Реферат: Показательно-степенные уравнения и неравенства
белгородский государственный университет
КАФЕДРАалгебры, теории чисел и геометрии
Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.
Дипломная работастудента физико-математического факультета
Научный руководитель:
______________________________
Рецензент: _______________________________
________________________
Белгород. 2006 г.
Содержание.
Введение
3
Тема I.
Анализ литературы по теме исследования.
Тема II.
Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
I.1.
Степенная функция и ее свойства.
I.2.
Показательная функция и ее свойства.
Тема III.
Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Тема IV.
Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Тема V.
Опыт проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
V.1.
Обучающий материал.
V.2.
Задачи для самостоятельного решения.
Заключение.
Выводы и предложения.
Список используемой литературы.
Приложения
Введение.
«…радость видеть и понимать…»
А.Эйнштейн.
В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию — человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.
Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто состоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой
Мне довелось решать множество методических задач. Я попытаюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше — не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появляются новые вопросы.
Но еще важнее самого опыта — учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?
И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпитерами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда — с необходимостью — и учитель.
В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 – 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени – это показательно-степенные уравнения и неравенства.
В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.
Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.
Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению – следствию или неравенству – следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.
Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.
Таким образом тема, моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
Целями настоящей работы являются:
Проанализировать литературу по данной теме.
Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.
Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.
Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:
Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.
План дипломной работы:
Введение.
Глава I. Анализ литературы по теме исследования.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
II.2. Показательная функция и ее свойства.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
--PAGE_BREAK--Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.
Обучающий материал.
Задачи для самостоятельного решения.
Заключение. Выводы и предложения.
Список использованной литературы.
В I главе проанализирована литература по теме: «Решения показательно-степенных уравнений и неравенств».
В II главе теоретические сведения о степенной и показательной функциях и применение их свойств при решении показательно-степенных уравнений и неравенств, выявляются недостатки в понимании учащимися отрицательного аргумента показательно-степенной функции.
В III главе «Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных уравнений, рассмотрен алгоритм решения показательно-степенных уравнений и примеры, и примеры в которых он применяется.
В IV главе «Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных неравенств и рассмотрен план решения показательно-степенных неравенств и примеры, в которых он применяется.
В V главе рассматривается методика обучения учащихся решению показательно-степенных уравнений и неравенств, приведен обучающий материал, разработана система заданий с учетом разного уровня сложности, которая содержит в себе задания используемые на уроке, задания для самостоятельного решения.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
/>Степенная функция с натуральным показателем. Функция у = хn, где n— натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:
Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой у = kxn,где число kназывается коэффициентом пропорциональности.
Перечислим свойства функции у = kx.
Область определения функции — множество всех действительных чисел.
y= kx— нечетная функция (f( — х) = k( — х)= — kx= -k(х)).
/>3) При k> 0функция возрастает, а при k< 0убывает на всей числовой прямой.
График (прямая) изображен на рисунке II.1.
Рис. II.1.
При n=2получаем функцию y= х2,ее свойства:
Функция у —х2. Перечислим свойства функции у = х2.
Область определения функции — вся числовая прямая.
у = х2— четная функция (f( — х) = ( — x)2 = x2= f(х)).
На промежутке [0; + οο) функция возрастает.
В самом деле, если />, то />, а это и означает возрастание функции.
4) На промежутке (—оо; 0] функция убывает.
В самом доле, если />, то — х1> — х2 > 0, а потому
(—х1)2> ( — х2)2,т. е. />, а это и означает убывание функции.
/>Графиком функции y=х2является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.
Рис. II.2.
При n= 3 получаем функцию у = х3, ее свойства:
Область определения функции — вся числовая прямая.
y = х3 — нечетная функция (f( — х) = { — x)2= — х3= — f(x)).
/>3) Функция y= x3возрастает на всей числовой прямой. График функции y= x3изображен на рисунке. Он называется кубической параболой.
продолжение--PAGE_BREAK--
График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.
Рис. II.3.
