Реферат: Шпоры по теории вероятности
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; color:#3366FF;mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA"><span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF; mso-ansi-language:EN-US">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос2
<span Tahoma",«sans-serif»">ДиаграммаВьенна-Эйлера
<span Tahoma",«sans-serif»">
<span Tahoma",«sans-serif»">А) событие
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">Б) Сложение –событие, кот состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»"> или <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»"><span Tahoma",«sans-serif»">В) произведениесобытий- А и
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»"> одновременно<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US"><span Tahoma",«sans-serif»">Г) Дополнение –событие принадлежит к А, но не принадлежит к
<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»"><span Tahoma",«sans-serif»"> Д) противоположное событию
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»"> событие В<span Tahoma",«sans-serif»">Е) Несовместимыесобытия – если они не могут произойти одноременно
<span Tahoma",«sans-serif»">Ж) События образуютполную группу, если хотя бы одно из них обязательно происходит в результатеиспытания
<span Tahoma",«sans-serif»">З) А влечет за собойВ
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF; mso-ansi-language:EN-US">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос3
<span Tahoma",«sans-serif»">Классическаяформула вероятности
<span Tahoma",«sans-serif»">Если множествоэлементарных событий Ω={
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">ω<span Tahoma",«sans-serif»">1,<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">ω<span Tahoma",«sans-serif»">2,…ω<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">N<span Tahoma",«sans-serif»">}, конечно и всеэлементарные события равновозможны, то такая вероятностная схема носит названиеклассической. В этом случаевероятность Р{А} наступления события А, состоящего из М элементарных событий,входящих в Ω, определяется как отношение числа М элементарных событий,благоприятствующих наступлению события А, к общему числу <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">N<span Tahoma",«sans-serif»"> элементарных событий. Эта формула носит названиеклассической формулы вероятности: Р{А}= <span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">N<span Tahoma",«sans-serif»">.<span Tahoma",«sans-serif»">В частности, согласноклассической формуле вероятности:
<span Tahoma",«sans-serif»">Р{
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">ωi<span Tahoma",«sans-serif»"> }=1/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">N<span Tahoma",«sans-serif»"> (<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">i<span Tahoma",«sans-serif»">=1,2,…, <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">N<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»">Р{Ω}=
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">N<span Tahoma",«sans-serif»">/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">N<span Tahoma",«sans-serif»"> =1<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P
<span Tahoma",«sans-serif»">{Æ<span Tahoma",«sans-serif»">}=0/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">N<span Tahoma",«sans-serif»"> =0 <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US"><span Tahoma",«sans-serif»">Комбинаторика,
<span Tahoma",«sans-serif»"> 1) то же, что математический <a href=«encycl.yandex.ru/redir?dtype=encyc&url=»www.rubricon.com/partner.asp%3Faid%3D%7b396AFA6F-857B-419E-B263-466B0C1E4800%7d%26ext%3D0">комбинаторныйанализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучениемколичества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можносоставить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы;это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.). Число размещений. Пусть имеется n различных предметов. Сколькимиспособами можно выбрать из них т предметов(учитывая порядок, в котором выбираются предметы)? Число способов равно Anm =? Anm называютчислом размещений из nэлементов по m. Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов. Сколькимиспособами можно выбрать из них тпредметов (безразлично, в каком порядке выбираются предметы)? Число способовтакого выбора равно Cnm = <img src="/cache/referats/20245/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> Cnmназывают числом сочетаний из nэлементов по m. Числа Cnm получаютсякак коэффициенты разложения n-й степени двучлена: (<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">a<span Tahoma",«sans-serif»">+<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">b<span Tahoma",«sans-serif»">) <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">n<span Tahoma",«sans-serif»">=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">Cn<span Tahoma",«sans-serif»">0<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">an<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»">+ <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">Cn<span Tahoma",«sans-serif»">1<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">an<span Tahoma",«sans-serif»">-1<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">b<span Tahoma",«sans-serif»"> +<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">Cn<span Tahoma",«sans-serif»">2<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">an<span Tahoma",«sans-serif»">-2<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">b<span Tahoma",«sans-serif»">2<span Tahoma",«sans-serif»">?<span Tahoma",«sans-serif»">+… + Cnn-1abn-1+ Cnnbn, и поэтому они называются также биномиальнымикоэффициентами. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов: Cnm=Cnn-m,Cnm? + Cnm+1 = Cn+1m+1, Cn0+ Cn1 + Cn2+...+ Cnn-1+ Cnn =2n, ? Cn0 — Cn1 + Cn2-...+ (-1) nCnn= 0. Числа Anm, Pmи Cnmсвязаны соотношением: Anm=Pm Cnm.Рассматриваются также размещения с повторением (т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных видов, порядок в наборе существен) и сочетания сповторением (то же, но порядок в наборе не существен). Число размещений сповторением даётся формулой nm,число сочетаний с повторением — формулой Cmn+m-1.<span Tahoma",«sans-serif»">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос4
<span Tahoma",«sans-serif»">При аксиоматическомпостроении вероятностей в каждом конкретном пространстве элементарных событий
