Реферат: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Исполнитель:
Студентка группы М-32 Лапухова А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Скиба М.Т.
Гомель 2005
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
2. Группы с -перестановочными -максимальными подгруппами
3. Группы, в которых -максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами
4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами />обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств />и знак строгого включения />;
/>и />— соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
/>— пустое множество;
/>— множество всех />для которых выполняется условие />;
/>— множество всех натуральных чисел;
/>— множество всех простых чисел;
/>— некоторое множество простых чисел, т.е. />;
/>— дополнение к />во множестве всех простых чисел; в частности, />;
примарное число — любое число вида />;
Пусть />— группа. Тогда:
/>— порядок группы />;
/>— порядок элемента /> группы />;
/>— единичный элемент и единичная подгруппа группы />;
/>— множество всех простых делителей порядка группы />;
/>— множество всех различных простых делителей натурального числа />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/>— подгруппа Фраттини группы />, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы />;
/>— подгруппа Фиттинга группы />, т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы />;
/>— наибольшая нормальная />-нильпотентная подгруппа группы />;
/>— коммутант группы />, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы />;
/>— />-ый коммутант группы />;
/>— наибольшая нормальная />-подгруппа группы />;
/>— />-холловская подгруппа группы />;
/>— силовская />-подгруппа группы />;
--PAGE_BREAK--/>— дополнение к силовской />-подгруппе в группе />, т.е. />-холловская подгруппа группы />;
/>— группа всех автоморфизмов группы />;
/>— /> является подгруппой группы />;
/>— /> является собственной подгруппой группы />;
/>— /> является максимальной подгруппой группы />;
нетривиальная подгруппа — неединичная собственная подгруппа;
/>— /> является нормальной подгруппой группы />;
/>— подгруппа /> характеристична в группе />, т.е. /> для любого автоморфизма />;
/>— индекс подгруппы /> в группе />;
/>;
/>— централизатор подгруппы /> в группе />;
/>— нормализатор подгруппы /> в группе />;
/>— центр группы />;
/>— циклическая группа порядка />;
/>— ядро подгруппы /> в группе />, т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с /> в />.
Если /> и /> — подгруппы группы />, то:
/>— прямое произведение подгрупп /> и />;
/>— полупрямое произведение нормальной подгруппы /> и подгруппы />;
/>— /> и /> изоморфны.
Группа /> называется:
примарной, если />;
бипримарной, если />.
Скобки /> применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
/>— подгруппа, порожденная всеми />, для которых выполняется />.
/>, где />.
Группу /> называют:
/>-замкнутой, если силовская />-подгруппа группы /> нормальна в />;
/>-нильпотентной, если />-холловская подгруппа группы /> нормальна в />;
/>-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо />-группы, либо />-группы;
/>-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо />-группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа /> группы /> такая, что /> нильпотентна.
разрешимой, если существует номер /> такой, что />;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе /> группы /> называется такая подгруппа /> из />, что />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Минимальная нормальная подгруппа группы /> — неединичная нормальная подгруппа группы />, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы />.
Цоколь группы /> — произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы />.
/>— цоколь группы />.
Экспонента группы /> — это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.
Цепь — это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп /> называется:
субнормальным, если /> для любого />;
нормальным, если /> для любого />;
главным, если /> является минимальной нормальной подгруппой в /> для всех />.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
/>— класс всех групп;
/>— класс всех абелевых групп;
/>— класс всех нильпотентных групп;
/>— класс всех разрешимых групп;
/>— класс всех />-групп;
/>— класс всех сверхразрешимых групп;
/>— класс всех абелевых групп экспоненты, делящей />.
Формации — это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть /> — некоторый класс групп и /> — группа, тогда:
/>— />-корадикал группы />, т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп /> из />, для которых />. Если /> — формация, то /> является наименьшей нормальной подгруппой группы />, факторгруппа по которой принадлежит />. Если /> — формация всех сверхразрешимых групп, то /> называется сверхразрешимым корадикалом группы />.
Формация /> называется насыщенной, если всегда из /> следует, что и />.
Класс групп /> называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что /> следует, что и каждая подгруппа группы /> также принадлежит />.
Произведение формаций /> и /> состоит из всех групп />, для которых />, т.е. />.
Пусть /> — некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа /> группы /> называется />-абнормальной, если />.
Подгруппы /> и /> группы /> называются перестановочными, если />.
Пусть />, /> -подгруппы группы /> и />. Тогда /> называется:
(1) />-перестановочной с />, если в /> имеется такой элемент />, что />;
(2) наследственно />-перестановочной с />, если в /> имеется такой элемент />, что />.
Пусть /> — максимальная подгруппа группы />. Нормальным индексом подгруппы /> называют порядок главного фактора />, где /> и />, и обозначают символом />.
Подгруппа /> группы /> называется />-максимальной подгруппой или иначе второй максимальной подгруппой в />, если в /> найдется такая максимальная подгруппа />, в которой /> является максимальной подгруппой. Аналогично определяют />-максимальные (третьи максимальные) подгруппы, />-максимальные подгруппы и т.д.
продолжение--PAGE_BREAK--
Введение
Подгруппы /> и /> группы /> называются перестановочными, если />. Подгруппа /> группы /> называется перестановочной или квазинормальной в />, если /> перестановочна с каждой подгруппой группы />.
Перестановочные подгруппы обладают рядом интересных свойств, чем был и вызван широкий интерес к анализу перестановочных и частично перестановочных подгрупп в целом. Изучение перестановочных подгрупп было начато в классической работе Оре, где было доказано, что любая перестановочная подгруппа является субнормальной. Подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, впервые изучались в работе С.А. Чунихина. Отметим, что подгруппы такого типа были названы позднее в работе Кегеля />-квазинормальными. В 60-70-х годах прошлого столетия появились ряд ключевых работ по теории перестановочных подгрупп, которые предопределили основные направления развития теории перестановочных подгрупп в последующие годы. Уточняя отмеченный выше результат Оре, Ито и Сеп в работе доказали, что для каждой перестановочной подгруппы /> группы /> факторгруппа /> нильпотентна. В другом направлении этот результат Оре получил развитие в работах Кегеля и Дескинса. Кегель доказал, что любая />-квазинормальная подгруппа является субнормальной и показал, что подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, образуют решетку. Первый из этих двух результатов Дескинс обобщил следующим образом, если /> порождается своими />-элементами и />-подгруппа /> группы />/>-квазинормальна в />, то факторгруппа /> нильпотентна. В этой работе Дескинс высказал предположение о том, что для квазинормальной в /> подгруппы /> факторгруппа /> абелева. Отрицательное решение этой задачи было получено Томпсоном в работе.
Отметим, что после выхода работ, частично перестановочные подгруппы стали активно использоваться в исследованиях многих авторов. В частности, в работе Э.М. Пальчик исследовал свойства />-квазинормальных подгрупп, т. е. подгрупп перестановочных со всеми бипримарными подгруппами группы />. Существенно усиливая результат работы, Майер и Шмид доказали, что если /> — квазинормальная подгруппа конечной группы />, то факторгруппа /> содержится в гиперцентре факторгруппы />, где /> — ядро подгруппы />. Отметим, что аналогичный результат для подгрупп, перестановочных с силовскими подгруппами, был получен лишь в недавней работе П. Шмидта. Стоунхьюер в работе обобщил результат Оре на случай бесконечных групп. Он доказал, что каждая перестановочная подгруппа конечно порожденной группы субнормальна.
Значительные успехи, достигнутые в изучении перестановочных подгрупп, в 1960-1980 годах послужили основой для дальнейшего изучения групп по наличию в них тех или иных систем перестановочных подгрупп. В частности, Хупперт доказал, что разрешимая группа /> сверхразрешима, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из /> перестановочны с силовскими подгруппами из />, и группа /> разрешима, если в ней имеется такая силовская подгруппа /> и такое ее дополнение />, что /> перестановочна со всеми максимальными подгруппами из />. Эти два результата Хупперта дали толчок большому числу публикаций, cвязанных с исследованием влияния на строение основой группы максимальных подгрупп силовских подгрупп и, в частности, с исследованием перестановочности таких подгрупп. Другой результат, давший значительный импульс к исследованию групп с заданными системами перестановочных подгрупп был получен Асаадом и Шаланом в их совместной работе, где была доказана сверхразрешимость конечной группы /> при условии, что />, где все подгруппы из /> перестановочны со всеми подгруппами из />. Идеи этой работы и, в частности, отмеченный здесь результат этой работы были развиты во многих направлениях в исследованиях многих авторов, где на основе перестановочности были описаны многие важные классы конечных и бесконечных групп .
В работе Го Вэньбиня, Шама и А.Н. Скибы было рассмотрено новое обобщение понятия перестановочной подгруппы. Согласно, погруппы /> и /> называются />-перестановочными, где />, если в /> имеется такой элемент />, что />. Используя понятие />-перестановочности можно охарактеризовать многие важные классы групп по наличию в них тех или иных />-перестановочных подгрупп для подходящих />. Согласно, группа /> является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы />-перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах />-перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах.
Таким образом, задача изучения групп с заданной системой перестановочных и обобщенно перестановочных подгрупп вполне актуальна, и дальнейшей ее реализации посвящена данная работа.
