. Тогда /> — цоколь группы />. По лемме 3.1.2, /> — субнормальная подгруппа группы />. По теореме 2.2.7, />. Следовательно, /> — нормальная подгруппа группы />. Тогда
/>
По теореме 2.2.8, />. Отсюда следует, что />. Так как /> и /> — наследственная формация, то />. Получаем />, т. е. />. Лемма доказана.
В следующих леммах приводятся основные свойства />-субнормальных подгрупп.
1.4 Лемма. Пусть /> — непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если /> — подгруппа группы /> и />, то /> — />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппа группы />;
2) если /> — />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппа группы />, то /> — />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппа /> для любой подгруппы /> группы />;
3) если /> — />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппа /> и /> — />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппа группы />, то /> — />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппа группы />;
4) если /> и /> — />-субнормальные (/>-достижимые) подгруппы группы />, то /> — />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппа группы />;
5) если все композиционные факторы группы /> принадлежат формации />, то каждая субнормальная подгруппа группы />/>-субнормальна в />;
продолжение--PAGE_BREAK--
6) если /> — />-субнормальная (/>-достижимая) подгруппа группы />, то />/>-субнормальна (/>-достижима) в /> для любых />.
Доказательство. 1) Пусть /> — подгруппа группы /> и />. Так как /> и /> — наследственная формация, то подгруппа /> является />-субнормальной подгруппой группы />. Отсюда, согласно определению />-субнормальной подгруппы, существует максимальная цепь
/>
такая, что /> для всех />. Отсюда, с учетом леммы 2.2.6 получаем, что в группе /> существует максимальная цепь
/>
такая, что /> для всех />.
А это значит, что /> — />-субнормальная подгруппа группы />.
Пусть /> — подгруппа группы />, содержащая />, тогда /> — />-субнормальная подгруппа группы />. А так как любая />-субнормальная подгруппа группы /> является />-достижимой в />, то /> — />-достижимая подгруппа группы />.
2) Пусть /> — />-субнормальная подгруппа группы />. Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп
/>
такая, что для любого />/>.
Пусть /> — некоторая подгруппа из />. Рассмотрим цепь подгрупп
/>
Так как /> и формация /> наследственна, то из /> следует, что
/>
Теперь, ввиду изоморфизма,
/>
имеем />. Значит, />. Так как />, то />. Итак, />. Отсюда, по определению, /> — />-субнормальная подгруппа группы />.
Пусть /> — />-достижимая подгруппа группы />. Тогда, по определению, существует цепь подгрупп
/>
такая, что для любого /> либо подгруппа /> нормальна в />, либо />.
Пусть /> — некоторая подгруппа из />. Рассмотрим цепь подгрупп:
/>
Если подгруппа /> нормальна в />, то подгруппа /> нормальна в />. Пусть />. Так как формация /> наследственна, то из /> следует, что
/>
Теперь, ввиду изоморфизма,
/>
имеем />. Значит, />. Так как />, то />. Итак, для каждого /> либо подгруппа /> нормальна в />, либо />. Отсюда, по определению, /> — />-достижимая подгруппа группы />.
Утверждение 3) следует непосредственно из определения />-субнормальной (/>-достижимой) подгруппы.
Утверждение 4) следует теперь из утверждений 2) и 3).
5) Пусть все композиционные факторы группы /> принадлежат формации />, и пусть /> — субнормальная подгруппа группы />. Тогда в группе /> существует цепь подгрупп
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
такая, что для любого /> подгруппа /> нормальна в />.
Согласно условию, />, отсюда следует, что />. А это значит, что подгруппа />/>-субнормальна в группе />.
Утверждение 6) следует непосредственно из определения />-субнормальной (/>-достижимой) подгруппы. Лемма доказана.
1.5 Лемма. Пусть /> — непустая формация, /> и /> — подгруппы группы />, причем /> нормальна в />. Тогда:
1) если />/>-субнормальна (/>-достижима) в />, то />/>-субнормальна (/>-достижима) в /> и />/>-субнормальна (/>-достижима) в />;
2) если />, то />/>-субнормальна (/>-достижима) в /> тогда и только тогда, когда />/>-субнормальна (/>-достижима) в />.
Доказательство. Пусть /> — />-субнормальная подгруппа группы />. Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп
/>
такая, что для любого />/>.
Рассмотрим следующую цепь подгрупп
/>
Так как />, то ввиду леммы 2.2.6, />. Отсюда следует, что
/>
Итак, для каждого />/>. Отсюда, по определению, /> — />-субнормальная подгруппа группы />.
Ввиду леммы 2.2.6,
/>
Поэтому для любого />/>. Значит, /> — />-субнормальная подгруппа группы />.
