Реферат: Математика

Многочленом (полиномом)

от матрицы А наз.Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а А²+а А+а А

Пусть дан многочлен р(Х),если р(А)=0, т.е. р(А) –нулевая, то М. А наз. корнем многочденар(Х), а многочлен р(Х)аннулирующим многочленом от матрицы А.

Правило Сариуса

знаков для 3-его порядка.

Минором

наз. определитель, полученыйвычёркиванием той строки и того столбца на которых стоит данный элемент.

Алг

. дополнением эл. Аik наз. минор, взятый со знаком Аik=(-1) Mik .

Разложение ∆ 3-его порядка

по элементам первой строки:∆=а11А11+а12А12+а13А13 .

Матрицей обратной кв. матрице А наз. кв. матрица А¯¹ удовл.рав. А А¯¹= А¯¹ А=Е.

Кв. матрица наз.невыражденой, если её

det≠0.

Теор

. Всяк. невыражд. матр. А имеет невыражд. ей обр. матр.: А¯¹=A/detA.

Произвольную невыражд.матр. можно привести к еденичной(А

"Е) — метод Жордано.

Нахождение обр.матр. с помащю эл. преобр. Теор.

Если к ед. матрице порядка n применить те же эл.преобр., только над строками и в том же порядке с пом. котор. невыражд.кв. матр. А приводится к ед., то полученная при этомматрица будет обратной матрице А. (А|E)"(E|A¯¹).

Ах=В уА=В

х

=А¯¹В у=ВА¯¹Ранг матрицы

В матр.

m*n выберем произв. S-строк,S-столб. (1≤S≤min(m,n)).Элем., стоящ. на пересечен. выбр. стр. столб. обр. матр. порядка S. Определитель этой матрицы наз. минорм порядка S матр А.

Этот определитель наз.минормвторого порядка исходн. матр.Аналог. получ. др. миноры втор.порь., а также трет. порь., нек. из них мог. = 0.

Рангом

матр. наз. наиб. из порядков её миноров,≠0.

Если все миноры =0, то ранг =0.

Свойства ранга

1.

R транспонир. матр.= Rисходн.

2.

R М. не завис. От отсутствия или присутствия в ней нулевыхстрок.

3.

Приэл. преобр. R матр. немен. С их пом. матр. можнопривести к квазитреуголной форме,R котор. = r, т.к. её минор с гл. диог. равен произведен. и ≠0, а все миноры болеевысокого порядка =0, как содержащие нулевые строки.Матричная записьлинейной ситемы

А=(Кооф.), Х=(неизв.), В=(св. чл.),Ấ=(кооф и св. члены)

Невыражд

. сист.

|a11 a12 … b1 .. a1m|

∆=

|кооф.|, ∆k=| a21 a22… b2 .. a2m|

|………………………………..|

| am1 am2… bm ..amm|

ТеоремаКрамера.

Невыражн. лин. сит.имеет ед. решение х1=∆1/∆, х2=∆2/∆………

Метод Гаусса-Жордано(и наобарот)

Заключ

. в эл. преобраз. матр.ВЕКТОЫ

Коллинеарн

. вект. – лежащ. на || прямых или на одой прямой.

Равныевект.

– коллин. и имеющ.одинак. направление и длину.

Протиположными

наз. векторы ¯ и имеющие равные длины.

Св.векторы

– т.приложения котрых может быть выбрана произвольно.

Радиус-векторомт.

наз. вектор т. приложения которого является нач. коорд., а конец находится вт.

Направляющимикосинусами векторов

наз.косинусы углов α, β, γ образованных ими с коорд.осями.

|r|=√(x²+y²+z²) x=|r|cosα y=|r|cosβ … … => cosα=x/√(x²+y²+z²)

Единичныйвектор

Даны

n векторов. Лин.комб. a=α1*a1+α2*a2+…+αn*an x=α1*x1+α2*x2+…+αn*xn y=…Деление отрезка в данном отношении

X=(x1+ℓx2)/(1+ℓ) –

в отношении ℓ.Скалярн. произведение векторов

ab=|a||b|cos

(ab) Т.к. |b|cosφ=прa b,|a|cosφ=прb a, ab=|a|пр a b = |b|пр b a

Свойства:

1.Переместит(коммуникативности)аb=ba

2.Сочетательности(ассоциативности) относительно числ.множ. (

αa)b=α(ab)

3

.Распределительности(дистрибутивности) относит. суммы векторов a(b+c)=ab+ac

Правило лев. и прав. тройки В.

3 не комплан. вект.

a,b,c взятых взятых в указанном порядкеи приложенных к одной точке наз. тройкой векторов abc.

Будемсм. с конца

cна плоск. образ. вект.а и b, если кратчайший поворот от а к b совершим против часовой стрелки тотройка наз. правой…

Векторнымпроизведением

2-хвекторов a иb наз.вектор [a*b] и удовл.след. усл.:1)|[a*b]|=|a||b|sinα ;2)[a*b]┴a и b;3)тройка a b[a*b] имеет ту же ориентацию, что и i jk.

Из усл. 1) следует что

| | векторное произведение = площадипараллелограмма.

[a*b

]=0 < = >a комплан. b

Свойства:

1.Антиперестановочности [a*b]=-[a*b]

2.Сочетательностиотносительно скалярн. множ.

[(αa)*b]=α[a*b]

3

|i j k |

[a*b]=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+……

|x2 y2z2| |y2 z2|

Смешанноепроизведениевекторов

Даны

3 вект. a,b,c . Умножим векторноa наb и скалярно на с. В рез. получ.число, котор наз. векторно-скалярнымпроизведением или смешаным.

