Реферат: Кластерный анализ в портфельном инвестировании

--PAGE_BREAK--                           
2. Кластерный анализ в портфельном инвестировании
Общеизвестно, что изменение курсовой стоимости и дивидендов различных ценных бумаг не только в России, но и во всем мире зависит от ряда внутренних и международных факторов экономического и неэкономического характера. Эти факторы могут быть взаимосвязаны в различной степени, а тенденции изменения их динамики способны отличаться друг от друга в достаточно сильной степени. Следовательно, изменение стоимости инвестиционного портфеля в результате сложения различных тенденций с большой вероятностью оказывается достаточно сложной и практически непредсказуемой, если использовать обычный регрессионный анализ. Основные факторы воздействия влияют на различные ценные бумаги не только с разной эффективностью, но зачастую и в прямо противоположных направлениях. К примеру, повышение цен на нефть может благоприятно сказаться на ценных бумагах нефтяных корпораций, негативно отразившись на автомобилестроительном секторе.

В свете вышесказанного, перед инвесторами возникают следующие проблемы:

1) Определение с максимальной степенью точности существенных факторов и их влияние на курс ценных бумаг;

2) Составление научно-обоснованного прогноза динамики поведения этих ценных бумаг, основываясь на изучении данных факторов;

3) Составление на основе полученных сведений о фондовом рынке оптимального инвестиционного портфеля, позволяющего максимизировать прибыль от вложений при заданной степени риска.
<img width=«579» height=«336» src=«ref-1_655420714-10892.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046 _x0000_s1047 _x0000_s1048 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1052 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075 _x0000_s1076 _x0000_s1077 _x0000_s1078 _x0000_s1079 _x0000_s1080 _x0000_s1081 _x0000_s1082 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1085 _x0000_s1086 _x0000_s1087 _x0000_s1088 _x0000_s1089 _x0000_s1090 _x0000_s1091 _x0000_s1092 _x0000_s1093 _x0000_s1094 _x0000_s1095 _x0000_s1096 _x0000_s1097 _x0000_s1098 _x0000_s1099 _x0000_s1100 _x0000_s1101 _x0000_s1102 _x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1105">Рис.1  Группировка ценных бумаг со сходными тенденциями
Как теоретики, так и практики, занимающиеся оптимизацией портфеля ценных бумаг, регулярно сталкиваются с трудностями, когда перед ними возникает практически неизбежная задача разбиения множества существующих ценных бумаг на различные группы с относительно однородной структурой. Краеугольным камнем проблемы является вопрос подбора и согласования выбранных факторов так, чтобы их представление в многомерной системе координат достаточно точно производило разбиение на кластеры, характеризующиеся максимально схожими тенденциями. При этом нужно учитывать, что даже если бы и удалось подобрать точные коэффициенты для существующих количественных факторов, всегда найдутся не менее важные качественные показатели, выразить которые в количественной форме практически невозможно. В связи с этим принято группирование ценных бумаг на основе существующих индустриальных и прочих классификаций, а также отталкиваясь от априорной доходности (ex ante).

Разбиение множества ценных бумаг на отдельные кластеры в зависимости от динамики доходности осуществляется следующим образом: данные по доходности ценных бумаг на протяжении базы прогноза компонуются в общую матрицу вида:

<img width=«189» height=«104» src=«ref-1_655431606-641.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025"> [1,стр.143]



где Rkm – доходность по k-й ценной бумаге за m-й период,

<img width=«149» height=«21» src=«ref-1_655432247-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">
Далее, разбиение на кластеры происходит через вычисление евклидова расстояния между ценными бумагами p и q по формуле

<img width=«218» height=«77» src=«ref-1_655432735-1710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027"> [1,стр.144]




где m – номер периода,

s
Rm– среднеквадратическое отклонение доходности за период m.

