Реферат: Рішення ірраціональних рівнянь

--PAGE_BREAK--2. Стандартні ірраціональні рівняння
Як правило, у шкільному курсі розгляд ірраціональних рівнянь зводиться до розбору декількох нескладних прикладів. Вони в більшості випадків вирішуються введенням у квадрат лівої й правої частин рівняння. Після рішення обов'язково виконується перевірка. Не звертається увага на те, що ірраціональні рівняння можуть вирішуватися й з використанням поняття рівносиль. У даному параграфі представлені різні види ірраціональних рівнянь, які можна віднести до стандартного й вирішувати одним з наступних методів, а саме:

1) метод переходу до рівняння — наслідку з наступною перевіркою отриманих корінь;

2) метод рівносильного переходу до рівняння або до змішаної системи;

3) метод введення нової змінної.
2.1 Рівняння виду <img width=«163» height=«27» src=«ref-1_1409676572-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">


Приклад 1.Вирішити рівняння <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1409676928-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">.

Рішення. Зведемо обидві частини вихідного рівняння у квадрат.<img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1409677095-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">.

Відповідь: {6}.

Приклад 2.Вирішити рівняння <img width=«120» height=«25» src=«ref-1_1409677271-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">.

Рішення. У лівій частині вихідного рівняння коштує арифметичний квадратний корінь — він по визначенню ненегативний, а в правій частині — негативне число.

Отже, рівняння не має кореня.

Відповідь:<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1409651365-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> .

Запишемо рівносиль, за допомогою якої вирішуються рівняння даного виду.

<img width=«168» height=«27» src=«ref-1_1409677595-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> , якщо <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1409677936-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> й не має рішення, якщо <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1409678056-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">.

Приклад 3.Вирішити рівняння <img width=«80» height=«24» src=«ref-1_1409678175-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">.

Рішення. Зведемо обидві частини вихідного рівняння в куб.

<img width=«68» height=«18» src=«ref-1_1409678350-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">; <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_1409678485-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">.

Відповідь: {-5}.

Запишемо рівносиль, за допомогою якої вирішуються рівняння даного виду: <img width=«188» height=«27» src=«ref-1_1409678602-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">.
2.2 Рівняння виду <img width=«112» height=«27» src=«ref-1_1409678965-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">
Досить часто при рішенні рівнянь даного виду учні використовують наступне формулювання властивості добутку «Добуток двох співмножників дорівнює нулю, коли хоча б один з них дорівнює нулю». Помітимо, що формулювання властивості добутку повинна виглядати в такий спосіб: « добуток двох співмножників дорівнює нулю, коли хоча б один з них дорівнює нулю, а іншої при цьому має сенс».

Запишемо рівносиль, за допомогою якої вирішуються рівняння даного виду:
<img width=«112» height=«27» src=«ref-1_1409678965-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"><img width=«100» height=«75» src=«ref-1_1409679507-500.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">
Приклад 1.Вирішити рівняння <img width=«156» height=«45» src=«ref-1_1409680007-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">.


Рішення.<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1409651139-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">
<img width=«156» height=«45» src=«ref-1_1409680007-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"><img width=«223» height=«128» src=«ref-1_1409680850-1182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">.
Відповідь: {-2;6}.

Приклад 2. Вирішити рівняння <img width=«195» height=«45» src=«ref-1_1409682032-468.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">.

Рішення. У цьому випадку рівняння не має виду, зазначеного в заголовку. Отже, його необхідно перетворити. Але спочатку знайдемо ОПЗ змінної <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1409650215-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">.
ОПЗ:<img width=«334» height=«81» src=«ref-1_1409682584-1207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1409651139-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"><img width=«12» height=«71» src=«ref-1_1409683864-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">
Перетворимо рівняння до виду <img width=«116» height=«27» src=«ref-1_1409683937-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">
<img width=«500» height=«53» src=«ref-1_1409684209-1111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">
При рішенні рівняння учні часто необґрунтовано ділять обидві частини рівняння на вираження, що містить невідоме (у цьому випадку, на <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_1409665645-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">), що приводить до втрати кореня й придбанню «стороннього». Подібні рівняння, що містять в обох частинах загальний множник, варто вирішувати переносом всіх членів в одну частину й розкладанням отриманого вираження на множники.<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1409651139-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">


<img width=«195» height=«51» src=«ref-1_1409685538-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"><img width=«219» height=«51» src=«ref-1_1409686081-574.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"><img width=«156» height=«144» src=«ref-1_1409686655-858.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">
Вирішимо кожне рівняння із сукупності.
<img width=«62» height=«41» src=«ref-1_1409687513-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">; <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_1409687714-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">.