W<span Tahoma",«sans-serif»"> выделяется s<span Tahoma",«sans-serif»">-полесобытий <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">S<span Tahoma",«sans-serif»"> для каждого события <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">AÎ<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">S<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»">задаетсявероятность <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">{<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">} – числовая функция, определенная на s<span Tahoma",«sans-serif»">-поле событий <span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">S<span Tahoma",«sans-serif»"> и удовлетворяющаяследующим аксиомам.<span Tahoma",«sans-serif»">Аксиоманеотрицательности вероятности для всех
<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»"> Î<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">S<span Tahoma",«sans-serif»">: <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">{<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">}³<span Tahoma",«sans-serif»"> 0.<span Tahoma",«sans-serif»">Аксиоманормированности вероятности:
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">{W<span Tahoma",«sans-serif»">}=1.<span Tahoma",«sans-serif»">Аксиома адаптивностивероятности: для всех
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">,<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">BÎ<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">S<span Tahoma",«sans-serif»">, таких, что <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">AÇ<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">B¹Æ<span Tahoma",«sans-serif»">: <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">{<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">AÈ<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">}=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">{<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">} +<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">{<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">}<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF; mso-ansi-language:EN-US">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос6
<span Tahoma",«sans-serif»"><span Tahoma",«sans-serif»">1) Условнаявероятность события А при условии В равна Р(А/
<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">)=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">*<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">)/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">), Р(В)>0.<span Tahoma",«sans-serif»"> 2) Событие А не зависит от события В, еслиР(А/
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">)=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">). Независимостьсобытий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то событие В не зависитот А. В самом деле при Р(А)>0 имеем Р(<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">)=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">*<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">)/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">)=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">)*<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">)/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">)=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">)*<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">)/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">)=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">). Вытекает следующая формула умножения вероятностей:Р(А*В)=Р(А)*Р(В/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">A<span Tahoma",«sans-serif»">). Для независимых событий вероятностьпроизведения событий равна произведению их вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В). 3)События А1, А2,…, А<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">n<span Tahoma",«sans-serif»"> образуют полнуюгруппу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверноесобытие, т.е. А<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">i<span Tahoma",«sans-serif»">*<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">Aj<span Tahoma",«sans-serif»">=0, <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">i<span Tahoma",«sans-serif»"> не=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">j<span Tahoma",«sans-serif»">, <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">U<span Tahoma",«sans-serif»"> по <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">i<span Tahoma",«sans-serif»"> от 1 до <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">n<span Tahoma",«sans-serif»"> А<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">i<span Tahoma",«sans-serif»">=омега.<span Tahoma",«sans-serif»">Вероятностьсовместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из нихна условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первоесобытие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)*Ра(В). В частности для независимых событийР(АВ)=Р(А)*Р(В), т.е. вероятность совместного появления двух независимыхсобытий равна произведению вероятностей этих событий.
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос7
<span Tahoma",«sans-serif»"> Формула полной вероятности.Систему событий А1, А2, ...,AN называют конечнымразбиением (или просто разбиением), если они попарно несовместны, а ихсумма образует полное пространство событий: А1 + А2 +…+ АN =
<span Tahoma",«sans-serif»">Если события Аiобразуют разбиение пространства событий и все P(Ai) > 0, то длялюбого события В имеет место формула полной вероятности:
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">)=<img src="/cache/referats/20245/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"><span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">Ak<span Tahoma",«sans-serif»">)×<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">B<span Tahoma",«sans-serif»">/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">Ak<span Tahoma",«sans-serif»">),<span Tahoma",«sans-serif»">что непосредственноследует из (8.2.14) для попарно несовместных событий:
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">B = B
×<span Tahoma",«sans-serif»"><span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US"> = BA1+BA2+...BAN.<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P(B) = P(BA1)+P(BA2)+… +P(BAN) = P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+...+P(AN)P(B/AN).
