Реферат: Комплексная статистическая обработка экспериментальных данных

--PAGE_BREAK--2.3 Графическое изображение рядов распределения
Графическое изображение интервальных рядов включает построения полигона частот, гистограммы и кумуляты.

В пакете STATISTICA построение полигона происходит следующим образом:

а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбратьпеременную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Count;

г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot. [1]

Построение кумуляты:

а)Analysis→ Frequencytables→ Variables(выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. ofexactintervals”;

в) Frequency tables → Cumul. Count;

г) нажать правую кнопку мыши и выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot (Bar <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">).

Построение гистограммы происходит следующим образом:

а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбратьпеременную);

б) установить количество интервалов в “No. ofexactintervals”;

в) Frequencytables→ Percent;

г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “CustomGraphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Bar <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">
2.4 Точечные оценки средних показателей
Точечная оценка математического ожидания по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.4):
  <img width=«129» height=«73» src=«ref-1_1872492124-619.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">
где <img width=«25» height=«30» src=«ref-1_1872492743-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098"> – значения элементов выборки.

Оценка дисперсии по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.5).
<img width=«136» height=«73» src=«ref-1_1872492921-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099"> 
Вычисление оценки математического ожидания по интервальному вариационному ряду осуществляется по формуле (2.6):
  <img width=«96» height=«46» src=«ref-1_1872493615-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">
где <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1872493988-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">– середина <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1872480495-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">-го интервала;

<img width=«67» height=«47» src=«ref-1_1872494174-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> – статистическая вероятность (частость) попадания в <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1872480495-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">-тый интервал.

Оценка дисперсии для интервального ряда вычисляется по формуле (2.7):
  <img width=«165» height=«53» src=«ref-1_1872494580-731.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">
Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA:

Analysis →Descriptive statistics → Categorization → Number of intervals (установитьколичествоинтервалов) → More statistics → Mean, Variance. [2]

Значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии для простого и интервального рядов приведены в таблице 2.8.
Таблица 2.8 – Оценки математического ожидания и дисперсии

Выборка

Математическое ожидание

Дисперсия

Простой ряд

Интервальный ряд

Простой ряд

Интервальный ряд

<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">(<img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">)

16,254

16,279

27,849

28,517

<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">(<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">)

16,189

16,174

26,259

26,598

<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">(<img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">)

15,950

16,006

27,608

28,330

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">(<img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">)

16,668

16,936

31,125

31,113

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">(<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">)

15,989

16,007

30,406

31,242

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">(<img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">)

15,792

15,740

27,059

28,636



Из приведенных данных видно, что полученные оценки математического ожидания и дисперсии по вариационному (простому) и интервальному рядам имеют близкие значения. Причем, чем больше объем выборки, тем более точный результат. От номера эксперимента, то есть от количества испытаний величины точечной оценки не зависят. Это видно на рисунках 2.25 – 2.32.
<img width=«491» height=«273» src=«ref-1_1872496733-4945.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

Рисунок 2.25 — Зависимость <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1872501678-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> от объема выборки для <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">
<img width=«491» height=«226» src=«ref-1_1872501914-3966.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">

Рисунок 2.26 — Зависимость <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1872505880-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> от объема выборки для <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">


<img width=«491» height=«264» src=«ref-1_1872506107-5090.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">

Рисунок 2.27 — Зависимость <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1872511197-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> от объема выборки для <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">
<img width=«491» height=«252» src=«ref-1_1872511429-4716.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">

Рисунок 2.28 — Зависимость <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1872516145-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> от объема выборки для <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">
<img width=«511» height=«242» src=«ref-1_1872516369-4436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">

Рисунок 2.29 — Зависимость <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1872501678-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"> от номера эксперимента по <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">


<img width=«518» height=«242» src=«ref-1_1872521041-4588.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">

Рисунок 2.30 — Зависимость <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1872511197-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> от номера эксперимента по <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">
<img width=«511» height=«259» src=«ref-1_1872525861-4499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">

Рисунок 2.31 — Зависимость <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1872505880-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> от номера эксперимента по <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">
<img width=«523» height=«225» src=«ref-1_1872530587-4515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">

Рисунок 2.32 — Зависимость <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1872516145-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> от номера эксперимента по <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">


В таблице 2.9 приведены оценки математического ожидания и дисперсии, вычисленные для 10 выборок по 1000 элементов в каждой для случайной величины <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> и случайной величины <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">.
Таблица 2.9 – Точечные оценки выборок из 1000 элементов для <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">



2.5 Доверительные интервалы
Для того чтобы оценить достоверность оценок, вводят понятие доверительный интервал и доверительная вероятность.

