Реферат: Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння

--PAGE_BREAK--, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"><img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">1,z)= F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226"><img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> 1).
Функції F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"><img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229"> 1), F(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"><img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> 1), F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"><img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> 1) називаються суміжними з F.

4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функції зв'язані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, що є лінійними функціями змінного z. Як основні співвідношення цього типу можуть бути обрані рівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно.
(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> )F+<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> (1-z)F(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> +1)-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> — <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">)F(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> -1)=0,

(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> -1)F+<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> F(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> +1)-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> — 1)F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> -1)=0,

<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">(1-z)F-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> F(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> -1)+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> — <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">)F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> +1)=0.
Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4)
(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> )F+<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> (1-z)F(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> +1)-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> — <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">)F(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> -1)=

=(<img width=«13» height=«18» src=«ref-1_1703181451-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> )<img width=«140» height=«46» src=«ref-1_1703144822-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> +<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> (1-z)<img width=«169» height=«46» src=«ref-1_1703182325-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"> -(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> —

<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">)<img width=«123» height=«46» src=«ref-1_1703183057-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> =

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"> {(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274"> )<img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> +<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"><img width=«89» height=«47» src=«ref-1_1703184439-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> -(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> — <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">)<img width=«88» height=«47» src=«ref-1_1703184943-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> -

<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"><img width=«107» height=«47» src=«ref-1_1703185353-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">}zk=

=<img width=«134» height=«46» src=«ref-1_1703185748-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283"> {(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> )(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"> +k-1)+(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"> +k)(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> +k-1)-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"> )(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> -1)

(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> -k-1)k} zk=0,

тому що

z<img width=«169» height=«46» src=«ref-1_1703182325-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">

=<img width=«180» height=«46» src=«ref-1_1703187713-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"> =<img width=«192» height=«46» src=«ref-1_1703188278-623.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">

<img width=«31» height=«24» src=«ref-1_1703188901-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">=<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> (<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> +1)...( <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">+k-1)

<img width=«52» height=«24» src=«ref-1_1703189280-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">=(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> +1)...( <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">+k-1)( <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">+k)

<img width=«51» height=«24» src=«ref-1_1703189688-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">=(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> -1) <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308"> +1)...( <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">+k-2)

<img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1703190179-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">=<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> (<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> +1)…(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">+k-2)

<img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1703190573-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">=(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"> +1)…(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">+k-2)(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">+k-1)

<img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1703190992-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">=(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">-1)<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">+1).......( <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">+k-3)
Формули (2.5) і (2.6) доводяться аналогічним способом:
(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> )F+<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> F (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327"> +1)-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328"> — 1)F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> -1)=

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330"> { (<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332"> -1) <img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">+<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334"><img width=«89» height=«47» src=«ref-1_1703184439-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336"> — 1)<img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703193292-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337"> =

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338"><img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339"> {<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341"> -1 +<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342"> + k-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343"> +k-1)}zk=0,

<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">(1-z)F-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345"> F (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346"> -1)+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347"> — <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">)zF(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349"> +1)=

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350"> { <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351"> <img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353"><img width=«88» height=«47» src=«ref-1_1703195661-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"> -<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355"><img width=«88» height=«47» src=«ref-1_1703196101-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356"> +(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357"> — <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">)<img width=«108» height=«47» src=«ref-1_1703196602-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"> }zk

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360"><img width=«87» height=«47» src=«ref-1_1703197221-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361"> {<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1703197565-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362"> (<img width=«12» height=«15» src=«ref-1_1703197651-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363"> + k -1)(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364"> + k-1)- <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366"> + k -1)k-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367"> (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368"> -1)(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369"> + k-1)

+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371"> )<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> k}zk=0,
З (2.4)-(2.6) і властивості симетрії (2.1) треба три інших рівності:

(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375"> )F+<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"> (1-z)F(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"> +1)-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378"> — <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">)F(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> -1)=0, (2.7)

(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> -1)F+<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383"> F (<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384"> -1)-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385"> — 1)F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386"> -1)=0, (2.8)

<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">(1-z)F-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388"> F (<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389"> -1)+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390"> — <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">)zF(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392"> +1)=0. (2.9)

(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> )F+<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396"> (1-z)F(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397"> +1)-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398"> — <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">)F(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400"> -1)=

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401"> {(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404"> )<img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405"> +<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406"><img width=«89» height=«47» src=«ref-1_1703201946-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408"><img width=«107» height=«47» src=«ref-1_1703202364-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409"> -(<img width=«12» height=«17» src=«ref-1_1703202761-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410"> —

<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">)<img width=«88» height=«47» src=«ref-1_1703196101-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412"> } zk =

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"><img width=«72» height=«47» src=«ref-1_1703203477-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414"> {(<img width=«12» height=«17» src=«ref-1_1703202761-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415"> -<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1703203861-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416"> -<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1703203949-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417"> )(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"> +k-1)+<img width=«12» height=«43» src=«ref-1_1703204134-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419"> (<img width=«19» height=«18» src=«ref-1_1703204252-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> + k -1)(<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1703204427-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421"> +k)-<img width=«13» height=«43» src=«ref-1_1703204527-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422"> (<img width=«12» height=«17» src=«ref-1_1703202761-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423"> +k-1)k -(<img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1703145520-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424"> -<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1703203861-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425"> )(<img width=«12» height=«15» src=«ref-1_1703197651-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426"> -

