Реферат: Пределы

--PAGE_BREAK--Бесконечно большая величина
Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N0, n>N0, |Xn|>M => M<Xn<-M. lim Xn=¥(n®¥).

Свойства б.б. величин:


1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>"M $N1, n>N1 |Xn|>M

из Yn – б.б. => "M $N2, n>N2 |Yn|>M

N0=max(N1, N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M

LimXnYn=¥(n®¥).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥(n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥=> M=1/E $N0, n>N0|Xn|>M =>n>N0.

|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:


1.   limXn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b(n®¥)

Док-во:limXn=a => Xn=a+an; lim Yn=b => Yn=b+bn;

Xn ±Yn = (a + an) ±(b + bn) = (a ±b) + (an±bn) => lim(Xn±Yn)=a±b(n®¥).

2.   limXnYn= lim Xn * lim Yn (n®¥).

3.   limXn=a, lim Yn=b (n®¥) =>   lim Xn/Yn =   
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во:Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn=> Xn/Yn=a/b+gn=> $lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x0, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "xбудет выпол |x-x0|<d, будет выполняться нер-во |f(x) – A|<E или "x<img width=«100» height=«76» src=«ref-1_296472378-927.coolpic» v:shapes="_x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046 _x0000_s1047 _x0000_s1048 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1052 _x0000_s1053"> выпол x0-d<x<x+d=> A-E<f(x)<A+E.

Limx
®
x0
f(x)=A

<img width=«100» height=«94» src=«ref-1_296473305-1232.coolpic» v:shapes="_x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075 _x0000_s1076 _x0000_s1077 _x0000_s1078 _x0000_s1079 _x0000_s1080 _x0000_s1081 _x0000_s1082 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1085 _x0000_s1086 _x0000_s1087 _x0000_s1088 _x0000_s1089 _x0000_s1090">Ф-ияy=f(x)наз-сябесконечно большой при x®
x0если для "М>0 сколь угодно большого $d>0, что "x|x-x0|<dбудет выполняться нер-во |f(x)|>M, "x  x0-d<x<x0+d, -M>f(x)>M.

Limf(x)=
¥
(x
®
x0).

<img width=«99» height=«63» src=«ref-1_296474537-895.coolpic» v:shapes="_x0000_s1091 _x0000_s1092 _x0000_s1093 _x0000_s1094 _x0000_s1095 _x0000_s1096 _x0000_s1097 _x0000_s1098 _x0000_s1099 _x0000_s1100 _x0000_s1101 _x0000_s1102 _x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1105 _x0000_s1106 _x0000_s1107 _x0000_s1108 _x0000_s1109 _x0000_s1110">Число А наз-сяпределом y=f(x) x®
¥
,если для любого Е>0 можно найти число К, "x|x|>K |f(x)-A|<E.

<img width=«77» height=«64» src=«ref-1_296475432-858.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038">



I замечательный предел.

Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.

SтреугМОА< Sсект МОА<Sтреуг СОА.

SтреугМОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.

SсектМОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.

SтреугСОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.

SinX<x<tgX {разделим все члены на sinX}

1<x/sinX<1/cosX или 1>(sinX)/x>cosX.

LimcosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.

Следствия:

1. limx®(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=

=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1; 

2.limx®(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}=

=limt®t/sint=1;

3. limx®(sin ax)/bx= lim (aSinax)/(ax)b=

=a/blimax®(sin ax)/ax=a/b.

II замечательный предел.

limn®¥(1+1/n)n=?

Бином Ньютона: (a+b)n=an+nan-1b+(n(n-1)an-2b2)/2!+… +(n(n-1)(n-2)(n-3)an-4b4)/4!+...+bn.

(1+1/n)n=1+n1/n+n(n-1)/2!n2+n(n-1)(n-2)/3!n3+...+1/nn= =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nn={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/22(1-1/n)(1-2/n)+1/23(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2n < 2+0.5+1/22+1/23+...+1/2n =2+0.5(1-1/2n)/(1-0.5)=2+1-1/2n=3-1/2n <3.

2£(1+1/n)n<3 => $limn®¥(1+1/n)n=e.

Следствия
:


1.limx®+¥(1+1/x)x=e. Док-во: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³(1/x)+1 ³1/(n+1) + 1, (1/n+1)x³(1/x+1)x³(1+1/(n+1))x

(1/n+1)n+1³(1+1/x)x³(1+1/(n+1))n limn®¥(1+1/n)n(1+1/n)=e*1=e,·  limn®¥(1+1/(n+1))n+1*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => $limx®+¥(1+1/x)x=e.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х0равный значению фун f(x).limf(x)=f(x0)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. $limx®x0-0f(x) $limx®x0+0f(x) – конечные пределы; 3. limx®x0-f(x)=limx®x0+f(x);

4. limx®x0±f(x)=f(x0).

Если Х0т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0– 1 род

Если Х0– 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х0т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0– 2род.

Св-ванепрерывности в точке:

1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность)  y(х)=f1(x)±f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.

Док-во(суммы): По определению получ limх®х0f1(x)=f1(x0) и limх®х0f2(x)=f2(x0) на основании св-ва1 можем написать: limх®х0у(х)=limх®х0[f1(x)+f2(x) ]=

=limх®х0f1(x)+limх®х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0). Итак сумма есть непрерывная фун.· 

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z=j(х0), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, в), где а<в, то говорят, что фун непреывнана этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а, в).

Непрерывности на заданном промежутке


Ф-ияназ-ся непрерывной на пром-ке
(a;b), если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.

Свойства
(small)
:

1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м<y<М; 3. если на заданном пром-ке есть хотя бы одна т-ка в кот ф-ия отрицат, то $ x0на [a;b], f(x0)=0.


Св-ванепрерывности на заданном промежутке
(full):

1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а, в] (а<х<в), то на отрезке [а, в] найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x1)³f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х2, что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю

f(x2)£ f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).

2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а, в] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.

3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а, в]. Если на концах этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число m, заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=m.

    продолжение
--PAGE_BREAK--