Реферат: Беселеві функції

Курсова робота

«Беселеві функції»

1. Беселеві функції з будь-яким індексом

Рівняння Лапласа в циліндричних координатах

Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:

/>. (1)

Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:

/>, />, />,

те рівняння (1) прикмет наступний вид:

/>. (2)

/>,

Нехай />є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:

/>,

звідки (після ділення на />)

/>.

Записавши це у вигляді:

/>,

знайдемо, що ліва частина не залежить від />, права не залежить від />, />; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна />. Звідси:

/>; />;

/>.

В останній рівності ліва частина не залежить від />, права не залежить від />; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна />. Звідси:

/>, />;

/>, />.

Таким чином, />, />, />повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:

/>,

(3)

/>, />,

з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.

Обернено, якщо />, />, />задовольняють рівнянням (3), тобто />рішення рівняння (2). Справді, підставляючи />в ліву частину (2) і ділячи потім на />, одержимо:

/>.

Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є />, де />, />, />– будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел />, />.

Перше з рівнянь (3) у випадку />, />називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку />, позначаючи незалежну змінну буквою />(замість />), а невідому функцію – буквою />(замість />), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:

/>. (4)

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.

Беселеві функції першого роду

Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:

/>.

Тоді

/>,

/>.

Отже, приходимо до вимоги

або до нескінченної системи рівнянь

/>/>,

яка розпадається на дві системи:

/>/>

Перша з них задовольниться, якщо взяти />… У другій системі />можна взяти довільно; тоді />… однозначно визначаються (якщо />не є цілим негативним числом). Взявши

/>,

знайдемо послідовно:

/>,

--PAGE_BREAK--

/>,

і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:

Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень />і, отже, є рішенням рівняння (4) в області />(у випадку цілого />в області />).

Функція

/>(5)

називається бесселевой функцією першого роду з індексом />. Вона є одним з рішень рівняння Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу />одержимо:

/>, (5`)

і, зокрема,

/>. (5``)

Загальне рішення рівняння Беселя

У випадку нецілого індексу />функції />і />є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені />. Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:

/>. (6)

Якщо />(ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що />дорівнює нулю для />…), приймає вид:

/>(5```)

або, після заміни індексу підсумовування />на />,

/>, (7)

звідки видно, що />задовольняє разом з />рівнянню Беселя

/>.

Але формула (6) у випадку цілого />вже не дає загального рішення рівняння (4).

Думаючи

/>(/>– не ціле) (8)

і доповнюючи це визначення для />(ціле число) формулою:

/>, (8`)

одержимо функцію />, що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від />(у випадку />, де />– ціле). Функція />називається беселевою функцією другого роду з індексом />. Загальне рішення рівняння Беселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:

/>. (9)

2. Формули приведення для Беселевих функцій

Маємо:

/>; />;

/>, />;

/>.

Отже,

/>. (10)

Таким чином, операція />(що складається в диференціюванні з наступним множенням на />), застосована до />, підвищує в цьому вираженні індекс />на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію />раз, де />– будь-яке натуральне число, одержуємо:

/>. (10`)

Маємо:

/>;

Отже,

/>. (11)

Таким чином, операція />, застосована до />, знижує в цьому вираженні індекс />на одиницю. Застосовуючи цю операцію />раз, одержуємо:

/>. (11`)

З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:

/>; />; />.

Звідси, зокрема, треба, що />. Використовуючи (11), одержимо:

/>; />; />.

По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:

/>, (12)

/>. (13)

Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через />, />. Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи />):

/>, (13`)

звідки послідовно одержуємо:

/>,

продолжение
--PAGE_BREAK--

/>, …………………

3. Беселеві функції з напівцілим індексом

Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом />, де />– ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.

Маємо:

/>,

отже,

/>.

Але />, значить:

/>. (14)

Далі

/>,

отже,

/>.

Але />, тому

/>. (15)

За допомогою (10') знаходимо:

/>,

а з огляду на (14)

/>,

отже, при цілому позитивному />

/>. (14`)

За допомогою (11') знаходимо:

/>,

але в силу (15)

/>,

і, отже, при цілому позитивному />

/>. (15`)

4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом

Виробляюча функція системи функцій

Розглянемо систему />функцій />(з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:

Складемо ряд

/>,

де />– комплексна змінна. Припустимо, що при кожному />(приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність />. Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.

