Реферат: Теория вероятности и математическая статистика 3

--PAGE_BREAK--Имеет место тождество <shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image109.wmz» o:><img width=«94» height=«21» src=«dopb115526.zip» v:shapes="_x0000_i1080">, показать самим, что <shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image111.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb115527.zip» v:shapes="_x0000_i1081"> несовместны
<shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image113.wmz» o:><img width=«209» height=«24» src=«dopb115528.zip» v:shapes="_x0000_i1082">
По третей аксиоме:
<shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image115.wmz» o:><img width=«219» height=«72» src=«dopb115529.zip» v:shapes="_x0000_i1083">
Для экзамена доказать самим формулу суммы произвольного числа событий
<shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image117.wmz» o:><img width=«404» height=«49» src=«dopb115530.zip» v:shapes="_x0000_i1084">
  Формула полной вероятности. Рассмотрим систему A из k попарно несовместных событий.
B1, B2, ..., Bk       <shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image119.wmz» o:><img width=«93» height=«37» src=«dopb115531.zip» v:shapes="_x0000_i1085">
Пусть дано событие A, удовлетворяющее равенству A=B1A+B2A+...+BkA.
Показать, что события B1A, B2A, BkA попарно несовместны. BiABjA=BiBjAA=VAA=V
Найти вероятность наступления события A. Любое событие входящее в A, обязательно входит в некоторое, но одно Bi, т.к. B1, B2, ..., Bk образуют полную группу.
Т.к. B1, B2, ..., Bk несовместны,  то по третей аксиоме теории вероятности имеем:
<shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image121.wmz» o:><img width=«344» height=«46» src=«dopb115532.zip» v:shapes="_x0000_i1086">; т.е.
<shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bordertopcolor=«this» o:borderleftcolor=«this» o:borderbottomcolor=«this» o:borderrightcolor=«this»><imagedata src=«25612.files/image123.wmz» o:><img width=«179» height=«49» src=«dopb115533.zip» v:shapes="_x0000_i1087">
Например: Имеются урны трех составов
1
5 урн
6 белых и 3 черных шара
2
3 урны
10 белых и 1 черный
3
7 урн
0 белых и 10 черных
Все шары в каждой урне перемешаны.
Испытание — извлекается шар. Какая вероятность того, что при этом будет извлечен белый шар.
B1 — Вытащить любой шар из урны 1.
B2 — Вытащить любой шар из урны 2.
B3 — Вытащить любой шар из урны 3.
A  — Извлечь белый шар.
A=B1A+B2A+B3A
B1, B2, B3 — попарно несовместны.
Формула полной вероятности: P(A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+P(B3)P(A/B3)
P(B1)=1/3
P(A/B1)=6/9=2/3
P(B2)=1/5
P(A/B2)=10/11
P(B3)=7/15
P(A/B3)=0
P(A)=1/3×2/3+1/5×11/10+7/15×0=2/9+2/11=40/99»0.4
Формула Байеса. Постановка задачи та же, но решаем обратную задачу.
Проводится испытание, в результате которого произошло событие A. Какова вероятность того, что в этом испытании произошло событие Bi.
Условные вероятности называются апостериорными, а безусловные — априорными вероятностями.
P(ABi)=P(A)P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi)
Откуда, <shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image125.wmz» o:><img width=«310» height=«65» src=«dopb115534.zip» v:shapes="_x0000_i1088">
Таким образом, формула Байеса: <shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bordertopcolor=«this» o:borderleftcolor=«this» o:borderbottomcolor=«this» o:borderrightcolor=«this»><imagedata src=«25612.files/image127.wmz» o:><img width=«199» height=«67» src=«dopb115535.zip» v:shapes="_x0000_i1089">
Композиция испытаний.
Имеется вероятностное пространство, которое порождает испытание 1.
<shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image129.wmz» o:><img width=«187» height=«51» src=«dopb115536.zip» v:shapes="_x0000_i1090">
где Ei, i=1, ..., m1 — пространство элементарных событий в результате испытания.
P(Ei), i=1, ..., m1 — вероятности элементарных событий.
Испытание 2 порождает вероятностное пространство вида
<shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image131.wmz» o:><img width=«187» height=«51» src=«dopb115537.zip» v:shapes="_x0000_i1091">
P(Ei), P(Qj) — разные вероятностные меры.
Композицией двух испытаний называется сложное испытание, состоящее в поведении первого и второго испытания.
Композиция испытаний порождает вероятностное пространство вида:
<shape id="_x0000_i1092" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image133.wmz» o:><img width=«73» height=«53» src=«dopb115538.zip» v:shapes="_x0000_i1092">          <shape id="_x0000_i1093" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image135.wmz» o:><img width=«65» height=«45» src=«dopb115539.zip» v:shapes="_x0000_i1093">
EiQj — композиционное событие.
В общем случае по P(Ei) и P(Qj) найти P(EiQj) невозможно.
Рассмотрим один частный случай, когда это можно сделать.
Два испытания называются независимыми, если различные исходы обоих испытаний определяются несвязанными между собой случайными факторами.
Из определения независимости испытания вытекает, что условные частости наступления события в одном испытании, при условии, что во втором испытании произошло фиксированное число событий равны безусловным частостям, если они существуют.
Пусть испытания независимы. В результате проведения первого испытания произошло элементарное событие Ei, в результате второго испытания может произойти все что угодно.
Тогда сложное событие, определяющее исход первого и второго испытания имеет вид:
 <shape id="_x0000_i1094" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image137.wmz» o:><img width=«240» height=«49» src=«dopb115540.zip» v:shapes="_x0000_i1094">  и равно сумме комбинаций исходов первого и второго испытаний.
Вероятность сложного события A.
<shape id="_x0000_i1095" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image139.wmz» o:><img width=«180» height=«49» src=«dopb115541.zip» v:shapes="_x0000_i1095">, т.е. результаты второго испытания не зависят от результатов первого.
Если в результате второго испытания произошло событие Qj, а в результате первого испытания могло произойти все что угодно, то сложное событие B имеет вид: <shape id="_x0000_i1096" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image141.wmz» o:><img width=«177» height=«29» src=«dopb115542.zip» v:shapes="_x0000_i1096">.
Вероятность сложного события B равна сумме вероятностей комбинаций вида EiQj, i=1, ..., m1
<shape id="_x0000_i1097" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image143.wmz» o:><img width=«182» height=«49» src=«dopb115543.zip» v:shapes="_x0000_i1097">, т.к. исходы первого испытания не влияют на исходы второго испытания.  Из факта: P(AB)=P(A)P(B/A); P(B/A)=P(B); AB=EiQj (надо доказать)
A={EiQ1, EiQ2, ..., EiQj, ..., EiQm2}
B={E1Qj, E2Qj, ..., EiQj, ..., Em1Qj}
По определению произведения AB в него входят только те события, которые входят и в A, и в B. Из приведенных выше формул следует, что только событие EiQj входит и в A, и в B, то AB= EiQj. Следует:
<shape id="_x0000_i1098" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bordertopcolor=«this» o:borderleftcolor=«this» o:borderbottomcolor=«this» o:borderrightcolor=«this»><imagedata src=«25612.files/image145.wmz» o:><img width=«215» height=«27» src=«dopb115544.zip» v:shapes="_x0000_i1098">
Композиционное пространство имеет вид: <shape id="_x0000_i1099" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image147.wmz» o:><img width=«97» height=«53» src=«dopb115545.zip» v:shapes="_x0000_i1099">
Общая структура независимых событий в композиционном пространстве, порожденном композицией испытаний:
<shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image149.wmz» o:><img width=«104» height=«49» src=«dopb115546.zip» v:shapes="_x0000_i1100">
т.е. в результате первого испытания произошли элементарные события: <shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image151.wmz» o:><img width=«87» height=«25» src=«dopb115547.zip» v:shapes="_x0000_i1101">.
