Реферат: Стандартный аукцион с участниками торгов, которые имеют ограниченные финансовые возможности пере

--PAGE_BREAK--A.      Сравнение Дохода


Ожидаемый доход от аукционов может также однозначно оцениваться во многих случаях. Выберем произвольный аукцион М в F, и установим равновесие. Мы сосредотачиваемся на активных претендентах с (<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">, v), для любого <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_715834924-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">. Определим вероятность того, что произвольно выбранный претендент либо не участвует, либо предлагает ниже, чем претендент типа — (<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">, v):
<img width=«175» height=«33» src=«ref-1_715835368-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">,

где <img width=«125» height=«25» src=«ref-1_715835796-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069"> по Р2 и Р3, <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_715836169-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">  непрерывно и строго возрастает с <img width=«71» height=«25» src=«ref-1_715836406-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">

Так как это единственное предложение, которое определяет ожидаемую оплату, все типы на данной кривой изобида, создают ту же самую ожидаемую оплату. Кроме того, для любого предложения, там существует тип с бюджетом <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">, который делает то же самое предложение из-за P4. Поэтому, мы можем выражать ожидаемый доход продавца, в прелах платежей от типов с бюджетом <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">. Определенно, мы вычисляем ожидаемый доход,  объединяя платежи этих типов по связанным кривым изобидам. Пусть <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_715837073-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">, будет ожидаемая оплата которую претендент типа — (w, v) делает в равновесии, и пусть<img width=«111» height=«25» src=«ref-1_715837338-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">. Тогда, ожидаемый доход от аукциона М будет:
     <img width=«357» height=«40» src=«ref-1_715837678-711.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">                         (1)
Теперь вычислим <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_715838389-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077"> Предположим, что все другие претенденты используют B<img width=«12» height=«24» src=«ref-1_715838630-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078"> (•, •). Тогда, претендент типа — (<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">, v) выбирает (то есть, подражает стратегии типа) <img width=«47» height=«23» src=«ref-1_715839013-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">, чтобы увеличить до предела своё чистое активное сальдо.
                             <img width=«132» height=«25» src=«ref-1_715839268-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">                                                         (2)

Заметим, что ожидаемая стоимость его оплаты равна ожидаемой оплате, так как претендент не стеснён.[19] В равновесии, подражая этой стратегии другой тип не может оплатить, поэтому <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_715839639-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">. Пусть <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_715839860-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">, обозначает заключительное равновесие ожидаемой выгоды для претендента. Так как претендент с (<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">,<img width=«23» height=«23» src=«ref-1_715840307-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">) должен быть безразличен к участию, <img width=«85» height=«25» src=«ref-1_715840528-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">. Для <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_715834924-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">, Теорема огибающей и интегрирование дают нам:

<img width=«160» height=«37» src=«ref-1_715841069-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">                                                       (3)
Объединение (2) и (3) дают нам ожидаемую оплату типа (<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">, v):
<img width=«452» height=«37» src=«ref-1_715841700-823.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">           (4)
Заменяя (4) в (1) и интегрируя по частям, получим ожидаемый доход продавца
<img width=«552» height=«40» src=«ref-1_715842523-990.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">  (5)
где<img width=«47» height=«24» src=«ref-1_715843513-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">  — функция распределения второго порядка, статистических данных из N случайных переменных, полученных независимо от <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_715843771-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">. Это выражение для ожидаемого дохода напоминает стандартный случая без финансовых ограничений (см., например, Milgrom (1989)). Фактически, ожидаемый доход — точно тот же самый как в гипотетической модели, где претенденты не стеснены, но их оценки получены от функции распределения <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_715843771-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">. Важным различием, конечно, является то, что <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_715843771-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095"> эндогенно определена выбранной здесь стратегией равновесия, вот почему неуравновесие может возникать в присутствии финансовых ограничений. Когда различные формы аукциона стимулируют различные стратегии предложения цены, то, оценки претендентов как бы получены от различных функций распределения в гипотетической модели. Следующий результат естественно, вытекает из этого.
Теорема 2.Если <img width=«79» height=«23» src=«ref-1_715844482-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> и <img width=«96» height=«23» src=«ref-1_715844773-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> для всех <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_715845090-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">, то аукцион А приносит ожидаемый доход лишь немного выше, чем аукцион B. Оценка точна, если там существует интервал из v на которой<img width=«95» height=«23» src=«ref-1_715845322-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">.

Доказательство. Т.к.<img width=«39» height=«24» src=«ref-1_715845636-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100"> доминирует над<img width=«39» height=«24» src=«ref-1_715845870-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">,
<img width=«433» height=«37» src=«ref-1_715846104-822.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">

Эти два равенства следуют из (5), и неравенство следует т.к. <img width=«113» height=«24» src=«ref-1_715846926-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">для всех <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_715845090-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">.[20]  Очевидно, <img width=«177» height=«23» src=«ref-1_715847518-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> для интервала v.      ||

Т.к. более плоские  кривые изобиды, указывают, что претенденты меньше затруднены финансовыми ограничениями, можно было бы ожидать, что конкуренция будет более жестокой, когда кривые изобиды более плоские. Это предположение подтверждено ниже.
Заключение. Если аукцион А удовлетворяет единственному общему свойству относительно аукциона B, тогда А приносит ожидаемый доход слегка выше, чем B. Оценка точна, если единственное общее свойство строго выполняется.
Доказательство.По определению, единственное общее свойство подразумевает <img width=«139» height=«25» src=«ref-1_715847947-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> для любого активного типа (<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">, v), который подразумевает что <img width=«95» height=«23» src=«ref-1_715848533-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">. Таким образом, результат следует из Теоремы 2. Точная оценка аналогично.     ||
3. АУКЦИОНЫ С ВЫНУЖДЕННЫМИ БЮДЖЕТОМ ПРЕТЕНДЕНТАМИ
В следующих двух разделах, мы используем результаты предшествующего раздела, чтобы сравнить первичные и вторичные аукционы. В первом аукционе, лицо, предлагающее самую высокую цену выигрывает и оплачивает свое предложение; на последнем, лицо, предлагающее самую высокую цену выигрывает и платит второе – самое высокое предложение вторичной цены (или резервную цену, если никакой другой претендент не вступает в торги). Первичные аукционы часто используются, чтобы продать правительственные права, типа прав на добычу полезных ископаемых, и чтобы заключать контракты по закупке для Американского Департамента Обороны и Департамента транспорта, например. Вторичные аукционы используются в форме стратегического эквивалента — открытые устные аукционы, чтобы продать права на заготовку древесины.

В этом разделе, мы сосредоточимся на претендентах, которые стоят перед абсолютными ограничениями на то, что они могут потратить. (Мы рассмотрим более  общий случай в следующем разделе.) Определенно, претендент типа – (w, v) терпит убытки стоимостью                                                       

                                             <img width=«151» height=«48» src=«ref-1_715848850-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">                   

Когда он тратит x. Полезно исследовать этот специальный случай, так как здесь мы можем характеризовать равновесие и показывать его существование в каждой форме аукциона. Кроме того, возможно сравнение и доход и социального активного сальдо. Мы предполагаем, что <img width=«88» height=«25» src=«ref-1_715806387-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">, что является достаточным для того чтобы Предположения 1-4, выполнялись. Второе неравенство делает присутствующее  ограничение бюджета значительным.
Прежде чем продолжать дальше мы должны рассмотреть возможность, что покупатель предлагает больше чем его бюджет и затем меняет своё предложение. Мы предполагаем, что продавец не продаст объект покупателю, который меняет своё предложение, и что он также налагает на него небольшой штраф.[21] На первичном аукционе, победитель оплачивает своё предложение, поэтому предложить больше чем его бюджет не будет оптимальным, учитывая такую ответную реакцию продавца. Если предложение выигрывает, штраф делает чистое активное сальдо покупателя отрицательным, в то время как не имеется никакой выгоды, если предложение не побеждает. Теперь рассмотрим вторичный аукцион, и предположим, что претендент побеждает с предложением превышающим его бюджет. Или претендент победил бы так или иначе с той же самой оценкой (то есть вторторичное — самое высокое предложение — ниже бюджета победителя) или он побеждает с оценкой выше его бюджета, что приводит к отрицательному активному сальдо. Еще раз, это — доминирующая стратегия предлагать выше своего бюджета.
A.     
Вторичные аукционы


Пусть резервная цена <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_715849626-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">. Тогда, только покупатели с минимумом <img width=«80» height=«20» src=«ref-1_715849849-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112"> будут участвовать. Мы показываем, что доминирующая стратегия для участвующего покупателя, это предложить минимум<img width=«52» height=«20» src=«ref-1_715850120-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">. Если, то ограничение бюджета не стесняется, так что доминирующая стратегия — предложить <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_715850351-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">, следуя Vickrey (1961). Если <img width=«48» height=«20» src=«ref-1_715850544-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">, тогда тот же самый аргумент подразумевает, что предложение цены <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_715850773-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">, доминирует над предложением цены менее строго, т.к. с предложения цены выше бюджета,  также доминируют, доминирующая стратегия состоит в том, чтобы предложить свой бюджет в этом случае. Графически, стратегия представлена семейством кривых изобид Леонтьева с петлями на линии 45 градусов (смотри типичную кривую изобиды на Фигуре 3). Предлагающая цену стратегия ясно удовлетворяет P1-P4.

Рассмотрим претендента с (<img width=«16» height=«19» src=«ref-1_715850971-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">, v), <img width=«38» height=«20» src=«ref-1_715851164-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">. Набор типов, которые не участвуют или которые предлагают более низкую цену:
<img width=«235» height=«25» src=«ref-1_715851381-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">
 Пусть G (w, v) обозначает вероятность того что w ' < w или v ' < v
<img width=«173» height=«53» src=«ref-1_715851854-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">
Произвольно выбранный покупатель находится в <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_715852302-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">с вероятностью <img width=«101» height=«24» src=«ref-1_715852555-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">.
B.     
Первичные аукционы
Пусть <img width=«43» height=«25» src=«ref-1_715852869-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123"> -  резервная цена. Покупатель i участвует тогда и только тогда когда минимум <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_715853104-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">. Мы рассматриваем функции предложения равновесия формы <img width=«167» height=«25» src=«ref-1_715853374-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> для некоторой непрерывной, строго возрастающей функции<img width=«36» height=«25» src=«ref-1_715853773-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">. (Позже мы покажем, что любое симметрическое равновесие должно выбрать эту форму, данную условием средней непрерывности). Стратегия предложения цены снова приводит к кривым изобидам Леонтьева, с добровольными претендентами, принимающими стратегию <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_715853773-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"> (см. Фигуру 3). Теперь мы охарактеризуем <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_715853773-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">.

Рассмотрим претендента с (<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">, v), для любого <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_715854669-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">, т.к. <img width=«39» height=«23» src=«ref-1_715854903-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">, такой претендент должен быть добровольным. В равновесии, набор типов, которые не участвуют или которые предлагают более низкую цену предложения, чем претендент типа — (<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">, v)

<img width=«283» height=«28» src=«ref-1_715855331-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">

Произвольно выбранный покупатель находится в этом наборе с вероятностью <img width=«133» height=«25» src=«ref-1_715855854-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> Проблема, стоящая перед претендентом с (<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">, v)  такая же самая, как если бы все претенденты были добровольны, с оценками, взятыми из распределения <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_715856414-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">. Стандартный результат без ограничений бюджета (например, Riley и Samuelson (1981)) тогда подразумевает, что симметрическая функция предложения равновесия должна удовлетворить условию:

<img width=«165» height=«76» src=«ref-1_715856650-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">   для <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_715854669-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">.                                        (6)

В существование <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_715853773-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> нет необходимости, однако, т.к. <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_715856414-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> зависит от <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_715853773-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">  непосредственно. Следующее техническое предположение гарантирует существование единственной функции предложения равновесия.
Предположение 5. (N- l) w + (G (w, v)) / (<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_715858115-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> (w, v)) строго увеличивается в w для всех <img width=«59» height=«25» src=«ref-1_715858322-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">.[22]
Лемма 1. Согласно Предположению 5, существует единственное, симметрическое равновесие, в котором претенденты с минимумом <img width=«69» height=«25» src=«ref-1_715858586-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"> используют функцию предложения <img width=«167» height=«25» src=«ref-1_715853374-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">, где <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_715859263-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> удовлетворяет (6), и является непрерывной и строго возрастающей.


Согласно Лемме 1, P1-P4 удовлетворены. Чтобы устанавливать идеи относительно этой стратегии предложения цены, предположим, что есть два покупателя, каждый из которых имеет (w, v) взятых однородно на [0, 1]<img width=«11» height=«17» src=«ref-1_715859509-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> , и не принимают никакой резервной цены. Тогда, стратегия равновесия добровольного типа предлагающего цену, определяется решением дифференциального уравнение

<img width=«223» height=«49» src=«ref-1_715859694-593.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">

в <img width=«64» height=«25» src=«ref-1_715860287-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">. Его числовое решение графически изображено на Фигуре 2а Ла (см. кривую внизу), вместе с поверхностью, соответствующей равновесному предложению цены Фигуре 2b. Для сравнения, Фигура 2а также отображает стратегию, предлагающую равновесие, когда оценка претендента выбрана однородно на [ 0, 1 ], но ни один претендент не стоит перед обязательным ограничением <img width=«84» height=«21» src=«ref-1_715860550-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">. Очевидно, присутствие ограничений бюджета делает даже добровольных покупателей менее агрессивными.
C.    
Доход и социальное активное сальдо        


Наши результаты из раздела 2 могут быть использованы, чтобы оценить действия альтернативных аукционов. Уравнение (6) подразумевает что <img width=«64» height=«25» src=«ref-1_715860846-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> для всех <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_715861119-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">. Это гарантирует, что первичный аукцион удовлетворяет точному единственному общему свойству относительно вторичного аукциона (см. Фигуру 3). Следующая оценка осуществляется непосредственно.

Суждение 1. Учитывая вторичный аукцион с резервной ценой <img width=«65» height=«27» src=«ref-1_715861346-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">, первичный аукцион с той же самой резервной ценой принесёт более высокое социальное активное сальдо, строго выше ожидаемого социального активного сальдо и строго выше ожидаемого дохода.
<img width=«452» height=«276» src=«ref-1_715861620-10162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">

Фигура 2а

<img width=«454» height=«366» src=«ref-1_715871782-32488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">

Фигура 2b
Доказательство. Резервная цена <img width=«48» height=«25» src=«ref-1_715904270-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> влечет за собой <img width=«51» height=«25» src=«ref-1_715904502-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> в первичном аукционе. Так как <img width=«63» height=«25» src=«ref-1_715904769-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> для <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_715861119-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">, первичный аукцион удовлетворяет точному единственному общему свойству относительно вторичного аукциона. Таким образом, результаты следуют из Теоремы 1 и Заключения. ||

<img width=«296» height=«281» src=«ref-1_715905265-8657.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027">


Фигура 3
Оценки доход и активного сальдо можно объяснять различиями в степени, с которой ограничения бюджета стесняют участников аукциона. На вторичном аукционе, побеждающий претендент платит меньше чем его предложение (с вероятностью один), принимая во внимание, что победитель оплачивает своё предложение на первичном аукционе. Поэтому, при отсутствии ограничений бюджета, предложение выше на вторичном аукционе чем на первичном аукционе. Это означает, что ограничение бюджета, более вероятно,  стесняет участников на вторичном аукционе. В Фигуре  3, область типов  с ограниченным бюджетом строго больше на вторичном аукционе, чем на первичном аукционе. (То же самое предположение приводится в примере во Введении, где набор типов с ограниченным бюджетом был меньший на первичном аукционе, учитывая ту же самую резервную цену.) Если большее количество типов финансово ограниченны, тогда  менее вероятны предложения, которые отражают оценки претендентов. Таким образом, товар с меньшей вероятностью достанется претенденту, который оценивает это выше, что понижает социальное активное сальдо на вторичном аукционе. Увеличенная вероятность наличия претендентов с ограниченным бюджетом также уменьшает ожидаемый доход продавца. Так как ограничение бюджета больше ограничивает предложение на вторичном аукционе, эта форма аукциона приносит меньший ожидаемый доход.
Вышеупомянутый результат непосредственно уместен для правительственных аукционов, где и социальное активное сальдо и доход очевидно являются важными вопросами (смотри McMillan (1994)). В частности этот результат совместим с редко встречающимися устными аукционами.[23]  На частных аукционах, напротив, продавец  может не беспокоиться относительно социального активного сальдо, так что он может просто выбирать резервную цену, чтобы получить максимальный ожидаемый доход. Интересно, что та же самая оценка социального активного сальдо сохраняется даже в этом случае, т.к., как мы покажем ниже, продавец выбирает более низкую резервируемую цену на первичном аукционе чем на вторичном аукционе. Предположим, что в то время как увеличение запасной цены не оказывает никакого эффекта на предложения равновесия на вторичном аукционе, оно поднимает предложения равновесия добровольных типов на первичном аукционе. Последний эффект делает ограничения бюджета более плотными на первичном аукционе, так что продавец там имеет меньший стимул чтобы поднять резервную цену.
Суждение 2. Продавец, который хочет получить максимальную прибыль, выбирает резервируют цену на первичном аукционе немного ниже чем на вторичном аукционе (более точно если frs, является оптимальной на вторичном аукционе, тогда там существует  <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_715913922-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> которая является оптимальной на первичном аукцион). Учитывая оптимальные резервные цены, ранжирования Суждения 1 сохраняются.
4. ПРИГОДНОСТЬ КРЕДИТА
Большинство покупателей имеет доступ к некоторой форме кредита или к другим источникам фондов. Общая функция стоимости расхода представлена в Разделе 2 соответствует ситуациям, когда претенденты, стоят перед финансовыми затратами, которые увеличиваются в процессе их оплаты. Мы покажем, что один из главных результатов Раздела 3 приводит к общим функциям стоимости: доход первичного аукциона  доминирует над вторичным аукционом. Теорема 2 снова позволяет нам получать оценку без того, чтобы определить равновесие полностью.
A.     
Вторичные аукционы


Предположим, что продавец назначает резервную цену <img width=«68» height=«27» src=«ref-1_715914164-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">. Покупатель типа — (w, v) участвует тогда и только тогда когда <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_715914441-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">. Для активного претендента с (w, v), это теперь доминирующая стратегия предложить самый высокий b, который удовлетворяет <img width=«75» height=«21» src=«ref-1_715914738-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">.[24] Более высокое предложение могло бы привести  к выигрышу  по цене выше чей-либо оценки, в то время как более низкое предложение могло бы привести к выше упомянутому выигрышу по цене ниже чей-либо оценки, без уравновешивающей выгоды если это не изменяется победителя. С этой стратегией равновесия, все основные свойства в Разделе 2 все удовлетворены.
Лемма 2. Согласно Предположениям 1-4, вторичный аукцион удовлетворяет P1-P4.
Рассмотрим претендента типа — (<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">, v*), для любого <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_715915220-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">. Мы теперь охарактеризуем набор типов, которые предлагают более низкие цены или не вступают в торги. В соответствии с Предположением 4, С (<img width=«29» height=«25» src=«ref-1_715915464-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">) =<img width=«13» height=«19» src=«ref-1_715915682-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> для любого <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_715915878-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">, так тип (<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">, v*) имеет доминирующую стратегию предложения цены v*. Теперь рассмотриv произвольного претендента с (w, v). Если <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_715916300-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">, то он не может быть претендентом типа — (<img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">, v*) Более точно,

<img width=«103» height=«25» src=«ref-1_715916788-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">     если <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_715916300-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">.                                                 (7)

Мы используем (7) для сравнения дохода.
B.     
Первичные аукционы


Решение участвовать аналогично для первичного аукциона. Если продавец назначает резервную цену <img width=«69» height=«28» src=«ref-1_715917403-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">, покупатель типа — (w, v) участвует тогда и только тогда когда <img width=«83» height=«25» src=«ref-1_715917683-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">. Предположим, что существует равновесие, при котором активные претенденты принимают непрерывную стратегию предложения цены, <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_715917987-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">. Пусть <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_715918228-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">, обозначает вероятность того, что предложение b побеждает в равновесии. Для всего (w, v) таких, что <img width=«83» height=«25» src=«ref-1_715918462-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">, функция предложения равновесия должна удовлетворить условию
<img width=«243» height=«25» src=«ref-1_715918766-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">                                               (8)

Это подходит для последующего анализа, чтобы установить следующую Лемму.
Лемма 3. Если существует равновесие с непрерывной стратегией предложения цены <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_715919254-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> то P3 и P4 удовлетворены. Кроме того, <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_715919499-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> строго возрастает  и дифференцируема внутри  диапазона предложений равновесия.

 


Рассмотрим добровольный тип <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_715919714-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">, для любого <img width=«73» height=«28» src=«ref-1_715919961-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">. Если он предлагает <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_715920254-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> в равновесии, то, Лемма 3,
<img width=«177» height=«21» src=«ref-1_715920552-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">.                                                      (9)
Мы теперь охарактеризуем набор типов, которые предлагают меньше чем претендент типа — <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_715919714-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">. Рассмотрим произвольного претендента типа — (w, v) с <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_715921197-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">. Если он предлагает немного меньше чем b* в равновесии, тогда[25]
<img width=«300» height=«24» src=«ref-1_715921477-547.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">                               (10)
т.к. и p ' (b *) и p (b *) строго положительны, Лемма 3, (9) и (10) подразумевают что
<img width=«229» height=«24» src=«ref-1_715922024-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">                                          (11)
Стратегии предполагающие равновесие охарактеризованы как в Подразделе 3. Неравенство в (11) определяет набор <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_715922481-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> и <img width=«188» height=«33» src=«ref-1_715922745-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> Равновесие добровольных претендентов, предлагающих стратегию <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_715923200-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">, тогда неявно определено условием (6), использующим новую функцию распределения <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_715856414-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">. Предложения цены стратегий для  типов с ограниченным бюджетом характеризовано условием (10), <img width=«125» height=«27» src=«ref-1_715923670-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">. Мы опускаем детали характеристики равновесия, так как необходимое условие (11) будет достаточно для нашего сравнения дохода.[26]
C.    
Сравнение Дохода


Мы теперь готовы показать доминирование дохода первичного аукциона над вторичным аукционом. Положим <img width=«48» height=«25» src=«ref-1_715924018-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">. В свете Теоремы 2, это достаточно, чтобы  показать, что <img width=«120» height=«25» src=«ref-1_715924245-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> для всех <img width=«73» height=«28» src=«ref-1_715924604-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">. Рассмотрим произвольно <img width=«104» height=«25» src=«ref-1_715924894-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">. Как показано выше, если тип <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_715919714-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> предлагает <img width=«23» height=«19» src=«ref-1_715925466-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">, то (w, v) должен удовлетворить (11). Предположим сначала что <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_715925671-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">. Тогда, выпуклость <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_715925949-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"> подразумевает
<img width=«276» height=«24» src=«ref-1_715926192-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">                                       (12)
Вместе с (11), (12) приводит к <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_715926701-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">. Теперь предположим что <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_715921197-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">. По условию (9) <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_715927278-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">, что подразумевает что <img width=«109» height=«21» src=«ref-1_715927521-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">. Любой путь <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_715916300-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">, и (7) подразумевает, что <img width=«103» height=«25» src=«ref-1_715916788-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">, что доказывает что <img width=«120» height=«25» src=«ref-1_715924245-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">. Этот последний результат подразумевает отношение стохастического доминирования, требуемого в Теореме 2. Поэтому, получена следующая оценка дохода.
Суждение 3. Относительно вторичного аукцион с резервной ценой <img width=«65» height=«27» src=«ref-1_715861346-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">, первичный аукцион с той же самой резервной ценой принесёт более высокий ожидаемый доход, чем вторичный аукцион. Оценка точна если функция C(b, w) строго выпукла при некотором предложении равновесия, предлагают <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_715929086-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">, для некоторого w.
Доказательство. Слабая оценка дохода следует немедленно из преобладания стохастической собственности как показано выше. Строгая оценка получена следующим образом. Если C (b, w) – строго выпуклое в некотором предложении равновесия <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_715929086-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">, для некоторого w, тогда там существует <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_715929624-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">, такое что <img width=«248» height=«24» src=«ref-1_715929903-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">. Это предполагает что <img width=«109» height=«25» src=«ref-1_715930391-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">, следуя из вышеупомянутого доказательства. Теперь из-за непрерывности функции предложения равновесия в обеих формах аукциона, существует интервал, содержащий v* в который <img width=«95» height=«25» src=«ref-1_715930730-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">. Строгая классификация тогда следует из Теоремы 2.

Как было показано ранее, различия в том, как крайняя стоимость расхода победителя растёт с его предложением приводят к оценке. Это предложение может быть далее понято при сравнении со случаем с несклонными к риску претендентами (см. Holt (1980), Riley иSamuelson (1981), иMaskin иRiley (1984)). В этих документах, претендент имеет вогнутую по Ван-Ньюману-Моргенстерну полезность над его чистым активным сальдо.[27] Следовательно, риск, связанный с различием в чистом активном сальдо приводит к классификации дохода. На первичном аукционе, претендент несклонный к риску имеет стимул сгладить своё чистое активное сальдо  (разница между выигрышем и проигрышем). Он выполняет это,  предлагая цену более настойчиво. Напротив, предложения неподверженные принятию риска на вторичном аукционе. В нашей модели, претендент с выпуклой функцией оплаты имеет стимул сгладить свою оплату (между выигрышем и проигрышем). Таким образом, претенденты менее агрессивны в обеих формах аукциона, но более на вторичном аукционе, потому что оплата победителя случайна.[28]
5.     
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Мы изучили проведения первичных и вторичных аукционов, когда покупатели стоят перед финансовыми ограничениями. Наш результат таков, что вторичные аукционы приносят доход ниже ожидаемого и ниже социального активного сальдо чем первичные аукционы и предполагает, что последние не использовались, когда присутствуют ограничения. Этот результат исследований совместим с редким использованием устной формы аукционов на Американских правительственных аукционах (см. сноску 23).

Методика, которую мы развили, может применяться для широкого диапазона форм аукциона, для которых равновесие кривых изобид может быть охарактеризовано. Аукционы полной оплаты и другие мероприятия, которые требуют того, чтобы проигравшие платили, например плата за вход, могут изучаться с небольшим изменением нашей методики. Аукционы полной оплаты могут ослаблять ограничения бюджета,  распространяя платежи среди претендентов, так что они имеют тенденцию проводиться лучше, чем стандартные аукционы.[29] Использование входной платы на первичных аукционах имеет подобный эффект: если резервная цена заменена соответствующей платой за вход, ограничения бюджета облегчены, т.к. многие претенденты могут сами оплачивать маленькие суммы, скорее, чем единственный выигравший претендент, оплачивает большую сумму. Таким образом, ожидаемый доход увеличивается с использованием входной платы (Che и  Gale(1996b)).

Признание практической важности финансовых ограничений – ещё один вывод этой работы. Взгляды на проблемы, содержащиеся в этой работе и те новые перспективы, которые предложены, могут также пролить свет на многие важные проблемы, которые долго бросали вызов практикам, но только недавно обратили на себя академическое внимание. Представим короткий список.
(i) Размер коммерческих единиц

Продавцы часто имеют некоторый контроль над ценностью объекта(цели) для продажи. На аукционах по продаже прав на минеральные ресурсы, например, и длительность арендного договора и область охваченная им, могут быть различны, чтобы изменить его ценность. Точно так же ценность лицензии, чтобы работать на рынке, зависит критически от того, сколько лицензий продано на том же самом рынке. Продажи большего количества лицензий будут вести к более конкурентоспособной рыночной структуре и могут привести к меньшей объединенной ценности проданных лицензий. Масштаб и резервная экономика  которые часто присутствуют на правительственных аукционах, благоприятствуют увеличивающемуся размеру коммерческой единицы. Присутствие финансовых ограничений благоприятствуют противоположность. Ограниченный размер и ценность объектов (целей) выставленных на аукционе может облегчать финансовые ограничения, перед которыми стоят претенденты и увеличить, предлагающее цену соревнование. Недавние дебаты по поводу размеров рыночных областей на аукционах PCS отражают это.
(ii) Совместное участие в торгах и слияния компаний

Проблема размера коммерческих единиц глубоко связана с проблемами совместного участия в торгах и слияний компаний потенциальных претендентов. При отсутствии ограничений бюджета, совместное участие в торгах и слияния компаний потенциальных претендентов просто уменьшает количество потенциальных претендентов, которые могут понизить доход. В присутствии финансовых ограничений, однако, эти меры могут увеличивать предлагающее цену соревнование,  ослабляя ограничения.
(iii) Продажа корпоративного контроля, проект процедур банкротства

Финансовые ограничения важны на рынке корпоративного контроля. Shieifer и Vishny (1992) говорят, что корпоративный контроль не может накапливаться до партии с самым высоким потенциалом наличного потока, из-за дефицитов рынка капитала. Наша модель имеет ту же самую особенность. Кроме того, наш анализ говорит, что точный коммерческий формат имеет значение. Эта перспектива может пролить далее свет на то, как улучшить процедуры банкротства, особенно когда может быть желательно провести прямой аукцион,[30] и управление которым должно быть использовано, чтобы разместить активы банкрота.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство Леммы 1

Доказательство имеет три части. Первая часть показывает, что любая симметрическая функция предложения равновесия должна принимать форму <img width=«165» height=«25» src=«ref-1_715931047-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> для некоторый непрерывный, строго возрастающей функции <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_715923200-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">. Вторая часть устанавливает существование единственной функции предложения удовлетворяющей (6) которая строго возрастает. Третья часть показывает, что функция предложения устанавливает равновесие. Здесь, мы представляем третью часть. Первая и вторая часть содержатся в Che и Gale (1995) и также имеют силу.

Мы покажем, что стратегия предложения, описанная в Лемме 1, и есть стратегия предложения равновесия. Рассмотрите произвольного претендента с <img width=«105» height=«25» src=«ref-1_715931692-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">. Если все остальные применяют <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_715917987-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">, претендент выбирает <img width=«69» height=«25» src=«ref-1_715932267-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">, чтобы получить максимально:

<img width=«220» height=«27» src=«ref-1_715932552-472.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">.

( Инверсия <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_715923200-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> хорошо определена, так как функция предложения строго возрастает.) Связь по Лагранжеру, с нашей проблемой:
<img width=«305» height=«25» src=«ref-1_715933258-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">
где <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_715933812-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226"> и <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_715934010-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">  — множители, связанные с этими двумя ограничениями. Заметим что:
<img width=«361» height=«69» src=«ref-1_715934202-775.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">

<img width=«192» height=«47» src=«ref-1_715934977-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">

<img width=«45» height=«75» src=«ref-1_715935474-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">   если <img width=«81» height=«75» src=«ref-1_715935738-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">
Второе равенство следует из (6). Ясно, <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_715934010-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">=0 т.к. <img width=«69» height=«25» src=«ref-1_715936271-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">. Если <img width=«67» height=«25» src=«ref-1_715936563-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> то <img width=«64» height=«25» src=«ref-1_715936849-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">. Если <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_715937116-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">, тогда <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_715937394-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> и дополнительное ослабление подразумевает что<img width=«40» height=«19» src=«ref-1_715937615-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">
Доказательство Суждения 2

На произвольном аукционе M в F, продавец для получения максимального дохода выберет резервную цену так, чтобы <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_715937832-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> максимизировал (5). В первичных и вторичных аукционах, резервная цена r влечет за собой <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_715938048-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">. Предложения равновесия добровольных типов независимы от резервной цены на вторичном аукционе, но они зависят от резервной цены на вторичном аукционе. С небольшим злоупотреблением примечанием, мы запишем <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_715938333-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">чтобы обозначить предложение равновесия добровольного типа с <img width=«35» height=«17» src=«ref-1_715938595-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">, учитывая резервную цену r, в первичном аукционе (т.е. функция  <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_715938814-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">удовлетворяет (6) для <img width=«43» height=«25» src=«ref-1_715939065-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">.) Полезно установить сначала следующий результат.

Факт 1     <img width=«123» height=«25» src=«ref-1_715939286-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">  для  <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_715939632-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">  т.е. <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_715939884-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> не уменьшающаяся

Доказательство. Установите r и <img width=«36» height=«17» src=«ref-1_715940139-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">. Руководствуясь (6), <img width=«147» height=«25» src=«ref-1_715940349-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">, т.к. <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_715938333-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> непрерывно в <img width=«35» height=«17» src=«ref-1_715940941-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">, согласно Лемме 1 следует что <img width=«132» height=«25» src=«ref-1_715941157-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> для <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_715941515-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">, но достаточно близко к r. Благодаря непрерывности это теперь удовлетворяет тому, чтобы показать что, всякий раз, когда <img width=«123» height=«25» src=«ref-1_715941730-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> для некоторого v > r, <img width=«127» height=«25» src=«ref-1_715942081-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> для всего<img width=«37» height=«19» src=«ref-1_715942434-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">. Последний факт имеет место всякий раз т.к. <img width=«147» height=«25» src=«ref-1_715942658-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">,

<img width=«427» height=«48» src=«ref-1_715943040-974.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">.
Используя Факт 1, мы теперь готовы доказать Утверждение 2. Заметим сначала что <img width=«243» height=«25» src=«ref-1_715944014-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> для резервной цены r. Теперь, пусть <img width=«43» height=«25» src=«ref-1_715944488-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> и  <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_715944737-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">обозначают ожидаемый данный доход резервную цену r в первичном и вторичном аукционах, соответственно. Дифференцируя (5) относительно r, для <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_715944985-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> и <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_715945224-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">, мы получаем

<img width=«573» height=«44» src=«ref-1_715945411-976.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"><img width=«315» height=«48» src=«ref-1_715946387-636.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">                            или

где <img width=«95» height=«27» src=«ref-1_715947023-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">  — распределение второго порядка, статистических данных из <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_715947338-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"> случайных переменных, произведенных <img width=«79» height=«25» src=«ref-1_715947541-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> и <img width=«109» height=«28» src=«ref-1_715947832-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">, обозначает его производную относительно первого аргумента,  вышеупомянутое неравенство выполняется т.к. <img width=«132» height=«28» src=«ref-1_715948172-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> и <img width=«111» height=«25» src=«ref-1_715948546-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"> почти для каждого <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_715948884-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272"> согласно Факту 1. Неравенство подразумевает, что всякий раз это строго оплачивают, чтобы понизить резервную цену на вторичном аукционе, это также делается и на первичном аукционе. Тогда следует, что, учитывая максимизирущую доход резервную цену на вторичном аукционе, чуть слабее максимизирует резервную цену ожидаемый доход на первичном аукционе. С резервной ценой, которая незначительно ниже, ясно вытекает оценка Суждения 1: оценка дохода следует из Суждения 1, а показанным предпочтением продавца, и оценка социального активного сальдо следуют из Теоремы 1 для <img width=«112» height=«27» src=«ref-1_715949106-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">. ||
Доказательство Леммы 2

 Ясно, что P1 удовлетворен по определению вторичного аукциона. Покажем, что другие свойства выполняются по порядку.

