Реферат: Средства визуализации изображений в компьютерной томографии и цифровых рентгенографических системах
МинистерствообразованияРоссийскойФедерации.
ВладимирскийГосударственныйУниверситет.
КафедраБМИ.
РЕФЕРАТ
на тему:
«Средствавизуализацииизображенийв компьютернойтомографиии
цифровыхрентгенографическихсистемах».
подисциплине:Компьютерныетехнологии.
Выполнил:
студент гр. МИД-199
Чирков К. В.
Проверил:
Новиков К. В.
Владимир2002
СОДЕРЖАНИЕ
1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. РАЗВИТИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ
2. ФИЗИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТОМОГРАФИИ
2.1. ПРИНЦИПЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПОСЛОЙНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ
2.2. ПОЛУЧЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАММЫ
2.3. УСИЛЕНИЕ КОНТРАСТНОСТИ
3. ЦИФРОВЫЕ РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
3.1. СОСТАВ ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ АМР ВР
3.2. ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ И ПРЕИМУЩЕСТВА ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
3.3. Цифровая рентгенография с экрана электронно-оптического преобразователя (ЭОП)
3.4.Цифровая люминесцентная рентгенография (ЦЛР)
3.5. Селеновая рентгенография.
4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ.
4.1 Математическая постановка задачи рентгеновской компьютерной томографии, преобразование Радона и формулы обращения.
4.2. Приведение формул обращения томографической реконструкции в конусе лучей к виду, позволяющему строить численные алгоритмы.
4.3. Элементы теории обобщенных функций в применении к задачам обращения лучевого преобразования
4.4. Соотношения между преобразованиями Радона, Фурье и лучевым преобразованием.
5. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.
1. ВВЕДЕНИЕ.
Древняялатинскаяпоговоркагласит:«Diagnosis cetra — ullae therapiae fundamentum» («Достоверный диагноз — основалюбого лечения»).На протяжениимногих вековусилия врачейбыли направлены на решениетруднейшейзадачи — улучшениераспознаваниязаболеванийчеловека.
Потребностьв методе, которыйпозволил бызаглянутьвнутрь человеческоготела, не повреждая его, была огромной, хотя и не всегдаосознанной.Ведь все сведения, касающиесянормальнойи патологическойанатомии человека, были основанытолько на изучениитрупов. Послетого, как в Европестали широкоизучатьсявскрытия трупов, врачи смоглиизучить строениеорганов человека, а также изменения, которые онипретерпеваютпри тех илииных заболеваниях.
Какуюогромную пользу принес бынепосредственныйосмотр человеческогоорганизма, если бы он стал вдруг «прозрачным»! И вряд ли кто-нибудьиз ученыхпрошлого могпредположить, что эта мечтавполне осуществима.
Потребностьувидеть необолочку, аструктуруорганизмаживого человека, его анатомиюи физиологиюбыла стольнасущной, что, когда чудесныелучи, позволявшие осуществить это на практике, были наконецоткрыты, обычноконсервативныеи часто недоверчивыек новшествамврачи почтисразу поняли, что в медициненаступила новаяэра.
Ужев первые днии недели послетого, как сталоизвестно о существованиии свойствахэтих лучей, врачи различныхстран началиприменять ихдля исследованияважнейшихорганов и систем человеческоготела. В течение первого жегода появилисьсотни научныхсообщений впечати, посвященныхрезультатамтаких исследований.
Количествосообщений в последующиегоды нарастало. Выяснялисьвсе новые возможности рентгенологического метода. Появились первые книги, посвященныеэтому методу.Вскоре эталитературастала необозримой.
В1946 г. известныйсоветскийклиницист иорганизаторздравоохраненияН. Н. Приоровна заседании, посвященном 50-летию рентгенологии, говорил: «Чтостало бы сегодняс физиатриейи урологией, гинекологиейи отоларингологией, неврологиейи онкологией, хирургией иортопедией, офтальмологиейи травматологией, если бы лишитьих того, чтодала рентгенологияв области диагностикии лечения?»
Нопроцесс наукии техники неудержим. Не успели врачиполностьюосвоить возможностирентгеновскихлучей в диагностике, как появилисьдругие методы, позволяющиеполучить изображениевнутреннихорганов человека, дополняющиеданные рентгенологическогоисследования.К ним относятсярадионуклидное и ультразвуковоеисследования(УЗИ), тепловидение, ядерно-магнитныйрезонанс (ЯМР), фотонная эмиссияи некоторыедругие методы, еще не получившиеширокогораспространения.
Этиспособы основанына использованииблизких по своей природеволновых колебаний, для проникновениякоторых тканичеловеческоготела не являютсянепреодолимымпрепятствием. Они объединяютсяи тем, что врезультатевзаимодействия волновых колебанийс органами итканями организмана различныхприемниках- экране, пленке, бумаге и др. — возникают ихизображения, расшифровкакоторых позволяетсудить о состоянииразличныханатомическихобразований.
Такимиобразом, всеуказанныеметоды принципиальноблизки рентгенодиагностикекак по своейприроде, таки по характеруконечного результатаих применения.
Внедрениев практику этихметодов (нарядус рентгенологией) привело квозникновениюновой обширноймедицинскойдисциплины, получившейза рубежомназваниедиагностическойрадиологии(от латинскогоradius — луч), а у нас — лучевой диагностики.
Возможностиэтой дисциплиныв распознаваниизаболеваний человека весьмавелики. Ей доступныпрактическивсе органы исистемы человека, все анатомическиеобразования, размеры которыхвыше микроскопических.
Вотличие отклассическихмедицинскихметодик (пальпации, перкуссии, аускультации)основным анализатороминформации, получаемойспособамилучевой диагностики, является органзрения, припомощи которогомы получаемоколо 90% сведенийоб окружающеммире, и притомнаиболее достоверных.Когда широкаясеть медицинскихучрежденийбудет оснащенавысококачественнойаппаратурой, позволяющейиспользоватьвсе возможностилучевой диагностики, а врачи, работающиев этих учреждениях, будут обученыобращению сэтой сложнойаппаратуройи, главное, полноценнойрасшифровке получаемыхс ее помощьюизображений, диагностикаосновных заболеванийчеловека станетболее раннейи достовернойне только в крупныхнаучно-исследовательскихи клиническихцентрах, но ина передовомкрае нашегоздравоохранения — в поликлиниках и районныхбольницах. В этих учрежденияхработает основнаямасса врачей. Именно сюдаобращаетсяподавляющеебольшинствобольных привозникновении каких-либотревожныхсимптомов. Отуровня работыименно этихлечебно-диагностическихучрежденийв конечномитоге зависитранняя и своевременнаядиагностика, а следовательново многом ирезультатылечения подавляющегобольшинстваболезней. [ №1, стр. 3-6]
1.1.Развитие компьютернойтомографии.
Изобретениерентгеновскойтомографиис обработкойполучаемой информациина ЭВМ произвелопереворот вобласти полученияизображенияв медицине.Впервые сообщило новом методеинженер G.Hounsfield (1972). Аппарат, изготовленный и опробованный группой инженерованглийскойфирмы «EMI», получил названиеЭМИ-сканера. Его применялитолько дляисследованияголовногомозга.
G.Hounsfieldв своем аппаратеиспользовалкристаллический детектор сфотоэлектроннымумножителем(ФЭУ), однакоисточникомбыла трубка, жестко связаннаяс детектором, которая делаласначала поступательное, а затем вращательное(1˚) движениепри постоянномвключениирентгеновскогоизлучения. Такое устройствотомографапозволяло получить томограммуза 4-20 мин.
Рентгеновскиетомографы сподобным устройством(Iпоколение)применялисьтолько дляисследованияголовногомозга. Этообъяснялоськак большимвременем исследования(визуализациитолько неподвижных объектов), так и малым диаметромзоны томографированиядо (24 см). Однакополучаемоеизображениенесло большоеколичество дополнительной диагностическойинформации, что послужилотолчком нетолько к клиническомуприменениюновой методики, но и к дальнейшемусовершенствованиюсамой аппаратуры.
Вторымэтапом в становлениинового методаисследованиябыл выпуск к1974 г. компьютерныхтомографов, содержащихнесколькодетекторов.После поступательногодвижения, котороепроизводилосьбыстрее, чему аппаратов Iпоколения, трубка с детекторамиделала поворотна 3-10˚, что способствовалоускорениюисследования, уменьшениюлучевой нагрузкина пациентаи улучшениюкачества изображения.Однако времяполучения однойтомограммы(20-60 с) значительноограничивало применениетомографовIIпоколениядля исследованиявсего телаввиду неизбежныхартефактов, появляющихсяиз-за произвольныхи непроизвольныхдвижений. Аксиальныекомпьютерныерентгеновскиетомографыданной генерациинашли широкоеприменениедля исследованияголовного мозгав неврологическихи нейрохирургическихклиниках.
Получениекачественногоизображениясреза телачеловека на любом уровнестало возможнымпосле разработкив 1976-1977 гг. компьютерныхтомографовIIIпоколения.Принципиальноеотличие ихзаключалосьв том, что было исключено поступательноедвижение системытрубка-детекторы, увеличеныдиаметр зоныисследованиядо 50-70 см и первичная матрица компьютера(фирмы «ДженералЭлектрик», «Пикер», «Сименс», «Тошиба», «ЦЖР»).Это привелок тому, что однутомограммустало возможнымполучить за 3-5 с при оборотесистемы трубка-детекторына 360˚. Качествоизображениязначительноулучшилосьи стало возможнымобследованиевнутреннихорганов.
С1979 г. некоторыеведущие фирмыначали выпускать компьютерныетомографы IVпоколения. Детекторы (1100-1200 шт.) в этихаппаратахрасположеныпо кольцу и невращаются. Движется только рентгеновскаятрубка, что позволяетуменьшить времяполучениятомограммыдо 1-1,5 с при поворотетрубки на 360˚. Это, а такжесбор информациипод разнымиуглами увеличивает объем получаемыхсведений приуменьшениизатрат временина томограмму.
В1986 г. произошел качественныйскачок в аппаратостроениидля рентгеновскойкомпьютернойтомографии.Фирмой «Иматрон»выпущен компь-ютерныйтомограф Vпоколения, работающийв реальноммасштабе времени.В 1988 г. компьютерныйтомограф «Иматрон»куплен фирмой«Пикер»(США)и теперь онназывается«Фастрек».
Учитываязаинтересованностьклиник в приобретении компьютерныхтомографов, с 1986 г. определилосьнаправлениепо выпуску«дешевых»компактныхсистем для поликлиник и небольших больниц (М250,«Меди- тек»;2000Т, «Шимадзу»; СТ МАХ, «Дженерал Электрик»). Обладая некоторымиограничениями, связаннымис числом детекторовили временем и объемомсобираемойинформации, эти аппаратыпозволяютвыполнять75-95% (в зависимостиот вида органа)исследований, доступных«большим»компьютернымтомографам.[№ 2, стр. 8-10]
2. ФИЗИЧЕСКИЕИ ТЕХНИЧЕСКИЕОСНОВЫ ТОМОГРАФИИ
2.1.Принципыобразованияпослойногоизображения.
Привыполнении обычной рентгенограммы три компонента- пленка, объекти рентгеновскаятрубка — остаютсяв покое. Томографическийэффект можнополучить приследующихкомбинациях:1) неподвижныйобъект и движущиесяисточник(рентгеновскаятрубка) и приемник (рентгенографическая пленка, селеноваяпластина, кристаллическийдетектор ит.п.) излучения; 2) неподвижныйисточник излученияи движущиеся объект и приемник излучения; 3) неподвижный приемник излученияи движущиесяобъект и источникизлучения.Наиболеераспространенытомографы ссинхроннымперемещениемтрубки и пленкив противоположныхнаправленияхпри
/>
Рис.1Принципобразованияпослойногоизображения.