<img width=«132» height=«44» src=«ref-1_1409687832-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1409651139-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"><img width=«120» height=«27» src=«ref-1_1409688220-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">                                                   (1).
З огляду на, що ОПЗ: <img width=«53» height=«48» src=«ref-1_1409688471-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> одержуємо, що рівняння (1) рівно сильно сукупності: <img width=«180» height=«107» src=«ref-1_1409688694-826.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">

<img width=«115» height=«21» src=«ref-1_1409689520-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">. Тоді <img width=«51» height=«22» src=«ref-1_1409689736-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">, <img width=«48» height=«41» src=«ref-1_1409689868-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> не задовольняє умові <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_1409690030-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">

<img width=«116» height=«21» src=«ref-1_1409690153-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215"><img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1409690366-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">, дане рівняння не має корінь.

Отже, сукупність прийме наступний вид: <img width=«60» height=«48» src=«ref-1_1409690490-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">

Повернемося до системи: <img width=«68» height=«100» src=«ref-1_1409690725-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">

Відповідь: {-3;6}.




2.3 Ірраціональні рівняння, які вирішуються введенням нової змінної
При рішенні різних видів рівнянь: раціональних, тригонометричних, показових часто використовується метод введення нової змінної. Нова змінна в рівняннях іноді дійсно очевидна, але іноді її важко побачити, а можна виявити тільки лише в процесі яких або перетворень. Буває корисно ввести не одну, а дві змінні. Бачимо типові випадки введення нових змінних в ірраціональних рівняннях.

Приклад 1.Вирішити рівняння <img width=«152» height=«36» src=«ref-1_1409691176-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">

Рішення. Уведемо нову змінну. Нехай <img width=«83» height=«36» src=«ref-1_1409691477-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">, <img width=«80» height=«36» src=«ref-1_1409691681-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">, де <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1409677936-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">. Одержуємо, що <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1409692003-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> <img width=«92» height=«21» src=«ref-1_1409692162-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">.Тоді <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_1409692335-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">- не задовольняє умові <img width=«88» height=«23» src=«ref-1_1409692468-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">

Виконаємо зворотну заміну. <img width=«220» height=«36» src=«ref-1_1409692654-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">

Відповідь:{34}.

Приклад 2.Вирішити рівняння <img width=«228» height=«27» src=«ref-1_1409693022-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">

Рішення. Самота радикала й введення в ступінь обох частин рівняння привело б до громіздкого рівняння. У той же час, якщо виявити деяку спостережливість, то можна помітити, що дане рівняння зводитися до квадратного. Дійсно, помножимо обидві частини заданого рівняння на 2, одержимо, що <img width=«232» height=«27» src=«ref-1_1409693408-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> <img width=«223» height=«27» src=«ref-1_1409693802-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> <img width=«271» height=«27» src=«ref-1_1409694174-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> <img width=«259» height=«27» src=«ref-1_1409694599-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">

Уведемо нову змінну. Нехай <img width=«164» height=«27» src=«ref-1_1409695023-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> Одержуємо, що <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_1409695329-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">. Тоді <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1409695531-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">  — не задовольняє умові <img width=«38» height=«21» src=«ref-1_1409695669-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">, <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1409695797-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">

Виконаємо зворотну заміну. <img width=«259» height=«28» src=«ref-1_1409695933-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> <img width=«116» height=«21» src=«ref-1_1409696344-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> Тоді <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_1409696553-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">, <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1409696684-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">

Так як вихідне рівняння рівносильне рівнянню <img width=«124» height=«27» src=«ref-1_1409696831-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> те перевірка отриманих корінь не потрібна.

Відповідь: {-2;3,5}.

