Реферат: Топологическая определяемость верхних полурешёток

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Топологическая определяемость верхних полурешёток.

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Малых Константин Леонидович

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных

Рецензент:

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. Кафедрой Е.М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Киров 2005

Оглавление.

Введение …………………………………………………………………стр. 3

Глава 1 ……………………………………………………………………стр. 4

Упорядоченные множества ………………………………………стр. 4

Решётки.……………………………………………………………стр. 5

Дистрибутивные решётки ………………………………………… стр. 8

Топологические пространства……………………………………стр.10

Глава 2…………………………………………………………………….стр.11

1. Верхние полурешётки…………………………………………….стр.11

2. Стоуново пространство …………………………………………… стр.15

Список литературы……………………………………………………….стр.21

Введение.

Дистрибутивная решётка является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе рассматривается частично упорядоченное множествоP(L) простых идеалов. Оно даёт нам много информации о дистрибутивной решётке L, но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для того, чтобы множество P(L) характеризовало решётку L, необходимо наделить его более сложной структурой. Стоун [1937] задал на множестве P(L) топологию.

В этой работе рассматривается этот метод в несколько более общем виде.

Работа состоит из двух глав. В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество простых идеалов с введенной на нём топологией.

Глава 1.

Упорядоченные множества.

Определение: Упорядоченным множеством/>называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение />, удовлетворяющее для всех />следующим условиям:

1.Рефлексивность: />.

2.Антисимметричность: если />и />, то />.

3.Транзитивность: если />и />, то />.

Если />и />, то говорят, что />меньше />или />больше />, и пишут />или />.

Примеры упорядоченных множеств:

Множество целых положительных чисел, а />означает, что />делит />.

Множество всех действительных функций />на отрезке />и

--PAGE_BREAK--

/> означает, что />для />.

Определение:Цепьюназываетсяупорядоченное множество, на котором для />имеет место />или />.

Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества />. Изобразим каждый элемент множества />в виде небольшого кружка, располагая />выше />, если />. Соединим />и />отрезком. Полученная фигура называется диаграммойупорядоченного множества />.

Примеры диаграмм упорядоченных множеств:

/>

2. Решётки

Определение:Верхней граньюподмножества />в упорядоченном множестве />называется элемент />из />, больший или равный всех />из />.

Определение:Точная верхняя граньподмножества />упорядоченного множества />– это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом />и читается «супремум X».

Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.

Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается />и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань />существует, то она единственна.

Определение:Решёткой/>называется упорядоченное множество />, в котором любые два элемента />и />имеют точную нижнюю грань, обозначаемую />, и точную верхнюю грань, обозначаемую />.

Примеры решёток:

1. Любая цепь является решёткой, т.к. />совпадает с меньшим, а />с большим из элементов />.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

2.

/>

Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают />, а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают />.

На решётке можно рассматривать две бинарные операции:

/> — сложение и

/> — произведение

Эти операции обладают следующими свойствами:

1. />, />идемпотентность

2. />, />коммутативность

3. />,

/> ассоциативность

4. />,

/> законы поглощения

Теорема. Пусть />— множество с двумя бинарными операциями />, обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение />(или />) является порядком на />, а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём:

/>

/>

Доказательство.

Рефлексивность отношения />вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):

/>

/>

Если />и />, то есть />и />, то в силу свойства (2), получим />. Это означает, что отношение />антисимметрично.

Если />и />, то применяя свойство (3), получим: />, что доказывает транзитивность отношения />.

Применяя свойства (3), (1), (2), получим:

/>,

/>.

Следовательно, />и />

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Если />и />, то используя свойства (1) – (3), имеем:

/>, т.е. />

По определению точней верхней грани убедимся, что

/>

Из свойств (2), (4) вытекает, что />и />

Если />и />, то по свойствам (3), (4) получим:

/>

Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что

/>, т.е.

Таким образом, />. ■

Пусть />решётка, тогда её наибольший элемент />характеризуется одним из свойств:

1./>/>

2./>/>.

Аналогично характеризуется наименьший элемент />:

1./>/>

2./>/>.

Дистрибутивные решётки.

Определение: Решётка />называется дистрибутивной, если для />выполняется:

1. />

2. />

В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.

Теорема: Решётка />с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида

/>

Доказательство этого факта можно найти в книге [2].

Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём />).

Определение:Непустое множество />называется идеаломв решётке />, если выполняются условия:

1. />

    продолжение
--PAGE_BREAK--

2. />

Определение:Идеал />в решётке />называется простым, если

/> или />.

Идеал, порождённый множеством Н (т.е.наименьший идеал, содержащий H), будет обозначаться (Н]. Если Н = {a}, то вместо ({a}] будем писать (a] и называть (a] главным идеалом.

Обозначим через I(L) множество всех идеалов решётки L. I(L) будем называть решёткой идеалов.

Определение:Решётки />/>и />/>называются изоморфными (обозначение: />), если существует взаимно однозначное отображение />, называемое изоморфизмом,множества />на множество />, такое, что

/>,

/>.