1)}zk=0,

(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> -1)F+<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429"> F (<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430"> -1)-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431"> — 1)F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432"> -1)=

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433"> {(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435"> -1) <img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">+<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437"><img width=«89» height=«47» src=«ref-1_1703206339-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> — 1) <img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">} zk =

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441"><img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442"> {<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443"> -<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1703204427-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444"> -1+<img width=«24» height=«43» src=«ref-1_1703207743-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445"> ( <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1703204427-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">+ k )- <img width=«61» height=«43» src=«ref-1_1703207983-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448"> +k-1)}zk=0,

<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">(1-z)F-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450"> F (<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451"> -1)+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452"> — <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">)zF(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454"> +1)=

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455"> {<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456"><img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457"> -<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458"><img width=«88» height=«47» src=«ref-1_1703195661-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459">-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460"><img width=«88» height=«47» src=«ref-1_1703184943-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462"> — <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463">)<img width=«108» height=«47» src=«ref-1_1703196602-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464"> } zk

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465"><img width=«88» height=«47» src=«ref-1_1703211060-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466"> {<img width=«21» height=«43» src=«ref-1_1703211422-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468"> +k-1)( <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">+k-1)-<img width=«21» height=«43» src=«ref-1_1703211422-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470"> k(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471"> +k-1)- <img width=«21» height=«43» src=«ref-1_1703211422-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472"> (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473"> +k-1)(<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1703204427-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474"> -1)+k

(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476"> )}zk=0.
Інші рекурентні співвідношення виходять із (2.4) — (2.9) шляхом виключення з відповідної пари формул загальної суміжної функції. Наприклад, комбінуючи (2.5) і (2.8) або (2.6) і (2.9) одержуємо


(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478"> )F-<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479"> F (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480"> +1)+<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481"> F(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482"> +1)=0 (2.10)

(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484">    продолжение
--PAGE_BREAK--)(1-z)F+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486"> )F (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487"> -1)-( <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">-<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489"> )F(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490"> -1)=0 (2.11)

і так далі

(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492"> )F-<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493"> F (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494"> +1)+<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495"> F(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496"> +1)=

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497"> {(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499"> )<img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500"> +<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501"><img width=«89» height=«47» src=«ref-1_1703184439-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502"> +<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503"><img width=«89» height=«47» src=«ref-1_1703206339-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504"> } zk=

=<img width=«25» height=«45» src=«ref-1_1703183568-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505"><img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506"> {<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508"> -<img width=«19» height=«41» src=«ref-1_1703216468-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509"> (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510"> +k)+ <img width=«19» height=«44» src=«ref-1_1703216676-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511"> ( <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">+k)} zk =0.

(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514"> )(1-z)F+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> )F (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517"> -1)-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519"> )F(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520"> -1)=

=<img width=«13» height=«45» src=«ref-1_1703217630-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521"> {(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523"> )<img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524"> -(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526"> )<img width=«88» height=«47» src=«ref-1_1703195661-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527"> +(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529"> )<img width=«88» height=«47» src=«ref-1_1703196101-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530"> -(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531"> -

<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">)<img width=«88» height=«47» src=«ref-1_1703184943-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533"> } zk=

=<img width=«13» height=«45» src=«ref-1_1703217630-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534"><img width=«74» height=«47» src=«ref-1_1703220037-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535"> {(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536"> -<img width=«14» height=«21» src=«ref-1_1703220450-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537"> )(<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1703220546-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538"> +k-1)(<img width=«12» height=«21» src=«ref-1_1703220634-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539"> +k-1)-(<img width=«14» height=«15» src=«ref-1_1703220729-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540"> -<img width=«13» height=«21» src=«ref-1_1703220817-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541"> )(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542"> +k-1)k+(<img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1703145520-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543"> -<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544"> )(<img width=«14» height=«15» src=«ref-1_1703220729-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545"> -1)(<img width=«12» height=«21» src=«ref-1_1703220634-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546"> +k-1)-

(<img width=«12» height=«17» src=«ref-1_1703202761-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548"> )(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549"> +k-1)(<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550"> -1)}zk=0.
Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існують аналогічні співвідношення, що зв'язують гіпергеометричну функцію виду F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">,z) з який – або парою родинних функцій виду F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554"> +1, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">+m, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">+n,z), де l,m,n – довільні цілі числа.

Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є
F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">,z)-F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">-1,z)= <img width=«48» height=«44» src=«ref-1_1703222802-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564"> +1, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">+1, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">+1,z) (2.12)

F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">+1, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569">,z)- F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">,z)= <img width=«24» height=«44» src=«ref-1_1703223823-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574"> +1, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">+1, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576">+1,z) (2.13)

F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578">+1, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579">+1,z)- F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">,z)= <img width=«72» height=«44» src=«ref-1_1703224765-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584"> +1, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">+1, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586">+2,z)(2.14)

F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587"> -1, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">+1, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">,z)- F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592">,z)= <img width=«84» height=«44» src=«ref-1_1703225852-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595">+1, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">+1,z) (2.15)
До даного класу ставляться також рівність (1.6)

Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій.
1.3 Гіпергеометричне рівняння
Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">,z) є інтегралом лінійного диференціального рівняння
z(1-z) <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1703226635-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">+[ <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">-(<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1703226820-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602"> +<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603"> +1)] <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1703227084-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">-<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1703226820-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605"><img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606"> u=0                                            (2.16)
регулярним в околиці крапки z=0.

Рівняння (2.16) називається гіпергеометричним і включає, як окремі випадки, багато диференціальних рівнянь, що зустрічаються в додатках.

Якщо привести це рівняння до стандартної форми, розділивши його на коефіцієнт при другій похідній, то коефіцієнти отриманого рівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0<<img width=«17» height=«27» src=«ref-1_1703147948-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607"> <1 <1, наявними при z=0 полюс першого порядку або звичайну крапку, залежно від значень параметрів <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610">.

Із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь треба, що в такому випадку розглянуте рівняння повинне мати приватне рішення виду
u=zs<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611"><img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612"> zk                                                                                   (2.17)


де s – належне обране число, <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_1703228139-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613"> 0, статечної ряд сходиться при <img width=«17» height=«27» src=«ref-1_1703147948-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614"><1
u=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615"><img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616"> zk+s

<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1703227084-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618"><img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619"> (k+s)zk+s-1

<img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1703226635-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1703155379-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622"><img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623"> (k+s)(k+s-1)zk+s-2
Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16) знаходимо
z(1-z) <img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624">(<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625"> zk+s<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703229907-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626"> +[ <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627">-(<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1703226820-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628"> +<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629"> +1)z] <img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">(<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631"> zk+s<img width=«15» height=«21» src=«ref-1_1703230674-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632"> -<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633"><img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634"><img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635"><img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636"> zk+s=0,

z(1-z)<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637"> (<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638"> zk+s-1(k+s)(k+s-1))+[<img width=«17» height=«20» src=«ref-1_1703231592-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639"> -(<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1703226820-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640"> +<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641"> +1)z]<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642"> (<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643"> zk+s-1(k+s))-<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644"><img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645"><img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646"><img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647">

zk+s=

=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648"> (<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649"> zk+s-1(k+s)(k+s-1))-<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650"> (<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651"> zk+s(k+s)(k+s-1))+<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652"> (<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653"> zk+s-1<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654"> (k+s))-

-<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655"><img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656"> zk+s(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657"> +<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658"> +1)(k+s))- <img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659"><img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660"> zk+s<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661"><img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662"> =

=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663"><img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664"> zk+s-1(k+s)(k+s-1+<img width=«17» height=«20» src=«ref-1_1703231592-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665"> )-<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666"><img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667"> zk+s(s+k+<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668"> )(s+k+<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669"> )=0,
звідки для визначення показника s і <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670"> виходить система рівнянь
<img width=«18» height=«97» src=«ref-1_1703235842-262.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026"><img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703236104-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671">s(s-1-)=0,

<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672">(s+k)(s+k-1+<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673"> ) — <img width=«27» height=«24» src=«ref-1_1703236382-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674">(s+k-1+<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675"> )(s+k-1+<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676"> )=0,

k=1,2,...,

перше з яких дає s=0 або s=1-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677">

Припустимо, що <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1703145520-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678"><img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1703145692-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">0,-1,-2,…і виберемо s=0

Тоді для обчислення коефіцієнтів <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680"> одержимо рекурентне співвідношення
<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681">=<img width=«139» height=«44» src=«ref-1_1703237123-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682"><img width=«27» height=«24» src=«ref-1_1703237533-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683"> k=1,2,…,
звідки, якщо прийняти <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703236104-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684">=1, треба
<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">=<img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686"> k=0,1,2,…,
де для скорочення запису уведене позначення
<img width=«32» height=«24» src=«ref-1_1703145777-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687">=<img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1703238247-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688"> (<img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1703238247-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689"> +1)…(<img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1703238247-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690">+k-1),

<img width=«32» height=«24» src=«ref-1_1703146493-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691">=1,k=1,2,…,
У такий спосіб перше приватне рішення рівняння (2.16) при <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1703145520-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692"><img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1703145692-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693">0,-1,-2,…буде
u=<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1703238812-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694"> = F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697">,z)= <img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698"><img width=«68» height=«47» src=«ref-1_1703146912-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699">zk, <img width=«17» height=«27» src=«ref-1_1703147948-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700"><1 (2.18)
Аналогічно, вибираючи s=1-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701"> одержуємо в припущенні, що <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1703145520-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702"><img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1703145692-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">2,3,4,…
<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704">=<img width=«147» height=«44» src=«ref-1_1703240151-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705"><img width=«27» height=«24» src=«ref-1_1703236382-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706"> k=1,2,…,


