Реферат: Высшая математика (шпаргалка)

1. Векторы. Действиянад векторами.

Вектором наз.упорядоченная совокупность чисел Х=

{X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерномпространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3.Геометрический вектор — направленный отрезок. |AB|=|a|- длинна.2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ныхпрямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ныхплоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеютодинак-ую длинну.

1.умножение на число:произведение вектора А на число

l наз. такой вектор В,который обладает след. св-ми: а) А||В.б) l>0, то АВ, l<0, то А¯В. в)l>1, то А<В, )l<1, то А>В. 2. Разделитьвектор на число n значит умножить его на число, обратноеn:а/n=a*(1/n).

<img src="/cache/referats/8042/image002.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1026">3.Суммой неск-ихвекторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнеговектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор

c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектора.

2.3. Декартовапрямоугольная система координат. Базис.

Базисом на плоскостиназывается совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов,проведенных к ней.

<img src="/cache/referats/8042/image004.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1027">Базисом в пространственаз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарныхвекторов.

<img src="/cache/referats/8042/image006.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1028">Любой вектор наплоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор впространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.

<img src="/cache/referats/8042/image008.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1029">ОС

=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj.Числа х, уназ-ся координатами вектора ОС в данном базисе

4. Действия надвекторами.

а

=х1i+y1j+z1k; b=х2i+y2j+z2k

l*a=

l(х1i+y1j+z1k)= l(х1)i+l (y1)j+l(z1)k

a

±b=(x1±x2)i+(y1±y2)j+(z1±z2)k

ab

=x1x2ii+y1x2ij+x2z1ki+x1y2ij+y1y2jj+z1y2kj+x1z1ik+y1z2jk+z1z2kk=x1x2+y1y2+z1z2

ii

=1; ij=0; и т.д.

скалярное произведение2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

аа

=x2+y2+z2=|a|2 a{x,y,z},aa=|a|*|a|, то a2=|a|2

ab

=|a|*|b|*cosj

а)ав=0,

<=>а^в, x1x2+y1y2+z1z2=0

б)а||

в — коллинеарны, если,x1/x2=y1/y2=z1/z2

5. Скалярноепроизведение векторов и его свойства.

-(“

skala”-шкала)2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этихвекторов на cos угла между ними. (а, в)- скалярноепроизведение. а*в=|а|*|в|*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab=0. Равенство“0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие ихперпендикулярности (ортогональности).

6. Векторноепроизведение 2х векторов.

левая — правая

Тройка векторов а, в, сназ. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора скратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки.Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки — левая. Векторнымпроизведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с,который удовлетворяет условиям: 1.

|c|=|a|*|b|*sinj. 2. c^a иc^b.3. тройкаа, в, с-правая.

7. Смешанноепроизведение векторов и его свойства.

Смешаннымпроизведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом:

a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где

a

={ax,ay,az}

b

={bx,by,bz}

c

={cx,cy,cz}

Св-ва:
1. При перестановке 2х сомножителей:

a

*b*c=-b*c*a

2.

неменяется при перестановке циклических сомножителей:

a

*b*c=c*a*b=b*c*a

3.а)(Геометрич. смысл)необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство

a*b*c=0

б)если некомпланарные вектора

a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах

если a*b*c>0,то тройка a,b,c — правая

если a*b*c<0,то тройка a,b,c — левая

8. Уравнение линии иповерхности.

1. Уравнение сферы.Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемойцентром.

<img src="/cache/referats/8042/image020.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1030">O(a,b,c)

|OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c}

r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 —

уравнение сферы. x2+y2+z2=r2 — ур-е сферы с центромточке(0,0).

F

(x,y,z)=0- ур-еповерхности — ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащейна поверхности.

2. Уравнениеокружности

|OM|=r, OM={x-a,y-b)

r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 —

ур-е окружности

а=

b=0,то x2+y2=r2

F(x,y)=0-

ур-елинии на плоскости.

9. Плоскость впространстве.