Пусть /> — />-достижимая подгруппа группы />. Тогда, по опрeделению, существует цепь подгрупп
/>
такая, что для любого /> либо /> нормальна в />, либо />. Рассмотрим следующую цепь подгрупп
/>
Если подгруппа /> нормальна в />, то подгруппа /> нормальна в />. Пусть />. Тогда ввиду леммы 2.2.6, />. Отсюда следует, что />. Итак, для каждого /> либо подгруппа /> нормальна в />, либо />. Отсюда, по определению, /> — />-достижимая подгруппа группы />.
Ввиду леммы 2.2.6, />. Поэтому для любого /> либо подгруппа /> нормальна в />, либо />. Значит, /> — />-достижимая подгруппа группы />.
Утверждение 2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.
2 Критерий принадлежности факторизуемой группы классическим классам конечных групп
В работе [3] А.Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп /> и />, у которых любая силовская подгруппа />-субнормальна в />. В этой же работе было получено описание таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитию данного направления были посвящены работы [4, 16].
В данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.
В теории классов групп важную роль играет класс всех />-групп (/> — некоторое множество простых чисел), который обозначается через />. Большинство важнейших классов групп можно построить из классов вида /> с помощью операций пересечения и произведения классов.
продолжение--PAGE_BREAK--
Напомним, что произведением классов групп /> и /> называется класс групп />, который состоит из всех групп />, таких, что в /> найдется нормальная />-подгруппа /> с условием />.
Пусть /> — множество всех натуральных чисел. Обозначим через /> некоторое подмножество из />. Пусть />, /> — некоторые множества простых чисел, а />, /> — классы всех />-групп и />-групп соответственно. В дальнейшем рассматриваем формации вида:
/>
Напомним, что группа /> называется />-замкнутой ( />-нильпотентной), если ее силовская />-подгруппа (силовское />-дополнение) нормальна в />. Группа /> называется />-разложимой, если она одновременно />-замкнута и />-нильпотентна.
Через /> обозначим дополнение к /> во множестве всех простых чисел, если />, то вместо /> будем просто писать />. Тогда /> — класс всех />-нильпотентных групп, /> — класс всех />-замкнутых групп, /> — класс всех />-разложимых групп, /> — класс всех нильпотентных групп, где /> пробегает все простые числа.
Группа /> называется />-нильпотентной ( />-разложимой), если она />-нильпотентна (/>-разложима) для любого простого числа /> из />. Классы всех />-нильпотентных (/>-разложимых) групп можно записать в виде
/>
Группа /> называется />-замкнутой, если она имеет нормальную />-холлову подгруппу. Тогда /> — класс всех />-замкнутых групп.
2.1 Лемма. Пусть /> — наследственная формация. Если /> — />-субнормальная />-подгруппа группы />, то композиционные факторы группы /> содержатся среди композиционных факторов групп из />.
Доказательство. Если />, то лемма верна. Пусть />. Тогда /> содержится в />-нормальной максимальной подгруппе /> группы />. По индукции, />. Так как />, то />. Отсюда, и из />, получаем />. Лемма доказана.
2.2 Лемма. Пусть /> — наследственная формация, /> — класс всех групп. Тогда формация /> совпадает с формацией />.
Доказательство леммы осуществляется непосредственной проверкой.
2.3 Теорема [10-A, 13-A]. Пусть /> — наследственная формация. Тогда всякая формация />, представимая в виде />, содержит любую группу />, у которой /> и силовские подгруппы из подгрупп /> и />/>-субнормальны в />.
Доказательство. Пусть /> — формация указанного вида и /> — такая группа, что />, где /> и любая силовская подгруппа из /> и />/>-субнормальна в />. Индукцией по порядку /> докажем, что />. Рассмотрим сначала случай, когда /> — класс всех групп.
Пусть /> — минимальная нормальная подгруппа из />. Ясно, что любая силовская подгруппа из /> и /> имеет вид />, />, где /> и /> — силовские подгруппы из /> и /> соответственно. Согласно лемме 3.1.5, /> и /> — />-субнормальные подгруппы фактор-группы />. По индукции, />. Так как /> — формация, то отсюда следует, что /> имеет единственную минимальную нормальную подгруппу />. Очевидно, что />. Так как /> — насыщенная формация, то нетрудно показать, что />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> — силовская подгруппа из />. Покажем, что />.
Пусть /> — абелева группа. Так как /> — />-субнормальная подгруппа группы />, то, согласно теореме 2.2.8, />.
Пусть /> — неабелева группа. В этом случае /> есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и />.
Рассмотрим подгруппу />. Согласно лемме 3.1.5, /> — />-субнормальная подгруппа группы />. Пусть />. Так как /> и /> — собственная />-субнормальная подгруппа группы />, то равенство /> невозможно. Итак, />.
