Реферат: Мера угла
Дисциплина: «Высшая математика»
Тема: «Мера угла»
1. Градусная и радианная мера угла
Как было показано ранее, функция задает определенное соотношение между двумя числовыми множествами. Однако в некоторых случаях область определения функции может являться множеством чисел, имеющих размерность. В частности, речь идет о множестве значений некоторого угла. Прежде чем приступить к рассмотрению подобных функций, напомним некоторые факты, связанные с измерением углов.
Определение 1. Углом в />называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющей длину, равную ее />части.
Исторически сложилось деление градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд, то есть: />, />. Секунды делятся на десятые, сотые и т.д. части. Градус является наиболее распространенной единицей измерения углов.
Определение 2. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющую длину, равную ее радиусу.
Таким образом, для отыскания радианной меры /> центрального угла достаточно длину дуги (l), на которую он опирается, разделить на длину радиуса (R), то есть />.
Из сказанного выше следует, что полной окружности будет соответствовать в градусах угол в 360 раз больший, то есть />. В радианах это будет /> радиан. Необходимо также отметить, что величина угла в градусной и радианной мере никак не связана с радиусом окружности. Следовательно, в дальнейшем можно рассматривать окружность любого радиуса, проще всего — единичного.
Формулы перехода от градусной меры дуг и углов к радианной и наоборот имеют вид:
/>, />.
Отсюда следует, что
1 рад = />, а />рад/>0,01745 рад.
Рассмотрим теперь координатную плоскость с началом координат в точке О. Проведем окружность единичного радиуса с центром в точке О и отметим точки ее пересечения с осями координат.
Рассмотрим произвольную точку Mна окружности и вектор />, который называется радиус-вектором точки M.
Будем рассматривать центральные углы AOM, образованные векторами /> и /> при перемещении точки M по окружности.
/>
/>/>/>/>/>/>/>/>/>
Если точка M совпадает с точкой A, то /> полагают равным нулю. Будем считать /> положительным, если вращение вектора /> от начального положения /> происходит в направлении противоположном движению часовой стрелки. В противном случае /> будем считать отрицательным.
Так как полный оборот вектора /> приводит его в то же положение, однозначно определить величину угла, если это не оговорено, нельзя. Иначе говоря, в общем случае
/>
Или
/>.
2. Элементарные тригонометрические функции произвольного угла
Введем определение основных тригонометрических функций угла. Для этого изобразим вначале единичную окружность.
/>
/>/>/>/>/>/>/>/>
Определение 1. Синусом угла />называется отношение ординаты />конца подвижного радиус-вектора />, который образует угол />с осью абсцисс, к длине этого радиус-вектора и обозначается />.
Определение 2. Косинусом угла />называется отношение абсциссы />конца подвижного радиус-вектора />, который образует угол />с осью абсцисс, к длине этого радиус-вектора и обозначается />.
Определение 3. Тангенсом угла />называется отношение ординаты />конца подвижного радиус-вектора />, который образует угол />с осью абсцисс, к абсциссе />конца этого радиус-вектора и обозначается />.
Определение 4. Котангенсом угла />называется отношение абсциссы />конца подвижного радиус-вектора />, который образует угол />с осью абсцисс, к ординате />конца этого радиус-вектора и обозначается />.
Из приведенных определений следует, что
/>, />, />,
причем у единичной окружности
/>, />.
Введение произвольных по знаку и абсолютной величине углов позволяет каждому действительному числу /> поставить в соответствие угол в /> радиан и, наоборот, каждому углу — однозначно определяемое действительное число, равное числу радиан. Такое взаимнооднозначное соответствие позволяет определить тригонометрические функции числового аргумента.
Определение 5. Тригонометрическая функция числа />это та же тригонометрическая функция угла величиной в />радиан.
Рассмотрим графики основных элементарных тригонометрических функций.
/>/>.
/>/>/>/>/>/>/>
Здесь
/>; />;
период />; />; корни />, где />.
2. />.
/>/>/>/>/>/>/>/>
Здесь
/>; />;
период />; />; корни />, где />.
3. />.
/>
Здесь
/>,
где />; />; период />; />; корни />, где />.
4. />.
/>
Здесь
/>,
где />; />; период />; />; корни />, где />.
/>/>5. />.
/>/>/>/>/>/>
Здесь
/>; />; />; корень />.
/>6. />.
/>/>/>/>/>/>/>
Здесь
/>; />; />; корень />.
7. />.
/>
/>
/>/>Здесь
/>; />; />; корень />.
8. />.
/>
/>/>/>/>/>
Здесь
/>; />; />; корней нет.
Литература
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. — 584c.
Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. Изд-во: ЛИБРОКОМ, 2009. — 400c.
Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Издательство «Академия/Academia», 2009. — 2008c.
Фролов С. Начертательная геометрия Учебник.3-е изд., перераб. и доп. Изд-во: ИНФРА-М, ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ, 2007. — 286c.