Функція

/>(16)

(де x лежить в області визначення функцій системи />, />– усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню />) називається виробляючою функцією системи />.

Обернено, нехай задана функція />, де />пробігає деяку множину, />перебуває усередині деякого кільця, що залежить від />, із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо />при кожному />аналітичне відносно />усередині відповідного кільця, тобто />виробляюча функція деякої системи />функцій. Справді, розклавши при кожному />функцію />в ряд Лорана по ступенях />:

/>,

знайдемо, що система коефіцієнтів />цього ряду буде шуканою системою />.

Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції />розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності />в простий інтеграл, одержимо:

/>. (17)

Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами

Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами />(/>…) виробляюча функція є:

/>.

Маємо:

/>, />,

звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:

(тому що в передостанній внутрішній сумі />й />були зв'язані залежністю />, то ми могли покласти />, одержавши підсумовування по одному індексі />). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих />, для яких />, отже, при />це буде />; при />це буде />. Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є />в силу формул (5`) і (5```). Отже,

/>, (18)

продолжение
--PAGE_BREAK--

але це й доводить, що />є виробляюча функція для системи />.

Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній />, одержимо:

/>,

звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що />)

/>(18`)

/>(18``)

Заміняючи в (18`) і (18``) />на />, знайдемо:

/>, (18```)

/>. (18````)

Інтегральне подання Jn(x)

Тому що, по доведеному, при />маємо />, те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):

де прийнято в увагу, що />є парна функція від />є непарна функція від />. Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа />

/>. (19)

Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра />. Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для />, права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при />знайдемо:

/>. (19`)

5. Ряди Фур'є-Беселя

Розглянемо на якому-небудь інтервалі />(кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння

/>, />, (20)

де />й />– безперервні функції на />. Нехай />і />– ненульові рішення цих рівнянь. Множення на />й на />й наступне вирахування дають

/>.

Нехай />і />належать />і />, тоді після інтегрування в межах від />до />одержимо

/>. (21)

Якщо />й />– сусідні нулі рішення />, то між />і />/>зберігає постійний знак, нехай, наприклад, />на (/>, />) (у противному випадку варто замінити />на />), тоді />, />(рівність нулю виключено, тому що />– ненульове рішення диференціального рівняння другого порядку). Якщо на />/>, то />повинна, принаймні, раз звертатися в нуль між />і />, тому що інакше />збереже постійний знак на (/>,/>). Нехай, наприклад, />на (/>,/>) (у противному випадку заміняємо />на />), і тоді з (21) одержимо протиріччя, тому що ліва частина ≤0, а права >0. У такий спосіб доведена теорема порівняння Штурму: якщо P(x)<Q(x) на розглянутому інтервалі I і якщо y і z – ненульові рішення рівнянь (20), те між кожними двома сусідніми нулями y(x) перебуває принаймні один нуль z(x).

З теореми порівняння Штурму випливають нижченаведені наслідки. Якщо />на />, то кожне ненульове рішення рівняння />може мати на />не більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти />й взяти />). Якщо />на />(де />), то для всяких двох сусідніх нулів />і />(/>) кожного ненульового рішення рівняння />маємо />(це легко бачити, якщо покласти />, взяти />й помітити, що нулями />будуть тільки числа виду />, />ціле). Якщо />на />(де />), то для всяких двох сусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння />маємо />(це легко бачити, якщо покласти />й взяти />). Із сказаного випливає, що якщо />на />, те для всяких двох сусідніх нулів />і />(/>) кожного ненульового рішення рівняння />маємо />.

Викладене показує, що якщо />безперервно на />й перевищує деяке позитивне число поблизу +∞, те кожне ненульове рішення />рівняння/>має на />нескінченно багато нулів. Якщо ще />поблизу />не звертається в нуль, то ці нулі утворять нескінченну зростаючу послідовність />, що має межею +∞, а якщо, крім того, />, де />, те />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Розглянемо рівняння Беселя

на інтервалі />. Підстановка />приводить до рівняння

/>.

Очевидно, />і />мають ті самі нулі. Тому що />, де />– ціла функція, то />не має нулів на />при досить малому />, і тому що />при />, те при кожному />нулі />на />утворять нескінченну зростаючу послідовність

причому />.

