Реферат: Структура аффинного пространства над телом

--PAGE_BREAK--Однородные пространства
Определение 1.5.Однородным пространством, ассоциированным с группой <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">, называется множество <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">, на котором определено транзитивное действие группы <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">.

Пример (типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе.

Пусть <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> — группа, <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300984680-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107"> — ее подгруппа, <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_300984879-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> — фактормножество, образованное левыми смежными классами относительно <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300984680-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">: элементы <img width=«29» height=«17» src=«ref-1_300985308-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> из <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> объявляются эквивалентными, если существует элемент <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_300985729-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">, такой, что <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_300985960-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">; класс эквивалентности элемента <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_300986203-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> есть множество <img width=«28» height=«19» src=«ref-1_300986394-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115"> элементов вида <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_300986604-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">, где <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_300985729-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">.

Действие слевагруппы <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118"> на <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_300984879-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> определяется с помощью <img width=«107» height=«25» src=«ref-1_300987479-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">; это действие, очевидно, транзитивно. Фактормножество <img width=«43» height=«20» src=«ref-1_300984879-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> является однородным пространством относительно этого действия.

Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такого вида.

Теорема 1.1. Пусть  <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> — однородное пространство, ассоциированное с группой <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">, и для любого <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_300981319-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> пусть <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_300988687-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> — группа изотропии <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_300978045-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">. Тогда существует единственная биекция <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_300989095-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"> факторпространства <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_300989305-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> на <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">, такая, что для всех <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_300974220-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">  выполнено <img width=«131» height=«24» src=«ref-1_300989994-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">, где <img width=«101» height=«24» src=«ref-1_300990368-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> — каноническая проекция и <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300973154-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> — действие <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> на <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">.

Доказательство. Соотношение <img width=«124» height=«24» src=«ref-1_300991276-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> равносильно <img width=«105» height=«24» src=«ref-1_300991647-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> и, значит,  <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_300991983-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> или <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_300992284-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">; следовательно, отображение <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_300992602-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">, <img width=«88» height=«23» src=«ref-1_300992888-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> переносится на фактормножество и представляется в виде <img width=«76» height=«25» src=«ref-1_300993206-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">, где <img width=«108» height=«24» src=«ref-1_300993498-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> — биекция.


Специальный случай
Если группа <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"> действует на <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> просто транзитивно, то группы изотропии <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_300988687-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> тривиальны; для каждой точки <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_300981319-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> отображение <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_300994678-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">, <img width=«88» height=«23» src=«ref-1_300992888-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> является биекцией, удовлетворяющей условию <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_300995282-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">.

Эта биекция <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_300995560-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> позволяет перенести на <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">структуру группы <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">, которая, однако, будет зависеть от выбора точки <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_300978045-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">, т. е. образа нейтрального элемента. Говоря нестрого, <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> допускает структуру группы, изоморфной <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">, при произвольном выборе нейтрального элемента.

Так и будет обстоять дело в случае ”аффинной структуры”.



2.Аффинные пространства

Определение 2.1.Пусть <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> — векторное пространство над произвольным телом <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">. Аффинным пространством, ассоциированным с <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">, называется множество ℰ, на котором определено просто транзитивное действие абелевой группы <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_300997385-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">.

Это действие записывается обычно в виде

                 <img width=«28» height=«17» src=«ref-1_300997635-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">ℰ<img width=«21» height=«16» src=«ref-1_300997843-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">ℰ,       <img width=«97» height=«23» src=«ref-1_300998034-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">.

Для любого <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_300998345-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> биекция <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_300998576-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">
ℰ
<img width=«21» height=«16» src=«ref-1_300997843-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> 
ℰ,<img width=«71» height=«16» src=«ref-1_300998970-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> называется трансляцией на вектор <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_300999219-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">; далее, для некоторой пары <img width=«28» height=«23» src=«ref-1_300999412-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"> элементов  ℰединственный вектор <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_300999219-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">, такой, что  <img width=«64» height=«24» src=«ref-1_300999824-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">, обозначается <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_301000093-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">.

Чтобы отличить элементы ℰ(называемые точками) от элементов <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> (называемых векторами), мы будем преимущественно обозначать ”точки” прописными буквами латинского алфавита, такими, как <img width=«75» height=«21» src=«ref-1_301000515-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">, а ”векторы -строчными, например <img width=«60» height=«17» src=«ref-1_301000778-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">; греческие буквы предназначаются для ”скаляров”.

Можно привести два равносильных данному определению 2.1. обычных определения, не опирающихся на понятие действия группы.

Определение 2.2.Аффинным пространством, ассоциированным с <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">, называется множество ℰ, снабженное семейством биекций <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_301001216-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">, таких, что

a) <img width=«56» height=«25» src=«ref-1_301001457-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">ℰи <img width=«116» height=«23» src=«ref-1_301001708-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"><img width=«81» height=«24» src=«ref-1_301002063-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">;

b) для любой пары  <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_301002322-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">ℰ
<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301002596-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">
ℰсуществует единственный вектор <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_300998345-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">, такой, что <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_301003016-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">.

Определение 2.3.Аффинным пространством, ассоциированным с <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">, называется множество ℰ,снабженное отображением ℰ
<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301002596-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">
ℰ<img width=«37» height=«19» src=«ref-1_301003673-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">, обозначаемым <img width=«87» height=«27» src=«ref-1_301003891-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">, таким, что

a)      для каждого <img width=«29» height=«17» src=«ref-1_301004195-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">ℰотображение ℰ<img width=«37» height=«19» src=«ref-1_301003673-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">, <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_301004622-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> биективно;

b)     для любых точек <img width=«52» height=«21» src=«ref-1_301004906-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> из ℰ  выполнено соотношение Шаля

              <img width=«108» height=«24» src=«ref-1_301005153-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">.

Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки <img width=«28» height=«17» src=«ref-1_301005506-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">ℰмы имеем <img width=«57» height=«28» src=«ref-1_301005712-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">.

От определения 2.3. к определению 2.2. можно перейти, обозначив через <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_301005970-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> единственную точку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301006217-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">, такую, что <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301006415-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">, и заметив, что соотношение Шаля равносильно <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_301006667-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">. Переход от определения 2.2. к определению 2.1. непосредственно ясен.

Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки <img width=«28» height=«17» src=«ref-1_301005506-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">ℰотображение  <img width=«64» height=«24» src=«ref-1_301007140-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">ℰ
,<img width=«127» height=«24» src=«ref-1_301007395-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"> есть биекция; эта биекция позволяет перенести на ℰ
векторную структуру <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">.

Обозначения. Полученная таким путем векторная структура на ℰбудет называться векторной структурой с началом <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">; множество ℰс этой структурой будет обозначаться
ℰ
A
.

Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства ℰ— это те свойства векторного пространства ℰ
A, которые не зависят от выбора точки <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">.

Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе ”внутреннего” исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинные свойства ℰ. Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.
Размерность аффинного пространства

Пусть ℰ— аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">. По определению, размерность ℰ
равна размерности <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">.

В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_301008737-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">, ассоциированную с нулевым векторным пространством.
    продолжение
--PAGE_BREAK--    Аффинные подпространства
    (Линейные аффинные многообразия)

Пусть ℰ— аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">. Каждое векторное подпространство <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301009124-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> пространства <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211"> образует подгруппу группы <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_300997385-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">, действующую на ℰтрансляциями. По определению, орбиты действия <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301009124-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> на ℰ
называются линейными аффинными многообразиями (сокращенно ЛАМ) с направлением <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301009124-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">. Группа <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_301010185-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">, действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит определяет тем самым на каждой из них аффинную структуру, ассоциированную с <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301009124-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">; поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами в ℰ.

Если <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> есть ЛАМ с направляющим подпространством <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301009124-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> и <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219"> — точка <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">, то <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> допускает структуру векторного пространства с началом <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> и <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_301011861-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> есть векторное подпространство в  ℰ
A. Обратно, любое ВПП пространства ℰ
A  есть ЛАМ, проходящее через <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">; сформулируем

Предложение 3.1.Аффинные подпространства в ℰ, проходящие через точку  <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">, суть векторные подпространства векторного пространства ℰ
A.

Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226"> пространства ℰ  полностью определяется заданием множества точек <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">.
Другие определения.

Предложение 3.1. показывает, что данное выше определение эквивалентно следующему элементарному определению:

Определение 3.1.Непустое подмножество <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> аффинного пространства ℰназывается линейным аффинным многообразием, если в <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> существует точка <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">, такая, что <img width=«128» height=«27» src=«ref-1_301013504-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> является векторным подпространством в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">.

Приняв определение 3.1., можно непосредственно установить следующее

Предложение 3.2. Пусть <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> — непустое подмножество в ℰи <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> — точка <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">, такая, что <img width=«128» height=«27» src=«ref-1_301013504-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> есть векторное подпространство в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">. Тогда для любой точки <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301006217-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> из <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> множество <img width=«128» height=«27» src=«ref-1_301015690-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> совпадает с <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_301016073-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">.

Доказательство. <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_301016291-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> есть множество векторов <img width=«116» height=«23» src=«ref-1_301016504-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">, где <img width=«65» height=«27» src=«ref-1_301016883-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">; таким образом, <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_301016291-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> есть образ <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_301016073-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> при биекции <img width=«71» height=«19» src=«ref-1_301017612-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">, <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_301017874-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">, и поскольку <img width=«59» height=«27» src=«ref-1_301018152-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">, то <img width=«72» height=«23» src=«ref-1_301018436-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">.

Установив это, легко убедиться, что <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_301018947-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">, которое не зависит от точки <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">.

Вместо того, чтобы исходить из векторной структуры <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_301016073-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">, можно использовать отношение эквивалентности, связанное с действием <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301009124-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> на <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">: ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к следующему равносильному определению:

Определение 3.2.Пусть <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301009124-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> — векторное подпространство в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> и <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_301020435-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> — отношение эквивалентности, определяемое на ℰс помощью

                             <img width=«124» height=«28» src=«ref-1_301020654-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">;

аффинными многообразиями с направлением <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301009124-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> называются классы эквивалентности по отношению <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_301020435-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">.

Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ℰ, но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.



Случай векторного пространства.

Каждое векторное пространство <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> канонически снабжено аффинной структурой, так как <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_300997385-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_301021889-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> называется также ”началом” <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> и

        <img width=«101» height=«24» src=«ref-1_301022281-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"> <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_301022610-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> .

ЛАМ пространства <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">, проходящие через <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_301021889-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">, суть векторные подпространства в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">; ЛАМ, проходящие через точку <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_301023494-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">, суть образы векторных подпространств <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273"> при параллельном переносе <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_301023928-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">.