В результате второго испытания события: <shape id="_x0000_i1102" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image153.wmz» o:><img width=«105» height=«23» src=«dopb115548.zip» v:shapes="_x0000_i1102">.
Сложное событие B определяет все возможные комбинации исходов двух испытаний независимо друг от друга. В результате первого испытания произошли элементарные события: <shape id="_x0000_i1103" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image155.wmz» o:><img width=«103» height=«23» src=«dopb115549.zip» v:shapes="_x0000_i1103">.
В результате второго испытания события:  <shape id="_x0000_i1104" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image157.wmz» o:><img width=«88» height=«25» src=«dopb115550.zip» v:shapes="_x0000_i1104">.
Тогда: <shape id="_x0000_i1105" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image159.wmz» o:><img width=«105» height=«46» src=«dopb115551.zip» v:shapes="_x0000_i1105">
<shape id="_x0000_i1106" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image161.wmz» o:><img width=«220» height=«49» src=«dopb115552.zip» v:shapes="_x0000_i1106">, т.к. второе испытание не влияет на результаты первого.
<shape id="_x0000_i1107" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image163.wmz» o:><img width=«148» height=«46» src=«dopb115553.zip» v:shapes="_x0000_i1107">
т.к. <shape id="_x0000_i1108" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image165.wmz» o:><img width=«119» height=«46» src=«dopb115554.zip» v:shapes="_x0000_i1108">, (надо доказать)
то <shape id="_x0000_i1109" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image167.wmz» o:><img width=«374» height=«46» src=«dopb115555.zip» v:shapes="_x0000_i1109">
При решении практических задач, связанных с независимыми испытаниями обычно не требуется строить композиционных пространств элементарных событий, а использовать формально неверную запись:  P(A×B)=P(A)×P(B).
Композиция n испытаний.
Имеется n испытаний. Зададим для i-го испытания вероятностное пространство:
<shape id="_x0000_i1110" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image169.wmz» o:><img width=«187» height=«53» src=«dopb115556.zip» v:shapes="_x0000_i1110">        i=1, ..., n
Композицией n испытаний называется сложное испытание, состоящее в совместном проведении n испытаний. Задается n испытаний, вероятностное пространство каждого из которых имеет вид:
<shape id="_x0000_i1111" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image169.wmz» o:><img width=«187» height=«53» src=«dopb115556.zip» v:shapes="_x0000_i1111">          i=1, ..., n
Композиционное пространство имеет вид:
<shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image171.wmz» o:><img width=«123» height=«59» src=«dopb115557.zip» v:shapes="_x0000_i1112">              j1=1, ..., m1; j2=1, ..., m2; jn=1, ..., mn;
Композиция n независимых испытаний.
Испытания (n — испытаний) называются независимыми, если неоднозначность исхода каждого из испытаний определена не связанными между собой группами факторов.
Событие A1: в результате проведения композиционного испытания в первом испытании произошло событие <shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image173.wmz» o:><img width=«23» height=«26» src=«dopb115558.zip» v:shapes="_x0000_i1113">. Тогда <shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image175.wmz» o:><img width=«180» height=«49» src=«dopb115559.zip» v:shapes="_x0000_i1114">
Событие An: в результате проведения композиционного испытания в первом испытании произошло событие <shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image177.wmz» o:><img width=«24» height=«26» src=«dopb115560.zip» v:shapes="_x0000_i1115">. Тогда <shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image179.wmz» o:><img width=«187» height=«49» src=«dopb115561.zip» v:shapes="_x0000_i1116">
<shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image181.wmz» o:><img width=«405» height=«49» src=«dopb115562.zip» v:shapes="_x0000_i1117">
<shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image183.wmz» o:><img width=«228» height=«49» src=«dopb115563.zip» v:shapes="_x0000_i1118">
<shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image185.wmz» o:><img width=«99» height=«26» src=«dopb115564.zip» v:shapes="_x0000_i1119">         i=1, ..., n
Рассмотрим событие: <shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image187.wmz» o:><img width=«153» height=«26» src=«dopb115565.zip» v:shapes="_x0000_i1120">
В силу определения независимости испытаний очевидно, что:
<shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image189.wmz» o:><img width=«99» height=«26» src=«dopb115566.zip» v:shapes="_x0000_i1121">
<shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image191.wmz» o:><img width=«180» height=«26» src=«dopb115567.zip» v:shapes="_x0000_i1122">
<shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image193.wmz» o:><img width=«197» height=«26» src=«dopb115568.zip» v:shapes="_x0000_i1123">
<shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image195.wmz» o:><img width=«237» height=«26» src=«dopb115569.zip» v:shapes="_x0000_i1124">.
Следовательно:  <shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image197.wmz» o:><img width=«157» height=«45» src=«dopb115570.zip» v:shapes="_x0000_i1125">.
На практике не строят композиционных пространств, а записывают формально неправильную формулу: P(A1A2...An)=P(A1)P(A2)...P(An).
Композиционное пространство имеет вид:
<shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image199.wmz» o:><img width=«160» height=«59» src=«dopb115571.zip» v:shapes="_x0000_i1126">                j1=1, ..., m1; j2=1, ..., m2; jn=1, ..., mn;
Общая структура независимых событий в композиционном пространстве имеет вид:
1-е событие —
это событие, которое происходит в 1-м вероятностном пространстве
2-е событие —
это событие, которое происходит во 2-м вероятностном пространстве
n — событие —
это событие, которое происходит в n-м вероятностном пространстве
Рассмотрим два вероятностных пространства.
I
II
<shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image201.wmz» o:><img width=«101» height=«69» src=«dopb115572.zip» v:shapes="_x0000_i1127">
<shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image203.wmz» o:><img width=«147» height=«51» src=«dopb115573.zip» v:shapes="_x0000_i1128">
Очевидно, что неопределенность испытания до испытания в первом вероятностном пространстве выше, чем во втором. Действительно, до испытания в I нельзя ни одному из событий отдать предпочтения, а во II событие E3 происходит чаще.
Энтропия — мера неопределенности исхода испытания (до испытания).
Первым, кто функционально задал выражение для энтропии был Шеннон.
<shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image205.wmz» o:><img width=«168» height=«51» src=«dopb115574.zip» v:shapes="_x0000_i1129">,           <shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bordertopcolor=«this» o:borderleftcolor=«this» o:borderbottomcolor=«this» o:borderrightcolor=«this»><imagedata src=«25612.files/image207.wmz» o:><img width=«175» height=«49» src=«dopb115575.zip» v:shapes="_x0000_i1130">
Для вероятностного пространства:
<shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image209.wmz» o:><img width=«97» height=«51» src=«dopb115576.zip» v:shapes="_x0000_i1131">
Энтропия задается выражением: <shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image211.wmz» o:><img width=«120» height=«46» src=«dopb115577.zip» v:shapes="_x0000_i1132">. Если P1=0, то Pi×logPi­=0.
Самим показать, что:
 Если вероятностное пространство не имеет определенности, т.е. какое-то из Pi=1, а остальные равны 0, то энтропия равна нулю.
 Если элементарный исход равновероятен, т.е. <shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image213.wmz» o:><img width=«51» height=«23» src=«dopb115578.zip» v:shapes="_x0000_i1133">, то энтропия принимает максимальное значение.