F0,F1, F2 -нулевое, исходноеи конечноеположениефокуса рентгеновской трубки; j-1/2угла поворотатрубки; S-поверхностьстола; Т-объект исследования;О-точкавыделяемогослоя; О1,О2-точки, находящиесявыше и нижевыделяемогослоя; О`, О``-проекцииточки Она пленке приисходном иконечном положениях фокуса рентгеновской трубки; О1`,O1``-проекцииточки О1на пленке притех же положенияхфокуса трубки;О2`, О2``-проекцииточки О2притех же положениях фокуса трубки;О```-проекции всех точек напленке принулевом положениирентгеновскойтрубки.
неподвижномобъекте исследования. Рентгеновскийизлучательи кассето-держатель с приемником излучения (рентгеновскаяпленка, селеноваяпластина) соединяютжестко с помощьюметаллическогорычага. Осьвращения рычага(перемещениятрубки и пленки)находится надуровнем столаи ее можнопроизвольноперемещать.
Какпоказано нарис.1, при перемещениитрубки из положения F1в положение F2, проекция точкиО, котораясоответствуетоси вращениярычага, будетпостояннонаходитьсяв одном и томже месте пленки.Проекция точкиО неподвижнаотносительнопленки и, следовательно, ее изображениебудет четким.Проекции точекО1и О2, находящиесявне выделяемогослоя, с перемещением трубки и пленкименяют своеположение напленке и, следовательно, их изображениебудет нечетким, размазанным.Доказано, что геометрическимместом точек, проекции которыхпри движениисистемы неподвижныотносительнопленки, является плоскость, параллельная плоскостипленки и проходящаячерез ось окончаниясистемы. Натомограмме, таким образом, будут четкимиизображениявсех точек, находящихсяв плоскостина уровне осивращения системы, то есть в выделяемомтомографическомслое.
Нарисунке показаноперемещениетрубки и пленки по траекториипрямая-прямая, то есть попараллельнымпрямолинейнымнаправляющим.Такие томографы, имеющие самуюпростую конструкцию, получили наибольшеераспространение.В томографах с траекториямидуга-дуга, дуга-прямаягеометрическимместом точек, проекции которыхпри движениисистемы неподвижныотносительнопленки, являетсяплоскость, параллельныеплос-костипленки и проходящаячерез ось качаниясистемы; выделяется слой такжеплоской формы.Из-за болеесложной конструкцииэти томографыполучили меньшеераспространение.
Описанныевыше аппаратыотносятся клинейным томографам(с линейнымитраекториями), так как проекциитраекторийдвижения системытрубка-пленкана выделяемуюплоскость имеютвид прямойлинии, а тениразмазыванияимеют прямолинейнуюформу.
Заугол поворота(качания) трубки2j в таких томографахпринимают уголее поворотаиз одного крайнегоположения в другое; перемещениетрубки от нулевогоположения равноj.
Втомографахс нелинейнымразмазываниемперемещениесистемы трубка- пленка происходитпо криволинейнымтраекториям- кругу, эллипсу, гипоциклоиде, спирали. При этом отношениерасстоянийфокус трубки- центр вращенияи центр вращения- пленка сохраняетсяпостоянным. И в этих случаяхдоказано, чтогеометрическимместом точек, проекции которыхпри движении системы неподвижны относительно пленки, являетсяплоскость, параллельнаяплоскостипленки и проходящаячерез ось качаниясистемы. Размазываниеизображенияточек объекта, лежащих вневыделяемой плоскости, происходит по соответствующимкривым траекториямдвижения системы.Размазываемыеизображенияповторяют напленке траекториюперемещенияфокуса рентгеновскойтрубки.
Присимультанной(многослойной)томографиив один прием(одно перемещение трубки и пленки в противоположныхнаправлениях)получают несколькотомограммблагодарярасположениюв одной кассете несколькихпленок, расположенныхна некоторомрасстояниидруг от друга.Проекция изображенияпервого слоя, находящегосяна оси вращениясистемы (избраннойвысоте слоя), получаетсяна верхнейпленке. Геометрическидоказано, чтона последующихпленках получаютсвое изображениенижележащиепараллельные к оси движениясистемы слои, расстояниямежду которымипримерно равнырасстоянияммежду пленками.Основным недостаткомпродольнойтомографииявляется то, что расплывчатыеизображения выше- и нижележащихплоскостейс нежелательнойинформациейуменьшают естественную контрастность. Вследствии этого восприятиев выделяемомслое тканейс невысокойконтрастностьюухудшается.
Указанногонедостатка лишена аксиальнаякомпьютернаярентгеновскаятомография. Это объясняетсятем, что строгоколлимированныйпучок рентгеновскогоизлучения проходит толькочерез ту плоскость, которая интересуетврача. При этомрегистрациярассеянногоизлучениясведена к минимуму, что значительноулучшает визуализациютканей, особенномало контрастных.Снижение регистрациирассеянногоизлучения прикомпьютернойтомографииосуществляетсяколлиматорами, один из которыхрасположенна выходерентгеновскогопучка из трубки, другой — перед сборкой детекторов.
Известно, что при одинаковойэнергии рентгеновскогоизлученияматериал с большей относительной молекулярной массой будетпоглощатьрентгеновскоеизлучение вбольшей степени, чем веществос меньшейотносительноймолекулярной массой. Подобное ослаблениерентгеновскогопучка можетбыть легкозафиксировано.Однако на практикемы имеем делос совершенно неоднородным объектом — теломчеловека. Поэтомучасто случается, что детекторыфиксируютнесколькорентгеновскихпучков одинаковойинтенсивностив то время, какони прошличерез совершенноразличныесреды. Этонаблюдается, например, припрохождениичерез однородныйобъект достаточнойпротяженностии неоднородныйобъект с такойже суммарнойплотностью.
Припродольной томографии разницу между плотностью отдельныхучастков определитьневозможно, поскольку«тени»участковнакладываютсядруг на друга.С помощьюкомпьютернойтомографиирешена и этазадача, так какпри вращениирентгеновскойтрубки вокругтела пациентадетекторырегистрируют 1,5 — 6 млн сигналовиз различныхточек (проекций)и, что особенноважно, каждаяточка многократнопроецируетсяна различныеокружающиеточки.
Прирегистрацииослабленногорентгеновскогоизлучения на каждом детекторевозбуждаетсяток, соответствующийвеличине излучения, попадающегона детектор. В системе сбораданных ток откаждого детектора(500-2400 шт.) преобразуетсяв цифровойсигнал и послеусиления подаетсяв ЭВМ для обработкии хранения. Только после этого начинаетсясобственнопроцесс восстановленияизображения.
Восстановлениеизображениясреза по суммесобранныхпроекций являетсячрезвычайносложным процессом, и конечныйрезультатпредставляетсобой некуюматрицу сотносительнымичислами, соответствующуюуровню поглощениякаждой точкив отдельности.
Вкомпьютерных томографахприменяютсяматрицы первичногоизображения256х256, 320х320, 512х512 и 1024х1024элементов.Качество изображениярастет приувеличениичисла детекторов, увеличенииколичестварегистрируемыхпроекций заодин обороттрубки и приувеличениипервичнойматрицы. Увеличениеколичестварегистрируемыхпроекций ведетк повышениюлучевой нагрузки, применениебольшей первичной матрицы — кувеличениювремени обработкисреза илинеобходимостиустанавливатьдополнительныеспециальныепроцессорывидеоизображения.[№ 2, стр. 10-13]
--PAGE_BREAK--2.2.Получениекомпьютернойтомограммы.
Получениекомпьютерной томограммы (среза) головы на выбранномуровне основываетсяна выполненииследующихопераций: 1)формированиетребуемойширины рентгеновскоголуча (коллимирование);2) сканированиеголовы пучком рентгеновского излучения, осуществляемого движением(вращательным и поступательным) вокруг неподвижнойголовы пациентаустройства«излучатель- детекторы»; 3) измерениеизлучения иопределение его ослабленияс последующимпреобразованиемрезультатовв цифровуюформу; 4) машинный(компьютерный)синтез томограммыпо совокупностиданных измерения, относящихсяк выбранномуслою; 5) построениеизображенияисследуемогослоя на экраневидеомонитора(дисплея).
Всистемах компьютерныхтомографовсканированиеи получениеизображенияпроисходятследующимобразом. Рентгеновскаятрубка в режимеизлучения «обходит» голову по дуге240˚, останавливаясьчерез каждые3˚ этой дуги иделая продольное перемещение. На одной оси с рентгеновскимизлучателемзакрепленыдетекторы — кристаллыйодистогонатрия, преобразующиеионизирующееизлучение в световое. Последнеепопадает нафотоэлектронныеумножители, превращающиеэту видимуючасть в электрическиесигналы. Электрическиесигналы подвергаются усилению, а затем преобразованиюв цифры, которыевводят в ЭВМ.Рентгеновскийлуч, пройдячерез среду поглощения, ослабляется пропорциональноплотноститканей, встречающихсяна его пути, инесет информациюо степени егоослабленияв каждом положениисканирования.Интенсивностьизлучения вовсех проекцияхсравниваетсяс величинойсигнала, поступающегос контрольногодетектора, регистрирующего исходную энергию излучениясразу же навыходе лучаиз рентгеновскойтрубки.
Следовательно, формированиепоказателей поглощения (ослабления)для каждойточки исследуемогослоя происходитпосле вычисленияотношениявеличины сигналана выходерентгеновского излучателя к значениюего после прохожденияобъекта исследования(коэффициентыпоглощения).
ВЭВМ выполняетсяматематическаяреконструкциякоэффициентовпоглощенияи пространственноеих распределениена квадратноймногоклеточнойматрице, а полученныеизображенияпередаютсядля визуальнойоценки на экрандисплея.
Заодно сканированиеполучают два соприкасающихся между собойсреза толщиной10 мм каждый. Картинасреза восстанавливаетсяна матрицеразмером 160х160.
Полученныекоэффициенты поглощениявыражают вотносительныхединицах шкалы, нижняя границакоторой (-1000 ед.Н.)(ед.Н. — единицыХаунсфильдаили числа компьютернойтомографии)соответствуетослаблениюрентгеновскихлучей в воздухе, верхняя (+1000 ед.Н.)- ослаблениюв костях, а заноль принимаетсякоэффициентпоглощенияводы. Различныеткани мозгаи жидкие средыимеют разныепо величинекоэффициентыпоглощения.Например коэффициентпоглощенияжира находитсяв пределах от -100 до 0 ед.Н., спинномозговойжидкости — от2 до 16 ед.Н., крови- от 28 до 62 ед.Н. Этообеспечивает возможность получать накомпьютерныхтомограммах основные структурымозга и многиепатологическиепроцессы в них.Чувствительностьсистемы в улавливанииперепадарентгеновскойплотности в обычном режимеисследованияне превышает5 ед.Н., что составляет0,5%.
Наэкране дисплеявысоким значениямплотности(например, кости)соответствуетсветлые участки, низким — темные. Градационнаяспособностьэкрана составляет15-16 полутоновыхступеней, различаемыечеловеческимглазом. На каждуюступень, такимобразом, приходитсяоколо 130 ед.Н.
