Реферат: Статистическая проверка гипотез

--PAGE_BREAK--3. Проверка однородности результатов эксперимента в целях исключения грубых ошибок


Результаты эксперимента удобно оформлять в виде таблицы. В графах 2-5 содержится план эксперимента (значение факторов), в остальных графах – результаты опытов. Пусть поводится Nсерий экспериментов серии (то есть в каждом из Nточек факторного пространства проводится по <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1424283396-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030"> опытов). Обозначим:

<img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1424283484-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">-значение j-того фактора в i-той серии;( j= 1,…,n).

<img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1424283598-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">-значения отклика (переменной состояния ) в j-ом параллельном опыте i-ой серии .

Вычислим оценки математического ожидания для каждой серии:
Таблица 1.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Грубые ошибки искажают результаты эксперимента и должны быть исключены.Чаще всего при этом используют r-критерий .
В соответствии с этим критерием результаты эксперимента в i-ой серии, в которой предполагается ошибка, ранжируется, т.е. располагается в неубывающем порядке <img width=«120» height=«24» src=«ref-1_1424286410-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">Одно из крайних значений считается промахом (ошибкой ), если оно далеко отстоит от всех остальных.

Проверяется нулевая гипотеза <img width=«24» height=«24» src=«ref-1_1424286635-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">:<img width=«51» height=«24» src=«ref-1_1424286744-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> не выделяется значимо среди остальных результатов серии.

Альтернативная гипотеза: отличие <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_1424286744-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> от остальных значимо.

Если сомнительным показалось наименьшие значение <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1424287060-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">, то наблюдаемое значение критерия определяется формулой:
<img width=«172» height=«49» src=«ref-1_1424287166-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">
Если сомнительным оказалась наблюдение в серии значение <img width=«22» height=«24» src=«ref-1_1424287598-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">, то
<img width=«172» height=«49» src=«ref-1_1424287707-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">
По таблице распределения r-критерия, используя число степеней свободы <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1424288141-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> и уровень значимости <img width=«14» height=«17» src=«ref-1_1424288283-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">определяется критическое значение критерия
<img width=«91» height=«25» src=«ref-1_1424288370-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">.
Если <img width=«77» height=«25» src=«ref-1_1424288577-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">, то<img width=«24» height=«24» src=«ref-1_1424286635-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">принимается, то есть результаты эксперимента можно считать однородными. В противном случае резко выделяющийся результат эксперимента исключается из дальнейшей обработки. Чтобы не нарушать методику дальнейшей обработки надо или исключить столбец содержащий измерение, признанное ошибкой, или в этой точке произвести дополнительный опыт.





4. Проверка гипотезы о воспроизводимости опытов


При проведении экспериментов необходимо, чтобы опыты были воспроизводимы, т.е. результаты опытов, поставленных в одинаковых условиях, не имели существенных различий.

Выбираем нулевую гипотезу H
0 : опыты воспроизводимы и альтернативную гипотезуH
1 : опыты не воспроизводимы.

Для проверки справедливости H
ставится N-серий экспериментов, в каждой серии по m-параллельных опытов. Параллельными называются опыты, проводимые в одинаковых условиях, т.е. при одних и тех же значениях входных переменных. Следовательно, в факторном пространстве выбирается Nточек и в каждой точке проводится по mопытов. Результаты экспериментов заносятся в таблицу:
Таблица 2.

 №серии

Результаты экспериментов

 <img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1424288876-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072"> 

<img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1424288976-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">

1

2

:

:

 N

Y11 Y12… Y1m

Y21 Y22… Y2m

 :

 :

YN1 YN2… YNm

 <img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1424289084-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">

 <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1424289186-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">

 :

 <img width=«22» height=«25» src=«ref-1_1424289291-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">

<img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1424289403-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077"> 

<img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1424289512-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">

:

<img width=«22» height=«24» src=«ref-1_1424289621-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">



<img width=«113» height=«57» src=«ref-1_1424289737-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">- оценка математического ожидания результатов эксперимента в i-ой серии.

<img width=«167» height=«55» src=«ref-1_1424290189-671.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">- оценка дисперсии результатов эксперимента в i-ой серии.
Для проверки нулевой гипотезы выбирается критерий Кохрена (G
):

<img width=«114» height=«88» src=«ref-1_1424290860-608.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">.
По таблице распределения критических точек критерия Кохрена в зависимости от уровня значимости q, числа степеней свободы f
=
m
-1и числа серий Nопределяем критическую точку:


Gkp

=
G
(
q
,
f
,
N
).
По результатам эксперимента вычисляем наблюдаемое значение критерия:
<img width=«136» height=«88» src=«ref-1_1424291468-656.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">.
Если G
набл
<
G
кр, то гипотеза H
принимается, в противном случае принимается H
1. Если гипотеза H
не принята, то для воспроизводимости результатов эксперимента необходимо или повысить число параллельных опытов m
,или увеличить точность измерения переменной состояния. Если опыты воспроизводимы, то вычисляется ошибка опыта (дисперсия воспроизводимости опытов)
<img width=«271» height=«48» src=«ref-1_1424292124-856.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">.
Дисперсия воспроизводимости опытов S2является оценкой дисперсии переменной состояния sy2.

Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости: f

=
N
(
m
-1).

В некоторых лабораторных экспериментах повторные измерения отклика в параллельных опытах дают один и тот же результат. Тогда для расчета дисперсии воспроизводимости можно воспользоваться метрологическими характеристиками измерительных приборов. В паспортных данных прибора указывается класс его точности ( K, % от предела измерения <img width=«34» height=«22» src=«ref-1_1424292980-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">). Это позволяет определить максимальную ошибку измерения
<img width=«149» height=«22» src=«ref-1_1424293104-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">. (1)
Случайная ошибка прибора подчиняется нормальному закону распределения. В машиностроении обычно считается, что <img width=«86» height=«25» src=«ref-1_1424293379-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">, при этом вероятность попадания в интервал <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_1424293575-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> равна 0,9973 и является технической единицей.

В радиоэлектронной аппаратуре стабильность параметров активных и пассивных элементов значительно ниже и надежность 0,95 вполне приемлема. Поэтому выбираем <img width=«86» height=«25» src=«ref-1_1424293784-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">. Подставляя значение <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1424293985-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">в выражение (1), получим дисперсию
<img width=«117» height=«49» src=«ref-1_1424294118-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">.
Дисперсию воспроизводимости полагаем равной
<img width=«152» height=«49» src=«ref-1_1424294497-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">.


Пример:

Проверить гипотезу о воспроизводимости опытов, в которых переменная состояния y
зависит от трех факторовx
1
,
x
2
,
x
3
. Выбрать уровень значимости q
=0,05.

Проведены 8 серий по 2 параллельных опыта в каждой серии. Результаты эксперимента и расчеты сведены в таблицу:
Таблица 3.


№

серии

X1

X2

X3

Y1

Y2

<img width=«21» height=«22» src=«ref-1_1424294934-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">

Si2

1

0.40

0.20

24.00

0.71

0.77

0.74

0.001800

2

0.40

0.38

36.00

0.61

0.54

0.58

0.002450

3

0.40

0.38

24.00

0.65

0.59

0.62

0.001800

4

0.40

0.20

36.00

0.75

0.72

0.74

0.000450

5

0.60

0.20

24.00

0.73

0.64

0.69

0.004050

6

0.60

0.20

36.00

0.90

0.79

0.84

0.006050

7

0.60

0.38

24.00

0.74

0.71

0.73

0.000450

8

0.60

0.38

36.00

0.80

0.78

0.79

0.000200



Для каждой серии опытов вычисляем среднее значение <img width=«21» height=«22» src=«ref-1_1424294934-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"> и дисперсии результатов Si2. Далее выбираем <img width=«131» height=«36» src=«ref-1_1424295188-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095"> и вычисляем

 <img width=«109» height=«45» src=«ref-1_1424295513-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">.Наблюдаемое значение критерия:
<img width=«269» height=«88» src=«ref-1_1424295931-1390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">.
Значение критерия Кохрена по таблице: G
кр
=0.82.

Так как G
набл
<
G
кр ,то нулевая гипотезаH0 принимается.

Опыты воспроизводимы. Ошибка опыта S

2
=0.0021562.





    продолжение
--PAGE_BREAK--5. Проверка гипотезы о нормальном распределении ошибок эксперимента


Как правило, ошибки результатов экспериментов распределены по нормальному закону .

Выберем следующие гипотезы:

H
: ошибки эксперимента распределены по нормальному закону;

H
1: ошибки эксперимента не распределены по нормальному закону.

Для проверки гипотезы H
используется W–критерий.

Пусть проведено m
параллельных опытов( 3 £

m

£
50 ).

 Для обработки результатов эксперимента нужно:

1)    Расположить значения переменной состояния в неубывающем порядке:
y
1
£

y
2
£
...
£

ym.
2)    Вычислить: <img width=«160» height=«55» src=«ref-1_1424297321-634.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">.

3)    Вычислить: <img width=«453» height=«48» src=«ref-1_1424297955-1156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">где <img width=«40» height=«41» src=«ref-1_1424299111-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">, если m-чётное и <img width=«61» height=«41» src=«ref-1_1424299266-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">,

если m-нечётное.

 Коэффициенты ai
выбираются из таблицы в зависимости от m.

4)    Вычислить наблюдаемое значение критерия:

<img width=«73» height=«46» src=«ref-1_1424299451-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102"> 

5)    По таблице критических точек найти W
кр-критическое значение критерия в зависимости от числа степеней свободы f

=
mи уровня значимости q:

W
кр

= W(q, f );

6) Если наблюдаемое значение больше критическогоW
набл > W
кр(критическая область левосторонняя), то гипотеза H
0 принимается, т.е. ошибки эксперимента распределены по нормальному закону. В противном случае, еслиW
набл<W
кр, то гипотеза H
0 отвергается.