0£Pi£1,  <shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image215.wmz» o:><img width=«61» height=«46» src=«dopb115579.zip» v:shapes="_x0000_i1134">
1)    <shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image217.wmz» o:><img width=«167» height=«51» src=«dopb115580.zip» v:shapes="_x0000_i1135">
<shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image219.wmz» o:><img width=«364» height=«26» src=«dopb115581.zip» v:shapes="_x0000_i1136">,   <shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image221.wmz» o:><img width=«101» height=«30» src=«dopb115582.zip» v:shapes="_x0000_i1137">
т.о. вероятности p1, p2, ..., ps обращаются в ноль, например pi, которая равна 1. Но log1=0. Остальные числа также обращаются в 0, т.к. <shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image223.wmz» o:><img width=«101» height=«30» src=«dopb115582.zip» v:shapes="_x0000_i1138">.
2)    Докажем, что энтропия системы с конечным числом состояний достигае максимума, когда все состояния равновероятны. Для этого рассмотрим энтропию системы как функцию вероятностей p1, p2, ..., ps и найдем условный экстремум этой функции, при условии, что <shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image224.wmz» o:><img width=«59» height=«46» src=«dopb115583.zip» v:shapes="_x0000_i1139">.
Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, будем искать экстремум функции: <shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image226.wmz» o:><img width=«174» height=«46» src=«dopb115584.zip» v:shapes="_x0000_i1140">.
Дифференцируя по p1, p2, ..., ps и приравнивая производные нулю получим систему:
<shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image228.wmz» o:><img width=«147» height=«48» src=«dopb115585.zip» v:shapes="_x0000_i1141">              i=1, ..., s
Откуда видно, что экстремум достигается при равных между собой p1.
Т.к.  <shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image230.wmz» o:><img width=«59» height=«46» src=«dopb115583.zip» v:shapes="_x0000_i1142">, то p1= p2=, ..., = ps= 1/s.
Еденицей измерения энтропии является энтропия вероятностного пространства вида: <shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image231.wmz» o:><img width=«42» height=«68» src=«dopb115586.zip» v:shapes="_x0000_i1143">
<shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image233.wmz» o:><img width=«359» height=«41» src=«dopb115587.zip» v:shapes="_x0000_i1144">, которая называется 1 бит.
Неопределенность исхода испытания до испытания автоматически определяет информативность исхода испытания после испытания. Поэтому в битах также измеряется информативность исхода.
Рассмотрим два вероятностных пространства:
<shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image235.wmz» o:><img width=«121» height=«51» src=«dopb115588.zip» v:shapes="_x0000_i1145">                            <shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image237.wmz» o:><img width=«124» height=«51» src=«dopb115589.zip» v:shapes="_x0000_i1146">
Проводим композицию двух испытаний. Композиционное пространство имеет вид:
<shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image239.wmz» o:><img width=«141» height=«53» src=«dopb115590.zip» v:shapes="_x0000_i1147">            i=1, ..., s1             j=1, ..., s2  
С точки зрения качественного анализа максимальная энтропия композиционного вероятностного пространства достигается тогда, когда испытания независимы. Найдем энтропию композиционного пространства для случая независимых испытаний.
<shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image241.wmz» o:><img width=«508» height=«49» src=«dopb115591.zip» v:shapes="_x0000_i1148">
<shape id="_x0000_i1149" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image243.wmz» o:><img width=«220» height=«23» src=«dopb115592.zip» v:shapes="_x0000_i1149">
Биномиальное распределение.
n испытаний называются системой испытаний Бернулли, если испытания независимы, в каждом из них происходит событие <shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image245.wmz» o:><img width=«16» height=«18» src=«dopb115593.zip» v:shapes="_x0000_i1150">, либо <shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image247.wmz» o:><img width=«19» height=«21» src=«dopb115594.zip» v:shapes="_x0000_i1151"> с вероятностью наступления P(A) = p;   <shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image249.wmz» o:><img width=«105» height=«24» src=«dopb115595.zip» v:shapes="_x0000_i1152">
Найдем вероятность того, что в результате проведенных n испытаний событие А произошло m раз:
<shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image251.wmz» o:><img width=«64» height=«22» src=«dopb115596.zip» v:shapes="_x0000_i1153">
Рассмотрим композицию n независимых испытаний и построим композиционное пространство элементарных событий.
Общий вид элемента этого пространства следующий:
<shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image253.wmz» o:><img width=«94» height=«19» src=«dopb115597.zip» v:shapes="_x0000_i1154">
где
<shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image255.wmz» o:><img width=«77» height=«68» src=«dopb115598.zip» v:shapes="_x0000_i1155">
При этом вероятность наступления такого события равна:
<shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image257.wmz» o:><img width=«85» height=«42» src=«dopb115599.zip» v:shapes="_x0000_i1156">(умножение при независимых событиях)<shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image259.wmz» o:><img width=«11» height=«21» src=«dopb115600.zip» v:shapes="_x0000_i1157">
Найдем вероятность наступления любого элементарного события из композиционного пространства:
<shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image261.wmz» o:><img width=«257» height=«48» src=«dopb115601.zip» v:shapes="_x0000_i1158">
Рассмотрим в композиционном вероятностном пространстве событие: в n испытаниях событие A произошло m раз.
Событие A состоит из <shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image263.wmz» o:><img width=«23» height=«23» src=«dopb115602.zip» v:shapes="_x0000_i1159"> - общее кол-во элементарных событий, в которое входит событие А. А произошло m раз, <shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image265.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb115603.zip» v:shapes="_x0000_i1160"> - n-m раз. Вероятность каждого из этих элементарных событий одинакова и равна:
<shape id="_x0000_i1161" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image267.wmz» o:><img width=«57» height=«24» src=«dopb115604.zip» v:shapes="_x0000_i1161">
Следовательно, на основании III аксиомы теории вероятности результат равняется:
<shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bordertopcolor=«this» o:borderleftcolor=«this» o:borderbottomcolor=«this» o:borderrightcolor=«this»><imagedata src=«25612.files/image269.wmz» o:><img width=«133» height=«26» src=«dopb115605.zip» v:shapes="_x0000_i1162">  (сложение вероятностей)
<shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image271.wmz» o:><img width=«91» height=«41» src=«dopb115606.zip» v:shapes="_x0000_i1163">
Случайная величина
Пусть имеется вероятностное пространство вида <shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image273.wmz» o:><img width=«48» height=«23» src=«dopb115607.zip» v:shapes="_x0000_i1164">.
Случайной величиной называется измеримая числовая скалярная функция <shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image275.wmz» o:><img width=«31» height=«23» src=«dopb115608.zip» v:shapes="_x0000_i1165">, элементами которой являются элементарные события.
Числовая скалярная функция — это функция, удовлетворяющая следующему условию:
<shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image277.wmz» o:><img width=«24» height=«18» src=«dopb115609.zip» v:shapes="_x0000_i1166"> событие <shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image279.wmz» o:><img width=«96» height=«25» src=«dopb115610.zip» v:shapes="_x0000_i1167"> — алгебре и, следовательно, имеет вероятность наступления.
Если произведено испытание, в результате которого произошло некоторое элементарное событие <shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image281.wmz» o:><img width=«49» height=«18» src=«dopb115611.zip» v:shapes="_x0000_i1168">. В соответствии с функцией <shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image275.wmz» o:><img width=«31» height=«23» src=«dopb115608.zip» v:shapes="_x0000_i1169"> этому элементарному событию соответствует число, которое называется реализацией случайной величины x в данном испытании.