Так как /> и /> — насыщенная формация, то />. Отсюда следует, что
/>
А это значит, что />. Если />, то />. Последнее равенство невозможно, так как /> согласно лемме 3.1.4 — собственная />-субнормальная подгруппа />.
Итак, /> — собственная подгруппа />. Если />, то
/>
Так как /> и /> — наследственная формация, то />. Но тогда нетрудно заметить, что />.
Так как />, то согласно лемме 3.1.4, /> — />-субнормальная подгруппа. Так как /> и /> — наследственная формация, то любая силовская подгруппа />/>-субнормальна в />. Согласно лемме 3.1.4, /> — />-субнормальная подгруппа группы />. По индукции, />. Отсюда следует, что /> для любой />.
Аналогичным образом доказывается, что /> для любой />, где /> — любая силовская подгруппа из />. Из того, что />, следует />.
Рассмотрим два случая: /> и />.
Пусть />. Покажем, что />.
Если /> — абелева, то /> — примарная />-группа, где />. Отсюда следует, что />.
Если /> — неабелева, то /> есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп.
Так как /> — нормальная подгруппа из />, то
/>
Так как />, то очевидно, что />. Так как />, то /> для любой />. Следовательно, />.
Пусть теперь />. Если /> — неабелева, то />. Тогда />. Отсюда следует, что />. А это значит, что />. Отсюда следует, что />, где /> — любое простое число из />.
Рассмотрим подгруппу />, где /> — любая силовская подгруппа из />.
Если />, то, как и выше, получаем, что />.
Если />, то, как и выше, получаем, что />. Отсюда следует, что />, где /> — любое простое число из />. Согласно лемме 2.2.9, любая силовская подгруппа /> группы /> есть />, где /> — силовские подгруппы из /> и /> соответственно. Отсюда следует, что любое простое число /> из /> принадлежит />. Следовательно, />. А это значит, что />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> — абелева группа, то />. Но тогда />.
Ввиду />, получаем, что /> для любой />. А это значит, что />.
Пусть теперь /> — произвольная наследственная формация и />. По лемме 3.2.1, композиционные факторы группы /> содержатся среди композиционных факторов групп из />. Это значит, что /> принадлежит />.
Пусть />. Так как />, то ввиду леммы 3.2.2, силовские подгруппы из /> и />/>-субнормальны в />. По доказанному, />. Так как />, то, по лемме 3.2.2, />. Теорема доказана.
2.4 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Пусть /> — наследственная формация. Тогда всякая формация вида /> является сверхрадикальной.
Доказательство. Пусть />, где /> и /> — />-субнормальные />-подгруппы группы />. Так как /> — наследственная формация, то согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из /> (из />) />-субнормальна в /> (соответственно в />). Отсюда, согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из /> и из />/>-субнормальна в />. Теперь требуемый результат следует из теоремы 3.2.3.
2.5 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Формация вида /> является сверхрадикальной.
2.6 Следствие. Пусть /> — формация всех />-нильпотентных групп. Тогда /> содержит любую группу />, где /> и /> — />-субнормальные подгруппы группы />, принадлежащие />.
2.7 Следствие. Пусть /> — формация всех />-замкнутых групп. Тогда /> содержит любую группу />, где /> и /> — />-субнормальные подгруппы группы />, принадлежащие />.
2.8 Следствие. Пусть /> — формация всех />-разложимых групп. Тогда /> содержит любую группу />, где /> и /> — />-субнормальные подгруппы группы />, принадлежащие />.
2.9 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть />. Тогда формация /> содержит любую группу />, у которой /> и силовские подгруппы из подгрупп /> и />/>-субнормальны в />.
2.10 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть /> — формация всех />-нильпо- тентных групп. Тогда /> содержит любую группу />, у которой силовские подгруппы из подгрупп /> и />/>-субнормальны в />.
2.11 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть /> — формация всех />-замкнутых групп. Тогда /> содержит любую группу />, у которой силовские подгруппы из подгрупп /> и />/>-субнормальны в />.
2.12 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть /> — формация всех />-разложимых групп. Тогда /> содержит любую группу />, у которой силовские подгруппы из подгрупп /> и />/>-субнормальны в />.
2.13 Лемма. Пусть /> — непустая наследственная формация. Пусть все композиционные факторы группы /> принадлежат />. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) /> — />-субнормальная подгруппа группы />;
2) /> — />-достижимая подгруппа группы />.
Доказательство. Пусть /> — />-субнормальная подгруппа группы />. Тогда, по определению, /> — />-достижимая подгруппа группы />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> — />-достижимая подгруппа группы />. Тогда существует цепь
/>
в которой для любого /> либо /> нормальна в />, либо />.