1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Результаты, связанные с изучением максимальных подгрупп, составили одно из самых содержательных направлений в теории конечных групп. Это связано прежде всего с тем, что многие известные классы групп допускают описания на основе свойств максимальных подгрупп. Отметим, например, что группа /> нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы нормальны; сверхразрешима тогда и только тогда, когда индексы всех ее максимальных подгрупп просты; разрешима тогда и только тогда, когда у любой ее максимальной подгруппы нормальный индекс совпадает с обычным индексом. Отметим также, что максимальные подгруппы лежат в основе многих важных признаков принадлежности группы выделенному классу групп. Наиболее известными результатами в этом направлении являются теорема Дескинса-Томпсона-Янко о том, что группа разрешима, если она обладает максимальной нильпотентной подгруппой, у которой класс нильпотентности силовских />-подгрупп не превосходит 2 и теорема О.Ю. Шмидта о разрешимости группы, у которой все максимальные подгруппы нильпотентны. Отметим, что разрешимость групп, у которых все максимальные подгруппы сверхразрешимы, была установлена Хуппертом.
По мере развития теории максимальных подгрупп многими авторами предпринимались также попытки изучения и применения />-максимальных, />-максимальных и т.д. подгрупп. При этом, как и для максимальных подгрупп, с одной стороны рассматривались группы с различными ограничениями на способ вложения обобщенно максимальных подгрупп в эти группы, с другой стороны исследовались свойства основной группы в зависимости от условий, накладываемых на внутреннее строение />-максимальных, />-максимальных и т.д. подгрупп. Пожалуй, наиболее ранний результат, относящийся к этому направлению, был получен Хуппертом, установившим сверхразрешимость группы, у которой все вторые максимальные подгруппы нормальны. В дальнейшем этот результат был развит в нескольких направлениях. В частности, сверхразрешимость разрешимых групп, у которых все вторые максимальные подгруппы перестановочны со всеми силовскими подгруппами было установлена Агровалем, а в работе Л.А. Поляков доказал, что группа сверхразрешима, если любая ее />-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами этой группы .
Оказалось, что группы, у которых все />-максимальные подгруппы нильпотентны, не обязательно разрешимы и полное описание групп с таким свойством в неразрешимом случае было получено Янком, а в разрешимом случае В.А. Белоноговым. Группы, у которых все />-максимальные подгруппы абелевы, были описаны Я.Г. Берковичем в работе. Эти результаты получили развитие в работе В.Н. Семенчука, который дал полное описание разрешимых групп, у которых все их />-максимальные подгруппы сверхразрешимы.
В последние годы получен ряд новых интересных результатов о />-максимальных подгруппах, связанных с изучением их способа вложения в основную группу. В этой связи, прежде всего, в которых на языке />-максимальных подгрупп получены описания ряда важных классов групп. Напомним, что подгруппа /> группы /> обладает свойством покрытия-изолирования, если для любого главного фактора /> группы /> выполняется одно из двух условий /> или />. В работе доказано, что группа /> разрешима тогда и только тогда, когда в /> имеется такая />-максимальная разрешимая подгруппа, которая обладает свойством покрытия-изолирования. Отметим также, что в работе, а также в работе изучалось строение групп, в зависимоси от />-максимальных подгрупп их силовских подгрупп.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> и /> — подгруппы группы />. Тогда подгруппа /> называется />-перестановочной с />, если в /> найдется такой элемент />, что />. В работе найдены новые описания нильпотентных и сверхразрешимых групп на основе условия /> -перестановочности для />-максимальных подгрупп. В частности, доказано, что: Группа />нильпотентна тогда и только тогда, когда для любой />-максимальной подгруппы />группы />, имеющей непримарный индекс, в />найдется такая нильпотентная подгруппа />, что />и />/>-перестановочна со всеми подгруппами из />.
Пусть /> — набор всех />-максимальных подгрупп группы />.
Как показывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности, накладываемые на подгруппы из />, существенно определяют строение основной группы. В работе Л.Я. Полякова было доказано, что группа /> разрешима, если любая подгруппа из /> перестановочна со всеми подгруппами из /> для всех />, где />. В связи с этим результатом естественно возникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению данной задачи и посвящена настоящая глава.
2. Группы с />-перестановочными />-максимальными подгруппами
Отмеченные выше результаты работы допускают следующие уточнения.
[2.1]. Пусть />— группа, />— ее подгруппа Фиттинга. Если любая />-максимальная подгруппа группы />/>-перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы />, то группа />метанильпотентна.
Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть /> — контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Для любой неединичной нормальной в />подгруппы />факторгруппа />метанильпотентна.
Рассмотрим факторгруппу />. Пусть /> — произвольная максимальная в /> подгруппа и /> — произвольная />-максимальная /> подгруппа. Тогда /> максимальна в /> и />/>-максимальна в />, а значит, по условию подгруппа />/>-перестановочна с подгруппой />. Но тогда, согласно лемме, подгруппа />/>-перестановочна с подгруппой />. Итак, условие теоремы выполняется в />. Но /> и поэтому согласно выбора группы />, мы имеем (1).
(2) />— разрешимая группа.
Если в группе /> существует единичная />-максимальная подгруппа, то теорема очевидно справедлива. Предположим, что в группе /> все />-максимальные подгруппы отличны от единицы. Докажем, что для каждой максимальной подгруппы /> группы />, />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />. Тогда по условию для каждого />, мы имеем />. Ввиду леммы, /> и, следовательно, />. Значит, />. Поскольку />, то /> и поэтому по выбору группы /> мы заключаем, что /> — разрешимая группа. Это означает, что /> разрешима, и следовательно, /> — разрешимая группа.
(3) Группа />имеет единственную минимальную нормальную подгруппу />и />, где />и />— максимальная в />подгруппа, которая не является нильпотентной группой.
Пусть /> — произвольная минимальная нормальная подгруппа группы />. Так как класс всех метанильпотентных групп образует насыщенную формацию (см. лемму ), то /> — единственная минимальная нормальная подгруппа в />, причем />. В силу (2), /> является элементарной абелевой />-группой для некоторого простого />. Пусть /> — максимальная подгруппа в /> такая, что />. Пусть />. Ясно, что />. Так как />, мы видим, что />. Это показывает, что /> и, следовательно, />. Ясно, что /> и поэтому по выбору группы />, /> не является нильпотентной группой.
продолжение--PAGE_BREAK--
(4)Заключительное противоречие.
В силу (3), в группе /> имеется максимальная подгруппа />, которая не является нормальной подгруппой в />. Поскольку для любого />, /> — максимальная в /> подгруппа и /> — максимальная подгруппа в />, то /> — />-максимальная в /> подгруппа. Если /> — нормальная подгруппа в />, то />. Значит, /> не является нормальной подгруппой в />. Покажем, что /> — максимальная подгруппа группы />. Пусть />. Пусть /> — такая максимальная подгруппа группы />, что />. Тогда />. Значит, /> или />. Первый случай, очевидно, невозможен. Следовательно, />. Так как />, то /> — максимальная в /> подгруппа. Тогда для любого />, />/>-перестановочна с />. Поскольку />, то ввиду леммы (6), /> перестановочна с />. Из максимальности подгруппы /> следует, что /> или />. Если />, то ввиду леммы, />. Полученное противоречие показывает, что />. Тогда /> для любого /> и поэтому />. Следовательно, />. Это означает, что /> — нормальная подгруппа в />, противоречие. Теорема доказана.
[2.1]. Каждая />-максимальная подгруппа группы />перестановочна с любой максимальной подгруппой в />тогда и только тогда, когда либо />нильпотентна, либо />— такая ненильпотентная группа с />, что циклическая силовская />-подгруппа />группы />не нормальна в />, а максимальная подгруппа группы />нормальна в />.
Доказательство. Необходимость. Разрешимость группы /> следует из теоремы. Предположим теперь, что /> не является нильпотентной группой. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, которая не является нормальной в />. Пусть /> и /> — максимальная подгруппа группы />. Рассуждая как выше видим, что />. Следовательно, />, и /> — циклическая примарная группа. Пусть />. Покажем, что />. Допустим, что />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы /> и /> — максимальная подгруппа группы />. Тогда /> — />-максимальная подгруппа группы /> и, следовательно, по условию /> — подгруппа группы />, что противоречит максимальности подгруппы />. Отсюда следует, что />.
Достаточность очевидна. Следствие доказано.
[2.2]. Если в группе />любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />и />, то />— нильпотентная группа.
В дальнейшем нам потребуется следующая теорема.
[2.2]. Пусть />— группа, />— ее подгруппа Фиттинга. Если любая />-максимальная подгруппа группы />/>-перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />, то группа />разрешима и />для каждого простого />.
Доказательство. Предположим, что данная теорема не верна, и пусть /> — контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) />— разрешимая группа.
Действительно, если />, то каждая />-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы />. Тогда по следствию, каждая максимальная подгруппа группы /> сверхразрешима. Согласно известной теоремы Хупперта о разрешимости группы, в которой все собственные подгруппы сверхразрешимы, /> — разрешимая группа.
Пусть теперь />. Так как условие теоремы справедливо для группы />, то группа /> разрешима и поэтому /> — разрешимая группа.
продолжение--PAGE_BREAK--
(2) Группа />имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
/>и />,
где />— такая максимальная в />подгруппа, что />, />и />.
Так как класс всех разрешимых групп /> с /> образует насыщенную формацию, то ввиду (1), /> и поэтому в группе /> существует единственная минимальная нормальная подгруппа />. Из леммы вытекает, что />, где /> — такая максимальная в /> подгруппа, что /> и />. Покажем, что /> делит />. Если /> не делит />, то /> — />-группа, и поэтому />, что противоречит выбору группы />. Итак, /> делит />. Допустим, что />. Тогда факторгруппа /> изоморфна подгруппе группы автоморфизмов />. Так как группа /> абелева, то /> — сверхразрешимая группа, и поэтому />. Полученное противоречие с выбором группы /> показывает, что />.