В соответствии с определением случайной величины вводится числовая скалярная функция F(x), <shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image283.wmz» o:><img width=«41» height=«18» src=«dopb115612.zip» v:shapes="_x0000_i1170">, определенная для каждого действительного x и по определению равная вероятности наступления события:
<shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bordertopcolor=«this» o:borderleftcolor=«this» o:borderbottomcolor=«this» o:borderrightcolor=«this»><imagedata src=«25612.files/image285.wmz» o:><img width=«126» height=«49» src=«dopb115613.zip» v:shapes="_x0000_i1171">
Эта функция называется функцией распределения случайной величины <shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image275.wmz» o:><img width=«31» height=«23» src=«dopb115608.zip» v:shapes="_x0000_i1172">.
Рассмотрим три события:
<shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image287.wmz» o:><img width=«128» height=«69» src=«dopb115614.zip» v:shapes="_x0000_i1173">
где a<b, a, b — действительные числа.
Свойства:
<shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image289.wmz» o:><img width=«164» height=«21» src=«dopb115615.zip» v:shapes="_x0000_i1174">
Покажем, что из факта
A2  -алгебре
A1  -алгебре
и равенства <shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image291.wmz» o:><img width=«78» height=«21» src=«dopb115616.zip» v:shapes="_x0000_i1175"> следует, что A3  .
<shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image293.wmz» o:><img width=«78» height=«44» src=«dopb115617.zip» v:shapes="_x0000_i1176">
По определению -алгебры A3 измерима, поэтому можно принять III аксиому теории вероятности:
<shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image295.wmz» o:><img width=«167» height=«113» src=«dopb115618.zip» v:shapes="_x0000_i1177">
    F(x) — неубывающая функция
Если x<y, то
<shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image297.wmz» o:><img width=«461» height=«23» src=«dopb115619.zip» v:shapes="_x0000_i1178">
т.к. <shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image299.wmz» o:><img width=«121» height=«23» src=«dopb115620.zip» v:shapes="_x0000_i1179">, то преобразования верны.
Для всех технических приложений функцию распределения можно считать направленной слева.
В силу того, что функция распределения не убывает, она однозначно задает стчетно-аддитивную меру на поле, порожденном всеми полуинтервалами ненулевой длины.
По введенному полю построим борелевскую алгебру. Обозначим ее . Возьмем произвольное число B не принадлежащее полю. Это точка или сегмент. Т.к. множество <shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image301.wmz» o:><img width=«78» height=«23» src=«dopb115621.zip» v:shapes="_x0000_i1180"> получено с помощью счетной суммы или счетного пересечения множеств принадлежащих -алгебре, то и это множество принадлежит -алгебре и, следовательно, существует вероятность наступления события B. Следовательно, имеет место следующее эквивалентное определение измеримой функции.
Функция <shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image303.wmz» o:><img width=«30» height=«23» src=«dopb115622.zip» v:shapes="_x0000_i1181"> называется измеримой, если для любого BО множество
<shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image305.wmz» o:><img width=«94» height=«24» src=«dopb115623.zip» v:shapes="_x0000_i1182">алгебре
где <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image307.wmz» o:><img width=«163» height=«27» src=«dopb115624.zip» v:shapes="_x0000_i1183">
<shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image309.wmz» o:><img width=«40» height=«24» src=«dopb115625.zip» v:shapes="_x0000_i1184"> множество, полученное следующим образом:
<shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image311.wmz» o:><img width=«133» height=«24» src=«dopb115626.zip» v:shapes="_x0000_i1185">
Функция g(x) называется борелевской функцией, если для любого B множество
<shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image313.wmz» o:><img width=«165» height=«27» src=«dopb115627.zip» v:shapes="_x0000_i1186">
Борелевская функция — функция, определяемая на системе борелевских множеств.
В функциональном анализе показано, что все известные аналитические функции являются борелевскими.
ТЕОРЕМА:
Пусть g(x) борелевская функция, <shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image315.wmz» o:><img width=«36» height=«23» src=«dopb115628.zip» v:shapes="_x0000_i1187"> — случайная величина, т.е. измеримая функция. Тогда функция
<shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image317.wmz» o:><img width=«87» height=«25» src=«dopb115629.zip» v:shapes="_x0000_i1188">
является измеримой и, следовательно, случайной величиной.
Берем произвольное B. <shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image319.wmz» o:><img width=«67» height=«24» src=«dopb115630.zip» v:shapes="_x0000_i1189"> по определению борелевской функции.
Рассмотрим множество
<shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image321.wmz» o:><img width=«203» height=«27» src=«dopb115631.zip» v:shapes="_x0000_i1190">
т.к. <shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image323.wmz» o:><img width=«34» height=«23» src=«dopb115632.zip» v:shapes="_x0000_i1191">измеримая функция и <shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image325.wmz» o:><img width=«38» height=«21» src=«dopb115633.zip» v:shapes="_x0000_i1192">, то A-алгебре
Следовательно, функция <shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image327.wmz» o:><img width=«87» height=«25» src=«dopb115629.zip» v:shapes="_x0000_i1193"> - измеримая функция, т.е. случайная величина.
Теорема Колмогорова
Любая числовая скалярная функция, которая удовлетворяет свойствам, которым удовлетворяет функция распределения, является функцией распределения и однозначно задает вероятностное пространство вида:
<shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image328.wmz» o:><img width=«53» height=«27» src=«dopb115634.zip» v:shapes="_x0000_i1194">
 — борелевская алгебра;
P — мера на борелевской алгебре;
R1 — числовая скалярная ось.
Введем функцию F(x)
<shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image330.wmz» o:><img width=«120» height=«23» src=«dopb115635.zip» v:shapes="_x0000_i1195">
Эта функция определена для всех x, неубывающая, непрерывная сверху. Показать самим, что такая функция однозначно задает счетно-аддитивную меру на поле, порожденном всеми полуинтервалами ненулевой длины.
Докажем, что 0<F(x)<1
Согласно терминологии, если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена. Поскольку наша функция не убывающая, то максимум и минимум она соответственно будет иметь такой:
<shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image332.wmz» o:><img width=«197» height=«23» src=«dopb115636.zip» v:shapes="_x0000_i1196">
т.е. 0<F(x)<1.
2. Пусть имеем следующие функции.
Построим борелеву алгебру на поле, тогда по теореме о продолжении счетно-аддитивная функция, определенная на поле, без изменения аксиом теории вероятности, однозначно распространяется на все элементы борелевой алгебры, не принадлежащие полю. Т.о. вероятностное пространство построено, теорема доказана.
Смысл теоремы.
Теорема Колмогорова позволяет утверждать, что если вы исследуете случайную величину, то не надо строить абстрактное пространство элементарных событий, -алгебру, счетно-аддитивную меру, конкретный вид функции <shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image334.wmz» o:><img width=«31» height=«23» src=«dopb115637.zip» v:shapes="_x0000_i1197">. Нашей задачей будет лишь то, что считая R1 — числовой скалярной осью — пространство элементарных событий, мы должны найти функцию распределения F(x), использую статистику: результата конкретного испытания над случайной величиной:
X1, X2, ..., Xn
Дискретные случайные величины
Случайная величина называется дискретной, если в результате испытания она может принять значение из конечного либо счетного множества возможных числовых значений.
Случайные величины в дальнейшем будем обозначать большими буквами:
X, Y, Z
Вероятностное пространство дискретной случайной величины задается в виде:
<shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image336.wmz» o:><img width=«109» height=«44» src=«dopb115638.zip» v:shapes="_x0000_i1198">, n — конечное или бесконечное.
Пример:
Испытание — композиция n-независимых испытаний, в каждом из которых происходит событие A с вероятностью p, либо <shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image265.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb115603.zip» v:shapes="_x0000_i1199"> с вероятностью 1-p.