Дляполной реализациивысокой разрешающей способности томографа поплотности ваппаратепредусмотренысредства управлениятак называемойширины окнаи его уровня(положения), чтобы датьрентгенологувозможностьанализироватьизображениена различныхучастках шкалыкоэффициентовпоглощения. Ширина окна- это величинаразности наибольшегои наименьшегокоэффициентовпоглощения, соответствующаяуказанномуперепаду яркости. Положение илиуровень окна(центр окна) — это величинакоэффициентовослабления, равная серединеокна и выбираемаяиз условийнаилучшеговыявленияплотностейинтересующейгруппы структурили тканей.Важнейшейхарактеристикойявляется качествополучаемогоизображения.
Известно, что качествовизуализациианатомическихобразованийголовного мозгаи очагов поражениязависит в основномот двух факторов: размера матрицы, на которойстроится томограмма, и перепадапоказателейпоглощения. Величина матрицыможет оказыватьсущественноевлияние наточность диагностики. Так, количествоошибочныхдиагнозов прианализе томограммна матрице80х80 клеток составляло27%, а при работена матрице160х160 — уменьшилосьдо 11%.
Компьютерныйтомограф обладаетдвумя видами разрешающей способности: пространственнойи по перепадуплотности.первый типопределяетсяразмером клеткиматрицы (обычно- 1,5х1,5 мм), второй равен 5 ед.Н. (0,5%). В соответствии с этими характеристикамитеоретическиможно различатьэлементы изображенияразмером 1,5х1,5мм при перепадеплотности междуними не меньше5 ед.Н. (1%) удаетсявыявлять очагивеличиной неменее 6х6 мм, апри разницев 30 ед.Н. (3%) — деталиразмером 3х3мм. Обычнаярентгенографияпозволяетуловить минимальнуюразницу поплотности междусоседнимиучастками в10-20%. Однако приочень значительномперепаде плотностейрядом расположенныхструктур возникаютспецифическиедля данногометода условия, снижающие егоразрешающуюспособность, так как припостроенииизображенияв этих случаяхпроисходитматематическоеусреднениеи при этом очаги небольших размеров могутбыть не обнаружены. Чаще это происходитпри небольшихзонах пониженнойплотности, расположенныхвблизи массивных костных структур(пирамиды височных костей) иликостей сводачерепа. Важнымусловием дляобеспеченияпроведениякомпьютернойтомографииявляется неподвижноеположениепациента, ибодвижение вовремя исследованияприводят квозникновениюартефактов- наводок: полостемного цветаот образованийс низким коэффициентомпоглощения(воздух) и белыхполос от структурс высоким КП(кость, металлическиехирургическиеклипсы), чтотакже снижаетдиагностическиевозможности.[№ 3, стр. 16-19]
2.3.Усилениеконтрастности.
Дляполучения болеечеткого изображенияпатологически измененныхучастков вголовном мозгеприменяютэффект усиленияконтрастности, которых достигаетсявнутривеннымвведениемрентгеноконтрастноговещества. Увеличениеплотностиизображенияна компьютернойтомограммепосле внутривенноговведения контрастного вещества объясняется внутри- и внесосудистыми компонентами. Внутрисосудистое усиление находитсяв прямой зависимостиот содержанияйода в циркулирующейкрови. При этомувеличениеконцентрациина 100 мг йода в100 мл обусловливаетвеличины абсорбциина 26 ед.Н. (ед.Н. — единицы Хаунсфильдаили числа компьютернойтомографии).При компьютерно-томографическихизмеренияхвенозных пробпосле введения60% контрастноговещества в дозе1 мл на кг массытела, плотность потока повышается в среднем втечение 10 минпосле инъекции, составляет39,2 плюс-минус9,8 ед.Н. Содержаниеконтрастноговещества в протекающей крови изменяетсяв результатетого, что относительнобыстро начинаетсявыделение егопочками. Ужев течение первых5 мин после болюснойинъекции концентрациявещества вкрови в среднемснижается на20%, в последующие5 мин — на 13% и ещечерез 5 мин — на5%.
Нормальноеувеличениеплотности мозгана компьютерной томограммепосле введения контрастного вещества связанос внутрисосудистойкон-центрациеййода. Можнополучить изображениесосудов диаметромдо 1,5 мм, если уровень йодав крови составляетпримерно 4 мг/мли при условии, что сосуд расположенперпендикулярнок плоскостисреза. Наблюденияпривели к выводу, что контрастноевеществонакапливаетсяв опухолях. [№4, стр. 17-19]
3. ЦИФРОВЫЕРЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКИЕСИСТЕМЫ
Преобразованиетрадиционнойрентгенограммыв цифровой массив с последующейвозможностьюобработкирентгенограммметодамивычислительнойтехники сталораспространеннымпроцессом.Такие аналоговыесистемы зачастуюимеют очень жесткие ограниченияна экспозициюиз-за малогодинамическогодиапазонарентгеновскойпленки. В отличиеот аналоговыхпрямые цифровые рентгенографические системы позволяютполучатьдиагностическиеизображениябез промежуточныхносителей, прилюбом необходимомуровне дозы, причем этоизображениеможно обрабатыватьи отображатьсамыми различнымиспособами. [№6]
Нарис.2 приведенасхема типичной цифровой рентгенографическойсистемы. Рентгеновская трубка и приемник изображения сопряжены скомпьютероми управляютсяим, а получаемоеизображение запоминается, обрабатывается(в цифровойформе) и отображаетсяна телеэкране, составляющемчасть пультауправления(или устройствавывода данных) оператора-рентгенолога.
Аналогичныепульты управленияможно применятьи в других системахполученияизображения, например наоснове ядерногомагнитногорезонанса иликомпьютернойтомографии.Цифровое изображениеможно записатьна магнитномносителе, оптическомдиске или жена специальномзаписывающемустройстве, способном постоянно вестирегистрациюизображенияна пленку ваналоговойформе.
/>
Рис.2Составныеэлементыцифровой системыполучениярентгеновских
изображений
В цифровой рентгенологии могут найтиприменениедва классаприемниковизображения: приемники с непосредственным формированиемизображенияи приемникис частичнойрегистрациейизображения, в которых полноеизображениеформируетсяпутем сканированиялибо рентгеновскимпучком, либо приемным устройством(сканирующаяпроекционнаярентгенография).В цифровойрентгенографииприменяютусилительизображения, ионографическуюкамеру и устройствос вынужденнойлюминисценцией.Эти приемникимогут непосредственноформироватьцифровые изображениябез промежуточнойрегистрации и хранения. Усилителиизображенияне обладаютнаилучшимпространственнымразрешениемили контрастом, однако имеютвысокое быстродействие.Аналого-цифровоепреобразованиефлюорограммыс числом точекв изображении512х512 может заниматьвремя менее0,03 с. Даже при числе точек 2048х2048 в изображениивремя преобразованияизображенияв цифровуюформу составляетвсего несколькосекунд. Времясчитыванияизображения с пластины свынужденнойлюминисценцииили ионографическойкамеры значительнобольше, хотяпоследнеевыгодно отли-чаетсялучшим разрешениеми динамическимдиапазоном.
Записанноена фотопленкеизображениеможно преобразоватьв цифровуюформу с помощьюсканирующегомикроденситометра, но любая информация, зафиксированнаяна фотопленкесо слишком малой или, наоборот, слишкомвысокой оптической плотностью, будет искаженаиз-за влиянияхарактеристикпленки. В цифровуюформу можнопреобразовать и ксеро-рентгенограммутакже с помощьюсканирующегоденситометра, работающегов отраженномсвете, или путемнепосредственногосчитываниязарядовогоизображенияс селеновойпластины. [№ 5, стр. 99-100]
ВРоссии прямая цифровая рентгенографическаясистема Институтаядерной физики(ИЯФ) СО РАНприменяетсяв несколькихклиническихбольницах. Вэтой системерентгеновскаяпленка какрегистраторрентгеновскогоизлучениязамененамногопроволочнойпропорциональнойкамерой. Такаякамера вместе с электроннымисхемами усиленияи формированияимпульсовпредставляетсобой линейкуна 256 практическинезависимых каналов, имеющихчувствительнуюповерхность1х1 мм. (В последнихмоделях 350 каналови 0,5х0,5 мм.) Использованиев счетчикахв качестве рабочего газа ксенона придавлении 3 кгс/см2обеспечиваетвысокую эффективностьрегистрацииизлучения. Этасистема может быть отнесена к классу ионографическихприборов дляцифровойрентгенографии, передающихизображениена внешниеустройстваотображения.
Вдругих цифровыхрентгенографическихсистемах используюттвердотельныеприемники свысоким коэффициентом поглощения рентгеновскогоизлучения.
Вобоих разновидностяхупомянутыхрентгенографическихсистем применяетсяметод сканированияс построчнойрегистрациейизображения, которое воспроизводитсяв целое на дисплеекомпьютера(сканирующая проекционнаярентгенография).
Ковторому классуцифровыхрентгенографическихсистем следуетотнести люминофорыс памятью ивынужденнойлюминесценцией, которая затемрегистрируется.Это приемникс непосредственнымформированием изображения.[№ 6]
Системыполученияизображениясо сканированиемрентгеновскимпучком и приемникомимеют важноепреимущество, состоящее втом, что в ниххорошо подавляетсярассеяние. Вэтих системаходин коллиматоррасполагается перед пациентомс целью ограниченияпервичногорентгеновскогопучка до размеров, необходимыхдля работыприемника, адругой — запациентом, чтобы уменьшитьрассеяние. Нарис.3 изображеналинейная сканирующаясистема дляполученияцифровогоизображения грудной клетки.Приемникомв системе являетсяполоска изоксисульфидагадолиния, считываниеинформациис которой ведетсялинейной матрицейиз 1024 фотодиодов.Проекционныерентгенограммысинтезируютсятакже сканерамикомпьютернойтомографиии выполняютвспомогательнуюроль при выделении соответствующегосечения.
Главнымнедостаткомсканирующихсистем являетсято, что большаячасть полезной выходной мощностирентгеновскойтрубки теряетсяи что необходимыбольшие временаэкспозиции(до 10 с).
/>
Рис.3Система линейногосканированиядля цифровой рентгенографии
груднойклетки.
Матрицыизображенияиз 512х512 элементовможет бытьвполне достаточнодля целейцифровой флюороскопии(флюорографии), тогда как системарентгеноскопиигрудной клетки может потребовать матрицы с числом элементов1024х1024 при размерах элемента изображения0,4 мм.
Числоградаций визображениизависит отмедицинскогоназначения.Аналого-цифровогопреобразованияна 8 бит, обеспечивающего точность 0,4%, вполне достаточно для регистрациизашумленныхизображенийили большихмассивов (меньшейступени градациияркости соответствуетбольший уровень шума), однако для ряда приложенийможет понадобитьсяи 10-битовый АЦП(точность 0,1%).
Еслитребуется быстрый доступк информации, полученнойза длительныйпериод времени, целесообразноприменятьоптическиедиски. Емкостьпамяти 12-дюймовогооптическогодиска равнапримерно 2 гигабайт, что соответствует1900 изображениямразмером 1024х1024по 8 бит каждое(без сжатияданных). Длясчитыванияс оптическогодиска можетбыть использованоавтоматическое устройство съема, позволяющее обеспечитьбыстрый доступк любому изображению.Возможностьработы со всемиизображениямив цифровойформе весьмапривлекательна, а системы, выполняющиеэто, называютсясистемамихранения ипередачи изображения(СПХИ или СХПИ).[№ 5, стр. 100-102]
/>
Рис.5 Принципиальнаясхема взаимодействияэлементовсистемы получения, обработки, хранения ипередачирентгеновскихдиагностическихизображений.