Якщо />, то />задовольнить рівнянню

на інтервалі (0, +∞). Підстановка />приводить до рівняння

і, отже, />задовольняє цьому рівнянню. Таким чином, при будь-яких позитивних />і />маємо

/>, де />,

звідки

/>,

отже,

/>, де />. (22)

Нехай тепер />. Розкладання />по ступенях />починається зі члена, що містить />, розкладання />по ступенях />починається зі члена, що містить />, тому що коефіцієнт при />дорівнює нулю, що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при />одержимо

/>,

тобто

/>, (23)

звідки видно, що якщо />і />є різними нулями функції />, те

/>. (23`)

Цим доведено, що при />система функцій

на інтервалі />є ортогональної щодо ваги />.

Переходячи до межі при />в співвідношенні

і використовуючи правило Лопиталя, одержимо при всякому />

/>, (24)

отже, якщо />є нулем функції />, те

/>. (24`)

Таким чином, при кожному />всякій безперервній функції />на />, що задовольняє вимозі

/>,

поставлений у відповідність ряд Фур'є-Беселя

/>, (25)

коефіцієнти якого визначаються формулами

/>. (25`)

Можна довести, що система функцій />на />, ортогональна щодо ваги />, замкнута. Зокрема, якщо ряд Фур'є-Беселя (25) рівномірно сходиться до його безперервної функції, що />породжує.

Можна показати, що якщо />й />безперервна на />й функція, то ряд Фур'є-Беселя цієї функції сходиться до неї при />.

6. Асимптотичне подання Беселевих функцій із цілим індексом для більших значень аргументу

Нехай />– позитивна функція й />– яка-небудь функція для досить більших значень />. Запис

/>при />

означає, що найдуться такі числа />й M, що при />маємо />.

Подібний запис уживається й в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо />– позитивна функція й />– яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень />, то запис

/>при />

означає, що найдуться такі числа />й />, що />на />.

продолжение
--PAGE_BREAK--

Допоміжна лема

Якщо />двічі безупинно диференцюєма на />, то для функції

має місце асимптотичне подання

/>при />.

Доведемо цю лему. Заміняючи на />, одержимо:

/>.(26)

Розглянемо інтеграл, що фігурує в правої частини формули (20). Заміняючи />на />, знайдемо:

/>,

але, замінивши на />, одержимо:

/>.

Якщо />позитивно, убуває й прагнути до нуля при />, то />й />, а отже, і />є />при />, тому

/>при />,

звідки

/>при />.

Отже, одержуємо асимптотичне подання:

/>при />. (27)

Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо:

/>,

/>.

Очевидно, />двічі безупинно на />, але існують />і />, тому />стає безупинно диференцуєма на />. Інтегрування вроздріб дає:

/>,

де перший доданок правої частини />є />при />, а інтеграл у другому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі

/>,

який сходиться, тому що

/>при />;

отже, другий доданок є теж />при />.

Отже, маємо:

/>при />. (28)

З (26), (27), (28) одержуємо шукане асимптотичне подання:

/>при />. (29)

Із цієї формули, переходячи до сполучених величин, знайдемо ще:

/>при />. (29')

Формули (29) і (29`) вірні й для функцій />.

Висновок асимптотичної формули для Jn(x)

Заміняючи />на />, одержимо:

(з огляду на, що />є парна функція від />, а />є непарна функція від />). Підстановка />дає:

/>,

де />є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліном Чебишева), тому що з формули Муавра видно, що />є поліном n-й ступеня відносно />. Але

і, заміняючи в першому із цих інтегралів />на />, одержимо:

Тому що />й />на />мають похідні всіх порядків, то до двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо:

/>;

але />; />, отже,

/>.

Отже, маємо шукане асимптотичне подання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значень аргументу:

/>при />. (30)

Ця формула показує, що />з точністю складається до порядку, що, />є загасаючою гармонікою із хвилею постійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратному кореню з абсциси.

Зокрема,

/>при />; (30`)

/>при />. (30'')

продолжение
--PAGE_BREAK--

Графіки цих функцій зображені ні малюнках 1 і 2.

Розглянемо кілька прикладів рішення рівняння Беселя.

1. Знайти рішення рівняння Беселя при />

/>,

задовольняючим початковим умовам при />, />і />.

Рішення.

На підставі формули (5') знаходимо одне приватне рішення:

/>.