Вероятностное пространство
<shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image338.wmz» o:><img width=«292» height=«77» src=«dopb115639.zip» v:shapes="_x0000_i1200">
В этом примере -алгеброй является множество всех подмножеств пространства элементарных событий. Введенную нами случайную величину x по определению можно задать:
<shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image340.wmz» o:><img width=«335» height=«44» src=«dopb115640.zip» v:shapes="_x0000_i1201">
— верхняя строчка — это совокупность возможных числовых значений, которые может принимать случайная величина;
— нижняя строчка — вероятность наступления этих числовых значений.
Практически во всех задачах естествознания отсутствует промежуточный этап: испытание,  — пространство всех возможных исходов испытания, <shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image334.wmz» o:><img width=«31» height=«23» src=«dopb115637.zip» v:shapes="_x0000_i1202"> — числовая скалярная функция, элементы которой w.
    продолжение
--PAGE_BREAK--На самом деле структура:
— испытание;
— исход испытания;
— число на числовой оси.

Вероятностные характеристики дискретных случайных величин.
Математическим ожиданием случайной величины X называется число вида
<shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image342.wmz» o:><img width=«90» height=«46» src=«dopb115641.zip» v:shapes="_x0000_i1203">
xi — все возможные различные конкретные исходы испытания;
pi — вероятности их наступления.
Математическое ожидание является как бы аналогом центра масс точечной механической системы:
<shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image344.wmz» o:><img width=«107» height=«44» src=«dopb115642.zip» v:shapes="_x0000_i1204">
Как центр масс:
<shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image346.wmz» o:><img width=«295» height=«107» src=«dopb115643.zip» v:shapes="_x0000_i1205">
Смысл характеристики мат.ожидания заключается в следующем: это точка на числовой оси, относительно которой группируются результаты конкретных испытаний над дискретной случайной величиной.
Свойства математического ожидания
1. MC=C
<shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image348.wmz» o:><img width=«115» height=«42» src=«dopb115644.zip» v:shapes="_x0000_i1206">
2. MCX=CMX
Построим таблицу для случайной величины CX:
<shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image350.wmz» o:><img width=«173» height=«44» src=«dopb115645.zip» v:shapes="_x0000_i1207">
по определению математического ожидания:
<shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image352.wmz» o:><img width=«231» height=«46» src=«dopb115646.zip» v:shapes="_x0000_i1208">
3. M(X+a)=MX+a, a=const
Построим таблицу для случайной величины x+a
<shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image354.wmz» o:><img width=«485» height=«113» src=«dopb115647.zip» v:shapes="_x0000_i1209">
Доказать следствие
4. M(aX+b)=aMX+b, где a, b — константы
<shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image356.wmz» o:><img width=«503» height=«109» src=«dopb115648.zip» v:shapes="_x0000_i1210">
Пусть случайная величина Y является функцией f(x) от случайной величины X. Построим вероятностное пространство случайной величины Y.
<shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image358.wmz» o:><img width=«148» height=«63» src=«dopb115649.zip» v:shapes="_x0000_i1211">
Верхняя строчка является пространством элементарных событий для случайной величины Y. В противном случае верхняя строчка является пространством элементарных событий для величины Y.
Все одинаковые числа в верхней строчке заменяется одним, вероятность наступления которого равна сумме соответствующих вероятностей.
Следствие.
Математическое ожидание случайной величины Y равняется:
<shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image360.wmz» o:><img width=«105» height=«68» src=«dopb115650.zip» v:shapes="_x0000_i1212">
Начальным моментом К-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины Xk.
<shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image362.wmz» o:><img width=«128» height=«46» src=«dopb115651.zip» v:shapes="_x0000_i1213">
Центрированная случайная величина — это величина, равная X’=X-MX
Покажем, что математическое ожидание MX’ равно 0.
<shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image364.wmz» o:><img width=«384» height=«69» src=«dopb115652.zip» v:shapes="_x0000_i1214">
Центральным моментом К-го порядка называется начальный момент К-го порядка случайной величины X’
<shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image366.wmz» o:><img width=«193» height=«46» src=«dopb115653.zip» v:shapes="_x0000_i1215">
при решении реальных задач практические вероятности рi неизвестны, но считая, что вероятность — это частость, при большом числе испытаний
<shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image368.wmz» o:><img width=«119» height=«91» src=«dopb115654.zip» v:shapes="_x0000_i1216">
Дисперсией случайной величины X, называется центральный момент второго порядка случайной величины X.
<shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image370.wmz» o:><img width=«152» height=«46» src=«dopb115655.zip» v:shapes="_x0000_i1217">
Дисперсия является мерой концентрации результатов конкретных испытаний над случайной величиной X.
Свойства.
1. Чем меньше дисперсия, тем более тесно группируются результаты конкретных испытаний относительно математического ожидания.
Пусть дисперсия мала, тогда мало каждое слагаемое суммы (xi-)2pi. Тогда для, xi которое по модулю резко отличается от математического ожидания , pi — мало. Следовательно, большую вероятность наступления могут иметь лишь те xi, которые по модулю мало отличаются от математического ожидания.
2. Если дисперсия равна 0, то X — const.
<shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image372.wmz» o:><img width=«453» height=«65» src=«dopb115656.zip» v:shapes="_x0000_i1218">
3.
D(X+C)=DX
Y=X+C
Y’=Y-MY=X+C-M(X+C)=X+C-MX-C=X-MX=X’
DY=M(Y’)2=M(X’)2=DX
4.
DCX=C2DX
Y=CX
DY= M(Y’)2=M(Y’)2
Y’=Y-MY=CX-MCX=CX-MCX=C(X-MX)=CX’
DY= M(Y’)2=M(CX’)2=C2M(X’)2=C2DX
5.
<shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image374.wmz» o:><img width=«536» height=«70» src=«dopb115657.zip» v:shapes="_x0000_i1219">
Построим функцию распределения для дискретной случайной величины. Для удобства договоримся, что случайные величины располагаются в порядке возрастания.
<shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image376.wmz» o:><img width=«128» height=«65» src=«dopb115658.zip» v:shapes="_x0000_i1220">
т.е. по определению для любого действительного X, F(x) численно равно вероятности наступления следующего события: в результате испытаний над X оно приняло значение строго меньше x.
<imagedata src=«25612.files/image378.wmz» o: cropbottom="-9201f" cropright="-9304f"><img width=«330» height=«220» src=«dopb115659.zip» v:shapes="_x0000_i1221">
Производная функция
<shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image380.wmz» o:><img width=«128» height=«44» src=«dopb115660.zip» v:shapes="_x0000_i1222">
Характеристической функцией случайной величины X называется функция действительного аргумента вида <shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image382.wmz» o:><img width=«143» height=«46» src=«dopb115661.zip» v:shapes="_x0000_i1223">
Производящей функцией называется скалярная функция вида:
<shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bordertopcolor=«this» o:borderleftcolor=«this» o:borderbottomcolor=«this» o:borderrightcolor=«this»><imagedata src=«25612.files/image384.wmz» o:><img width=«81» height=«26» src=«dopb115662.zip» v:shapes="_x0000_i1224">
Свойства производящей функции
1. <shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image386.wmz» o:><img width=«152» height=«46» src=«dopb115663.zip» v:shapes="_x0000_i1225">
2.