Пусть />. Уплотним участок от /> до /> цепи /> до максимальной />-цепи.
Ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, все подгруппы />, содержащие />, />-субнормальны в />. Пусть теперь /> нормальна в />. Можно считать, что /> — максимальная нормальная подгруппа /> (в противном случае уплотняем участок от /> до /> до композиционной />-цепи). Ввиду условия леммы />, т. е. />. Пришли к рассматриваемому выше случаю. Теперь, ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, подгруппа />/>-субнормальна в />. Лемма доказана.
2.14 Лемма. Пусть /> — наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) любая группа />, где /> и любые силовские подгруппы из подгрупп /> и />/>-субнормальны в />, принадлежит />;
2) любая группа />, где /> и любые силовские подгруппы из подгрупп /> и />/>-достижимы в />, принадлежит />.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство проведем индукцией по порядку группы />.
Пусть /> — минимальная нормальная подгруппа группы />. Очевидно, что />. Пусть /> — произвольная />-силовская подгруппа из />. Ясно, что /> — />-силовская подгруппа из />. По лемме 3.1.5, /> — />-достижимая подгруппа группы />. Аналогичным образом доказыватся, что любая силовская подгруппа из />/>-достижима в />. Так как />, то по индукции, />. Предположим, что /> и /> — две различные минимальные нормальные подгруппы группы />. Выше показано, что />, />. Так как /> — формация, то />. Итак, /> имеет единственную минимальную нормальную подгруппу />.
Покажем, что />. Предположим противное. Тогда, как и выше, с учетом индукции можно показать, что />. Так как /> — наследственная формация, то />. Итак, />.
Рассмотрим следующие два случая.
1) Пусть /> — абелева, тогда /> — примарная группа. Так как /> — насыщенная формация и />, то />. Как и выше, с учетом индукции можно показать, что />. Теперь, с учетом леммы 3.2.13 и условия следует, что />.
2) Пусть /> — неабелева группа. В этом случае
/>
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и />.
Рассмотрим подгруппу />. Согласно лемме 3.1.5, /> — />-субнормальная подгруппа группы />. Пусть />. Так как /> и /> — собственная />-субнормальная подгруппа группы />, то равенство /> невозможно. Итак, />.
Так как /> и /> — насыщенная формация, то />. Отсюда следует, что
/>
А это значит, что />. Если />, то />. Последнее равенство невозможно, так как />, согласно лемме 3.1.4, собственная />-субнормальная подгруппа />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Итак, /> — собственная подгруппа />. Если />, то
/>
Так как /> и /> — наследственная формация, то />. Но тогда нетрудно заметить, что />.
Согласно индукции, группа /> принадлежит формации />. Согласно лемме 3.2.13, любая />-достижимая подгруппа является />-субнормальной подгруппой. Согласно условию получаем, что группа /> принадлежит />.
Непосредственно из определения />-субнормальности и />-достижимости из 2) следует 1). Лемма доказана.
Непосредственно из данной леммы и теоремы 3.2.3 следует следующая теорема.
2.15 Теорема. Пусть /> — наследственная формация. Тогда всякая формация />, представимая в виде />, содержит любую группу />, у которой /> и силовские подгруппы из подгрупп /> и />/>-достижимы в />.
2.16 Следствие. Пусть />. Тогда формация /> содержит любую группу />, у которой /> и силовские подгруппы из подгрупп /> и />/>-достижимы в />.
2.17 Следствие. Пусть /> — формация всех />-нильпотентных групп. Тогда /> содержит любую группу />, у которой силовские подгруппы из подгрупп /> и />/>-достижимы в />.
2.18 Следствие. Пусть /> — формация всех />-замкнутых групп. Тогда /> содержит любую группу />, у которой силовские подгруппы из подгрупп /> и />/>-достижимы в />.
2.19 Следствие. Пусть /> — формация всех />-разложимых групп. Тогда /> содержит любую группу />, у которой силовские подгруппы из подгрупп /> и />/>-достижимы в />.
3. Сверхрадикальные формации
В теории формаций конечных групп одной из известных проблем является проблема Шеметкова об описании сверхрадикальных формаций.
В.Н. Семенчуком в работе [28] получено полное решение проблемы Л.А. Шеметкова в классе конечных разрешимых групп. Оказалось, что все такие формации имеют следующее строение: />, где /> — некоторые множества простых чисел, а /> — множество всех разрешимых />-групп.
В данном разделе приводится описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы.
Приведем примеры сверхрадикальных формаций.
3.1 Пример. Формация всех />-групп />, где /> — некоторое множество простых чисел является сверхрадикальной формацией.