Нарис.5 изображенапринципиальнаясхема взаимодействияэлементовсистемы получения, обработки, хранения ипередачи рентгеновскихдиагностическихизображений.
Системапредставленатремя каналами:1) традиционнаярентгенография; 2) цифроваярентгенографическаяустановка; 3)рентгеноскопия(видеосигналс УРИ).
Первыйканал. Рентгенограммы, полученныес помощьютрадиционногопроцесса, поступаютна обработкув полутоновыйграфический сканер, с помощьюкоторогорентгенодиагностическоеизображениевводится впамять компьютера.После этоготакая преобразованнаярентгенограммаможет обрабатыватьсясредствамикомпьютернойтехники, но врамках узкогодинамическогодиапазонарентгеновскойпленки. Этоизображениеможет бытьвведено в электронный архив и извлекатьсяоттуда по требованию. Эта оцифрованнаярентгенограммауже ничем неотличаетсяот прямых цифровыхрентгенограммпо доступностисредствамобработки.
Третийканал.Рентгеновскиеизображенияиз рентгенотелевизионногоканала УРИмогут захватыватьсяспециализированнымадаптеромвидеовводакак в режимереальноговремени, таки с видеомагнитофонного кадра. Последнеепредпочтительно, так как позволяетпри просмотревидеомагнитофонныхизображенийвыбрать нужныйкадр для занесения его в архив.Объектом вводав электронныйархив могутбыть любыеизображения, получаемыепри рентгеноскопиис помощью УРИ.
Первыйи третий каналыдают возможностьпреобразоватьтрадиционныерентгеновскиеизображения(рентгенограммыи кадры видеотелевизионноготракта) в цифровоеизображение.Этот приемимеет особоезначение, потомучто он представляетвозможностьдостоверно сравнить изображения, полученныеразличнымиспособами.Следующимпреимуществомпреобразованияявляются возможностьпомещения егов электронныйархив и выполнениевсех операцийс цифровымизображением. Следует особенноподчеркнутьвозможностьпередачи изображенияпо компьютернымсетям, потомучто в последние годы «взгляды медиков фокусируютсяна передачеизображений»как основномсредстве обеспечениядоступа к материалам, что имеетколоссальноезначение какдля диагностики, так и для процессовобучения.
Второйканал. Это собственноканал цифровойрентгенографическойустановки. Онсостоит из двухподсистем: автоматизированногорабочего места(АРМ) лаборанта и АРМ врача-рентгенолога(ВР), объединенныхв локальнуюсеть. В АРМрентгенолаборантапроисходитвнесение сведенийо больном, необходимыхорганизационныхи клиническихданных и управлениепроцессомрегистрацииизображения(синхронноевключениесканера и высокогонапряжения и др.). Послеполучениярентгеновскогоизображенияоно и сведенияо пациенте полокальной сетипоступают в АРМ ВР. При этомпроцесс рентгенографиии передачиизображенийот АРМ лаборантав АРМ врачапроисходитбез промедленийи в реальномвремени, непрерывая работыврача ни наодной ступени, т.е. происходитнепрерывнаяи независимаяработа на обоихрабочих местах. На АРМ ВР выполняются программнаяобработка изображенийдля извлечениядиагностическойинформации, поиск предшествующихизображенийпациентов и сравнение с вновь полученными, регистрация новых пациентови изображенийв базе данных, приведениеих к формату, оптимальномудля архивирования, и другие манипуляции, доступныеэлектроннымтехнологиямперсональногокомпьютера.Программноеобеспечениепозволяетврачу-рентгенологупри необходимостисоздать твердые копии изображенийна лазерномпринтере ( этотспособ получениятвердых копийнесколькоуступает вточности передачи диагностическихизображенийтеплопечатиили поляроидномуфотопроцессу, но значительнодешевле всехдругих способоввоспроизведенияизображения); при наличии сетевой связипозволяетпередать ихклиническиеподразделения, связаться сконсультационнымицентрами илицентральным архивом поэлектроннойсвязи. Блокбазы данных, являющийсясердцевинойсистемы, формализуетвсе этапы работыс пациентомот внесенияданных лаборантомдо размещенияв архивноехранение, позволяетврачу-рентгенологусоздавать всевиды стандартнойотчетности, а также анализироватьпроведеннуюработу по целевымвыборкам. Конечнымэтапом работыс цифровымизображениемвсех трех видовявляется егоархивирование на магнитныйили оптическийноситель. [№ 6]
продолжение
--PAGE_BREAK--
3.1. Составтехническихсредств АРМВР.
Выбортехнических средств для АРМ ВР (автоматизированноерабочее местоврача-рентгенолога)во многом зависитот типа решаемыхзадач. Обычнов качестветехническойбазы для АРМ обработкиизображенийиспользуют графическиестанции илиперсональныекомпьютеры.Графическиестанции, созданныепрежде всегодля решенийзадач машиннойграфики, оборудованы специальными графическимипроцессорами, ускоряющимипроцедуры построения графических примитивов (особеннотрехмерных).Для задач обработкии анализа изображенийболее существеннаскорость обработкивидеоданных. Поэтому в качестве техническойбазы АРМ ВР использованашироко распространеннаяи дешевая ПЭВМтипа IBM PC/AT.
/>
Рис.4Блок-схематехническихсредств АРМВР.
1-негатоскоп;2-телевизионнаякамера; 3-ПЭВМ;4-фрейм-граббер;5-телемонитор.
Практическаяработа показала, что производительностьперсональногокомпьютераво многих случаяхдостаточна, чтобы решатьзадачи обработкивидеоданныхв реальномвремени врача.Кроме того ПЭВМимеют мощныетехнические и программныесредства дляорганизации«оконного»человеко-машинногодиалога.
Прииспользованииизображений, записанныхв аналоговомвиде, напримеррентгенограмм, необходимоустройстводля ввода ивизуализацииих в ЭВМ. В качестветакого устройстваудобно использоватьфрейм-грабберконструктивнооформленныйв виде платы, расположеннойв корпусе ПЭВМ.Также необходимо иметь телекамеру с объективом, световой столдля подсветкирентгенограмм(негатоскоп)и телемонитор для визуализацииизображений(рис.4). Устройствоцифрового ввода и визуализации изображений должно обеспечиватьвысокое качество представлениямедицинскихизображений, чтобы при ихиспользованиине теряласьважная диагностическаяинформация.
[№ 7]
3.2.Области примененияи преимуществацифровых систем.
Кпреимуществам цифровых рентгенографических систем относятсяследующиечетыре фактора: цифровое отображениеизображения; пониженнаядоза облучения; цифровая обработкаизображений; цифровое хранениеи улучшениекачества изображений.
Рассмотримпервое преимущество, связанное сотображениемцифровой информации.Разложениеизображенияпо уровнямяркости наэкране становитсяв полной мередоступным дляпользователя.Весь диапазоноптическихяркостей можетбыть использовандля отображениялишь одногоучастка изображения, что приводитк повышениюконтраста винтересующейобласти. Враспоряженииоператораимеются алгоритмыдля аналоговойобработкиизображенияс целью оптимальногоиспользованиявозможностейсистем отображения.[№ 5, стр. 103]
Этосвойство цифровойрентгенографиитакже даетвозможностьснизить лучевуюнагрузку напациента путемуменьшенияколичества рентгенограммдля получениядиагностическойинформации(той же полезности).
Цифровоеотображениепри его компьютерной обработке позволяетизвлечь количественную и качественнуюинформациюи таким образомперейти отинтуитивно-эмпирическогоспособа изображенияк объективноизмеренному.
Существеннымпреимуществамцифровойрентгенографии перед экранно-пленочнымпроцессом являются простотаи скоростьполученияизображения.Изображениестановитсядоступныманализуврачом-рентгенологомв момент окончанияэкспозиции.[№ 6]
Второепреимуществоцифровойрентгенологии- возможностьснижения дозыоблучения. Еслив обычнойрентгенологиидоза облучениязависит отчувствительностиприемникаизображенияи динамическогодиапазонапленки, то в цифровойрентгенологииоба этих показателямогут оказатьсянесущественными. Снижения дозыможно достичь установкой экспозиции, при которойподдерживаетсятребуемыйуровень шумав изображении.Дальнейшееуменьшениедозы возможнопутем подборатакой длиныволны рентгеновского излучения, которая обеспечивала бы минимальнуюдозу при данномотношениисигнал/шум, атакже путем ликвидации любых потерьконтраста спомощью описанныхвыше методовотображенияцифровых изображений.
Третьепреимуществоцифровойрентгенологии- это возможностьцифровой обработкиизображений.Рентгенологдолжен выявитьаномальныеобразованияна осложненнойфоном нормальнойструктуребиоткани. Онможет не заметить мелких деталейв изображении, которые системаразрешает, илипропуститьслабоконтрастнуюструктуру, видимую на фонешумов изображения, из-за сложногостроения окружающих(или сверхлежащих)тканей. Субстракционныйметод в рентгенографии позволяет устранить большую частьпаразитной фоновой структурыи тем самымувеличитьвероятностьвыявленияважных деталейна рентгенограмме. Компьютерную томографиюможно рассматривать как частныйслучай методасубстракционнойрентгенографии, в котором изобычных проекционных изображений устраняетсяинформацияо вышележащихструктурах.[№ 5, стр.103-104]
Особеннаяценность примененияцифровойрентгенографиизаключаетсяв возможностиполного отказаот рентгеновскойпленки и связанного с ней фотохимическогопроцесса. Этоделает рентгенологическоеисследованиеэкологическичище, а хранениеинформациив цифровом видепозволяетсоздать легкодоступныерентгеновскиеархивы. Новыеколичественныеформы обработкиинформацииоткрываютширокие возможности стандартизацииполученияизображений, приведенияих к стандартукачества вмомент полученияи при отсроченныхповторныхисследованиях. Немаловажнаоткрывающаясявозможность передачи изображенияна любые расстоянияпри помощисредств компьютерныхкоммуникаций.
Приведенныесоображения с достаточнойнаглядностьюдемонстрируютпрогрессивностьвнедрения впрактику цифровойрентгенографии, которая сможет перевестидиагностическуюрентгенологиюна новый болеевысокий технологическийуровень. Отказот дорогостоящихрасходных материаловобнаруживаети ее высокуюэкономическуюэффективность, что в сочетаниис возможностьюуменьшениялучевых нагрузокна пациентовделает ее применениев практикеособеннопривлекательным.[№ 6]
3.3.Цифроваярентгенографияс экранаэлектронно-оптическогопреобразователя(ЭОП).
Системарентгенографиис экрана ЭОП(рис. 5) состоит, как и обычнаясистемаэлектронно-оптического преобразования для просвечивания, из ЭОП, телевизионноготракта с высокимразрешением, рентгеновскоговысоковольтногогенератораи рентгеновскогоизлучателя.Сюда же входитштатив дляисследования, цифровойпреобразовательизображенияи другие компоненты.
Приобычной методикерентгенографиис экрана ЭОПс помощью 100 ммфотокамерыили кинокамерыпереснимаетсяоптическоеизображениена выходномэкране преобразователя.
Вцифровой жесистеме сигнал, поступающийс видеокамеры, аналого-цифровымпреобразователем трансформируетсяв набор цифровыхданных и передаетсяв накопительноеустройство.Затем эти данные, в соответствиис выбранными исследователем параметрами, компьютерноеустройствопереводит ввидимое изображение.