Ради кратности ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">).

    продолжение
--PAGE_BREAK-- Размерность линейного аффинного многообразия
Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства ℰ; предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_301021889-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"> суть точки ℰ.

Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.





Пересечение линейных аффинных многообразий
Предложение 3. 3.Пусть <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301024518-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> — семейство аффинных подпространств в ℰи <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_301024774-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> для каждого <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_301024981-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> — направляющее подпространство для <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301025197-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">.

Если пересечение <img width=«67» height=«36» src=«ref-1_301025414-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"> непусто, то оно является аффинным подпространством в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> с направляющим <img width=«63» height=«36» src=«ref-1_301025913-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">.

Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место

Предложение 3.4.Для того, чтобы пересечение <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_301026192-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> двух ЛАМ в ℰбыло непустым, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_301026452-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285"> и <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_301026705-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> , что <img width=«89» height=«27» src=«ref-1_301026968-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">, и тогда

<img width=«81» height=«23» src=«ref-1_301027303-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"> <img width=«85» height=«23» src=«ref-1_301027620-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> <img width=«103» height=«27» src=«ref-1_301027938-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">.

Доказательство.Если <img width=«81» height=«27» src=«ref-1_301028304-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">, то для любых <img width=«56» height=«23» src=«ref-1_301028596-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">, <img width=«60» height=«23» src=«ref-1_301028859-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> имеем  <img width=«64» height=«27» src=«ref-1_301029137-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> и <img width=«68» height=«27» src=«ref-1_301029428-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">. Таким образом, <img width=«193» height=«27» src=«ref-1_301029738-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">.

Обратно, если существуют <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_301026452-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> и <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_301026705-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">, такие, что <img width=«89» height=«27» src=«ref-1_301026968-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">, то можно представить <img width=«35» height=«27» src=«ref-1_301031077-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300"> в виде <img width=«89» height=«27» src=«ref-1_301031323-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">, где <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_301031634-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">, <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_301031877-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">. Тогда точка <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">, определяемая условием <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_301032328-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> , принадлежит <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_301032587-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> и, как легко видеть, <img width=«69» height=«27» src=«ref-1_301032797-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">. Это доказывает, что <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308"> принадлежит также <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_301033275-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">, а тем самым <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_301026192-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310"> не пусто.

Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также

Предложение 3.5.Если <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_301032587-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">, <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_301033275-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> — аффинные подпространства в ℰ, направляющие которых взаимно дополняют друг друга в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">, то <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_301032587-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> и <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_301033275-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"> имеют единственную общую точку.

    продолжение
--PAGE_BREAK--Параллелизм
Определение 3.3.Говорят, что два линейных аффинных многообразий <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_301032587-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">, <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_301033275-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> вполне параллельны, если они имеют одно и то же направляющее подпространство: <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_301035227-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">.

Более общо, говорят, что <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_301032587-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319"> параллельно <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_301033275-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">, если направляющие пространства <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_301035904-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">, <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301036109-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">  многообразий <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_301032587-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">, <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_301033275-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> удовлетворяют включению <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_301036743-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">.

Можно проверить, что отношение ”<img width=«19» height=«23» src=«ref-1_301032587-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> вполне параллельно (соответственно параллельно) <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_301033275-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327"> ” равносильно существованию трансляции <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301037419-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328"> пространства ℰ, такой, что <img width=«72» height=«23» src=«ref-1_301037612-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> (соответственно <img width=«73» height=«23» src=«ref-1_301037898-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">).
Аффинное подпространство, порожденное подмножеством <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">пространства
ℰ

Предположение 3.6.Если <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332"> — непустое подмножество в ℰ, то существует единственное аффинное подпространство в ℰ, обозначаемое <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_301038592-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">, содержащее <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334"> и обладающее следующим свойством:

Любое аффинное подпространство
ℰ
, содержащее <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">, содержит и <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_301038592-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">.

Говорят, что <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_301038592-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337"> порождено <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">.

Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.: <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_301038592-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339"> есть пересечение всех ЛАМ, содержащих <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">. Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство ”всех ЛАМ, содержащих <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">”, о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!

Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342"> начальной точки <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">, что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного подпространства в ℰ
A, содержащего <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344"> (поскольку ЛАМ, содержащее <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">, являются ВПП в ℰ). Таким образом, <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_301038592-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346"> есть ВПП в ℰ
A, порожденное <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">; при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки  <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348"> в <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">. Если мы заметим, что направляющее подпространство для <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_301038592-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350"> есть ВПП в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">, порожденное векторами <img width=«72» height=«28» src=«ref-1_301042962-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">, то получим также

Предложение 3.7. Пусть <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353"> — непустое подмножество в ℰ;для каждой точки <img width=«47» height=«17» src=«ref-1_301043471-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"> положим <img width=«136» height=«28» src=«ref-1_301043709-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">. Тогда векторное пространство <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_301016073-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356"> не зависит от выбора <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357"> и <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_301038592-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358"> есть ЛАМ, проходящее через <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"> с направлением <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_301016073-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">.

Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.

В частности, если <img width=«128» height=«24» src=«ref-1_301045236-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361"> — конечное множество, то векторное пространство <img width=«123» height=«29» src=«ref-1_301045581-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362"> не зависит от <img width=«9» height=«19» src=«ref-1_301045969-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363"> и, следовательно, совпадает с

<img width=«139» height=«31» src=«ref-1_301046158-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364"> и  <img width=«104» height=«39» src=«ref-1_301046585-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">.

Отсюда вытекает

Предложение 3.8.Размерность аффинного подпространства, порожденного <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_301046993-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366"> точками <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_301047201-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367"> пространства ℰне превосходит <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301047489-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">; его размерность равна <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301047489-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369"> тогда и только тогда, когда <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301047489-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370"> векторов <img width=«35» height=«28» src=«ref-1_301048065-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371"> (<img width=«43» height=«19» src=«ref-1_301048315-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">) образуют свободное семейство.

Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Барицентры: приложения к изучению аффинных подпространств


В последующем ℰвсегда обозначает аффинное пространство, ассоциированное с левым векторным пространством <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"> над, вообще говоря, некоммутативным телом <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">. ”Взвешенной точкой” называется элемент  <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_301048950-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">ℰ<img width=«28» height=«19» src=«ref-1_301049224-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">.

Теорема 4.1.Для каждого конечного семейства (системы)  <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_301049441-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"> взвешенных точек, такого, что <img width=«61» height=«40» src=«ref-1_301049729-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">, существует единственная точка <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">, удовлетворяющая любому (а тогда и двум остальным) из следующих трех условий a), b), c):

a) <img width=«89» height=«43» src=«ref-1_301050229-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">,

b) <img width=«43» height=«23» src=«ref-1_301050578-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">
ℰ<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_301050818-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">
 <img width=«145» height=«43» src=«ref-1_301051016-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">,

c) <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_301051490-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">ℰ
<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_301050818-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385"> <img width=«145» height=«43» src=«ref-1_301051016-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">.

Эта точка называется барицентром (центром тяжести) системы <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_301049441-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">. Мы обозначим ее <img width=«79» height=«24» src=«ref-1_301052696-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">.

Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью соотношения Шаля.

Свойства. a)  Однородность (слева).

Предложение 4.2.Для любого <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_301052995-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389"> имеем

             <img width=«177» height=«24» src=«ref-1_301053243-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">

b) Ассоциативность.

Предложение 4.3.Пусть <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_301053667-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391"> — разбиение <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_301053930-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">, т.е. совокупность непустых попарно непересекающихся подмножеств <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_301053930-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">, таких, что <img width=«76» height=«39» src=«ref-1_301054306-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394"> .

Если для любого <img width=«85» height=«23» src=«ref-1_301054598-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> скаляр <img width=«72» height=«40» src=«ref-1_301054892-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396"> отличен от нуля и мы положим <img width=«120» height=«27» src=«ref-1_301055202-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">, то

<img width=«193» height=«27» src=«ref-1_301055567-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">.

Доказательства получаются непосредственно

Замечания. По определению 4.2. можно всегда привести дело к случаю, когда ”полная масса” системы <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_301049441-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">, т.е. <img width=«37» height=«40» src=«ref-1_301056321-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400"> равна 1. В этом и только в этом случае можно положить

                              <img width=«141» height=«40» src=«ref-1_301056592-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">.

Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение <img width=«79» height=«39» src=«ref-1_301057013-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402"> равносильно каждому из следующих утверждений:

        <img width=«59» height=«40» src=«ref-1_301057329-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403"> и <img width=«43» height=«23» src=«ref-1_301050578-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">
ℰ<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_301050818-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405"> <img width=«101» height=«43» src=«ref-1_301058058-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">,                                      (1)

                 <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_301051490-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">ℰ
<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_301050818-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408"> <img width=«101» height=«43» src=«ref-1_301058058-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">,                                              (2)

так как (2) влечет за собой (1).

Эквибарицентромконечного подмножества <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_301059264-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410"> пространства ℰназывается точка <img width=«69» height=«24» src=«ref-1_301059521-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">. Она существует только тогда, когда характеристика <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412"> не является делителем числа <img width=«85» height=«23» src=«ref-1_301060011-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">.

Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.

Предложение 4.4.Пусть <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_301049441-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414"> — конечное семейство взвешенных точек, таких, что <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_301060602-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415"> для всех <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_301024981-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">, <img width=«61» height=«40» src=«ref-1_301061055-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417"> и <img width=«83» height=«23» src=«ref-1_301061354-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418">.

Если характеристика <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419"> отлична от 2, то существует разбиение <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_301061868-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> множества <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_301053930-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">, такое, что

<img width=«63» height=«45» src=«ref-1_301062313-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422"> и <img width=«64» height=«45» src=«ref-1_301062620-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">.

Доказательство. Если одна из сумм <img width=«85» height=«43» src=«ref-1_301062936-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">отлична от нуля, то достаточно положить <img width=«55» height=«23» src=«ref-1_301063282-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425"> и <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_301063523-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">.

Если все суммы <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_301063795-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427"> равны нулю, то все <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301064003-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> равны одному и тому же элементу <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_301064212-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">, такому, что <img width=«81» height=«23» src=«ref-1_301064457-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">, где <img width=«85» height=«23» src=«ref-1_301060011-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">.

Если характеристика <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432"> отлична от 2, то <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_301065254-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">, и, поскольку <img width=«96» height=«23» src=«ref-1_301065499-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434"> не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая  <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301065809-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435"> как двухэлементное подмножество, а <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_301066008-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436"> как подмножество из <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_301066210-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437"> элементов.

Следствие.Если характеристика <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438"> не равна 2, то построение барицентра <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301047489-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> точек приводится к последовательному построению <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_301066863-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440"> барицентров пар.