Действительно. Пусть />, где /> и /> — />-группы, /> и /> — />-субнормальные подгруппы группы />. Так как формация /> замкнута относительно расширений, то, очевидно, что /> — />-группа.
3.2 Пример. Формации />, /> — сверхрадикальные формации.
Действительно, если /> — />-субнормальная подгруппа группы />, то /> — субнормальная подгруппа из />. Очевидно, что любая группа />, где /> и /> — нильпотентные субнормальные подгруппы из />, нильпотентна.
Если /> — разрешимая />-субнормальная подгруппа из />, то /> разрешима. Следовательно, /> — сверхрадикальная формация.
Аналогичным образом доказывается, что любая нормально наследственная, замкнутая относительно расширений, формация является сверхрадикальной.
Следующая лемма устанавливает связь между сверхрадикальными формациями и формациями Фиттинга.
Напомним, что формациями Фиттинга /> называются формации, которые замкнуты относительно взятия субнормальных подгрупп и произведения нормальных />-подгрупп.
продолжение--PAGE_BREAK--
3.3 Лемма. Пусть /> — наследственная сверхрадикальная формация, тогда /> — формация Фиттинга.
Доказательство. Пусть />, где /> и /> — нормальные />-подгруппы группы />. Так как
/>
то />. Аналогичным образом, />. Согласно лемме 3.1.4, /> и /> — />-субнормальные подгруппы группы />. Так как /> — сверхрадикальная формация, то />. Итак, /> — формация Фиттинга. Лемма доказана.
3.4 Лемма. Пусть /> — непустая наследственная формация. Если /> содержит любую группу />, где для любого /> из /> силовские />-подгруппы /> и /> принадлежат /> и />-субнормальные подгруппы в />, то /> — сверхрадикальная формация.
Доказательство. Пусть /> — непустая наследственная формация, удовлетворяющая условию леммы. Покажем, что /> — сверхрадикальная формация. Пусть />, где /> и /> — />-субнормальные />-подгруппы группы />. Пусть /> — произвольное простое число из />, а /> и /> — силовские />-подгруппы из /> и /> соответственно. Так как /> и /> принадлежат /> и /> — наследственная формация, то /> и /> принадлежат /> и, /> и />/>-субнормальны в /> и /> соответственно. Так как /> и /> — />-субнормальные подгруппы группы />, то согласно лемме 3.1.4, /> и />/>-субнормальны в группе />. Согласно условию леммы, /> принадлежит />. А это значит, что /> — сверхрадикальная формация. Лемма доказана.
3.5 Лемма. Пусть /> — наследственная насыщенная разрешимая формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) /> — сверхрадикальная формация;
2) /> — содержит любую группу />, где /> и для любого простого числа /> из /> силовские />-подгруппы /> и />/>-субнормальны в />.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть /> — сверхрадикальная формация и пусть />, где /> и для любого простого числа /> из />/> и /> — />-субнормальные подгруппы группы />. Так как /> — насыщенная формация и />, то /> и /> принадлежат />. Так как /> — разрешимая формация и /> — />-субнормальная подгруппа группы />, то отсюда нетрудно показать, что /> — разрешимая группа. А это значит, что /> и /> разрешимы.
Согласно теореме Ф. Холла [63], />, где />. Так как /> — сверхрадикальная формация, то /> принадлежит />. Так как /> и /> — />-субнормальные подгруппы группы />, то согласно теореме 2.2.10, /> — />-субнормальная подгруппа группы />. Так как /> принадлежит /> и /> — сверхрадикальная формация, то подгруппа /> принадлежит />. Продолжая в аналогичном порядке получаем, что /> принадлежит />. Аналогичным образом можем доказать, что /> принадлежит />. Так как /> — сверхрадикальная формация, то />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Тот факт, что из 2) следует 1) вытекает из леммы 3.3.4. Лемма доказана.
В следующей теореме получено решение проблемы Шеметкова о классификации сверхрадикальных формаций для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы.
3.6 Теорема [20-A]. Пусть /> — наследственная насыщенная формация такая, что />. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) /> — сверхрадикальная формация;
2) />, где /> — некоторые множества простых чисел.
Доказательство. Пусть /> — сверхрадикальная формация. Вначале докажем, что любая минимальная не />-группа является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.
Пусть /> — произвольная минимальная не />-группа. Согласно условию теоремы, /> разрешима. Если />, то нетрудно заметить, что /> — группа простого порядка />, где />.
Рассмотрим случай, когда />. Согласно теореме 2.2.5, />, где /> — единственная минимальная нормальная подгруппа из />, /> — />-группа, />, /> — максимальный внутренний локальный экран формации />. Очевидно, что />.