(3) Заключительное противоречие.
Пусть /> — />-максимальная подгруппа группы /> и /> — максимальная подгруппа группы />. Тогда /> и />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы /> такая, что /> является максимальной подгруппой группы />. Покажем, что /> — максимальная подгруппы группы /> и /> — максимальная подгруппа группы />. Так как />, то /> — собственная подгруппа группы />. Предположим, что в /> существует подгруппа /> такая, что />. Тогда из того, что /> — максимальная подгруппа группы />, следует, что либо />, либо />. Если />, то />, противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что />. Следовательно, /> — максимальная подгруппа в />. Рассуждая как выше, мы видим, что /> и /> — максимальные подгруппы группы />. Отсюда следует, что /> — />-максимальная подгруппа группы /> и /> — />-максимальная подгруппа группы />. По условию существует элемент /> такой, что />. Следовательно,
/>
и поэтому />. Таким образом, каждая />-максимальная подгруппа группы /> перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы />. Ввиду (2) и следствия, получаем, что />, где силовская />-подгруппа нормальна в группе />. Значит, />, где /> и />. Пусть /> — силовская />-подгруппа и /> — силовская />-подгруппа группы />. Пусть /> — />-максимальная подгруппа группы /> такая, что />. Так как />, то /> — неединичная подгруппа. Ясно, что /> — />-максимальная подгруппа группы /> и /> — />-максимальная подгруппа группы />. Следовательно, по условию подгруппа />/>-перестановочна с />, и поэтому для некоторого /> мы имеем /> — подгруппа группы />. Поскольку />, то /> — нормальная подгруппа в группе />. Так как />, то /> — нормальная подгруппа в группе />. Получили противоречие с тем, что /> — минимальная нормальная подгруппа. Теорема доказана.
Для доказательства теоремы [2.3] нам понадобятся следующие две леммы.
Если все максимальные подгруппы группы />имеют простые порядки, то />сверхразрешима.
Доказательство. Так как в группе /> все />-максимальные подгруппы единичны, то ввиду следствия группа /> либо нильпотентна, либо />, где /> — подгруппа простого порядка /> и /> — циклическая />-подгруппа, которая не является нормальной в /> подгруппой (/> — различные простые числа). Предположим, что /> не является нильпотентной группой. Тогда />. Поскольку />, то /> — максимальная подгруппа группы /> и поэтому />. Так как группа порядка /> разрешима, то группа /> разрешима. Значит, /> — нормальная в /> подгруппа и поэтому главные факторы группы /> имеют простые порядки. Следовательно, /> — сверхразрешимая группа. Лемма доказана.
продолжение--PAGE_BREAK--
Если в группе />каждая максимальная подгруппа />, индекс />которой является степенью числа />, нормальна в />, то />— />-нильпотентная группа.
Доказательство. Предположим, что данная лемма не верна, и пусть /> — контрпример минимального порядка. Тогда:
(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы />группы />факторгруппа />/>-нильпотентна.
Пусть /> — максимальная подгруппа группы /> такая, что /> явяется степенью числа />. Тогда /> — максимальная в /> подгруппа и /> является степенью числа />. По условию, /> нормальна в />, и поэтому /> нормальна в />. Так как />, то /> — />-нильпотентная группа.
(2) Группа />имеет единственную минимальную нормальную подгруппу />и />— />-подгруппа.
Пусть /> — минимальная нормальная подгруппа группы />. Так как класс всех />-нильпотентных групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), /> и /> — единственная минимальная нормальная подгруппа группы />. Предположим, что /> — />-подгруппа. Тогда /> для некоторой />-холловой подруппы /> группы />. Поскольку ввиду (1), /> нормальна в />, то /> — нормальная подгруппа в группе />, противоречие. Следовательно, /> — элементарная абелева />-подгруппа.
(3) Заключительное противоречие.
Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, не содержащая />. Поскольку /> абелева, то /> и поэтому />. Это влечет />. Следовательно, /> для некоторого />. Значит, /> — нормальная в /> подгруппа и поэтому />, противоречие. Лемма доказана.
Дополнением к теореме [2.2] является следующий факт.
[2.3]. Пусть />— группа, />— ее подгруппа Фиттинга. Если любая максимальная подгруппа группы />/>-перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />, то группа />разрешима и />для каждого простого />.
Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть /> — контрпример минимального порядка.
(1) />— непростая группа. Допустим, что />. Поскольку ввиду леммы (3), условие теоремы выполняется для факторгруппы />, то по выбору группы />, /> разрешима и поэтому /> — разрешимая группа. Полученное противоречие показывает, что /> и, следовательно, любая максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами в />.
Предположим, что все />-максимальные подгруппы группы /> единичны. Тогда порядок каждой />-максимальной подгруппа группы /> является делителем простого числа. Следовательно, любая максимальная подгруппа группы /> либо нильпотентна (порядка /> или />), либо является ненильпотентной подгруппой и имеет порядок />. Значит, все максимальные подгруппы сверхразрешимы. Но ввиду теоремы, мы получаем, что /> разрешима. Это противоречие показывает, что в группе /> существует неединичная />-максимальная подгруппа />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, содержащая />. Тогда для любого />, />. Если />, то ввиду леммы, />. Полученное противоречие показывает, что />. Тогда />, что влечет />. Следовательно, /> — неединичная нормальная подгруппа в /> и поэтому группа /> непроста.
(2) Для любой неединичной нормальной в />подгруппы />факторгруппа />разрешима (это прямо вытекает из леммы (3)).
продолжение--PAGE_BREAK--
(3) Группа />имеет единственную минимальную нормальную подгруппу />и />, где />— такая максимальная в />подгруппа, что />.
Пусть /> — произвольная минимальная нормальная подгруппа группы />. Так как ввиду леммы, класс всех разрешимых групп c />-длиной /> образует насыщенную формацию, то /> — единственная минимальная нормальная подгруппа в />, причем />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы /> такая, что />. Ясно, что />. Поскольку /> — единственная минимальная нормальная подгруппа в />, то />.
(4) />— разрешимая группа.
Допустим, что /> — неразрешимая группа. Тогда /> и по выбору группы /> мы заключаем, что /> — прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп. Кроме того, и единичная подгруппа не содержится среди />-максимальных подгрупп группы />.
Пусть /> — произвольная />-максимальная подгруппа, содержащаяся в />. Используя приведенные выше рассуждения, видим, что />. Следовательно, порядок любой />-максимальной подгруппы группы />, содержащейся в />, равен простому числу. Ввиду леммы, /> — разрешимая группа. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, содержащая />. Так /> — простое число, то либо />, либо />. Пусть имеет место первый случай. Тогда />, и поскольку /> — простое число, то /> — максимальная подгруппа группы />. Из того, что индекс /> равен простому числу, следует, что /> — максимальная подгруппа группы /> и поэтому /> — />-максимальная подгруппа в />. Так как /> — неабелевая подгруппа, то в ней существует неединичная максимальная подгруппа />. Понятно, что /> — />-максимальная подгруппа в /> и поэтому по условию перестановочна с />. В таком случае, />. Но /> — собственная подгруппа в /> и поэтому />. Это противоречие показывает, что />. Следовательно, />. Поскольку /> — простое число, то /> — максимальная подгруппа в />. Из того, что группа /> есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, следует, что в /> имеется неединичная />-максимальная подгруппа />. Тогда />/>-максимальна в /> и следовательно, />. Таким образом />. Это влечет />. Полученное противоречие показывает, что /> — разрешимая группа.
(5) Заключительное противоречие.
Из (3) и (4) следует, что /> — элементарная абелева />-группа для некоторого простого числа /> и поэтому />. Покажем, что /> делит />. Если /> не делит />, то /> — />-группа, и поэтому />, что противоречит выбору группы />. Итак, /> делит />. Ввиду леммы, />.
Пусть /> — произвольная максимальная в /> подгруппа с индексом />, где /> и />. Тогда />, где /> — силовская />-подгруппа группы />.
Предположим, что /> не является нормальной в /> подгруппой. Ясно, что /> — максимальная в /> подгруппа. Если /> — нормальная подгруппа в />, то />. Значит, /> не является нормальной подгруппой в />. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа группы />. Тогда /> — />-максимальная в /> подгруппа и поэтому /> — />-максимальная в /> подгруппа для любого />. Поскольку по условию />/>-перестановочна с подгруппой /> и />, то /> перестановочна с подгруппой /> и поэтому />. Ясно, что /> — />-максимальная в /> подгруппа. Так как /> и /> не является нормальной подгруппой в />, то /> и поэтому /> — нормальная погруппа в />. Следовательно, /> — нормальная в /> подгруппа. Это влечет, что />. Ввиду произвольного выбора />, получаем, что каждая максимальная подгруппа группы /> нормальна в />. Значит, /> — нильпотентная группа и любая максимальная подгруппа в /> нормальна в />. Предположим, что />. Поскольку /> и /> разрешима, то в группе /> существует минимальная нормальная />-подгруппа />, где />. Так как /> — максимальная в /> подгруппа, то />. Это влечет, что />. Следовательно, группа /> обладает главным рядом
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
и поэтому />. Полученное противоречие с выбором группы /> показывает, что />. Пусть /> — такая максимальная подгруппа группы />, что />. Тогда />. Это влечет />, что противоречие тому, что />.
Следовательно, /> — нормальная подгруппа в />. Согласно лемме, /> — />-нильпотентная группа и поэтому />. Ввиду произвольного выбора />, получаем, что /> для любого /> и />. Ясно, что />, что противоречит />. Теорема доказана.