    продолжение
--PAGE_BREAK--Приложения к линейным аффинным многообразиям
Теорема 4.5. Если <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441"> — непустое подмножество в ℰ, то <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_301038592-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442"> есть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">.

Доказательство. Уточним сначала, что под носителем семейства <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_301067766-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444"> понимается множество <img width=«47» height=«27» src=«ref-1_301068051-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445">.

Условившись об этом, выберем некоторую точку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446"> в <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">. Барицентры семейства с носителями в <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448"> суть точки <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">, удовлетворяющие соотношению вида

<img width=«104» height=«45» src=«ref-1_301069116-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450">,                                                                               (3)

где <img width=«59» height=«45» src=«ref-1_301069539-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451"> и  <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_301069839-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">. При этом соотношение (3) влечет за собой <img width=«140» height=«27» src=«ref-1_301070130-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453"> и поэтому <img width=«85» height=«23» src=«ref-1_301070553-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454"> (см. предложение 3.7). Обратно, если <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455"> — точка из <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_301038592-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">, то найдутся точки <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_301071361-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457">, принадлежащие <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458">, и скаляры <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_301071817-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459"> ( с суммой, необязательно равной 1), такие, что <img width=«104» height=«45» src=«ref-1_301069116-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">; это соотношение также записывается в виде

<img width=«104» height=«45» src=«ref-1_301072487-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461"> с <img width=«87» height=«45» src=«ref-1_301072912-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462"> и <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_301073246-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463">;

таким образом, <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_300974831-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464"> есть барицентр системы с носителем в <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">.

Определение 4.1. Подмножество <img width=«36» height=«17» src=«ref-1_301073881-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">ℰназывается аффинно порождающим ℰ, если  <img width=«71» height=«23» src=«ref-1_301074091-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467">ℰ; оно называется аффинно свободным, если любая любая точка <img width=«23» height=«17» src=«ref-1_301074386-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468"> из <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_301038592-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469"> единственным образом представляется в виде

<img width=«83» height=«45» src=«ref-1_301074877-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">, где <img width=«59» height=«45» src=«ref-1_301075215-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471"> и <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_301075516-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472"> при любом <img width=«9» height=«19» src=«ref-1_301045969-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">.

Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером.

Выбирая начало <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474"> в <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475"> и пологая <img width=«143» height=«23» src=«ref-1_301076360-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">, легко видеть, что <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477"> аффинно свободное (соответственно аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_301076962-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478"> свободное (соответственно множество образующих). (Напомним, что <img width=«69» height=«23» src=«ref-1_301077182-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479"> не зависит от выбора <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">.) Отсюда вытекает

Предложение 4.6.Для того, чтобы подмножество <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481"> пространства ℰбыло аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы <img width=«20» height=«17» src=«ref-1_300972950-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482"> не содержалось ни в какой аффинной гиперплоскости в ℰ.

Наконец, применяя предложение 3.7, получим

Предложение 4.7. Если ℰ— аффинное пространство конечной размерности <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301047489-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">, то любой его аффинный репер образован <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_301046993-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484"> точками.

Обратно, для того, чтобы <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_301046993-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485"> точек в ℰобразовали аффинный репер, необходимо и достаточно, чтобы <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301047489-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486"> векторов <img width=«36» height=«28» src=«ref-1_301078892-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487"> <img width=«68» height=«23» src=«ref-1_301079143-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488"> образовали базис <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">, или (эквивалентное условие) чтобы точки <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_301079628-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490"> не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.

Заметим, что если <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491"> есть ЛАМ конечной размерности в ℰи <img width=«97» height=«25» src=«ref-1_301080119-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492"> — аффинный репер в <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">, то <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494"> есть множество точек <img width=«51» height=«45» src=«ref-1_301080851-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495"> с <img width=«59» height=«45» src=«ref-1_301081163-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">. Этот способ параметризации часто полезен. В частности, аффинная прямая, соединяющая две точки <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_301081465-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497"> в ℰ, есть множество точек <img width=«148» height=«23» src=«ref-1_301081692-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--
Характеризация аффинных подпространств
Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества  <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301082090-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499"> точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301082090-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">.

Теорема 4.8. для того, чтобы непустая часть <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501"> пространства <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502"> была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы

a) если <img width=«77» height=«20» src=«ref-1_301082886-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">  — любая прямая, соединяющая две точки <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">, содержалась в <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">;

b) если <img width=«77» height=«20» src=«ref-1_301083585-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506"> — эвибарицентр любых трех точек <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507"> лежал в <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508">.

Доказательство.Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509"> точку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510"> и покажем, что <img width=«129» height=«23» src=«ref-1_301084688-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511"> есть ВПП пространства <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">.

a)      Предположив, что <img width=«77» height=«20» src=«ref-1_301082886-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">, установим прежде всего, что условия <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_301085542-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514"> и <img width=«51» height=«23» src=«ref-1_301085793-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515"> влекут <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_301086054-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516">.

Действительно, по предположению существует точка  <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_301086303-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">, такая, что <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301006415-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">. Точка <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_301086796-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">, определенная условием <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_301086995-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">, принадлежит прямой (АВ) и, значит, <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">, откуда следует, что <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_301086054-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">.

Рассмотрим далее два любых вектора <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301087725-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523"> и <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301087979-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524"> в  <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301009124-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525"> и выберем <img width=«87» height=«23» src=«ref-1_301088435-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526"> (что возможно, так как <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527"> не сводится к <img width=«37» height=«23» src=«ref-1_301088946-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528">). Точки <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_301089178-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529"> и <img width=«120» height=«24» src=«ref-1_301089462-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530"> (см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ) и (АС), а поэтому  и <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531">. Следовательно, точка <img width=«205» height=«24» src=«ref-1_301089985-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532"> принадлежит <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301010640-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533"> , откуда <img width=«64» height=«19» src=«ref-1_301090606-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">. Итак <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301009124-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535"> есть ВПП в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536">.

<img width=«288» height=«153» src=«ref-1_301091264-4719.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537">

                Рис. 1

b)     Если <img width=«77» height=«20» src=«ref-1_301083585-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">, то тривиальным образом <img width=«96» height=«23» src=«ref-1_301096268-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539"> влечет <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_301086054-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540"> (так как <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301096842-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541"> может принимать только два значения 0, 1). Если <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301087725-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">, <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301087979-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543"> — два вектора из <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301009124-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">, то точка <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_301097748-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545">, определяемая условием <img width=«79» height=«24» src=«ref-1_301097944-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">, есть эквибарицентр <img width=«52» height=«21» src=«ref-1_301004906-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">, откуда и вытекает наше утверждение.

Аффинные и полуаффинные отображения

Определение 5.1.Пусть ℰ, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301098473-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548"> — два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301098876-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">.

Отображение<img width=«23» height=«23» src=«ref-1_301099075-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">ℰ
<img width=«36» height=«17» src=«ref-1_301099279-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">называется полуаффинным (соответственно аффинным), если в ℰсуществует такая точка <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">, что отображение <img width=«79» height=«23» src=«ref-1_301099693-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554">,  <img width=«133» height=«27» src=«ref-1_301099980-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555"> полулинейно (соответственно линейно).

Предложение 5.1.Если в ℰсуществует точка <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">, удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им удовлетворяет любая точка ℰи отображение <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_301100612-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557"> не зависит от <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">.

Доказательство. Для любой пары <img width=«81» height=«23» src=«ref-1_301101025-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">ℰимеем в силу линейности <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_301100612-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">

<img width=«585» height=«27» src=«ref-1_301101546-954.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">,

что и доказывает требуемое.

Обозначения. Отображение <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_301100612-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562"> обозначается <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_301102713-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563"> и называется полулинейной (соответственно линейной) частью <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301102954-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">.

Истолкование.Фиксируем в ℰ
некоторую точку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565"> и снабдим <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">, <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_301103554-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567"> векторными структурами, принимая за начало в ℰточку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">, а в <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_301103554-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569"> — точку <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_301104150-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">. Тогда <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301102954-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571"> будет полуаффинным (соответственно аффинным) в том и только том случае, если <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_301102713-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572"> — полулинейное (соответственно линейное) отображение ℰАв <img width=«29» height=«25» src=«ref-1_301104839-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">.

 В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ℰв себя, допускающих неподвижную точку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300976615-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574">, сводится к изучению полулинейных (соответственно линейных) отображений ℰ
Ав себя.

Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).

Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.

Если <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301098876-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576"> — два векторных пространства, то полуаффинное (соответственно аффинное) отображение <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_300996779-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577"> и <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301098876-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578"> есть отображение вида <img width=«115» height=«23» src=«ref-1_301106067-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579">, где <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_300973154-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580"> полулинейно (соответственно линейно), а <img width=«63» height=«23» src=«ref-1_301106604-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581"> — постоянный элемент.

Непосредственные следствия. Если<img width=«23» height=«23» src=«ref-1_301099075-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582"> ℰ<img width=«36» height=«17» src=«ref-1_301099279-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583"> полуаффинно, то

1)     Образ ЛАМ в ℰесть ЛАМ в <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_301103554-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">.

2)     Прообраз ЛАМ в <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_301103554-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585"> есть ЛАМ в ℰили пустое множество.

3)     Для любой системы <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_301107701-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586"> взвешенных точек ℰобраз барицентра <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_301107986-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587"> есть барицентр <img width=«121» height=«24» src=«ref-1_301108286-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">, где <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_301108654-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589"> обозначает изоморфизм тел, ассоциированных с <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301102954-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">.



    продолжение
--PAGE_BREAK--Применение аффинных реперов
Теорема 5.2. Пусть ℰ, <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_301103554-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591"> — аффинные пространства над телами <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592">,<img width=«23» height=«20» src=«ref-1_301109455-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">,  <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_301108654-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594"> — изоморфизм <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595"> на <img width=«23» height=«20» src=«ref-1_301109455-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">, <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301110280-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597"> — аффинный репер в ℰи <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301110532-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598"> — семейство точек <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_301103554-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">, индексированное тем же множеством индексов <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_301053930-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">.

 Тогда существует единственное полуаффинное отображение <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301102954-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601"> пространства ℰ  в <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_301103554-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602">, ассоциированное с изоморфизмом <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_301108654-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603">, такое, что <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_301111770-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604"> для всех <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_301024981-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">.

Более того, <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301102954-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606"> биективно (соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301110532-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607"> есть аффинный репер (соответственно свободное семейство, семейство образующих) для <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_301103554-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608">.