звідки, якщо взяти <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703236104-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707">=1 знаходимо
<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703228042-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708">=<img width=«140» height=«44» src=«ref-1_1703240870-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709">

k=0,1,2,...,
Таким чином, при <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1703145520-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710"><img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1703145692-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711">2,3,4,…рівняння (2.16) має друге приватне рішення
u=<img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1703241434-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712"> = <img width=«36» height=«20» src=«ref-1_1703241532-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713"><img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714"><img width=«156» height=«47» src=«ref-1_1703241866-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715">=<img width=«36» height=«20» src=«ref-1_1703241532-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716"> F(1-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717"> +<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718"> ,1-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719"> +<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720"> ,2-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721"> ,z), (2.19)

<img width=«17» height=«27» src=«ref-1_1703147948-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722"><1, <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_1703242965-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723">
Якщо <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724">    продолжение
--PAGE_BREAK-- не є цілим числом (<img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1703145520-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725"><img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1703145692-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726"> 0,<img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727"> 1, <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728">2,…), те обоє рішення (2.18-2.19) існують одночасно й лінійно незалежні між собою, так, що загальне рішення рівняння (2.17) може бути представлене у формі
u=A F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731">,z)+B<img width=«36» height=«20» src=«ref-1_1703241532-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732"> F(1-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733"> +<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734"> ,1-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735"> + <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736">,2- <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737">,z), (2.20)
де А и В довільні постійні <img width=«17» height=«27» src=«ref-1_1703147948-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738"><1, <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_1703242965-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739">




2. Подання різних функцій через гіпергеометричну
Гіпергеометрична функція F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742">,z) приводиться до полінома, коли <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743">=0,-1,-2,…або <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744">=0,-1,-2. Наприклад,
F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745">, 0, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746">,z)= <img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747"><img width=«65» height=«47» src=«ref-1_1703245603-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748">zk=<img width=«64» height=«47» src=«ref-1_1703245885-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749"> =1,

тому що

<img width=«31» height=«24» src=«ref-1_1703246162-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750">=0(0+1)(0+2)…....(0+k-1)=0.

F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751">, -2, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752">,z)= <img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753"><img width=«75» height=«47» src=«ref-1_1703246681-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754">zk=<img width=«73» height=«47» src=«ref-1_1703246969-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755"> z0+<img width=«71» height=«47» src=«ref-1_1703247255-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756"> z+<img width=«51» height=«47» src=«ref-1_1703247530-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757"> z2 =

=1-2<img width=«19» height=«44» src=«ref-1_1703247776-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758"> z+<img width=«60» height=«44» src=«ref-1_1703247898-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759"> z2,

тому що

<img width=«39» height=«24» src=«ref-1_1703248158-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760">=1, <img width=«37» height=«23» src=«ref-1_1703248290-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761">=-2,

<img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1703248418-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762">=(-2)(-1)=2, <img width=«39» height=«24» src=«ref-1_1703248549-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763">=(-2)(-1)0=0, <img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1703248679-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764">=(-2)(-1)01=0
і так далі.

Перетворення
F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767">,z)=(1-z<img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1703249081-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768"> F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769"> -<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771"> -<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773">,z)

<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1774">-<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1775"> =0<img width=«20» height=«16» src=«ref-1_1703249835-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1776"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1777"> =<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1778">
показує, що гіпергеометрична функція при <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1779">-<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1780"> =0,-1,-2,…або <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1781">-<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1782"> =0,-1,-2,…виражається через алгебраїчні функції. Зокрема,
F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1783">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1784">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1785">,z)= (1-z<img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1703250744-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1786">, <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_1703242965-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1787">                                                   (3.1)
Надаючи параметрам <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1788">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1789"> спеціальні значення, знаходимо

(1-z)v= F(-v, 1, 1,z)

(1-z<img width=«17» height=«36» src=«ref-1_1703251238-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1790"> = F(<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1703251350-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1791">, 1, 1,z                                                                        (3.2)

(1-z)n= F(-n, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1792">, <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1793">,z)

n=0,1,2,...
Щоб одержати подання логарифмічної функції, скористаємося розкладанням
ln(1-z)= — <img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1794"><img width=«30» height=«43» src=«ref-1_1703251875-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1795">=-z<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1796"><img width=«57» height=«45» src=«ref-1_1703252265-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1797"><img width=«17» height=«27» src=«ref-1_1703147948-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1798"><1

звідки треба

ln(1-z)=-zF(1,1,2,z) <img width=«96» height=«27» src=«ref-1_1703252638-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1799">                                                      (3.3)
Аналогічним образом виводяться формули для зворотних кругових функцій:
arctg z=zF(<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1703251350-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1800"> ,1, <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1703252981-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1801">,-z2) <img width=«100» height=«27» src=«ref-1_1703253091-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1802"> (3.4)

arcsin z=zF(<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1703251350-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1803"> ,<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1703251350-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1804">, <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1703252981-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1805">,z2) <img width=«96» height=«27» src=«ref-1_1703253667-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1806">

arctg z=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1807"> (-1)k<img width=«36» height=«43» src=«ref-1_1703254132-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1808"> =z<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1809"><img width=«54» height=«43» src=«ref-1_1703254543-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1810"> =z<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1811"><img width=«141» height=«48» src=«ref-1_1703255001-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1812"> =