  Доверительный интервал для математического ожидания определяется по формуле (2.7):
<img width=«182» height=«29» src=«ref-1_1872536433-619.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">
где <img width=«20» height=«15» src=«ref-1_1872481172-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> – математическое ожидание генеральной совокупности;

<img width=«15» height=«23» src=«ref-1_1872537211-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">  — доверительная вероятность;

<img width=«20» height=«20» src=«ref-1_1872537385-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">  — оценка математического ожидания;

  <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1872537567-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">  — величина доверительного интервала, вычисляется по формуле (2.8):


<img width=«87» height=«36» src=«ref-1_1872537712-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">

где <img width=«19» height=«28» src=«ref-1_1872538056-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">  — квантиль нормального распределения, получается обратным интерполированием из таблицы для функции распределения стандартного нормального закона. Вычисляется по формуле (2.9).
    <img width=«149» height=«52» src=«ref-1_1872538221-788.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">
<img width=«28» height=«28» src=«ref-1_1872539009-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">  — оценка дисперсии, вычисляется по формуле (2.10).
<img width=«94» height=«54» src=«ref-1_1872539204-489.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">
Доверительный интервал для дисперсии определяется по формуле (2.11).
  <img width=«176» height=«32» src=«ref-1_1872539693-624.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">,

<img width=«93» height=«35» src=«ref-1_1872540317-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">
где <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1872540677-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> – дисперсия генеральной совокупности;

<img width=«19» height=«22» src=«ref-1_1872540841-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> – оценка дисперсии.

<img width=«19» height=«28» src=«ref-1_1872538056-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> – квантиль нормального распределения.

Оценка стандартного отклонения в зависимости от закона распределения случайной величины имеет различное значение.

Для нормального закона распределения эта величина будет равна:
<img width=«90» height=«37» src=«ref-1_1872541193-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">    продолжение
--PAGE_BREAK--


Для равномерного:
<img width=«176» height=«55» src=«ref-1_1872541462-919.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">
Ниже в таблицах 2.10-2.21 приведены доверительные интервалы математического ожидания исследуемых выборок.

-точный метод
Таблица 2.10 — Доверительные интервалы для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">, <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">

15,378

17,130

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">

15,207

17,301

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">

15,053

17,455

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">

14,739

17,769

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">

14,481

18,027



-грубый метод
Таблица 2.11 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">, <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">

15,376

17,132

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">

15,207

17,301

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">

15,058

17,450

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">

14,753

17,755

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">

14,508

18,000



-точный метод
Таблица 2.12 — Доверительные интервалы для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">

15,811

16,566

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">

15,738

16,639

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">

15,673

16,704

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">

15,542

16,835

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">

15,408

16,940



-грубый метод
Таблица 2.13 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">

15,795

16,553

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">

15,722

16,626

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">

15,657

16,691

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">

15,526

16,822

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">

15,420

16,928



-точный метод
Таблица 2.14 — Доверительные интервалы для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">, <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">

15,677

16,224

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">

15,624

16,276

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">

15,577

16,323

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">

15,483

16,418

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">

15,447

16,565



-грубый метод
Таблица 2.15 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">, <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">

15,729

16,283

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">

15,676

16,336

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">

15,629

16,383

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">

15,533

16,479

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">

15,456

16,556




-точный метод
Таблица 2.16 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">, <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">

15,742

17,595

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">

15,561

17,775

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">

15,399

17,938

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">

15,066

18,270

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">

15,084

18,788



-грубый метод
Таблица 2.17 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">, <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">

16,018

17,854

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">

15,843

18,029

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">

15,687

18,185

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">

15,369

18,503

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">

15,112

18,760



-точный метод
Таблица 2.18 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">

15,583

16,396

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">

15,505

16,474

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">

15,435

16,544

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">

15,294

16,685

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">

15,177

16,837



-грубый метод


Таблица 2.19 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">

15,596

16,418

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">

15,517

16,497

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">

15,447

16,567

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">

15,305

16,709

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">

15,190

16,824



-точный метод
Таблица 2.20 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">, <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">

15,521

16,063

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">

15,469

16,115

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">

15,423

16,161

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">

15,329

16,255

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">

15,178

16,302



-грубый метод
Таблица 2.21 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">, <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">

15,462

16,018

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">

15,408

16,072

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">

15,361

16,119

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">

15,264

16,216

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">

15,187

16,293



Длины доверительных интервалов для математического ожидания при различных уровнях доверительной вероятности приведены в таблице 2.22.
Таблица 2.22 – Длины доверительных интервалов



Длина интервала

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">

<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">(<img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">)

1,752

2,094

2,402

3,03

3,546

<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">(<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">)

0,755

0,901

1,031

1,293

1,532

<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">(<img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">)

0,547

0,652

0,746

0,935

1,118

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">(<img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">)

1,853

2,214

2,539

3,204

3,704

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">(<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">)

0,813

0,969

1,109

1,391

1,66

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">(<img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">)

0,542

0,646

0,738

0,926

1,124



В таблицах 2.23 – 2.34 указаны доверительные интервалы дисперсии исследуемых выборок.