/>Рис.5Цифроваярентгенографияс экрана ЭОП
1-генератор;2-рентгеновскаятрубка; 3-пациент;4-ЭОП; 5-видеокамера;
6-аналого-цифровойпреобразователь;7-накопительизображений;
8-видеопроцессор;9-сеть; 10-цифро-аналоговыйпреобразователь;
11-монитор;12-снимок; 13-рентгенолог.
3.4.Цифроваялюминесцентнаярентгенография(ЦЛР).
Применяемыев ЦЛР (рис.6)пластины-приемникиизображенияпосле их экспонированиярентгеновскимизлучениемпоследовательно, точка за точкой, сканируютсяспециальнымлазерным устройством, а возникающий в процесселазерного сканирования световой пучоктрансформируетсяв цифровойсигнал. Послецифровогоусиления контурови контрастностиэлементовизображения оно лазерным принтеромпечатаетсяна пленке иливоспроизводитсяна телевизионноммониторе рабочейконсоли. Люминесцентныепластины-накопители выпускаются в стандартных формах рентгеновскойпленки, помещаютсявместо обычных комплектов «пленка-усиливающийэкран» в кассетуи применяютсяв обычныхрентгеновскихаппаратах.
Такаяпластина обладаетзначительнобольшей экспозиционнойширотой, чемобщепринятыекомбинациипленка-экран, благодаря чемузначительнорасширяется интервал между недо- и переэкспонированием.Этим способомможно получатьдостаточноконтрастныеизображениядаже при резкосниженнойэкспозиционнойдозе, нижнимпределом которойявляется лишьуровень квантовогошума. Поэтомудаже при рентгенографиив палате у постелибольного методикаЦЛР гарантируетполучениякачественногоснимка.
ПриЦЛР используютсяцифровыепреобразователи, пространственноеразрешениекоторых выше, чем у большинстваиспользуемыхв настоящеевремя для обычной рентгенографии комбинацийэкран-пленка. Все же особымпреимуществомЦЛР являетсяпередачамалоконтрастных деталей, тогдакак передачаочень мелкихдеталей, таких, например, какмикрокальценатыв молочнойжелезе, остаетсяпрерогативой рентгенографиина рентгеновскойпленке.
/>Рис.6 Цифроваялюминесцентнаярентгенография.
1-генератор;2-рентгеновскаятрубка; 3-пациент;4-запоминающая
пластина;5-транспортирующееустройство;6-аналого-цифровой
преобразователь;7-накопительизображений;8-видеопроцессор;9-сеть;
10-цифро-аналоговыйпреобразователь;11-монитор; 12-снимок;
13-рентгенолог.
3.5.Селеноваярентгенография.
Селеновыедетекторы представляютсобой новейшуюсистему цифровойрентгенографии(рис. 7). Основнойчастью такогоустройстваслужит детекторв виде барабана, покрытогослоем аморфногоселена. Селеноваярентгенографияв настоящее время используется только в системахрентгенографиигрудной клетки.Характернаядля снимковгрудной клеткивысокая контрастностьмежду легочнымиполями и областьюсредостенияпри цифровойобработкесглаживается, не уменьшаяпри этом контрастностидеталей изображения. Другим преимуществомселенового детектораявляется высокийкоэффициентотношениясигнал/шум.
/>
Рис.5Цифровая селеноваярентгенография.
1-генератор;2-рентгеновскаятрубка; 3-пациент;4-селеновыйбарабан;
5-сканирующиеэлектроды+усилитель;6-аналого-цифровойпреобразо-
ватель;7-накопительизображений;8-видеопроцессор;9-сеть;
10-цифро-аналоговыйпреобразователь;11-монитор; 12-снимок;
13-рентгенолог.
4. Математическиеосновы компьютернойтомографии
Исследованиявнутреннейструктурыобъектов спомощью рентгеновскогоизлученияшироко распространеныи хорошо известны.Ослаблениерентгеновскогоизлучения вдольлуча, соединяющегоисточник иприемник, являетсяинтегральнойхарактеристикойплотностиисследуемогообъекта. Сматематическойточки зренияречь идет озадаче восстановленияфункции по ееинтегральнымзначениям вдольнекоторогосемействалучей. Различныелучи соответствуютразличным(относительнообъекта) положениямисточника иприемникаизлучения.Такая модельявляется простейшей, но во многихслучаях хорошоотражает реальнуюситуацию иподтверждаетсяисследованиямреальных тестовыхобъектов. Плотностьреальных объектовявляется функциейтрех пространственныхкоординат.Однако в классическойкомпьютернойтомографиитрехмерныйобъект представляютв виде наборатонких срезов.Внутри каждогосреза плотностьсчитают функциейтолько двухпеременных.При исследованиификсированногосреза системуисточник-приемникустраиваюттаким образом, что регистрируютсяданные толькопо лучам, лежащимв тонком слоеотносительноцентральнойплоскостисреза. Такимобразом приходятк задаче восстановленияфункции двухпеременныхпо ее интегральнымзначениям вдольнекоторогосемейства лучейДля регистрациив веерной схеме, чаще встречающейсяв реальныхтомографах, используетсялинейка детекторов, различныеположенияисточникаотносительнообъекта обеспечиваютсявращениемсистемы регистрацииили объекта.
4.1.Математическаяпостановказадачи рентгеновскойкомпьютернойтомографии, преобразованиеРадона и формулыобращения.
Вкомпьютернойрентгеновскойтомографиитрехмерныйобъект представляетсяобычно в виденабора тонкихсрезов. Длявосстановленияплотности срезарешается задачаобращениядвумерногопреобразованияРадона. ПреобразованиемРадона функцииf(x, y)называетсяфункция, />определяемаяравенством/>.
Обычнодля восстановленияфункции двухпеременныхпо ее интеграламвдоль прямыхиспользуетсяметод сверткии обратногопроецирования.В этом методеформула обращенияпреобразованияРадона записываетсябез явногоиспользованияобобщенныхфункций. Однаконаиболее общийи естественныйвид формулыобращенияпреобразованияРадона приобретаютпри использованииаппарата обобщенныхфункций. Далеебудет рассмотреносоотношениемежду методомобобщенныхфункций и методомсвертки и обратногопроецирования.
Передизложениемсобственночисленногоалгоритма будетдан вывод формулыобращения, позволяющийестественнымобразом перейтик построениюалгоритма.
В силуравенства
/>
функция/>прилюбом фиксированномpопределяетсясвоими значениямипри />.Это позволяетнам перейтик функции
/>.
ЗдесьL(r,φ) — прямая, ортогональнаялучу, имеющемуугол φ ρ положительнымнаправлениемоси X, и отстоящаяот начала координатна расстояниеr (r/>0), при r
Поскольку
/>,
где/> — преобразованиеФурье функцииf, то, переходяк полярнымкоординатампосле элементарныхпреобразованийинтеграла поφ на интервале[π, 2π], οолучаем
/>.
Введемфункцию S(z,φ), полагая
/>.
Прификсированномφ функция S(z,φ) εсть обратноеодномерноепреобразованиеФурье от произведения/>и|r|.Для />справедливоравенство
/>.
ОбратноепреобразованиеФурье от |r|есть обобщеннаяфункция v1/πz2.Переходя отпреобразованияФурье произведенияк свертке, получаемS(z,φ)= I(z,φ)/>(v1/πz2).Используярегуляризациюфункции 1/z2[19] приходим квыражению
/>.(1.5.1)
Такимобразом, дляf(x, y)справедливаформула
/>,(1.5.2)
позволяющаявыразить искомуюфункцию черезнаблюдаемыеданные.
Преждечем перейтик дискретномуварианту сделаемряд замечаний, связанных собоснованиемкорректностирассматриваемыхалгоритмовв реальныхситуациях.Обобщенныефункции являютсяфункционаламинад пространствомбесконечнодифференцируемыхбыстро убывающихфункций. Однакопри построенииаппроксимацийисходных реальныхданных по отсчетам, заданным вдискретныхточках, желательноиметь менеежесткие требованияк гладкостиаппроксимирующихфункций. Сверткас обобщеннымифункциями, вчастности, сфункцией 1/z2, может бытьопределенадля значительноменее гладкихфункций, этоочень важнопри доказательствекорректностиприменениячисленныхалгоритмов, получаемыхс помощью аппаратаобобщенныхфункций, к реальнымданным.
Перейдемк дискретномуварианту. Будемпредполагать, что f(x, y)= 0 вне круга радиусаRс центром внуле. Исходнымиданными являютсявеличины I(ri,φi), здесь riv отсчеты в интервале[-R, R], 1 ≤ i ≤ M- отсчеты в интервал[0, π], 1 ≤ j ≤ N.Если теперьпри заданныхзначенияхфункции I(r,φ) β отсчетах(ri,φi)построитьаппроксимациюI(r,φ) так, что дляS(z,φ)βыполняетсяравенство(1.5.1), то используя(1.5.1) и (1.5.2) можно получитьприближениек f(x, y).В дальнейшембудем предполагать, что отсчетына осях rи φ являютсяравноотстоящими.
Прикаждом фиксированномφjопределим/>следующимобразом.
Функция />имеет непрерывную первую производную по r.
В узлах решетки аппроксимирующая функция совпадает с заданными отсчетами, а ее производная в этих точках равна выборочной. То есть справедливы равенства: />, />, здесь h = 2R/(M-1), I(r0,φj) = I(rM+1, φj) = 0, i = 1, -, M.
На интервале [ri, ri+1] функция />есть полином третьей степени от r.
Перечисленныеусловия позволяютв явном видеполучить коэффициентысоответствующегосплайна. Непосредственнымивычислениямиможно получить, что
/>,
где
/>
Q(x)= Q(-x), Q(x)= 0 при |x|> 2h,h=ri+1-ri.
ФункцияQ(x)имеет разрывывторой производной, но модуль второйпроизводнойинтегрируем, используя этообстоятельствоможно показать, что сверткаS0(z)= Q(x) />(-1/πz2)выражаетсяформулой (1.5.1).Непосредственнымивычислениямиполучаем
/>
Графикифункций Q(x) и S0(z)для различныхзначений hпредставленына рис.1и рис.2.
/>/>
Такимобразом,
/>.
Заменяяв (1.5.2) Sна />иинтеграл частнойсуммой, получаемf*(x,y) — приближениек функции f(x,y),
/>.(1.5.3)
Какуже отмечалосьвыше, обычнов компьютернойтомографиииспользуетсяметод сверткии обратногопроецирования.Рассмотримсоотношениемежду этимметодом и методом, изложеннымв настоящемпараграфе.Используяинтегрированиепо частям, сверткус обобщеннойфункцией 1/z2можно заменитьдифференцированиеми сверткой с1/z(преобразованиемГильберта).
То естьфункцию
S(z,φ) = I(z,φ) />1/z2
можнопредставитьв виде
S(z,φ)= Iz/(z,φ)/>1/z
Припостроениичисленныхалгоритмоввместо обобщеннойфункции 1/zили, что то жесамое, интегралав смысле главногозначения, вметоде сверткии обратногопроецированияиспользуютнекоторуюпоследовательностьрегулярныхфункций pА(z), сходящуюсяк 1/z (всмысле обобщенныхфункций) приA стремящемсяк бесконечности.Используяинтегрированиепо частям, дифференцированиепереносят нафункции pА(z)и таким образомполучают регулярныефункции, сходящиесяк 1/z2, то есть сверткас обобщеннойфункцией 1/z2заменяетсяпоследовательностьюсверток с регулярнымифункциямиp/А(z).