Критическая величина разбиения предполагается равной квадратному корню из количества периодов T, то есть средней величине евклидового расстояния:

<img width=«124» height=«29» src=«ref-1_655434445-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028"> [1,стр.144]



Преимущество данной методики заключается, во-первых, в том, что она позволяет с крайне высокой степенью точности группировать ценные бумаги со сходными тенденциями в изменении доходности на протяжении всего периода, определяющего базу прогноза, что дает основания рассчитывать на сохранение подобной тенденции и в дальнейшем.

Вторым ее преимуществом является возможность полной автоматизации, что значительно облегчает работу, позволяя использовать современные вычислительные средства, а также обрабатывать однородную информацию, получаемую из электронных баз данных. Поэтому она может быть без особых затруднений внедрена не только в компьютерных системах отдельных фирм, занимающихся инвестированием, но также и на соответствующих ресурсах сети интернет.

Пожалуй, наиболее острой проблемой, возникающей перед специалистами по факторному анализу, является подбор четких и ясных критериев, позволяющих отсеять малозначимые факторы, повышающие размерность модели без увеличения ее точности, и при этом правильно определить вес для остальных факторов. Доказательством важности этого вопроса, а также отсутствия однозначно оптимальных решений, является изобилие всевозможных критериев отбора значимых компонент. Достаточно назвать такие известные методы, как расчет варимакс-критерия, n-критерий, отбор при помощи t-критерия Стьюдента и т.п.

Очевидно, что вводить в модель очередной фактор целесообразно только в том случае, если он в достаточной степени понижает уровень энтропии, а, следовательно, увеличивает значение R-квадрат. Каким образом численно выразить прирост данной величины в зависимости от количества вводимых факторов? Рассмотрим эту проблему в свете коэффициентов последовательной детерминации.

Пусть имеются N факторов X1...XN, предположительно влияющих на доходность инвестиционного портфеля. При вводе в уравнение регрессии фактора Xi показатель R-квадрат принимает некоторое определенное значение. Выберем фактор, при котором оно будет наибольшим:

<img width=«115» height=«38» src=«ref-1_655434861-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029"> [1,стр.145]



где P12 — коэффициент последовательной детерминации для данного фактора,

ryx1— парный коэффициент корреляции между доходностью и этим фактором.
Теперь вводится в полученное уравнение регрессии второй фактор таким образом, чтобы значение R-квадрат снова оказалось максимально возможным, и затем рассчитываем второй коэффициент последовательной детерминации:

<img width=«207» height=«38» src=«ref-1_655435330-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030"> [1,стр.147]




Аналогичным образом рассчитываем следующие коэффициенты:

<img width=«254» height=«77» src=«ref-1_655436040-1389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">  и т.д. [1, стр.147]



Базовый отбор факторов продолжается до тех пор, пока величина получаемых коэффициентов последовательной детерминации не станет меньше некоторого критического значения. Учитывая, что в механизм расчета скорректированной величины R-квадрат входит поправка на возрастание энтропии при вводе новых факторов, ее прирост на каждой итерации алгоритма должен быть положительным и, следовательно, критическое значение p должно быть больше нуля.

Данный метод позволяет отобрать из всех имеющихся факторов именно те, которые оказывают наибольшее влияние на доходность рассматриваемых ценных бумаг. Это позволяет существенно понизить размерность модели, создаваемой на основе методики, ускорить вычисления и при этом отбросить данные, не имеющие большого влияния на интересующие нас показатели. Как правило, от выявленных главных компонент зависит не менее 85% общей дисперсии, что лишний раз показывает эффективность выбранного метода анализа.

Теперь, когда определены методы отбора факторов и технология разбиения множества ценных бумаг на отдельные кластеры, можно приступать непосредственно к построению методики оптимизации инвестиционного портфеля. Учитывая, что в настоящее время внедрение любой экономической методики немыслимо без автоматизации, существует алгоритм, по которому надлежит производить операции для получения искомого результата: оптимизированного набора ценных бумаг, позволяющих получить максимальную прибыль при заданном уровне риска.

На первом этапе определяются исходные массивы данных, которые подлежат математической обработке.