-точный метод
Таблица 2.23 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">, <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">

25,059

32,793

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">

24,452

33,693

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">

23,926

34,524

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">

22,914

36,280

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">

22,095

37,873



-грубый метод
Таблица 2.24 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">, <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">

26,084

30,950

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">

25,619

31,415

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">

25,205

31,829

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">

24,362

32,672

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">

23,681

33,353



-точный метод


Таблица 2.25 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">

23,373

30,586

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">

22,807

31,426

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">

22,316

32,201

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">

21,372

33,838

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">

20,608

35,324



-грубый метод
Таблица 2.26 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">

24,329

28,867

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">

23,895

29,301

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">

23,508

29,688

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">

22,722

30,474

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">

22,088

31,108



-точный метод
Таблица 2.27 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">, <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">

22,258

29,128

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">

21,719

29,928

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">

21,252

30,666

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">

20,354

32,225

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">

19,626

33,640



-грубый метод
Таблица 2.28 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">, <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">

23,169

27,491

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">

22,756

27,904

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">

22,388

28,272

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">

21,639

29,021

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">

21,035

29,625



-точный метод
Таблица 2.29 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">, <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">

27,340

35,779

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">

26,678

36,761

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">

26,104

37,667

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">

25,000

39,582

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">

24,106

41,321



-грубый метод
Таблица 2.30 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">, <img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">

28,459

33,767

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">

27,951

34,275

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">

27,499

34,727

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">

26,579

35,647

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">

25,837

36,389



-точный метод
Таблица 2.31 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">

26,575

34,777

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">

25,931

35,732

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">

25,374

36,613

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">

24,301

38,474

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">

23,431

40,164




-грубый метод
Таблица 2.32 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">

27,662

32,822

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">

27,168

33,316

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">

26,729

33,755

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">

25,835

34,649

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">

25,114

35,370



-точный метод
Таблица 2.33 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">, <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">

25,163

32,930

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">

24,554

33,834

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">

24,026

34,668

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">

23,010

36,431

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">

22,187

38,031



-грубый метод
Таблица 2.34 – Доверительные интервалы для СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">, <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">

26,193

31,079

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">

25,726

31,546

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">

25,310

31,962

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">

24,463

32,809

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">

23,780

33,492



В таблице 2.35 показано изменение длины доверительного интервала для дисперсии в зависимости от объема выборки и величины доверительной вероятности.


Таблица 2.35 – Длины доверительных интервалов



Величина интервала

<img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1872542618-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">

<img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1872542765-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872542924-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543095-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">

<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1872543266-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">

<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">(<img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">)

7,734

9,241

10,598

13,366

15,778

<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">(<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">)

7,213

8,619

9,885

12,466

14,716

<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">(<img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">)

4,322

5,148

5,884

7,382

8,590

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">(<img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">)

8,439

10,083

11,563

14,582

17,215

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">(<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">)

8,202

9,801

11,239

14,173

16,733

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">(<img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">)

7,767

9,280

10,642

13,421

15,844



Анализируя полученные данные можно заметить, что при увеличении уровня доверительной вероятности увеличивается величина доверительного интервала, а при увеличении объема выборки она уменьшается. Это справедливо как для доверительных интервалов математического ожидания, так и для дисперсии. [3]
    продолжение
--PAGE_BREAK--2.6 Другие точечные оценки интервального ряда (мода, медиана, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесс)
Модой в вариационном ряду является наиболее часто встречающееся значение признака.

Мода по интервальному ряду вычисляется по формуле (2.13):
<img width=«308» height=«47» src=«ref-1_1872572285-906.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371"> (2.13)
где <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1872573191-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> – левая граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частость);

<img width=«12» height=«29» src=«ref-1_1872573293-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"> – величина интервала группировки;

<img width=«37» height=«25» src=«ref-1_1872573480-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374"> – частота модального интервала;

<img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1872573643-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375"> – частота интервала, предшествующего модальному;

<img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1872573819-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"> – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – серединное наблюдение в выборке длиной n.

При нечетном nмедиана в вариационном ряду есть значение ряда с номером <img width=«43» height=«41» src=«ref-1_1872573998-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">.

