Реферат: Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами

--PAGE_BREAK--**), то

<img width=«600» height=«220» src=«ref-1_747982151-2449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">

г) Совершенно аналогично случаю в) получим

<img width=«517» height=«71» src=«ref-1_747984600-1319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">

Что и требовалось доказать.

Определение 15.Ядром типа Джексона порядка n называется функция

<img width=«187» height=«95» src=«ref-1_747985919-632.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">,                             (1.13)

n=1,2,3,...,k-натуральное, где

<img width=«187» height=«95» src=«ref-1_747986551-668.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">                           (1.13’)

Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами:

а) <img width=«124» height=«61» src=«ref-1_747987219-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">

б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро Jn,k(t)

является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка k(n-1)

в) <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_747987635-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"><img width=«29» height=«13» src=«ref-1_747987860-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">n2k-1, т.е. существуют постоянные С14>0 и С15>0, такие, что при всех n=1,2,3,… будет

<img width=«209» height=«32» src=«ref-1_747988371-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">

г) При любом >0 имеет место неравенство

<img width=«267» height=«61» src=«ref-1_747988846-604.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">

д) При любом натуральном <img width=«71» height=«17» src=«ref-1_747989450-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

<img width=«103» height=«61» src=«ref-1_747989719-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"><img width=«29» height=«13» src=«ref-1_747987860-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"><img width=«24» height=«48» src=«ref-1_747990615-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">

Доказательство свойств ядер типа Джексона.

а) Это свойство вытекает из равенств определения

б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в силу равенств (1.11) и (1.11‘’) будет

<img width=«359» height=«125» src=«ref-1_747990838-1505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">                 (1.14)

где <img width=«33» height=«25» src=«ref-1_747992343-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">  — некоторые целые числа.

в) Учитывая неравенства (**), будем иметь

<img width=«548» height=«177» src=«ref-1_747992566-2586.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">(1.15)

С другой стороны

<img width=«549» height=«107» src=«ref-1_747995152-1602.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> (1.15‘)

г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘)

<img width=«439» height=«164» src=«ref-1_747996754-1712.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">

д) Действительно, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘) и (**)

<img width=«411» height=«205» src=«ref-1_747998466-2046.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">            (1.16)

где A-const, а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), неравенств (**) и из неравенства sintt, при всех t0 (***), имеем

<img width=«360» height=«95» src=«ref-1_748000512-1010.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">                (1.16‘)

A1-const. Неравенства (1.16) и (1.16‘) равносильны условию, что и требовалось доказать.



§2. Простейшие свойства модулей нерперывности.

Этот параграф носит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько простейших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемые здесь функции f1, f2,… — непрерывны.

ЛЕММА 1. Для любого натурального k  и любого 0

<img width=«280» height=«27» src=«ref-1_748001522-571.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">                    (2.1)

Доказательство:по определению,

<img width=«584» height=«187» src=«ref-1_748002093-2995.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">

Лемма доказана.

ЛЕММА 2. Пусть f иl -натуральные числа, l<k. Тогда для любого 0

<img width=«128» height=«31» src=«ref-1_748005088-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"><img width=«12» height=«24» src=«ref-1_747913190-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">                                   (2.2)

и

<img width=«181» height=«31» src=«ref-1_748005655-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">                            (2.3)

Доказательство:Положим

<img width=«111» height=«31» src=«ref-1_748006126-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">

Тогда для 0l<k имеем

<img width=«423» height=«57» src=«ref-1_748006483-935.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">

откуда

<img width=«367» height=«57» src=«ref-1_748007418-849.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">

Отсюда при l=0 вытекает, что

<img width=«247» height=«39» src=«ref-1_748008267-568.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">,

а при 0<l<k

<img width=«301» height=«39» src=«ref-1_748008835-658.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">

Полагая в (2.3) l=1, находим, что

<img width=«185» height=«31» src=«ref-1_748009493-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">

Из этого неравенства видно, что для любого натурального k

<img width=«187» height=«36» src=«ref-1_748009971-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">.                         (2.4)

ЛЕММА 3. Для любого натурального k модуль непрерывности k-го порядка <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_748010390-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> является непрерывной функцией от .