Пусть n— произвольное четное натуральное число, большее двух:
n= 4, 6, 8,… .В этом случае функция у = хnобладаеттеми же свойствами, что и функция у = х2. График такой функции напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |n| >1тем круче идут вверх, чем больше n, а при />тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.
Пусть n— произвольное нечетное число, большее трех: n= = 5, 7, 9,…. В этом случае функция у = хnобладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.
Степенная функция с целым отрицательным показателем.Рассмотрим функцию у = х-n, где n— натуральное число. При n= 1 получаем у = х-nили у =/>Свойства этойфункции:
/>График (гипербола) изображен на рисунке II.4.
Пусть n— нечетное число, большее единицы,
n= 3, 5, 7,… .В этом случае функция у = х-nобладает в основном теми жесвойствами, что и функция у =/>График функции у = х-n(n= 3, 5, 7, ...)напоминает
Рис. II.4.
график функции у =/>. Пусть n— четное число, например п= 2. Перечислим некоторые свойства функции у = х-2, т. е. функции y= />.
Функция определена при всех х/>.
y =/>четная функция.
y = убывает на (0; +оо) и возрастает на (—оо;0).
Теми же свойствами обладают любые функции вида y= х-nпри четном n, большем двух.
График функции у = />изображен на рисунке. Аналогичный вид имеет график функции />, если n= 4, 6,… .
Функции вида />, />, />обладают теми же свойствами, как и функция />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Степенная функция с положительным дробным показателем.Рассмотрим функцию у = хr,где r — положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этойфункции.
Область определения — луч [0; + оо).
Функция ни четная, ни нечетная.
Функция у = хr возрастает на [0; +оо).
/>
Рис. II.5.
На рисунке II.5. изображен график функции />Он заключен между графиками функций у = х2и у = х3, заданныхна промежутке [0; + оо).
Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где />.
На том же рисункеизображен график функции />. Подобный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где />.
Степенная функция с отрицательным дробным показателем.Рассмотрим функцию у = х-r, где r— положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.
Область определения — промежуток (0; + оо).
Функция ни четная, ни нечетная.
Функция у = х-r убывает на (0; +оо).
Построим для примера график функции у — х/>таблицу значений функции:
/>
/>Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).
Подобный вид имеетграфик любой функции
у = хr, где r— отрицательная дробь.
Рис. II.6.
II. 2. Показательная функция и ее свойства.
/>Функция, заданная формулой вида у = ах, где а— некоторое положительное число, не равное единице, называется показательной.
Функция у = ах при а>1обладает следующими свойствами (см. рис. II.7.):
а) область определения — множество всех действительных чисел;
б) множество значений — множество всех положительных чисел;
Рис. II.7.
в) функция возрастает;
г) при х = 0значение функции равно 1;
д) если x> 0, то аx> 1;
е) если х < 0, то 0 < ах< 1.
3. Функция у = ахпри 0<а< 1 обладает следующими свойствами (см. рис. II.8.):
/>а) область определения D(f)=R;
б) множество значений E(f)=R+;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0,то 0 < ах < 1;
е) если х < 0, то ах > 1.
Рис. II.8.
продолжение--PAGE_BREAK--
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.
Так называются уравнения вида />, где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.
Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида />. Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х)не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То — есть все корни уравнения />будут корнями уравнения f(x) = g(x)Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0и дробных значениях f(x)и g(x) выражения а(х)f(x)и
а(х)g(x)теряют смысл. То — есть при переходе от />к f(x) = g(x)(при />и />могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.
Итак, для полного решения уравнения />рассматриваем случаи:
а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет
а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.
а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные), то это решение. В противном случае, нет
При />и />решаем уравнение f(x)= g(x)и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.
Примеры решения показательно-степенных уравнений.
Пример №1.
/>
Решение
x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 32 > 0, то x1 = 3 — это решение.
x – 3 = 1, x2= 4.
x – 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x3= 1.
x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x2, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)0 = (-3)0–верно это решение x4 = 0. При x = 1, (-2)1 = (-2)1 – верно это решение x5 = 1.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.
