Реферат: Комплексные числа

Средняя общеобразовательная школа №1 11 класс

“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числаснова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того какобнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкоераспространение” Ф. Клейн.

Автор: Исаев Рома (полная версия реферата и много других полезных материалов на моём сайтеraycom.narod.ru/)Обязательно загляние!

Учитель:Моторина Дина Юрьевна

Дубна, 2002

План:

1. Введение 2

2. Историявозникновения комплексных чисел 3

а) Развитие понятия очисле 3

б) На пути к комплекснымчислам 4

в) Утверждениекомплексных чисел в математике 5-6

3. Комплексные числа иих свойства 7

а) Понятие комплексногочисла 7

б) Геометрическоеизображение комплексных чисел 8-9

в) Тригонометрическаяформа комплексного числа 9

4. Действия с комплекснымичислами 10

а) сложение 11

б) вычитание 11

в) умножение 10-11

г) деление 11

5. Решение уравнений скомплексными переменными 12-13

6. Приложение 14

7. Заключение 15

8. Списоклитературы 15

Введение

Решение многих задач физики и техники приводит кквадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решениемногих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значениевеличин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назваликомплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиацииН. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой онявляется. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находятприменение во многих вопросах науки и техники.

Цельнастоящего реферата знакомство с историей появления комплексных чисел, их свойствами, действиями над ними, а также с решениемуравнений с комплексным переменным.

Историявозникновения комплексных чисел1. Развитие понятия о числе

Древнегреческие математикисчитали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалосьпредставление о бесконечности множества натуральных чисел.

В IIIвеке Архимед разработалсистему обозначения вплоть до такого громадного как <img src="/cache/referats/12808/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

Следующим важным этапом в развитии понятия очисле было введение отрицательных чисел — это было сделано китайскимиматематиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в IIIвекедревнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VIIвекеэти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числас долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описыватьизменения величин. Уже в VIIIвеке было установлено, чтоквадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное иотрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: неттакого числа <img src="/cache/referats/12808/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1029">,чтобы <img src="/cache/referats/12808/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1030">.

2. На пути к комплексным числам

В XVIвеке в связи с изучениемкубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательныхчисел. В формуле для решения кубических уравнений вида <img src="/cache/referats/12808/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> кубические иквадратные корни: <img src="/cache/referats/12808/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1025"><img src="/cache/referats/12808/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">.<img src="/cache/referats/12808/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

Эта формула безотказно действует в случае,когда уравнение имеет один действительный корень (<img src="/cache/referats/12808/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> x=1), а если оно имеет три действительных корня (<img src="/cache/referats/12808/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> x1=1x2,3 =<img src="/cache/referats/12808/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1027">XVIIIи XIXвеков доказал, чтобуквенное уравнение пятой степени <img src="/cache/referats/12808/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> нельзя решить алгебраически;точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, eспомощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление,возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, чтоникакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-йстепени имеет (если рассматривать и комплексные числа) nкорней (среди которых могутбыть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVIIвеке (основываясь наразборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIIIи XIXвеков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж.Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что системауравнений <img src="/cache/referats/12808/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1036">, не имеющая решений во множестве действительных чисел,имеет решения вида <img src="/cache/referats/12808/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1037">,<img src="/cache/referats/12808/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1038"><img src="/cache/referats/12808/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1039">

3. Утверждение комплексных чисел в математике

Кардано называл такиевеличины “чисто отрицательными” идаже “софистически отрицательными”,считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощьютаких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ниизменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянскогоалгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правилаарифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубическихкорней. Название “мнимые числа” ввелв 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один изкрупнейших математиков XVIIIвека — Л. Эйлер предложилиспользовать первую букву французского слова imaginaire(мнимый) для обозначениячисла <img src="/cache/referats/12808/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> (мнимой единицы). Этотсимвол вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексныечисла” так же был введен Гауссом в1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий,предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

В течение XVIIвека продолжалосьобсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическоеобоснование.