Доказательство:Пусть <img width=«131» height=«36» src=«ref-1_748010687-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> Имеем

<img width=«360» height=«97» src=«ref-1_748011011-1250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">

Отсюда

<img width=«383» height=«57» src=«ref-1_748012261-836.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">

и

<img width=«543» height=«57» src=«ref-1_748013097-1030.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">

Таким образом

<img width=«323» height=«32» src=«ref-1_748014127-632.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">

и так как <img width=«97» height=«25» src=«ref-1_748014759-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> при <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_748015084-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">, то отсюда вытекает непрерывность функции <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_748010390-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">, и лемма доказана.

ЛЕММА 4. Пусть k иp-натуральные числа. Тогда для любого 

<img width=«185» height=«31» src=«ref-1_748015619-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">                              (2.5)

Доказательство:Индукция по k даёт формулу

<img width=«305» height=«63» src=«ref-1_748016103-752.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">

Отсюда

<img width=«180» height=«39» src=«ref-1_748016855-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">

и

<img width=«185» height=«31» src=«ref-1_748015619-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">

Лемма доказана.

ЛЕММА 5. Пусть k-натуральное число, Тогда

<img width=«229» height=«31» src=«ref-1_748017838-544.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">                           (2.6)

Если кроме того 0<то

<img width=«228» height=«31» src=«ref-1_748018382-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">                           (2.7)

Доказательство:Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для . Найдём натуральное число p из условий

<img width=«113» height=«23» src=«ref-1_748018923-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">                                     (2.8)

Тогда p-1, и так как <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_748019249-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">-является неубывающей функцией от , то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим

<img width=«476» height=«81» src=«ref-1_748019536-1334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">

Рассмотрим случай для . Найдём натуральное число p из условий

<img width=«148» height=«29» src=«ref-1_748020870-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">                                (2.9)

Тогда p, и так как <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_748019249-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">-является неубывающей функцией от , то принимая во внимание (2.5) и (2.9), получим

<img width=«597» height=«44» src=«ref-1_748021514-1059.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">,

и неравенство (2.6) доказано. Неравенство (2.7) вытекает из (2.6), так как  для 0<

<img width=«2» height=«21» src=«ref-1_748022573-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027">Неравенство (2.7) показывает, что для любой f0 и любого натурального k

<img width=«109» height=«31» src=«ref-1_748022728-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">                                (2.10)

Лемма доказана.

ЛЕММА 6. Пусть f имеет r-ю производную f(r). Тогда

<img width=«144» height=«41» src=«ref-1_748023093-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">                             (2.11)

и для любого натурального k

<img width=«209» height=«41» src=«ref-1_748023518-532.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">                      (2.12)

Доказательство:Оба неравенства непосредственно вытекают из формулы

<img width=«336» height=«60» src=«ref-1_748024050-746.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">

<img width=«615» height=«163» src=«ref-1_748024796-2373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">Если k=0, то мы получаем формулу (2.11). Лемма доказана.




§3. Обобщение теоремы Джексона.

Здесь будет получено небольшое усиление теоремы Джексона о наилучших приближениях периодических функций тригонометрическими полиномами.

Лемма 7. Пусть дано натуральное число k. Существует последовательность ядер{Kn(t)}(n=0,1,...), где Kn(t) есть тригонометрический полином порядка не выше n, удовлетворяющая условиям:

<img width=«213» height=«61» src=«ref-1_748027169-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">                             (3.1)

<img width=«12» height=«24» src=«ref-1_747913190-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219"><img width=«239» height=«61» src=«ref-1_748027808-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">                        (3.2)

<img width=«344» height=«61» src=«ref-1_748028322-690.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">     (3.3)

Эту лемму можно считать известной. Как показывает простой подсчет, совершенно аналогичный проводившемуся Джексоном, в качестве ядер Kn(t) можно взять ядра Джексона достаточно высокой степени, то есть положить

<img width=«172» height=«95» src=«ref-1_748029012-606.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">

где k0-целое, не зависит от n, <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_748029618-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> натуральное p определяется из неравенства

<img width=«132» height=«49» src=«ref-1_748029920-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">,

а bp выбираются так, чтобы была выполнена нормировка (3.1).