В начале имеются следующими исходными данными: S1, S2, ..., SN – рассматриваемое множество ценных бумаг;

<img width=«187» height=«101» src=«ref-1_655437429-1109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032"> [1,стр.149]




матрица доходности ценных бумаг S1-SN за периоды [0; T],

где Rij – доходность по ценной бумаге i за j-й период;

<img width=«205» height=«101» src=«ref-1_655438538-1196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033"> [1,стр.151]




матрица факторов X1-XK за периоды [0; T],

где Xij– значение фактора Xiза j-й период;

s
п– оценка риска предполагаемого портфеля ценных бумаг.

Теперь необходимо определить доли m1, ..., mN имеющихся в инвестиционном портфеле ценных бумаг с целью максимизации доходности в следующем периоде при заданном уровне риска:

<img width=«168» height=«80» src=«ref-1_655439734-1443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034"> [1,стр.153]




где уровень доходности Riвычисляется как отношение ожидаемой в отчетный период стоимости ценной бумаги Si к курсовой стоимости в момент формирования портфеля за вычетом единицы.

Так, доходность за месяц в момент времени t=1 вычисляется следующим образом:

<img width=«110» height=«48» src=«ref-1_655441177-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035"> [1,стр.155]




В случае, когда инвестор не имеет возможностей продавать ценные бумаги без покрытия, вводится дополнительное условие: my>0, где y – номер соответствующей ценной бумаги.

Вывод: принято группирование ценных бумаг на основе существующих индустриальных и прочих классификаций.
    продолжение
--PAGE_BREAK--

3. Алгоритм оптимизации портфеля с применением кластерного анализа
Предлагаемый алгоритм можно условно разбить на четыре основные стадии:

1) Разбиение множества ценных бумаг на отдельные кластеры;

2) Определение факторов, влияющих на доходность составляющих каждого кластера. Расчет факторных весов. Построение уравнения регрессии;

3) Прогнозирование динамики выбранных факторов;

4) Вычисление ожидаемой доходности и степени риска для каждой ценной бумаги;

5) Определение оптимального набора ценных бумаг и их долевого веса в инвестиционном портфеле для обеспечения максимизации доходности.
Теперь можно рассмотреть эти стадии подробнее:

1. Разбиение множества ценных бумаг на отдельные кластеры.

Эта стадия начинается с формирования таблицы эвклидовых расстояний между имеющимися ценными бумагами:

Таблица 1 – Таблица эвклидовых расстояний

Ценные бумаги:

S1

S2

…Sj…

SN

S1

-

r1,2

r1,j

r1,N

S2

 

-

r2,j

r2,N

…Si…

 

 

ri,j

ri,N

SN

 

 

 

-

Расстояния вычисляются по формуле

<img width=«194» height=«77» src=«ref-1_655441680-1600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036"> [2,стр.223]




Две ценные бумаги с наименьшим расстоянием объединяются в кластер, доходность которого вычисляется как средняя арифметическая доходностей этих ценных бумаг, после чего процедура расчета повторяется. Процесс объединения в кластеры прекращается, когда минимальное расстояние между группами превысит критическое значение:

<img width=«84» height=«29» src=«ref-1_655443280-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037"> [2,стр.224]




В результате описанной процедуры, вместо случайного множества ценных бумаг, мы получаем набор упорядоченных кластеров, объединенных на основе общих тенденций в динамике доходности. При этом достигаются сразу две важные цели: во-первых, значительно сокращается количество переменных, что в заметной степени упрощает вычисления, а во-вторых, уменьшается доля воздействия случайных факторов, которые могут в отдельные моменты коррелировать с доходностью отдельных ценных бумаг. В рамках кластера за счет произведенной диверсификации вероятность случайных совпадений уменьшается во много раз, что дает возможность гораздо более ясно определить факторы, реально воздействующие на доходность.
2. Определение факторов, влияющих на доходность составляющих каждого кластера. Расчет факторных весов. Построение уравнения регрессии.