Такимобразом, шагсвертки вклассическомметоде можноинтерпретироватьследующимобразом: исходныеданные аппроксимируютсяступенчатойфункцией иосуществляетсясвертка с регулярнойфункцией, являющейсяприближениемк обобщеннойфункцией 1/z2.
Вметоде настоящегопараграфаисходные данныеаппроксимируютсяболее гладкимифункциями — сплайнами 3-гопорядка. Этопозволяет точновычислитьсвертку с обобщеннойфункцией 1/z2, причем в явномвиде.
Шагобратногопроецированиясоответствующийинтегрированиюсвертки в обоихалгоритмаходинаков.
Прииспользованииалгоритмовв реальныхситуациях важноуметь оцениватьвлияние шумовна точностьполучаемыхприближений.Наличие явноговыражения дляаппроксимирующейфункции позволяетвычислитьдисперсиюошибки в любойточке прификсированныхδr,δφ θ известныхстатистическиххарактеристикахшума. Для случаянезависимого, аддитивного, стационарногошума ξ (z)можно сделатьследующеезамечание.Рассмотримпроцесс η, являющийсясверткой с 1/z2процесса ξ.Спектральнаяплотность этоголинейногопреобразованияесть |λ|. Дляспектральныхплотностейпроцессов ξи η получаемсоотношениеf η(λ) =|λ|2fξ(λ).Δисперсияпроцесса ηконечна, еслиинтегрируемаfη(λ),ςо есть процессξ дифференцируемв среднеквадратическом.Для того, чтобысвертка выражаласьформулой (1.5.1), напроцесс ξ нужноналожитьдополнительныеусловия, потребовав, например, чтобывыборочныефункции свероятностьюединица имеликонечную вторуюпроизводную.
Численноемоделированиеи восстановлениеплотностиреальных объектовс использованиеметода, изложенногов настоящемпараграфе, показало высокуюточность метода, особенно приисследованииобъектов идефектов, имеющихсложную конфигурациюи участки срезкими границами.
Примерывосстановления, с использованиемметодов, изложенныхв настоящемпараграфе, приведены нарисунке 3.Тестовый объектсостоит из 10частиц. Рис.3(слева)соответствует10 поворотам иРис.3 (справа)соответствует32 поворотам. />
продолжение
--PAGE_BREAK--
4.2.Приведениеформул обращениятомографическойреконструкциив конусе лучейк виду, позволяющемустроить численныеалгоритмы.
Вкомпьютернойрентгеновскойтомографиитрехмерныйобъект представляетсяобычно в виденабора тонкихсрезов. Длявосстановленияплотности срезарешается задачаобращениядвумерногопреобразованияРадона. Дляисследованияряда объектовболее естественнойявляется другаясхема, когдаисточник излучениядвижется понекоторойпространственнойкривой. Каждойточке кривойсоответствуетконус лучей, проходящихчерез эту точку.Исходнымиданными являютсяданные об ослабленииизлучения припрохождениичерез объект.Математическизадача ставитсякак задачавосстановленияфункции трехпеременныхпо интеграламвдоль прямых, проходящихчерез заданнуюкривую. Былаполучена формулаобращения дляфункций, имеющихфинитный носитель, и для кривых, удовлетворяющихопределеннымусловиям. Главнымв этих условияхявляется то, что любая плоскость, пересекающаяобъект пересекаеткривую, по которойдвижется источник.Примером кривой, удовлетворяющейусловиям, являетсясовокупностьдвух единичныхокружностей, лежащих вовзаимно перпендикулярныхплоскостях.Однако построениечисленныхалгоритмовнепосредственнона основанииэтой формулы, затруднительно.Дело, в частности, в том, что формулаобращенияоснована напреобразованииФурье от однороднойфункции, получаемойиз исходныхданных. ПричемпреобразованиеФурье понимаетсяв смысле обобщенныхфункций, апреобразованиеФурье в обычномсмысле можетне существовать.В настоящемпараграфеприводятсявыражения дляиспользуемогопреобразованияФурье, позволяющиепри построениичисленныхалгоритмовиспользоватьметод, изложенныйв предыдущемпараграфе.Устанавливаютсятакже некоторыесоотношениямежду результатами
Пустьзаданыфункцияf(x)= f(x1,x2,x3), точкаS=(s1,s2,s3)ивекторa = (a 1,a 2,a 3).Лучевымпреобразованиемфункции f(x)будем называтьфункцию
/>,
являющуюсяинтеграломот f(x)вдоль луча, исходящегоиз точки Sвнаправлениивектора a .
Нарядус функцией />внекоторыхситуацияхрассматриваетсяфункция
/>,
являющаясяинтеграломпо всей прямойили, что тожесамое, суммойинтеграловвдоль лучейиз точки zвнаправленияхa и -a .
Множествоточек S, для которыхизвестно лучевоепреобразованиеобычно являетсямножествомточек, принадлежащихнекоторойкривой, являющейсятраекториейдвижения источникаизлучения.
Пустьзадана кривая, по которойдвижется источник, Ф(l ) = (Ф1(l), Ф2(l), Ф3(l)) параметр lпробегаетнекоторыйинтервал Щдействительнойпрямой. Длялюбого a = (a 1,a 2,a 3)и l О Щ определимфункцию
/>.
Функцияg(a ,l ) есть интегралот функции f(x)вдоль проходящегочерез точкуФ(l ) в направлениивектора a. Отметим, что при любомфиксированномl функция />являетсяl однороднойфункцией a степени-1:
/>.(2.1.1)
Дляфункций, имеющихфинитный носитель, в [101] полученаформула:
/>.(2.1.2)
Прификсированномl функция G+(b,l ) есть преобразованиеФурье от функции/>попеременнойa, b = (cosq cosf, sinq cosf, sinf ). В формуле(2.1.2) l зависит отx и b и выбираетсяиз условий: скалярноепроизведение(b, x) равно (b ,f (l )), но(b, Ф(l )) не равнонулю. Значениефункции f(x)может бытьвосстановленов точке x, если такое lсуществуетдля любого b.Геометрическиэто означает, что любая плоскость, пересекающаяточку xносителяфункции, пересекаеткривую Ф(l ) так, что знаменательв (2.1.2) не обращаетсяв нуль. Примеромкривой, удовлетворяющейусловиямКириллова-Туя, является совокупностьдвух единичныхокружностей, лежащих вовзаимно перпендикулярныхплоскостях, если носительлежит в единичномшаре. Для цилиндрическихобъектов можноиспользоватьвинтовую линию.
Вформулу (2.1.2) входитG+(b,l ) — преобразованиеФурье от функции/>, однако преобразованиеФурье, понимаемоев обычном смысле:
/>,
вданном случаене существует, так как />являетсяоднороднойи имеет набесконечностипорядок 1/к a к. ПреоразованиеФурье здесьпонимаетсяв смысле обобщенныхфункций. Поскольку/>однороднаяфункция, то прилюбом фиксированномl исходные данные, полностьюопределяютсясвоими значениямина поверхностик a к =1. Переходк функции, заданнойво всем пространствеR3при использованиипреобразованияФурье приводитк обобщеннымфункциям.ПреобразованиеФурье в смыслеобобщенныхфункций являетсялинейным функционаломнад соответствующимпространством.Подробнее обэтом будетсказано в следующихпараграфах.Здесь нам важноотметить, чтоне любой функционалзадается спомощью регулярнойфункции. Длятого, чтобыиспользоватьформулы типа(2) для построенияалгоритмов, необходимопоказать, что/>задаетсяс помощью регулярнойфункции и иметьдля нее выражениячерез функцию/>.В работе [101] даетсявыражение, связывающее/>, при x отличномот нуля с помощьюрегулярныхопераций сискомой функцийf(x), то есть фактическипоказано, чтофункционал/>задаетсяс помощью регулярнойфункции. Однакодля построенияалгоритмовтомографическойреконструкциинужно />выразитьне через искомуюфункцию f(x), а через исходныеданные />.
Итак, перейдем кнахождению/>.Мы будем использоватьто, что />являетсяоднороднойфункцией поa фиксированномl. В [95] доказаноследующее
Утверждение: Пусть />естьпреобразованиеФурье в смыслеобобщенныхфункций отоднороднойфункции />, тогда
/>.(2.1.3)
Строгоедоказательствотребует существенногоиспользованияаппарата обобщенныхфункций, понимаемыхкак линейныефункционалынад соответствующимпространством.Здесь мы ограничимсяизложениемосновных моментовдоказательства.В частности, замену переменныхв расходящихсяинтегралахмы будем делатьпо тем же правилам, что и в обычных.
Представим/>ввиде
/>,
(посколькупараметр lфиксирован, его на данномэтапе можноопустить).
Какуже отмечалосьвыше, интегралявляетсярасходящимся, тем не менее, переходя ксферическимкоординатампо обычнымправилам, получаем:
/>,
гдеb = b (j ,q ) = (cosq cosj, sinq cosj, sinj ), j О [-p /2, p/2], q О [0, p ].
Учитывая, что />, а также то, чтоинтегрированиепо углам j и qсоответствуетинтегрированиюпо единичнойсфере, приходимк выражению
/>.
Интегралпо r есть преобразованиеФурье от r ++.Используятаблицы дляпреобразованияФурье обобщенныхфункций [19], приходимк выражению(2.1.3).
Длядействительныхфункций f(x)в формуле (2) нужнамнимая часть/>:
/>.
Используяобобщенныефункции, сосредоточенныена поверхности[19], получаемследующееследствие:
/>.
ЗдесьS(x) = {g О S2Ѕ(x, g ) = 0), />vпроизводнаяпо направлениюx. Подставляяв (2.1.2) функции />и/>, зависящие отпараметра l, получаем формулуобращения, пригодную дляпостроениячисленныхалгоритмов:
/>(2.1.4)
ЗдесьS(x) v окружность, являющаясяпересечениемединичной сферыи плоскостиP(b ). ПлоскостьP(b ) проходит черезначало координатортогональнавектору b. СимволW (x ) означаетинтегрированиепо окружности.Оператор L(b, D)означаетдифференцированиефункции />внаправлениивектора b :
/>,
приэтом l, зависящееот b и x, остаетсяфиксированным.
Каки выше, b = b (q, j ) = (cosq cosj,cosq sinj, sinq ), l = l (q, j ) = l (x,b ) такое, чтоскалярноепроизведение(x,b ) равно (b, g (l )) и (b, g/(l)).
Вформуле (4) используютсярегулярныефункции, и онапригодна дляпостроениячисленныхалгоритмов.
Замечание.А.С. Денисюкомнезависимои другим методом, без явногоиспользованияпреобразованияФурье обобщенныхфункций, полученыформулы обращенияфункции g+в Rn. При n = 3 формулыА.С. Денисюкаи формулы, получаемыеизложеннымспособом изформулы Туя, совпадают.
Вышебыли полученыформулы, позволяющиестроить численныеалгоритмывосстановленияфункции f(x)= f(x1,x2,x3)по ее лучевомупреобразованию
/>
Далеемы будем опускатьсимвол fииспользоватьобозначение/>.
ПрификсированномSфункция/>являетсяфункцией втрехмерномпространстве, но в силу ee однородностисуществуютповерхности, такие что />полностьюопределяетсясвоими значениямина них (поверхностирасположенияприемниковизлучения).