Постепенно развивалась техника операций надмнимыми числами. На рубеже XVIIи XVIIIвеков была построена общаятеория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем излюбых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математикаА. Муавра (1707): <img src="/cache/referats/12808/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1041"><img src="/cache/referats/12808/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1042">(подробнеесмотри приложение). С помощью этой формулы можно было так же вывестиформулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 годузамечательную формулу: <img src="/cache/referats/12808/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> которая связывалавоедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлераможно было возводить число eв любую комплекснуюстепень. Любопытно, например, что <img src="/cache/referats/12808/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1044">.Можно находить sinи cosот комплексных чисел,вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексногопеременного.

В конце XVIIIвека французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализуже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражатьрешения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такиеуравнения встречаются, например, втеории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньшешвейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решенияинтегралов.

Хотя в течение XVIIIвека с помощью комплексныхчисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные скартографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логическогообоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал,что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение,приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

“Никто ведь не сомневается в точностирезультатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя онипредставляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л.Карно.

После создания теории комплексных чиселвозник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел — чисел с несколькими“мнимыми” единицами. Такую систему вида <img src="/cache/referats/12808/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1045"><img src="/cache/referats/12808/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> (переместительности):например, <img src="/cache/referats/12808/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1047"><img src="/cache/referats/12808/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1048">

Большой вклад в развитие теории функцийкомплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвилизанимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — каэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемамквантовой теории поля.

Комплексные числа и их свойства

1. О комплексных числах

В связи с развитием алгебры потребовалось ввестисверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода.Они называются комплексными. Комплексное число имеет вид a + bi; здесь aи b – действительныечисла, а i – числонового рода, называемое мнимой единицей. “Мнимые” числа составляют частный видкомплексных чисел (когда а = 0). С другой стороны, и действительные числаявляются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число aназовем абсциссой комплексного числа a+ bi;действительное число b– ординатой комплексногочисла

a+ bi.Основное свойство числа iсостоит в том, чтопроизведение i*iравно –1, т.е.

i2= -1. (1)

Долгое время не удавалось найти такиефизические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем жеправилам, что и действия над комплексными числами – в частности правилу (1). Отсюда названия: “мнимаяединица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд такихфизических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике,но также и в физике и технике.

Правило каждого действия надкомплексными числами выводится из определения этого действия. Но определениядействий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены стаким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественнымичислами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве отдействительных, а совместно с ними.

Действительное число азаписывается также в виде a+ 0i(или a– 0i).

Примеры. Запись 3 + 0iобозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0iозначает –2.

Комплексное число вида 0 + biназывается “чисто мнимым”. Запись biобозначает то же, что 0 + bi. Два комплексных a+ bi, a’ + b’iсчитаются равными, если уних соответственно равны абсциссы иординаты, т. е. Если a= a’, b= b’. В противном случаекомплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать,скажем, такое равенство:

2 + 5i= 8 +2i, то по правилам алгебры мы имели бы i= 2, тогда как iне должно батьдействительным числом.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел

<img src="/cache/referats/12808/image052.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1033"> Действительные числа можно изобразить точкамипрямой линии, как показано на рис.2, где точка Kизображает число 5. Эточисло можно изобразить также отрезком ОK, учитывая не только его длину, но инаправление.

Каждая точка С “числовой прямой” изображаетнекоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОС соизмерим с единицейдлины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на “числовой прямой”не остаётся места для комплексных чисел.

Но комплексные числа можно изобразить на“числовой прямой”. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную системукоординат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число a+ biмы изображаемточкой М, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного, аордината у равна ординате bкомплексного числа.

<img src="/cache/referats/12808/image054.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034">Примеры. На рис. 2 точка А сабсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. ТочкаВ (-4,-5) изображает комплексное число –4 — 5i.