Пример №2.
/>
Решение
По определению арифметического квадратного корня: x– 1 ≥ 0, x≥ 1.
x– 1 = 0 или x= 1, />= 0, 00 это не решение.
x – 1=1 x 1=2.
x– 1 = -1 x2= 0 не подходит в ОДЗ.
/> = />
продолжение--PAGE_BREAK--
/> />
/>
/>
/>
Д= (-2) – 4*1*5 = 4 – 20 = -16 – корней нет.
Ответ: 2.
Пример №3.
/>
Решение
1) />= 0 решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2) />≠ 0 т.е. />. Тогда можем записать:
/>
3) />= 1. />= 0
/> и />
4) />= -1 х = 0 или х = 1. При х = 0 />= -1. (-1)-1≠ (-1). Это не решение. При х = 1 (-1)= (-1). Это решение х3= 1.
5) />≠ 0 и />≠ ±1 имеем />= 0, />= -1 или
/> = 1. Эти корни уже учтены.
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №4.
/>
Решение
При />решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
при />, />
/>, />.
/>, />.
/>, (-1)0 = (-1)это решение.
/>.
4) />и />
/>
/> или />
При />(-4)= 1 – верно. />
продолжение--PAGE_BREAK--
Ответ: -1, 2, 4.
Пример №5.
/>
Решение
1) />, />, />это не решение.
2) />, />и />.
3) отрицательных значений основание не имеет. При />и />, />, />,
х = 5, 315 = 315– верно. х3= 5,
х = 2 – не является решением.
Ответ: 1,3,5.
Пример №6
/>
Решение
1) />не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.
2) />. />или />.
3) отрицательных значений />не имеет.
4) При />, />
/>, т.к. />, то />. Проверка 2= 1 – верно. />
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №7
/>
Решение
1) />, />, />, />. Это решение />.
2) />, />.
3) />, />, />— четное и -3х – четное. Это решение. х2 = -4.
продолжение--PAGE_BREAK--
4) />и />, />, />, />, 4-3 = 4-3– верно. />.
Ответ: -4, -3, -2, 1
Пример №8
/>
Решение
ОДЗ: />, />
/>, />,
/> и />
/>
Все решения принадлежат уравнению />=2.
/>, />, />и />. Оба значения принадлежат к ОДЗ.
Ответ: -4, -1.
Пример №9
/>
Решение
ОДЗ:/>, />, />.
1) />решений не имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
При />, />или />,
/>ОДЗ, />ОДЗ.
Значит все решения содержатся в уровнении />= 0, />или />.
Проверка: />, 2= 1 – верно.
/>, />— верно.
Ответ: 0, 3/2.
Пример №10
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
Решение
1) />решений не дает, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2) При />, />, />. Все решения принадлежат уравнению />. />или />.
3) />, />и />.
Второе решение не подходит, т.к />, />. А />является решением />
Ответ: />, 2, 4.
Пример №11
/>
Решение
1) />, />, />и />это решение />.
2) />, />.
3) />, />, />— четное, />— нечетное. Это является решением.
4) />или />, />, />, />, />.
Проверка: />, />— верно.
Но />не является корнем!
продолжение--PAGE_BREAK--
Выражение (-1,5)52,5, которое получается при проверке не имеет смысла, т.к. степень отрицательно числа имеет смысл только для целых показателей. Равенство />= />только для />. Значит, отрицательное число можно возводить только в степень с целым показателем.
Ответ: -4, -2, -1.
Пример №12
/>
Решение
ОДЗ: />. Значит 0,1 и -1 отпадают.
/> и все решения содержатся в уравнении.
/>
/>, />, />
Ответ: 5.
Пример №13
/>
Решение
/>
1) />, />, />. Это решение />.
2) />, />, />.
3) отрицательных значений />не имеет.
При />или />все решения в уравнении />, />и />.
