Реферат: Экзаменационные билеты по методам оптимизации за весенний семестр 2001 года
--PAGE_BREAK--МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИБилет № 1
186) Сформулируйте понятие «оптимизации». Приведите примеры сфер деятельности, где можно использовать методы оптимизации.
187) Сущность оптимальной стратегии при пассивном одномерном поиске. Формула для длины интервала неопределенности при пассивном поиске после N экспериментов.
188) Решение задач целочисленного программирования с помощью лингвистических моделей.
189) Средняя продолжительность светлого времени суток меняется в зависимости от номера месяца по следующему закону f(x)=12-5cos(2πx/12). Определите номер самого светлого и самого темного месяца в году.
190) Максимизировать функцию F=x+2y при ограничениях:
y-2≤0
5x-y≤8
x,y≥0
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 2
1) Понятие «динамического программирования».
2) Метод стохастической аппроксимации нахождения экстремума в условиях помех. Выбор коэффициента коррекции.
3) Задача о загрузке транспорта как пример задачи линейного программирования.
4) Найти точки экстремума функции f(x)=x3-x2-x+1.
5) В плоскости (x,y) указать область, для которой выполняются следующие условия:
x+y≥2
x,y≥0
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 3
1) Понятие «вариационной задачи с незакрепленными, или подвижными концами».
2) Многомерный поиск экстремума. Классификация методов многомерного поиска экстремума.
3) Сведение задачи нелинейного программирования к задаче целочисленного программирования
4) Определите максимальное и минимальное значение функции f(x)=(x-2)(x-3) на отрезке [0,1], и при каких значениях х они достигаются.
5) Решите следующую задачу линейного программирования (найти максимальное значение величины z при заданных ограничениях):
x+2y≤5
3x+y≤8
x,y≥0
z=x+y→max
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 4
1) Понятие «условного» и «абсолютного экстремума» в задаче вариационного исчисления.
2) Понятие «унимодальной функции». Основное свойство унимодальности, используемое при одномерном поиске экстремума.
3) Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция F зависит только от y’.
4) Производство автомобилей в стране (в тыс. штук) последние 10 лет менялось по закону f(x)=-x3/6+3x2/2+8x где х – номер года. Определите, в каком году было выпущено больше всего автомобилей.
5) Исследовать функцию f(x)=2x2-2xy+y2-2x+2 на безусловный экстремум.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 5
1) Понятие «математической модели процесса». Возможная классификация математических моделей.
2) Теорема двойственности в задачах линейного программирования.
3) Понятие «интегрального критерия» в задачах оптимизации.
4) Известно, что среднесуточная температура воздуха в Москве в июле месяце менялась по закону f(x)=-x2/30+x+15, где х –день месяца. Определите, в какой день месяца температура была максимальной и чему она равнялась.
5) Известно, что уравнение Эйлера для некоторого функционала имеет вид:
y’’=0; y(0)=0, y(1)=1. Найти уравнение экстремали.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 6
1) Специфика вариационнных задач возникающих в теории регулирования.
2) Понятие «двойственного симплекс-метода или метода последовательного улучшения оценок» в задачах линейного программирования.
3) Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция F не зависит от x.
4) Известно, что среднесуточная температура воздуха в Москве в январе месяце менялась по закону f(x)=x2/20-x-15, где х –день месяца. Определите, в какой день месяца температура была минимальной и чему она равнялась.
5) Записать первые 5 чисел ряда Фибоначчи.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 7
1) Задача оптимизации программирования. На какие подзадачи в общем случае она разбивается?
2) Понятие «прямой» и «двойственной задачи линейного программирования».
3) Постановка задачи о критическом пути.
4) Спрос на автомобили меняется в зависимости от месяца по следующему закону f(x)=x3/3-7x2+33x (х — номер месяца). Определите, в каком месяце года спрос на автомобили минимальный, а в каком максимальный.
5) Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x*y+x – функция
x-2y=1 - условие
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 8
1) Определение классического вариационного исчисления. Классы функций, используемых в вариационном исчислении.
2) Опишите стратегию выбора интервалов неопределенности при поиске методом золотого сечения.
3) Транспортная задача как пример задачи линейного программирования.
4) Найти минимальное значение функции f(x)=2x2-2x+1-x3 на отрезке [0,2].
5) Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +y2 – функция
y=x+1 - условие
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 9
1) Понятие «гладкой» и «разрывной функции». Классификация точек разрыва функции. Привести примеры.
2) Метод покоординатного спуска поиска экстремума для функции нескольких переменных.
3) Условия транверсальности в вариационных задачах. Когда они возникают и что характеризуют?
4) Определите максимальное значение функции f(x)=-x2+6x-8.
5) Найти максимальное значение функции двух переменных f(x,y)=29-x2-8x-y2-6y, при каких значениях переменных оно достигается.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 10
1) Принцип оптимальности Беллмана.
2) Специфика задач по отысканию экстремума функции в условиях помех.
3) Принцип оптимальности Беллмана для дискретных процессов управления.
4) Количество выпавших (в мм) осадков в Москве в январе месяце менялось по закону f(x)=20*sin(πx/30) где х –день месяца. Определите, в какой день количество осадков было максимальным и чему оно равнялось.
5) При каких значениях х и y функция f(x)=x2-xy+y2-y достигает минимума?
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 11
1) Постановка задачи вариационного исчисления при наличии ограничений на искомую функцию.
2) Метод секущих поиска нулей функции. Покажите графически, как происходит процесс приближения к корню.
3) Задача о рациональном питании как пример задачи линейного программирования.
4) Найти при каких значениях х функция f(x)=x/(x2+1) достигает своего максимального и своего минимального значения.
5) Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)= xy-y2-x2+y.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 12
1) Специфика дискретной задачи оптимизации. Методы, используемые для решения дискретных задач оптимизации.
2) Классификация методов квадратичного программирования.
3) Критерий минимума критического времени выполнения работы в задачах оптимизации.
4) Известно, что точка х=1 является точкой экстремума функции f(x)=x4-3x3+x2+3x+1. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.
5) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫x*(y’)2dx.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 13
1) Необходимые и достаточные условия существования у функции локального экстремума.
2) Опишите возможные варианты выбора интервала неопределенности при одномерном, пассивном поиске в случае трех экспериментов.
3) Специфика задач на условный экстремум функционала при ограничивающих условиях, заданных на замкнутой области.
4) Определите минимальное значение функции f(x)=x2-4x+3.
5) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫(1+(y’)2)dx.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 14
1) Каноническая форма уравнений Эйлера.
2) Каковы свойства экстремума в задачах линейного программирования? В каких точках может достигаться экстремум в задачах линейного программирования?
3) Рассмотрите задачу о нахождении кривой наименьшей длины, соединяющей заданные две точки.
4) Определите, чему равно минимальное значение функции f(x)=x4-x2+1.
5) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫(xy’+(y’)2)dx.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 15
1) Основные этапы проектирования любой управляемой системы.
2) Понятие «симплекс-метода решения задач линейного программирования».
3) Понятие «метода отсечения» в задачах целочисленного программирования.
4) Найти точки экстремума функции f(x)=x3+x2-x+1.
5) Найти минимальное значение функции двух переменных f(x,y)=x2-2x+y2-2y+6, при каких значениях переменных оно достигается.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 16
1) Понятие «аналитических методов» в задачах оптимизации.
2) Математическая формулировка задачи линейного программирования.
3) Критерий минимума стоимости в единицу времени в задачах оптимизации.
4) Известно, что точка х=1 является точкой экстремума функции f(x)=x6/6-x5/5+x2/2-x. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.
5) Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x*y – функция
x+y=1 — условие
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 17
1) Понятие «локального» и «глобального минимума функции одной переменной». Приведите примеры.
2) Использование симплекс-таблицы в задаче линейного программирования.
3) Понятие «переходного процесса». В связи с чем возникла проблема переходных процессов в задачах теории регулирования?
4) Найти стационарные точки функции f(x)=x3/3-2x2+3x+1 на отрезке [0,5].
5) Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y-x2.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 18
1) Классификация критериев оптимизации. Приведите примеры выбора критериев оптимизации.
2) Опишите стратегию поиска экстремума методом дихотомии. Приведите формулу для длины интервала неопределенности при поиске методом дихотомии после N экспериментов.
3) Понятие «линейной формы» и виды ограничений в задачах линейного программирования. Сведение ограничений в форме неравенств к условиям в форме равенств.
4) Курс доллара в течение месяца менялся по закону f(x)=0.16x-0.005x2+28 где х – день месяца. Определите день, когда курс доллара был максимален и чему он был равен.
5) В плоскости (x,y) указать область определяемую неравенствами:
(x2+y2) ≤1
(x-y) ≤0
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 19
1) Понятие «функционала» и «вариационного исчисления».
2) Понятие «одномерного поиска экстремума». Сведение задачи поиска экстремума к задаче нахождения нулей функции
3) Получите и решите уравнение для величины золотого сечения.
4) При каком значении х функция f(x)=-3x3+2x2-1 достигает минимального значения на отрезке [0,1]?
5) Решите следующую задачу линейного программирования (найти минимальное значение величины z при заданных ограничениях):
x-y≥3
3x-y≤-3
x,y≤0
z=x+y→min
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 20
1) Классическая постановка задачи вариационного исчисления.
2) Градиентный метод поиска экстремума для функции нескольких переменных.
3) Постановка задачи распределения ресурсов.
4) Количество студентов-учащихся СГУ в течение последних 8 лет менялось по закону f(x)=-x3/3+9x2/2-14x+1000 где х – номер года. В каком году прием студентов был наибольший, а в каком наименьший.
5) Исследовать функцию f(x)=5x2-4xy+y2-2x+1 на безусловный экстремум.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 21
1) Метод неопределенных множителей Лагранжа в вариационной задаче с ограничениями.
2) Овражный метод поиска экстремума. В каких случаях он применяется?
3) Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция Fy’y’=0
4) Найти минимальное значение функции f(x)=x3/3-3x2/2+2x+1 на отрезке [0,3].
5) Прибыль фирмы менялась в зависимости от года-x и от номера месяца в году-y следующим образом:
F(x)=50-x2+10x-y2+10y.
Определите, в каком году и в каком месяце прибыль была максимальной.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 22
1) Постановка вариационной задачи с ограничениями. Привести пример.
2) Дайте геометрическую интерпретацию симплекс-метода поиска экстремума в задачах линейного программирования для случая двух переменных.
3) Математическая формулировка задач целочисленного программирования.
4) Известно, что расстояние от земли в метрах брошенного вертикально вверх камня меняется по закону S=4*t — t2, где t – время. Определите, на какую максимальную высоту поднимется камень.
5) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫((y’)2+2yy’)dx.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Билет № 23
1) Постановка задачи оптимизации. Условия необходимые для постановки задачи оптимизации.
2) Классификация методов решения задач нелинейного программирования.
3) Минимаксный критерий в задачах оптимизации.
4) Известно, что производительность труда работника меняется в зависимости от его зарплаты по закону f(x)=5000x-10x2+500, где х – зарплата в $. Определите, сколько нужно платить работнику, чтобы производительность его труда была максимальной.
5) Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +2y2 – функция
y=x+1 - условие
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
продолжение
--PAGE_BREAK--