Реферат: Математическое моделирование

--PAGE_BREAK--а, b
и с
приравниваются к нулю. Выполнив необходимые преобразования, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными для определенияa, bи с.


,                Sy   =  ma   + b Sx   +  c Sx 2


Syx = a Sx  + b Sx 2 +  cSx 2.

Syx2 = a Sx 2 + bSx 3 +  c Sx4  .                                   ( 17 ).

   Решая систему уравнений относительноa,b
ис,находим численные значения коэффициентов регрессии. ВеличиныSy,Sx, Sx2, Syx,Syx2, Sx3, Sx4.находятся непосредственно по данным производственных измерений.

   Оценкой тесноты связи при криволинейной зависимости служит теоретическое корреляционное отношение hxу, представляющее собой корень квадратный из соотношения двух дисперсий: среднего квадрата sр2отклонений  расчетных значений y'jфункции по найденному уравнению регрессии    от  среднеарифметического значения  Y  величины y  к среднему квадрату отклонений sy2    фактических  значений функции yjот ее среднеарифметического значения :

 hxу   =  {sр2/sy2  }
1/2= {S(y'j -  Y)2  
/S(yj -  Y)2  } 1/2        ( 18 )


   Квадрат корреляционного отношения  hxу2 показывает долю полной изменчивости зависимой переменной у,обусловленную изменчивостью аргумента х.Этот показатель называется коэффициентом детерминации. В отлично от коэффициента корреляции величина корреляционного отношения может принимать только положительные значения от  0до1.При полном отсутствии связи корреляционное отношение равно нулю, при наличии функциональной связи  оно равно единице, а  при наличии регрессионной связи различной тесноты корреляционное отношение принимает значения между  нулем и единицей.  Выбор типа кривой имеет большое значение в регрессионном анализе, поскольку от вида выбранной взаимосвязи зависит точность аппроксимации и статистические оценки тесноты связи. Наиболее простой метод выбора типа кривой состоит в построении корреляционных полей и в подборе соответствующих типов регрессионных уравнений по расположению точек на этих полях. Методы регрессионного анализа позволяют отыскивать численные значения коэффициентов регрессии для сложных видов взаимосвязи параметров, описываемых, например, полиномами высоких степеней. Часто вид кривой может быть определен на основе физической сущности рассматриваемого процесса или явления. Полиномы высоких степеней имеет смысл применять для описания быстро меняющихся процессов в том случае, если пределы колебания параметров этих процессов значительные.

   Применительно к исследованиям металлургического процесса достаточно использовать кривые низших порядков, например параболу второго порядка.

    Эта кривая может иметь один экстремум, что, как показала практика, вполне достаточно для описания различных характеристик  металлургического процесса.

   Результаты расчетов параметров парной корреляционной взаимосвязи были бы достоверны н представляли бы практическую ценность в том случае, если бы используемая информация  была получена для условий широких пределов колебаний аргумента при постоянстве всех прочих параметров процесса. Следовательно, методы исследования парной корреляционной взаимосвязи параметров могут быть использованы для решения практических задач лишь тогда, когда существует уверенность в отсутствии других серьезных влияний на функцию, кроме анализируемого аргумента.  В производственных условиях вести процесс таким образом продолжительное время невозможно. Однако если иметь информацию об основных параметрах  процесса, влияющих на его результаты, то математическим путем можно исключить влияние этих параметров и выделить в “чистом виде” взаимосвязь интересующей нас функции и аргумента. Такая связь называется частной, или индивидуальной. Для ее определения используется метод множественной  регрессии.
МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

   Множественной регрессиейназывается взаимосвязь трех и более переменных, или влияние двух и более аргументов на функцию

                          y =
f   ( x1, x2, ....   xn).                                          ( 19 )


   Для простоты рассмотрим   случай, когда функция усопоставляетсяс двумя аргументами  x1  и x 2  .Такую зависимость  графически можно представить в трехмерном пространстве {у, x 1, x 2} Совокупность всех т точек представляет собой корреляционное пространство. Задача определения связи уотx1и  x
 2состоит в том, чтобы подобрать такую плоскость, например плоскость Р ,которая наилучшим образом вписалась бы в данное корреляционное пространство:

                         y =
 a +  b1x 1+  b 2x2.                                                  ( 20 )

   При этом под словами “наилучшим образом” понимается удовлетворение требованию наименьших квадратов, т. е. сумма квадратов расстояний каждой точки корреляционного поля от искомой плоскости [уравнениеy =  a +  b1x 1 +  b 2x2  ]должна быть минимальной. Это расстояние определяется выражением

                         Dyj  = yj  -  (  a+b1x 1 + b2x 2)                              ( 21 )



   Требуется найти  значения коэффициентовa, b1и b2.