При />, />— верно. />.
Ответ: -1, 2, 3, 4.
Пример №14
/>
Решение
ОДЗ: />
При />решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
При />
/>
2) />, />и />. />— решение, а />.
продолжение--PAGE_BREAK--
3) />для всех />. При />и />все решения содержатся в уравнении />, />или />. При />, />.
При />, />— верно. />.
Ответ: 4, 5.
Пример №15.
/>, />
Решение
/>/>
используя свойства логарифма />и />получили:
/>= />
В первой части уравнения выполнили преобразования
/>. Получили уравнение />. Все решения содержатся в уравнении.
/> или />. />
Ответ: 2.
Пример №16
/>
Решение
ОДЗ: />
Преобразуем знаменатель дроби в правой части уравнения
/>; />.
/>, />, где />
1) />, />— верно.
2) />, />
Пасть />, тогда />
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
/>, />или />/>.
Следовательно; />или />, />, />.
Ответ: 1, 0,1, 0, 0,01.
Пример №17
/>
Решение
ОДЗ: />и />
Выполним преобразования.
/>+/>= 2+2
/>+/>= 4
Пусть />, а />, />
Следовательно, />или
/>, />
2*2t= 4 />
2t= 4/2 />
2t= 2
t= 1
Ответ: 2.
Пример №18
/>
Решение
ОДЗ: />
/>; />
Прологарифмируем обе части равенства:
/>
/>, где />.
Умножим обе части уравнения на 2.
/>
Пусть />, тогда />
/>
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
/>, />или />
1) />, />
/> или />
/> />
Ответ: 0.1, 10.
Пример №19
/>
Решение
ОДЗ: />/>
Обратите внимание />ниоткуда не следует! Наоборот, из ОДЗ видно, что />может быть отрицательным!
/>
/>, />
/> или />
Оба значения в ОДЗ.
Так как возводили в квадрат, корни надо проверить.
/>, />— верно.
/>, />— верно.
Ответ: -3, 3.
Пример №20
/>
ОДЗ: />
Возведем обе части уравнения в квадрат (т.к. они положительны, то посторонние корни не появляются)
/> или />
Прологарифмируем по основанию 10.
/>
/> или />
1) />или />
/>, />
Ответ: 0.01, 100.
Пример №21
/>
Решение
ОДЗ: />
Прологарифмируем по основанию 10.
/>, где />.
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
Пусть />, тогда:
/> умножим на 4
/>
/>, />
/>
/>, />или />
1) />
/>
2) />
/>
Ответ: 0,0001, 10.
Пример №22
/>
Решение
ОДЗ: />
/>
/>
Заменим: />, получим:
/>, где />.
Решаем уравнение: />
/>
/>; />или />
1) />; />; />. />.
2) />, />, />, />, />.
/>; />; />; />.
Ответ: 0,1, 1, 10.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пример №23
/>/>
/>
Решение
/> и />
/> \: />
/>
Подставим во второе уравнение вместо />число 5, получим:
/>
/> или />
составляем систему уравнений:
/>/>
/> />
/> />
/> />
/>
Ответ: (13;8)
Пример №24
/>
Решение
ОДЗ: />/>/>/>/>
/>; />
/>,
/>
/>; />или />
/>, />.
Ответ: 5.
Пример №25
/>
Решение
ОДЗ: />
Прологарифмируем правую и левую части данного уравнения по основанию 10:
Получим:
/> или />
Обозначив />, перепишем записанное уравнение в виде:
/>.
продолжение--PAGE_BREAK--
Решая его относительно />, находим />, />.
Используя обозначения />, из первого решения квадратного уравнения имеем />. Отсюда />. Используя решение />, получаем />. Преобразуем правую часть этого уравнения:
/>. Значит, />, т.е. />.
Ответ: 30, 100.
Пример №26
/>
Решение
Так как />, то при />и />имеем равносильное уравнение:
/> или />
/>.
/>, />
Ответ: 5.