Лемма 8.Если последовательность ядер {Kn(t)} удовлетворяет всем условиям предыдущей леммы, то

<img width=«352» height=«61» src=«ref-1_748030322-720.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">              (3.4)

Доказательство.Имеем, пользуясь (3.2) и (3.3)

<img width=«595» height=«208» src=«ref-1_748031042-2876.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">

Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть k-натуральное число. Тогда

<img width=«284» height=«49» src=«ref-1_748033918-618.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">                     (3.5)

Доказательство.Пусть последовательность ядер {Kn(t)} (n=1,1,2,...) удовлетворяет всем условиям леммы 7. Положим

<img width=«480» height=«61» src=«ref-1_748034536-940.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">

Очевидно, <img width=«64» height=«25» src=«ref-1_748035476-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> есть тригонометрический полином порядка не выше  n-1. Оценим <img width=«125» height=«28» src=«ref-1_748035745-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> Имеем

<img width=«593» height=«61» src=«ref-1_748036102-1209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">

Поэтому

<img width=«525» height=«61» src=«ref-1_748037311-1065.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">   (3.6)

Оценим последний интеграл. Полагая в неравенстве (2.6) <img width=«113» height=«52» src=«ref-1_748038376-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">, получим, что

<img width=«248» height=«55» src=«ref-1_748038684-649.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">

Отсюда и из (3.4) следует:

<img width=«12» height=«24» src=«ref-1_747913190-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"><img width=«444» height=«111» src=«ref-1_748039502-1629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">

Подставляя эту оценку в (3.6), получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.

Следствие 1.1. Пусть k-натуральное число, r-целое неотрицательное. Тогда

<img width=«353» height=«49» src=«ref-1_748041131-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">             (3.7)

В самом деле, согласно (2.12)

<img width=«224» height=«49» src=«ref-1_748041841-591.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">

и применение теоремы 1 даёт (3.7).




§4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна.

В этом параграфе формулируется одно обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для производных от тригонометрического полинома.

Теорема 2.Пусть <img width=«80» height=«44» src=«ref-1_748042432-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">. Тогда для любого натурального k

<img width=«235» height=«95» src=«ref-1_748042746-714.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">                       (4.1)

и неравенство обращается в неравенство в том и только в том случае, если

<img width=«203» height=«25» src=«ref-1_748043460-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">

Доказательство этого неравенства опубликовано в работе С.Б.Стечкина [2].

Отметим несколько следствий из этого неравенства.

Следствие 2.1. (неравенство С.Н.Бернштейна):

<img width=«148» height=«41» src=«ref-1_748043873-459.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">                                  (4.2)

Полагая в (4.1) <img width=«47» height=«44» src=«ref-1_748044332-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">, получаем

<img width=«192» height=«75» src=«ref-1_748044588-615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">

(это неравенство доказано С.М.Никольским [5]) но по лемме 2§2,

<img width=«161» height=«75» src=«ref-1_748045203-504.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">

откуда и следует (4.2).

Два последних неравенства одновременно обращаются в равенство только в случае, если

<img width=«179» height=«25» src=«ref-1_748045707-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">

Следствие 2.2.Пусть <img width=«80» height=«44» src=«ref-1_748042432-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">. Тогда

<img width=«225» height=«77» src=«ref-1_748046411-789.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">                              (4.3)

Первое неравенство совпадает с утверждением теоремы 2, а второе вытекает из оценки

<img width=«177» height=«44» src=«ref-1_748047200-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">                                   (4.4)

Таким образом, для <img width=«311» height=«65» src=«ref-1_748047712-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> средний член в (4.3) заключен между двумя пределами, зависящими только от .