Выполнив необходимые преобразования, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

,                Sy   =  m a     + b1Sx1   +  b2Sx2


                       Syx1 = a Sx1    + b1Sx12 +  b2Sx1x 2.

                
Syx 2 = a Sx2 + b1Sx1 x2 +  b2Sx22.                              ( 22 )

   Решение системы уравнений относительнокоэффициентов a, b1и b2,позволяет определить их численные значения. Величины   Sy,  Sx1,  Sx12,Syx1,Syx2,  Sx2, Sx22,   Sx1x2 .находятся непосредственно по данным производственных измерений.

Таким образом, найденное уравнение регрессии описывает совместное влияние  x1и  x2    на функцию у.Коэффициенты   a,  b 1и  b 2 при этом имеют математический смысл.

Коэффициентаравен функции упри нулевых значениях аргументовx
1и  
x2. В геометрической интерпретации коэффициент а соответствует ординате точки пересечения плоскости регрессии Р  с осью  y.

Коэффициентb1равен изменению функции у
при изменении первого аргумента х
1на единицу при неизменном втором аргументе x2.Аналогично коэффициент регрессии   b 2равен изменению функцииупри изменении второго аргументаx 2на единицу при неизменном первом аргументе x 1.

Из уравнения множественной линейной регрессии могут быть получены уравнения частной регрессии аргументов   x   1    и   x 2   на функцию у:

у   =   a'  1   +   b  1х1                                                ( 23 a )


у   =   a'  2   +   b  2 х2                                                ( 23 b )


При этом угловые коэффициенты регрессии   b1и b2сохраняют те же числовые значения, что и в уравнении множественной регрессии. Свободные члены уравнений для y
можно подсчитать следующим образом:

a'  1  =  а+b
2X2,                                          ( 24 a )

a'  2  =  а+b
1X1,                                          ( 24 b )

где а—свободный член в уравнении множественной регрессии;

     X1,X2—средние значения соответствующих аргументов.

 х\.

       Закономерности и выводы, используемые при исследовании    взаимосвязи трех переменных (в трехмерном пространстве), применимы и для взаимосвязи большего числа переменных,.т. е.   для многомерного пространства типа

y=
f   ( x1, x2, ....   xn)                                    ( 25 )


В этом случае расчет уравнения множественной линейной регрессии типа

y =  a+ b1x 1  +  b 2x2 +.b3x3   +    + b n  xn                              ( 26 )

 ведется для определения коэффициентовa,b 1,b2,  b n.

Чтобы определить численные значения этих величин, необходимо решить систему уравнений: аналогичную приведенной выше для двух аргументов и функции.

Определив коэффициенты регрессии решением системы уравнений,получим уравнение множественной линейной регрессии ,из которого могут быть получены уравнения частной взаимосвязи функции с каждым аргументом:

у   =   a'i  +   bi  хi ,                                                               (27)


где   a'i—свободный член частного уравнения регрессии;

     i  — порядковый номер анализируемого аргумента.

     Так же как и в случае трехмерной задачи, угловой коэффициент регрессииbiсохраняет то же численное значение, что и в уравнении множественной линейной регрессии.Свободный член частного уравнения регрессии рассчитывается по формуле

                                                        n   

                        a'  i =  а+    S
 
b
i    продолжение
--PAGE_BREAK--Xi   -  b
eXe                                            ( 28 )

                                            i= 1

 гдеа—свободный член множественного линейного уравнения регрессии;

n   —количество -аргументов;

Xi—средние значения аргументов;

Xe—среднее   значение одного  из -аргументов.  

Оценкой тесноты связи при множественной линейной регрессии служит коэффициент множественной корреляцииR,определяемый по формуле:

R = {b 1[ sx1 / sy ] r yx1  +… +b n [ sx n/ sy ] r yx n
  } 1/2   ( 29 )

   Величина коэффициента множественной корреляции всегда положительна и может меняться от(при отсутствии связи) до1(при функциональной связи). С помощью коэффициента множественной корреляции оценивают совместное влияние на зависимую переменную всех включенных в расчет аргументов. Квадрат величины коэффициента множественной корреляции показывает долю изменчивости зависимой переменной, обусловленную изменением всех рассматриваемых аргументов, и называется коэффициентом множественной детерминации.