При четном nмедиана есть полусумма значений с номерами <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1872574244-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378"> и <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_1872574426-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">. В интервальном ряду для нахождения медианы применяется формула (2.14):
  <img width=«236» height=«67» src=«ref-1_1872574624-788.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">
где <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1872573191-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381"> – нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

<img width=«12» height=«29» src=«ref-1_1872573293-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> – величина интервала группировки;

<img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1872575701-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383"> – частота медианного интервала;

<img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1872575832-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">– накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Коэффициент вариации вычисляется по формуле (2.15):
  <img width=«75» height=«55» src=«ref-1_1872575989-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">
На основе момента третьего порядка (смотри формулу 2.16) выборочный коэффициент асимметрии находится по формуле (2.17):


  <img width=«139» height=«73» src=«ref-1_1872576387-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">

  <img width=«93» height=«73» src=«ref-1_1872577097-545.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">
С помощью момента четвертого порядка характеризуют свойство рядов распределения, называемое эксцессом. Показатель эксцесса для ранжированного ряда находится по формуле (2.18).
  <img width=«131» height=«64» src=«ref-1_1872577642-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">
Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA происходит следующим образом:

Analysis → Descriptive statistics:

а) Categorization → Number of intervals (установитьколичествоинтервалов);

б) нажать кнопку Morestatistics→ откроется окно Statistics, где можно выбрать следующие показатели:

-  Mean – выборочноесреднее;

-  Median – медиана;

-  StandardDeviation– стандартное отклонение среднего значения;

-  Variance – выборочная дисперсия;

-  Skewness – выборочный коэффициент асимметрии;

-  Kurtosis – выборочный коэффициент эксцесса;

в) выбрать необходимые параметры и нажать ОК.

Значения медианы, коэффициента вариации, коэффициента ассиметрии и эксцесса приведены в таблице 2.36.


Таблица 2.36 — Медиана, коэффициент вариации, коэффициент ассиметрии и эксцесс

Выборка

Медиана

Коэф. ассиметрии

Эксцесс

Коэф. вариации

<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">(<img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">)

16,587

-0,009

-1,017

0,326

<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">(<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">)

16,501

-0,058

-1,160

0,317

<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">(<img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">)

16,119

0,007

-1,192

0,329

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">(<img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">)

16,531

-0,086

-0,449

0,335

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">(<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">)

16,013

-0,022

-0,138

0,345

<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">(<img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">)

15,795

-0,080

0,170

0,329



Анализируя полученные данные, можно сказать, что обе случайные величины имеют практически симметричное распределение, т. к. коэффициенты асимметрии всех выборок близки к нулю,

Случайная величина <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401"> имеет более пологое распределение (эксцесс для всех ее выборок имеет отрицательное значение). А эксцесс выборок случайной величины <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402"> практически равен нулю, т.е. «крутизна» распределения случайной величины Yблизка к нормальному распределению.
2.7 Оценка однородности выборки
Любая исследуемая совокупность содержит как значения признаков, сложившихся под влиянием факторов, непосредственно характерных для анализируемой совокупности, так изначения признаков, полученных под воздействием иных факторов, не характерных для основной совокупности.

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). [4]

Из таблицы 2.36 видно, что однородными можно считать выборки случайной величины <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403"> при <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1872579840-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404"> равном 100, 500, 1000 и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405"> при nравном 1000.

Однородность выборки можно проверить, также используя метод Ирвина, основанный на определении <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1872580015-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">-статистики. При его использовании выявление аномальных наблюдений производится по формуле (2.19).
  <img width=«108» height=«59» src=«ref-1_1872580117-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">
где <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1872580581-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408"> – упорядоченная (по возрастанию или по убыванию) исследуемая совокупность;

<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1872580669-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409"> – значение ряда;

<img width=«29» height=«25» src=«ref-1_1872580765-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">– предыдущее значение ряда;

<img width=«27» height=«29» src=«ref-1_1872580875-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411"> – среднеквадратическое отклонение.

Если расчетное значение превысит уровень критического, то оно признается аномальным.

Произведя соответствующие расчёты в MicrosoftExcelмы убедились, что ни одно из расчётных значений не превышает уровень критического значения. Это значит, что все выборки случайных величин <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"> – однородны.
2.8 Проверка нормальности эмпирического распределения
2.8.1 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе анализа точечных оценок числовых характеристик

Если среднее арифметическое, медиана и мода имеют близкие значения, это указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону. Для нормального распределения коэффициент асимметрии и эксцесса равны нулю, а для равномерного эксцесс равен -1,2.

