Реферат: Евклид и его "Начала"

 

 

Реферат

 

 

 

           

                                         На тему:

                     

                      

 

 

Евклид и его “начала”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                            Выполнил:Гордиенко Павел.

 

                                                                                         СШ№31

 

 

 

 

2002.

 

 

 

План.

 

         1.Евклид и егоначало.

         2.Евклида алгоритм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.  Евклид и его “Начала”

                     В  течение  двух тысяч  лет геометрию узнавали  либо  из“Начал” Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональныематематики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда,Аполлония и геометров более позднего времени. Классическую геометрию сталиназывать евклидовой в отличие от появившихся в XIXв “неевклидовой геометрий”.

Обэтом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас?  Каталог греческих геометров Прокла ДиадохаВизантийского, жившего в Vв н.э., -первыйсерьёзный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, чтоЕвклид был современником царя Птолемея I, который царствовал с 306-283г.до н.э.

Евклиддолжен быть старше Архимеда, который ссылался на “Начало”. До наших времёндошли сведения, что он преподавал в Александрии, столица Птолемея I, начинавший превращаться в один из центров научнойжизни. Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавалон, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должны предшествоватьзанятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию. Кроме “Начал”до нас дошли книги Евклида, посвящённые гармонии и астрономии.

Чтокасается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными егонаучными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Евклидуприписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не можетбыть сравнимо с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора(VIвек до н. э.), Евдокса и Теэтета (IVвек до н.э.). Величайшая заслуга Евклида в том, чтоон подвёл итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму,что на 2000 лет “Начала” стали энциклопедией геометрии.

Евклидс величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудностине возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в “Начало” ещёдве книги-XIV —  и XV-ю, написанные другими авторами.

Перваякнига Евклида начинается с 23”определений”, среди них такие: точка есть то, чтоне имеет частей; линяя есть длина без ширины; линия ограничена точками; прямаяесть линия, одинакова расположенная относительно всех своих точек; наконец, двепрямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, скольугодно продолжены, не встречаются. Это скорее наглядные представления обосновных объектах и слово “определение” в современном понимании не точнопередаёт смысл греческого слова “хорой”, которым пользовался Евклид.

                     В книге Iрассматриваютсяосновные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов,сравниваются их площади. Здесь появляется теорема о сумме углов треугольника.Затем следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провестиодну прямую; каждая прямая может быть сколь угодно продолжена; данным радиусомиз данной точки можно провести окружность; все прямые углы равны; если двепрямые проведены к третьей под углами, составляющими в сумме меньше двухпрямых, то они встречаются с той же стороны от этой прямой. Все эти постулаты,кроме одного, вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятсяобщие  предположения, или аксиомы,- 8общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчиваетсятеоремой Пифагора.

Вкниге  II излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решениязадач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда несуществовало.

               В книге IIIрассматриваются свойства круга, свойства касательныхи хорд, в книге IV-правильные многоугольники, появляютсяосновы учения о подобии. В книгах VII-IXизложены начала теорий чисел, а основанной наалгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида,сюда входит теория делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Последниекниги посвящены стереометрии. В книге XIизлагаются начала стереометрии, в XIIспомощью метода исчерпания определяются отношения площадей двух кругов иотношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Вершина стереометрии уЕвклида – теория правильных многогранников. В “Начало” не попало одно извеличайших достижений греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу “Началаконических сечений”, не дошедшую до нас, но её цитировал в своих сочиненияхАрхимед.

                  “Начало” Евклида не дошли донас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старыеизвестные списки, семь столетий – сколь- нибудь подробные сведения о “Началах”.В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги “Начал”пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. Ак тому времени тексты обросли “улучшениями”позднейших комментаторов.

                  В период возрожденияевропейской математике (XVIв.) “Начала”изучали и воссоздавали заново. Логическое построение “Начала”, аксиоматикаЕвклида воспринимались математиками как безупречное вплоть до XIXв., когда начался период критического отношения кдостигнутому, который закончился новой аксиоматикой евклидовой геометрии –аксиоматикой  Д. Гильберта. Изложение геометрии в “Началах” считалось образцом,которому стремились следовать учёные и за пределами математики.

                                

                                

                       

                              2.Евклида Алгоритм.                            

       

              Алгоритм Евклида – это способ нахождениянаибольшего общего делителя двух целых чисел, а также наибольшей общей мерыдвух соизмеримых отрезков.

Чтобынайти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначалабольшее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток отпервого деления, потом первый остаток — на второй и т.д. Последний ненулёвойположительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данныхчисел.

Обозначивисходные числа через а и б, положительные остатки, получающиеся врезультате делений, через r1 ,r2<img src="/cache/referats/13700/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">…, rn, анеполные частные через q1, q2, можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки равенств:

a=bq1 +r1 ,

b=r1q2 +r2

.  . .  .  . .  .  . .  .

rn-2=rn-1qn+rn

rn-1=rnqn+1.  

Приведёмпример. Пусть а=777, b=629. Тогда777=629*1+148, 629=148*4+37, 148=37*4.

Последнийненулевой остаток 37 есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.

Длянахождения наибольшей общей меры двух отрезков поступают аналогично. Операциюделения с остатком заменяют его геометрическим аналогом: меньше отрезок откладываютна большим столько раз, сколько возможно: оставшуюся часть большего отрезка (принимаемуюза остаток отделения) откладывают на меньшем отрезке и т.д.если отрезки aи bсоизмеримы, топоследний не нулевой остаток даст наибольшую общую меру этих отрезков. В случаенесоизмеримых отрезков получаемая последовательность не нулевых остатков будетбесконечной.

Рассмотримпример. Возьмём в качестве исходных отрезков сторону ABи ACравнобедренноготреугольника ABC, у которого A=C= 72<span Abadi MT Condensed Light",«sans-serif»">°

, B= 36<span Abadi MT Condensed Light",«sans-serif»">°. В качестве первого остатка мы получим отрезок AD(CD-биссектрисаугла C), и, как легко видеть, последовательность и нулевыхостатков будет бесконечной. Значит, отрезки ABи ACне соизмеримы .

АлгоритмЕвклида известен издавна. Ему уже более 2000 лет. Этот алгоритм сформулирован в“Началах” Евклида, где из него выводятся свойства простых чисел, наименьшегообщего кратного и т.д. Как способ нахождения наибольшей общей меры двухотрезков алгоритм Евклида (иногда называемый методом попеременного вычитания)был известен ещё пифагорейцам. К середине XVIв. алгоритм Евклида был распространён на многочлены,от одного переменного в дальнейшем удалось определить алгоритм Евклида и длянекоторых других алгебраических объектах.

АлгоритмЕвклида имеет много применений. Равенства, определяющие его, дают возможность представитьнаибольший делитель d чисел aи bввиде d=ax+by(x;y — целые числа), а это позволяет находить решение Диофантовыхуравнений 1-й степени с двумя неизвестными. Алгоритм Евклида является средствомдля представления рационального числа в виде цепной дроби. Он часто используетсяв программах для электронных вычислительных машин.

 

  

                                

 

Использованная литература.

 

 

Энциклопедический словарь юного математика.

еще рефераты
Еще работы по математике