4. Топологические пространства.

Определение:Топологическое пространство – это непустое множество />с некоторой системой />выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам:

Пустое множество и само пространство />принадлежит системе />: />.

Пересечение любого конечного числа множеств из />принадлежит />, т.е. />.

Объединение любого семейства множеств из />принадлежит />, т.е. />.

Таким образом, топологическое пространство – это пара </>, />>, где />— такое множество подмножеств в />, что />и />замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из />называют открытыми, а их дополнения в />замкнутыми.

Определение:Пространство называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Определение:Подмножество пространства называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение:Топологическое пространство называется />— пространством, если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.

Глава 2.

1. Верхние полурешётки.

Определение:Ч.у. множество называется верхней полурешёткой, если sup{a,b}существует для любых элементов aи b.

Определение: Непустое множество Iверхней полурешётки Lназывается идеалом, если для любых />включение />имеет место тогда и только тогда, когда />.

Определение: Верхняя полурешётка />называется дистрибутивной, если неравенство />≤ />/>(/>, />, />L) влечёт за собой существование элементов />, таких, что />, />, и />= />.(рис.1). Заметим, что элементы />и />не обязательно единственны.

/>

Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт:

Лемма 1:

(*). Если </>,/>> — произвольная полурешётка, то верхняя полурешётка />дистрибутивна тогда и только тогда, когда решётка />дистрибутивна.

(**). Если верхняя полурешётка />дистрибутивна, то для любых />существует элемент />, такой, что />и />. Следовательно, множество />является решёткой.

(***). Верхняя полурешётка />дистрибутивна тогда и только тогда, когда множество />является дистрибутивной решёткой.

Доказательство.

(*). /></>,/>> — дистрибутивна и />, то для элементов />, />, справедливо равенство />:

    продолжение
--PAGE_BREAK--

/>

значит, полурешётка </>,/>> — дистрибутивна.

/>/></>,/>> — дистрибутивна. Пусть решётка />содержит диамант или пентагон(рис.2).

/>

1) Пусть решётка />содержит пентагон, />. Нужно найти такие элементы />и />, чтобы выполнялось равенство />. Но множество элементов меньших bилиcсостоит из элементов {0,b,c} и их нижняя граница не даст a. Получили противоречие с тем, что </>,/>> — дистрибутивна. Значит, наше предположение неверно и решётка />не содержит пентагона.

2) Пусть решётка />содержит диамант, />. Аналогично, множество элементов меньших bилиcсостоит из элементов {0,b,c},их нижняя граница не даст a. Значит, решётка />не содержит диаманта.

Можно сделать вывод, что решётка />дистрибутивна.

(**). Имеем />, поэтому />, где />(по определению дистрибутивной полурешётки). Кроме того, />является нижней границей элементов />и />.

Рассмотрим идеалы, содержащие элемент />и />— />и />. Тогда />Ø ,т.к. />, нижняя граница элементов aи b, содержится там.

Покажем, что I(L)– решётка, т.е. существуют точные нижняя и верхняя грани для любых Aи B.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Покажем, что />совпадает с пересечением идеалов AиB. Во-первых, />— идеал. Действительно, />и />и />Во-вторых, пусть идеал />и />. Тогда />, т.е. />— точная нижняя грань идеалов AиB,т.е. />.

Теперь покажем, что />совпадает с пересечением всех идеалов />, содержащих Aи B. Обозначим />. Поскольку />для />/>для />/>, то Cидеал. По определению Cон будет наименьшим идеалом, содержащим AиB.

(***). />Пусть />– верхняя дистрибутивная полурешётка. Покажем, что

/>.

Пусть />, т.е. />(рис.3), для некоторых />

/>

Понятно, что />. По дистрибутивности, существуют />такие, что />. Т.к. A– идеал, то />, потому что />. Аналогично, />. Т.е. />. Точно также, />. Если />, то легко показать, что />.

Доказали, что />— идеал. Очевидно, он является верхней гранью идеалов AиB. Если Cсодержит Aи B, то Cбудет содержать элементы />для любых />, т.е. />Поэтому />, поскольку />является верхней гранью идеалов Aи Bи содержится в любой верхней грани.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Теперь покажем, что выполняется равенство:

/>.

/>. Пусть />, где />,/>. Т.к. />, то />, откуда />и следовательно />. Аналогично, />, значит, />

/>. Пусть />, где />/>/>/>/>.

Отсюда следует дистрибутивность решётки />.

/> /> – дистрибутивная решётка, />. Теперь рассмотрим идеалы, образованные этими элементами:

/>

(/>, будет нижней границей для />). Поэтому />, что и доказывает дистрибутивность полурешётки />. ■

2. Стоуново пространство.

Определение: Подмножество />верхней полурешётки />называется коидеалом, если />из неравенства />следует />и />существует нижняя граница />множества />, такая, что />.

Определение:Идеал />полурешётки />называется простым, если />и множество />является коидеалом.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.

Лемма Цорна. Пусть A– множество и X– непустое подмножество множества P(A). Предположим, что Xобладает следующим свойством: если C– цепь в </>>, то />. Тогда Xобладает максимальным элементом.