Для того, чтобы вычислить величину влияния каждого фактора на соответствующий кластер ценных бумаг, представим доходность по кластерам в следующем виде:

<img width=«331» height=«26» src=«ref-1_655443618-995.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038"> [2,стр.231]




где Fi – коэффициент фактора Xi в уравнении множественной регрессии,

Et– ошибка в период времени t. При этом величина T должна значительно (не менее чем в пять раз) превышать количество факторов k.

Значимые факторы отбираются при помощи описанного выше метода с применением коэффициентов последовательной детерминации. Факторы отбираются последовательно, а выбор определяется путем максимизации коэффициента

<img width=«268» height=«38» src=«ref-1_655444613-785.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> [2,стр.232]




Процесс добавления факторов продолжается до тех пор, пока максимальный скорректированный коэффициент последовательной детерминации не окажется отрицательной величиной. Для любого выбранного количества факторов коэффициенты F1, F2,...,Fk рассчитываются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов ошибок регрессии за период базы прогноза:

<img width=«90» height=«45» src=«ref-1_655445398-638.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040"> [2,стр.236]




Этой цели можно достигнуть путем математических преобразований матрицы факторных весов. В настоящее время существует ряд программных пакетов, позволяющих производить данные расчеты с высокой скоростью и за короткое время.

Исследование, проведенное Е.А. Дорофеевым в работе «Влияние колебаний экономических факторов на динамику российского фондового рынка», выявило значительную зависимость курсов акций отечественных компаний от величины ВВП и индекса CPI.
3. Прогнозирование динамики выбранных факторов

Результатом вышеуказанных вычислений является получение формул множественной регрессии для каждого кластера, с помощью которых, опираясь на статистические данные о динамике факторов, можно получить прогноз развития доходности кластеров на последующий период и оценить величину существующего риска. Преимущество прогнозирования факторов по сравнению с прогнозированием курсов отдельных ценных бумаг состоит в наличии значительно большего количества авторитетных исследований по движению макроэкономических факторов, а также статистических сводок органов государственного регулирования.

Четвертый этап будет посвящен переходу от изучения общих кластерных тенденций к расчету индивидуальных уравнений регрессии для каждой из имеющихся ценных бумаг.
4. Вычисление ожидаемой доходности и степени риска для каждой ценной бумаги.

В большинстве моделей, опирающихся на CAPM, для ценных бумаг рассчитывается бета-коэффициент, отражающий взаимосвязь между динамикой доходности изучаемой ценной бумаги и существующими рыночными тенденциями. Простая линейная регрессия по отношению к рыночной динамике может оказаться слишком неточной, так как не позволяет учитывать специфические факторы, оказывающие на данную ценную бумагу влияние весомее, чем на фондовый рынок в целом. Поэтому для более подробного изучения прибегают к более эффективным средствам, в частности: к факторному анализу. Без сопоставления с существующими тенденциями велик риск усиления влияния случайных факторов. Таким образом, для получения достоверного результата методика анализа рынка ценных бумаг должна совмещать оба вышеописанных подхода.

Достаточно высокая эффективность прогнозирования, основанная на использовании бета-коэффициента показывает, что между отдельными ценными бумагами и состоянием фондового рынка в целом наблюдается существенная зависимость, которую можно использовать для проведения оценки будущей доходности. При этом корреляция доходности ценных бумаг со средней доходностью по кластеру значительно выше, чем с рынком в целом. Поэтому в данной методике бета-коэффициент каждой отдельной ценной бумаги рассчитывается, опираясь на не рыночный индекс, а относительно кластера:

<img width=«104» height=«49» src=«ref-1_655446036-805.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041"> [2,стр.240]




где   ric – коэффициент корреляции между доходностью ценной бумаги и средней доходностью кластера, к которому она принадлежит,

s
iи s
с– соответственно их среднеквадратические отклонения.