Пример № 27
/>
Решение
ОДЗ: />
Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 10:
/>
/>
/>, />
/>
/>; />или />
1) />2) />
/> />
Ответ: 0.1, 100.
Пример №28
/>
Решение
ОДЗ: />
Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 3:
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
/> и />, поэтому
/>
/>
/>
Пусть />, тогда />
/> или />.
1) />
/>;
2) />
/>
Ответ: />, 3.
Пример №29
/>
Решение
1) />/>, т.к. 0 в любой степени не равен 1.
2) />= 1, />=1, />, />или
/>=-1, />, />.
Так как 1 в любой степени равна 1, то это решения.
3) />(т.к. />)
При />все решения принадлежат уравнению />. />или />.
При />/>/>= 0, что не удовлетворяет уравнению />
/>/>, />
Ответ: />, />.
продолжение--PAGE_BREAK--
/>, />.
/>, />.
Пример №30
/>
Решение
ОДЗ: />/>/>
/>= />
1) />, />, />.
2) Так как />, то остальные решения получаем из уравнения />: Отсюда />или />. />/>, />и />/>/>, />.
Ответ: />, -/>, />и />, />.
Пример №31
/>
Решение
/>
1) />или/>, />и />.Это решение. />.
2) />, />и />
продолжение--PAGE_BREAK--
3) Так как />, то />;
/>;
/>
/>
/>
/>; />. Это решение.
Ответ: />; 5; 3; 4.
Пример №32
/>
Решение
/> при всех />
/>
/>
1) />, />— решений нет.
2)/>. Потому при />левая часть равна единице, а правая нет. Это решение.
3) />;
/>;
/>;
/> ;
/>;
/>;
/>;
/> и />;
/>; />;
/>; />;
/>;
/>;
/> — решений нет.
Ответ: -3, 3.
Пример №33
Решить графически уравнение:
/>
Решение
У функции />Д(y): x> 0 и log2x> 0, т.е.,
x> 1. обл. определения х > 1.
А теперь: />/>(формула перехода к новому основанию и определение логарифма).
продолжение--PAGE_BREAK--
Тогда />(определение логарифма: />).
Так, что нужно только учитывать, что Д(у): x> 0.
Построим график функции (рис III.1).
/>
у
/>/>
/>
/>/>2
1
/>
0 1 4 х
Рис. III.1.
Ответ: (4; 2).
Пример №34
Решить систему уравнений:
/> />
Решение:
/>
По определению логарифма имеем:
/>/> /> /> /> /> />/> /> /> />.
Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х.
/> /> /> /> /> .
Из второго уравнения системы выразим учерез х:
/>, />
Тогда: />
Пусть />, />, Д = (-5)2-4*1*4 = 9, />, />или />.
1) />2) />
/> />
/> />
Д = (-3)2– 4*1*(-4) = 25 пусть />, тогда
/> />
продолжение--PAGE_BREAK--
/> или/>Д = (-1)2– 4*3*4 = -47<0
/> или />корней нет
(-1,-1) – удовлетворяет ОДЗ
(4,4) решение системы уравнений.
Ответ: (4, 4).
Пример №35
Решите систему уравнений:
/>
Решение.
/>
По определению логарифма имеем:
/> /> /> /> />
Основание логарифма может быть:
1) />(дробное)
/>
(-1, 0) – не удовлетворяет ОДЗ.
2) />
/>
Выполним преобразования:
/>
Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х:
/>,
/>, />,
/>
/> или />
Пусть />, тогда />
Д = (-)2-4*1*(-2) = 9
/> или />
/>
/>/>: (х+1)
/>
/>, где />
/>;
1) />
/> или />
/>
Решаем биквадратное уравнение
Примем />, тогда получим />
D= 32– 4*1*(-4) = 25
продолжение--PAGE_BREAK--
/>; />или />
а) />
б) />; />(не удовлетворяет ОДЗ)
/>
/>
/> — решение системы уравнений.