Доказательство. Вернемся к теореме <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_301112928-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609">, взяв одну из точек <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_301113144-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610"> в качестве начала в ℰ, а соответствующую точку <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_301113352-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611"> — в <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_301103554-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">; отображение <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301102954-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613"> определяется равенством

                         <img width=«161» height=«52» src=«ref-1_301113960-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">

для любого конечного подмножества <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_301114461-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615"> и любой системы скаляров <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_301114671-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">, таких, что, <img width=«56» height=«36» src=«ref-1_301114915-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">.

В частности, аффинное отображение ℰв <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_301103554-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618"> определяется заданием образа аффинного репера из ℰ.


 Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ
Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем

Предложение 5.3. Пусть ℰ— аффинное пространство над телом <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">. Тогда

a)      Если <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_301099075-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620"> ℰ<img width=«39» height=«19» src=«ref-1_301115787-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">  — непостоянное аффинное отображение, то <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_301116008-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622"> — аффинная гиперплоскость в ℰс направлением <img width=«65» height=«23» src=«ref-1_301116248-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623">.

b)     Обратно, если <img width=«21» height=«19» src=«ref-1_301116538-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624"> — аффинная гиперплоскость в ℰ, то существует аффинное отображение <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_301099075-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625"> ℰ<img width=«39» height=«19» src=«ref-1_301115787-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">, такое, что <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_301117165-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627">, и все аффинные отображения ℰ  в <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628"> с этим свойством суть отображения <img width=«107» height=«23» src=«ref-1_301117647-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">, где <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_301117989-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">.

Если ℰ— аффинное пространство конечной размерности <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301047489-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">, то каждое ЛАМ размерности <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301118425-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632"> в ℰопределяется системой уравнений вида <img width=«64» height=«24» src=«ref-1_301118625-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633"> <img width=«95» height=«23» src=«ref-1_301118886-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">, где <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301119191-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635"> — аффинные отображения ℰв <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">, линейные части которых независимы.

Характеризация аффинных отображений

Теорема 5.4. Пусть ℰ<img width=«21» height=«20» src=«ref-1_301119602-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637"> — два аффинных пространства над одним и тем же телом <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_300996981-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638">. Для того, чтобы отображение <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_301099075-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">ℰ<img width=«36» height=«17» src=«ref-1_301099279-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640"> было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы

a)      при <img width=«77» height=«20» src=«ref-1_301082886-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">

         <img width=«92» height=«23» src=«ref-1_301120710-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">ℰ<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301002596-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">ℰ<img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301121228-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">

<img width=«275» height=«23» src=«ref-1_301121459-566.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">;

b)     при <img width=«77» height=«20» src=«ref-1_301082886-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646"> образ эквибарицентра любых трех точек ℰбыл эквибарицентром их образов.

Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.).

a)      При фиксированной точке <img width=«29» height=«17» src=«ref-1_301004195-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647">ℰсоотношение a) показывает, что для любого вектора <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301087725-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648"> направляющего пространства <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649"> имеем

<img width=«356» height=«27» src=«ref-1_301122971-642.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650">.

Отображение <img width=«144» height=«27» src=«ref-1_301123613-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651"> удовлетворяет, следовательно, условию <img width=«105» height=«23» src=«ref-1_301124024-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652">.

Чтобы доказать, что выполняется и условие <img width=«153» height=«23» src=«ref-1_301124384-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653"> для любых  <img width=«92» height=«23» src=«ref-1_301124799-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654">, выберем такие <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_301125124-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">, что <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301006415-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656">, <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301125602-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657"> и <img width=«88» height=«23» src=«ref-1_301125852-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658">, определим точки <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_301126164-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659">, <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_301126370-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660"> условиями <img width=«80» height=«27» src=«ref-1_301126575-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661">, <img width=«113» height=«29» src=«ref-1_301126876-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">. Применяя условие a), получим тогда <img width=«383» height=«24» src=«ref-1_301127227-607.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663">,

откуда

<img width=«549» height=«29» src=«ref-1_301127834-916.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664">.

Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение ℰ
в <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_301103554-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665"> является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в
ℰ

 аффинно.

В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.



Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.

Теорема 5.5. Если <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_301128948-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666"> — полуаффинное отображение и множество <img width=«181» height=«27» src=«ref-1_301129187-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667"> его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_301129606-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668"><img width=«177» height=«24» src=«ref-1_301129774-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669">, состоящим из неподвижных элементов отображения <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301130182-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">.

             С другой стороны, если <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671"> конечномерно и <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301130182-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672">не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673">имеет единственную неподвижную точку.<img width=«12» height=«19» src=«ref-1_301129606-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674">

            Доказательство. Если фиксировать точку <img width=«44» height=«17» src=«ref-1_301131203-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675">, условие <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_301131420-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">равносильно <img width=«143» height=«27» src=«ref-1_301131705-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677">и, значит, условию <img width=«159» height=«27» src=«ref-1_301132138-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678"> где <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_301132586-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">

·        Если <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680"> — неподвижная точка <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_301133049-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681">то <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_301133250-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682"> равносильно <img width=«139» height=«29» src=«ref-1_301133512-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683">откуда вытекает первое утверждение.

·        Если <img width=«127» height=«27» src=«ref-1_301133904-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684">, то отображение <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_301134261-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685"> инъективно и потому в случае конечной размерности <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686"> биективно; в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687">существует единственная точка <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_301134898-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688"> такая, что <img width=«161» height=«35» src=«ref-1_301135112-498.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689"> откуда следует второе утверждение. <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690">

   Важное  замечание. Если <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_301128948-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691"> — произвольное отображение и <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_301136029-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692"> — биекция, то  <img width=«159» height=«24» src=«ref-1_301136273-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693">

Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.
Аффинные и полуаффинные группы.

Если <img width=«80» height=«24» src=«ref-1_301136652-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694"> и <img width=«80» height=«24» src=«ref-1_301136920-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695"> -  два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301137185-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696"> также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и <img width=«151» height=«21» src=«ref-1_301137413-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697"> Отсюда выводится

Теорема 5.6.Пусть <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698"> — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_301137967-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699"> Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700"> на <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701"> образуют группу, которую мы обозначаем <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_301138549-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702"> (соотв. <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_301138794-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">). Отображение <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301139048-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704"> (линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_301138549-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705">на <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_301139484-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706">и <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_301138794-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707">на группу <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_301139987-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708">полулинейных биекций <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709">на <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710">.

      Наконец, для любой точки <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301140638-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711"> в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712"> ограничение <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301139048-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713"> на группу изотропии точки <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301140638-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714">в <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_301138549-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715"> (соотв. <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_301138794-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716">) является изоморфизмом этой группы на <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_301139484-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717">(соотв. <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_301139987-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718">).

Последнее утверждение получим, выбирая <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301140638-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719">в качестве начала в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720">.

Следствие.Если <img width=«31» height=«17» src=«ref-1_301142803-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721">подгруппа в <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_301139484-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722">(соотв. в <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_301139987-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723">), то <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301143513-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724"> есть подгруппа в <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_301138549-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725"> (соотв. в <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_301138794-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726">); при этом если <img width=«31» height=«17» src=«ref-1_301142803-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727">инвариантная подгруппа, то такова же и <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301143513-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728">.

 В частности, если <img width=«61» height=«24» src=«ref-1_301144716-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729"> то <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301143513-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730"> есть инвариантная подгруппа в <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_301138549-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731">, образованная трансляциями.

      Если <img width=«85» height=«27» src=«ref-1_301145467-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732">то <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301143513-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733"> есть инвариантная подгруппа в <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_301138549-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734">, образованная трансляциями центральнымисимметриями.

      Если <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_301146255-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735"><img width=«13» height=«11» src=«ref-1_301146453-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736">инвариантная подгруппа группы <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_301139987-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737">, образованная векторнымигомотетиями, то <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301143513-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738">есть инвариантная подгруппа в <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_301138794-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739">, называемая группойдилатаций.

      Пусть <img width=«28» height=«21» src=«ref-1_301147392-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740">дилатация, не сводящаяся к трансляции; тогда <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_301147593-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741">векторная гомотетия вида <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_301147828-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742"> где <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_301148066-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743"> В этом случае <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744"> имеет единственную неподвижную точку <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301148478-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745"> определяемую из условия <img width=«125» height=«25» src=«ref-1_301148670-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746"> где  <img width=«27» height=«17» src=«ref-1_301149025-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747">произвольная точка <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748">. Таким образом, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749"> выражается как <img width=«99» height=«23» src=«ref-1_301149613-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750"> Такое отображение называется гомотетией с центром <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_301149919-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751"> и коэффициентом <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301150108-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752">

      Сформулируем

Предложение 5.7.Трансляции и гомотетии <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753"> составляют инвариантную подгруппу группы <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_301138794-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754">, называемую группойдилатаций<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755">. Мы обозначаем ее <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_301150942-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">.

 Если основное тело <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301151188-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757"> коммутативно, то группа <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_301150942-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758"> является инвариантной подгруппой группы <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_301138549-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759">.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Проектирования
Назовем проектированием <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760">любое аффинное отображение <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301152076-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761"> пространства <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762">в себя, удовлетворяющее условию <img width=«65» height=«17» src=«ref-1_301152466-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763">

                                 <img width=«301» height=«158» src=«ref-1_301152713-4230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764">

                                                        Рис. 2

Для такого отображения любая точка <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_301156943-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765">является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_301157209-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">. Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:

Предложение 5.8. Отображение <img width=«72» height=«21» src=«ref-1_301157415-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767"> является проектированием, если существует ВПП <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_301157655-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768"> пространства <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769">и ЛАМ <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_301158055-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770"> в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771"> с направляющим подпространством <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_301158437-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772"> дополнительным к <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_301157655-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773">, такие, что для любой точки <img width=«49» height=«17» src=«ref-1_301158844-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1774"> ее образ <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_301159072-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1775"> есть точка пересечения <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_301158055-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1776"> с ЛАМ, проходящим через <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301159512-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1777"> с направлением <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_301157655-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1778"> (рис. 2).

Аффинные симметрии

 Теорема 5.9. Пусть <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1779"> — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1780">над телом <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301151188-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1781">характеристики <img width=«25» height=«17» src=«ref-1_301160516-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1782">.
Для того, чтобы аффинное отображение  <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_301128948-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1783"> было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_301137967-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1784">
            Такое отображение называется аффинной симметрией.
Доказательство. Если <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_301161166-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1785">и <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_301161435-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1786">, то образом середины отрезка <img width=«64» height=«27» src=«ref-1_301161646-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1787"> будет середина отрезка <img width=«189» height=«27» src=«ref-1_301161916-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1788"> таким образом, эта точка инвариантна при отображении <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1789"> и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю. <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1790">

Предложение 5.10.  Отображение <img width=«69» height=«19» src=«ref-1_301162707-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1791"> является аффиннойсимметрией, если существуют ВПП <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_301157655-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1792"> пространства <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1793"> и ЛАМ <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_301163330-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1794">с направлением, дополнительным к <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_301163548-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1795"> такие, что для любой точки<img width=«49» height=«17» src=«ref-1_301158844-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1796"> (см.рис.2)

1). <img width=«85» height=«27» src=«ref-1_301163986-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1797">

2). Середина <img width=«72» height=«27» src=«ref-1_301164322-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1798">принадлежит <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_301158055-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1799">.