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF; mso-ansi-language:EN-US">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос8
<span Tahoma",«sans-serif»">Формулабаеса
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос9
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF"><img src="/cache/referats/20245/image006.jpg" v:shapes="_x0000_i1027">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF"><img src="/cache/referats/20245/image008.jpg" v:shapes="_x0000_i1028">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос10
<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">Случайной величиной
<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">называется числовая величина, которая врезультате опыта может принять какое-либо значение из некоторого множества,причем заранее, до проведения опыта, невозможно сказать, какое именно значениеона примет. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами <span Tahoma",«sans-serif»;color:black;mso-ansi-language:EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">, <span Tahoma",«sans-serif»;color:black; mso-ansi-language:EN-US">Y<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">, <span Tahoma",«sans-serif»;color:black; mso-ansi-language:EN-US">Z<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">,..., аих возможные значения — строчными латинскими буквами х, у, <span Tahoma",«sans-serif»;color:black;mso-ansi-language:EN-US">z<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">. <span Tahoma",«sans-serif»;color:black">Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, и непрерывной в противном случае. Закономраспределения случайной величины называется любое соотношение,связывающее возможные значения этой случайной величины и соответствующие имвероятности. Закон распределения дискретной случайной величины задается чащевсего не функцией распределения, арядом распределения, т.е, таблицей<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF">Х
<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF;mso-ansi-language:EN-US">x1
<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF;mso-ansi-language:EN-US">x2
<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF;mso-ansi-language:EN-US">...
<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF;mso-ansi-language:EN-US">xn
<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF;mso-ansi-language:EN-US">...
<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF;mso-ansi-language:EN-US">P
<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF;mso-ansi-language:EN-US">p1
<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF;mso-ansi-language:EN-US">p1
<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF;mso-ansi-language:EN-US">...
<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF;mso-ansi-language:EN-US">pn
<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF;mso-ansi-language:EN-US">...
<span Tahoma",«sans-serif»; color:black">В которой
<span Tahoma",«sans-serif»;color:black; mso-ansi-language:EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">1, <span Tahoma",«sans-serif»;color:black; mso-ansi-language:EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">2, ..., <span Tahoma",«sans-serif»;color:black; mso-ansi-language:EN-US">xn<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">,… — <span Tahoma",«sans-serif»;color:black">расположенные по возрастанию значениядискретной случайной величины <span Tahoma",«sans-serif»;color:black;mso-ansi-language:EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">, <span Tahoma",«sans-serif»;color:black">а р1,р2, ..., рп,… — отвечающие этим значениям вероятности: <span Tahoma",«sans-serif»;color:black; mso-ansi-language:EN-US">pi<span Tahoma",«sans-serif»;color:black"> = Р{Х = <span Tahoma",«sans-serif»;color:black">х<span Tahoma",«sans-serif»; color:black;mso-ansi-language:EN-US">i<span Tahoma",«sans-serif»; color:black">), <span Tahoma",«sans-serif»;color:black; mso-ansi-language:EN-US">i<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">=1, 2, ..., п, …. Число столбцов в этой таблице может быть конечным (если соответствующая случайнаявеличина принимает конечное число значений) или бесконечныи. Очевидно,S<span Tahoma",«sans-serif»;color:black"> <span Tahoma",«sans-serif»; color:black;mso-ansi-language:EN-US">pi<span Tahoma",«sans-serif»; color:black">=1.<span Tahoma",«sans-serif»"><span Tahoma",«sans-serif»;color:black">Многоугольником распределения
<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">дискретной случайной величины <span Tahoma",«sans-serif»;color:black; mso-ansi-language:EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»;color:black"> называ<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">ется ломаная, соединяющая точки {<span Tahoma",«sans-serif»;color:black; mso-ansi-language:EN-US">xi<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">; <span Tahoma",«sans-serif»;color:black; mso-ansi-language:EN-US">pi<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">), <span Tahoma",«sans-serif»;color:black">расположенные в Порядке возрастания х<span Tahoma",«sans-serif»;color:black; mso-ansi-language:EN-US">i<span Tahoma",«sans-serif»;color:black">.<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF"><span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»; color:#3366FF">Вопрос 11
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»">Функциейраспределения случайной величины<span Tahoma",«sans-serif»"> Х называется функция <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">FX<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)=<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">{<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»"><<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">},<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">xÎ<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">R<span Tahoma",«sans-serif»"><span Tahoma",«sans-serif»">Под{
<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»"><<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">}понимаетсясобытие, состоящее в том, что случайная величина Х принимает значение меньшее,чем число х. Если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс,обозначающий эту случайную величину, опускается: <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">F<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)º<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">FX<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">).<span Tahoma",«sans-serif»">Какчисловая функция от числового аргумента х, функция распределения