2) />
/>
/>
/>
/> или/>
/> — (не удовлетворяет ОДЗ)
D= (-1)2-4*4*3 = -47– корней нет.
Ответ: />. [ ]
Пример № 36
/>
Решение
Для любого х/>и />ОДЗэтого уравнения состоит из всех худовлетворяющих условию />, т.е. ОДЗесть множество всех х из промежутка />на этом множестве. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.
/> и />
Решаем ее.
/> />
/> />
/> />
/> принадлежат />. Они и являются решениями исходного уравнения.
Ответ: />.
Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Неравенства вида />(или меньше) при а(х)>0и />решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а(х) < 1при сравнении f(x)и g(x)знак неравенства меняется, а при а(х) > 1– сохраняется.
продолжение--PAGE_BREAK--
Самый сложный случай при а(х) < 0. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях хпоказатели f(x) и g(x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию
Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а(х) = 0или а(х) = 1(например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.
Пример 1.
Решить неравенство:
23x:+7 < 22x-1.
Решение.
Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: Зх + 7 < 2х — 1. Решив это неравенство, получим х< -8.
Ответ:-8.
Пример 2.
Решить неравенство:
/>
Решение.
Так как 625 = 252= />, то заданное неравенство можно записать в виде />
Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла 5х — х2— 8 = -2. Имеем последовательно
/>,
/>,
/>,
/>.
Решив последнее неравенство, получим 2 />х />3.
Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].
Ответ: [2; 3].
Пример 3.
Решим неравенство
0,57-Зх < 4.
Решение
Пользуясь тем, что 0,5 -2= 4, перепишем заданное неравенство в виде
0,57-Зх < 0,5-2. Показательная функция y= 0,5xубывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству 7 – Зх > — 2, откуда х < 3.
Ответ: ( — оо; 3).
Пример 4.
Решим неравенство
/>
Показательная функция y= 6x возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х2+ 2x> 3, решая которое, получим: (-оо; -3)
и (1; оо).
Ответ: (-оо; -3) и (1; оо).
Пример 5.
Решим неравенство:
/>
Сделаем замену />, тогда />и неравенство перепишется в виде />, откуда />. Следовательно, решением данного неравенства являются числа х, удовлетворяющие неравенствам />, и только такиечисла. Но />, />, а функция />убывает,
продолжение--PAGE_BREAK--
поскольку />< 1. Поэтому решением неравенств />будут числа х, удовлетворяющие неравенствам — 2 < х < 1.
Ответ: ( -2; 1).
Пример 6.
/>
Решение
1) />/>/>/>
/>/>/>/>/>
/>
/>/>/> 2 3 />/>10
Изобразим на числовом луче
Должны выполняться все три неравенства, т.к. это система. Но при />взятое не выполняется. Решений нет.
2) />/>/>
/>Изобразим на числовом луче
/>
/>/>
/> /> 10
Если />, то />
/> -решение системы неравенств.
Остальные случаи не дают решений, т.к. />или 1 не удовлетворяют условию, а при />т.е. />получаем отрицательные числа с дробными показателями степени.
Ответ: />
Пример 7
/>
Решение
При />, х = 2,5 или х= -1
При />или />можно записать />.
продолжение--PAGE_BREAK--
/>/>/>
При />второе неравенство не выполняется. Система решений не имеет.
Изобразим на числовом луче решение системы неравенств
/>/>/>
/>/>/> -1 2,5 />3
Система не имеет решений.
2)/>/>/>
Изобразим на числовом луче решение системы неравенств
/>/>/>
/>
/>решение системы неравенств.
3) />, />— выражение />имеет смысл тогда, когда х –3 – целое число, чтобы показатель х– 3 был целым числом. Таким образом х– целое число в промежутке (-1; 2,5) т.е. хможет принимать значения 0,1,2.
Проверка:
При />— верно.
При />— верно.
При />— верно.
4) />, х2= 2,5 и х1= -1
При х = -1 – не имеет смысла выражение 0-4.