Если <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_301158055-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1800"> сводится к одной точке <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_301164993-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1801"> то <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_301165194-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1802"> и <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_301165428-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1803"> есть центральнаясимметрия с центром <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_301165615-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1804">


    продолжение
--PAGE_BREAK--Теорема Фалеса


            Пусть по-прежнему <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_301157655-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1805"> есть ВПП в <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1806"> и <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_301166210-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1807">-  два аффинных пространства в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1808">, направляющие которых соответственно <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_301166631-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1809"> дополнительны к <img width=«21» height=«19» src=«ref-1_301166868-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1810"> Обозначим через <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_301167072-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1811">(соотв. <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301167278-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1812">) ограничение проектирования <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1813"> на <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301167676-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1814"> (соотв.<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301167880-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1815">) параллельно <img width=«21» height=«19» src=«ref-1_301166868-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1816"> Тогда, как легко видеть, <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301167278-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1817"> является аффинной биекцией <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301167880-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1818"> на <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301167676-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1819">, обратная к которой есть <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_301167072-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1820">. Образ <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_301169099-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1821"> точки <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301169416-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1822"> определяется условиями <img width=«56» height=«24» src=«ref-1_301169665-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1823"> и <img width=«75» height=«27» src=«ref-1_301169923-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1824"> (см. рис. 3).

            В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное

                       <img width=«296» height=«166» src=«ref-1_301170240-5167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1825">  

                                              Рис.3

указанным способом соответствие между <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301167880-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1826"> и <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301167676-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1827"> является аффинным.

В частности, если <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_301157655-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1828"><img width=«13» height=«11» src=«ref-1_301146453-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1829"> векторная гиперплоскость, то справедлива

Теорема 5.11.Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональныеотрезки.
§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения.


Пусть снова <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1830"> — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1831">. Как мы уже видели, выбор начала в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1832"> позволяет отождествить <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1833"> с <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_301176958-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1834"> теперь мы докажем, что <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1835">канонически отождествляется с аффинной гиперплоскостью некоторого пространства <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_301177356-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1836"> изоморфного <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_301177560-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1837">
            Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке <img width=«44» height=«17» src=«ref-1_301131203-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1838"> отображения <img width=«144» height=«27» src=«ref-1_301178011-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1839">

Предварительно сформулируем такое утверждение:

Лемма.Пусть <img width=«28» height=«17» src=«ref-1_301178374-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1840"> левое векторное пространство над телом <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_301178576-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1841"> а <img width=«31» height=«17» src=«ref-1_301178789-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1842">произвольное множество. Тогда множество <img width=«25» height=«20» src=«ref-1_301178994-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1843"> отображений <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_301179210-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1844"> в <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1845">есть левое векторное пространство над <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301151188-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1846"> по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:

<img width=«155» height=«21» src=«ref-1_301179815-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1847">    и    <img width=«109» height=«21» src=«ref-1_301180172-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1848">

            В силу доказанного искомое векторное пространство <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1849"> будет ВПП в <img width=«25» height=«20» src=«ref-1_301180690-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1850">,  порожденным отображениями <img width=«24» height=«24» src=«ref-1_301180900-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1851"> Поэтому мы начнем с изучения этого пространства <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_301181111-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1852">

Предложение 6.1. Пусть <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1853">-  векторное подпространство в <img width=«25» height=«20» src=«ref-1_301180690-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1854">, порожденное функциями <img width=«148» height=«27» src=«ref-1_301181718-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1855"> пуст, далее, <img width=«175» height=«39» src=«ref-1_301182085-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1856"> элемент из <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1857">. Тогда

А). Сумма <img width=«36» height=«36» src=«ref-1_301182739-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1858"> зависит только от функции <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1859"> и притом линейно, т.е. является линейным отображением <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1860"> в <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_301178576-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1861"> которое мы обозначим <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_301183624-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1862">

Б). Если <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_301183819-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1863"> то существует единственная  точка <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_301184080-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1864">, такая, что <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_301184303-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1865">.

В). Если <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_301184593-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1866"> то <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1867"> постоянна.

Доказательство. Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек <img width=«63» height=«27» src=«ref-1_301185049-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1868">, такие, что <img width=«85» height=«36» src=«ref-1_301185331-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1869"> но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_301185668-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1870"> выполнено соотношение

                                                               <img width=«183» height=«48» src=«ref-1_301185960-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1871">,                                 (1)

которое доказывает существование и линейность функции <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_301186476-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1872">

Б). Если <img width=«64» height=«36» src=«ref-1_301186750-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1873"> выберем в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1874"> произвольную точку <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_301187242-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1875"> Соотношение  (1) показывает, что в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1876"> существует единственная точка <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_301187631-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1877"> такая, что <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_301187836-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1878"> она определяется условием <img width=«129» height=«48» src=«ref-1_301188099-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1879"> Из (1) также видно, что эта точка – единственная, для которой <img width=«196» height=«48» src=«ref-1_301188546-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1880"> Таким образом, барицентр семейства <img width=«61» height=«24» src=«ref-1_301189098-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1881"> зависит только от функции <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_301189373-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1882">

В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1). <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1883">

Следствие. <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1884"> является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида <img width=«147» height=«24» src=«ref-1_301189951-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1885">

Предложение 6.2.Пусть <img width=«25» height=«20» src=«ref-1_301190319-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1886"> отображение <img width=«105» height=«24» src=«ref-1_301190513-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1887"> и пусть <img width=«31» height=«24» src=«ref-1_301190814-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1888">отображение <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1889"> в <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_301177356-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1890"> которое любому вектору <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_301191413-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1891"> ставит в соответствие постоянную функцию, равную <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301191640-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1892"> на <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1893">.

Тогда <img width=«13» height=«20» src=«ref-1_301192021-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1894"> аффинно с линейной частью <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192210-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1895">и потому инъективно; при этом <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301192406-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1896"> есть аффинная гиперплоскость<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1897"> в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1898"> с уравнением <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_301193030-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1899"> 

Доказательство.Для любой пары <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_301193279-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1900"> разность <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_301193553-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1901">есть постоянная функция <img width=«197» height=«27» src=«ref-1_301193834-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1902">; положим <img width=«141» height=«28» src=«ref-1_301194297-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1903">. Таким образом, <img width=«13» height=«20» src=«ref-1_301192021-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1904"> аффинно, <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_301194861-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1905"> и <img width=«13» height=«20» src=«ref-1_301192021-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1906"> инъективно, как и <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_301195308-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1907">

            С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301195507-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1908"> суть элементы <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_301195715-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1909"> удовлетворяющие условию <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_301195952-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1910">.<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1911">

Теорема 6.3.К каждому аффинному пространству <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1912">, ассоциированному с векторным <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301151188-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1913">-пространством <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1914">, можно канонически присоединить:

·        Векторное пространство <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_301177356-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1915"> изоморфное <img width=«41» height=«17» src=«ref-1_301197177-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1916">,

·        Ненулевую линейную форму <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301197409-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1917"> на <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1918">,

·        Аффинную инъекцию <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_301197799-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1919">, такую, что <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301192406-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1920">  — аффинная гиперплоскость в <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301198266-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1921">с уравнением <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_301198496-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1922">

Доказательство
.Остается только установить изоморфизм между <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1923"> и <img width=«41» height=«17» src=«ref-1_301197177-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1924">. Для этого достаточно заметить, что какова бы ни была точка<img width=«44» height=«17» src=«ref-1_301131203-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1925">, отображение <img width=«76» height=«19» src=«ref-1_301199383-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1926">, <img width=«133» height=«24» src=«ref-1_301199652-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1927">линейно и биективно. Установленный таким  путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1928">.

 Заметим, что аффинная гиперплоскость <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1929"> имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость <img width=«136» height=«24» src=«ref-1_301200414-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1930"> постоянных функций, которая отождествляется с <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1931">.

Замечания.1). Векторную структуру на множестве <img width=«88» height=«27» src=«ref-1_301200968-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1932"> можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству <img width=«25» height=«20» src=«ref-1_301180690-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1933">, но это связано с утомительными выкладками.

2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение <img width=«17» height=«20» src=«ref-1_301201478-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1934"> единственным образом определяемое заданием<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1935">.

Обозначения.Векторное пространство <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1936">, построенное таким образом, называется векторным продолжением <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1937"> и обозначается <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301202254-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1938">.

      Если <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1939"> имеет размерность <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301202657-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1940"> то размерность <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301202254-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1941"> равна <img width=«32» height=«19» src=«ref-1_301203066-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1942">.  Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.

§7. Приложения теоремы о погружении.

Векторная интерпретация барицентров.

      Вернемся к обозначениям §6. Инъекция <img width=«13» height=«20» src=«ref-1_301192021-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1943">позволяет нам отождествить <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1944"> с аффинной гиперплоскостью <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_301203650-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1945"> в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1946">, в то время как ее линейная часть <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301204116-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1947"> позволяет отождествить <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301122775-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1948">с векторной гиперплоскостью <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_301204508-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1949">

      Предложение7.1. Пусть <img width=«80» height=«27» src=«ref-1_301204804-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1950">конченое семейство взвешенных точек <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1951">, где точки <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301205289-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1952">отождествлены с элементами <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1953">. Для того, чтобы элемент <img width=«49» height=«36» src=«ref-1_301205698-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1954">из <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1955">принадлежал <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1956">(соотв. <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_301206396-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1957">), необходимо и достаточно, чтобы <img width=«57» height=«36» src=«ref-1_301206601-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1958">(соотв. <img width=«60» height=«36» src=«ref-1_301206891-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1959">).

Доказательство. Это вытекает из соотношения <img width=«124» height=«29» src=«ref-1_301207183-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1960"> <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1961">

Правило.Отождествление <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1962"> с подмножеством в <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_301207935-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1963">позволяет без предосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации  <img width=«63» height=«29» src=«ref-1_301208175-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1964"> элементов <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1965">. Но такая комбинация представляет элемент из <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1966">только тогда, когда <img width=«57» height=«27» src=«ref-1_301208845-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1967">( этот элемент будет барицентром системы <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_301209110-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1968">); если же <img width=«64» height=«27» src=«ref-1_301209365-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1969">то <img width=«63» height=«29» src=«ref-1_301208175-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1970">представляет элемент из <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_301209924-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1971">равный <img width=«61» height=«29» src=«ref-1_301210129-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1972">для любой точки <img width=«44» height=«17» src=«ref-1_301131203-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1973">.