Приклад 3.Вирішити рівняння <img width=«168» height=«47» src=«ref-1_1409697081-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">

Рішення. Перетворимо дане рівняння. <img width=«160» height=«45» src=«ref-1_1409697492-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1409651139-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">

Уведемо нову змінну. Нехай, <img width=«84» height=«45» src=«ref-1_1409697968-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> а <img width=«124» height=«45» src=«ref-1_1409698224-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> Одержуємо, що <img width=«152» height=«41» src=«ref-1_1409698549-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">. Тоді <img width=«53» height=«41» src=«ref-1_1409698851-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">- не задовольняє умові <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1409699016-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">.

Виконаємо зворотну заміну. <img width=«275» height=«45» src=«ref-1_1409699183-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">.
2.4 Рівняння виду <img width=«131» height=«27» src=«ref-1_1409699693-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">, <img width=«161» height=«27» src=«ref-1_1409699987-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">,<img width=«213» height=«27» src=«ref-1_1409700345-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">
Дані рівняння можна вирішити за допомогою основного методу рішення ірраціональних рівнянь (введення у квадрат обох частин рівняння), але іноді їх можна вирішити й іншими методами.

Розглянемо рівняння <img width=«131» height=«27» src=«ref-1_1409699693-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> (1). Нехай <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1409657875-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">  — корінь рівняння (1). Тоді справедливо числова рівність <img width=«131» height=«27» src=«ref-1_1409699693-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">. Знайдемо різницю чисел <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_1409701473-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> і <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1409701611-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">, позначивши її <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1409701750-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">, і запишемо дану рівність у вигляді <img width=«300» height=«28» src=«ref-1_1409701890-808.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> (2).

Використовуючи, що <img width=«144» height=«28» src=«ref-1_1409702698-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">, запишемо рівність (2) у вигляді <img width=«171» height=«28» src=«ref-1_1409703013-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">. Дана рівність означає, що число <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1409657875-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> є корінь рівняння <img width=«200» height=«41» src=«ref-1_1409703466-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> (3).

Таким чином, рівняння (3) є наслідком рівняння (1). Складаючи ці два рівняння й множачи отримане рівняння на а, одержимо рівняння<img width=«196» height=«27» src=«ref-1_1409703923-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> (4), що також є наслідком рівняння (1). Звівши рівняння (4) у квадрат і вирішивши отримане рівняння, потрібне виконати перевірку знайдених корінь, тобто перевірити, чи є його коріння коріннями рівняння (1).

Зауваження. Відзначимо, що точно також доводиться, що рівняння (4) є наслідок рівняння <img width=«129» height=«27» src=«ref-1_1409704299-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">.

Приклад 1.Вирішити рівняння <img width=«224» height=«27» src=«ref-1_1409704584-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> (5).

Рішення. Різниця підкореневих виражень <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_1409704965-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> і <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_1409705139-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> є
<img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1409705313-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">. <img width=«431» height=«61» src=«ref-1_1409705439-1316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">,
те рівняння <img width=«267» height=«41» src=«ref-1_1409706755-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">(6) є наслідком вихідного рівняння. Тоді, складаючи рівняння (5) і (6), одержимо рівняння <img width=«168» height=«41» src=«ref-1_1409707260-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274"> (7), що також є наслідком вихідного рівняння (5). Зведемо обидві частини рівняння (6) у квадрат, одержимо рівняння <img width=«188» height=«44» src=«ref-1_1409707629-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> (8), що також є наслідком вихідного рівняння. Вирішуючи рівняння (8), одержуємо, що <img width=«55» height=«41» src=«ref-1_1409708021-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">, <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_1409708201-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">

Перевіркою переконуємося, що обоє цих числа є коріннями вихідного рівняння.

Відповідь:<img width=«53» height=«45» src=«ref-1_1409708333-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> .

Зауваження. Рівняння виду <img width=«177» height=«27» src=«ref-1_1409708569-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> можна вирішувати множенням обох частин рівняння на деяке вираження, що не приймає значення нуль (на сполучене лівій частині рівняння тобто <img width=«160» height=«27» src=«ref-1_1409708923-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">

Приклад 2.Вирішити рівняння <img width=«217» height=«27» src=«ref-1_1409709261-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"> (8).