Исходныеданные в видефункции />удобноиспользовать, если матрицаприемниковрасположенана сфере. Однаков реальныхситуацияхматрицу приемниковобычно располагаютна плоскостиили поверхностицилиндра. Вэтих случаяхудобно использоватьнесколько инойвид исходныхданных.
Плоскийдетектор.
Мыбудем предполагать, что для источника, находящегосяв точке S=(s1,s2,s3), исходные данныерегистрируютсяв плоскостиP, определяемойуравнениемxs1+ ys2+ zs3= -Ѕ SЅ.Плоскость P, определяетсяследующимиусловиями:
плоскостьP перпендикулярналучу, соединяющемуисточник сначалом координат;
плоскостьP проходит черезточку S=(s1,s2,s3.)
РасстояниеDмеждуплоскостьюрегистрациии источникомравно удвоенномурасстояниюот источникадо начала координат.В плоскостирегистрациибудем использоватьпрямоугольнуюсистему координат(p1,p2), начало которойнаходится вточке пересеченияс лучем, соединяющимисточник сточкой (0, 0, 0). Такимобразом, еслиисточник находитсяв точке S=(s1,s2,s3), то начало системыкоординат (p1,p2)в плоскостинаблюдениянаходится вточке с трехмернымикоординатами-s1,-s2,-s3= — S.
Приреконструкциив конусе лучейнаиболеераспространеннымипримерамитраекторийисточникаявляются винтоваялиния и совокупностьдвух окружностейлежащих впересекающихсяплоскостях.
Траекторияв виде двухокружностей.
Рассмотримокружность, лежащую в плоскостиz=0.
Направлениеоси p2в плоскостирегистрациибудет совпадатьс направлениемоси z.
Осьp1системы координатвозьмем налинии пересеченияплоскостирегистрациис плоскостью, содержащейокружность, по которойдвижется источник.Для окончательногоопределениясистемы координатнеобходимовыбрать одноиз двух возможныхнаправленийоси p1.Если s3= 0, s1= rcosl, s2= rsinl (источникдвижется вплоскости z=0), то положительныйединичныйвектор на осиp1выберем так, чтобы он совпадалс вектором(cos(l +p /2), sin(l +p /2), 0) = (-sinl, cosl, 0) = (-s2/ЅSЅ,s1/ЅSЅ,0).
Точка, имеющая в плоскостирегистрациикоординаты(p1,p2), имеет следующиепространственныекоординаты:
x=-p1sinl- rcosl= -p1s2/Ѕ SЅ — s1,
y= p1cos l- rsinl= p1s1/Ѕ SЅ — s2, z= p2.
Вслучае плоскогодетектора, исходнымиданными являютсяинтегралы получам, соединяющимточки (p1,p2)в плоскостирегистрациис источникомS.
Регистрируемаяфункция gr(p1,p2,l ) есть интегралот искомойфункции f(x)= f(x1,x2,x3)вдоль лучаисходящегоиз точки S=(s1,s2,s3)= (rcosl, rsinl, 0) в направленииточки
P= (-p1sin l- rcosl, p1cosl-rsinl, p2) = (-p1s2/ЅSЅvs1,p1s1/ЅSЅvs2,p2).
Интегральнаяформа регистрируемойфункции имеетвид:
/>
Приt =0 луч проходитчерез точкуS =(rcosl, rsinl, 0), при t=1 v через точкуP = (p1,p2)= (-p1sin l — rcosl, p1cosl -rsinl, p2).
Итак, мы имеем соотношениемежду функциямиgr(p1,p2,l ) и />:
/>,
/>.
Нарядус обозначениемgr(p1,p2,l ), мы будем использоватьобозначенияgr(p1,p2,S(l)), gr(p1,p2,S)и gr(P,S), здесь S(l) точка на траекторииисточника, соответствующаяпараметру l, P=(p1,p2).Мы выразилифункцию gr(p1,p2,l ) через функцию/>=g+(x, l ).
Вформуле обращениялучевогопреобразованияиспользуетсяфункция g+(x, l ) =/>для того, чтобыиспользоватьgr(p1,p2,l ), регистрируемуюв случае плоскогодетектора, нужно выразитьg+(x, l ) используяgr(p1,p2,l ).
Длядальнейшегонам потребуютсякоординаты(p1,p2)(в системе координатплоскостирегистрации)точки пересеченияплоскостирегистрацииданных с лучем(S+tx)= (s1+ tx1,s2+tx2,s3+tx3).Эти координатыимеют вид:
/>
/>.
/>.
Теперьмы можем выразить/>используяgr(p1,p2,l ):
/>=g+(x, l ) = gr(2Ѕ S(l)Ѕ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) //>,-2Ѕ S(l)Ѕ 2x 3 //>,l),
если/>/>=0, если />і0.
Итак, мы имеем следующеесоотношениемежду функциями:
g+(P, l ) и />=g+(x, l ); P = (p1,p2),x =(x 1,x 2, x 3,);
/>=g+(x, l) =
=gr(2Ѕ S(l)Ѕ (s2(l)x1 v s1(l)x2) //>, — 2Ѕ S(l)Ѕ 2x3 //>,l),
если/>
/>=0, если />і0.
Припереходе отфункции g+(x, l ) = />кфункции gr(P, S)интегрированиепо окружностиS(l) в трехмерномпространствезаменяетсяна интегрированиепо прямым линиямв плоскостирегистрации.Отметим, чтоформулы обращениялучевогопреобразования, использующиеинтегрированиевдоль прямыхв плоскостирегистрации.
4.3Элементы теорииобобщенныхфункций в применениик задачам обращениялучевогопреобразования
Обобщеннаяфункция этонепрерывныйлинейный функционална пространствеК всех функцийa (x), имеющих производныевсех порядкови финитныйноситель (свойдля каждой изфункций α (x)).Любая регулярнаяинтегрируемаяфункция f(x)задает линейныйфункционал(f,a ):
/>.(2.2.1)
Однакона пространствефункций K существуютнепрерывныелинейные функционалы, которые немогут бытьзаданы с помощьюрегулярныхинтегрируемыхфункций, наиболееизвестнымипримерами такихфункционаловявляются δ-функцияи ее производные.Другим широкоизвестнымпримером являетсяфункционал, основанныйна функции(1/x)dx.Функция 1/xx являетсярегулярной, однако она неявляетсяинтегрируемой.При заданиисоответствующегофункционалаинтеграл
/>(2.2.2)
понимаетсяв смысле главногозначения:
/>.
Такоепониманиеинтегралаиспользуетсяпри определениипреобразованияГильберта отфункции α (x)как сверткис функцией1/xx.
.
ПреобразованиеГильбертаиспользуется, в частности, в одной из формулобращенияпреобразованияРадона в двумерномпространстве.Эта формулаобычно приводитсяв руководствахпо компьютернойрентгеновскойтомографии.Однако методсвертки и обратногопроецирования, часто используемыйпри построениичисленныхалгоритмовтомографическойреконструкции, основан нанесколькодругом видеформулы обращенияпреобразованияРадона. В этомметоде по существуиспользуетсясвертка проекционныхданных последовательностьюфункций сходящихсяк 1/xx2в смысле обобщенныхфункций.
Линейныйфункционал, соответствующийфункции 1/xx2, или, что то жесамое, обобщеннаяфункция 1/xx2определяетсяформулой [19]
/>(2.2.3)
Интегралв (2.2.3) сходитсяв обычном смыследля любой функцииa (x)из пространстваосновных, идаже из болееширокого класса, функций.
Вформулах обращенияпреобразованияРадона используетсясвертка данныхс функцией1/xx2.Свертка обобщенныхфункций определяетсяследующимобразом.
Пустьзаданы двафункционалаf иg .Действие функционалаf*gявляющегосяих сверткой, на функцию a изпространстваосновных задаетсяформулой
(f*g,a)= (fx,gy,a(x+ y))).(2.2.4)
Здесьgyозначает, чтофункционалдействует нафункцию a, какфункцию переменнойy, а функционалfдействуетна полученнуюфункцию переменнойx.Если функционалыf иgможнозадать регулярнымифункциям, тофункционалсвертки определенныйформулой (2.2.4)можно задатьфункцией, являющейсясверткойсоответствующихфункций в обычномсмысле.
Здесьследует сделатьодно замечание.Даже если функцияодной переменнойa (t ) имеет финитныйноситель, функциядвух переменныхa (x+ y)не являетсяфункцией сфинитным носителем.Это означает, что существованиефункционалаf*gдля конкретныхфункционаловf иgилинеобходимодоказывать.Известно, чтодля существованияфункционаласвертки, достаточно, чтобы один изфункционаловимел финитныйноситель.
Еслирассматриватьзадачи томографии, то там с функцией1/xx2сворачиваютсяисходные данные, которые регулярныи имеют финитныйноситель. Можнопоказать также, что необходимаясвертка выражаетсяформулой:
S(r,j) = I(r,j) * (-1/pr2) =
/>(2.2.5)
Вреальных ситуацияхфункция I(r,j ) известна внекоторомдискретноммножестветочек. Для того, чтобы использоватьформулу (2.2.4) нужнопостроитьаппроксимациюфункции I(r,j ), такую чтоинтеграл вправой частиимеет смысл.Интеграл (2.2.4)заведомо сходится, если функцияI(r,j ) принадлежитмножеству K, тоесть имеетфинитный носительи являетсябесконечнодифференцируемой.
Однакоаппроксимацияданных бесконечнодифференцируемойфункцией можетоказатьсягромоздкойпри построениичисленныхалгоритмов.Кроме того, использованиебесконечнодифференцируемыхфункций можетприводить кзаглаживаниюграниц областейс резко отличающимисяплотностями.Для сходимостиинтеграла в(2.2.5) достаточно, чтобы функцияI(r,j ) имела в каждойточке конечныеодносторонниепроизводныепервого порядкапо переменнойr.Это позволяет, в частности, использоватькубическиесплайны дляпостроенияаппроксимациифункции I(r,j ).
Основнымиоперациямис обобщеннымифункциями, используемымив задачах томографии, являются свертка, дифференцированиеи преобразованиеФурье. Основнаяидея определенияопераций заключаетсяв том, что некоторыесвойствафункционалов, задаваемыхрегулярнымифункциями, берутся заоснову приопределениисоответствующихопераций надобобщеннымифункциями, являющимисялинейнымифункционалами.
Наэтой основепостроеноприведенноевыше определениесвертки. Особеннопросто и наглядноэтот приемможно продемонстрироватьпри определенииоперациидифференцированияобобщенныхфункций.
Пустьлинейный функционалfзадаетсярегулярнойфункцией f(x)имеющей интегрируемуюпроизводную.Для действияпроизводнойна функцию a(x)из пространстваосновных можнозаписать равенство
/>,(2.2.6)
здесьиспользованоинтегрированиепо частям и то, что a (x)равна нулю вненекоторогоконечногоинтервала.
Приведенноевыше свойствоберется заоснову приопределениипроизводнойобобщеннойфункции. Пустьзадан функционалf, его производнойназываетсяфункционалf/, определяемыйравенством/>.Так как функциииз пространстваосновных бесконечнодифференцируемы, то определениеявляется корректными обобщенныефункции имеютпроизводныелюбого порядка.
Перейдемк определениюпреобразованияФурье в смыслеобобщенныхфункций. Вприводившихсявыше определенияхфункции, входящиев пространствоосновных, былидействительными.При определениипреобразованияФурье целесообразнов качествеосновных рассмотретькомплекснозначныефункции.
ПустьK пространствокомплексныхосновных функций(бесконечнодифференцируемыхс финитнымносителем).