    продолжение
--PAGE_BREAK--Приложения.1). Для того, чтобы три точки <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_301210648-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1974"> из <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1975"> были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_301211076-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1976"> такие, что

     <img width=«87» height=«21» src=«ref-1_301211318-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1977">                и                  <img width=«121» height=«21» src=«ref-1_301211579-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1978">                            (1)

      Соотношения (1) на самом деле равносильны одному соотношению  <img width=«104» height=«27» src=«ref-1_301211893-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1979">; они интересны своей симметричной формой относительно  <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_301210648-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1980"> и возможностью складывать подобные соотношения.

2). Если <img width=«64» height=«36» src=«ref-1_301186750-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1981"> то барицентром системы <img width=«67» height=«27» src=«ref-1_301212760-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1982"> является точка пересечения с <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1983"> векторной прямой с направляющей <img width=«49» height=«27» src=«ref-1_301213249-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1984"> в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1985">.

3). Для того чтобы семейство <img width=«44» height=«27» src=«ref-1_301213716-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1986"> точек из <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1987"> было аффинносвободным(соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство <img width=«44» height=«27» src=«ref-1_301213716-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1988"> было свободным (соотв. семейством образующих) в векторном пространстве <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_301181111-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1989">

В частности, аффинный репер <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1990"> является базисом <img width=«21» height=«21» src=«ref-1_301177356-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1991">содержащимся в <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_301215017-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1992">

Векторная интерпретация аффинных отображений.

Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от теории векторных продолжений

Предложение 7.2.Пусть <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1993">, <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301215421-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1994"> — два векторных пространства над одним и тем же телом <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301151188-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1995">и <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1996"> (соответственно <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_301216029-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1997">) – аффинная гиперплоскость в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1998">(соотв. <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301215421-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1999">), не проходящая через начало; обозначим <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_301206396-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i2000">(соответственно <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_301216841-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i2001">) векторную гиперплоскость, параллельную <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2002"> (соответственно <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_301216029-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i2003">).

А) Если <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_301217464-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i2004">  — линейное отображение, такое, что <img width=«73» height=«29» src=«ref-1_301217730-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i2005">, то ограничение <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2006"> на <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2007"> есть аффинное отображение <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2008"> в <img width=«20» height=«29» src=«ref-1_301218631-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i2009">, линейная часть которого есть ограничение <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2010"> на <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301219043-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i2011">.

Б) обратно, если <img width=«77» height=«29» src=«ref-1_301219249-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i2012">  — аффинное отображение, то существует единственное линейное отображение <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_301217464-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i2013">, ограничения которого на <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2014"> совпадает с <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2015">.

Доказательство.

А) Если <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_301217464-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i2016"> линейно и <img width=«73» height=«29» src=«ref-1_301217730-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i2017">, то для любых точек <img width=«32» height=«21» src=«ref-1_301220761-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i2018">из <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2019"> имеем и <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_301221184-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i2020">. Ограничения <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2021"> на <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2022"> аффинно с линейной частью <img width=«84» height=«29» src=«ref-1_301221848-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i2023">, <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_301222140-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i2024">.

Б) Обратно, пусть<img width=«77» height=«29» src=«ref-1_301219249-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i2025"> — аффинное отображение. Фиксируем точку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2026"> в <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2027"> и обозначим через <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301223082-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2028"> (соответственно <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301223280-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2029">) векторную прямую в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2030">(соответственно <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301215421-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2031">), порожденную <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2032"> (соответственно <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_301224073-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i2033">) (рис 4). Тогда  <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_301129606-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2034"><img width=«77» height=«24» src=«ref-1_301224474-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i2035">, <img width=«89» height=«29» src=«ref-1_301224745-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i2036">, и искомое линейное отображение должно удовлетворять следующим двум условиям:

1. <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_301225040-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i2037">,

2. Ограничения <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2038"> на <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_301206396-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i2039"> равно линейной части <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2040">.

Но существует единственное линейное отображение <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2041"> из <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2042"> в <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301215421-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2043">, удовлетворяющее этим условиям (<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2044"> определено своими ограничениями на дополнительные ВПП <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_301206396-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i2045"> и <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301223082-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2046"> пространства <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2047">); тогда ограничение <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2048"> на <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2049">  — есть аффинное отображение с той же линейной частью, что и <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2050">, и принимающее в <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2051"> то же значение, что и <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2052">, а тем самым равное <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2053">,  откуда вытекает доказываемый результат. <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i2054">

      Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отображениями <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2055"> в <img width=«20» height=«29» src=«ref-1_301218631-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i2056"> и линейными отображениями <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2057"> в <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301215421-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2058">, удовлетворяющими условию <img width=«73» height=«29» src=«ref-1_301217730-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i2059">.

С другой стороны, если <img width=«48» height=«17» src=«ref-1_301229818-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i2060">, и <img width=«51» height=«29» src=«ref-1_301230044-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i2061">, это соответствие сохраняет композицию отображений (композиция ограничений двух отображений совпадает с ограничением их композиции).

<img width=«469» height=«167» src=«ref-1_301230287-9355.coolpic» v:shapes="_x0000_i2062">

                                            Рис.4

Наконец, если <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2063">  — автоморфизм <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2064"> и <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2065">  — аффинная гиперплоскость в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2066">, то включение <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_301240440-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i2067"> влечет равенства <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_301240723-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i2068">. В самом деле, <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_301241006-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i2069"> есть аффинная гиперплоскость в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2070">, и достаточно применить следствие теоремы II6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2071">.

            Т.о. мы можем сформулировать

Предложение 7.3.Пусть <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2072">  — векторное пространство, <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2073">  — аффинная гиперплоскость в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2074">, не проходящая через начало.  Существует изоморфизм группы аффинных биекций <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2075"> на стабилизаторе <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2076"> в <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_301242655-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i2077"> (подгруппу <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_301242655-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i2078">, состоящую из изоморфизмов <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2079">, для которых <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_301240723-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i2080">).

            Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2081">, <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301215421-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2082">  — векторные продолжения аффинных пространств <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2083">, <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301202254-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2084">, а <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2085">, <img width=«20» height=«29» src=«ref-1_301218631-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i2086">  — образы <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2087">, <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301202254-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2088"> при канонических погружениях <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_301197799-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i2089">, <img width=«77» height=«27» src=«ref-1_301245496-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i2090">: всякое аффинное отображение <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2091"> в <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301202254-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2092">, отождествляется с линейным отображением <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2093"> пространства <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2094">в пространство <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301215421-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2095">, удовлетворяющим требованию <img width=«73» height=«29» src=«ref-1_301217730-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i2096">, и группа аффинных биекций <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2097"> отождествляется с подгруппой <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_301242655-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i2098">, сохраняющей аффинную гиперплосклость <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2099">

            Случай конечной размерности.

Если аффинное пространство <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2100"> имеет конечную размерность <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301247901-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i2101">, то в <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_301207935-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i2102"> можно выбрать базис <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_301248333-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i2103"> так, что <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301248604-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i2104"> при <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_301248844-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i2105"> и <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_301249083-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i2106">. Тогда <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_301249332-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i2107"> есть декартов репер в <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_301249636-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i2108"> с началом <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_301249858-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i2109"> (рис 4).

            В этом случае <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_301192629-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2110"> является множеством точек <img width=«71» height=«45» src=«ref-1_301250269-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i2111">пространства <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2112">, таких, что <img width=«181» height=«24» src=«ref-1_301250770-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i2113">; следовательно, это аффинная гиперплоскость с уравнением <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301251175-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2114"> в базисе <img width=«59» height=«24» src=«ref-1_301251400-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i2115">. Эндоморфизмы <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2116"> пространства <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301180492-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2117">, удовлетворяющие условию <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_301240440-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i2118">, — это те эндоморфизмы, матрица которых в базисе <img width=«27» height=«24» src=«ref-1_301252337-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i2119">имеет вид

<img width=«148» height=«168» src=«ref-1_301252558-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i2120">,                                 (2)

где <img width=«57» height=«25» src=«ref-1_301252927-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i2121">  — квадратная матрица порядка <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301247901-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i2122">. Эндоморфизму <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2123"> с матрицей (2) соответствует аффинное отображение <img width=«77» height=«29» src=«ref-1_301219249-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i2124">, координатное выражение которого в декартовом репере <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_301249332-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i2125"> имеет форму

<img width=«128» height=«45» src=«ref-1_301254172-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i2126"> , <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_301254567-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i2127">                    (3)

Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции отображений. С другой стороны, эндоморфизм <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2128"> с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогда выполняется и равенство <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_301240723-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i2129">. Таким образом, получается

Теорема 7.4.Группа аффинных биекций <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301247901-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i2130">-мерного аффинного пространства изоморфна подгруппе линейной группы <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_301255508-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i2131">, образованной матрицами вида (2), где <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2132"> принадлежит <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_301255975-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i2133">.

В частности, группа аффинных биекций <img width=«73» height=«19» src=«ref-1_301256240-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i2134"> тела <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301151188-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i2135"> изоморфна подгруппе  в <img width=«56» height=«24» src=«ref-1_301256704-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i2136">, состоящей из матриц вида <img width=«51» height=«48» src=«ref-1_301256969-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i2137">.

8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.

            Ниже мы обозначаем через <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2138">, <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301202254-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2139"> два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_301257631-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i2140"> над произвольными телами <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_301257857-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i2141">. Мы дадим чисто геометрическую характеризацию полуаффинных отображений <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2142"> в <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301202254-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2143">. Для ясности начнем со случая инъективных отображений.

            Теорема 8.1. Допустим, что <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_301258501-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i2144">. Для того, чтобы инъективное отображение<img width=«73» height=«27» src=«ref-1_301258785-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i2145"> было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двум условиям:

1.      Образ любой аффинной прямой из <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2146"> был аффинной прямой в <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_301202254-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2147">;

2.       Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми.

    продолжение
--PAGE_BREAK--Доказательство.Необходимость условия очевидна. Доказательство

достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2148"> удовлетворяет условиям 1) и 2).

А). Образы при <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2149"> двух различных прямых <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301259847-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i2150">, <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_301260054-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2151"> из <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2152"> суть также две различные прямые.