Следствие 2.3. Пусть <img width=«71» height=«44» src=«ref-1_748048258-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">. Тогда

<img width=«233» height=«95» src=«ref-1_748048554-703.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">                        (4.5)

В частности,

<img width=«199» height=«55» src=«ref-1_748049257-624.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">                              (4.6)

Следствие 2.4. Пусть <img width=«164» height=«44» src=«ref-1_748049881-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> Тогда

<img width=«12» height=«24» src=«ref-1_747913190-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"><img width=«243» height=«95» src=«ref-1_748050426-706.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">                          (4.7)

В частности, для <img width=«47» height=«44» src=«ref-1_748051132-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> имеем

<img width=«219» height=«55» src=«ref-1_748051384-641.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">                              (4.8)

В самом деле, из (4.4) или (2.12) следует:

<img width=«167» height=«41» src=«ref-1_748052025-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">

и остается воспользоваться неравенством (4.5).

Следствие 2.5.Пусть <img width=«103» height=«44» src=«ref-1_748052516-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> Тогда

<img width=«373» height=«95» src=«ref-1_748052854-966.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">.             (4.9)

Вторая половина неравенства совпадает со следствием 2.4, а первая непосредственно вытекает из (2.7).



§5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию.

В этом параграфе устанавливается, что если тригонометрический полином tn(x) близок к заданной функции f, то его модули непрерывности можно оценить через модули непрерывности f.

Теорема 3.Зафиксируем натуральные числа k и n и пусть

<img width=«176» height=«49» src=«ref-1_748053820-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">                                 (5.1)

Тогда для любого <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_748054298-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">

<img width=«291» height=«49» src=«ref-1_748054529-692.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">                      (5.2)

<img width=«360» height=«55» src=«ref-1_748055221-841.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">    продолжение
--PAGE_BREAK--               (5.3)

<img width=«327» height=«55» src=«ref-1_748056062-749.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">                   (5.4)

и

<img width=«308» height=«55» src=«ref-1_748056811-787.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">                    (5.5)

Предварительные замечания.Неравенства (5.2) и (5.4) предпочтительнее для больших , а (5.3)-для малых. Если <img width=«44» height=«44» src=«ref-1_748057598-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">, то (5.2) сильнее, чем (5.4); однако (5.4) имеет более симметричную форму и часто удобнее в приложениях.

Доказательство.Докажем (5.2). Пользуясь (2.1), (2.2) и (5.1), имеем

<img width=«357» height=«77» src=«ref-1_748057855-1119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">

Докажем (5.5). Положим в (5.2) <img width=«44» height=«44» src=«ref-1_748058974-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">. Тогда получим :

<img width=«255» height=«49» src=«ref-1_748059218-666.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">

после чего (4.5) даёт (5.5).

(5.3) следует из (5.5) в силу (2.11).

Остаётся доказать (5.4). Пусть сперва <img width=«44» height=«44» src=«ref-1_748057598-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">. Тогда из (5.4) следует:

<img width=«456» height=«95» src=«ref-1_748060141-1270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">

Рассмотрим, наконец, случай <img width=«44» height=«44» src=«ref-1_748061411-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">. Из неравенства (2.7) выводим

<img width=«221» height=«49» src=«ref-1_748061667-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">

Подставляя эту оценку в (5.3), получаем (5.4) для <img width=«44» height=«44» src=«ref-1_748061411-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Следствие 3.1.Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n

<img width=«175» height=«49» src=«ref-1_748062520-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">                               (5.6)

Тогда для любого >0

<img width=«201» height=«27» src=«ref-1_748062999-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">                             (5.7)

равномерно относительно n.

Следствие 3.2. Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n

<img width=«176» height=«49» src=«ref-1_748063498-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">

Тогда

<img width=«299» height=«49» src=«ref-1_748063975-685.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">                   (5.8)

Теорема 4. Для того, чтобы <img width=«81» height=«25» src=«ref-1_747911160-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">, необходимо и достаточно, чтобы

<img width=«84» height=«31» src=«ref-1_748064958-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">                                        (5.9)

равномерно относительно n.