   Для оценки тесноты частной взаимосвязи функции и каждого аргумента служит коэффициент частной корреляции. Этот статистический показатель учитывает тесноту взаимосвязи функции и одного из показателей-аргументов при условии, что остальные аргументы закреплены на уровне своих средних значений и не влияют на функцию. Коэффициент частной корреляции обозначается индексом     ryx
i
,гдеi
—порядковый номер оцениваемого аргумента) и рассчитывается по формуле

                  {               1   -   R 2 n    } } 1/2

 ryx i    =  {  1  -   ----------------}                                              ( 30 )

                 {                 1  -    R 2 n -1  }


где R2 n—квадрат коэффициента множественной корреляции для п аргументов;

 R2 n — 1   —-квадрат коэффициента множественнойкорреляции для   n—1аргументов безi-того^. Как видно из формулы  ( 30 ),коэффициент частной корреляции позволяет выделить уменьшение  изменчивости фактических значений функции вокруг расчетных, связанное с введением в расчет уравнения множественной регрессии    i -того аргумента. Коэффициент ryx i  принимает значения от( при отсутствии связи) до1 (при наличии функциональной связи). Из формулы(30 )невозможно определить знак коэффициента частной корреляции, поэтому его определяют по знаку углового коэффициента регрессииbiдля данного аргумента. Значение коэффициента частной корреляции может отличаться от коэффициента парной корреляции не только по величине, но и по знаку для одной и той же задачи. При этом нужно помнить, что коэффициент частной корреляции является более объективной оценкой действительной взаимосвязи.

       Оценка тесноты индивидуальной связи функции и аргумента при множественной регрессии с помощью коэффициента частной корреляции является более достоверной. Это соображение подтверждается уменьшением рассеяния точек относительно линии частной регрессии по сравнению с линией парной регрессии.  Следовательно, даже при уменьшении коэффициента частной корреляции по сравнению с парным при частной регрессии наблюдается более тесная связь между  функцией и аргументом.

    Для расчета  поформуле(30) необходимо рассчитать коэффициенты регрессии   с помощью систем уравнений отдельно для  пи  п—
1аргументов. При этом значениякоэффициентов будут различными.

   Итак, в результате решения уравнения множественной регрессии ,можно найти численные значения коэффициентов а,
b1,b 2,b3,...,bп., определить показатели тесноты связи, а именно коэффициент множественнойкорреляцииR,коэффициент детерминации, коэффициенты частной корреляции   r' ух i.

   Несмотря на то что уравнения частной линейной регрессии характеризуют реальную взаимосвязь функции иi-тогоаргумента с большей достоверностью, чем уравнения парной регрессии, они во многих случаях не удовлетворяют исследователей. Недостаток уравнений частной линейной регрессии заключается в том, что анализируемая зависимость представляется в виде прямой. В действительности, большинство взаимосвязей параметров металлургических  процессов имеет криволинейный характер. Любое техническое мероприятие тем эффективней, чем хуже абсолютные исходные показатели.

   Для повышения  достоверности взаимосвязей параметров технологического процесса необходимо определить уравнения частной криволинейной регрессии.  Рассмотрим несколько способов такого определения.
ЧАСТНАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ НА ОСНОВЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ  РЕГРЕССИИ

   Для упрощения рассмотрим задачу, в которой фигурируют  два аргумента ( x1 и  x2)и функция у
.  Рассчитаем уравнение  множественной линейной регрессии, т. е. определим численные значения коэффициентов а,  b 1и b 2

   Найдем уравнения частной криволинейной  регрессии. Например, чтобы получить уравнение частной регрессии у
поx
2,нужно исключить влияние на у
аргумента   x1.Для этого можно использовать следующий прием: каждое значение функции ув таблице исходной информации  нужно скорректировать на величину отклонения первого аргумента от своего среднего, пользуясь для этого найденным угловым коэффициентом регрессииbi.Тогда каждое скорректированное значение функции    у' будет равно:

                      y' j = yj  -(x 1j  -Xj )b 1,                                    ( 31 )

где yj—значение функции в таблице исходной информации

x1j  —значение первого аргумента в таблице исходной информации;

X
j    -среднее  значение первого аргумента

   Таким образом, скорректированное значение функции   представляет собой фактическое значение функции скорректированное на  влияние первого аргумента. В результате получаем ряд скорректированных значений функции,  который не имеет регрессионной связи  с рядом значений первого аргумента (коэффициент корреляции между  скорректированной функцией и первым аргументом равен нулю).