Ур-е в плоскости,проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.

<img src="/cache/referats/8042/image028.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1031">N

-векторнормали

M0M

{x-x0,y-y0,z-z0}

Для того, чтобы точка

MÎP,необходимо и достаточно чтобы вектора N^M0M(т.е. N*M0M=0)

A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 —

ур-е плоскости,проходящей через данную точку ^вектору.

10. Общее уравнениеплоскости.

Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0

-Ax0-By0-Сz0=D,

где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если

D=0,то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если

A=0,то By+Сz+D=0

Если

B=0,то Ax +Сz+D=0

Если

C=0,то Ax+By+D=0

Если

A=B=0,то Сz+D=0

Если

A=C=0,то By+D=0

Если

A=D=0,то By+Сz=0

Если

B=D=0,то Ay+Сz=0

11

.Взаимное расположение плоскостей.

N1

,N2-нормальные векторыплоскости.

P:A1x+B1y+C1z+D1=0

Q:A2x+B2y+C2z+D2=0

P

^Q{A1,B1,C1}

Q

^N2{A2,B2,C2}

1)Пусть

P^Q<=>N1^N2

A1A2+B1B2+C1C2=0

условиеперпендикулярности P^Q.

2)

Пусть P^Q<=> N1^N2

A1/A2=B1/B2=C1/C2 —

Условиепараллельности 2х плоскостей.

A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2 —

Условиесовпадения 2х плоскостей.

12. Каноническоеуравнение прямой в пространстве.

M0M

{x-x0,y-y0,z-z0}

Чтобы точка М

Îпрямой(илилежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M0M||S

13

.Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.

l m n

S

{x2-x1,y2-y1,z2-z1}

14

.прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющеговектора прямой.

P:A1x+B1y+C1z+D1=0

Q:A2x+B2y+C2z+D2=0

Общееур-е прямой в пространстве.

Для того, чтобыперейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку инаправляющий вектор:

1. Найдем начальнуюточку:

Z=0 <img src="/cache/referats/8042/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1056">

M0(x0,y0,0)

, т.к. Z=0

2. Найдем направляющийвектор

S-?

P

^N1{A1,B1,C1}

Q

^N1{A2,B2,C2}

S

=N1*N2

16. Взаимноерасположение прямой на плоскости.

P:A1x+B1y+C1z+D1=0

^N1{A1,B1}

Q:A2x+B2y+C2z+D2=0

^N2{A2,B2}

а

)

то

б)

q<=> N1||N2, то A1/A2=B1/B2

в)

<img src="/cache/referats/8042/image059.jpg" v:shapes="_x0000_i1062">N1

^N2, то A1A2+B1B2=0

<img src="/cache/referats/8042/image061.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034">17.

Общееур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.

Сначала запишем ур-епрямой, проходящей через заданную точку

^ заданному вектору.

M0(x0,y0)

M0M

{x-x0,y-y0}

n*M0M=0

A(x-x0)+B(y-y0)=0

Ax+By-Ax0-By0=0

-Ax0-By0=C

Ax+By+C=0-

общееуравнение прямой на плоскости.

18.19. Каноническоеур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е сугловым коэффициентом.

y-y1=k1(x-x1)

y=k1x-k1x1+y1

y1-k1x1=b

y=k1x+b

ур-е прямой с угловымкоэффициентом

k.

<img src="/cache/referats/8042/image071.gif" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1035"><img src="/cache/referats/8042/image073.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1036">Пусть даны 2 точки M1(x1,y1),M2(x2,y2) и

x1¹x2, y1¹y2. Для составленияуравнения прямой М1М2 запишем уравнения пучка прямых,проходящих через точку М1: y-y1=k(x-x1).Т.к. М2лежитна данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М2в уравнение пучка М1: y-y1=k(x-x1)и найдемk:

Теперь вид искомойпрямой имеет вид:

- Ур-е прямой,проходящей ч/з 2

<img src="/cache/referats/8042/image079.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1037">20

,21.Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия ||и^.