Покажем, что /> является примарной циклической подгруппой. Предположим противное. Поскольку /> — разрешимая группа, то в /> существуют максимальные подгруппы /> и /> такие, что />. Так как />, то очевидно, что /> и /> — />-нормальные максимальные />-подгруппы группы />. Но тогда />. Так как /> — сверхрадикальная формация, то />. Противоречие. Итак, /> имеет единственный класс максимальных сопряженных подгрупп. Следовательно, /> — циклическая />-подгруппа. Поскольку /> — насыщенная формация и />, имеем />.
Покажем, что />. Предположим противное. Пусть />, где />. Пусть /> и /> — циклические группы соответственно порядков /> и />. Обозначим через /> регулярное сплетение />. Пусть /> — база сплетения, т. е. />. Так как некоторая подгруппа группы /> изоморфна />, то />. Очевидно, подгруппы />, /> принадлежат формации />.
Пусть />, где />. Обозначим через /> базу сплетения />. Тогда />.
Так как />, то />, значит, что подгруппы /> и />/>-субнормальны в />. Легко видеть, что />, />.
Так как /> — сверхрадикальная формация, то />. Но />, и поэтому />.
Полученное противоречие показывает, что />. Итак, /> — группа Шмидта. Теперь из леммы 3.1.1 следует, что /> — группа Шмидта.
Пусть /> — максимальный внутренний локальный экран формации />. Покажем, что формация /> имеет полный локальный экран /> такой, что />, для любого /> из />. Действительно, пусть /> — такая формация, у которой есть локальный экран />. Покажем, что />.
С учетом того, что /> для любого простого /> из />, получим />.
Покажем обратное включение. Пусть /> — группа наименьшего порядка из />. Так как /> — наследственная формация, то формация /> также является наследственной, значит, />. Так как /> — насыщенная формация, то нетрудно показать, что />.
Выше показано, что /> — либо группа простого порядка, либо группа Шмидта. Пусть /> — группа простого порядка и />. Нетрудно показать, что />. Так как />, имеем />. Отсюда следует, что />. Противоречие.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть теперь /> — группа Шмидта. Поскольку />, то из свойств группы Шмидта следует />, где /> и />. Так как />, то />. Из того, что />, следует />. Так как /> и /> — наследственная формация, то />. Теперь из того, что />, где /> — единственная минимальная нормальная подгруппа группы /> и />, следует что />. Получили противоречие. Итак, />, значит, />.
Так как /> — локальный экран формации />, имеем
/>
следовательно, /> — формация из 2).
Пусть />. Тогда из следствия 3.2.5 следует, что /> — сверхрадикальная формация. Теорема доказана.
Покажем, что в теореме 3.3.6 условие наследственной насыщенной формации /> можно отбросить, в случае, когда /> — разрешимая формация.
3.7 Лемма. Пусть /> — разрешимая нормально наследственная формация. Если /> и />, то />.
Доказательство. Пусть /> и />. Если />, то утверждение леммы очевидно. Пусть />. Пусть /> — нормальная максимальная подгруппа группы />. Если />, то />.
Пусть />. Ясно, что />. Так как /> и /> — нормально наследственная формация, то />. Индукцией по порядку группы /> получаем, что />. Лемма доказана.
Если /> — произвольный класс групп, то через /> обозначим наибольший по включению наследственный подкласс класса />. Более точно
/>
3.8 Лемма. Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией.
Доказательство. Пусть /> — разрешимая сверхрадикальная формация. Как и в теореме 3.3.6 нетрудно показать, что любая разрешимая минимальная не />-группа является группой Шмидта, либо группой простого порядка.
Покажем, что />, где /> — максимальная наследственная подформация из />. Допустим, что множество /> непусто и выберем в нем группу /> наименьшего порядка. В силу леммы 2.2.11, формация /> является насыщенной. Поэтому />. Очевидно, что группа /> имеет единственную минимальную нормальную подгруппу /> и />. Так как />, то в /> найдется минимальная не />-группа />. Из нормальной наследственности формации /> следует, что />. Ясно, что /> является также минимальной не />-группой.
По условию, /> — группа Шмидта. В этом случае />, где /> — нормальная силовская />-подгруппа, а /> — циклическая />-подгруппа группы />, /> и /> — различные простые числа.
Если />, то
/>
Получили противоречие с выбором />. Остается принять, что />. Отсюда и из /> получаем, что />, а значит, /> — />-группа. Рассмотрим />. Тогда группу /> можно представить в виде
/>
где /> — элементарная абелева />-группа, а />. Так как /> не входит в />, то по лемме 2.2.12 />, где /> — максимальный внутренний локальный экран формации />. Так как /> и />, то /> является />-группой. Отсюда следует, что />. Из нормальной наследственности формации />, по теореме 2.2.13, следует, что /> является нормально наследственной формацией. Тогда, по лемме 3.3.7, />. Получили противоречие. Таким образом, />. Лемма доказана.
