Реферат: Средние величины 2

--PAGE_BREAK--Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:
Таблица 2.2
Возраст, X лет
18
19
20
21
22
Всего
Число студентов
2
11
5
1
1
20
В результате группировки получаем новый показатель — частоту, указывающую число студентов в возрасте X лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней:

<shape id="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image007.wmz» o:><img width=«564» height=«41» src=«dopb368398.zip» v:shapes="_x0000_i1028">
Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:
·                   средняя гармоническая, если m = — 1;
·                   средняя геометрическая, если m → 0;
·                   средняя арифметическая, если m = 1;
·                   средняя квадратическая, если m = 2;
·                   средняя кубическая, если m = 3.
Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности: с увеличением показателя степени т увеличивается и соответствующая средняя величина:
Xгарм≤ Xгеом≤ Xарифм≤ Xквадр≤ Xкуб.
Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости от настроения и желания ее «знатока» либо «утопить», либо «выручить» студента, получившего на сессии оценки 2 и 5. Каков его средний балл?
Если судить по средней арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если декан желает «утопить» несчастного и вычислит среднюю гармоническую

<shape id="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image009.wmz» o:><img width=«176» height=«63» src=«dopb368399.zip» v:shapes="_x0000_i1029">,
то студент остается и в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки. Однако студенческий комитет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину:
<shape id="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image011.wmz» o:><img width=«212» height=«48» src=«dopb368400.zip» v:shapes="_x0000_i1030">.
Студент уже выглядит «хорошистом» и даже претендует на стипендию! И только в том случае, если лентяй провалил оба экзамена, статистика помочь не в состоянии: увы, все средние из двух двоек равны все той же двойке!
Формулы степенных средних величин приведены в табл. 2.3
В формулах средних значений п — это число единиц совокупности (число индивидуальных значений осредняемого признака X); х — индивидуальное значение признака у каждой единицы. Если совокупность объектов распределена по группам разной численности, то х — это значение признака, общее для всей группы; f— численность группы (частота повторения данного значения признака).
Таблица 2.3 Формулы средних величин
Вид степенной средней
Показатель степени(m)
Формулы расчета средней
простой
взвешенной
Гармоническая
-1
<shape id="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image013.wmz» o:><img width=«68» height=«63» src=«dopb368401.zip» v:shapes="_x0000_i1031">
<shape id="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image015.wmz» o:><img width=«72» height=«67» src=«dopb368402.zip» v:shapes="_x0000_i1032">
m=xf
Геометрическая
→ 0
<shape id="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image017.wmz» o:><img width=«189» height=«32» src=«dopb368403.zip» v:shapes="_x0000_i1033">
<shape id="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image019.wmz» o:><img width=«205» height=«32» src=«dopb368404.zip» v:shapes="_x0000_i1034">
Арифметическая
1
<shape id="_x0000_i1035" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image021.wmz» o:><img width=«65» height=«45» src=«dopb368405.zip» v:shapes="_x0000_i1035">
<shape id="_x0000_i1036" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image023.wmz» o:><img width=«73» height=«51» src=«dopb368406.zip» v:shapes="_x0000_i1036">
Квадратическая
2
<shape id="_x0000_i1037" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image025.wmz» o:><img width=«87» height=«51» src=«dopb368407.zip» v:shapes="_x0000_i1037">
<shape id="_x0000_i1038" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image027.wmz» o:><img width=«95» height=«56» src=«dopb368408.zip» v:shapes="_x0000_i1038">
Кубическая
3
<shape id="_x0000_i1039" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image029.wmz» o:><img width=«85» height=«51» src=«dopb368409.zip» v:shapes="_x0000_i1039">
<shape id="_x0000_i1040" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image031.wmz» o:><img width=«96» height=«56» src=«dopb368410.zip» v:shapes="_x0000_i1040">
2.1 Степенные средние величины
2.1.1 Средняя арифметическая величина
Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.
Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина -среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности.
Средняя арифметическая – наиболее распространенный на практике вид средних. Различают 2 вида арифметических средних:
·                   Невзвешенную (простую);
·                   Взвешенную.
Средняя арифметическая невзвешенная рассчитывается для несгруппированных данных по формуле:
<shape id="_x0000_i1041" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image033.wmz» o:><img width=«65» height=«45» src=«dopb368405.zip» v:shapes="_x0000_i1041">.
Для массовых статистических совокупностей рассчитывается взвешенная средняя арифметическая по формуле:

<shape id="_x0000_i1042" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image034.wmz» o:><img width=«73» height=«51» src=«dopb368406.zip» v:shapes="_x0000_i1042">.
Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. Например, по табл.2.1.1 можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. Тогда первый интервал будет от 17 до 20 лет, а максимальный возраст — 65 лет, тогда последний интервал — 50-65 лет.
Таблица 2.1.1 Распределение рабочих предприятия по возрасту
Группы рабочих по возрасту, лет
Число рабочих fj
Середина интервалаxj
xj fj
До 20
48
18,5
888
20-30
120
25
3000
30-40
75
35
2625
40-50
62
45
2790
Старше50
54
57,5
3105
Итого
359
34,56
12408
Средний возраст рабочих, рассчитанный по формуле с заменой точных значений признака в группах серединами интервалов, составил:
<shape id="_x0000_i1043" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image035.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb368411.zip» v:shapes="_x0000_i1043">
<shape id="_x0000_i1044" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image037.wmz» o:><img width=«73» height=«51» src=«dopb368406.zip» v:shapes="_x0000_i1044"> = <shape id="_x0000_i1045" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image038.wmz» o:><img width=«129» height=«41» src=«dopb368412.zip» v:shapes="_x0000_i1045">,
что и записано в итоговую строку по графе 3 табл.2.1.1.
Средняя арифметическая величина обладает рядом свойств, позволяющих ускорить расчет:
1.                Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т. е. <shape id="_x0000_i1046" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image040.wmz» o:><img width=«97» height=«27» src=«dopb368413.zip» v:shapes="_x0000_i1046">.
Это свойство определено требованиями правильного исчисления средней, согласно которым конкретные значения варьирующего признака уравниваются без изменения общего объема его и заменяются одним средним числом, которое как постоянный множитель выносится из-под знака суммы. Благодаря этому свойству средняя может быть использована для разного рода плановых и статистических расчетов как представитель или заменитель всех значений варьирующего признака. Так, если средний расход горючего на <metricconverter productid=«1 гектар» w:st=«on»>1 гектар пахоты составляет <metricconverter productid=«20 литров» w:st=«on»>20 литров, а всего надо вспахать 2 млн. га, то всего потребуется 40 млн. литров горючего. Аналогично, если достаточно репрезентативное выборочное обследование показало, что среднегодовой надой молока на одну корову составляет <metricconverter productid=«2500 литров» w:st=«on»>2500 литров, а всего в районе 15 тыс. коров, то общий надой составит 37,5 млн. литров.
2.                Сумма отклонений вариантов как от простой, так и от взвешенной средней арифметической равна нулю:
<shape id="_x0000_i1047" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image042.wmz» o:><img width=«97» height=«27» src=«dopb368414.zip» v:shapes="_x0000_i1047"> и <shape id="_x0000_i1048" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image044.wmz» o:><img width=«107» height=«27» src=«dopb368415.zip» v:shapes="_x0000_i1048">
Рассмотренное свойство может быть использовано для проверки правильности исчисления средней. Если при исчислении средней арифметической <shape id="_x0000_i1049" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image046.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb368416.zip» v:shapes="_x0000_i1049"> и <shape id="_x0000_i1050" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image048.wmz» o:><img width=«53» height=«27» src=«dopb368417.zip» v:shapes="_x0000_i1050"> не равны нулю, это указывает, что средняя неправильно исчислена. А так как в анализе часто приходится пользоваться отклонениями от средней, их удобно использовать и для проверки правильности исчисления средней.
3.                Сумма квадратов отклонений вариантов как от простой, так и от взвешенной средней меньше суммы квадратов отклонений от любой другой произвольной величины а, т. е.

<shape id="_x0000_i1051" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image050.wmz» o:><img width=«173» height=«29» src=«dopb368418.zip» v:shapes="_x0000_i1051">.
Пример:  
Таблица 2.1.2
Табельный номер рабочего
1
2
3
4
5
6
Часовая выработка деталей (x)
12
10
6
10
12
10
<shape id="_x0000_i1052" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image052.wmz» o:><img width=«277» height=«41» src=«dopb368419.zip» v:shapes="_x0000_i1052">
В примере, основанном на данных табл. 2.1.2, <shape id="_x0000_i1053" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image054.wmz» o:><img width=«45» height=«19» src=«dopb368420.zip» v:shapes="_x0000_i1053">, а
<shape id="_x0000_i1054" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image056.wmz» o:><img width=«212» height=«29» src=«dopb368421.zip» v:shapes="_x0000_i1054">
При а =12 <shape id="_x0000_i1055" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image058.wmz» o:><img width=«80» height=«27» src=«dopb368422.zip» v:shapes="_x0000_i1055">составит:
Таблица 2.1.3
xi
— a
<shape id="_x0000_i1056" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image060.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb368423.zip» v:shapes="_x0000_i1056">
<shape id="_x0000_i1057" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image062.wmz» o:><img width=«19» height=«25» src=«dopb368424.zip» v:shapes="_x0000_i1057">
12
-12
0
0
10
-12
-2
4
6
-12
-6
36
10
-12
-2
4
12
-12
0
0
10
-12
-2
4
Итого
48
Как видим, 24<48.
4.                Если все частоты разделить (или умножить) на произвольное число (а), то средняя от этого не изменится, так как

<shape id="_x0000_i1058" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image064.wmz» o:><img width=«105» height=«83» src=«dopb368425.zip» v:shapes="_x0000_i1058">
Если разгруппировать рабочих (табл.2.1.2) по числу выработанных за час деталей, получим такие данные (табл.2.1.4):
Таблица 2.1.4
Варианты выработки деталей за час (x)
Число рабочих с данной выработки (f)
Объем варьирующего признака (xf)
6
1
6
10
3
30
12
2
24
Итого
6
60
Если применить полученную формулу, к примеру, приведенному в табл. 2.1.4, это означает, что если, например, частоты уменьшить в 6 раз, средняя взвешенная арифметическая не изменится и будет равна:
<shape id="_x0000_i1059" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image066.wmz» o:><img width=«245» height=«83» src=«dopb368426.zip» v:shapes="_x0000_i1059">
Средняя не изменится, если мы частности выразим в процентах, т. е. умножим их на 100:
<shape id="_x0000_i1060" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image068.wmz» o:><img width=«293» height=«83» src=«dopb368427.zip» v:shapes="_x0000_i1060">
Рассматриваемое свойство показывает, что при данных вариантах признака величина средней зависит не от абсолютного размера весов, а от соотношения между ними. В приведенном примере мы сначала частоты уменьшили в 6 раз, а затем увеличили в 100 раз, но средняя выработка не изменилась.
5.                Если веса всех вариантов равны между собой, то взвешенная средняя равна простой средней, так как при этих условиях
<shape id="_x0000_i1061" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image070.wmz» o:><img width=«451» height=«63» src=«dopb368428.zip» v:shapes="_x0000_i1061">
Так как исчисление простой арифметической средней требует меньше затрат труда, чем взвешенной, то при равенстве весов нет надобности пользоваться последней.
6.                Средняя алгебраической суммы равна алгебраической сумме средних. Так, если у, х иz— положительные варьирующие величины и уi=xi+zi, то
7.                 
<shape id="_x0000_i1062" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image072.wmz» o:><img width=«521» height=«43» src=«dopb368429.zip» v:shapes="_x0000_i1062">.
Следовательно, <shape id="_x0000_i1063" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image074.wmz» o:><img width=«64» height=«20» src=«dopb368430.zip» v:shapes="_x0000_i1063">.
Это свойство средней показывает, в каких случаях можно непосредственно суммировать средние. Например, если изделие состоит из двух деталей, изготовляемых разными рабочими, и при этом один из них тратит в среднем на одну деталь 20, а на другую 30 минут, то в  среднем на одно изделие расходуется 20 + 30 = 50 минут. Аналогично решался бы вопрос, если бы изделие состояло из трех и более деталей.

2.1.2 Средняя гармоническая величина
Если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней.
Средняя гармоническая величина, как и средняя арифметическая может быть простой и взвешенной. Если веса у каждого значения признака равны, то можно использовать среднюю гармоническую простую:
<shape id="_x0000_i1064" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image076.wmz» o:><img width=«68» height=«63» src=«dopb368401.zip» v:shapes="_x0000_i1064"> .
Однако в статистической практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная:
<shape id="_x0000_i1065" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image077.wmz» o:><img width=«72» height=«67» src=«dopb368402.zip» v:shapes="_x0000_i1065">, гдеm= xf ,
она используется, как правило, при расчете общей средней из средних групповых.
Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.
Приведем расчет средней гармонической величины — простой и взвешенной.
Пример. Четыре швеи-надомницы заняты пошивом головных уборов одной модели. Первая швея тратит на изготовление одного головного убора 30 мин, вторая — 40 мин, третья — 50 мин, четвертая — 60 мин. Определим средние затраты времени на пошив одного головного убора при условии, что каждая швея работает по 10 ч в день.
Попытка решить задачу с помощью средней арифметической простой
<shape id="_x0000_i1066" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image035.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb368411.zip» v:shapes="_x0000_i1066">
<shape id="_x0000_i1067" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image078.wmz» o:><img width=«231» height=«41» src=«dopb368431.zip» v:shapes="_x0000_i1067">
оказалась бы успешной, если бы каждая надомница шила только по одному головному убору в день. В данном же случае средние затраты времени на пошив одного головного убора можно подсчитать делением общих затрат времени на пошив всех головных уборов (600 + 600 + 600 + 600 = 2400 мин) на количество сшитых головных уборов.
Количество головных уборов, сшитых каждой надомницей, равно:
1) 600/30 = 20 шт.; 2) 600/40 =15 шт.; 3) 600/50 = 12 шт.; 4) 600/60 = 10 шт. Всего 57 изделий.
Средние затраты времени вычислим по формуле средней гармонической взвешенной:
<shape id="_x0000_i1068" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image080.wmz» o:><img width=«325» height=«63» src=«dopb368432.zip» v:shapes="_x0000_i1068">
т.е. на пошив одного головного убора тратится в среднем 42 мин.
В качестве веса в этой задаче был принят показатель общих затрат времени на пошив всех головных уборов одной швеей.
Так как в этом примере общие затраты времени у всех надомниц одинаковы, то к аналогичному результату приводит и расчет по формуле средней гармонической простой:
<shape id="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image082.wmz» o:><img width=«241» height=«63» src=«dopb368433.zip» v:shapes="_x0000_i1069">.
2.1.3 Средняя геометрическая величина
Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину.
Ее формула такова:
<shape id="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image017.wmz» o:><img width=«189» height=«32» src=«dopb368403.zip» v:shapes="_x0000_i1070">, для простой.
<shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image084.wmz» o:><img width=«241» height=«32» src=«dopb368434.zip» v:shapes="_x0000_i1071">, для взвешенной.
Основное применение геометрическая средняя находит при определении средних темпов роста. Пусть, например, в результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Каков средний темп роста цены за год? Арифметическая средняя здесь непригодна,  ибо если за год цены возросли бы в <shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image086.wmz» o:><img width=«75» height=«41» src=«dopb368435.zip» v:shapes="_x0000_i1072">раза, то за два года цена возросла бы в
2,5 х 2,5 = 6,25 раза, а не в 6 раз. Геометрическая средняя дает правильный ответ: √6 — 2,45 раза.
Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака. Например, если максимальный размер выигрыша в лотерее составляет миллион рублей, а минимальный — сто рублей, то какую величину выигрыша можно считать средней между миллионом и сотней? Арифметическая средняя явно непригодна, она составляет 500 050 руб., а это, как и миллион, крупный, а никак не средний выигрыш; он качественно однороден с максимальным и резко отличен от минимального. Не дают верного ответа ни квадратическая средняя (707 107 руб.), ни кубическая (793 699 руб.), ни гармоническая средняя (199,98 руб.), слишком близкая к минимальному значению. Только геометрическая средняя дает верный с точки зрения экономики и логики ответ: <shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image088.wmz» o:><img width=«189» height=«25» src=«dopb368436.zip» v:shapes="_x0000_i1073"> Десять тысяч — не миллион, и не сотня! Это, действительно, нечто среднее между ними.
Наиболее  часто формулу средней геометрической используют для определения средних валютных курсов, эффективности валютных курсов,
реальной эффективности валютных курсов (международная финансовая статистика).
2.1.4 Средняя квадратическая величина
Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.
Ее формула такова:
<shape id="_x0000_i1074" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image025.wmz» o:><img width=«87» height=«51» src=«dopb368407.zip» v:shapes="_x0000_i1074">, для простой.
<shape id="_x0000_i1075" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image027.wmz» o:><img width=«95» height=«56» src=«dopb368408.zip» v:shapes="_x0000_i1075">, для взвешенной.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Например, имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: х1= <metricconverter productid=«100 м» w:st=«on»>100 м; х2 = <metricconverter productid=«200 м» w:st=«on»>200 м; х3 = <metricconverter productid=«300 м» w:st=«on»>300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300):3 = <metricconverter productid=«200 м» w:st=«on»>200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной <metricconverter productid=«200 м» w:st=«on»>200 м была бы равна: 3*(<metricconverter productid=«200 м» w:st=«on»>200 м)2 =120 <metricconverter productid=«000 м2» w:st=«on»>000 м2. В то же время площадь исходных трех участков равна: (<metricconverter productid=«100 м» w:st=«on»>100 м)2 + (<metricconverter productid=«200 м» w:st=«on»>200 м)2 + (<metricconverter productid=«300 м» w:st=«on»>300 м)2 = <metricconverter productid=«140 000 м2» w:st=«on»>140 000 м2. Правильный ответ дает квадратическая средняя:
<shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image090.wmz» o:><img width=«263» height=«48» src=«dopb368437.zip» v:shapes="_x0000_i1076">
Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.
2.1.5 Средняя кубическая величина
Если по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, мы приходим к средней кубической, имеющей вид:
<shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image029.wmz» o:><img width=«85» height=«51» src=«dopb368409.zip» v:shapes="_x0000_i1077">, для простой.
<shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image031.wmz» o:><img width=«96» height=«56» src=«dopb368410.zip» v:shapes="_x0000_i1078">, для взвешенной.
Средняя кубическая имеет ограниченное применение в практике статистики. Ею пользуются для исчисления средних диаметров труб, стволов и т.п., необходимых для разного рода расчетов, как, например, для определения запасов древесины на складах и на лесных участках.

2.2 Структурные средние величины
Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).
В качестве структурных средних применяют показатели моды и медианы.
Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют структурными позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.
2.2.1 Медиана
Медиана (Ме) — величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.
В ранжированном вариационном ряду с нечетным числом единиц совокупности медианой является значение признака у средней в ряду единицы. Медиана не зависит от значений признака, стоящих на краях вариационного ряда.
В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы применяется формула:

<shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image092.wmz» o:><img width=«185» height=«69» src=«dopb368438.zip» v:shapes="_x0000_i1079">,
где XMe — нижняя граница интервала, в котором находится медиана;
f´Me — число наблюдений (или объем взвешивающего признака), накопленноедо начала медианного интервала;
fMe — число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (в абсолютном или относительном выражении);
i — величина медианного интервала;
<shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image094.wmz» o:><img width=«39» height=«45» src=«dopb368439.zip» v:shapes="_x0000_i1080"> — половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении).
Примером такого ряда может служить месячная заработная плата рабочих цеха.
Таблица 2.2.1
Порядковый номер рабочего
1
2
3
4
5
6
7
итого
Месячная заработная плата, руб. (x)
90
105
148
160
175
220
250
1148
В этом ряду среднее место по размеру заработной платы занимает рабочий сномером 4, получивший 160 руб. Эта величина и есть медиана. Меньше и больше медианы одинаковое число вариантов. При нечетном числе вариантов (п) порядковый номер, которому соответствует медиана, определяется по формуле

<shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image096.wmz» o:><img width=«147» height=«41» src=«dopb368440.zip» v:shapes="_x0000_i1081">.
Когда количество вариантов в ряду четное число, медианой считают один из тех вариантов, который по своей величине мог бы находиться посередине между вариантами с номером <shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image098.wmz» o:><img width=«12» height=«41» src=«dopb368441.zip» v:shapes="_x0000_i1082"> и <shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image100.wmz» o:><img width=«39» height=«41» src=«dopb368442.zip» v:shapes="_x0000_i1083">. Так, если бы в цехе был еще и восьмой рабочий с заработной платой в 276 руб., то медиана находилась бы посередине между четвертым и пятым порядковыми номерами. В таких случаях принято считать, что в промежутке между номерами <shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image098.wmz» o:><img width=«12» height=«41» src=«dopb368441.zip» v:shapes="_x0000_i1084"> и <shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image100.wmz» o:><img width=«39» height=«41» src=«dopb368442.zip» v:shapes="_x0000_i1085"> идет равномерное нарастание или убывание вариантов. Поэтому за медиану принимают среднюю арифметическую из вариантов с номерами <shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image098.wmz» o:><img width=«12» height=«41» src=«dopb368441.zip» v:shapes="_x0000_i1086"> и <shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image100.wmz» o:><img width=«39» height=«41» src=«dopb368442.zip» v:shapes="_x0000_i1087">. В данном примере
<shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image102.wmz» o:><img width=«248» height=«43» src=«dopb368443.zip» v:shapes="_x0000_i1088">
Смысл полученного результата такой: одна половина рабочих получила за месяц меньше, а другая — больше 167,5 руб.
Следовательно, медиана — обобщающий показатель распределения совокупности, уровень признака, который делит совокупность на две равные части, и представляет обычно интерес в анализе, как это видно из приведенного примера.
Медиана, в отличие от средней, не является абстрактной величиной. Она находится точно в середине ряда, представляет собой реальное значение признака, соответствует определенному варианту и при этом наиболее точна в случае нечетного числа членов совокупности. Медиана как обобщающая характеристика совокупности не может, однако, заменить среднюю. Медиана — это центр распределения численности единиц совокупности, а средняя — центр распределения отклонений значений признака от равнодействующей. Величина медианы определяется лишь одним или двумя серединными значениями признака. Изменения всех остальных величин, если они не меняют последовательности членов в центре ряда, не находят отражения в медиане. Так, если месячную заработную плату наименее оплачиваемых двух рабочих поднять на 40 руб., это не скажется на медиане, несмотря на то, что тем самым значительно повышаются доходы двух рабочих цеха и существенно выравнивается заработная плата членов коллектива. Поэтому медиана, представляющая определенный интерес в анализе, не может заменить среднюю, которая при замене реального коллектива абстрактным коллективом с уравненными значениями признака оставляет неизменным определяющий показатель совокупности.
