Реферат: Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Понятие производной

Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0до t0+∆ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+∆ u = u(t0+∆ t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = ∆ u/∆ t, поэтому производительность труда в момент t0

z = lim∆t→ 0∆u/∆t.

Определение 1 (производная).Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел

lim∆x→ 0∆y/∆x

при условии существования этого предела.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.

Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции:

∆y = sin(x+∆x)-sinx = 2sin(∆x/2) cos (x+∆x/2).

По определению производной

(sinx)' = lim∆x→ 0∆y/∆x

= lim∆x→ 0 (cos (x+∆x/2)(sin ∆x/2)/(∆x/2)) = cosx,

так как

lim∆x→ 0cos (x+∆x/2) = cosx.

Таким образом,

(sinx)' = cosx.

Определение 2.Правой (левой) производной называется правый (левый) предел

lim∆x→ 0+0∆y/∆x

lim∆x→ 0-0∆y/∆x ,

если эти пределы существуют.

Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) (f'(x-0)). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).

Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим ∆ y = 3(0+∆ x)+1-1=3∆ x при ∆ x>0. При ∆ x<0 ∆ y = -3(0+∆ x)+1-1=-3∆ x, значит,

lim∆x→ 0-0∆y/∆x =-3, lim∆x→ 0+0∆y/∆x x = 3.

Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.