В самом деле, пусть <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301259847-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i2153">, <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_301260054-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2154">  — прямые в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2155">, имеющие один и тот же образ <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_301261067-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i2156">, пусть <img width=«32» height=«21» src=«ref-1_301220761-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i2157"> -  две различные точки их общего образа. Тогда прообразы <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_301261599-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i2158"> точек <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2159"> и <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301262103-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2160">принадлежат <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301259847-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i2161"> и <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_301260054-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2162"> одновременно и различны (в силу иньективности <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2163">), откуда следует, что <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301262915-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i2164">.

     Б). Отображение <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_301263148-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i2165">, <img width=«125» height=«27» src=«ref-1_301263424-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i2166"> не зависит от выбора <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2167">в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2168">.

В самом деле, пусть другая точка <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2169"> и <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301264391-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i2170">,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301223082-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2171"> таковы, что <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_301264782-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i2172">. Если

<img width=«60» height=«21» src=«ref-1_301265083-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i2173"> — несплющенный  параллелограмм, то из 2) и А) следует, что его образ <img width=«163» height=«21» src=«ref-1_301265341-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i2174">тоже настоящий параллелограмм, откуда

<img width=«157» height=«27» src=«ref-1_301265714-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i2175">,    <img width=«97» height=«24» src=«ref-1_301266153-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i2176">

Если точки <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_301266468-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i2177"> принадлежат одной прямой <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301266732-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2178">, то предположение <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_301258501-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i2179"> позволяет выбрать в <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_301267211-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i2180">точки <img width=«32» height=«21» src=«ref-1_301267430-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i2181"> так, что <img width=«52» height=«27» src=«ref-1_301267657-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i2182">. Применяя предыдущий случай, имеем

<img width=«244» height=«27» src=«ref-1_301267913-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i2183">

откуда<img width=«95» height=«24» src=«ref-1_301268483-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i2184">.

Отображение <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301268798-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2185"> обозначаем отныне просто <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2186">.

В).  Отображение <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_301269209-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i2187"> инъективно и удовлетворяет условию

<img width=«92» height=«24» src=«ref-1_301269469-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i2188">   <img width=«144» height=«21» src=«ref-1_301269776-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i2189">.                  (1)

Инъективность <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301218026-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i2190"> сразу следует из инъективности <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2191">. С другой стороны, для любых данных <img width=«25» height=«17» src=«ref-1_301270540-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i2192"> выберем в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2193"> такие точки <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2194">, <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301262103-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2195">, <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301264391-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i2196">,<img width=«55» height=«27» src=«ref-1_301271524-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i2197"> и <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_301271776-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i2198">. Тогда <img width=«392» height=«27» src=«ref-1_301272020-745.coolpic» v:shapes="_x0000_i2199">.

Д). Существует отображение <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_301272765-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i2200">, такое, что

<img width=«113» height=«21» src=«ref-1_301273039-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i2201">   <img width=«121» height=«21» src=«ref-1_301273365-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i2202">.                     (2)

Доказательство.Достаточно найти <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301273728-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i2203">, удовлетворяющее условию (2) при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_301273924-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i2204">. Для заданной пары <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_301274138-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i2205"> выберем <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2206">, <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301262103-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2207">, <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301264391-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i2208"> в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2209"> так, что <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_301275150-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i2210">, <img width=«61» height=«24» src=«ref-1_301275394-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i2211">. Так как точки <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_301275654-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i2212">, <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_301275921-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i2213"> и <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_301276188-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i2214"> коллинеарны, то коллинеарны и векторы <img width=«89» height=«27» src=«ref-1_301276457-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i2215">; отсюда вытекает существование некоторого скаляра, скажем <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_301276771-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i2216">, такого, что <img width=«133» height=«21» src=«ref-1_301277028-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i2217">. Остается доказать, что <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_301276771-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i2218"> не зависит от вектора <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301191640-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i2219"> (по предположению ненулевого).

1).  Если <img width=«37» height=«17» src=«ref-1_301277855-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i2220">два неколлинеарных вектора, то неколлинеарны и <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_301278065-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i2221">, <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_301278294-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i2222">; в противном случае образы двух прямых <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301259847-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i2223">, <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_301260054-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2224">, проходящих через одну и ту же точку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2225"> с направляющими <img width=«25» height=«17» src=«ref-1_301270540-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i2226">, совпадали бы, что невозможно в силу А).

Для любого <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_301279349-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i2227">имеем
<img width=«371» height=«45» src=«ref-1_301279582-979.coolpic» v:shapes="_x0000_i2228">,
откуда в силу неколлинеарности <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_301278065-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i2229">, <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_301278294-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i2230"> 

<img width=«188» height=«21» src=«ref-1_301281021-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i2231">.

2). Если <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301191640-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i2232">, <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_301281636-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i2233"> — коллинеарные ненулевые векторы, то предположение <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_301258501-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i2234"> позволяет выбрать <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_301282112-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i2235">  так, что пары <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_301282335-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i2236"> и <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_301282571-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i2237"> свободны. Отсюда находим, что

<img width=«64» height=«21» src=«ref-1_301282805-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i2238">   <img width=«169» height=«21» src=«ref-1_301283074-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i2239">.

Так для каждого <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_301279349-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i2240"> отображение <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_301283721-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i2241">, <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_301283999-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i2242"> есть константа, мы обозначим ее через <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301284288-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i2243">.

<img width=«12» height=«19» src=«ref-1_301129606-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2244">

Е). Отображение <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_301272765-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i2245"> является изоморфизмом тел.

 Выбрав <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_301284967-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i2246">, мы увидим прежде всего, что соотношения <img width=«189» height=«21» src=«ref-1_301285227-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i2247"> и <img width=«351» height=«25» src=«ref-1_301285662-642.coolpic» v:shapes="_x0000_i2248"> влекут (с учетом <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_301286304-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i2249">)

<img width=«157» height=«21» src=«ref-1_301286564-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i2250"> и <img width=«128» height=«21» src=«ref-1_301286943-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i2251">,

т.е. показывают, что <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301273728-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i2252">  — гомоморфизм тел.

            Наконец, для любой точки <img width=«27» height=«17» src=«ref-1_301287494-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i2253"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2254"> отображение <img width=«80» height=«19» src=«ref-1_301287891-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i2255"> есть биекция <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301151188-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i2256"> на прямую <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301223082-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2257">; ограничение<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2258"> на <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301223082-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2259">есть биекция <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301223082-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2260">на прямую <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_301289163-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i2261">. Следовательно, композиция <img width=«75» height=«21» src=«ref-1_301289400-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i2262">, <img width=«228» height=«21» src=«ref-1_301289677-467.coolpic» v:shapes="_x0000_i2263">биективна. Отсюда вытекает, что отображение <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_301272765-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i2264"> биективно.

            Итак, <img width=«28» height=«17» src=«ref-1_301290418-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i2265">изоморфизм тел, <img width=«27» height=«17» src=«ref-1_301290620-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i2266">полулинейное отображение, ассоциированное с <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301273728-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i2267">, и <img width=«28» height=«21» src=«ref-1_301147392-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2268">полуаффинное отображение. <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i2269">

Случай плоскости.

Если <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2270">и <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2271"> двумерны, то условие 2) в теореме 8.1 следует из условия 1) и инъективности <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2272">. Мы можем, таким образом, сформулировать

Следствие.Если <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2273">,<img width=«32» height=«17» src=«ref-1_301292184-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i2274">аффинные плоскости и <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_301292389-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2275"> — инъективное отображение, такое, что образ любой прямой в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2276">есть прямая в <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2277">, то <img width=«28» height=«21» src=«ref-1_301147392-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2278">полуаффинное отображение.

Замечание.Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если <img width=«28» height=«21» src=«ref-1_301147392-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2279">инъективное отображение <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2280">в себя, такое, что образ любой прямой <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301223082-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2281"> есть прямая, параллельная <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301223082-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2282">; тогда можно непосредственно доказать, что <img width=«28» height=«21» src=«ref-1_301147392-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2283"> дилатация.

9.Основная теорема аффинной геометрии.

            Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:

Теорема 9.1. Пусть <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2284">,<img width=«32» height=«17» src=«ref-1_301292184-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i2285">аффинные пространства над телами <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301151188-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i2286">, <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301294819-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i2287">, отличными от поля <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_301295029-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i2288">; для того, чтобы отображение <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_301292389-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2289">было полуаффинным, достаточно, чтобы

1). Образ любой прямой в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2290"> был прямой в <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2291">, либо сводился к одной точке.

2). Аффинное подпространство в <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2292">, порожденное <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_301296082-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i2293">, имело размерность <img width=«25» height=«17» src=«ref-1_301296318-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2294">.

            Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2295"> удовлетворяет условиям 1) и 2).

Лемма 1.Если <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_301158055-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2296"> есть ЛАМ в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2297">, то  <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301297110-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i2298"> — ЛАМ в <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2299">.

Доказательство.Пусть <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_301275654-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i2300"> и <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_301275921-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i2301"> — две различные точки в <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301297110-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i2302">. Тогда прямая <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_301298314-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i2303"> есть по условию 1) образ прямой <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301298564-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i2304">; так как прямая <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301298564-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i2305">содержится в <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_301158055-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2306">, прямая <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_301298314-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i2307"> содержится в <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_301299467-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i2308">. Результат теперь вытекает из теоремы 4.8. <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i2309">

Лемма 2. Если <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_301299877-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i2310"> — ЛАМ в <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2311"> и множество <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_301300271-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i2312"> непусто, то оно является ЛАМ в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2313">.

Доказательство.Результат очевиден, если <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_301158055-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2314"> сводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2315">, <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_301301126-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i2316"> прямая <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_301301348-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i2317"> содержится в <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_301299877-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i2318"> согласно 1). Таким образом, прямая <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301298564-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i2319">содержится в <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_301158055-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2320"> и теорема 4.8 показывает, что <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_301158055-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2321"> есть ЛАМ. <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i2322">

Лемма 3.Для любой непустой части <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_301179210-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2323"> пространства <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2324">

<img width=«163» height=«21» src=«ref-1_301303014-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i2325">.                             (1)

Доказательство.<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_301303376-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i2326"> есть ЛАМ в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2327">, содержащее <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_301179210-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2328">; по лемме 1, <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_301304032-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i2329"> есть ЛАМ в <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2330">, содержащее <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_301304523-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i2331">. Отсюда следует включение

<img width=«165» height=«21» src=«ref-1_301304765-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i2332">.

Аналогично, по лемме 2, <img width=«104» height=«24» src=«ref-1_301305156-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i2333">есть ЛАМ в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2334">, содержащее <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_301305671-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i2335">, а потому и <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_301179210-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2336">; имеет место включение <img width=«204» height=«24» src=«ref-1_301306153-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i2337">; применение отображения <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2338"> дает <img width=«165» height=«21» src=«ref-1_301306790-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i2339">.