В таблице 2.37 приведены данные для проверки вышеуказанных утверждений.
Таблица 2.37 – Анализ числовых характеристик положения и вариации

равномерный закон (СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">)

нормальный закон (СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">)

выборка

<img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1872581362-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">

<img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1872581555-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">

<img width=«68» height=«19» src=«ref-1_1872581687-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418">

выборка

<img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1872581836-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">

<img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1872582031-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420">

100

16,254

16,587

-0,009

-1,017

100

16,668

16,531

-0,449

200

16,369

15,840

0,034

-1,264

200

15,688

15,703

0,712

300

16,355

16,335

-0,092

-1,270

300

15,696

15,655

0,472

400

15,658

15,581

0,056

-1,254

400

16,770

16,954

-0,196

500

16,189

16,501

-0,058

-1,160

500

15,989

16,013

-0,138

600

16,048

15,897

-0,022

-1,158

600

16,049

16,008

-0,077

700

15,964

15,956

-0,017

-1,159

700

16,319

16,576

-0,128

800

15,867

15,649

0,072

-1,218

800

15,990

16,082

0,172

900

16,132

16,028

-0,022

-1,243

900

15,885

15,749

-0,092

1000

15,950

16,119

0,007

-1,192

1000

15,792

15,795

0,170



Анализируя полученные данные, можно сделать вывод о том что значения медианы и среднего арифметического для выборок случайной величины <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422"> имеют практически равное значение. Для выборки <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423"> значение коэффициента ассиметрии, а для выборки случайной величины <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424"> значение эксцесса практически равно 0. Для случайной величины <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425"> значение эксцесса практически -1,2. Таким образом, все это свидетельствует о близости распределения случайной величины <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426"> нормальному распределению, а случайной величины <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427"> равномерному.
    продолжение
--PAGE_BREAK--2.9 Определение закона распределения случайных величин
2.9.1 Определение закона распределения случайной величины по виду гистограммы

По виду гистограмм, приведенных на рисунках 2.19-2.21 делаем предположение о том, что случайная величина <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> подчиняется равномерному закону распределения, а случайная величина <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429"> соответствует нормальному закону распределения, что можно увидеть на рисунках 2.22-2.24.
2.9.2 Определение оценок параметров распределений

Метод моментов

Метод моментов заключается в том, что определенное количество статистических начальных и (или) центральных моментов приравнивается к соответствующим теоретическим моментам распределения случайной величины. Уравнения метода показано в формуле (2.23).
  <img width=«79» height=«70» src=«ref-1_1872583013-568.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">
  где <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1872583581-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431"> – теоретический начальный момент <img width=«12» height=«16» src=«ref-1_1872583687-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">-того порядка для непрерывной случайной величины, вычисляется по формуле (2.24):
<img width=«140» height=«57» src=«ref-1_1872583831-638.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">.
<img width=«23» height=«28» src=«ref-1_1872584469-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434"> – статистическая оценка соответствующего теоретического момента <img width=«12» height=«20» src=«ref-1_1872584670-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">-того порядка, вычисляется по формуле (2.25):
  <img width=«115» height=«55» src=«ref-1_1872584824-532.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">.
<img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1872585356-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437"> – теоретический центральный момент s-того порядка, вычисляется по формуле (2.26):


  <img width=«197» height=«57» src=«ref-1_1872585459-798.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">.
<img width=«21» height=«28» src=«ref-1_1872586257-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> – статистическая оценка теоретического центрального момента <img width=«12» height=«20» src=«ref-1_1872584670-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">-того порядка, вычисляется по формуле (2.27):
  <img width=«168» height=«55» src=«ref-1_1872586588-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">.
Из системы (2.23) находятся параметры распределения. Число уравнений в системе зависит от количества неизвестных параметров. Для нормального и равномерного законов, система должна содержать два уравнения, для экспоненциального – одно.

Для равномерного закона распределения система (2.23) принимает вид (2.28):
<img width=«26» height=«86» src=«ref-1_1872587282-186.coolpic» v:shapes="_x0000_s1047">  <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1872587468-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442"><img width=«85» height=«77» src=«ref-1_1872587541-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">
Из системы 2.28 нужно найти параметры <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1872587977-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1872588061-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445">.

В таблице 2.38 приведены значения этих параметров, найденные методом моментов и методом максимального правдоподобия.
Таблица 2.38 – Значения параметров <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1872587977-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1872588061-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">

 

<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1872587977-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">(метод

моментов)

<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1872587977-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">(метод максимального

правдоподобия)

∆<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1872587977-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450">

<img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1872588061-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">(метод

моментов)

<img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1872588061-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">(метод максимального

правдоподобия)

∆<img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1872588061-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">

<img width=«52» height=«19» src=«ref-1_1872486190-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">

6,993

6,996

0,003

25,201

25,542

0,341

<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487898-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">

6,984

7,313

0,329

25,110

25,065

0,045

<img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1872490054-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">

6,711

6,849

0,138

25,237

25,051

0,186


Из таблицы видно, что значения параметров, найденные разными методами, практически совпадают. Это подтверждает, что случайная величина <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457"> распределена по равномерному закону.

Метод максимального правдоподобия

По методу максимального правдоподобия, строится так называемая функция правдоподобия (2.29):
  <img width=«201» height=«39» src=«ref-1_1872589363-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458">
где    <img width=«115» height=«24» src=«ref-1_1872589777-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459"> – выборка,

<img width=«115» height=«24» src=«ref-1_1872589990-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460"> – вектор параметров.

Необходимо найти такие значения вектора <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872590207-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">, чтобы функция <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1872590298-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462"> достигала максимума. Для этого строят систему правдоподобия (2.30), содержащую частные производные от функции правдоподобия по всем переменным, приравненные к нулю. Для упрощения вычислений переходят к функции <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872590389-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463">, равной логарифму натуральному от <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1872590298-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">:
  <img width=«72» height=«191» src=«ref-1_1872590568-1171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465"> .
Оценки параметров, получаемые из этой системы, называют оценками максимального правдоподобия.

Для равномерного закона функция правдоподобия будет иметь вид (2.31)


  <img width=«179» height=«51» src=«ref-1_1872591739-568.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">
где <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1872587977-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1872588061-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468"> – параметры распределения.

Данная функция будет достигать максимума при условии (2.32):
<img width=«69» height=«51» src=«ref-1_1872592479-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">
Судя по полученным оценкам параметров распределения, можно сделать вывод, что наше предположение было верно изначально и случайная величина <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470"> действительно распределена равномерно.
2.10 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе критериев согласия Пирсона
Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения необходимо ввести нулевую гипотезу, которая будет проверяться по критерию Пирсона.

<img width=«24» height=«24» src=«ref-1_1872592850-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">: генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

В качестве меры расхождения для критерия <img width=«35» height=«28» src=«ref-1_1872592959-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472"> выбирается величина, равная взвешенной сумме квадратов отклонений статистической вероятности от соответствующей теоретической вероятности, рассчитанных по нормальному закону теоретического распределения <img width=«35» height=«28» src=«ref-1_1872592959-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473"> вычисляется по формуле (2.20)
  <img width=«172» height=«53» src=«ref-1_1872593433-646.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">


где <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1872594079-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475">– частота попадания в i-тый интервал;

<img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1872594222-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476"> – объем выборки;

<img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1872594309-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477"> – теоретическая вероятность попадания i-тый интервал:
<img width=«363» height=«51» src=«ref-1_1872594411-840.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">  .
Общая схема применения критерия <img width=«25» height=«29» src=«ref-1_1872595251-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">:

1.                 Определение меры расхождения по формуле 2.20;

2.                 Задание уровня значимости <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1872595365-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">;

3.                 Определение числа степеней свободы <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1872595537-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481"> по формуле 2.22.
<img width=«91» height=«20» src=«ref-1_1872595623-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">, (2.22)
где <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1872595822-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483"> – количество интервалов в интервальном ряду;

<img width=«16» height=«20» src=«ref-1_1872595916-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484"> – число налагаемых связей, равное числу параметров

предполагаемого закона распределения

4. Область принятия основной гипотезы:
<img width=«98» height=«33» src=«ref-1_1872596011-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">.
Выполнение в пакете STATISTICA.

В модуле NonparametricStatistics(непараметрическая статистика), DistributionFitting. В поле ContinuousDistributionsпредставлены непрерывные распределения, а в поле DiscreteDistributions— дискретные распределения (закон распределения выбираем дважды щелкнув на его название мышью) ®Variable(выбрать переменную) ®в поле Plotdistributionвыбираем Frequencydistribution(частоты распределения) ®в поле Kolmogorov-Smirnovtestставим No→ установим необходимые параметры числа интервалов, верхней и нижней границ, среднего и дисперсии → Graph. Результаты проверки соответствия гипотезы приведены в таблице 2.39 и показаны на рисунках 2.41-2.46
Таблица 2.39 – Значения <img width=«35» height=«28» src=«ref-1_1872592959-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486"> и χ2крит для случайных величин <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">




На основе полученных данных можно сделать вывод, что случайная величина <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533"> распределена по нормальному закону, а случайная величина <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534"> не распределена по нормальному закону.

Анализируя получившиеся графики, делаем вывод, что случайная величина <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535"> распределена по равномерному закону, а случайная величина <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536"> – по нормальному.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Заключение
В ходе курсовой работы были освоены методы обработки данных статистического наблюдения, их анализа с помощью обобщающих показателей, установление теоретических законов распределения случайных величин и доказательство адекватности этих законов. Также в результате выполнения данной работы мы приобрели навыки и опыт работы в пакете STATISTICА.

В ходе анализа данных, были сделаны выводы, что основной частью статистического анализа является выявление закона распределения случайной величины, а также, выявление основных факторов, оказывающих влияние на качество оцениваемых параметров закона распределения (длина выборки, её однородность, величина доверительной вероятности). Был произведен статистический анализ каждой из полученных в ходе генерации выборок данных двух случайных величин, был найден закон их распределения. Рассмотрены основные числовые характеристики положения и вариации нормального и равномерного закона.

Полученный опыт работы со статистическими данными и методами их обработки на компьютере позволит гораздо быстрее и эффективнее применять эти методы обработки информации в повседневной жизни, в частности, для экономических исследований и разработок.


Перечень ссылок

случайный величина интервальный выборка

1.       Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р. А. Шмойловой. — 3-е изд., перераб. -М.: Финансы и статистика, 2000. — 560 с.

2.       Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 365 с.: ил.

3.       Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. – М.: Наука, 1969. – 509 с.

4.       Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1977. – 397 с.

5.       Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Unity, 2000. – 544 с.

6.       Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.

7.       Боровиков В. STATISTICA: искусство анализа данных на компьютере. Для профессионалов. — СПб.: Питер, 2001. — 656 с.


Приложение А
Генерация исходных данных СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537"> в пакете STATISTICA
Dim ADS As Spreadsheet

Dim STBReport As Report
Dim SUM As Double

Dim LOOP_CASE As Double

Dim I As Double
Sub Main

Set ADS = ActiveDataSet

Set STBReport = Reports.New

For LOOP_CASE = 1 To NCASES(ADS)

For I = 1 To n

SUM = 0

For L = 1 To 300

SUM = SUM + Uniform(1)

Next L

ADS.Value (LOOP_CASE, 1) = N * ((1 / 15) * SUM — 9)

Next I

NEXT_CASE:

Next LOOP_CASE

End Sub


Приложение Б
Интервальные ряды для СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539">
Таблица Д.1 — Интервальный ряд СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">,<img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1872486613-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541">



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,289175<x<=8,355050

14,000

14,000

7,000

7,000

8,355050<x<=11,42093

34,000

48,000

17,000

24,000

11,42093<x<=14,48680

33,000

81,000

16,500

40,500

14,48680<x<=17,55268

33,000

114,000

16,500

57,000

17,55268<x<=20,61855

29,000

143,000

14,500

71,500

20,61855<x<=23,68443

23,000

166,000

11,500

83,000

23,68443<x<=26,75030

34,000

200,000

17,000

100,000



Таблица Д.2 — Интервальный ряд СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">,<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487041-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,502861<x<=8,114160

25,000

25,000

8,333

8,333

8,114160<x<=10,72546

37,000

62,000

12,333

20,667

10,72546<x<=13,33676

40,000

102,000

13,333

34,000

13,33676<x<=15,94806

39,000

141,000

13,000

47,000

15,94806<x<=18,55936

39,000

180,000

13,000

60,000

18,55936<x<=21,17066

41,000

221,000

13,667

73,667

21,17066<x<=23,78195

51,000

272,000

17,000

90,667

23,78195<x<=26,39325

28,000

300,000

9,333

100,000



Таблица Д.3 — Интервальный ряд СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">,<img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1872487469-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545">



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,555859<x<=8,176674

33,000

33,000

8,250

8,250

8,176674<x<=10,79749

69,000

102,000

17,250

25,500

10,79749<x<=13,41830

54,000

156,000

13,500

39,000

13,41830<x<=16,03912

54,000

210,000

13,500

52,500

16,03912<x<=18,65993

51,000

261,000

12,750

65,250

18,65993<x<=21,28075

58,000

319,000

14,500

79,750

21,28075<x<=23,90156

54,000

373,000

13,500

93,250

23,90156<x<=26,52238

27,000

400,000

6,750

100,000




Таблица Д.4 — Интервальный ряд СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">,<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872488324-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,616825<x<=7,918099

42,000

42,000

7,000

7,000

7,918099<x<=10,21937

60,000

102,000

10,000

17,000

10,21937<x<=12,52065

79,000

181,000

13,167

30,167

12,52065<x<=14,82192

78,000

259,000

13,000

43,167

14,82192<x<=17,12319

75,000

334,000

12,500

55,667

17,12319<x<=19,42447

69,000

403,000

11,500

67,167

19,42447<x<=21,72574

92,000

495,000

15,333

82,500

21,72574<x<=24,02701

70,000

565,000

11,667

94,167

24,02701<x<=26,32829

35,000

600,000

5,833

100,000



Таблица Д.5 — Интервальный ряд СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">,<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872488754-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,638499<x<=7,943963

48,000

48,000

6,857

6,857

7,943963<x<=10,24943

80,000

128,000

11,429

18,286

10,24943<x<=12,55489

80,000

208,000

11,429

29,714

12,55489<x<=14,86035

100,000

308,000

14,286

44,000

14,86035<x<=17,16582

91,000

399,000

13,000

57,000

17,16582<x<=19,47128

83,000

482,000

11,857

68,857

19,47128<x<=21,77675

94,000

576,000

13,429

82,286

21,77675<x<=24,08221

89,000

665,000

12,714

95,000

24,08221<x<=26,38767

35,000

700,000

5,000

100,000



Таблица Д.6 — Интервальный ряд СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">    продолжение
--PAGE_BREAK--,<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872489178-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,746050<x<=7,794074

50,000

50,000

6,250

6,250

7,794074<x<=9,842099

87,000

137,000

10,875

17,125

9,842099<x<=11,89012

88,000

225,000

11,000

28,125

11,89012<x<=13,93815

110,000

335,000

13,750

41,875

13,93815<x<=15,98617

77,000

412,000

9,625

51,500

15,98617<x<=18,03420

84,000

496,000

10,500

62,000

18,03420<x<=20,08222

83,000

579,000

10,375

72,375

20,08222<x<=22,13025

77,000

656,000

9,625

82,000

22,13025<x<=24,17827

96,000

752,000

12,000

94,000

24,17827<x<=26,22630

48,000

800,000

6,000

100,000




Таблица Д.7 — Интервальный ряд СВ <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1872483011-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">,<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872489616-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,747041<x<=7,795948

46,000

46,000

5,111

5,111

7,795948<x<=9,844855

118,000

164,000

13,111

18,222

9,844855<x<=11,89376

93,000

257,000

10,333

28,556

11,89376<x<=13,94267

84,000

341,000

9,333

37,889

13,94267<x<=15,99158

107,000

448,000

11,889

49,778

15,99158<x<=18,04048

85,000

533,000

9,444

59,222

18,04048<x<=20,08939

108,000

641,000

12,000

71,222

20,08939<x<=22,13830

88,000

729,000

9,778

81,000

22,13830<x<=24,18720

108,000

837,000

12,000

93,000

24,18720<x<=26,23611

63,000

900,000

7,000

100,000



Таблица Д.8 — Интервальный ряд СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554">,<img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1872486613-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

-3,85839<x<=1,661475

2,000

2,000

1,000

1,000

1,661475<x<=7,181336

7,000

9,000

3,500

4,500

7,181336<x<=12,70120

47,000

56,000

23,500

28,000

12,70120<x<=18,22106

79,000

135,000

39,500

67,500

18,22106<x<=23,74092

54,000

189,000

27,000

94,500

23,74092<x<=29,26078

8,000

197,000

4,000

98,500

29,26078<x<=34,78064

3,000

200,000

1,500

100,000



Таблица Д.9 — Интервальный ряд СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">,<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872487041-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557">



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

-3,50252<x<=1,766314

2,000

2,000

0,667

0,667

1,766314<x<=7,035144

13,000

15,000

4,333

5,000

7,035144<x<=12,30397

63,000

78,000

21,000

26,000

12,30397<x<=17,57280

106,000

184,000

35,333

61,333

17,57280<x<=22,84163

91,000

275,000

30,333

91,667

22,84163<x<=28,11046

21,000

296,000

7,000

98,667

28,11046<x<=33,37929

3,000

299,000

1,000

99,667

33,37929<x<=38,64812

1,000

300,000

0,333

100,000



Таблица Д.10 — Интервальный ряд СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">,<img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1872487469-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

1,299935<x<=5,325310

5,000

5,000

1,250

1,250

5,325310<x<=9,350685

31,000

36,000

7,750

9,000

9,350685<x<=13,37606

63,000

99,000

15,750

24,750

13,37606<x<=17,40143

117,000

216,000

29,250

54,000

17,40143<x<=21,42681

109,000

325,000

27,250

81,250

21,42681<x<=25,45218

55,000

380,000

13,750

95,000

25,45218<x<=29,47756

16,000

396,000

4,000

99,000

29,47756<x<=33,50293

4,000

400,000

1,000

100,000



Таблица Д.11 — Интервальный ряд СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">,<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1872488324-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">



Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

-1,98797<x<=1,772650

1,000

1,000

0,167

0,167

1,772650<x<=5,533271

12,000

13,000

2,000

2,167

5,533271<x<=9,293892

54,000

67,000

9,000

11,167

9,293892<x<=13,05451

100,000

167,000

16,667

27,833

13,05451<x<=16,81513

166,000

333,000

27,667

55,500

16,81513<x<=20,57576

154,000

487,000

25,667

81,167

20,57576<x<=24,33638

88,000

575,000

14,667

95,833

24,33638<x<=28,09700

17,000

592,000

2,833

98,667

28,09700<x<=31,85762

8,000

600,000

1,333

100,000



Таблица Д.12 — Интервальный ряд СВ <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1872483491-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">    продолжение
--PAGE_BREAK--