=z<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1813"><img width=«157» height=«82» src=«ref-1_1703255719-675.coolpic» v:shapes="_x0000_i1814"> =z <img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1815"><img width=«86» height=«82» src=«ref-1_1703256618-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1816">=z<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1817"><img width=«83» height=«79» src=«ref-1_1703257212-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1818"> =zF(<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1703251350-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1819"> ,1, <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1703252981-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1820">,-z2),
тому що <img width=«28» height=«24» src=«ref-1_1703257832-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1821">=1*2*…*k=k!


arcsinz=z+<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1822"><img width=«116» height=«48» src=«ref-1_1703258175-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1823"> =z[1+<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1824"><img width=«140» height=«48» src=«ref-1_1703258838-468.coolpic» v:shapes="_x0000_i1825"> ]=

=z[1+<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1826"><img width=«108» height=«48» src=«ref-1_1703259531-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1827"> ]=z[1+<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1828"><img width=«60» height=«65» src=«ref-1_1703260137-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1829"> ]=z[1+<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1830"><img width=«140» height=«65» src=«ref-1_1703260669-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i1831"> ]=

=z[1+<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1832"><img width=«149» height=«82» src=«ref-1_1703261422-686.coolpic» v:shapes="_x0000_i1833"> ]=z[1+<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1834"><img width=«77» height=«79» src=«ref-1_1703262333-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1835"> =zF(<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1703251350-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1836"> ,<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1703251350-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1837"> ,<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1703252981-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1838"> ,z2)...




3. Вироджена гіпергеометрична функція
Поряд з гіпергеометричною функцією F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1839"> ,<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1840"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1841"> ,z), важливу роль у теорії спеціальних функцій грає так звана Вироджена гіпергеометрична функція F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1842">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1843">,z).

Щоб визначити цю функцію, помітимо, що статечної ряд
<img width=«111» height=«46» src=«ref-1_1703263497-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1844">
де z – комплексне змінне, <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1845">і <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1846">- параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення, крім <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1847">=0,-1,-2,…і символ <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_1703145777-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1848"> позначає величину
<img width=«32» height=«24» src=«ref-1_1703145777-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1849">=<img width=«208» height=«44» src=«ref-1_1703146027-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1850"><img width=«32» height=«24» src=«ref-1_1703146493-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1851">=1
сходиться при будь-яких кінцевих z.

Тому що, якщо позначити через <img width=«87» height=«48» src=«ref-1_1703265043-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1852"> загальний член ряду, те
<img width=«37» height=«51» src=«ref-1_1703265342-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1853">=<img width=«112» height=«48» src=«ref-1_1703265551-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1854"><img width=«20» height=«15» src=«ref-1_1703147858-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1855"> 0, коли k<img width=«20» height=«15» src=«ref-1_1703147858-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1856"><img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1857"> .
Вироджена гіпергеометрична функція F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1858">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1859">,z) визначається як сума розглянутого ряду
F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1860">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1861">,z)= <img width=«111» height=«46» src=«ref-1_1703263497-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1862">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1863"><img width=«19» height=«14» src=«ref-1_1703267075-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1864">0,-1,-2,…,<img width=«17» height=«27» src=«ref-1_1703147948-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1865"><<img width=«21» height=«13» src=«ref-1_1703267263-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1866">                           (4.1)


З даного визначення випливає, що F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1867">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1868">,z) функція комплексного змінного z.

Якщо покласти
f(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1869">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1870">,z)= <img width=«37» height=«44» src=«ref-1_1703267699-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1871"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1872">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1873">,z)= <img width=«159» height=«45» src=«ref-1_1703268038-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1874">,                       (4.2)
те f(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1875">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1876">,z) при фіксованому z буде цілою функцією від <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1877"> і <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1878">. Дійсно, члени ряду (6.2) є цілими функціями цих змінних, і ряд сходиться рівномірно в області <img width=«20» height=«27» src=«ref-1_1703155878-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1879"><A, <img width=«19» height=«27» src=«ref-1_1703269003-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1880"><C.

Думаючи
<img width=«105» height=«47» src=«ref-1_1703269113-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1881">, маємо для досить більших k

<img width=«37» height=«51» src=«ref-1_1703269457-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1882">=<img width=«112» height=«48» src=«ref-1_1703265551-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1883"><img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1703154341-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1884"><img width=«155» height=«44» src=«ref-1_1703270131-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1885">
Звідси треба, що при заданому z функція F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1886">, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1887">,z)

представляє цілуюфункцію <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1888"> й мероморфну функцію <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1889"> із простими полюсами в крапках <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1890">=0,-1,-2,…

Функція F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1891"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1892"> ,z) досить часто зустрічається в аналізі, причому головне її значення полягає в тому, що багато спеціальних функцій можуть розглядатися як її окремі випадки, що значною мірою полегшує побудову теорії цих функцій і надає їй загальний і компактний характер.