Каждойкомплекснозначнойлокальноинтегрируемойфункции f(x)ставится всоответствиефункционал
/>,
/>комплексносопряжена сf(x),a (x)О K.
Множествовсех линейныхнепрерывныхфункционаловна K образуеткомплексноепространствообобщенныхфункций K/.Обозначим черезZ — множествофункций, являющихсяпреобразованиямиФурье функцийиз K.
ПреобразованиемФурье элементаfизпространстваK называетсяфункционалgнапространствеZ, действующийпо формуле
(g,y ) = 2 p (f,a ), (2.2.7)
здесьj такой элементиз K, для которогопреобразованиеФурье есть y.То есть длятого чтобывычислитьдействие функционалаgнафункцию y (l ) изпространстваZ, нужно:
найтитакую функциюa (x)из пространстваK, преобразованиемФурье, которойявляется функцияy (l );
найтидействие функционалаfнанайденнуюфункцию a (x).
Пространстваосновных функцийи функционаловнад ними выбранынами так, чтооба шага всегдавыполнимы.
Здесьследует обратитьвнимание нато, что обобщенныефункции и ихпреобразованияФурье определяютсякак линейныефункционалынад разнымиосновнымипространствами.Причем функциииз множестваZ,накотором действуютпреобразованияФурье, не являютсяфункциями сфинитныминосителями, но продолжаютоставатьсябесконечнодифференцируемым.Что позволяетсохранитьмногие полезныесвойства обобщенныхфункций.
Вформулах обращениялучевогопреобразования, на которыхоснованы алгоритмырешения задачахтрехмернойкомпьютернойтомографии, используетсяпреобразованиеФурье однородныхфункций. КлассическоепреобразованиеФурье такихфункций несуществует, преобразованиеФурье в формулахпонимаетсяв смысле обобщенныхфункций.
Рассмотримнесколькоподробнее этотвопрос с точкизрения возможностипостроениясоответствующихчисленныхалгоритмовв трехмерномпространстве.
Напомнимопределениелучевогопреобразования, которое былодано в предыдущихпараграфах.
Лучевымпреобразованиемфункции f(x)= f(x1,x2,x3)называетсяфункция
/>,(2.2.8)
являющаясяинтеграломот f(x)вдоль луча, исходящегоиз точки S=(s1,s2,s3)в направлениивектора a = (a 1,a 2,a 3).
Какуже отмечалосьвыше, в нарядус функцией/>рассматриваетсяфункция
/>,
являющаясяинтеграломпо всей прямойили, что тожесамое, суммойинтеграловвдоль лучейиз точки Sвнаправленияхa и — a .
Обефункции являютсяоднороднымистепени -1, тоесть для нихвыполняютсяравенства
/>,/>.
Отметимтакже, что />являетсячетной, а функция/>таковойне является.
Понятиеоднородностистепени l можноестественнымобразом расширитьна обобщенныефункции, есливзять за основуравенство g(gx)= g l g(x).В терминахдействия наосновную функциюj равенствозапишется ввиде (g,j (x/g) = g l +n(g,j (x)), здесь g v любоевещественноечисло большеенуля, nn- размерностьпространства, в котором заданыосновные функции.В интегральномпредставленииобобщенныхфункций показательnвозникаетпри соответствующейзамене переменныхв dx.
Известно, что преобразованиеФурье однороднойобобщеннойфункции, тожеявляется однороднойобобщеннойфункцией.
Дляинтегрируемых, ограниченныхи имеющихограниченныйноситель, функцийfихлучевое преобразованиеявляется регулярнойоднороднойфункцией. Изрезультатовработ следует, что в трехмерномпространствепреобразованиеФурье такихфункций, понимаемоев обобщенномсмысле, задаетсярегулярнойфункцией. Регулярнаяоднороднаяфункция задаетсясвоими значениямина единичнойсфере. Такимобразом, впрактическихситуациях приинвертированиилучевогопреобразованиянас интересуетсоотношениемежду двумяфункциями. Однаиз них являетсясужением наединичную сферулучевогопреобразования, а другая — сужениемна единичнуюсферу преобразованиеФурье лучевыхданных, понимаемогов смысле обобщенныхфункций. Подобноепреобразованиемежду функциями, заданными наединичной сфереестественноназвать преобразованиемСемянистого, поскольку вего работе впервые полученыподобные соотношениядля симметричныходнородныхфункций в n-мерныхпространствах.Как уже отмечалосьвыше, функция/>неявляетсясимметричной, для нее соответствующиесоотношениядля функцийна единичныхсферах в трехмерномпространствебыли полученыв предыдущихпараграфах.
Ранеебыли рассмотреныформулы обращениялучевогопреобразования, основанныена явном использованииобобщенныхфункций, и приемы, позволяющиеприводить этиформулы к видуудобному дляпостроениячисленныхалгоритмов.
Квыводу формулобращениялучевогопреобразованияесть другойподход, неиспользующийобобщенныефункции в явномвиде. Мы покажемздесь, что фактическиэтот метод тожеоснован наиспользованиипреобразованияФурье в смыслеобобщенныхфункций.
Лучевымиданными называетсяфункция
/>,
Ф= (Ф1, Ф2, Ф3)О R3,b О S2(S2v единичнаясфера). (Не трудновидеть, что внаших обозначенияхэто функция/>).
В формулахобращенияиспользуютсяследующиефункции:
/>(2.2.9)
/>,(2.2.10)
(S2/2- половина единичнойсферы), /> — скалярноепроизведениевекторов />и/>.
Формулыобращения в имеет вид
/>,(2.2.11)
где/>,R v радиус шара, в котором содержитсяноситель функцииf(х),/>-элементповерхностина единичнойсфере.
Еслидля любого l, такого, что ЅlЅS2/2существуетточка Ф на траекторииисточникатакая, что Ф Чb = l(выполняютсяусловия Кириллова-Туя), то формула(2.2.11) может бытьиспользованадля определенияфункции f(х).
В отмечается, что функцияFпритрехмернойтомографическойреконструкциив конусе лучейв определеннойстепени аналогичнароли преобразованияФурье в двумернойтомографии.Этот факт неявляется случайным.
Действительно, в показано, преобразованиеФурье по b в смыслеобобщенныхфункций отфункции g(b, Ф) имеет вид
/>.(2.2.12)
Знаменательв (2.2.12) может бытьравен нулю, и(2.2.12) следует пониматьв смысле обобщенныхфункций. В доказаноследующееутверждение.
Еслиf jО C2, то
/>
/>.(2.2.13)
Учитывая(2.2.13), (2.2.12) и (2.2.10) мы видим, что функция/>, являетсяпреобразованиемФурье в смыслеобобщенныхфункций функцииg(b, F ), а функция Fвформуле обращенияопределяетсяфункцией />.
4.4.Соотношениямежду преобразованиямиРадона, Фурьеи лучевымпреобразованием.
Впредыдущихпараграфахбыли рассмотреныформулы непосредственногообращениялучевогопреобразования.Существуюттакже методытомографическойреконструкции, основанныена предварительномвычислениипреобразованияФурье искомойфункции илиее преобразованияРадона. Как ужеотмечалосьранее, в случаедвух переменныхлучевое преобразованиеи преобразованиеРадона совпадают.В трехмерномпространствеv это разныепреобразования.
Дляпонимания сутиметодов томографиивесьма полезнысоотношениямежду различнымивидами преобразований.Многие такиесоотношенияможно получитьв пространствахлюбой размерности.Однако здесьмы будем, какправило, рассматриватьпрактическиважные случаидвух и трехпеременных.
Соотношениемежду преобразованиямиРадона и Фурье.
Пусть/> — преобразованиеФурье функцииf(x1,x2,x3):
/>.
Интегрируясначала прификсированномpпо плоскостиl 1x1+ l 2x2+ l 3x3= p, а затем по pприходим кхорошо известномувыражению, связывающемупреобразованияФурье и Радона
/>.(2.3.1)
Соотношениемежду преобразованиемРадона и преобразованиемФурье лучевыхданных.
В[21] предложенспособ инвертированиялучевогопреобразования, основанныйна том, что поисходным даннымвосстанавливаетсяпреобразованиеРадона функцииf(x)
/>,
чтопозволяет поизвестнымформулам восстановитьf(x).
Привыводе формулобращения вработе используетсяфункция
/>.(2.3.2)
Можнопоказать чтодля функций/>и/>справедливосоотношение
/>,(2.3.3)
здесьС v некотораяконстанта.Равенства(2.3.2) и (2.3.3) дают связьмежду преобразованиемРадона и лучевымпреобразованиемв трехмерномпространстве:
/>,(2.3.4)
Отметимтакже, что поскольку
/>,/>.Равенство(2.3.4) может бытьзаписано в виде/>.Из последнегоравенства иопределенияфункции />следует, что />функцияxпостоянна наплоскостях, ортогональныхвектору x, таккак для всехx, принадлежащихтакой плоскости, скалярноепроизведение(x,x ) равно константе.Этот факт лежитв основе многихметодов обращениялучевогопреобразования.Это утверждениеполучено в[40], для случаякомплексныхпространств.Для действительныхпространствэто утверждениесодержитсяв работах. Онои может бытьиспользованодля восстановленияфункции />вточках x,принадлежащихобласти D, по значениямна ее границах.
Соотношениемежду преобразованиемФурье лучевыхданных и преобразованиемФурье искомойфункции f(x).
В работе получено равенство:
/>,(2.3.5)
устанавливающеесвязь междупреобразованиемФурье лучевыхданных и преобразованиемФурье самойфункции f, преобразованиеФурье понимаетсяв смысле обобщенныхфункций. Длятого, чтобыиспользоватьэту формулудля нахожденияфункции fнужно иметьформулы длявычисленияобобщенногопреобразованияФурье по лучевымданным. Такиеформулы былиприведены выше.
Взаключение, хотелось бысказать, чтораскрытие тогомножествавопросов, затронутыхв данной работе, можно бы былопродолжатьещё очень долго, так что ряд темпредставленынесколькоужато. Особыйинтерес представлялоизучение именнотехнической(физической, если угодно)стороны компьютернойтомографии, как методадиагностики.Замечаний кработе может, в принципе, возникнутьмного, однаконадеюсь нанесколькоснисходительноеотношение –сроки былисжатые, вопрос– обширный (даи сам процесснаписанияпрерывался- пошуровал вкомпьютереwin95.cih).
5.ИСПОЛЬЗУЕМАЯЛИТЕРАТУРА.
1.РозенштраухЛ.С. Невидимоестало зримым(успехи и проблемылучевой диагностики).- М.: Знание, 1987.- 64 с.
2.Томографиягрудной клетки/ Помозгов А.И., Терновой С.К., Бабий Я.С., ЛепихинН.М. — К.: Здоровья,1992.-288 с.
3.Компьютернаятомографиямозга.Верещагин Н.В., Брагина Л.К., Вавилов С.Б., Левина Г.Я.-М.: Медицина,1986.-256с.
4.Коновалов А.Н., Корниенко В.Н.Компьютернаятомографияв нейрохирургическойклинике.-
М.: Медицина,1988. — 346с.
5.Физика визуализацииизображений в медицине: В 2-х томах.
Т.1: Пер.с англ./Под ред.С.Уэбба.-М.: Мир,1991.-408 с.
6.Антонов А.О., Антонов О.С., ЛыткинС.А.//Мед.техника.-1995.-№ 3 — с.3-6
7.Беликова Т.П., ЛапшинВ.В., ЯшунскаяН.И.//Мед.техника.-1995.-№ 1-с.7