 <shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image388.wmz» o:><img width=«243» height=«197» src=«dopb115664.zip» v:shapes="_x0000_i1226">
3. Разложение производящей функции в ряд Маклорена имеет вид
<shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image390.wmz» o:><img width=«207» height=«36» src=«dopb115665.zip» v:shapes="_x0000_i1227">
Формула Тейлора имеет вид
<shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image392.wmz» o:><img width=«412» height=«42» src=«dopb115666.zip» v:shapes="_x0000_i1228">
при to=0 она носит название формулы Маклорена
<shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image394.wmz» o:><img width=«218» height=«128» src=«dopb115667.zip» v:shapes="_x0000_i1229">
Пример:
Рассмотрим случайную величину, распределенную по биноминальному закону распределения:
<shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image396.wmz» o:><img width=«108» height=«46» src=«dopb115668.zip» v:shapes="_x0000_i1230">
Найдем производящую функцию:
<shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image398.wmz» o:><img width=«593» height=«78» src=«dopb115669.zip» v:shapes="_x0000_i1231">
Найти DX и MX
<shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image400.wmz» o:><img width=«630» height=«248» src=«dopb115670.zip» v:shapes="_x0000_i1232">

Первая модель распределения Пуассона
Проведена неограниченно большая серия испытаний, в результате каждого испытания случайным образом появляется точка на числовой оси. Случайное распределение точек на числовой оси удовлетворяет следующим трем свойствам.
1. Стационарность. Вероятность того, что на отрезок данной длины попадает данное количество точек определяется только длиной этого отрезка и не зависит от расположения этого отрезка на числовой оси.
2. Ординарность. Вероятность того, что на достаточно малый отрезок длины x попадает одна точка, является бесконечно малой x порядка. Вероятность того, что на этот отрезок попадает более, чем одна точка, является бесконечно малой более высокого порядка, чем x.
3. Свойство без последействия. Вероятность того, что на данный отрезок попало определенное количество точек не зависит от того, сколько точек в результате проведенной бесконечно серии испытаний попало на отрезок, не пересекающийся с данным.
Найти вероятность того, что на данный отрезок длина l попадает m точек.
<imagedata src=«25612.files/image402.wmz» o:><img width=«291» height=«64» src=«dopb115671.zip» v:shapes="_x0000_i1233">
Обозначим через xl — случайная величина, равная численности точек, выпавших на отрезок длины l.
<shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image404.wmz» o:><img width=«93» height=«46» src=«dopb115672.zip» v:shapes="_x0000_i1234">
На числовой оси рассмотрим отрезок длины 1 и обозначим:
MX1=
Математическое ожидание числа точек, попавших на отрезок длины 1. По свойству стационарности l одинаково для всех отрезков.
MX1=ll — доказать
Пусть l — целое число. Разобьем отрезок длины l на l отрезков единой длины. Тогда количество точек, попавших на отрезок длины l будет равно числу точек, попавших на каждый из непересекающихся отрезков длины 1 (тут использовалось свойство беспоследействия).
Используя формулу
<shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image406.wmz» o:><img width=«90» height=«46» src=«dopb115673.zip» v:shapes="_x0000_i1235">
имеем
MX1=ll
Математическое ожидание числа точек, попавшие на отрезок длины l равно мат. ожиданий точек, попавших на непересекающиеся отрезки. Пусть l — не целое число. Выделяем целую часть. Тогда
<shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image408.wmz» o:><img width=«129» height=«24» src=«dopb115674.zip» v:shapes="_x0000_i1236">
На числовой оси рассмотрим отрезок длины l, разобьем его на n отрезков данной длины
<shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image410.wmz» o:><img width=«45» height=«36» src=«dopb115675.zip» v:shapes="_x0000_i1237">
такой, что позволит использовать свойство ординарности. Тогда с определенной погрешностью, которая тем меньше, чем больше n можно считать
<shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image412.wmz» o:><img width=«132» height=«44» src=«dopb115676.zip» v:shapes="_x0000_i1238">
т.е. на отрезок длины x попадает не более, чем одна точка, тогда
<shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image414.wmz» o:><img width=«234» height=«24» src=«dopb115677.zip» v:shapes="_x0000_i1239">
Для достаточного малого отрезка длины lx вероятность попадания в него одной точки x, а вероятность того, что ничего не произойдет 1- x.
В сделанных предположениях m точек попадает на отрезок длины l только в одном случае, когда в m отрезках попадает по одной точке. Тогда на основании 3-го свойства искомая вероятность равна
<shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image416.wmz» o:><img width=«358» height=«83» src=«dopb115678.zip» v:shapes="_x0000_i1240">
Точную вероятность получим путем предельного перехода при числе разделений отрезка <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image418.wmz» o:><img width=«46» height=«16» src=«dopb115679.zip» v:shapes="_x0000_i1241">
<shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image420.wmz» o:><img width=«439» height=«353» src=«dopb115680.zip» v:shapes="_x0000_i1242">
Тут мы разложили <shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image422.wmz» o:><img width=«46» height=«46» src=«dopb115681.zip» v:shapes="_x0000_i1243"> в ряд Маклорена.
Найдем производящую функцию распределения Пуассона
<shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image424.wmz» o:><img width=«407» height=«49» src=«dopb115682.zip» v:shapes="_x0000_i1244">
Найти MX и DX
<shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image426.wmz» o:><img width=«523» height=«159» src=«dopb115683.zip» v:shapes="_x0000_i1245">
Вторая модель распределения Пуассона
Рассматривается обычная схема биноминального распределения, в котором n — велико, а p — достаточно мало. Тогда точная формула для вероятности появления события A в m испытаниях имеет вид
<shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image428.wmz» o:><img width=«82» height=«23» src=«dopb115684.zip» v:shapes="_x0000_i1246">
Эта формула при больших n вычисляется сложно. Такую вероятность заменяют приближенной
<shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bordertopcolor=«this» o:borderleftcolor=«this» o:borderbottomcolor=«this» o:borderrightcolor=«this»><imagedata src=«25612.files/image430.wmz» o:><img width=«118» height=«40» src=«dopb115685.zip» v:shapes="_x0000_i1247">
Для найденного a построим гипотетический ряд вероятностей
<shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image432.wmz» o:><img width=«213» height=«86» src=«dopb115686.zip» v:shapes="_x0000_i1248">
Предполагается, что для достаточно больших n и малых p искомая вероятность
<shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image434.wmz» o:><img width=«80» height=«23» src=«dopb115687.zip» v:shapes="_x0000_i1249">
является членом построенного гипотетического ряда вероятностей, а во вторых находится в малой окрестности предельного значения этого ряда. И, следовательно, это значение можно взять в качестве допустимой хорошей аппроксимации значений искомой вероятности.
Непрерывные случайные величины.
Будем рассматривать пространство элементарных событий как совокупность всех точек числовой оси. В этом случае введенная ранее функция распределения имеет вид: <shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image436.wmz» o:><img width=«115» height=«22» src=«dopb115688.zip» v:shapes="_x0000_i1250">.
Пусть функция распределения является непрерывной. Найдем вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение a, где a — произвольное действительное число.
P(X=a).
Рассмотрим неравенство: <shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image438.wmz» o:><img width=«147» height=«41» src=«dopb115689.zip» v:shapes="_x0000_i1251">
Доказать самим.
                   <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image440.wmz» o:><img width=«147» height=«147» src=«dopb115690.zip» v:shapes="_x0000_i1252">
Следовательно:
<shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image442.wmz» o:><img width=«529» height=«41» src=«dopb115691.zip» v:shapes="_x0000_i1253">
Мы впервые столкнулись с ситуацией, когда событие принципиально может произойти в результате испытания, но имеет вероятность равную 0. В инженерном толковании это означает: в данной конечной серии испытаний данное событие никогда не произойдет.
Случайная величина X называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.