Действительные числа (вкомплексной форме они имеют вид a+ 0i) изображают точками оси OХ, а чистомнимые – точками оси OУ.

Примеры. Точка К на рис. 2 изображает действительноечисло 5, точка L– чисто мнимое число 3i. Начало координатизображает число 0.

Сопряжённые комплексные числа изображаются паройточек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки А и А’ на рис. 2 изображаютсопряжённые числа 3 +5i и 3-5i.

Комплексные можно изображать также отрезками,начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости.Так, комплексное число a+ biможно изобразить не толькоточкой M (рис. 1), но также вектором ОM.

Замечание. Давая какому –либо отрезку наименование “вектор”, мы подчёркиваем, что существенное значениеимеет не только длина, но и направление отрезка.

Геометрическое истолкованиекомплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функциейкомплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексныечисла полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которыеизображаются векторами <img src="/cache/referats/12808/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

3. Тригонометрическая формакомплексного числа.

Абсцисса а и ордината bкомплексного числа a+ biвыражаются через модуль r и аргумент q. Формулами

a =r cos q , r=a/cos q

b = r sin q, r=b/sin q

r–длина вектора (a+bi), q– угол, который он образуетс положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 1).

Поэтому всякое комплексное число можно представитьв виде r(cosq+ isinq), где r> 0 т.е. z=a+bi или z=r*cosq+ r*sinq

Это выражение называется нормальнойтригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексногочисла.

Действия с комплексными числами

1. Сложение комплексных чисел

Определение: Суммой комплексных чисел a+ biи a’ + b’iназываюткомплексное число (a+ a’) + (b+ b’)i.

Это определение подсказывается правиламидействий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) +(4 – 8i) = 1 — 3i

Пример2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i.Так как запись 2 + 0iозначаетто же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой(2 + 7=9).

Пример3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример4. (-2 + 3i) + ( — 2 – 3i) = — 4

В примере 4 сумма двух комплексных чиселравна действительному числу. Два комплексных числа a+biи a-biназываются сопряженными.Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

Для комплексных чисел справедливыпереместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует изтого, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительныхчастей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

2. Вычитание комплексныхчисел.

Определение.Разностью комплексных чиселa+ bi(уменьшаемое) и a’ + b’i(вычитаемое) называетсякомплексное число (a– a’) + (b– b’)i.

Пример1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Пример2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

3. Умножение комплексныхчисел.

Определение. Произведением комплексных чисел a+ biи a’ + b’iназываетсякомплексное число

(aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i.

Замечание.На практике нет нуждыпользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, какдвучлены, а затем положить, что i2= -1.

Пример1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i2 = 3 – 6i + 2i + 4= 7 – 4i.

Пример2. (a + bi)(a – bi) = a2+ b2

Пример 2 показывает, что произведение сопряженныхкомплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

Для умножения комплексныхчисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а такжераспределительный закон умножения по отношению к сложению.

4. Деление комплексныхчисел.

В соответствии с определением делениядействительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексноечисло a+ biна комплексное число a’ + b’i– значит найти такое число x+ yi,которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Конкретное правило деленияполучим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этойдроби на число, сопряженное со знаменателем:(a+ bi):(c+ di)=<img src="/cache/referats/12808/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1050">

Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 – 4i)/(3+ 2i), расширяем её на число 3 – 2i,сопряженное с 3 + 2i. Получим:

((7 – 4i)(3 — 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.

Пример 1 предыдущего пунктадаёт проверку.

Пример2.(-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25= -0,56 – 0.92i.

Чтобы доказать, что праваячасть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ + b’.Получим a+ bi.

Решениеуравнений с комплексными переменными

Рассмотримсначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где а — заданное число, z — неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z= 0, если а = 0;

2) имеет два действительных корня z1,2 = <img src="/cache/referats/12808/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1052">,если а>0;

3) не имеет действительных корней, если а<0.

Намножестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Задача 1. Найти комплексные корниуравнения z2 = a, если:

1) а = -1; 2)а = -25; 3) а = -3.