продолжение--PAGE_BREAK--
Напомним, что формация /> называется формацией Шеметкова, если любая минимальная не />-группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.
3.9 Теорема [16-A]. Пусть /> — наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) /> — формация Шеметкова;
2) формация /> содержит любую группу />, где /> и /> — />-достижимые />-подгруппы из /> и />;
3) /> — сверхрадикальная формация и />;
4) формация /> такая, что для любой группы /> и для любых ее перестановочных />-субнормальных подгрупп /> и /> подгруппа />/>-субнормальна в /> и />;
5) формация /> такая, что для любой группы /> и для любых ее перестановочных />-достижимых подгрупп /> и /> подгруппа />/>-достижима в /> и />;
6) />, где /> — некоторые множества простых чисел и />.
Доказательство следует из теорем 2.2.14, 2.2.15 и теоремы 3.3.6.
3.10 Теорема [3-A, 5-A]. Пусть /> — наследственная насыщенная формация такая, что />. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) формация /> содержит любую группу />, где /> и /> — />-субнормальны в G и />;
2) />, где /> — некоторые множества простых чисел.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть /> — формация, удовлетворяющая утверждению 1). Покажем, что она является сверхрадикальной формацией. Пусть /> — любая группа такая, что />, где /> и /> — />-субнормальные подгруппы группы />, принадлежащие />. Пусть /> и /> произвольные />-силовские подгруппы из /> и /> соответственно. Так как />, /> и /> — наследственная формация, то /> и />/>-субнормальны соответственно в /> и />. Так как /> и />/>-субнормальны в />, то по лемме 3.1.4, /> и />/>-субнормальны в группе />. Отсюда следует, что />. Следовательно, /> — сверхрадикальная формация.
Теперь, согласно теореме 3.3.6, получаем, что />.
Обратное утверждение следует из следствия 3.2.16. Теорема доказана.
Из леммы 3.3.5 следует, что в классе конечных разрешимых групп класс всех наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций совпадает с классом всех наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп /> и />, силовские подгруппы которых обобщенно субнормальны в />.
Как следует из теоремы 3.3.10, аналогичное утверждение верно для всех наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы. Однако для произвольной наследственной насыщенной формации данный вопрос остается открытым.
Заключение
В главе 1 приведены некоторые свойства критических групп и обобщенно субнормальных подгрупп, необходимые для доказательства основных результатов глав2 и 3.
В главе 2 найдены серии наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительно произведения подгрупп /> и />, у которых любая силовская подгруппа />-субнормальна в />, теорема 2.3 [10-A,13-A].
В главе 3 получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы, теорема 3.6 [20-A].
Основные научные результаты работы
В данной работе проведено изучение строения наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительно произведения />-подгрупп, обладающих заданными свойствами.
1. Найдены серии произвольных наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительно произведения подгрупп /> и />, у которых любая силовская подгруппа />-субнормальна в /> [10-A, 13-A].
продолжение--PAGE_BREAK--
2. Получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы [20-A].
3. В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных />-подгрупп взаимно простых индексов [18-A].
4. Доказано, что любая разрешимая 2-кратно насыщенная формация />, замкнутая относительно произведения обобщенно субнормальных />-подгрупп, индексы которых взаимно просты является сверхрадикальной [18-A].
5. Получено описание наследственных насыщенных />-формаций Шеметкова [14-A, 21-A].
6. Получено описание наследственных насыщенных />-формаций Шеметкова [14-A, 21-A].
7. В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга />, замкнутых относительно произведения />-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число [14-A, 21-A].
Полученные результаты могут найти приложение в вопросах классификации классов конечных групп, в дальнейшем развитии теории обобщенно субнормальных подгрупп, а также при изучении строения непростых конечных групп по заданным свойствам её обобщенно субнормальных и критических подгрупп.
Решенные в диссертации задачи позволяют подойти к ещё нерешенным проблемам: задаче об описании наследственных сверхрадикальных формаций; задаче об описании наследственных насыщенных формаций />, замкнутых относительно произведений обобщенно субнормальных />-подгрупп, индексы которых взаимно просты.
Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей в высших учебных заведениях, написании курсовых, дипломных проектов и диссертаций.
Список использованных источников
1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1990. — Вып. 5. — С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. — Киев, 1993. — С. 27--54.
3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных />-субнормальных подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Гомель, 1995. — Вып. 8. — С. 31--39.
4. Васильева, Т.И. О конечных группах с />-достижимыми силовскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. — Гомель, 2006. — 18 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. — 1989. — Т. 46, № 3. — С. 32--37.