P(a£X<b)=P(a£X£b)=F(b)-F(a)
Если от сложного события вычесть конечное либо счетное множество, вероятность наступления нового события останется неизменной.
Функция f(x) — числовая скалярная функция действительного аргумента x называется плотностью вероятности, и существует в точке x, если в этой точке существует предел:
<shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image444.wmz» o:><img width=«406» height=«41» src=«dopb115692.zip» v:shapes="_x0000_i1254">
Свойства плотности вероятности.
1.     Плотность вероятности является неотрицательной функцией.
2.     <shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image446.wmz» o:><img width=«191» height=«51» src=«dopb115693.zip» v:shapes="_x0000_i1255">
<shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image448.wmz» o:><img width=«135» height=«22» src=«dopb115694.zip» v:shapes="_x0000_i1256">
3.     <shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image450.wmz» o:><img width=«152» height=«51» src=«dopb115695.zip» v:shapes="_x0000_i1257">
<shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image452.wmz» o:><img width=«374» height=«51» src=«dopb115696.zip» v:shapes="_x0000_i1258">
4.     <shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image454.wmz» o:><img width=«79» height=«51» src=«dopb115697.zip» v:shapes="_x0000_i1259">
<shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image456.wmz» o:><img width=«312» height=«51» src=«dopb115698.zip» v:shapes="_x0000_i1260">
Следствие: Если пространством элементарных событий является отрезок числовой оси, то пространство элементарных событий формально можно распространить на всю числовую ось, положив вне отрезка значение плотности вероятности равное 0.
Второе эквивалентное определение плотности вероятности.
<group id="_x0000_s1062" coordorigin=",-5" coordsize=«20000,20020» o:allowincell=«f»><img width=«217» height=«22» src=«dopb115699.zip» v:shapes="_x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067">Если плотность вероятности в точке x существует, то P(x£X£x+Dx)=f(x)Dx+о(Dx). Вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в отрезке с точностью до о(Dx) равна F(x)Dx.
Пример:
Равномерное распределение.
<shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image459.wmz» o:><img width=«161» height=«49» src=«dopb115700.zip» v:shapes="_x0000_i1261">                            тут p(x)=f(x).

<group id="_x0000_s1068" coordorigin=«110» coordsize=«18381,20000» o:allowincell=«f»><img width=«413» height=«130» src=«dopb115701.zip» v:shapes="_x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075 _x0000_s1076 _x0000_s1077 _x0000_s1078 _x0000_s1079 _x0000_s1080"> 

<shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image462.wmz» o:><img width=«307» height=«51» src=«dopb115702.zip» v:shapes="_x0000_i1262">
т.к. <shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image464.wmz» o:><img width=«168» height=«51» src=«dopb115703.zip» v:shapes="_x0000_i1263">
<group id="_x0000_s1081" coordorigin=«110» coordsize=«18381,20000» o:allowincell=«f»><img width=«412» height=«130» src=«dopb115704.zip» v:shapes="_x0000_s1081 _x0000_s1082 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1085 _x0000_s1086 _x0000_s1087 _x0000_s1088 _x0000_s1089 _x0000_s1090 _x0000_s1091 _x0000_s1092 _x0000_s1093 _x0000_s1094">  

Экспоненциальное распределение.
<shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image467.wmz» o:><img width=«164» height=«51» src=«dopb115705.zip» v:shapes="_x0000_i1264">
<group id="_x0000_s1095" coordorigin="-92" coordsize=«23468,20000» o:allowincell=«f»><shapetype id="_x0000_t19" coordsize=«21600,21600» o:spt=«19» adj="-5898240,,,21600,21600" path=«wr-21600,,21600,43200,,,21600,21600nfewr-21600,,21600,43200,,,21600,21600l,21600nsxe» filled=«f»><path arrowok=«t» o:extrusionok=«f» gradientshapeok=«t» o:connecttype=«custom» o:connectlocs=«0,0;21600,21600;0,21600»><img width=«395» height=«180» src=«dopb115706.zip» v:shapes="_x0000_s1095 _x0000_s1096 _x0000_s1097 _x0000_s1098 _x0000_s1099 _x0000_s1100 _x0000_s1101 _x0000_s1102"> 

<shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image470.wmz» o:><img width=«396» height=«51» src=«dopb115707.zip» v:shapes="_x0000_i1265">
Непрерывная случайная величина является математической абстракцией и в чистом виде на практике не встречается, хотя бы потому, что теоретически не может существовать измерительное устройство, вычисляющее это величину. Следовательно, всегда исследователь имеет дело со случайными дискретными величинами. На практике отрезок [a, b] разбивают на отрезки одинаковой длинны, длину устремляют к нулю. При этом x принадлежит отрезку. Вероятность того, что отрезок содержит x равна <shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image472.wmz» o:><img width=«36» height=«41» src=«dopb115708.zip» v:shapes="_x0000_i1266">. При <shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image474.wmz» o:><img width=«55» height=«19» src=«dopb115709.zip» v:shapes="_x0000_i1267"> ситуация эквивалентна следующему: имеется бесконечное множество лотерейных билетов, один ваш. Ясно, что в конечной серии розыгрышей вы никогда не выиграете. Независимо от этого велико удобство работы с непрерывными величинами. Оно заключается в том, что вероятностные свойства задаются одной из двух функций — плотностью распределения либо плотностью вероятности.
Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин.
Пусть имеется случайная величина, являющаяся функцией от непрерывной случайной величины X.
Y=x(x)
Математическим ожиданием непрерывной случайной величены является число:
<shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image476.wmz» o:><img width=«144» height=«51» src=«dopb115710.zip» v:shapes="_x0000_i1268">, <shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image478.wmz» o:><img width=«40» height=«23» src=«dopb115711.zip» v:shapes="_x0000_i1269"> — плотность вероятности случайной величины.
Обоснование этой формулы.
Аппроксимируем непрерывную случайную величину Y случайной величены Y*, которая является дискретной. Пусть числовая ось — пространство элементарных событий случайной величены X, разобьем всю числовую ось на отрезки достаточно малой длины.
<group id="_x0000_s1103" coordorigin=",1" coordsize=«20000,19968» o:allowincell=«f»><img width=«371» height=«34» src=«dopb115712.zip» v:shapes="_x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1105 _x0000_s1106 _x0000_s1107 _x0000_s1108 _x0000_s1109 _x0000_s1110 _x0000_s1111 _x0000_s1112 _x0000_s1113 _x0000_s1114 _x0000_s1115 _x0000_s1116 _x0000_s1117 _x0000_s1118 _x0000_s1119 _x0000_s1120 _x0000_s1121 _x0000_s1122 _x0000_s1123 _x0000_s1124 _x0000_s1125 _x0000_s1126 _x0000_s1127 _x0000_s1128 _x0000_s1129 _x0000_s1130"> 

2n отрезков.
Если в результате испытания случайная величена X попала в отрезок с начальной вершиной xi, то случайная величена X* приняла значение x(xi) с точностью до бесконечно малой Dx — длины i-го отрезка. Вероятность того, что Y* примет значение x(xi) с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем Dx, тем более точно Y* аппроксимирует Y.
Вероятность наступления x(xi) для Y* равна <shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image481.wmz» o:><img width=«64» height=«23» src=«dopb115713.zip» v:shapes="_x0000_i1270">
<shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image483.wmz» o:><img width=«115» height=«51» src=«dopb115714.zip» v:shapes="_x0000_i1271">
<shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image485.wmz» o:><img width=«168» height=«36» src=«dopb115715.zip» v:shapes="_x0000_i1272">, при <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image487.wmz» o:><img width=«48» height=«16» src=«dopb115716.zip» v:shapes="_x0000_i1273">эта сумма переходит в <shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image489.wmz» o:><img width=«159» height=«51» src=«dopb115717.zip» v:shapes="_x0000_i1274">.