   Если в задаче имеется, например,паргументов, то корректировка исходных значений функции должна быть выполнена по всем аргументам, кроме одного, частную связь которого с функцией предполагается определить.  Для этого скорректированные значения функции у по всем аргументам, кроме второго, можно рассчитать по уравнению:

y'j = yj  -(x 1 j  -X 1j )b 1-(x 3 j  -Xj )b 3-(x n j  -Xn )b n      ( 32 )

             угловой коэффициент регрессии из Таким:

^== 523,0— 0,00493Шл+ 0,0001155Шл".


. Расчет парной криволинейной связи между у'
jи   х 2j  может быть выполнен по методике, рассмотренной выше с использованием  метода наименьших квадратов.  Например, если для аппроксимации связи выбрана парабола второго порядка, то  уравнение частной криволинейной регрессии следующее

    у**j=а**+b**2x2+  c**2 x22                                                ( 33) .

а разность между точкой, лежащей на кривой, и данной точкой корреляционного поля

Dyj  = y'j  -
у**j =y'j   -(а**+b**2x2+  c**2 x22)                             (34 )

   При этом сумма квадратов расстояний от каждой точки корреляционного поля до новой линии регрессии в случае параболы второго порядка будет иметь вид:

      S 2  = S  Dyj 2= S
[y'j   -(а**+b**2x2+  c**2 x22)] 2                 ( 35 )

   Исходя из условия минимума этой суммы, частные производные S 2по а**, b** 2  и с** 2приравниваются к нулю. Выполнив необходимые преобразования, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными для определенияa**, b**и с**.

,                Sy'   =  m a** + b**2 Sx2  +  c**2 S x2 2


                 Sy'x 2 = a**  S
x2  + b**2
S
x22+  c** 2 
S
x23

                
S
y'x22 =a**  Sx 22 + b**2  Sx2 3 +  c**2 Sx24.              ( 36 )

   Решая систему уравнений(36)относительноa**, b**2и с**2,находим численные значения коэффициентов регрессии

   Определяется парное корреляционное отношение для связи между скорректированными значениями функции у'и соответствующим аргументомx i.Парное корреляционное отношение является частным корреляционным отношением для связи между фактическими исходными значениями функции у и соответствующим аргументом к. В отличие от парного частное корреляционное отношение будем обозначать индексом h**уx i
 ,гдеi—-порядковый номер аргумента, теснота связи с которым оценивается данным корреляционным отношением. Значение частного корреляционного отношения то же, что и коэффициента частной корреляции в случае множественной линейной корреляции.

   Частное  корреляционное отношение h**уx i :, определяется аналогично парному корреляционному отношению.

 h**уx i  ={S(y**j -  Y)2  
/S(y'j -  Y)2  } 1/2                                      ( 37 )             


    Аналогичным   путем рассчитываются частные взаимосвязи функции со всеми остальными аргументами.

   Рассмотрим еще одну методику определения частной криволинейной регрессии, которая лишена этого недостатка.
ЧАСТНАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ НА ОСНОВЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ   РЕГРЕССИИ

   Для определения уравнения множественной криволинейной регрессии также используется метод наименьших квадратов.

    Рассмотрим случай, когда функция зависит от двух  аргументов(x1  и  x2)аналогично примеру, рассмотренному приoписаниимножественной линейной корреляции. В системе координат у—X 1—
Х2располагается некое корреляционное пространство, образованное множеством точек, каждая из которых соответствует результатам измерения параметров  процесса. Задача состоит в том, чтобы вписать в данноекорреляционноепространство некую поверхность, которая удовлетворяла бы условию наименьших квадратов отклонений.  Условию наименьших квадратов удовлетворяет поверхность для которой сумма квадратов расстояний до точек корреляционного поля минимальна:

          Уравнение такой поверхности наилучшим образом опишет взаимосвязь у,X 1иХ2.

     y  = a + b1x1 + c1x12 + b 2x 2 + c 2x22  .                                ( 38 ),

   Для  определения коэффициентов такого уравнения используем систему пяти уравнений с пятью неизвестными.

  Sy   =  m a     +  b1Sx1   +  с1Sx12   +  b2    продолжение
--PAGE_BREAK--