Зв'язок функції F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1893"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1894"> ,z) з гіпергеометричною функцією дається співвідношенням
<img width=«36» height=«14» src=«ref-1_1703271329-635.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027">F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1895"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1896"> ,z)=lim F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1897"> ,<img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1703145424-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1898"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1899"> ,<img width=«19» height=«44» src=«ref-1_1703272408-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1900"> )                                                      (4.3)


З визначення виродженої гіпергеометричної функції безпосередньо випливають рівності
<img width=«23» height=«41» src=«ref-1_1703172012-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1901"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1902"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1903"> ,z)= <img width=«19» height=«44» src=«ref-1_1703247776-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1904"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1905"> +1,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1906"> +1,z)                                                          (4.4)

<img width=«33» height=«44» src=«ref-1_1703175534-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1907"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1908"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1909"> ,z)= <img width=«40» height=«47» src=«ref-1_1703273476-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1910"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1911"> +m,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1912"> +m,z) m=1,2,…                         (4.5)
і рекурентні співвідношення
(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1913"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1914"> -1)F+<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1915"> F (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1916"> +1)-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1917"> -1)F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1918"> -1)=0 (4.6)

<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1919">F-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1920"> F(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1921"> -1)-zF(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1922"> +1)=0 (4.7)

(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1923"> -1+z)F+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1924"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1925"> )F(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1926"> -1)-( <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1927">-1)F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1928"> -1)=0 (4.8)

<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1929">(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1930"> +z)F-<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1931"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1932"> F(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1933"> +1)-( <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1934">- <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1935">)zF(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1936"> +1)=0 (4.9)

(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1937"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1938"> )F(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1939"> -1)+(2<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1940"> -<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1941"> +z)F-<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1942"> F(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1943"> +1)=0 (4.10)

<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1944">(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1945"> -1)F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1946"> -1)- <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1947">(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1948"> -1+z)F+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1949"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1950"> )zF(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1951"> +1)=0 (4.11)
єднальну функцію F<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1703167694-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1952"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1953">    продолжение
--PAGE_BREAK--,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1954"> ,z) із двома будь-якими суміжними функціями
F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1955"><img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1956"> 1) <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1703167694-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1957"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1958"><img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1959"> 1,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1960"> ,z) і F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1961"><img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1962">1) <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1703167694-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1963"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1964"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1965"><img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1966"> 1,z)
Формули (4.6) і (4.7) доводяться шляхом підстановки ряду (4.1) інші рекурентні співвідношення виходять із них у результаті простих алгебраїчних операцій.
(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1967"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1968"> -1)F+<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1969"> F (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1970"> +1)-(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1971"> -1)F(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1972"> -1)=

=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1973"> {(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1974"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1975"> -1) <img width=«65» height=«45» src=«ref-1_1703279446-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1976">+<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1977"><img width=«81» height=«45» src=«ref-1_1703279776-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1978"> -(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1979"> -1) <img width=«94» height=«45» src=«ref-1_1703280134-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1980">}zk=

=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1981"><img width=«65» height=«45» src=«ref-1_1703279446-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1982"> {<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1983"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1984"> -1+<img width=«19» height=«41» src=«ref-1_1703216468-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1985"> (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1986"> +k)- <img width=«36» height=«44» src=«ref-1_1703281259-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1987">(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1988"> +k-1)} zk=

= <img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1989"><img width=«65» height=«45» src=«ref-1_1703279446-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1990">{<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1991"> -<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1992"> -1+<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1993"> +k- <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1994">-k+1)} zk=0

<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1995">F-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1996"> F(<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1997"> -1)-zF(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1998"> +1)=

=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1999"> {<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2000"><img width=«65» height=«45» src=«ref-1_1703279446-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i2001"> -<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2002"><img width=«81» height=«45» src=«ref-1_1703283304-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i2003"> -<img width=«150» height=«45» src=«ref-1_1703283568-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i2004"> } zk=

=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2005"><img width=«65» height=«45» src=«ref-1_1703284168-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i2006"> {<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2007"> (<img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2008"> +k-1)-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2009"> ( <img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2010">-1)-k<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2011"> } zk=

= <img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2012"><img width=«65» height=«45» src=«ref-1_1703284168-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i2013">{<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2014"><img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2015"> +<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2016"> k-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2017"> -<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2018"><img width=«19» height=«15» src=«ref-1_1703179039-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2019"> -<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2020"> -k<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2021"> } zk=0.
Повторне застосування рекурентних формул приводить до лінійних співвідношень, що зв'язують функцію F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2022"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2023"> ,z) з родинними функціями F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2024"> +m,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2025"> +n,z), де m,n- задані цілі числа. Прикладами подібних співвідношень можуть служити рівності:
F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2026"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2027"> ,z) = F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2028"> +1,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2029"> ,z)- <img width=«16» height=«44» src=«ref-1_1703286713-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i2030">F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2031"> +1,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2032"> +1,z) (4.12)