Рішення. <img width=«107» height=«24» src=«ref-1_1409709647-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">, те помножимо обидві частини рівняння на вираження <img width=«196» height=«27» src=«ref-1_1409709873-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">, що є сполученим лівої частини рівняння (8). <img width=«233» height=«31» src=«ref-1_1409710243-681.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> <img width=«196» height=«27» src=«ref-1_1409709873-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">. Після приведення подібних доданків одержуємо рівняння <img width=«221» height=«27» src=«ref-1_1409711294-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> (9), рівносильне вихідному, тому що рівняння <img width=«221» height=«27» src=«ref-1_1409711687-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">дійсних корінь не має. Складаючи рівняння (8) і (9) одержуємо, що <img width=«357» height=«28» src=«ref-1_1409712083-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">. Тоді <img width=«107» height=«41» src=«ref-1_1409712619-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1409651139-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">

Відповідь:<img width=«53» height=«45» src=«ref-1_1409712928-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"> .

Зауваження. Також рівняння виду <img width=«131» height=«27» src=«ref-1_1409699693-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> можна вирішувати за допомогою ОПЗ рівняння й рівносильних переходів від одних рівнянь до інших.

Приклад 3.Вирішити рівняння <img width=«132» height=«24» src=«ref-1_1409713449-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">

Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.

ОПЗ:<img width=«59» height=«48» src=«ref-1_1409713698-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> Отже, <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_1409713935-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">

На ОПЗ обидві частини рівняння позитивні, тому після введення у квадрат одержимо рівняння: <img width=«231» height=«27» src=«ref-1_1409714059-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">, рівносильне для <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1409714470-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> рівнянню


<img width=«459» height=«27» src=«ref-1_1409714592-716.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">
Іноді рішення рівняння можна знайти, вирішуючи його на різних числових проміжках.

Для кожного <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1409715308-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">маємо <img width=«112» height=«21» src=«ref-1_1409715436-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">, а <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1409715660-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">. Отже, серед <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1409715308-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">немає рішень рівняння <img width=«155» height=«27» src=«ref-1_1409715964-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">.

Для <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_1409716265-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"> маємо <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1409716424-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">. Отже, <img width=«176» height=«27» src=«ref-1_1409716603-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"><img width=«160» height=«24» src=«ref-1_1409716935-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> для <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_1409716265-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">. <img width=«473» height=«24» src=«ref-1_1409717385-667.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">. Тоді <img width=«56» height=«41» src=«ref-1_1409718052-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">. Так як <img width=«97» height=«41» src=«ref-1_1409718247-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">, те <img width=«32» height=«41» src=«ref-1_1409718511-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> є коренем рівняння <img width=«140» height=«27» src=«ref-1_1409718671-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">, рівносильному рівнянню <img width=«160» height=«24» src=«ref-1_1409716935-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> для цих х.

Відповідь: <img width=«48» height=«45» src=«ref-1_1409719244-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">.

Приклад 4.Вирішити рівняння <img width=«136» height=«24» src=«ref-1_1409719480-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">

Рішення. Перетворимо вихідне рівняння. <img width=«135» height=«24» src=«ref-1_1409719741-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">

Зведемо обидві частини даного рівняння у квадрат.
<img width=«471» height=«25» src=«ref-1_1409719994-615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">
Перевірка показує, що 5 є коренем вихідного рівняння.

Зауваження. Іноді значно простіше можна вирішувати рівняння виду <img width=«131» height=«27» src=«ref-1_1409720609-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">, якщо скористатися властивостями монотонності функцій, а саме тим, що сума двох зростаючих функцій є зростаючою функцією, і всяка монотонна функція кожне своє значення приймає, лише при одному значенні аргументу. Дійсно, функції <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_1409720902-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> й <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_1409721089-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">- зростаючі. Отже, їхня сума — зростаюча функція.

Виходить, вихідне рівняння, якщо має корінь, те тільки один. У цьому випадку, з огляду на, що <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1409721252-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">, підбором легко знайти, що 5 є коренем вихідного рівняння.

Приклад 5.Вирішити рівняння <img width=«203» height=«27» src=«ref-1_1409721366-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">

Рішення. Якщо обидві частини вихідного рівняння піднести до квадрата, то вийде досить складне рівняння. Надійдемо по-іншому: перетворимо рівняння до виду:
<img width=«436» height=«62» src=«ref-1_1409721720-952.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">
Вирішимо нерівність системи.
<img width=«191» height=«27» src=«ref-1_1409722672-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"><img width=«113» height=«28» src=«ref-1_1409722951-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"><img width=«609» height=«85» src=«ref-1_1409723189-1677.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">
Рішенням системи є множина:
<img width=«285» height=«25» src=«ref-1_1409724866-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">.
Вирішимо рівняння системи.
<img width=«497» height=«144» src=«ref-1_1409725380-1993.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">


Переконуємося, що 2 належить множині рішень нерівності (мал.1).