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">F<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)произвольной случайной величины Х обладает следующимисвойствами:<span Tahoma",«sans-serif»">1)длялюбого
<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">xÎ<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">R<span Tahoma",«sans-serif»">: 0£<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">F<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)£<span Tahoma",«sans-serif»"> 1<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">2) F(-
¥<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">) = limx®¥<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US"> <span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">F(x) = 0; F(+¥<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">) = limx®¥<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US"> <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">F(x) = 1;<span Tahoma",«sans-serif»">3)
<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">F<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)-неубывающаяфункция, т.е.для любых х1, х2 Î<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">R<span Tahoma",«sans-serif»"> таких, что х1<х2:<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">F<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">1)£<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">F<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">2);<span Tahoma",«sans-serif»">4)длялюбого
<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">xÎ<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">R<span Tahoma",«sans-serif»">: <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">F<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)=<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">F<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">-0)=<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">lim<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">z<span Tahoma",«sans-serif»"><<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">,<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">z®<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">F<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">z<span Tahoma",«sans-serif»">).<span Tahoma",«sans-serif»">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос12
<span Tahoma",«sans-serif»">Мат. Ожиданием Д.С.В.называют сумму произведений всех еевозможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2р2+…+х
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">npn<span Tahoma",«sans-serif»">. <span Tahoma",«sans-serif»">Если Д.С.В. принимаетсчетное множество возможных значений, то М(Х)=сумма по <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">i<span Tahoma",«sans-serif»"> от 1 до бесконечности <span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">xipi<span Tahoma",«sans-serif»">, причем мат.ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Мат.ожидание обладает следующими свойствами:1) Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. 2)Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания: М (СХ)=СМ (Х). 3)Мат. ожидание произведения взаимно независимых С.В. равно произведению мат.ожиданий сомножителей: М (Х1, Х2…Х<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">n<span Tahoma",«sans-serif»">)=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">1)*<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">2)…<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">Xn<span Tahoma",«sans-serif»">). 4) Мат. ожиданиесуммы С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых: М (Х1+Х2+Х3+…+Х<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">n<span Tahoma",«sans-serif»">)=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">1)+<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">2)+<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">3)+…+<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">Xn<span Tahoma",«sans-serif»">).<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF"> Вопрос13
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»">Дисперсиейслучайной величины х<span Tahoma",«sans-serif»">называется число: <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">DX<span Tahoma",«sans-serif»">= <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">-<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">MX<span Tahoma",«sans-serif»">)2, равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины отсвоего математического ожидания. Для вычисления дисперсии иногда прощеиспользовать формулу: <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">DX<span Tahoma",«sans-serif»">=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">2<span Tahoma",«sans-serif»">)-(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">MX<span Tahoma",«sans-serif»">)2. Для дискретных св:<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">DX
<span Tahoma",«sans-serif»">=∑(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">xi<span Tahoma",«sans-serif»"> – <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">MX<span Tahoma",«sans-serif»">)2 <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">pi<span Tahoma",«sans-serif»">;<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">DX
<span Tahoma",«sans-serif»">=∑<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">xi<span Tahoma",«sans-serif»">2<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">pi<span Tahoma",«sans-serif»"> – (<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">MX<span Tahoma",«sans-serif»">) 2.<span Tahoma",«sans-serif»">Свойствадисперсии дискретной случайной величины: (
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">,<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">Y<span Tahoma",«sans-serif»">-независимыед.св, с- неслучайная постоянная Î<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">R<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">Dc=0;
<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">D(cX)=c2DX;
<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">D(X+Y)= DX + DY
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос15
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»">Случайная величина Х наз.распределённой погеометрическому закону с параметром р (рÎ<span Tahoma",«sans-serif»">[0;1]), если онапринимает значения 1,2,3… с вероятностями Р{Х=х}=р(1-р)х-1 (х = 1,2,3…).<span Tahoma",«sans-serif»">Случайнуювеличину Х можно интерпритировать как число испытаний Бернулли, которыепридётся произвести до первого успеха, если успех в единичном испытании можетпроизойти с вероятностью р.