F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2033"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2034"> ,z)= <img width=«43» height=«44» src=«ref-1_1703287171-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i2035">F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2036"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2037"> +1,z) + <img width=«19» height=«44» src=«ref-1_1703247776-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i2038">F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2039"> +1,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2040"> +1,z) (4.13)




4. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду
Покажемо, що вироджена гіпергеометрична функція є приватним рішенням диференціального рівняння
z <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1703226635-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i2041">+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2042"> -z) <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1703227084-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2043">-<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1703226820-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2044"> u=0                                                                      (5.1)

де <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2045"><img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1703145692-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i2046">0,-1,-2,…

u=F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2047"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2048"> ,z)=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i2049"><img width=«65» height=«45» src=«ref-1_1703279446-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i2050"> zk

<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1703227084-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2051">=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2052"><img width=«77» height=«45» src=«ref-1_1703289380-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i2053"> zk-1

<img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1703226635-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i2054"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1703155379-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i2055">=<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703289819-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i2056"><img width=«132» height=«45» src=«ref-1_1703290045-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i2057"> zk-2
Дійсно, позначаючи ліву частину рівняння l(u) і полога u= <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1703290401-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2058">= F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2059"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2060"> ,z), маємо
l(<img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1703290401-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2061"> ) = <img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703289819-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i2062"><img width=«132» height=«45» src=«ref-1_1703290045-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i2063">zk-2+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2064"> -z) <img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2065"><img width=«77» height=«45» src=«ref-1_1703289380-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i2066">zk-1-<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2067"><img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i2068"><img width=«65» height=«45» src=«ref-1_1703279446-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i2069"> zk=

=[<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2070"><img width=«36» height=«47» src=«ref-1_1703292571-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i2071"> -<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2072"> ]+<img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703257950-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2073"><img width=«65» height=«45» src=«ref-1_1703279446-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i2074">[k<img width=«43» height=«44» src=«ref-1_1703293316-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i2075"> +<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2076"><img width=«43» height=«44» src=«ref-1_1703293316-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i2077"> -k-<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2078"> ]<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_1703167694-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i2079"> 0.
Щоб одержати друге лінійне незалежне рішення розглянутого рівняння, припустимо, що <img width=«67» height=«27» src=«ref-1_1703293949-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2080">, і виконаємо підстановку <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1703294144-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i2081"> .

Рівняння (5.1) перетвориться тоді в рівняння того ж виду
z <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_1703294292-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2082">+(<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2083"> -z) <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1703294475-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2084">-<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1703226820-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2085"><img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1703294736-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i2086"> =0


с новими значеннями параметрів <img width=«20» height=«22» src=«ref-1_1703294893-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i2087">=1+<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1703226820-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2088">, <img width=«23» height=«21» src=«ref-1_1703295245-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2089">=2-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2090">. Звідси треба, що при <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2091"><img width=«19» height=«14» src=«ref-1_1703267075-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i2092">2,3,…функція також є рішенням рівняння (5.1).

Якщо <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2093"><img width=«19» height=«14» src=«ref-1_1703267075-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i2094">0, <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2095">1, <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2096">2,…обоє рішення (<img width=«37» height=«23» src=«ref-1_1703295943-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i2097"> ) мають сенс і лінійно незалежні між собою, тому загальний інтеграл рівняння (5.1) може бути представлений у вигляді
u= F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2098"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2099"> ,z)+B<img width=«28» height=«20» src=«ref-1_1703296240-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i2100"> F(1+<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2101"> -<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2102"> ,2-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2103"> ,z) (при <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2104">=1 u= <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1703290401-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2105">) (5.2)

<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2106"><img width=«19» height=«14» src=«ref-1_1703267075-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i2107">0, <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2108">1, <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2109">2,…<img width=«67» height=«27» src=«ref-1_1703293949-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2110">
Щоб одержати вираження загального інтеграла у формі, придатної для будь-яких значень (крім <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2111">=0,-1,-2,…), краще увести вироджену гіпергеометричну функцію другого роду
G<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2112"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2113"> ,z)=<img width=«84» height=«44» src=«ref-1_1703297593-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i2114"> F(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2115"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2116"> ,z)+ <img width=«57» height=«44» src=«ref-1_1703298045-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i2117"><img width=«28» height=«20» src=«ref-1_1703296240-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i2118"> F(1+<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2119"> -<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2120"> ,2-<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2121"> ,z)(5.3)

<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2122"><img width=«19» height=«14» src=«ref-1_1703267075-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i2123">0, <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2124">1, <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1703176899-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2125">2,…<img width=«67» height=«27» src=«ref-1_1703293949-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2126">
Формула (5.3) визначає функцію G<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2127"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2128"> ,z) для будь-яких <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2129">, відмінних від цілого числа. Покажемо, що при <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2130"><img width=«20» height=«15» src=«ref-1_1703147858-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2131">n+1 (n=0,1,2,…)права частина (5.3) прагнути до певної межі. Для доказу замінимо гіпергеометричні функції відповідними рядами й скористаємося співвідношенням теорії Г-Функції. Тоді одержимо (5.4)
G<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2132"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2133"> ,z)=<img width=«45» height=«44» src=«ref-1_1703299798-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i2134"> [<img width=«84» height=«44» src=«ref-1_1703299975-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i2135"><img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i2136"><img width=«84» height=«47» src=«ref-1_1703300440-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i2137"> -<img width=«40» height=«44» src=«ref-1_1703300751-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2138"><img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i2139"><img width=«125» height=«47» src=«ref-1_1703301149-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i2140"> ]=