Зауваження. Якщо вирішувати дане рівняння введенням обох частин у квадрат, то необхідно виконати перевірку. 2 — ціле число, тому при виконанні перевірки труднощів не виникають. А що стосується значення <img width=«76» height=«41» src=«ref-1_1409727373-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">, то підстановка його у вихідне рівняння приводить до досить складних обчислень. Однак такої підстановки можна уникнути, якщо помітити, що при цьому значенні права частина рівняння <img width=«167» height=«27» src=«ref-1_1409727596-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331"> приймає негативне значення: <img width=«139» height=«45» src=«ref-1_1409727912-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">. Тоді як ліва частина рівняння негативної бути не може. Таким чином, <img width=«52» height=«41» src=«ref-1_1409728300-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">не є коренем рівняння — наслідку даного рівняння. Тим більше, це значення не може бути коренем вихідного рівняння. Отже, корінь рівняння — число 2.

Приклад 6.Вирішити рівняння <img width=«229» height=«27» src=«ref-1_1409728492-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">

Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.
ОПЗ: <img width=«233» height=«77» src=«ref-1_1409728872-802.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335"> 
Отже, <img width=«76» height=«19» src=«ref-1_1409729674-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">

Для будь-яких значень <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1409650215-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337"> із ОПЗ, що задовольняють умові <img width=«84» height=«19» src=«ref-1_1409729908-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">, тобто для <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1409650215-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339"> із проміжку <img width=«72» height=«19» src=«ref-1_1409730152-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340"> ліва частина рівняння негативна, а перша – ненегативна, виходить, жодне із цих <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1409650215-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341"> рішенням рівняння бути не може.

Нехай <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1409730382-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">. Для таких <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1409650215-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343"> обидві частини рівняння ненегативні, і тому воно рівносильне на цій множині рівнянню:
<img width=«251» height=«27» src=«ref-1_1409730610-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">.


Уведемо нову змінну. <img width=«165» height=«28» src=«ref-1_1409731016-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">. Одержуємо, що <img width=«179» height=«24» src=«ref-1_1409731314-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">. Тоді <img width=«89» height=«25» src=«ref-1_1409731605-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">  — не задовольняє умові <img width=«34» height=«18» src=«ref-1_1409731793-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">, <img width=«93» height=«25» src=«ref-1_1409731905-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">.

Виконаємо зворотну заміну.
<img width=«181» height=«27» src=«ref-1_1409732104-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">; <img width=«197» height=«24» src=«ref-1_1409732426-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">; <img width=«159» height=«24» src=«ref-1_1409732752-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">

<img width=«209» height=«25» src=«ref-1_1409733030-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">.
Тоді <img width=«133» height=«29» src=«ref-1_1409733392-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">- не задовольняє умові <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1409730382-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">,
<img width=«139» height=«29» src=«ref-1_1409733816-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">
Відповідь: <img width=«111» height=«29» src=«ref-1_1409734108-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">.

Приклад 7.Вирішити рівняння <img width=«164» height=«24» src=«ref-1_1409734520-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">

Рішення. Знайдемо ОПЗ змінної х.
ОПЗ: <img width=«67» height=«75» src=«ref-1_1409734835-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"> 
Отже, що <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1409735175-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">

Легко бачити, що <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1409735296-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">, тому що <img width=«57» height=«24» src=«ref-1_1409735414-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">.

Розділимо обидві частини рівняння на <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1409735577-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">. Одержуємо, що
<img width=«148» height=«47» src=«ref-1_1409735692-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">


Перетворимо <img width=«153» height=«45» src=«ref-1_1409736106-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">. Уведемо нову змінну. Нехай <img width=«103» height=«47» src=«ref-1_1409736504-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">, а <img width=«64» height=«41» src=«ref-1_1409736785-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">. Тоді рівняння прийме вид: <img width=«129» height=«27» src=«ref-1_1409736972-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">; <img width=«128» height=«27» src=«ref-1_1409737242-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">; <img width=«135» height=«24» src=«ref-1_1409737507-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">: <img width=«93» height=«21» src=«ref-1_1409737765-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">. Тоді <img width=«37» height=«23» src=«ref-1_1409737950-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">- не задовольняє умові <img width=«32» height=«19» src=«ref-1_1409738070-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">, <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1409738179-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">. Виконаємо зворотну заміну.
<img width=«264» height=«47» src=«ref-1_1409738306-547.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">
Відповідь: <img width=«39» height=«45» src=«ref-1_1409738853-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">.