3. Группы, в которых />-максимальные подгруппы перестановочны с />-максимальными подгруппами
Целью данного раздела является описание ненильпотентных групп, у которых каждая />-максимальная подгруппа перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами.
Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобится следующая лемма.
[3.1]. Пусть />— группа Шмидта. Тогда в том и только том случае каждая 2-максимальная подгруппа группы />перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы />, когда группа />имеет вид:
(1) /> — группа Миллера-Морено;
(2) />, где /> — группа кватернионов порядка />, /> — группа порядка />.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что /> — группа Шмидта, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы />. Докажем, что в этом случае, либо /> — группа Миллера-Морено, либо />, где /> — группа кватернионов порядка /> и /> — группа порядка />. Предположим, что это не так и пусть /> — контрпример минимального порядка.
Так как /> — группа Шмидта, то ввиду леммы (I), />, где /> — силовская />-подгруппа в />, /> — циклическая />-подгруппа.
Покажем, что /> — группа простого порядка. Предположим, что это не так. Тогда в группе /> имеется собственная подгруппа /> простого порядка. Ввиду леммы (IV), /> и, следовательно, /> — нормальная подгруппа в группе /> и /> — группа Шмидта.
Понятно, что в группе /> каждая 2-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы />.
Поскольку />, то /> и поэтому по выбору группы /> мы заключаем, что либо /> — группа Миллера-Морено, либо />, где /> — группа кватернионов порядка /> и /> — группа порядка />.
В первом случае /> — абелева подгруппа и, следовательно, /> — группа Миллера-Морено. Полученное противоречие с выбором группы /> показывает, что />, где /> — группа кватернионов порядка /> и /> — группа порядка />. Тогда />, где /> — группа кватернионов порядка /> и /> — циклическая группа порядка />. Пусть /> — такая максимальная подгруппа группы />, что />. Если />, то />. Поскольку /> — группа Шмидта, то /> нильпотентна, и поэтому />. Это означает, что /> — нормальная подгруппа в группе />. Полученное противоречие показывает, что />. Следовательно, /> — максимальная подгруппа группы />. Понятно, что /> — />-максимальная подгруппа группы />. Пусть /> — подгруппа группы /> с индексом />. Ясно, что /> — />-макимальная подгруппа группы />. Так как по условию /> и /> перестановочны, то /> — подгруппа группы />, индекс которой равен />. Рассуждая как выше, видим, что /> — нормальная подгруппа группы />. Полученное противоречие показывает, что /> — группа простого порядка.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> — произвольная максимальная подгрупа в /> и /> — максимальная подгруппа в />. Так как /> неабелева, то /> — неединичная подгруппа. Из того, что /> — максимальная подгруппа в />, следует, что /> — 3-максимальная подгруппа в />.
Ввиду леммы (II), /> — максимальная подгруппа в />. Рассмотрим максимальную в /> подгруппу />, такую что />. Тогда
/>
и /> — 2-максимальная подгруппа в />. По условию подгруппы /> и /> перестановочны. Если />, то используя лемму (V), имеем
/>
Из того, что /> получаем, что порядок /> делит />. Поскольку />, то полученное противоречие показывает, что /> — собственная подгруппа группы />. Следовательно, /> нильпотентна, и поэтому
/>
Значит, либо /> — максимальная подгруппа в />, либо />. В первом случае получаем, что /> является единственной максимальной подгруппой в />. Это означает, что /> — циклическая подгруппа, что противоречит выбору группы />. Следовательно, первый случай невозможен. Итак, />. Ввиду произвольного выбора /> получаем, что /> — единственная />-максимальная подгруппа в группе />. Из теоремы следует, что /> — либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка />. Так как первый случай очевидно невозможен, то /> — группа кватернионов порядка />. Поскольку подгруппа /> изоморфна погруппе группы автоморфизмов />, то />. Полученное противоречие с выбором группы /> доказывает, что либо /> — группа Миллера-Морена, либо />, где /> — группа кватернионов порядка /> и /> — группа порядка />.
Достаточность очевидна. Лемма доказана.
. В ненильпотентной группе />каждая />-максимальная подгруппа группы />перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />тогда и только тогда, когда группа />имеет вид:
(1) /> — группа Миллера-Морена;
(2) /> — группа Шмидта, где /> — группа кватернионов порядка /> и /> — группа порядка />;
(3) /> и />,
где /> — группа простого порядка />, /> — нециклическая />-группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от />, цикличны;
(4) />,
где /> — группа порядка />, /> — группа простого порядка />, отличного от />;
(5) />,
где /> — группа порядка />, каждая подгруппа которой нормальна в группе />, /> — циклическая />-группа и />;
(6) />,
где /> — примарная циклическая группа порядка />, /> — группа простого порядка />, где /> и />;
(7) />,
где /> и /> — группы простых порядков /> и /> (/>), /> — циклическая />-подгруппа в /> (/>), которая не является нормальной в />, но максимальная подгруппа которой нормальна в />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Доказательство. Необходимость. Пусть /> — ненильпотентная группа, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы />.
Если в группе /> все максимальные подгруппы нильпотентны, то группа /> является группой Шмидта. Ввиду леммы, группа /> оказывается группой типа (1) или типа (2).
Итак, мы можем предположить, что в группе /> существует ненильпотентная максимальная подгруппа.
Из теоремы следует, что группа /> разрешима. Так как в разрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы является степенью простого числа, то />.
I. />.
Пусть /> — некоторая силовская />-подгруппа в /> и /> — некоторая силовская />-подгруппа в />, где />.
Предположим, что в группе /> нет нормальных силовских подгрупп. Так как группа /> разрешима, то в /> существует нормальная подгруппа /> простого индекса, скажем индекса />, и она не является нильпотентной группой. Действительно, если /> нильпотентна, то в ней нормальна силовская />-подгруппа />. Так как />, то /> — нормальная подгруппа в />. Из того, что /> следует, что /> — нормальная силовская />-подгруппа в />. Полученное противоречие показывает, что /> не является нильпотентной подгруппой.
Так как /> является максимальной подгруппой в />, то по условию все 2-максимальные подгруппы группы /> перестановочны с каждой максимальной подгруппой группы />. Ввиду следствия, группа /> имеет вид />, где /> — группа простого порядка /> и /> — циклическая />-подгруппа.
Так как
/>
и факторгруппа /> изоморфна подгруппе из />, то /> больше />.
Если /> — нильпотентная группа, то /> и поэтому согласно теореме Бернсайда, группа />/>-нильпотентна. Но тогда />. Полученное противоречие показывает, что /> является ненильпотентной группой. Так как /> — нормальная подгруппа в />, то ввиду следствия, подгруппа /> имеет вид />, где /> — циклическая />-подгруппа, и, следовательно, />. Полученное противоречие показывает, что в группе /> существует нормальная силовская подгруппа.
Пусть, например, такой является силовская />-подгруппа /> группы />. Пусть />. Ясно, что />.
Если в группе /> существует подгруппа Шмидта />, индекс которой равен />, то />. Ввиду следствия, /> — группа порядка />.
Пусь />. Допустим, что /> — циклическая подгруппа. В этом случае, группа /> является группой Шмидта. Полученное противоречие с выбором группы /> показывает, что /> — нециклическая подгруппа. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа группы />, отличная от />. Если /> — нильпотентная подгруппа, то группа /> нильпотентна, противоречие. Следовательно, /> — группа Шмидта, и поэтому /> — циклическая подгруппа. Таким образом, группа /> относится к типу (3).
Пусть />. Тогда />. Следовательно, /> — />-максимальная подгруппа группы />. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа группы />. Если /> — нильпотентная подгруппа, то />, и поэтому />. Полученное противоречие показывает, что /> — группа Шмидта. Значит, /> — циклическая подгруппа. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа группы />, отличная от />. Так как />, то /> — единственная />-максимальная подгруппа группы />. Следовательно, />. Факторгруппа />, где /> — элементарная абелева подгруппа порядка /> и />. Так как /> — неприводимая абелева группа автоморфизмов группы />, то /> — циклическая группа, и поэтому подгруппа /> циклическая, противоречие.
продолжение--PAGE_BREAK--
Предположим теперь, что у всех подгрупп Шмидта индекс в группе /> является степенью числа />.
Так как в группе /> существуют собственные подгруппы Шмидта, то />. Пусть /> — подгруппа Шмидта группы />. Тогда /> для некоторого />. Понятно, что для некоторого /> имеет место /> и поэтому не теряя общности мы может полагать, что />. Поскольку />, то />. Из того, что />, следует, что />.
Так как /> — максимальная подгруппа группы />, то по условию 2-максимальные подгруппы группы /> перестановочны со всеми максимальными подгруппами в />. Используя следствие, мы видим, что /> — группа простого порядка и /> — циклическая подгруппа, причем все собственные подгруппы группы /> нормальны в />. Следовательно, /> является максимальной подгруппой группы />.
Предположим, что />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />. Тогда />. Из того, что />, следует, что /> — нильпотентная максимальная подгруппа в />. Значит, /> — нормальная подгруппа в />. Поскольку /> нормальна в />, то /> — нормальная подгруппа группы />. Так как />, то в группе /> существует 2-максимальная подгруппа /> такая, что />. Тогда /> — />-максимальная подгруппа в />, и следовательно, /> — />-максимальная подгруппа в />. Поскольку по условию /> перестановочна с />, то
/>
что приводит к противоречию с максимальностью подгруппы />. Следовательно, />.