=<img width=«45» height=«44» src=«ref-1_1703299798-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i2141"> (<img width=«51» height=«23» src=«ref-1_1703301727-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i2142"> )


Ми маємо
<img width=«46» height=«33» src=«ref-1_1703301860-1357.coolpic» v:shapes="_x0000_i2143"> =<img width=«63» height=«44» src=«ref-1_1703303217-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i2144"><img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i2145"><img width=«101» height=«47» src=«ref-1_1703303647-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i2146"> =<img width=«63» height=«44» src=«ref-1_1703303217-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i2147"><img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i2148"><img width=«77» height=«47» src=«ref-1_1703304418-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i2149">

n=0,1,2,…<img width=«67» height=«27» src=«ref-1_1703293949-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2150">

<img width=«46» height=«33» src=«ref-1_1703304906-1361.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1028">=<img width=«40» height=«44» src=«ref-1_1703300751-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2151"><img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i2152"><img width=«112» height=«47» src=«ref-1_1703306665-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i2153"> =<img width=«40» height=«44» src=«ref-1_1703300751-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i2154"><img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i2155"><img width=«123» height=«47» src=«ref-1_1703307426-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i2156"> =

=<img width=«63» height=«44» src=«ref-1_1703303217-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i2157"><img width=«26» height=«45» src=«ref-1_1703227818-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i2158"><img width=«89» height=«47» src=«ref-1_1703308252-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i2159"> ,
тому вираження в правій частині (5.4) при <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2160"><img width=«20» height=«15» src=«ref-1_1703147858-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2161">n+1 приймає невизначений вид і прагне до межі, значення якого може бути знайдене за правилом Лопиталя. Відповідно до цього результату покладемо
G(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2162"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2163"> ,z)= <img width=«46» height=«36» src=«ref-1_1703308907-1361.coolpic» v:shapes="_x0000_i2164"> G<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2165"> ,<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2166"> ,z)= (-1)n+1[<img width=«149» height=«45» src=«ref-1_1703310442-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i2167"> ] (5.5)

n=0,1,2,…<img width=«67» height=«27» src=«ref-1_1703293949-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2168">
Виконавши обчислення, знаходимо:
<img width=«68» height=«45» src=«ref-1_1703311038-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i2169">=<img width=«91» height=«45» src=«ref-1_1703311279-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i2170"><img width=«89» height=«47» src=«ref-1_1703308252-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i2171"> [<img width=«152» height=«21» src=«ref-1_1703311948-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i2172"> ],

<img width=«69» height=«45» src=«ref-1_1703312225-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i2173">=<img width=«91» height=«45» src=«ref-1_1703311279-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i2174"><img width=«89» height=«47» src=«ref-1_1703308252-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i2175"> [<img width=«239» height=«21» src=«ref-1_1703313138-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i2176"> ]+

+<img width=«68» height=«45» src=«ref-1_1703313531-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i2177"><img width=«203» height=«44» src=«ref-1_1703313877-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i2178"> ,
звідки для G(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2179"> ,n+1,z) виходить явне вираження у формі ряду (5.6)




G(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2180"> ,n+1,z)= <img width=«63» height=«47» src=«ref-1_1703314503-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i2181"><img width=«31» height=«45» src=«ref-1_1703314753-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2182"><img width=«89» height=«47» src=«ref-1_1703308252-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i2183">[<img width=«251» height=«21» src=«ref-1_1703315283-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i2184"> ]+

+<img width=«68» height=«45» src=«ref-1_1703315693-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i2185"><img width=«203» height=«44» src=«ref-1_1703313877-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i2186"> ,

n=0,1,2,…,<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2187"><img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1703145692-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i2188">0,-1,-2,…,<img width=«67» height=«27» src=«ref-1_1703293949-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2189">
Тут <img width=«88» height=«44» src=«ref-1_1703316853-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i2190">- логарифмічна похідна Г-Функція, і для випадку n=0 порожня сума <img width=«31» height=«45» src=«ref-1_1703317143-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i2191">приймається рівної 0.

Якщо <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2192">=-m (m=0,1,2,…), те граничний перехід <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1703149977-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2193"><img width=«20» height=«15» src=«ref-1_1703147858-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2194">n+1 (n=0,1,2…)у формулі (5.3) приводить до вираження
G(-m,n+1,z)= <img width=«95» height=«44» src=«ref-1_1703317635-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i2195"> F(-m,n+1,z), (5.7)

m=0,1,2,…, n=0,1,2,...
З (5.3) безпосередньо треба, що Вироджена гіпергеометрична функція другого роду задовольняє функціональному співвідношенню
G(<img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1703145336-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2196">    продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике