Реферат: Интегральные преобразования
Операционное исчисление и некоторые его приложенияПусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :
/>
Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие: |f(t)|<Me S0t
Рассмотрим функцию f(t)×e-pt, где р – комплексное число р = ( а + i b).
/> (1)
Применим к этому соотношению формулу Эйлера :
/>
Проинтегрировав это равенство получим :
/> (2)
Оценим левую часть равенства (2) :
/>
А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t
/>
В случае если a>S0 имеем :
/>
Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).
Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р:
/> (3)
Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.
f(t) Ü F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.
/> - это оператор Лапласа.
Смысл введения интегральных преобразований.
Этот смысл состоит в следующем: с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.
Теорема единственности: если две функции j( t) и Y(t) имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.
Смысл теоремы: если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.
Изображение функций s(t), sin(t), cos(t).
Определение: /> называется единичной функцией.
Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :
/>
Изображение единичной функции />
Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :
/>
интегрируя по частям получим :
/> т.е. />
Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию />в области преобразований. Откуда: />
Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.
/>где а – константа.
Таким образом: />
/> и />
Свойства линейности изображения.
Теорема: изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.
/>
Если />, то />, где />
Теорема смещения: если функция F(p) это изображение f(t), то F(a+p) является изображением функции e-at f(t) (4)
Доказательство :
Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)
/>
Что и требовалось доказать.
Таблица основных изображений:
F(p) f(t) F(p) f(p)/>
1/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Изображение производных.
Теорема. Если />, то справедливо выражение :
/> (1)
Доказательство :
/>
/>
/> (2)
/> (3)
Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :
/>
Что и требовалось доказать.
Пример: Решить дифференциальное уравнение :
/> Если x(0)=0 и x’(0)=0
Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и />, где /> — решение в области изображений.
/>
/>
/>
Изображающее уравнение :
/>
/>
/>
Теорема о интегрировании оригинала. Пусть /> находится в области оригиналов, />, тогда />также оригинал, а его изображение />.
Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.
Теорема о интегрировании изображений: Пусть /> – функция оригинал, которая имеет изображение />и /> также оригинал, а /> — является сходящимся интегралом, тогда />.
Толкование теоремы: операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до ¥ в области изображений.
Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :
/> (1)
Свертка обозначается следующим образом :
/> (1’)
Равенства (1) и (1’) идентичны.
Свертка функции подчиняется переместительному закону.
Доказательство:
/>
/>
Теорема о умножении изображений. Пусть />и />, тогда произведение изображений /> представляется сверткой оригиналов />.
Доказательство:
Пусть изображение свертки />
/> (1)
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и t. Изменим порядок интегрирования. Переменные t и t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.
/>
Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).
Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.
Теорема Эфроса. Пусть функция /> находится в области оригиналов, />, а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что />, тогда />.
В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда
/> (2)
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
Обратное преобразование Лапласа.
/> - Это прямое преобразование Лапласа.
Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :
/>, где s – некоторая константа.
Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.
Теоремы разложения.
Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.
Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде />, k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, />, то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы: />.
Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией />. Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни a1, a2, …, a n соответствующий кратности k1, k2, …, kn, при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :
/>
/> (3)
Например :
/>
/>
Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.
Преобразование Лапласа имеет вид :
/> (1)
На f(t) наложены условия :
f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-¥; ¥ )
f(t) º 0, t Î (- ¥ ;0)
При M, S0 >0, для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me S0t
Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :
/> (2)
Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.
Пусть в (1) и (2) p =a + in, где a и n – действительные числа.
Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.
/> (4)
/> (5)
и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.
Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :
Должна быть определена на промежутке (-¥; ¥ ), непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.
Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.
Функция абсолютно интегрируема: />, это условие выполняется, если |f(t)|<Me S0t
Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции: f(t) = C
/>
Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :
/> т.к. />
Если f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.
Если f(t) ¹ 0, t<0
/> (6)
/>
Обозначим />
Очевидно, что /> (6’)
Функция (6) называется спектральной плотностью
/>
В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :
Вычисление интеграла (5)
Использование преобразования Лапласа или Фурье.
Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.
Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной
/> (7)
|F(iu)| — амплитудное значение спектральной плотности, y (u) – фазовый угол.
В алгебраической форме: F(iu) = a(u) +ib(u)
/> (8)
/> (9)
Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол y (u).
Пример.
Найти спектральную плотность импульса :/>
/>
откуда />, далее
/>
/>
Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.
Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.
Прямое преобразование Фурье необходимо :
Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.
Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:
Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu.
Спектральной плотностью F1(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iua) абсолютно интегрируемой функции.
/>
/>