<span Tahoma",«sans-serif»">Математическоеожидание случайной величины, имеющей геометрическое распределение: МХ=1/
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">p<span Tahoma",«sans-serif»">.<span Tahoma",«sans-serif»">Дисперсия:
<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">DX=1-p/p2<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF; mso-ansi-language:EN-US">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF; mso-ansi-language:EN-US">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF; mso-ansi-language:EN-US">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF; mso-ansi-language:EN-US">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос16
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»">Если число испытанийвелико, а вероятность <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»"> повяления события вкаждом испытнаии очень мала, то используют приближенную формулу<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">Pn
<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">k<span Tahoma",«sans-serif»">)=l<span Tahoma",«sans-serif»">^<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">k<span Tahoma",«sans-serif»">*<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">e<span Tahoma",«sans-serif»">^(-l<span Tahoma",«sans-serif»">/<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">k<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»">Где
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">k<span Tahoma",«sans-serif»"> – число появлений события в <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">n<span Tahoma",«sans-serif»"> независимых испытаниях, l<span Tahoma",«sans-serif»"> = <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">np<span Tahoma",«sans-serif»"> (среднее число появлений события в <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">n<span Tahoma",«sans-serif»"> независимых испытаниях), и говорят, что случайнаявеличина распределена по закону Пуассона.<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос 17
<span Tahoma",«sans-serif»">С.В. Х называетсянепрерывной, если существует неотрицательная функция рх(х) такая, что при любыхх функцию распределения
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">Fx<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">) можно представить в виде: <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">Fx<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)=интеграл от–бесконечности до х <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">px<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">y<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">dy<span Tahoma",«sans-serif»">.<span Tahoma",«sans-serif»"> Рассматривают только такие С.В., для которых рх(х)непрерывна всюду, кроме, может быть, конечного числа точек. Плотностьюраспределения вероятностей непрерывной С.В. называют первую производную отфункции распределения: <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">f<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)=<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">F<span Tahoma",«sans-serif»">’(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">). <span Tahoma",«sans-serif»">Вероятность того, чтоН.С.В. Х примет значение, принадлежащее интервалу (а,<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">b<span Tahoma",«sans-serif»">), определяется равенством <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">P<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">a<span Tahoma",«sans-serif»"><<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»"><<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">b<span Tahoma",«sans-serif»">)=интервал от а до <span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">b<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">f<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">dx<span Tahoma",«sans-serif»">. Зная плотность распределения можно найти функциюраспределения <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">F<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)=интеграл от –бесконечности до х <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">f<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">dx<span Tahoma",«sans-serif»">. Плотность распределения обладает следующимисвойствами: 1) П.Р. неотрицательна, т.е. <span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">f<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)>=0. 2) Несобственный интеграл от плотностираспределения в пределах от –бесконечности до бесконечности равен единице:интеграл от –бесконечности до бесконечности <span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">f<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">dx<span Tahoma",«sans-serif»">=1.<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF">Вопрос18
<span Tahoma",«sans-serif»">Мат. ожидание Н.С.В.Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством:М(Х)=интеграл от –бесконечности до бесконечности х
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">f<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">dx<span Tahoma",«sans-serif»">, где <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">f<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">) — плотность распределения С.В. Х. <span Tahoma",«sans-serif»">Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. Вчастности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а,<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">b<span Tahoma",«sans-serif»">), то М(Х)=интеграл от а до <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">b<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">xf<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">dx<span Tahoma",«sans-serif»">. Все свойства мат.ожидания, указаны выше, для Д.С.В. Они сохраняются и для Н.С.В.<span Tahoma",«sans-serif»">Дисперсия Н.С.В. Х,возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством:
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">D<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">)=интеграл от –бесконечностидо бесконечности [<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">-<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">)]*2<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">f<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">dx<span Tahoma",«sans-serif»">,<span Tahoma",«sans-serif»"> или равносильнымравенством: <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">D<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">)=интеграл от –бесконечности до бесконечности <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">*2<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">f<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">dx<span Tahoma",«sans-serif»"> – [<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">)]*2. В частности,если все возможные значения х принадлежат интервалу (<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">a<span Tahoma",«sans-serif»">,<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">b<span Tahoma",«sans-serif»">), то <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">D<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">)=интервал от а до <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">b<span Tahoma",«sans-serif»"> [<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»"> – <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">)]*2<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">f<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">x<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">dx<span Tahoma",«sans-serif»">, или <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">D<span Tahoma",«sans-serif»">(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">)=интеграл от<span Tahoma",«sans-serif»">
<span Tahoma",«sans-serif»;color:#3366FF"> Вопрос 19
<span Tahoma",«sans-serif»">Моментыраспределения.