Лемма 2: Пусть />– произвольный идеал и />– непустой коидеал дистрибутивной верхней полурешётки />. Если />, то в полурешётке />существует простой идеал />такой, что />и />.

Доказательство.

Пусть X – множество всех идеалов в L,содержащих I и не пересекающихся с D. Покажем, что Xудовлетворяет лемме Цорна.

Пусть C– произвольная цепь в Xи />Если />, то />для некоторых />Пусть для определённости />. Тогда />и />, т.к. />— идеал. Поэтому />. Обратно, пусть />, тогда />, для некоторого />Получаем />, откуда />.

Доказали, что M– идеал, очевидно, содержащий Iи не пересекающийся с D, т.е. />. По лемме Цорна Xобладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом Pсреди содержащих Iи не пересекающихся сD.

Покажем, что P– простой. Для этого достаточно доказать, что L\Pявляется коидеалом. Пусть />L\Pи />. Поскольку />, то />, иначе в противном случае />по определению идеала. Следовательно, />. Если />, то />и />пересекающихся с Dв силу максимальности P.Получаем />и />для некоторых элементов />. Существует элемент />такой, что />и />, по определению коидеала, следовательно />и />для некоторых />Заметим, что />и />не лежат в P, т.к. в противном случае />.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Далее, />, поэтому />для некоторых />и />. Как и прежде />. Кроме того />, поэтому />— нижняя грань элементов aи b, не лежащая в P. ■

В дальнейшем, через />будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через />множество всех простых идеалов полурешётки />.

Множества вида />представляют элементы полурешётки />в ч.у. множестве />(т.е. />). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии.

Обозначим через />топологическое пространство, определённое на множестве />. Пространство SpecLбудем называть стоуновым пространствомполурешётки L.

Лемма 3: Для любого идеала Iполурешётки Lположим:

/>

Тогда множества вида />исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве SpecL.

Доказательство.

Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства.

1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда

/>,

но 0 лежит в любом идеале, а значит />.

2) Возьмём произвольные идеалы />и />полурешётки />и рассмотрим

/>/>

Пусть />. Тогда существуют элементы a/>и/>Отсюда следует, что />, где L\P– коидеал. По определению коидеала существует элемент d/>такой, что/>и />, значит,/>. Т.к. />, следовательно, />. Получаем, что />.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Обратное включение очевидно.

2) Пусть />— произвольное семейство идеалов. Через />обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства />. Покажем, что />— идеал. Пусть />, тогда />, где />для некоторого идеала />. Тогда />лежит в идеале />, следовательно, />и />, т.е. />. Обратно очевидно.

Доказали, что />— идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение.

/> ■

Лемма 4: Подмножества вида />пространства />можно охарактеризовать как компактные открытые множества.

Доказательство.

/> Действительно, если семейство />открытых множеств покрывает множество />, т.е. />/>, то />Отсюда следует, что />для некоторого конечного подмножества />, поэтому />/>. Таким образом, множество />компактно.

/> Пусть открытое множество r(I)компактно, тогда />и можно выделить конечное подпокрытие />для некоторых />.

Покажем, что Iпорождается элементом />.

Предположим, что это не так, и в идеале Iнайдётся элемент bне лежащий в />. Тогда [b)– коидеал, не пересекающийся с />. По лемме 2 найдётся простой идеал Pсодержащий />и не пересекающийся с [b).Получаем, />, т.к. />(т.е. />), но />, т.к. />/>, противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством r(I)будет только в случае, если />— главный идеал.■

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Предложение 5:Пространство />является />— пространством.

Доказательство.

Рассмотрим два различных простых идеала />и Q. Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что />. Тогда r(P) содержит Q, но не содержит P, т.е. SpecLявляется />— пространством. ■

Теорема 6: Стоуново пространство />определяет полурешётку />с точностью до изоморфизма.

Доказательство.

Нужно показать, что две полурешётки />и />изоморфны тогда и только тогда, когда пространства />и />гомеоморфны.

/> Очевидно, если решётки изоморфны, то пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать.

/> Пусть />и />гомеоморфны (/>) и />. Тогда aопределяет компактное открытое множество r(a)/>.Множеству r(a) соответствует компактное открытое множество />, с однозначно определённым элементом />по лемме 4. Таким образом получаем отображение />: />, при котором />. Покажем, что />— изоморфизм решёток. Если a,b– различные элементы из />, то />, следовательно, />, поэтому />и />— инъекция.

Для произвольного />открытому множеству />соответствует />и очевидно />, что показывает сюръективность />.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Пусть a,b– произвольные элементы из />. Заметим, что />. Открытому множеству />при гомеоморфизме />соответствует открытое множество />, а />соответствует />. Следовательно, />=/>. Поскольку />=/>, то />, т.е. />■

Литература.

Биргкоф Г. Теория решёток. – М.: Наука, 1984.

Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982.

Чермных В.В. Полукольца. – Киров.: ВГПУ, 1997.