Предположим теперь, что />. Допустим, что />. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа группы /> и /> — произвольная />-максимальная подгруппа группы />. Рассуждая как выше видим, что /> — нормальная подгруппа в группе /> и поэтому /> — подгруппа группы />. Используя приведенные выше рассуждения видим, что />. Полученное противоречие с максимальностью подгруппы /> показывает, что />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, такая что />. Так как />, то /> — абелева и поэтому />. Следовательно, />. Так как />, то />. Из того, что
/>
получаем, что />, и поэтому /> — нормальная подгруппа в группе />.
Предположим, что в группе /> существует подгруппа /> порядка />, отличная от />. Из того, что порядок /> следует, что /> — максимальная подгруппа группы />. Отсюда следует, что /> — />-максимальная подгруппа группы />. Так как по условию подгруппы /> и /> перестановочны, то мы имеем
/>
Следовательно, /> — подгруппа группы />, и поэтому
/>
Это противоречие показывает, что в группе /> существует единственная подгруппа порядка />. Ввиду теоремы, группа /> является либо группой кватернионов порядка />, либо является циклической группой порядка />. В первом случае, подгруппа /> порядка /> группы /> содержится в центре /> группы />, и поэтому подгруппа /> не является группой Шмидта, противоречие. Следовательно, мы имеем второй случай. Значит, /> — циклическая подгруппа порядка />. Понятно, что />. Если />, то подгруппа /> нормальна в группе />, и поэтому />. Полученное противоречие показывает, что />. Таким образом, /> — группа типа (6). Пусть теперь />. Если порядок />, то />, и поэтому /> — группа типа (4). Предположим, что порядок />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы /> и /> — максимальная подгруппа группы />. Из того, что />, следует, что /> — неединичная подгруппа. Так как подгруппа /> нильпотентна, то />. Но как мы уже знаем, /> — циклическая подгруппа и поэтому />. Следовательно, />. Пусть /> — произвольная подгруппа порядка /> группы />. Ясно, что /> — />-максимальная подгруппа группы /> и /> — />-максимальная подгруппа группы />. Значит, по условию подгруппы /> и /> перестановочны. Так как /> — абелева подгруппа, то /> — нормальная подгруппа в группе />. Заметим, что поскольку />, то
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
является нормальной подгруппой в /> и поэтому /> — нормальная подгруппа в группе />. Это означает, что /> — группа типа (5).
II. />.
Пусть /> — некоторая силовская />-подгруппа группы />, /> — некоторая силовская />-подгруппа группы /> и /> — некоторая силовская />-подгруппа группы />, где /> — различные простые делители порядка группы />. Пусть /> — произвольная нормальная максимальная подгруппа группы />. Так как /> — разрешимая группа, то индекс подгруппы /> в группе /> равен некоторому простому числу. Пусть, например, индекс /> равен />. Ввиду следствия, /> — либо нильпотентная подгруппа, либо ненильпотентная группа порядка />.
1. Предположим, что /> — нильпотентная подгруппа. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />, /> — силовская />-подгруппа группы /> и /> — силовская />-подгруппа группы />. Тогда />. Так как /> и />, то /> и /> — нормальные подгруппы в группе />. Из того, что индекс подгруппы /> равен />, следует, что /> и /> — силовские подгруппы группы /> и поэтому /> и />. Понятно, что для некоторого /> имеет место /> и поэтому, не теряя общности, мы можем полагать, что />. Следовательно, />. Ясно, что /> не является нормальной подгруппой в группе />.
Если подгруппы /> и /> нильпотентны, то /> и />, и поэтому /> — нормальная подгруппа в группе />. Значит, подгруппы /> и /> не могут быть обе нильпотентными подгруппами. Следовательно, возможны следующие случаи.
а) /> и /> — группы Шмидта.
Так как />, то ввиду следствия, /> — подгруппа простого порядка /> и /> — циклическая подгруппа, которая не является нормальной в группе />, но максимальная подгруппа /> группы /> нормальна в />. Аналогично видим, что /> — подгруппа простого порядка /> и /> — нормальная подгруппа в />. Отсюда следует, что /> — нормальная подгруппа в />, и поэтому /> является группой типа (7).
б) Одна из подгрупп />, /> является нильпотентной, а другая — группой Шмидта.
Пусть например, /> — группа Шмидта и /> — нильпотентная подгруппа. Из следствия следует, что /> — группа простого порядка />, /> — циклическая группа и максимальная подгруппа /> из /> нормальна в />. Так как /> — нильпотентная группа, то />. Из того, что /> следует, что /> — нормальная подгруппа в группе />. Значит, ввиду леммы, /> — нормальная максимальная подгруппа в группе /> и поэтому />. Следовательно, /> — группа простого порядка />.
Из того, что /> — нильпотентная подгруппа и /> — циклическая группа следует, что /> — нормальная подгруппа в />. Следовательно, /> — нормальная подгруппа в группе />, т.е. /> — группа типа (7).
2. Предположим теперь, что /> — ненильпотентная группа.
Из следствия следует, что />, где /> — группа простого порядка /> и /> — циклическая группа, которая не является нормальной в группе />, но максимальная подгруппа /> из /> нормальна в />. Так как /> — характеристическая подгруппа в /> и /> — нормальная подгруппа в />, то /> — нормальная подгруппа в />. Из того, что /> — нормальная максимальная подгруппа в группе />, следует, что /> — группа простого порядка />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Покажем теперь, что /> — нормальная подгруппа в группе />. Так как />, то /> — />-максимальная подгруппа группы />. Пусть /> — />-максимальная подгруппа группы />. Тогда /> — />-максимальная подгруппа группы /> для любого />. По условию /> — подгруппа группы />. Поскольку порядок
/>
делит />, то />. Таким образом /> для любого />, т.е. />. Так как /> — нормальная подгруппа в группе />, то />, и поэтому />. Отсюда получаем, что /> — нормальная подгруппа в группе />. Поскольку /> — />-максимальная подгруппа, то согласно следствия, /> — нильпотентная группа, и поэтому />. Это означает, что /> — нормальная подгруппа в группе />. Таким образом, группа /> является группой типа (7).
Итак, /> — группа одного из типов (1) — (7) теоремы.
Достаточность. Покажем, что в группе /> каждая />-максимальная подгруппа перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />.
Пусть /> — группа типа (1) или (2). Ввиду леммы, в группе /> каждая />-максимальная подгруппа перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />.
Пусть /> — группа типа (3). Тогда /> и />, где /> — группа простого порядка />, /> — нециклическая группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от />, цикличны. Пусть />.
Так как />, то />, и поэтому в группе /> существует нильпотентная максимальная подгруппа, индекс которой равен />. Пусть /> — произвольная нильпотентная максимальная подгруппа группы /> с индексом />. Тогда />. Так как /> — максимальная подгруппа группы />, то /> — нормальная подгруппа в />, и следовательно,
/>
Значит, /> — единственная нильпотентная максимальная подгруппа, индекс которой равен />.
Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа в /> и /> — максимальная подгруппа в />. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа в />, /> — максимальная подгруппа в />, /> — максимальная подгруппа в />.
1. Если /> и /> — нильпотентные подгруппы группы /> индекса />, то />. Так как /> — максимальная подгруппа группы />, то /> — нормальная подгруппа в />, и следовательно, /> перестановочна с />.
2. Предположим, что /> является ненильпотентной подгруппой. Так как />, то />. Из того, что />, следует, что /> — циклическая подгруппа. Так как />, то /> — максимальная подгруппа группы />, и поэтому /> — нормальная подгруппа в группе />. Из того, что />, следует, что />. Следовательно, /> — нильпотентная максимальная подгруппа группы />, индекс которой равен />. Если /> — максимальная подгруппа группы /> такая, что />, то /> — />-подгруппа, и поэтому /> — нильпотентная подгруппа. Пусть /> — произвольная максимльная подгруппа группы />, индекс которой /> равен />. Так как />, то />. Следовательно, для некоторого /> мы имеем />. Без ограничения общности можно полагать, что />. Так как /> — максимальная подгруппа циклической группы />, то />, и поэтому /> — нильпотентная максимальная подгруппа. Следовательно, /> — группа Шмидта. Значит, /> и поэтому />, где /> — циклическая />-подгруппа.
продолжение--PAGE_BREAK--
Если />, то />. Так как /> — подгруппа циклической группы />, то />. Из того, что /> — максимальная подгруппа группы />, следует, что /> — нормальная подгруппа в />. Отсюда следует, что /> — нормальная подгруппа в группе /> и поэтому />. Это означает, что подгруппа /> перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами группы />.
Если />, то /> — подгруппа циклической группы /> и поэтому /> — нормальная подгруппа в />. Так как группа /> нильпотентна, то /> — нормальная подгруппа в />. Отсюда следует, что /> — нормальная подгруппа в /> и поэтому /> перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами группы />.
3. Предположим теперь, что /> — нильпотентная группа, такая что />, и /> не является нильпотентнай подгруппой. Тогда />. Рассуждая как выше видим, что /> — группа Шмидта. Так как />, то /> имеет вид
/>,
где /> — циклическая />-группа.
Если />, то />. Но /> — подгруппа циклической группы /> и поэтому />. Из того, что /> — максимальная подгруппа группы />, следует, что /> — нормальная подгруппа в />. Отсюда следует, что /> — нормальная подгруппа в группе /> и поэтому мы имеем />, что влечет перестановочность подгруппы /> со всеми />-максимальными подгруппами группы />, в частности с />.