Это вытекает из теоремы 1, следствия 3.1 и того замечания что если выполнено условие (5.9), то <img width=«81» height=«25» src=«ref-1_747911160-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">.

Теорема 5.Для того, чтобы <img width=«59» height=«31» src=«ref-1_747912542-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">, необходимо и достаточно, чтобы

<img width=«99» height=«41» src=«ref-1_748065864-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">                                     (5.10)

Это доказывается аналогично теореме 4, только вместо следствия 3.1 нужно воспользоваться следствием 3.2.

Неравенства теоремы 3 имеют тот недостаток, что их правые части явно зависят от константы С20. Таким образом, если вместо фиксированного номера n и одного полинома tn рассматривать последовательность полиномов {tn} (n=1,2,...), то С20  окажется, вообще говоря, независящей от n и теорема 3 даёт оценки, не равномерные относительно n. Покажем как избавиться от этого неудобства.

Теорема 6.Пусть для некоторого натурального k

<img width=«160» height=«41» src=«ref-1_748066206-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">                                 (5.11)

и

<img width=«248» height=«41» src=«ref-1_748066604-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">                       (5.12)

Тогда для любого >0

<img width=«169» height=«27» src=«ref-1_748067114-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">                               (5.13)

равномерно относительно n.

Доказательство.Пусть сперва <img width=«44» height=«44» src=«ref-1_748057598-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">. Из неравенства (5.2) следует, что

<img width=«257» height=«49» src=«ref-1_748067835-637.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">

и на основании (5.11)

<img width=«421» height=«49» src=«ref-1_748068472-872.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">     (5.14)

Рассмотрим случай <img width=«44» height=«44» src=«ref-1_748061411-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">. Положим в (5.14) <img width=«44» height=«44» src=«ref-1_748058974-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">. Тогда получим

<img width=«188» height=«49» src=«ref-1_748069844-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">

Из этого неравенства, в силу (4.7), следует, что

<img width=«224» height=«49» src=«ref-1_748070405-603.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">

Но так как, по условию, <img width=«57» height=«29» src=«ref-1_748071008-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">, то

<img width=«241» height=«49» src=«ref-1_748071269-618.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">

Отсюда

<img width=«375» height=«49» src=«ref-1_748071887-785.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">

Окончательно,

<img width=«153» height=«25» src=«ref-1_748072672-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">

и теорема доказана.

В следующем параграфе будет показано, как можно видоизменить ограничения (5.11) теоремы 6.




§6.  Обобщение  обратных  теорем  С. Н. Бернштейна и

Ш. Валле-Пуссена.

В этом параграфе обобщаются и уточняются так называемые “обратные теоремы” теории приближения. Речь идёт об оценке дифференциальных свойств функции f, если известны свойства последовательности её наилучших приближений {En}.

Лемма 9.Зададим натуральное число k, и пусть

<img width=«187» height=«41» src=«ref-1_748073107-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">                              (6.1)

и

<img width=«177» height=«41» src=«ref-1_748073508-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">.                              (6.2)

Тогда

<img width=«323» height=«43» src=«ref-1_748073943-676.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">                 (6.3)

Доказательство.Имеем, согласно (2.1),

<img width=«265» height=«27» src=«ref-1_748074619-572.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">

Но из (2.10) и (6.2) получаем

<img width=«209» height=«41» src=«ref-1_748075191-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">

а из (2.2) и (6.1)

<img width=«251» height=«32» src=«ref-1_748075732-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">

Поэтому

<img width=«317» height=«39» src=«ref-1_748076280-676.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">

левая часть этого неравенства не зависит от n, а поэтому

<img width=«232» height=«41» src=«ref-1_748076956-560.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">

и лемма доказана.

Для получения хороших оценок <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_748010390-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308"> обычно достаточно взять <img width=«44» height=«45» src=«ref-1_748077813-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">. Однако на исключена возможность, что в некоторых случаях другой выбор <img width=«61» height=«25» src=«ref-1_748078058-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310"> может оказаться предпочтительнее.