<span Tahoma",«sans-serif»">Прирешении многих практических задач нет особой необходимости в полнойвероятностной характеристике каких-либо случайных величин, которую дает функцияплотности распределения вероятностей. Очень часто приходится также иметь дело санализом случайных величин, плотности вероятностей которых не отображаютсяаналитическими функциями либо вообще неизвестны. В этих случаях достаточно общеепредставление о характере и основных особенностях распределения случайныхвеличин можно получить на основании усредненных числовых характеристикраспределений.<span Tahoma",«sans-serif»">Числовымихарактеристиками случайных величин, которые однозначно определяются функциямираспределения их вероятностей, являются моменты.
<span Tahoma",«sans-serif»">Начальные моменты
<span Tahoma",«sans-serif»"> n-го порядкаслучайной величины X (или просто моменты) представляют собой усредненныезначения n-й степени случайной переменной: mn º<span Tahoma",«sans-serif»"> М{Xn}º<span Tahoma",«sans-serif»"><img src="/cache/referats/20245/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"><img src="/cache/referats/20245/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> xn p(x) dx,где M{Xn} и <img src="/cache/referats/20245/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1031">математического ожидания иусреднения величины Хn, которые вычисляются по пространствусостояний случайной величины Х.<span Tahoma",«sans-serif»">Соответственно, дляслучайных дискретных величин:
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">mn<span Tahoma",«sans-serif»"> º<span Tahoma",«sans-serif»">М{<span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">Xn<span Tahoma",«sans-serif»">}º<span Tahoma",«sans-serif»"> <img src="/cache/referats/20245/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1032"><img src="/cache/referats/20245/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1033"><span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">xin<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">pi<span Tahoma",«sans-serif»">.<span Tahoma",«sans-serif»">Центральные моменты
<span Tahoma",«sans-serif»">n-го порядка, этомоменты относительно центров распределения (средних значений) случайныхвеличин:<span Tahoma",«sans-serif»">n
º<span Tahoma",«sans-serif»">M{(X-<img src="/cache/referats/20245/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1034">n}º<span Tahoma",«sans-serif»"> <img src="/cache/referats/20245/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1035"><img src="/cache/referats/20245/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1036">1)n p(x) dx<span Tahoma",«sans-serif»">
<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">n<span Tahoma",«sans-serif»">º<span Tahoma",«sans-serif»"> <span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">M<span Tahoma",«sans-serif»">{(<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">X<span Tahoma",«sans-serif»">-<img src="/cache/referats/20245/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1037"><span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">n<span Tahoma",«sans-serif»">}º<span Tahoma",«sans-serif»"><img src="/cache/referats/20245/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1038"><img src="/cache/referats/20245/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1039"><span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language:EN-US">xi<span Tahoma",«sans-serif»">-<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">m<span Tahoma",«sans-serif»">1<span Tahoma",«sans-serif»">)<span Tahoma",«sans-serif»;mso-ansi-language: EN-US">n<span Tahoma",«sans-serif»"><span Tahoma",«sans-serif»; mso-ansi-language:EN-US">pi<span Tahoma",«sans-serif»">, где <img src="/cache/referats/20245/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> — начальный момент1-го порядка (среднее значение величины Х), X0= X-<img src="/cache/referats/20245/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> — центрированныезначения величины Х.<span Tahoma",«sans-serif»">Связь междуцентральными и начальными моментами достаточно проста:
<span Tahoma",«sans-serif»">1=0, 2=m2-m12, 3=m3-3m2m1+2m13, 4=m4-4m1m3+6m12m2-3m14, и т.д.
<span Tahoma",«sans-serif»">Соответственно, дляслучайных величин с нулевыми средними значениями начальные моменты равныцентральным моментам.
<span Tahoma",«sans-serif»">По результатамреализации случайных величин может производиться только оценка моментов, т.к. количество измерений всегда конечно и неможет с абсолютной точностью отражать все пространство состояний случайныхвеличи