1) z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можнозаписать в виде z2 = i2, или z2 — i2 = 0. Отсюда, раскладываялевую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = -i.Ответ. z1,2=<img src="/cache/referats/12808/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1053">i.

2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1, преобразуем этоуравнение:

z2= (-1)25,

z2= i2 52, z2 — 52 i2=0, (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z1 =5i, z2 = -5i.Ответ:

z 1,2= <img src="/cache/referats/12808/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

3) z2= -3, z2 = i2(<img src="/cache/referats/12808/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1055">2, z2 — (<img src="/cache/referats/12808/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1056">2i2 = 0, (z -<img src="/cache/referats/12808/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> <img src="/cache/referats/12808/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1058">

Ответ: z1,2 = <img src="/cache/referats/12808/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1059">.

Вообщеуравнение z2 = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: Z1,2=<img src="/cache/referats/12808/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1060">i.

Используяравенство i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чиселпринято записывать так: <img src="/cache/referats/12808/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1061">i, <img src="/cache/referats/12808/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1062">i, <img src="/cache/referats/12808/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1063">i<img src="/cache/referats/12808/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1064">

Итак, <img src="/cache/referats/12808/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> определен для любогодействительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любоеквадратное уравнение az2 + bz+ c= 0, где а, b, с — действительные числа, а <img src="/cache/referats/12808/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> 0,имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Z1,2 = <img src="/cache/referats/12808/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> .

Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле находим: z1,2 = <img src="/cache/referats/12808/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1068"><img src="/cache/referats/12808/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> = 2 <img src="/cache/referats/12808/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1070">i.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2+3iи z2=2-3i. Найдем сумму ипроизведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Число 4 — это 2-й коэффициент уравнения z2-4z+13=0, взятый с противоположнымзнаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теоремаВиета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 — корни уравнения az2+bz+c= 0, z1+z2 = <img src="/cache/referats/12808/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1071"> z1z2 = <img src="/cache/referats/12808/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1072">

Задача 3. Составить приведенноеквадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z1=-1-2i.

Второй корень z2уравнения является числом,сопряженным с данным корнем z1, то есть z2=-1+2i. По теореме Виета находим

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ответ z2-2z+5=0.

Приложение.

В качестве приложения яхочу рассмотреть формулу (иногда в литературе она имеет название теоремы)Муавра. Она имеет большое значение в тригонометрии, потому что позволяет выражать синусы и косинусы углов (n*x), где n– любое целое число, через простые функции sinx и cosx.

Формула: <img src="/cache/referats/12808/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1073">

где i– мнимая часть комплексного числа, i2= -1

Пример:

cos3q+ i*sin3q =(cosq + i*sinq)3= cos3 q + 3i cos2 q * sinq + 3i2 *cosq * sin2 q + i3sin3 q = cos3 q — 3cosq *sin2 q+ i*(3cos2 q * sinq — sin3 q)

Приравнивая абсциссы и ординаты, получаем:

cos3q= cos3 q — 3cosq *sin2 q

sin3q= 3cos2 q * sinq — sin3 q

Таким же образом можно значительно упростить sin4x, cos4x(sin5x, cos5xи т.д.) до выражений, содержащих sinxи cosx

Заключение *

Комплексныечисла, несмотря на их “лживость” и недействительность,имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только вматематике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее времякомплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной икосмической индустрии.

Именнопоэтому нам расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах иособенностях. Основные элементы учения о комплексных числах рассмотрены мною вданном реферате.

* примечание:

комплексные числа не входят в базовую школьнуюпрограмму алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарнойматематики.

Список литературы.

А.П. Савин“Энциклопедический словарь юного математика”

М.Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”

И.С. Петраков“Математические кружки в 8-10 классах”

М.И. Сканави “Сборник задачпо математике (геометрия)”

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

История тригонометрии в формулах и аксиомах

20 Июня 2015