6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. — 1980. — Т. 44, № 2. — С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. — 1983. — Т. 269, № 3. — С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. — 1993. — Т. 53, № 2. — С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. — 1994. — Т. 35, № 4. — С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. — Новосибирск, 1992. — 172 с.
11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. — Новосибирск, 1999. — 146 с.
12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. — 2007. — Т. 51, № 1. — С. 27--33.
13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. — 1975. — С. 70--100.
14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1985. — Вып. 1. — С. 54--57.
15. Мокеева, С.А. Конечные группы с перестановочными />-субнормальными (/>-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. — Гомель, 2003. — 25 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).
16. Прокопенко, А.И. О конечных группах с />-достижимыми силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 2004. — № 6 (27). — С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. О минимальных не />-группах / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. — 1978. — № 7. — С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. — 1979. — № 1. — С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н. Минимальные не />-группы / В.Н. Семенчук // Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18, № 3. — С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н. Конечные группы с системой минимальных не />-подгрупп / В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1981. — С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н. Минимальные не />-группы / В.Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. — С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н. Характеризация локальных формаций /> по заданным свойствам минимальных не />-групп / В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. — С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н. Описание разрешимых минимальных не />-групп для произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1988. — Т. 43, № 4. — С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных не />-группах / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — Минск: Университетское, 1987. — Вып. 3. — С. 16--21.
25. Семенчук, В.Н. Роль минимальных не />-групп в теории формаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1991. — Т. 98, № 1. — С. 110--115.
26. Семенчук, В.Н. Конечные группы с />-абнормальными или />-субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1994. — Т. 56, № 6. — С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. — 1995. — Т. 36, № 4. — С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н. Разрешимые />-радикальные формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59, № 2. — С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. — 1996. — № 3. — С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — 1997. — № 11. — С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н., Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не />-групп / В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. — 1998. — № 4 (431). — С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 1999. — № 1 (15). — С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. — 2000. — Т. 44, № 5. — С. 24--26.
продолжение--PAGE_BREAK--
34. Семенчук, В.Н. Конечные группы, факторизуемые />-достижимыми подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 2002. — № 5 (14). — С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. — 1990. — Т. 34, № 11. — С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. — Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.
37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. — 1968. — Т. 3, № 1. — С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н. Факторизации />-нильпотентными сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. — 1996. — Т. 187, № 9. — С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1929. — Т. 36, № 2. — С. 135--137.
40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1933. — Т. 40, № 1. — С. 39--41.
41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1938. — Т. 4 (46), № 3. — С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. — ГОНТИ, М.--Л. — 1938. — С. 106--125.
43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. — Минск: Наука и техника, 1964. — 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1981. — Т. 25, № 8. — С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1984. — Т. 28, № 2. — С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. — М.: Наука, 1989. — 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. — 1924. — Т. 31, № 3. — С. 366--372.
49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of />-subnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1992. — Vol. 148, № 2. — P. 42--52.
50. Ballester-Bolinches, A. On />-critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1995. — Vol. 174. — P. 948--958.
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1996. — Vol. 179. — P. 905--917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. — Springer, 2006. — 385 p.
53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. — 1972. — Bd. 127, № 3. — S. 217--233.
54. Carter, R.O. The />-normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. — 1967. — Vol. 5, № 2. — Р. 175--202.
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. — 1968. — Vol. 9, № 3. — P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. — 1966. — Vol. 91. — P. 198--205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. — Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1992. — 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. — 1983. — Vol. 80, № 2. — P. 517--536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. — 1963. — Vol. 80, № 4. — P. 300--305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. — Dordrecht — Boston — London: Kluwer Academic Publishers, 2000. — 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. — 2007. — Vol. 315. — P. 31--41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1928. — Vol. 3. — P. 98--105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1937. — Vol. 43. — P. 316--323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. — 1970. — Vol. 117. — P. 177--182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. — 1954. — Vol. 60. — P. 409--434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. — 1951. — Vol. 1--2. — P. 1--6.
67. Kazarin, L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. — 1986. — Vol. 14, № 6. — P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. — 1961. — Vol. 12, № 2. — P. 90--93.
69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. — 1978. — Bd. 30, № 3. — S. 225--228.
70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. — 1903. — Vol. 4. — P. 398--404.
71. Semenchuk, V.N. Finite groups with permutable />-subnormal and />-accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4--9. — 2003. — P. 153--154.
72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. — 1968. — Vol. 74. — P. 383--437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. — 1939. — Bd. 45. — S. 209--244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. — 1958. — Bd. 69, № 8. — S. 463--465.
75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. — 1958. — Vol. 2, № 4B. — P. 611--618.