При х = 2,5, 02,5– не имеет смысла.
5) />
/>; />
При />; />— верно.
При />; />— верно.
Ответ: />/>/>или />.
Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками
по данной теме.
Анализируя опыт проведения занятий по решению показательно-степенных уравнений и неравенств с учащимися в старших классах я пришла к выводу, что недостаточно времени уделяется на решения заданий и упражнений по данной теме. Всего в школьном курсе на изучение математики отводится 850 часов, из них на решение всех уравнений и неравенств всего лишь 12% учебного времени, а на решение показательно-степенных уравнений и неравенств вообще ничтожное количество часов. Однако, используя факультативные занятия в старших классах, кружковую работу, элективные курсы можно значительно увеличить возможность учащихся реализовать себя, усилить их подготовку к выпускным и вступительным экзаменам.
продолжение--PAGE_BREAK--
Проводя занятия с учащимися я стараюсь больше внимания уделять решению конкретных заданий и упражнений, на основе чего строю алгоритм решения и создаю модель решения заданий одного вида или похожих между собой
Задачи для самостоятельного решения.
Решить уравнения.
1. />Ответ: />.
2. />Ответ: 2.
3. />Ответ: 7; 14.
4. />Ответ: />.
5. Найдите произведение корней уравнения
/> Ответ: />.
6. />Ответ: />.
7. />Ответ: />.
8. />Ответ: />.
9. />Ответ: />
10. />Ответ: />.
11. />Ответ: 2; 3; 4; 11.
12. />Ответ: />.
13. />Ответ: />.
14. />Ответ: -2; 0; 2.
15. />Ответ: 1; 4; 5.
16. />Ответ: нет решений.
17. />Ответ: 1; 10; 10-3.
18. />Ответ: 1; 8.
19. />Ответ: -1; 1; 2.
20. />Ответ: />.
продолжение--PAGE_BREAK--
21. />Ответ: 2; 10-1; 10-3.
22. />Ответ: 0; 3.
23. />Ответ: 0.
24. />Ответ: />.
25. />Ответ: />.
26. />
Ответ: />.
27. />Ответ: />.
28. />
Ответ: />.
29. />Ответ: />.
30. />Ответ: />.
31. />
Ответ: />.
32. />
Ответ: />.
33. />
Ответ: />.
34./>Ответ: 0; 1.
35. />Ответ: 1; 3.
36. />Ответ: 0; 1; 5.
37. />Ответ: 0; 5; 4.
38. />
Ответ: />.
39. />Ответ: />.
продолжение--PAGE_BREAK--
40. />Ответ: />.
41. />Ответ: />.
42. />Ответ: />.
43. />Ответ: 1; 0,1; 0,01.
44. />
45. />Ответ: -2; -1; 3.
46. />Ответ: -2; 0,6.
47. />Ответ: />.
48. />Ответ: -4; -3,5; -2; -1.
49. />Ответ: -0,2; 0,5; 1; 3.
50. />Ответ: -2; 0,6.
Решить системы уравнений
1. />Ответ: />.
2. />Ответ: (5;-1).
3. />Ответ: />.
4. />Ответ: />.
5. />Ответ: />.
6. />Ответ: />.
7. />Ответ: />.
8. />Ответ: />.
9. />Ответ: />.
10. />Ответ: />.
продолжение--PAGE_BREAK--
11. />
Ответ: />.
12. />Ответ: />.
13. />
Ответ: />.
14. />
15. />
16. />
17. />
Ответ: />.
18. />
Ответ: />.
19. />
Ответ: />.
20. />Ответ: />.
21. />Ответ: />.
22. />Ответ: />.
23. />Ответ: />.
Решить неравенства.
1. />
Ответ: если />, то />если />то />.
2. />Ответ: />.
3. />Ответ: />.
4. />Ответ: />.
продолжение--PAGE_BREAK--
5. />Ответ: />.
6. />Ответ: />.
7. />Ответ: />.