Теорема 7. Пусть k-натуральное число, функция <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_747962056-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> не убывает и

<img width=«241» height=«49» src=«ref-1_748078580-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">                       (6.4)

Для того чтобы <img width=«81» height=«25» src=«ref-1_747911160-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">, необходимо и достаточно выполнение условия

<img width=«244» height=«49» src=«ref-1_748079401-564.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">                      (6.5)

Доказательство.Необходимость условия (6.5) вытекает из следствия 3.2. Установим его достаточность, для чего воспользуемся леммой 9. Получаем:

<img width=«257» height=«49» src=«ref-1_748079965-641.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">

Положим здесь <img width=«91» height=«39» src=«ref-1_748080606-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">; тогда для <img width=«64» height=«20» src=«ref-1_748080891-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> будем иметь <img width=«141» height=«39» src=«ref-1_748081144-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> и <img width=«63» height=«29» src=«ref-1_748081509-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">поэтому

<img width=«331» height=«39» src=«ref-1_748081773-707.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">

и теорема доказана.

Отметим два следствия из этой теоремы.

Следствие 7.1.Пусть k-натуральное число, функция <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_747962056-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321"> не убывает и

<img width=«249» height=«49» src=«ref-1_748082727-547.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">                         (6.6)

Для того чтобы <img width=«81» height=«25» src=«ref-1_747911160-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">, необходимо и достаточно выполнение условия

<img width=«251» height=«49» src=«ref-1_748083572-589.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">                         (6.7)

Следствие 7.2.Пусть k-натуральное число и <img width=«63» height=«29» src=«ref-1_748084161-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> Если

<img width=«236» height=«49» src=«ref-1_748084422-522.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">

и

<img width=«240» height=«49» src=«ref-1_748084944-566.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">                           (6.8)

то

<img width=«239» height=«41» src=«ref-1_748085510-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">

равномерно относительно n.

Это вытекает из теорем 7 и 6.

Теорема 7 показывает, что нужно добавить к условию (6.4), чтобы получить <img width=«81» height=«25» src=«ref-1_748086030-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">. Теперь мы получим оценки для <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_748010390-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">, исходя только из условий вида (6.4). Попутно выясняется, что при некоторых дополнительных ограничениях на функцию <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_747962056-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331"> условие (6.5) становится излишним. Суть дела в том, что при этих ограничениях (6.4) влечёт (6.5).

Лемма 10.Пусть

<img width=«223» height=«41» src=«ref-1_748086871-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">                             (6.9)

где <img width=«147» height=«24» src=«ref-1_748087311-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">. Тогда для любого натурального k

<img width=«284» height=«57» src=«ref-1_748087656-659.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">                     (6.10)

Доказательство.Зафиксируем натуральное число n, определим натуральное p из условий

<img width=«104» height=«25» src=«ref-1_748088315-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">

и построим последовательность номеров <img width=«149» height=«41» src=«ref-1_748088630-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336"> положив

<img width=«309» height=«47» src=«ref-1_748088977-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">

Для оценки <img width=«31» height=«32» src=«ref-1_748089500-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338"> представим <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_748089756-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339"> в таком виде:

<img width=«299» height=«59» src=«ref-1_748089958-718.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">

Так как <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_748090676-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">, то отсюда

<img width=«148» height=«59» src=«ref-1_748090942-508.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">

<img width=«168» height=«59» src=«ref-1_748091450-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">                                (6.11)

Оценим Ul(k). Имеем для l=1,2,...,p

<img width=«341» height=«33» src=«ref-1_748092002-626.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">

откуда

<img width=«412» height=«33» src=«ref-1_748092628-703.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">

Но <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_748093331-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346"> есть тригонометрический полином порядка не выше nl. Поэтому по неравенству С.Н. Бернштейна,

<img width=«215» height=«44» src=«ref-1_748093584-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">                           (6.12)

Заметим теперь, что, в силу определения последовательности {nl},

<img width=«113» height=«27» src=«ref-1_748094121-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348"> и <img width=«139» height=«27» src=«ref-1_748094450-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349"> для <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_748094806-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">

Поэтому, пользуясь ещё монотонностью последовательности {Fn}2 находим, что для <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_748094806-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">

<img width=«517» height=«100» src=«ref-1_748095348-1184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">   (6.13)

При помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно:

<img width=«553» height=«197» src=«ref-1_748096532-2921.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">

и лемма доказана.