Медианой целесообразно пользоваться, когда не известны границы открытых крайних интервалов вариационного ряда, на которые приходится значительная часть единиц всей совокупности, так как средняя в этих случаях страдает значительной неточностью. При исчислении же медианы отсутствие сведений об этих границах не влияет на точность расчета.
2.2.2 Мода
Мода (Мо) — это вариант признака, который при данном сочетании причин разного порядка чаще всего встречается в вариационном ряду. Например, цена, по которой чаще всего реализуется данный товар на рынке, является модой или модальной ценой. Месячная заработная плата, которая чаще всего встречается в данном коллективе, является для него модальной заработной платой.
Мода — типичная величина, в том смысле, что она встречается в совокупности или объективно может встретиться чаще других. Она имеет важное значение для решения некоторых задач, например какой высоты должны быть предназначенные для массового потребления станки, столы и т. п., какое количество детей чаще всего встречается в семье, какое время дня является «пиковым» для работы предприятий общественного питания, электростанций, городского транспорта  и др., какой уровень выполнения плана наиболее часто встречается в том или ином коллективе рабочих или   предприятий и т. п.
Мода соответствует определенному значению признака. На практике моду находят, как правило, по сгруппированным данным.
В дискретном ряду мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой.
В интервальном вариационном ряду, тем более при непрерывной вариации признака, строго говоря, каждое значение признака встречается только один раз. Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Внутри этого интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения, то есть число единиц совокупности, приходящееся на единицу измерения варьирующего признака, достигает максимума. Это условное значение и считается точечной модой. Логично предположить, что такая точечная мода располагается ближе к той из границ интервала, за которой частота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границей модального интервала. Отсюда имеем обычно применяемую формулу:\
<shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image104.wmz» o:><img width=«288» height=«47» src=«dopb368444.zip» v:shapes="_x0000_i1089">,
XMo- нижнее значение признака Xв модальном интервале;
i— величина интервала;
fMo-частота (частость) повторения признака Xв модальном интервале;
fMo-1,fMo+1— соответственно частоты (частости) признака для интервала, предшествующего модальному и следующего за ним.

Пример: Таблица 2.2.2
Удойность в среднем от одной коровы за год, кг
Процент хозяйств
До 1000
7,6
1000-1649
9,7
1650-1999
16,1
2000-2499
37,5
2500-2999
20,6
3000-3999
8,2
4000 и выше
0,3
100
По табл.2.2.2. модальный интервал составляет 2000 — 2499шт, так  как ему соответствует наибольшая частота 37,5%, нижняя его граница хо = 2000, а величина интервала h = 500. Следовательно,
<shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«137838.files/image106.wmz» o:><img width=«495» height=«44» src=«dopb368445.zip» v:shapes="_x0000_i1090">
Это значит, что чаще всего встречаются хозяйства, у которых надой в среднем от одной коровы составляет <metricconverter productid=«2280 кг» w:st=«on»>2280 кг.
Для решения практических задач наибольший интерес представляет обычно мода, выраженная в виде интервала, а не дискретным числом. Объясняется это назначением моды, которая должна выявить наиболее распространенные размеры явления. Выраженная в виде дискретного числа мода часто не отвечает этому требованию. Так, в нашем примере процент хозяйств, у которых годовой надой в среднем на одну корову составляет <metricconverter productid=«2280 кг» w:st=«on»>2280 кг, хотя и больше, чем хозяйств с любым другим уровнем надоя, но сам по себе он может быть небольшим. Хозяйств же с удойностью в пределах интервала 2000 — <metricconverter productid=«2499 кг» w:st=«on»>2499 кг — 37,5%, а 2000 — <metricconverter productid=«3000 кг» w:st=«on»>3000 кг — 58,1, — т. е. весьма значительный процент.