Тогда <shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image491.wmz» o:><img width=«152» height=«51» src=«dopb115718.zip» v:shapes="_x0000_i1275">.
Самим показать, что все свойства мат. ожидания для дискретной случайной величены сохраняются для непрерывной случайной величены.
<shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image493.wmz» o:><img width=«537» height=«193» src=«dopb115719.zip» v:shapes="_x0000_i1276">
Доказать, что
<shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image495.wmz» o:><img width=«517» height=«376» src=«dopb115720.zip» v:shapes="_x0000_i1277">
Доказать самим, что свойство 1 и 2 для производящей функции в дискретном случае справедливы и для непрерывного.
<shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image497.wmz» o:><img width=«408» height=«159» src=«dopb115721.zip» v:shapes="_x0000_i1278">
Распределение Гаусса — нормальное
Случайная величина имеет нормальное распределение (распределение Гаусса) и называется нормально распределенной, если ее плотность вероятности
<shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bordertopcolor=«this» o:borderleftcolor=«this» o:borderbottomcolor=«this» o:borderrightcolor=«this»><imagedata src=«25612.files/image499.wmz» o:><img width=«226» height=«53» src=«dopb115722.zip» v:shapes="_x0000_i1279">
Из определения
<shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image501.wmz» o:><img width=«222» height=«56» src=«dopb115723.zip» v:shapes="_x0000_i1280">
функция распределения
<shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image503.wmz» o:><img width=«453» height=«107» src=«dopb115724.zip» v:shapes="_x0000_i1281">
Найдем выражение для производящей функции нормального распределения
<shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image505.wmz» o:><img width=«541» height=«139» src=«dopb115725.zip» v:shapes="_x0000_i1282">
                                    =1 (интеграл Эйлера)
<shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image507.wmz» o:><img width=«495» height=«207» src=«dopb115726.zip» v:shapes="_x0000_i1283">
Изобразим примерный вид плотности
<rect id="_x0000_s1131" o:allowincell=«f» filled=«f» stroked=«f» strokeweight=".5pt">  <rect id="_x0000_s1132" o:allowincell=«f» filled=«f» stroked=«f» strokeweight=".5pt">  <line id="_x0000_s1133" from=«241.35pt,75.5pt» to=«241.45pt,130.5pt» o:allowincell=«f» strokeweight=".5pt"><img width=«2» height=«75» src=«dopb115727.zip» v:shapes="_x0000_s1133"><shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image510.wmz» o:><img width=«300» height=«177» src=«dopb115728.zip» v:shapes="_x0000_i1284">
<rect id="_x0000_s1134" o:allowincell=«f» filled=«f» stroked=«f» strokeweight=".5pt">   

Рассмотрим центрированную нормальную величину, т.е. MX=0
<shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image512.wmz» o:><img width=«51» height=«23» src=«dopb115729.zip» v:shapes="_x0000_i1285">
У центральной нормированной величины все нечетные начальные моменты равны 0
<shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image514.wmz» o:><img width=«538» height=«341» src=«dopb115730.zip» v:shapes="_x0000_i1286">
Функция Лапласа
Функцией Лапласа называется функция вида
<shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bordertopcolor=«this» o:borderleftcolor=«this» o:borderbottomcolor=«this» o:borderrightcolor=«this»><imagedata src=«25612.files/image516.wmz» o:><img width=«131» height=«53» src=«dopb115731.zip» v:shapes="_x0000_i1287">
Свойства:
1) при z>0 функция Лапласа определяет вероятность попадания нормальной случайной величины с параметрами
MX=0
DX=1
в интервале (0, z)

2)
 <shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image518.wmz» o:><img width=«79» height=«73» src=«dopb115732.zip» v:shapes="_x0000_i1288">
3) <shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image520.wmz» o:><img width=«103» height=«23» src=«dopb115733.zip» v:shapes="_x0000_i1289"> - функция нечетная
Иногда в литературе встречаются два вида функций Лапласа
<shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image522.wmz» o:><img width=«129» height=«86» src=«dopb115734.zip» v:shapes="_x0000_i1290">
Функция Лапласа табулирована. Функция Лапласа используется для выполнения событий вида
<shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image524.wmz» o:><img width=«53» height=«23» src=«dopb115735.zip» v:shapes="_x0000_i1291">
для произвольных нормальных величин.
Найдем вероятность того, что в результате испытания над x произойдет сложное событие: x примет числовое значение, принадлежащее отрезку с концами (a, b).
<shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image526.wmz» o:><img width=«432» height=«136» src=«dopb115736.zip» v:shapes="_x0000_i1292">
Пример.
x — случайная величина.
f(x) — плотность вероятности.
Найти плотность вероятности g(n) случайной величины H.
<imagedata src=«25612.files/image528.wmz» o:><img width=«291» height=«88» src=«dopb115737.zip» v:shapes="_x0000_i1293">
Рассмотрим отрезок (h, h+dh). Событию попадание H в отрезок (h, h+dh) в силу однозначности функции h(x) соответствует попадание x в отрезок (x, x+dx). При этом вероятности наступления такого события одинаковы:
<shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image530.wmz» o:><img width=«30» height=«44» src=«dopb115738.zip» v:shapes="_x0000_i1294">
Тогда построим функцию h(x), обратную x(h), x=x(h).
т.к. <shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image532.wmz» o:><img width=«192» height=«46» src=«dopb115739.zip» v:shapes="_x0000_i1295">
Вероятность первого события равна
<shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image534.wmz» o:><img width=«91» height=«23» src=«dopb115740.zip» v:shapes="_x0000_i1296">
Вероятность второго события
<shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image536.wmz» o:><img width=«159» height=«38» src=«dopb115741.zip» v:shapes="_x0000_i1297">
Следовательно
<shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image538.wmz» o:><img width=«117» height=«46» src=«dopb115742.zip» v:shapes="_x0000_i1298">
Неравенство Чебышева
Рассмотрим случайную величину X с конечным мат. ожиданием и дисперсией <shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image540.wmz» o:><img width=«60» height=«22» src=«dopb115743.zip» v:shapes="_x0000_i1299">
Для любого неотрицательного числа t вероятность наступления события
<shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole="" o:bordertopcolor=«this» o:borderleftcolor=«this» o:borderbottomcolor=«this» o:borderrightcolor=«this»><imagedata src=«25612.files/image542.wmz» o:><img width=«109» height=«39» src=«dopb115744.zip» v:shapes="_x0000_i1300">
Пусть Z — непрерывная случайная величина с плотностью вероятности f(Z). Пространство событий величины Z (0; ). Тогда имеет место неравенство
<shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image544.wmz» o:><img width=«87» height=«37» src=«dopb115745.zip» v:shapes="_x0000_i1301">
Доказать неравенства
<shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image546.wmz» o:><img width=«445» height=«88» src=«dopb115746.zip» v:shapes="_x0000_i1302">
Рассмотрим два сложных события
<shape id="_x0000_i1303" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image548.wmz» o:><img width=«72» height=«49» src=«dopb115747.zip» v:shapes="_x0000_i1303">
a — произвольное действительное число.
Показать самим, что x — удовлетворяет и одному и другому неравенству.
Тогда <shape id="_x0000_i1304" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25612.files/image550.wmz» o:><img width=«65» height=«21» src=«dopb115748.zip» v:shapes="_x0000_i1304"> справедливо
    продолжение
--PAGE_BREAK--