8. />Ответ: />.
9. />Ответ: />.
10. />Ответ: />.
11. />Ответ: />.
12. />Ответ: />.
13. />Ответ: />.
14. />Ответ: />.
15. />Ответ: />.
16. />Ответ: />.
17. />Ответ: />.
18. />Ответ: />.
19. />Ответ: />.
20. />Ответ: />.
21. />Ответ: />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Заключение.
Подводя итоги данного дипломного исследования, можно сделать следующие выводы:
Показательно-степенные уравнения и неравенства представляют интерес для их изучения и использования в курсах школьной математики и элементарной математики в ВУЗе. Между тем, почти во всех пособиях они, если и рассматриваются, то не полно или не точно.
Для этого вида уравнений и неравенств может быть предложен алгоритм решения. Наибольшие трудности могут встретиться при решении показательно-степенных уравнений и неравенств в случае, когда основание степени отрицательно.
Проведенные по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства» на уроках и факультативных занятия в школе показали доступность этой темы для учеников, интересующихся математикой. Для таких занятий изготовлен задачник, содержащий более 70 показательно-степенных уравнений и неравенств.
Мое предложение – больше уделять времени решению показательно-степенных уравнений и неравенств, т.к. это поможет учащимся успешно сдать ЕГЭ и вступительные экзамены в ВУЗы.
Материал, приведенный в данной работе может служить методическим пособием в работе с учащимися на уроках и факультативах.
Список используемой литературы.
Авербух Б.Г., Рубинштейн А.И. Об определении степени и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно степенную функцию.//Математика в школе. – 1996.-№2.-с.29-33.
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений: Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудинцын Ю.П. и др.; Под редакцией Колмагорова А.Н. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2002.
Белоненко Т.В., Васильев А.Е., Васильева Н.И., Крымская.Д. Сборник конкурсных задач по математике. – СПб.: Спецлитература, 1997.
Василенко Ю.К. Тождества, уравнения, неравенства: Пособие для повышения квалификации учителей математики. – Белаидит. Белгород, 2003.
Василюк Л.И., Куваева Л.А. Математика для абитуриентов: Справочник в экзаменационных вопросах и ответах. – Мн. Амалфея, 1999.
Давыденко И.О. Пособие по математике. Для поступающих в высшие учебные заведения (с анализом ошибок абитуриентов).- 2-е изд. – Томск, из-во Томского университета, 1973.
Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 2000.
Дудинцын Ю.П., Смирнова В.К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1995.
Единый государственный экзамен: Математика: Контрольно-измерительные материалы./ Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков6 под редакцией Ковалевой Г.С; М-во образования Российской Федерацию – М.: Просвещение, 2003.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. — М.: Просвещение, 1993.
Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х.; под редакцией Яковлева Г.Н… Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- 2-е изд.- М.: Наука, 1985.
Математика. Методические указания по подготовке к вступительным экзаменам./ СПбГИТМО. – СПб., 2000.
Нараленков М.И. Вступительные экзамены по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие. – М.: Экзамен, 2003.
Норин А.В. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – Спб.: Питер, 2003.
Потапов М.К., Олейник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. – 2-е изд. – М.: Физмалит, 2001.
Потапов М.К., Александров А.В., Пасиченко П.И. Алгебра и начала анализа. Современный курс для поступающих в ВУЗы. – М.: Экзамен, 1998.
Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы./ Под ред. Проф. Прилепко А.И. – М.: Высшая школа, 1983.
Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Элельман А.Г. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991.
Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. — М.: Просвещение, 1988.
Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник пособие по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука. ГРФМЛ, 1984.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзаменам. – М.: Рольф, 1997.
Шарыгин И.Ф. Математика. Для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – 4-е изд. –М.: Дрофа, 2002.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995.
Шахно К.У. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности: Высшая школа, 1967.
Якушева Е.В., Попов А.В., Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начало анализа 9 и 11 выпускные классы: Учебное пособие.- М.: АСТ-Пресс, 2000.