Если />, то подгруппа /> содержится в некоторой силовской />-подгруппе /> группы />. Так как /> — максимальная подгруппа группы />, то /> и поэтому />. Следовательно, /> — максимальная подгруппа группы />. Значит, /> — нормальная подгруппа в />. Так как /> — нильпотентная группа, такая что />, то />. Ясно, что /> — нормальная подгруппа группы />. Если />, то /> имеет вид />. Так как />, то имеет место /> и поэтому
/>.
Это означает, что подгруппы /> и /> перестановочны. Если />, то /> и поэтому />. Следовательно, подгруппы /> и /> перестановочны.
4. Если />, то подгруппа /> является максимальной подгруппой группы /> индекса /> и /> — 2-максимальная подгруппа в />. Но подгруппы такого вида уже изучены.
5. Если />, то подгруппа /> является максимальной подгруппой группы /> с индексом /> и /> — максимальная подгруппа группы />. Но как мы уже знаем, максимальные подгруппы /> группы /> перестановочны со всеми />-максимальными подгруппами группы />.
Это означает, что в любом случае /> перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />.
Легко видеть, что в группе /> типа (4) каждая />-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />.
Пусть /> — группа типа (5). Легко видеть, что в группе /> все />-максимальные подгруппы группы /> нормальны в группе />. Таким образом, каждая />-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> — группа типа (6). Пусть /> — максимальная подгруппа группы />. Понятно, что либо />, либо />, где />. Отсюда следует, что /> — единственная неединичная />-максимальная подгруппа группы />. Так как />, то /> — нормальная подгруппа в группе />, и поэтому подгруппа /> перестановочна со всеми />-максимальнаыми подгруппами группы />.
Пусть /> — группа типа (7). Тогда />, где /> — подгруппа группы /> простого порядка />, /> — подгруппа группы /> простого порядка /> и /> — циклическая />-подгруппа группы />, которая не является нормальной подгруппой в группе />, но максимальная подгруппа группы /> нормальна в />. Покажем, что в группе /> любая />-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />. Предположим, что данное утверждение не верно, и пусть /> — контрпример минимального порядка.
Предположим, что />. Пусть /> — />-максимальная подгруппа группы />. Понятно, что /> — нормальная подгруппа группы />. Следовательно, /> перестановочна с любой />-максимальной подгруппой группы />. Полученное противоречие с выбором группы /> показывает, что />.
Пусть /> — подгруппа группы /> с индексом />. Так как />, то /> — неединичная подгруппа группы />. Ясно, что /> — нормальная подгруппа группы />. Факторгруппа /> имеет вид />, где /> — силовская подгруппа порядка />, /> — силовская подгруппа порядка />, /> — циклическая силовская />-подгруппа, которая не является нормальной подгруппой в />, но максимальная подгруппа /> группы /> нормальна в группе />. Поскольку />, то /> и поэтому по выбору группы /> мы заключаем, что любая />-максимальная подгруппа группы /> перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />. Пусть /> — произвольная />-максимальная подгруппа группы /> и /> — />-максимальная подгруппа группы />. Понятно, что /> и />. Отсюда следует, что /> — />-максимальная подгруппа группы /> и /> — />-максимальная подгруппа группы />, и поэтому
/>
Следовательно, подгруппы /> и /> перестановочны. Полученное противоречие с выбором группы /> заканчивает доказательство теоремы.
Если в группе />любая ее />-максимальная подгруппа перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />и />, то />— нильпотентная группа.
Классы групп типов (1) -(7), очевидно, попарно не пересекаются. Покажем, что все это классы не пусты. Но фактически мы должны установить это лишь для классов (2), (3), (5) — (7).
Хорошо известно, что в группе автоморфизмов /> группы кватернионов /> имеется элемент /> порядка />. Пусть />. Тогда /> принадлежит типу (2). Действительно, пусть /> — единственная подгруппа порядка 2 группы />. Тогда /> и поэтому />. Понятно, что /> — главный фактор группы /> и кроме того, />. Таким образом, /> — максимальная подгруппа группы /> и все максимальные в /> подгруппы, индекс которых делится на 2, сопряжены с />. Следовательно, /> — группа Шмидта.
Пусть
/>
и /> — группа порядка 7. Ввиду леммы, /> — абелева группа порядка 9. Поскольку /> изоморфна некоторой подгруппе /> порядка 3 из группы автоморфизмов />, то /> — группа операторов для /> с />. Пусть />. Ясно, что /> — />-максимальная подгруппа группы /> и /> не является нормальной подгруппой группы />. Легко проверить, что все максимальные подгруппы группы />, отличные от />, цикличны и не являются нормальными подгруппами группы /> и поэтому /> — группа типа (3).
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть теперь /> и /> — такие простые числа, что /> делит />. Тогда если /> — группа порядка />, то в группе ее автоморфизмов /> имеется подгруппа /> порядка />. Пусть />, где /> — группа порядка />. Тогда /> — группа операторов для /> с /> и поэтому группа /> принадлежит типу (3).
Пусть снова /> и /> — группы, введенные в примере, /> и />, где /> Пусть /> — канонический эпиморфизм группы /> на факторгруппу />. Пусть /> — прямое произведение групп /> и /> с объединенной факторгруппой /> (см. лемму ). Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. Тогда />, где /> и поэтому
/>, где />/>
Покажем, что />. Поскольку /> и />, то />. Следовательно, /> и поэтому />. Значит, />. Так как /> и />, то /> и поэтому />. Пусть /> — неединичная подгруппа из />. Ясно, что />. Пусть />. Мы имеем
/>
Значит, /> и поэтому />. Следовательно, /> — нормальная погруппа в />. Таким образом, группа /> принадлежит типу (5).
Пусть /> — циклическая группа порядка />, где /> — простое нечетное число. Согласно лемме, />. Пусть теперь /> — произвольный простой делитель числа /> и /> — группа порядка /> в />. Обозначим символом /> полупрямое произведение />. Пусть /> — подгруппа порядка /> группы />. Тогда /> и поэтому если />, то согласно лемме, />, что противоречит определению группы />. Следовательно, />, что влечет />. Значит, группа /> принадлежит типу(6).
Покажем, наконец, что класс групп (7) не пуст. Пусть /> и /> — группы нечетных простых порядков /> и /> соответственно (/>). Тогда
/>
и поэтому найдется такой простой делитель /> числа />, который одновременно отличен от /> и />. Пусть />, где /> — группа порядка /> в />. Тогда группа /> принадлежит типу (7).
4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с />-максимальными подгруппами
В данном разделе дано описание групп, у которых каждая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми ее />-максимальными подгруппами.
Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобятся следующие леммы.
Класс />всех таких абелевых групп />, что />не содержит кубов, является формацией.
Доказательство.
Пусть />. И пусть /> — произвольная нормальная подгруппа группы />. Тогда /> абелева. Так как по определению экспоненты /> делит /> и поскольку /> не содержит кубов, то /> не содержит кубов. Следовательно, />.
Пусть /> и />. Покажем, что
/>.
Пусть />. Тогда />, где /> и />. Так как />, то по определению экспоненты />. Из того, что /> и /> не содержат кубов, следует, что /> не содержит кубов. Поскольку группа /> изоморфна подгруппе из />, то /> делит />, и поэтому /> не содержит кубов. Так как группа /> абелева, то />. Следовательно, /> — формация. Лемма доказана.
продолжение--PAGE_BREAK--
[4.1]. Пусть />, где />— формация, описанная в лемме. Если каждая максимальная подгруппа группы />перестановочна с любой />-максимальной подгруппой группы />, то />.
Доказательство. Предположим, что лемма не верна, и пусть /> — контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы />группы />, факторгруппа />.
Пусть /> — максимальная подгруппа группы /> и /> — />-максимальная подгруппа группы />. Тогда /> — максимальная подгруппа группы /> и /> — />-максимальная подгруппа группы />. Из того, что по условию подгруппы /> и /> перестановочны, мы имеем
/>
Поскольку />, то /> и поэтому по выбору группы /> мы заключаем, что />.
(2) />имеет единственную минимальную нормальную подгруппу />для некоторого простого />, и />где />— максимальная подгруппа группы />с />.
Пусть /> — минимальная нормальная подгруппа группы />. Ввиду леммы, /> — разрешимая группа, и поэтому /> — элементарная абелева />-группа для некоторого простого />. Так как /> — насыщенная формация, то ввиду (1), /> — единственная минимальная нормальная подгруппа группы /> и />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, не содержащая /> и />. По тождеству Дедекинда, мы имеем />. Из того, что /> абелева, следует, что /> и поэтому />. Это показывает, что />, />.
(3) Заключительное противоречие.
Ввиду (2), для некоторой максимальной подгруппы /> группы /> имеем />. Так как />, то />. Пусть /> — />-максимальная подгруппа группы />. Тогда по условию, /> для каждого />. По лемме, /> и поэтому />. Следовательно, />. Это означает, что каждая />-максимальная подгруппа группы /> единичная, и следовательно, /> — простое число для всех максимальных подгруппы /> группы />. Так как /> для некоторого простого />, то /> — максимальная подгруппа группы />. Это означает, что /> — />-максимальная подгруппа группы />.
Предположим, что />. Тогда в /> имеется неединичная максимальная подгруппа />. Ясно, что /> — />-максимальная подгруппа группы />, и поэтому /> перестановочна с />. Следовательно, />, но />. Полученное противоречие показывает, что />.
Поскольку ввиду (1),
/>, то /> — нильпотентная подгруппа.
Из того, что /> — неединичная нормальная подгруппа в группе />, следует, что />.
Так как факторгруппа /> изоморфна подгруппе группы автоморфизмов /> и группа автоморфизмов /> группы /> простого порядка /> является циклической группой порядка />, то /> абелева. Из того, что /> и /> не содержит кубов, следует, что /> не содержит кубов. Это означает, что />. Следовательно, />, и поэтому /> — нильпотентная подгруппа. Таким образом, />. Полученное противоречие с выбором группы /> доказывает лемму.