3. Основные методологические требования расчета средних величин
В связи с тем, что различные виды средних приводят кразным результатам, возникает проблема правильного выбора формы средней. Если форма выбрана неправильно, то средняя будет завышена либо занижена. Так как любая средняя рассчитана на отображение лишь одного какого-либо конкретного свойства совокупности, то, следовательно, ответ может быть только однозначным. Кроме того, каждая средняя имеет свой особый смысл и область применения.
Рассматривая вопрос о выборе формы средней, которая наилучшим образам отвечает требованиям, К. Джини пишет: «Для выбора такой средней можно наметить лишь общие нормы, решающую же роль здесь играет интуиция и искусство исследователя»[1]. Как, однако, ни важны эти качества исследователя, как и общие соображения об особенностях различных средних и их назначении, решающим в выборе формы средней является социально-экономическое содержание явления, сущность которого должна найти свое количественное выражение в средней. Средняя должна, на основе обобщения количественной стороны массовых общественный явлений в неразрывной связи с их качественной стороной, дать ответ на конкретные вопросы, выдвигаемые жизнью. Поэтому для правильного решения вопроса о выборе формы средней необходимо прежде всего учесть сущность объекта, законы его развития, его специфику, определить задачу, которая должна решаться при помощи средней, и исходя из всего этого установить определяющий показатель, который должен найти отражение в средней. Таков первый этап в решении вопроса о форме средней.
Второй этап в выборе формы средней заключается в определении характера связи между определяющим свойством и осредняемым признаком. Если, например, связь прямо пропорциональна, то для расчета средней надо воспользоваться формулой средней арифметической, а при обратной пропорциональности — формулой средней гармонической. В случаях, когда связь выражается в форме геометрической прогрессии, средняя должна исчисляться по формуле средней геометрической и т. п.
Третий этап практически сводится к исчислению числовых значений средней по избранной формуле на основе фактических данных.
Из всех трех этапов наиболее сложным является первый. Недоучет некоторых обстоятельств на этом этапе или формальный подход, оторванный от качественного анализа, приводит нередко к тому, что разные авторы предлагают для решения одной и той же задачи разные виды средних.
Так как средние, включая и распределительные средние, привлекаются для получения типичных характеристик совокупности, то выбор формы средней для решения той или иной задачи зависит и от того, о какой типичности идет речь. Для характеристики однородности совокупности, устойчивости или изменчивости явлений и процессов следует привлекать среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. В тех случаях, когда для решения той или иной задачи важно знать размер признака, который чаще всего встречается в совокупности, надо пользоваться модой, а для того, чтобы установить границу между высшей и низшей группами величин, а также для решения некоторых оптимальных задач, — медианой. Так как различные виды средней по-разному характеризуют совокупность, то для всестороннего ее изучения надо сочетать различные виды средних величин.
Таковы научные основы выбора формы средней.

Заключение
Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.
Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.
К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая, средняя гармоническая, средняя кубическая.
В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.
Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным. Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным.
Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m).
·                   средняя гармоническая, если m = — 1;
·                   средняя геометрическая, если m → 0;
·                   средняя арифметическая, если m = 1;
·                   средняя квадратическая, если m = 2;
·                   средняя кубическая, если m = 3.
Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина.
Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины.

Использованная литература
1.                Теория статистики: Учебно – методический комплекс / Под ред. В.В. Глинского, В.Г. Ионина, Л.И. Яковенко. – Новосибирск: НГУЭУ, 2007. – 108 с.
2.                Общая теория статистики: Учебник / А.Я. Боярский, Л.Л. Викторова, А.М. Гольдберг и др.; Под ред. А.М. Гольдберга, В.С. Козлова. – М.: Финансы и статистика,1985. – 367 с.
3.                Громыко Л.Г.Общая теория статистики: Практикум. – М.: ИНФРА – М,1999. – 139 с.
    продолжение
--PAGE_BREAK--