После расчета бета-коэффициента доходность каждой из исследуемых ценных бумаг можно будет выразить при помощи следующего уравнения регрессии:

<img width=«176» height=«30» src=«ref-1_655446841-1022.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042"> [2,стр.245]




а ожидаемая в следующем периоде доходность будет равна

<img width=«221» height=«30» src=«ref-1_655447863-1064.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> [2,стр.249]




При этом коэффициент неопределенности для каждой ценной бумаги равняется

<img width=«89» height=«29» src=«ref-1_655448927-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> [2, стр.251]




а величина риска —

<img width=«176» height=«69» src=«ref-1_655449305-1161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> [2,стр.253]




5.Определение оптимального набора ценных бумаг и их долевого весам в инвестиционном портфеле для максимизации доходности.

После всех проведенных преобразований получена для каждой ценной бумаги величину ожидаемой доходности и оценку имеющегося риска. Теперь задача сводится к тому, чтобы определить долевой вес этих ценных бумаг в инвестиционном портфеле с целью максимизации прибыли при заданном уровне риска s
п.

Как известно, множество эффективных портфелей расположено на так называемой эффективной границе, не ниже точки минимизации риска. Следовательно, в случае наличия определенности относительно желаемого уровня риска оптимальная точка для заданного набора ценных бумаг может быть определена однозначно:
Основываясь на данных, полученных на трех предыдущих этапах, исходные формулы выглядят следующим образом:

<img width=«198» height=«69» src=«ref-1_655450466-1166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">
<img width=«166» height=«98» src=«ref-1_655451632-1434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047"> [2, стр.260]


Как уже отмечалось, в случае необходимости добавляется условие не отрицательности долей mi.

Вывод: полученная задача легко решается как при помощи стандартно используемых вычислительных методов, так и большинством математических и экономических программных пакетов (MathCAD, SAS, Solver for MS Excel и т.д.).
4. Кластеризация «голубых фишек» российского фондового рынка

В данном разделе проведен анализ наличия кластеров наиболее ликвидных акций российского рынка. Результаты кластеризации отражены на рис. 2.

Т.к. данный анализ построен на корреляции переменных, то мы видим, что наиболее близкие друг другу переменные это РАО ЕЭС (EESR), Мосэнерго (MSNG), Сургутнефтегаз (SNGS), Газпром (GSPBEX) и Татнефть (TATN). То есть на протяжении больше чем одного года, котировки данных акций кореллировали друг с другом, причем очень сильно. Учитывая, что это происходило в прошлом, скорее всего так будет и в будущем.

Следующий кластер — Сибнефть (SIBN) и Ростелеком (RTKM).Также очень зависимы друг от друга.

Рис. 2 «Результаты кластеризации».

<img width=«599» height=«449» src=«ref-1_655453066-1679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">
Остальные два кластера имеют большое расстояние в Евклидовом пространстве, т.е. котировки этих акций не кореллируют между собой.

Для оценки надежности данных высказываний используем метод корелляции Спирмена непараметрической статистики.

Таблица 2 – Насколько надежен первый кластер.

Сравниваемые эмитенты

Коэффициент корреляции
Спирмена R

Уровень значимости
p-level

EESR & GSPBEX

0,806077

0,000000

EESR & TATN

0,785205

0,000000

EESR & MSNG

0,943979

0,000000

EESR & SNGS

0,903574

0,000000

SNGS & EESR

0,903574

0,000000

SNGS & MSNG

0,863814

0,000000

TATN & GSPBEX

0,779617

0,000000

TATN & MSNG

0,753098

0,000000

TATN & SNGS

0,874308

0,000000

Корелляция достаточно сильная, с уровнем значимости менее 0.05. Вывод: Кластер надежен

Таблица 2 – Насколько надежен второй кластер (Сибнефть и Ростелеком)

Сравниваемые эмитенты

Коэффициент корелляции
Спирмена R

Уровень значимости
p-level

RTKM & SIBN

0,946897

0,00

Вывод: Кластер надежен, корелляция достаточно высокая, с уровнем значимости менее 0.05

Таким образом, при оптимизации структуры портфеля, можно объединить некоторые акции в отдельные кластеры, что при большом количестве активов существенно упрощает расчеты.
    продолжение
--PAGE_BREAK--