(i)  P2: Мы построили доминирующую стратегию в тексте, и мы показываем её непрерывность здесь. Для любого (w, v), равновесное предложение <img width=«132» height=«24» src=«ref-1_715949445-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">  самое высокое <img width=«15» height=«23» src=«ref-1_715949798-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> удовлетворяет <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_715950001-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">. Мы показываем что, для любого интервала <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_715950295-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> содержащей b, равновесие для типа <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_715950545-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> также содержится в этом интервале, если <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_715950792-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> достаточно близко к <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_715951039-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">. Выберем любое <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_715951272-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">, и рассмотрим <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_715951496-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">, такое что<img width=«57» height=«19» src=«ref-1_715951708-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">. Так как <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_715951962-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">, Предположение 2 подразумевает, что <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_715952252-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285"> стремится к <img width=«72» height=«21» src=«ref-1_715952541-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> поскольку <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_715952820-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"> стремится к w. Поэтому <img width=«145» height=«23» src=«ref-1_715953024-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"> для  <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_715953375-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">, достаточно близкого к (w, v). Теперь выберем любое <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_715953622-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">. Если <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_715929086-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">, тогда <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_715954124-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> (так как C (x,w) непрерывен в х для <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_715954401-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">, выпуклостью), поэтому <img width=«95» height=«21» src=«ref-1_715954690-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> для <img width=«52» height=«21» src=«ref-1_715954988-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">, достаточно близкого к (w, v). Теперь, предположим что <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_715955244-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">. Предположение .2 подразумевает, что <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_715955510-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> непрерывна, поэтому  <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_715955729-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> для <img width=«21» height=«19» src=«ref-1_715956005-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> достаточно близкого к w, это подразумевает, что <img width=«121» height=«21» src=«ref-1_715956213-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300"> для <img width=«52» height=«21» src=«ref-1_715954988-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">, достаточно близкого к (w, v). В сумме <img width=«101» height=«24» src=«ref-1_715956795-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> для <img width=«52» height=«21» src=«ref-1_715954988-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">, достаточно близкого к (w, v). Объединяя эти два доказательства, мы делаем вывод <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_715957366-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"> непрерывно.

(ii) P3- Слабая монотонность следует легко из Предположений 1, 3, и 4, которые подразумевают что C (x, w) не возрастающая в <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_715957608-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">. Чтобы показать строгую монотонность, для любого (w, v), снова предположим что <img width=«131» height=«24» src=«ref-1_715957847-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">, самое высокое значение <img width=«15» height=«23» src=«ref-1_715949798-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> удовлетворяет <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_715950001-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">. Рассмотрим любой <img width=«108» height=«21» src=«ref-1_715958699-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">. В соответствии с Предположением 3  для любого <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_715951496-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310"> там существует <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_715959221-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">, такое что

<img width=«245» height=«24» src=«ref-1_715959446-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">.

тогда следует, что существует <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_715959933-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313"> такое что <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_715960165-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> который подразумевает <img width=«137» height=«24» src=«ref-1_715960466-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">.
(iii)  P4: Согласно данным P3 и Предположения 4, претендент типа делает самым высоким предложение, 6, и доброволен. Точно так же тип — <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_715960837-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316"> претендент делает самое низкое и добровольное предложение <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_715961076-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">. Если, учитывая непрерывность функции <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_715957366-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">, тогда выполняется P4 .                ||
Доказательство Леммы 3
Учитывая непрерывность равновесия Bayes-Nash, монотонность слабо сохраняется т.к. плата увеличивается с предложением в смысле стохастического господства первого порядка (см. сноску 16). Предложение равновесия должно возрастать строго, когда и w и v возрастают (строго монотонно), иначе существовал бы прямоугольник типов, который делал бы те же самые предложения, которые  непоследовательны с равновесием, т.к. предпочтительнее возрастание подъема предложения. Таким образом, P3 выполняется. Учитывая непрерывность и монотонность предложений, P4 также выполняется, так как претенденты с <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_715801510-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319"> делают, и максимальные и минимальные предложения равновесия, и они добровольны, в соответствии с Предположением 4

Теперь мы покажем, что <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_715919499-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> строго возрастает, и дифференцируемо внутри интервала предложений равновесия.  Строгая монотонность  очевидна, так как никакое предложение не может быть сделано с положительной вероятностью. Если <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_715919499-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321"> возрастает, оно дифференцируемо почти по всему этому интервалу. Выберем произвольное b внутри интервала предложений равновесия и пусть <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_715962146-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322"> и <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_715962395-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323"> обозначают правые и левые производные в b, соответственно. (Правые и левые пределы <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_715919499-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> в b оба равный <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_715918228-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">, так как <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_715919499-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> непрерывна). Так как b находится внутри предложений равновесия, <img width=«67» height=«28» src=«ref-1_715963307-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">. Кроме того, там существует тип <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_715963591-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328"> <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_715854669-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> который предлагает b (согласно P4). В соответствии с Предположением 4,  <img width=«76» height=«25» src=«ref-1_715964065-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">для<img width=«36» height=«23» src=«ref-1_715915878-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">, поэтому

<img width=«159» height=«24» src=«ref-1_715964575-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">.                                                     (Al)

<img width=«159» height=«24» src=«ref-1_715964957-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">.                                                    ( A2)

Предположим, что (А1) выполняется со строгим неравенством. Тогда, имеется открытый прямоугольник типов достаточно близких к <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_715919714-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">, с <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_715965583-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">, которые также предпочитают предлагать b. Следовательно, предложение b представлено с положительной вероятностью, что не может происходить в равновесии, так как тогда было бы тогда лучше предложить немного более высокую цену b. Поэтому, (А1) должно выполнятся с равенством. Но и симметричное доказательство (A2) выполняется с равенством. Мы  делаем вывод что <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_715962146-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">=<img width=«48» height=«24» src=«ref-1_715962395-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">.                                    ||
СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ:

 AGHION, P., HART, 0. and MOORE, J. (1994), «Improving Bankruptcy Procedure», (Mimeo., Harvard University).

ARMSTRONG, M. (1996), «Optimal Nonlinear Pricing by a Multiproduct Firm». Econometrica,64, 51 75.

AYRES, Г. and CRAMTON, P. (1996), «Pursuing Deficit Reduction through Diversity: How Affirmative Action at the FCC Increased Auction Competition», Stanford Law Review (forthcoming).

BAIRD, D. G. (1986), «The Uneasy Case for Corporate Reorganizations», Journal of Legal Studies 15 127-147. BEROSTEN, С. F., ELLIOTT. К. A., SCHOTT, J. J. and TAKACS, W. E, (1987) Auction Quotas and United States Trade Policy (Washington: Institute for International Economics).

BLACK, J. and DE MEZA, D. (1992), «Systematic Price Differences Between Successive Auctions arc No Anomaly», Journal of Economics and Management Strategy,1, 607-628.

СНЕ, Y.-K. and GALE. 1. (1995), «Auctions with Financially-Constrained Buyers», (SSRI Working Paper No.9452R, University of Wisconsin-Madison).

СНЕ, Y.-K. and GALE, I. (1996a), «The Optima.! Mechanism for Selling to Budget-Constrained Buyers», Mimeo., University of Wisconsin-Madison).

 СНЕ,V.-K. and GALE, (. (1996b), «EntryFees vs. Reserve Prices in First-Price Sealed-Bid Auctions», (Mimeo., University of Wisconsin-Madison).

CRAMTON, P. C. (1995a), «Money out of Thin Air: The Nationwide Narrowband PCS Auction», Journal of economics and Management Strategy, 4, 267-343.

CRAMTON, P. C. (l995b), «The PCS Spectrum Auctions; An Early Assessment» (Miroeo., University of Maryland).

 FAZZARI, S. M., HUBBARD, R. G.,and PETERSEN, B. C. (1988a), «Financing Constraints and Corporate Investment», Broolcings Paper м
Economic Activity,1,141-95.

FAZZARI, S. M., HUBBARD, R. G„ and PETERSEN, B. C, (1988b), «Investment, Financing Decisions, and Tax Policy», American Economic Review, 78, 200-205.

FUDENBERG,D, and TIROLE, J. (1991) Game Theory (Cambridge: The МГГpress).

GALE, I., and HAUSCH, D. (1994), «Bottom-Fishing and Declining Prices in Sequential Auctions», Games and Economic Behavior, ^, 318-331.

GENESOVE, D. (1993), «Adverse Selection in the Wholesale Used Car Market», Journal of Political Economy, 102, 53-75.

GERTLER, M., and GILCHRIST, S. (1994), «Monetary Policy, Business Cycles and the Behavior of Small Manufacturing Firms», Quarterly Journal of Economics,109, 309-340.

HART, 0. (1991), «Theories of Optimal Capital Structure: A Principal-Agent Perspective», Paper prepared for the Brookings Conference on Takeovers, LBO's, and Changing Corporate Forms.

HENDRICKS, K. and PORTER, R. (1992), «Joint Bidding in Federal OCS Auctions», American Economic Review, Sl, 506-511

HOLT, C. A., Jr. (1980), «Competitive Bidding for Contracts under Alternative Auction Procedures», Journal of Political Economy,88, 433-445.

HOLTZ-EAKIN, D„ JOULFAIAN, D. and ROSEN, H. S. (1994a), «Sticking It Out: Entrepreneurial Decisions and Liquidity Constraints», Journal of Political Economy,102, 53-75.

HOLTZ-EAKIN, D., JOULFAIAN, D. and ROSEN, H. S. (1994b), «Entrepreneurial Decisions and Liquidity Constraints», Rand Journal of Economics, 25, 334-347.

MASK.IN, E. (1992), «Auctions and Privatization», in H. Siebcrt, (ed.), Privatization (Kiel: Institut fur Weltwirt-scha.ft an der Universitat Kiel).

MASKIN, E. and RILEY, J. (1984), «Optimal Auctions with Risk Averse Buyers», Ecmometrica., 52, 1473-1518.

MATTHEWS, S. A. (1983), «Selling to Risk Averse Buyers with Unobservable Tastes», Journal of Economic Theory,30, 370-400,

MCMILLAN, J. (1994), «Selling Spectrum Rights», Journal of Economic Perspectives, 8, 145-162.

MEAD, W., SCHNIEPP, M., and WATSON, R. (1981), «The Effectiveness of Competition and Appraisals in the Auction Markets for National Forest Timber in the Pacific Northwest», prepared for the U.S. ForestService, September 30.

MILGROM, P. R. (1989), «Auctions and Bidding: A Primer», Journal of Economic Perspectives, 3, 3-22.

MILGROM, P. R. and WEBER, R. (1982), «A Theory of Auctions and Competitive Bidding», Ecwomelrica, 50, 1089-1122.

PALFREY, Т. R. (1980), «Multiple-Object, Discriminatory Auctions with Bidding Constraints: A Game-Theoretic Analysis», Management Science,26, 935-946.

PALFREY, Т. R. (1983), «Bundling Decisions by a Multiproduct Monopolist with Incomplete Information», Economeinca, 51, 463-483.

PITCHIK, C. (1994), «Budget-Constrained Sequential Auctions with Incomplete Information», (Mimeo.)

PITCHIK, C. and SCHOTTER, A. (1988), «Perfect Equilibria in Budget-Constrained Sequential Auctions: An Experimental Study», Rand Journal of Economics,19, 363-388

RILEY, J. and SAMUELSON, W. (1981), «Optimal Auctions», American Economic Review, 71, 381-392.

RILEY, J. and ZECKHAUSER, R. (1983), «Optimal Selling Strategics; When to Haggle, When lo Hold Firm», Quarterly Journal of Economics, 98, 267-289.

ROCHET, J. C. and CHONE, P. (1997), «Ironing, Sweeping and Multidimensional Screening», (Mimeo., University de Toulouse).

ROTHKOPF, M. H. (1977), «Bidding in Simultaneous Auctions with a Constraint in Exposure», Operations Research, 25, 620-629.
                                                                                                   
--PAGE_BREAK--