[4.1]. В примитивной группе />каждая максимальная подгруппа группы />перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />тогда и только тогда, когда группа />имеет вид:
продолжение--PAGE_BREAK--
(1) />,
где /> — группа порядка /> и /> — группа порядка />, где />;
(2) />,
где /> — минимальная нормальная подгруппа в /> порядка /> и /> — группа порядка />, где />;
(3) />,
где /> — группа порядка /> и /> — группа порядка />, где />.
(4) />,
где /> — группа порядка /> и /> — группа порядка />, где /> — различные простые делители порядка группы />.
Доказательство. Необходимость. Так как ввиду теоремы, группа /> разрешима, то />, где /> — примитиватор группы /> и /> — единственная минимальная нормальная подгруппа группы />, />. Ввиду леммы, />.
Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа группы /> и /> — максимальная подгруппа группы />. Ясно, что /> — />-максимальная подгруппа группы />. По условию подгруппы /> и /> перестановочны. Следовательно, для любого />, /> — подгруппа группы />, и поэтому либо />, либо />. Ввиду леммы, первый случай не возможен. Следовательно, />. Это означает, что /> для любого />. Значит, />. Следовательно, в группе /> все />-максимальные подгруппы единичны. Это означает, что либо />, либо />, либо />.
1. Пусть />. Если />, то группа /> принадлежит типу (1). Если />, то группа /> принадлежит типу (3).
2. Пусть />. Допустим, что />. Ясно, что /> — />-максимальная подгруппа группы />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />. Тогда /> — />-максимальная подгруппа группы />. По условию подгруппы /> и /> перестановочны. Следовательно, />. Полученное противоречие показывает, что />. В этом случае /> — группа типа (2).
3. Пусть />. Рассуждая как выше, видим, что />. Значит, /> — группа типа (4).
Достаточность очевидна. Лемма доказана.
Поскольку в любой нильпотентной группе максимальная подгруппа нормальна, то все они перестановочны со всеми />-максимальными подгруппами группы />. Опишем теперь ненильпотентные группы, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми />-максимальными подруппами.
[4.2].В ненильпотентной группе />каждая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />тогда и только тогда, когда либо />где />— различные простые числа и />либо />— группа типа (2) из теоремы, либо />— сверхразрешимая группа одного из следующих типов:
(1) />,
где /> — группа простого порядка />, а /> — такая бипримарная группа с циклическими силовскими подгруппами, что />, где /> и />;
(2) />,
где /> — группа простого порядка />, /> — циклическая />-группа с /> (/>) и />;
продолжение--PAGE_BREAK--
(3) />,
где /> — группа простого порядка />, /> — />-группа с /> (/>), /> и все максимальные подгруппы в />, отличные от />, цикличны.
Доказательство. Необходимость.
Пусть /> — группа, в которой каждая максимальная подгруппа перестановочна с любой />-максимальной подгруппой группы />.
Поскольку /> — ненильпотентная группа, то в ней существует максимальная подгруппа />, которая не является нормальной в />. Тогда />. Следовательно, /> — примитивная группа, которая удовлетворяет условиям леммы .
I. Пусть />, где /> и /> — простые числа (не обязательно различные). Ввиду леммы, /> и />.
Так как />, то /> содержится в некоторой максимальной подгруппе /> группы />. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа группы /> и /> — максимальная подгруппа группы />. Ясно, что /> — />-максимальная подгруппа группы />. Следовательно, для любого /> подгруппы /> и /> перестановочны. Это означает, что />. Поскольку />, то либо />, либо />. Ясно, что первый случай не возможен. Следовательно, /> — единственная максимальная подгруппа группы />, и поэтому /> — примарная циклическая группа. Ввиду произвольного выбора />, /> — примарная циклическая группа.
Пусть />. Тогда /> для некоторого />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />, /> — силовская />-подгруппа группы /> и /> — силовская />-подгруппа группы />. Так как
/>,
то /> — группа порядка /> и />. Из того, что факторгруппа /> сверхразрешима и подгруппа /> циклическая, следует, что /> — сверхразрешимая группа. Допустим, что /> — наибольший простой делитель порядка группы />. Тогда /> и поэтому />. Значит, /> и />, противоречие. Если /> — наибольший простой делитель порядка группы />, то рассуждая как выше видим, что /> и />. Полученное противоречие показывает, что /> — наибольший простой делитель порядка группы />. Значит, /> — нормальная подгруппа в группе />. Если />, то /> и />, где /> — группа порядка />, /> — />-группа. Ясно, что /> — единственная />-максимальная подгруппа в />. Поскольку /> — неприводимая абелева группа автоморфизмов группы />, то /> — циклическая группа и поэтому /> — циклическая группа. Следовательно, /> — группа типа (2).
Пусть теперь />. Поскольку в группе /> все максимальные подгруппы примарны и цикличны, то /> и поэтому />.
II. Пусть />. Согласно лемме, />, где /> — минимальная нормальная подгруппа в группе /> и либо />, либо />.
1. Пусть />.
Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />.
Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа группы />, отличная от />. Рассуждая как выше видим, что /> — примарная циклическая группа. Значит, />.
Предположим, что /> — />-группа. Тогда />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Допустим, что />. Ясно, что /> — />-максимальная подгруппа группы />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы /> такая, что />. Тогда /> — />-максимальная подгруппа группы />, и следовательно, /> — подгруппа группы />, что влечет
/>
Полученное противоречие показывает, что /> и поэтому />. Значит, />, где /> — минимальная нормальная подгруппа группы /> порядка /> и />. Следовательно, />.
Пусть теперь /> и />. Пусть /> — силовская />-подгруппа в /> и /> — максимальная подгруппа группы />, которая содержит />. Тогда />.
Так как /> — циклическая силовская />-подгруппа группы />, то /> — />-сверхразрешимая группа.
Предположим, что />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы /> и пусть /> — максимальная подгруппа группы />. Тогда />. Допустим, что />. Тогда ввиду леммы, /> — сверхразрешимая группа, /> и поэтому /> — нормальная подгруппа в группе />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. Так как /> — нормальная максимальная подгруппа в группе />, то />. Поскольку /> сверхразрешима, то />, и поэтому /> — нормальная подгруппа в группе />. Из того, что /> — циклическая группа, следует, что />. Значит, /> — нормальная подгруппа в группе />. Предположим, что />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, такая что />. Ясно, что /> — />-максимальная подгруппа группы />. Поскольку по условию подгруппы /> и /> перестановочны, то
/>
противоречие. Следовательно, />. Пусть теперь /> — произвольная максимальная подгруппа группы />. Поскольку /> — />-максимальлная подгруппа группы />, то
/>
Полученное противоречие показывает, что />. Значит, /> и />. Так как /> — максимальная подгруппа группы />, то /> — минимальная нормальная подгруппа в группе />. Из того, что /> — силовская />-подгруппа группы />, следует, что />. Ясно, что />. Следовательно, />, и поэтому /> — нормальная подгруппа в группе />. Допустим, что />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, такая что />. Рассуждая как выше видим, что
/>
противоречие. С другой стороны, если />, то как и выше получаем, что
/>
что невозможно. Следовательно, />.
Предположим теперь, что />. Допустим, что />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, такая что />. Поскольку /> — максимальная подгруппа группы /> и />, то /> — />-максимальная подгруппа группы />. По условию /> — подгруппа группы />. Следовательно, />, противоречие. Используя приведенные выше рассуждения можно показать, что при /> этот случай также невозможен.
Полученное противоречие показывает, что />. Пусть />. Тогда />, и поэтому /> — нормальная силовская />-подгруппа в группе />. Значит, />, где />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы /> такая, что /> — максимальная подгруппа в />. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа группы />. Ясно, что /> — />-максимальная подгруппа группы />. Поскольку />, то /> и поэтому />. Значит, /> — единственная максимальная подгруппа группы />. Следовательно, /> — циклическая группа. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа группы />, отличная от />. Так как
продолжение--PAGE_BREAK--
/>,
то />. С другой стороны, /> и поэтому /> — максимальная подгруппа группы />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, отличная от />. Ясно, что /> — />-максимальная подгруппа группы />. Поскольку подгруппы /> и /> перестановочны и />, то /> и поэтому />. Следовательно, /> — единственная />-максимальная подгруппа группы />. Значит, согласно теореме, /> — либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка />. Пусть имеет место первый случай. Тогда />. Это означает, что /> — нормальная подгруппа в />, и поэтому /> Полученное противоречие показывает, что первый случай невозможен. Следовательно, />, где /> — группа кватернионов порядка /> и /> — группа порядка />.
Пусть теперь />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />. Тогда /> — />-максимальная подгруппа группы />, и, следовательно, /> — подгруппа группы />. Но поскольку />, то этот случай невозможен.
2. Для любой максимальной и не нормальной в /> подгруппы /> имеет место />, где /> и /> — различые простые числа. Более того, мы теперь уже можем предполагать, что индекс любой максимальной в /> подгруппы есть простое число. Это означает, что группа /> сверхразрешима, что в свою очередь влечет сверхразрешимость подгруппы />. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа группы />, отличная от />. Рассуждая как выше видим, что /> — примарная циклическая подгруппа и поэтому /> для некоторых /> и />. Следовательно, />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />, пусть /> — силовская />-подгруппа группы />, которая содержится в /> и пусть /> — силовская />-подгруппа группы />, которая содержится в />. Если /> — нормальная подгруппа группы />, то />. Полученное противоречие показывает, что /> не является нормальной подгруппой группы />.