Теорема 8.Для любого натурального k и любого <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_748099453-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">

<img width=«363» height=«57» src=«ref-1_748099700-744.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">             (6.14)

Доказательство.Имеем

<img width=«224» height=«41» src=«ref-1_748100444-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">

Отсюда, по лемме 10,

<img width=«197» height=«57» src=«ref-1_748100897-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">

Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем:

<img width=«329» height=«60» src=«ref-1_748101449-746.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">

Если <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_748099453-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">, то <img width=«71» height=«27» src=«ref-1_748102442-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">. Кроме того,

<img width=«261» height=«57» src=«ref-1_748102728-610.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">

Поэтому для <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_748099453-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">

<img width=«582» height=«60» src=«ref-1_748103585-1259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">

и теорема доказана.

Мы обращаемся теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких ограничениях на {En} условие (6.4) влечёт <img width=«84» height=«25» src=«ref-1_748104844-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">

Теорема 9.Зададим натуральное число k; пусть <img width=«69» height=«19» src=«ref-1_748105142-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365"> и <img width=«59» height=«29» src=«ref-1_748105402-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">. Для того чтобы <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_748105656-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">, необходимо и достаточно выполнение условия

<img width=«209» height=«49» src=«ref-1_748105955-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">                            (6.15)

Доказательство.Необходимость условия (6.15) вытекает из теоремы 1. Докажем его достаточность. Согласно теореме 8, для <img width=«48» height=«20» src=«ref-1_748106440-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">

<img width=«268» height=«57» src=«ref-1_748106672-696.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">

Положим здесь <img width=«69» height=«39» src=«ref-1_748107368-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371"> и заметим, что тогда <img width=«53» height=«44» src=«ref-1_748107634-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> для <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_748107903-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"> и, в силу условия <img width=«59» height=«29» src=«ref-1_748105402-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">,

<img width=«280» height=«49» src=«ref-1_748108383-602.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">

Поэтому для <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_748107903-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">

<img width=«12» height=«24» src=«ref-1_747913190-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"><img width=«491» height=«100» src=«ref-1_748109380-1180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">

и теорема доказана.

Следствие 9.1.Пусть <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_748110560-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379"> и <img width=«59» height=«29» src=«ref-1_748105402-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">. Тогда для всех натуральных <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_748111038-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381"> классы <img width=«51» height=«25» src=«ref-1_748111269-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> эквивалентны.

Следствие 9.2. Пусть <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_748110560-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383"> и <img width=«59» height=«29» src=«ref-1_748105402-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">. Если

<img width=«240» height=«49» src=«ref-1_748112003-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">

то для любого фиксированного натурального <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_748111038-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">

<img width=«277» height=«41» src=«ref-1_748112763-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">

равномерно относительно n.

Рассмотрим теперь следующий вопрос. как связаны приближения функции f с приближениями и дифференциальными свойствами её производных f (r)?

Теорема 10. Зададим натуральное число r, и пусть

<img width=«223» height=«41» src=«ref-1_748086871-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">                          (6.16)

где

<img width=«281» height=«57» src=«ref-1_748113773-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">                    (6.17)

Тогда f имеет непрерывную производную f(r) и

<img width=«423» height=«60» src=«ref-1_748114316-835.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">     (6.18)

С.Н.Бернштейн [3] доказал такую теорему: если ряд <img width=«101» height=«32» src=«ref-1_748115151-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391"> сходится, то функция f имеет непрерывную производную f (r). Рассмотрение этого доказательства С.Н.Бернштейна показывает, что на самом деле им установлено следующее, более общее предложение: пусть выполнены условия (6.16) и (6.17). Тогда функция f имеет непрерывную производную     продолжение
--PAGE_BREAK--