V

параллелипипеда=смеш. произвед. вект. и «+», если тр. abc прав.

abc=

[ab]c=a[bc]

|x1 y1 …|

abc=|x2 … …| < = > abc-

комплан.

|x3 ……| |x2-x1 y2-y1… |

V

3-ох угольн.Пирамиды=mod|x3-x1 … …|

|x4-x1 … … |

Линейная завис. Векторов

a1,a2,…an –

наз. лин. завис.векторов, если сущ. α1,α2 …αn, таких что: α1*a1+α2*a2+…+αn*an=0

Теорема1

. a1,a2,…,an, n>1 лин зависима < = > по меньшей мере, один из них явл. лин. комб.остальных.

Теорема2.

а и b лин. завис < = > они коллин.

Теорема3.

Если е1 и е2 –не колинеарные векторы нек.плоск., то любой третий вектор а, принадлежащий тойже плоскости ед. образом раскл. по ним а=х*е1+у*е2.

Теорема4.

a,b,c – лин. завис. < = > они коллинеарны.

Теорема5.

Если е1, е2, е3 некомплан., то любой любой аможно ед. обр. разложить по ним а=α1*е1+α2*е2+α3*е3

Теорема6.

Всяк. 4-евектора лин. завис.

Базис

– любая упорядоченая система 3-ох лин. независ., т.е. не компланарныхвекторов d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) в базисе е1е2е3

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ…

F(x,y)=0 –

ур-е линии в общем виде

F(

ρ,φ)=0 – … в полярных координатах. Если этоуравнение разрешимо относительно ρ, то ρ=ρ(φ).

x=f

(t)

y=

φ (t) / — параметрические уравнения линии.

Если

дан. линии заданы ур-ем ρ= ρ(φ), параметрически ур-я записываются x=ρ(φ)*cos φ y=ρ(φ)*sin φ

Упрощ

. ур-е второйстепени не содержащее члена с произведением координат Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1)

Перейдёмк нов. сист. коорд. оху путём параллельного переноса.

Ур-е

(1) путём выделения полных квадратов преведено к одному из следующих канонических уравнений:

х²/a²+y²/b²=1 –

эллипс – геом. место точек плоскости, для котор. сумма раст. до двух данныхт. (фокусов) =const,F1(-c,0),F2(c,0),c=√(a²+b²)

Эпсиктриситетом эл. наз.ξ=√(1-(b/a)²) Директрисамиэл. наз. прямые x=a/ξ иx=--a/ξ

х²/a²+y²/b²=0 – удовл. коорд. ед.т. (0,0)

х²/a²+y²/b²=-1 – неудовл. коорд. ни одной т.

в сл. А*С>0

линии элипсическоготипа

х²/a² — y²/b²=1 или --х²/a² + y²/b²=1 – гиперболы –

геом. место т. плоскости для которых | | разности расстояний до двух данныхт.(фокусов)=const

F1(-c,0), F2(c,0),c=√(a²+b²) , ξ=c/a, Ассимптоты: у=х*b/a и y=-- х*b/a , Директрисы: x=-a/ξ и x=a/ξ |

Равносторонние Г. – с равными полуосями. /

х²/a² — y²/b²=0 – пара пересекающихся прямых /- линии гиперболического типа

у²=2px –

парабола — геом. место т. плоскости равноудалённых от фокуса и директрисы

Симметрин. относит. ох: у²=2px, Директриса x=-p/2 ,F(p/2,0), r=x+p/2 |

oy: x²=2qy, Директрисаy=-q/2 ,F(0,q/2), r=y+q/2 |

y²=b²

— пара || прямых >- линии параболического типа

y²=0 –

пара совпавших прямых /

y²=--b² — неудовл.коорд. ни одной т.

ЕслиС=0, А≠0, то (1)приводится х²=2qy

Прямаяна плоскости

.Общий вид: х=а или y=b

k=(y2-y1)/(x2-x1)

, где х1, у1,…,… -координаты двух любых т. плоскости. | tg(угла м/у 2-я ∩ прямыми)=(k2-k1)/(1+k1k2)

Уравнениекасательной:

y-y0=k(x-x0) | Если прямые заданы общими уравнениями (Ах+Ву+С=0):

Ур-е

нормали: y-y0=-1/k*(x-x0) | tg(угла м/у 2-я ∩прямыми)=(A1*B2-A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)

Ур

-е прямой (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2≠x1,y2≠y1) | || < = >A1/A2=B1/B2 , ┴ A1/B1=--B2/A2

Ур

-е прямой в отрезках x=x1+(x2—x1)*t y=y1=(y2—y1)*t , t € R

Расстояние

от т. М0(х0, у0) до прямой Ах+Ву+С=0:d=(A*x0+B*y0+C)/√(A²+B²)

Ур-е

окружности : (x-a)²+(y-b)²=R²

Упрощ

.общее ур-е второй степени: Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

При повароте коорд осей на α для которого ctg2α=(A— C)/2B

x=x’ cos α –y’sin α

y=x’ sin α +x’ cosα

Предел ф-ии.

Постоянная b наз. lim y=f(x) при x→a , если для любого ξ>0 сущ. δ>0, что при всех x удовл. усл. 0<|x-a|< δ, выполняется условие |f(x)-b|<ξ

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Шпаргалки по ВЫШКЕ

29 Августа 2013

Реферат по математике

Формулы по тригонометрии (шпаргалка)

29 Августа 2013

Реферат по математике

Шпаргалка по геометрии и алгебре

20 Июня 2015

Реферат по математике

Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ

20 Июня 2015