Допустим, что />. Тогда /> — силовская />-подгруппа группы /> и />. Из сверхразрешимости группы /> следует, что /> — нормальная подгруппа группы />. Значит, />, где /> — группа простого порядка />. Ясно, что /> и поэтому />. Поскольку все максимальные подгруппы группы />, отличные от />, цикличны, то /> — группа типа (3).
Пусть />. Тогда /> и /> — нормальная подгруппа группы />. Значит, />. Так как /> — максимальная подгруппа группы />, то /> — циклическая подгруппа и />. Если />, то />. Если />, то /> — группа типа (1).
Пусть теперь, /> — различные простые числа. Тогда /> и />. Если /> — нормальная подгруппа группы />, то /> и поэтому /> — группа типа (1). Пусть /> не является нормальной подгруппой группы />. Тогда /> — наибольший простой делитель порядка группы /> и поэтому /> — нормальная подгруппа группы />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, такая что /> и />. Допустим, что /> — нормальная подгруппа группы />. Значит, в ней существует нормальная силовская подгруппа. Если />, то /> и поэтому /> — нормальная подгруппа группы />. Полученное противоречие показывает, что для некоторого />, /> — нормальная подгруппа группы />. Следовательно, /> — нормальная подгруппа группы />, противоречие. Значит, /> не является нормальной подгруппой в группе />. Рассуждая как выше видим, что у /> все максимальные подгруппы отличные от /> примарны и цикличны и />. Значит, /> — группа типа (1).
продолжение--PAGE_BREAK--
Достаточность. Если /> и />, то очевидно, что любая />-максимальная погруппа группы /> перестановочна с ее максимальными подгруппами.
Пусть /> — группа Шмидта, где /> — группа кватернионов порядка /> и /> — группа порядка />. Ясно, что в группе />/>-максимальные подгруппы перестановочны со всеми максимальными подгруппами.
Предположим теперь, что /> — группа типа (1)-(3). Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа группы /> и /> — />-максимальная подгруппа группы />. Докажем, что подгруппы /> и /> перестановочны.
Пусть /> — группа типа (1). Пусть />.
1. Пусть />, где /> — простое число, отличное от />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />, которая содержится в />. Тогда />.
Допустим, что />. Поскольку группа /> сверхразрешима, то индекс /> максимальной подгруппы /> является простым числом.
Пусть />. Тогда />. Значит, />. Поскольку
/>,
то /> — максимальная в /> подгруппа. Если />, то /> — примарная циклическая группа. Так как /> делит />, то />, /> и поэтому для некоторого />, />. Полученное противоречие показывает, что />. Это означает, что /> — нормальная подгруппа в />.
Допустим, что />. Пусть />. Тогда /> — нормальная подгруппа в />. Поскольку в /> любая максимальная подгруппа индекса /> совпадает с />, то /> — нормальная подгруппа в /> и поэтому /> перестановочна с />.
Пусть теперь />. Пусть /> — силовская />-подгруппа и /> — силовская />-подгруппа в /> соответственно. Пусть />. Тогда /> и поэтому для некоторого />, />. Из того, что />, следует, что /> — максимальная подгруппа группы />. С другой стороны, /> — максимальная подгруппа циклической группы />. Значит, />. Отсюда следует, что /> и поэтому /> — нормальная подруппа в />. Следовательно, /> перестановочна с />. Пусть />. Тогда для некоторого />, />. Рассуждая как выше видим, что />. Значит, /> — нормальная подгруппа в />. Поскольку
/>,
то />. Это означает, что подгруппы /> и /> перестановочны. Пусть />. Используя приведенные выше рассуждения видим, что /> — нормальная подгруппа в />. Поскольку />, то /> — нормальная подгруппа в />. Следовательно, подгруппы /> и /> перестановочны. Пусть />. Рассуждая как выше видим, что /> — нормальная подгруппа в /> и />. Значит, />. Следовательно, подгруппы /> и /> перестановочны. Пусть теперь />. Поскольку />, то /> — нормальная подгруппа в />. Пусть />. Тогда />, где />. Пусть /> — силовская />-подгруппа группы />. Пусть />. Тогда /> — />-группа и для некоторого />, />. Без ограничения общности можно предположить, что />. Поскольку />, то />. Значит, />. Следовательно, подгруппы /> и /> перестановочны. Пусть />. Тогда />. Следовательно, /> и поэтому подгруппа /> перестановочна с />. Пусть />. Тогда />. Ясно, что />. Следовательно, />. Это означает, что подгруппы /> и /> перестановочны. Пусть />. Тогда />. Поскольку />, то
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
и поэтому подгруппы /> и /> перестановочны.
Если />, то рассуждая подобным образом, получаем, что /> перестановочна с />.
Допустим, что />. Так как в /> все максимальные подгруппы, отличные от />, примарные и циклические, то /> — максимальная подгруппа в />. Следовательно, />. Это означает, что в группе /> существует единственная />-максимальная подгруппа /> и она единична. Таким образом, /> перестановочна с />.
2. Пусть теперь />.
Пусть />. Тогда /> — нормальная подгруппа в /> и поэтому /> перестановочна с />. Пусть />. Тогда />. Поскольку для некоторого />, />, то без ограничения общности можно предположить, что />. Значит, />. Если />, то /> и поэтому
/>
Допустим, что />. Тогда /> — />-группа. Поскольку для некоторого />, /> и />, то /> и поэтому />. Пусть теперь />. Пусть /> — силовская />-подгруппа и /> — силовская />-подгруппа в /> соответственно. Тогда />. Ясно, что /> для некоторого /> и />. Следовательно, /> и поэтому />. Если />, то
/>
Если />, то
/>
В любом случае, />-максимальная подгруппа /> перестановочна с максимальной подгруппой />.
Пусть /> — группа типа (2) или (3). Если />, то />. Поскольку />, то /> — />-максимальная подгруппа группы />. Если />, то /> содержится в некоторой максимальной циклической подгруппе /> группы />. Так как />, то /> — нормальная подгруппа в />. Отсюда следует, что
/>
Значит, /> перестановочна с />. Пусть />. Если />, то /> для некоторого />. Поскольку /> то
/>
и поэтому /> перестановочна с />. Если />, то />. Из того, что />, следует, что />. Значит, /> перестановочна с />.
Пусть теперь />. Тогда /> — />-группа и, следовательно, для некоторого />, />. Без ограничения общности можно предположить, что />. Ясно, что /> — />-максимальная подгруппа группы />. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />, содержащая />. Допустим, что />. Если />, то />. Предположим, что />. Тогда /> — циклическая группа. Поскольку />, то /> — максимальная подгруппа группы />. Из того, что /> — циклическая подгруппа следует, что />. Значит, />. Поскольку />, то /> — нормальная подгруппа в />. Отсюда следует, что /> — нормальная подгруппа в />. Значит, /> перестановочна с />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть />. Поскольку /> — циклическая группа, то /> — нормальная подгруппа в />. Следовательно, /> перестановочна с />. Теорема доказана.
Если в группе />любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами группы />и />, то />— нильпотентная группа.
Легко видеть, что классы групп теоремы попарно не пересекаются. Отметим, что, как и в случае теоремы, можно построить примеры групп типов (1) — (3).
Заключение
В данной работе дано описание групп, у которых максимальные подгруппы перестановочны с />-максимальными подгруппами групп; описание ненильпотентных групп, у которых каждая />-максимальная подгруппа перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами; описание ненильпотентных групп, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами. Доказана />-разрешимость и найдены оценки />-длины групп, у которых каждая />-максимальная подгруппа />-перестановочна со всеми />-максимальными подгруппами, где />.
Литература
1.Боровиков М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. — Минск: Университетское, 1990. — С. 80-82.
2.Боровиков М.Т. О />-разрешимости конечной группы // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. — Минск: Наука и техника, 1986. — С. 3-7.
3.Белоногов В.А. Конечные разрешимые группы с нильпотентными />-максимальными подгруппами // Матем. заметки. — 1968. — Т. 3, № 1. — С. 21-32.
4.Беркович Я.Г. Конечные группы с дисперсивными вторыми максимальными подгруппами // Докл. АН СССР. — 1964. — Т. 158, № 5. — С. 1007-1009.
5.Беркович Я.Г. Конечные группы, у которых все />-е максимальные подгруппы являются обобщенными группами Шмидта // Мат. заметки. — 1969. — Т. 5, № 1. — С. 129-136.
6.Беркович Я.Г. Конечные неразрешимые группы с абелевыми третьими максимальными подгруппами // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. — 1969. — № 7. — С. 10-15.
7.Беркович Я.Г., Пальчик Э.М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат. журн. — 1967. — Т. 8, № 4. — С. 741-753.
8.Веньбинь Го, Шам К.П., Скиба А.Н., />-накрывающие системы подгрупп для классов />-сверхразрешимых и />-нильпотентных конечных групп // Сиб. мат. журнал. — 2004. — Т. 45, № 3. — С. 75-92.
9.Голубева О.В., Пальчик Э.М. К теореме Виланда // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. — 2001. — № 3. — С. 135-136.
10.Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Выпуск 12. — 1998. С. 113-122.
11.Пальчик Э.М. О />-квазинормальных подгруппах // Докл. АН БССР. — 1967. — Т. 11, № 11. — С. 967-969.
12.Пальчик Э.М. О группах, все />-максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. — 1968. — № 1. — С. 45-48.
13.Пальчик Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами // Докл. АН БССР. — 1967. — Т. 11, № 5. — С. 391-392.