Приклад 8.Вирішити рівняння <img width=«256» height=«24» src=«ref-1_1409739056-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">

Рішення. Перетворимо вихідне рівняння.<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1409651139-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">
<img width=«256» height=«24» src=«ref-1_1409739557-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">
Зведемо обидві частини отриманого рівняння у квадрат.
<img width=«476» height=«56» src=«ref-1_1409739973-1264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> 
Тоді <img width=«121» height=«23» src=«ref-1_1409741237-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">

Отже, перевірка показує, що -1,2 — не є коренем вихідного рівняння, а 3 — є.

Зауваження. Дане рівняння можна вирішувати й за допомогою рівносильних переходів, але тоді його рішенні буде набагато складніше, ніж наведене вище.

Відповідь: {3}.

Приклад 9.Вирішити рівняння <img width=«353» height=«27» src=«ref-1_1409741440-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">

Рішення. Помітимо, що всі квадратні тричлени позитивні відносно <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1409650215-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383"> <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1409742074-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">. Перепишемо рівняння у вигляді:
<img width=«353» height=«27» src=«ref-1_1409742223-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">
Позначимо для стислості підкореневі вираження через <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1409742762-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386"> відповідно. Помножимо й розділимо ліву й праву частину рівняння на сполучені співмножники. Одержуємо, що
<img width=«441» height=«89» src=«ref-1_1409742928-1787.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">
Повернемося до рівняння.
<img width=«487» height=«58» src=«ref-1_1409744715-1177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">
Друге рівняння сукупності рішень не має, оскільки обидва знаменники позитивні. Отже, <img width=«51» height=«19» src=«ref-1_1409745892-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">

Зауваження. Також рішення даного рівняння можна знайти, досліджуючи його на різних числових проміжках.

Спочатку виділимо <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_1409746011-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390"> й <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1409746145-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391"> відповідно в кожному з підкореневих виражень у правій частині рівняння.
<img width=«456» height=«51» src=«ref-1_1409746289-1055.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">


Отже, вихідне рівняння має вигляд:
<img width=«429» height=«29» src=«ref-1_1409747344-671.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">
Позначимо для стислості підкореневі вираження через <img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1409748015-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">, <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409748150-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">, <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1409748285-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396"> і <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409748150-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397"> відповідно. Так як вираження <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1409748556-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398"> звертається в нуль при <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1409662910-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">, те розглянемо рішення даного рівняння при <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1409748780-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">, <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1409748899-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401"> і <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1409662910-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">.

Якщо <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1409748780-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">, то <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1409748285-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">><img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1409748015-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">, <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409749521-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">><img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409748150-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407"><img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1409749791-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408"><img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1409748285-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409"> +<img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409749521-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410"> ><img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1409748015-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411"> +<img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409748150-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412"> .

Отже, при <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1409748780-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"> вихідне рівняння не має корінь.

Якщо <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1409748899-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">, то <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1409748285-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415"><<img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1409748015-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">, <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409749521-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417"><<img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409748150-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"><img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1409749791-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419"><img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1409748285-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> +<img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409749521-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421"> <<img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1409748015-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422"> +<img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409748150-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423"> .

Отже, при <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1409748899-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424"> вихідне рівняння не має корінь.

Якщо <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1409662910-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">, то <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1409748285-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">=<img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1409748015-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">, <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409749521-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428">=<img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409748150-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429"><img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1409749791-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430"><img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1409748285-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431"> +<img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409749521-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432"> =<img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1409748015-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433"> +<img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1409748150-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434"> .

Отже, -1 є єдиним коренем вихідного рівняння.

Відповідь:{-1}.

Зауваження. Отже, при рішенні рівнянь із радикалами потрібне вміти користуватися кожним із цих методів і вибирати в кожному випадку оптимальний.


    продолжение
--PAGE_BREAK--