а) <img src="/cache/referats/8042/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1077">

S1

{l1,m1}S2{l2,m2},

или

p:y=k1x+b1, k1=tg

j1

q:y=k2x+b2, k2=tg

j2 =>tgj=tg(j2-j1)=

=(tg

j2-tgj1)/(1+tgj1tgj2)=

=(k2-k1)/(1+k1k2).

б)

p||q, tgj=0, k1=k2

в)

p^q,то<img src="/cache/referats/8042/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1080">

22

.Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.

1.

Ax+By+C=0, M0(x0,y0)

2

.Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0

23

.Кривые линии 2-го порядка.

Кривые 2го порядкаописываются с помощью общего ур-я:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

, где

а) Каноническое ур-еэллипса

<img src="/cache/referats/8042/image099.gif" v:shapes="_x0000_i1086"> — Каноническое ур-еэллипса

Если

a=b, тоx2+b2=a2 — ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы:

x2/a2-y2/b2=1

в) ур-е параболы:

y2=2px или y=ax2

г) ур-е сферы:

x2+y2+z2=а2 (r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2)

д) ур-е эллипса:

x2/a2-y2/b2+z2/c2=1

24. Парабола и еесвойства.

Множество точекплоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координатудовлетворяет уравнению

y=ax2, где х и у — текущиекоординаты, а- нек. число, наз. параболой.

<img src="/cache/referats/8042/image103.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1038">Если вершина нах. вО(0,0), то ур-е примет вид

y

2=2px-симметричноотн. оси ОХ

х

2=2pу-симметричноотн. оси ОУ

Точка

F(p/2,0)наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 — ее директриса.

Любой точке М(х, у),принадлежащей параболе, расстояние до фокуса =

r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст.собой

¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса иот директрисы y=ax2.

25.Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядканаз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

А

x2+Cy2=d

ур.-е <img src="/cache/referats/8042/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1090">

наз. канонич. ур.-емэллипса, где <img src="/cache/referats/8042/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1091"> <img src="/cache/referats/8042/image109.gif" v:shapes="_x0000_i1092"> При а=в представляетсобой ур-е окружности х2+

y2=а2

Точки

F1(-c,0) и F2(c,0) — наз. фокусамиэллипса а.

Отношение

e=с/аназ. его эксцентриситетом (0<=e<=1)

Точки

A1,A2,B1,B2 -вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величинапостоянной, =2а.

26. Гипербола и еесв-ва.

Кривая 2го порядканаз. гиперболой, если в ур-ии

Ax2+Cy2=d, коэффициент А и Симеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если

d>0, то каноническое ур-египерболы примет вид: x2/a2-y2/b2=1,F1(c,o) иF2(-c,0) — фокусы ее, e>0, e=c/a- эксцентриситет.

Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусовесть величина постоянная = 2а.

б) если

d=0,ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0,получаем 2перекрестные прямые х/а±у/b=0

в) если

d<0,то x2/a2-y2/b2=-1 — ур-е сопряженнойгиперболы.

27. Понятие оповерхностях 2го порядка.

Алгебраическим ур-ем2ой степени наз. ур-е вида

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+ey+F=0,где A,B,C,D,e,F — действительные числа

Линии, которые всистеме декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз.линиями 2го порядка.

28. Функции.Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарныефункции.

Функция — этозависимость одной величины от другой.

Если существуетвзаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменнойу другого множества, то она называется функциональной зависимостью.

y=f(x).

Определение способазадания:

-аналитически (

y=kx+b)

-

графический(график)

-таблично

x

1

2

3

y

4

5

8

-

алгоритмически(с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Элементарные:

— функции, которыеполучаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий(+,-,*,/, введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1.

y=xn -степенная

2. y=ax —

показательная

3.

y=logax — логарифмическая

4.

y=sinx, y=cosx — тригонометрические.

Сложные:

Y=f(U), где U=

j(x), Y=f[j(x)]

Если ф-ция у зависитот промежуточного аргумента