Окончательно получаем равенство (1). <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i2340">

Лемма 4. Пусть <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_301307343-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i2341"> — пара параллельных прямых в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2342">. Если <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_301307775-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2343">сводится к точке, то же имеет место и для <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301308022-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i2344">. Если  <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_301307775-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2345"> -  прямая, то и <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301308022-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i2346"> — прямая, параллельная <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_301307775-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2347">.

    продолжение
--PAGE_BREAK--Доказательство.Мы можем предположить, что <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301309012-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2348">. Тогда <img width=«115» height=«24» src=«ref-1_301309259-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i2349"> есть ЛАМ размерности 2 в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2350">, порожденное двумя точками <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2351">, <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301262103-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2352">одной из прямых и точкой <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301264391-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i2353"> другой прямой; по леммам 2и 3, <img width=«199» height=«21» src=«ref-1_301310359-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i2354"> есть ЛАМ размерности <img width=«25» height=«17» src=«ref-1_301310779-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i2355">.

А). Покажем сначала, что <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_301261067-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i2356">либо <img width=«129» height=«24» src=«ref-1_301311302-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i2357">.

Допустим, что <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_301307775-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2358"> и <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301308022-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i2359"> действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301312152-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i2360"> и <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_301312400-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i2361">, такие, что <img width=«97» height=«24» src=«ref-1_301312657-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i2362">. Выбирая <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_301312971-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i2363"> и полагая по-прежнему <img width=«115» height=«24» src=«ref-1_301309259-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i2364">, получим с помощью леммы 3, что

<img width=«393» height=«24» src=«ref-1_301313587-662.coolpic» v:shapes="_x0000_i2365">

и аналогично

<img width=«401» height=«24» src=«ref-1_301314249-671.coolpic» v:shapes="_x0000_i2366">,

откуда <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_301261067-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i2367">.

            Поскольку сформулированное утверждение при <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_301261067-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i2368">очевидно, будем далее полагать <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_301315544-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i2369">, т.е. считать, что <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_301307775-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2370">и <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301308022-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i2371"> не имеют общих точек.

Б). Предположим, что <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_301307775-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2372"> — прямая в <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2373">и <img width=«129» height=«24» src=«ref-1_301311302-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i2374">; тогда <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301297110-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i2375"> имеет размерность 2.

            Если бы на прямой <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_301260054-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2376">существовали две точки <img width=«32» height=«21» src=«ref-1_301317608-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i2377">, такие, что <img width=«88» height=«21» src=«ref-1_301317825-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i2378">, то для любой точки <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301318115-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i2379">мы имели бы <img width=«108» height=«21» src=«ref-1_301318351-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i2380">и <img width=«159» height=«21» src=«ref-1_301318667-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i2381">, и тогда <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301297110-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i2382">не было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301308022-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i2383"> — прямая.

            Значит, <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_301307775-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2384">и <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301308022-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i2385">  — две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.

В). Если <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_301307775-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2386"> сводится к одной  точке, то меняя ролями <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_301259847-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i2387">и<img width=«21» height=«24» src=«ref-1_301260054-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2388">и применяя результат Б), мы видим, что <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301308022-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i2389">также сводится к точке.

Лемма 5.Если <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_301320941-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i2390">пара точек в <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2391">, таких, что множества <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301321390-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i2392">, <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_301321639-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i2393">

непусты, то <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301321390-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i2394"> и <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_301321639-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i2395"> — ЛАМ с общим направлением.

Доказательство.По лемме 2, <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301321390-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i2396"> и <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_301321639-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i2397"> суть ЛАМ в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2398">. Предполагая, что <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_301323084-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i2399">, фиксируем точку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2400">в <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_301323517-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i2401">и точку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301262103-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2402">в <img width=«79» height=«24» src=«ref-1_301323989-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i2403">; параллельный перенос на вектор <img width=«27» height=«23» src=«ref-1_301324277-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i2404"> обозначим через <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301324501-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i2405">. Для любой точки <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_301324688-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i2406"> прямая <img width=«153» height=«21» src=«ref-1_301324920-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i2407">параллельна прямой<img width=«43» height=«21» src=«ref-1_301325307-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i2408">, и поскольку образ прямой <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_301325307-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i2409">сводится к одной точке <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301140638-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2410">, то образ прямой <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_301325984-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i2411">сводится к одной точке <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_301326250-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i2412">. Таким образом, <img width=«45» height=«21» src=«ref-1_301326520-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i2413">влечет <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_301326756-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i2414">и имеет место включение <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_301327029-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i2415">.

 Меняя ролями <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_301158055-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2416"> и <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_301327488-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2417">, получим включение <img width=«75» height=«26» src=«ref-1_301327688-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i2418">, откуда <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_301327968-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i2419">. Итак, <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_301158055-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2420">, <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_301327488-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2421"> имеют общее направление. <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i2422">

Лемма 6.Обозначим через <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301328803-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2423"> общее направление непустых ЛАМ в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2424"> вида <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301321390-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i2425">, где <img width=«47» height=«17» src=«ref-1_301329441-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i2426">, и пусть <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_301329672-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i2427"> — факторпространство <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2428"> по отношению эквивалентности <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_301330093-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i2429">, определенному условием <img width=«109» height=«24» src=«ref-1_301330299-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i2430">.

 Тогда   <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301330631-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2431">имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция <img width=«89» height=«23» src=«ref-1_301330856-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i2432"> является аффинной.

Доказательство.Выбор начала <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2433"> в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2434"> сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_301331524-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i2435"> По его векторному подпространству <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301328803-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2436">, и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301331930-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i2437"> за начало в <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301330631-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2438">.<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i2439">

             Отметим, что <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301330631-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2440">является пространством орбит действия группы трансляций <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_301332795-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i2441"> на <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2442">; это есть множество ЛАМ с направлением <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301328803-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2443">.(см. §2).
            Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2444">представляется в виде <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_301333617-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i2445">, где <img width=«92» height=«23» src=«ref-1_301333870-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i2446"> — инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2447"> полуаффинно.

Доказательство.Существование и инъективность <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301334359-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2448"> вытекают из того, что соотношение <img width=«87» height=«21» src=«ref-1_301334560-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i2449">равносильно <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_301334852-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i2450">(см. лемму 5), и тем самым <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_301335106-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i2451">. Для доказательства полуаффинности <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301334359-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2452">покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.

Пусть <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301266732-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2453">– произвольная аффинная прямая <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301330631-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2454">, порожденная двумя различными элементами <img width=«32» height=«21» src=«ref-1_301336011-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i2455">из <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301330631-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2456">. Без труда проверяется, что <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_301336459-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i2457"> есть ЛАМ в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2458">, порожденное <img width=«109» height=«24» src=«ref-1_301336903-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i2459">.

            По лемме 3, <img width=«123» height=«24» src=«ref-1_301337239-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i2460">есть ЛАМ, порожденное <img width=«252» height=«24» src=«ref-1_301337593-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i2461">; итак (в силу инъективности <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301334359-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2462">), <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_301338306-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i2463">является аффинной прямой <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2464">.

Наконец, <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301330631-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2465">не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и <img width=«107» height=«23» src=«ref-1_301338971-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i2466">, что противоречит условию 2). Поэтому <img width=«93» height=«23» src=«ref-1_301339281-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i2467">.

            Отсюда следует, что <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301334359-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2468">удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2469">, при условии замены <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2470">на <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301330631-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2471">. Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301334359-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2472">двух параллельных прямых <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_301340608-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2473">, <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_301340811-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i2474"> из <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301330631-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2475"> — две параллельные прямые. Наконец, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301334359-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2476">удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2477">на <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301330631-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2478">). Следовательно,<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301334359-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2479"> полуаффинно и так же обстоит дело с <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2480">.<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i2481">

Теорема 9.1 тем самым полностью установлена. <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i2482">

Этот результат особенно интересен в случае, когда тела <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301151188-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i2483"> и <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301294819-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i2484">совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда <img width=«45» height=«17» src=«ref-1_301343038-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i2485"> или <img width=«52» height=«25» src=«ref-1_301343257-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i2486">при <img width=«45» height=«21» src=«ref-1_301343494-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i2487">: в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга <img width=«25» height=«17» src=«ref-1_301296318-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i2488"> пространства <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2489"> в <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2490">.

            Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2491">на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).

            Так же и в случае <img width=«104» height=«19» src=«ref-1_301344529-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i2492"> условие 1) выполнено для любого отображения <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2493"> в <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2494">(поскольку каждая прямая в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2495"> и <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_301291595-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i2496">состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.

            Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.

            Например, <img width=«89» height=«24» src=«ref-1_301345607-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i2497">, <img width=«268» height=«24» src=«ref-1_301345889-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i2498"> есть биекция векторного пространства <img width=«28» height=«20» src=«ref-1_301346371-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2499">над <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301346574-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i2500">в векторное пространство <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_301346755-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i2501">над <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301346951-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i2502">, и образ каждой прямой из <img width=«28» height=«20» src=«ref-1_301346371-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2503">при отображении <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2504">содержится в фнекоторой прямой пространства <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_301346755-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i2505">, но <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2506">не является полулинейным (поскольку <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301346574-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i2507"> и <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301346951-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i2508">не изоморфны).

Лемма 6.Обозначим через <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301328803-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2509"> общее направление непустых ЛАМ в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2510"> вида <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_301321390-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i2511">, где <img width=«47» height=«17» src=«ref-1_301329441-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i2512">, и пусть <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_301329672-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i2513"> — факторпространство <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2514"> по отношению эквивалентности <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_301330093-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i2515">, определенному условием <img width=«109» height=«23» src=«ref-1_301349781-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i2516">.

 Тогда   <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301330631-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2517">имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция <img width=«89» height=«23» src=«ref-1_301330856-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i2518"> является аффинной.

Доказательство.Выбор начала <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301132854-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2519"> в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2520"> сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_301331524-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i2521"> По его векторному подпространству <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301328803-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2522">, и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_301331930-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i2523"> за начало в <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301330631-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2524">.<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_301135610-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i2525">

             Отметим, что <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_301330631-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2526">является пространством орбит действия группы трансляций <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_301332795-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i2527"> на <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_301130414-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2528">; это есть множество ЛАМ с направлением <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301328803-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2529">.(см. §2).
            Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2530">представляется в виде <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_301333617-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i2531">, где <img width=«92» height=«23» src=«ref-1_301333870-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i2532"> — инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_301130837-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i2533"> полуаффинно.

    продолжение
--PAGE_BREAK--