Пример:

Проведено 16 параллельных опытов. Получены следующие значения переменной состояния Y:

0.035 0.047 0.055 0.067 0.066 0.077 0.078 0.088

0.95                           0.1 0.121 0.136 0.153 0.176 0.22 0.231

m = 16, q = 0,05, l = 16/2 = 8.

Отметим, что результаты эксперимента расположены в неубывающем порядке.
<img width=«224» height=«41» src=«ref-1_1424299688-643.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">;

<img width=«204» height=«36» src=«ref-1_1424300331-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">;
где значения <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1424300832-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> для m= 16 взяты из таблицы: <img width=«361» height=«48» src=«ref-1_1424300932-963.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">

Наблюдаемое значение критерия:
<img width=«200» height=«36» src=«ref-1_1424301895-538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">.
Критическое значение критерия: <img width=«169» height=«25» src=«ref-1_1424302433-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">

Так как W
набл
>
W
кр, , то ошибки эксперимента распределены по нормальному закону.
6. Проверка гипотезы о виде распределения. ( Критерий согласия Пирсона )


Пусть проведены Nэкспериментов в одинаковых условиях. Проверяется гипотеза H
0
:результаты эксперимента распределены по закону А. Критерий для проверки выдвинутой гипотезы называется критерием согласия.

Разобьем интервал полученных результатов эксперимента [Ymin

,
Ymax
]на mравных интервалов.


[
Yi
-1
,
Yi

];
i
=1,...,
m
.
Обозначим через Yi
*середину i-го интервала, ni
— число результатов, попавших в i-й интервал. Получим ряд распределения:



Yi*

Y1*

Y2*

...

Ym*

ni

n1

n2

...

nm

 

Пусть в предположении, что результаты эксперимента имеют распределениеА, вычислены теоретические частоты ni
’.

В качестве статистического критерия выбирается случайная величина:
<img width=«121» height=«51» src=«ref-1_1424302872-521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">
Чем меньше значение, принимаемое c
2, тем ближе между собой теоретическое и эмпирическое распределения. Случайная величина c
2имеет известное распределение Пирсона или c
2.— распределение.

Критическое значение критерия определяется по таблице распределения критических точек по заданному уровню значимости qи числу степеней свободы f:


f
=
m
-
r
-1;
где r-число параметров распределения, определяемых по результатам эксперимента. Для нормального распределения r
=2, для распределения Пуассона и показательного распределения r
=1.

Наблюдаемое значение критерия c
2
наблрассчитывается по результатам экспериментов
<img width=«135» height=«51» src=«ref-1_1424303393-553.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">.
Если c
2
набл<c
2
кр, то гипотеза H
0 принимается, т. е. результаты эксперимента распределены закону А. Если c
2
набл>c
2
кр, то H
0 -отвергается (критическая область правосторонняя).


    продолжение
--PAGE_BREAK--6.1 Расчёт теоретических частот для нормального распределения


1. Вычисляем оценки математического ожидания и дисперсии:
<img width=«106» height=«45» src=«ref-1_1424303946-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">

<img width=«172» height=«45» src=«ref-1_1424304347-590.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">

<img width=«69» height=«45» src=«ref-1_1424304937-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">
2. Вычисляем границы интервалов нормированной переменной Z:




<img width=«79» height=«49» src=«ref-1_1424305254-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">,i
= 0,1,….,
m
.


3.     Выберем по таблице значения функции Лапласа Ф(Zi
);

4.     Найдём вероятность попадания значений нормально распределённой случайной величины Zв i-й частичный интервал:
<img width=«211» height=«24» src=«ref-1_1424305490-480.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">
5.     Вычисляем теоретические частоты: <img width=«66» height=«25» src=«ref-1_1424305970-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">.

Пример:

Пусть даны результаты 75 экспериментов. Проверить гипотезу о нормальном распределении результатов экспериментов:



-50

-39

-48

-56

-49

-44

-39

-42

-56

-46

-39

-50

-52

-48

-55

-46

-37

-51

-52

-45

-46

-51

-43

-49

-35

-57

-48

-42

-42

-54

-33

-44

-56

-44

-43

-41

-47

-42

-47

-59

-54

-53

-55

-34

-53

-50

-36

-53

-53

-55

-54

-39

-53

-42

-49

-45

-48

-50

-48

-56

-52

-46

-53

-56

-57

-42

-53

-50

-44

-46

-59

-62

-57

-36

-43



Начало первого интервала:

-64



Длина интервала:

4





Разобьем интервал [–64,-32] на частичные интервалы с шагом, равным 4. Для каждого частичного интервала подсчитаем число результатов, попавших в данный интервал. Обозначим эти частоты ni. Вычислим середины частичных интервалов <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1424306143-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">.

Полученные результаты вычислений занесем в таблицу.

Находим оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения <img width=«121» height=«45» src=«ref-1_1424306249-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">(1/75)·(-65-290-972-650-644-788-190-170) =

= -3566/75=-47.54;

где Y*i– середина i-го интервала.
<img width=«185» height=«45» src=«ref-1_1424306664-532.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">(1/74)×(209.09+547.058+751.1688+ <img width=«2» height=«2» src=«ref-1_1424307196-73.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026">

+78.6708+33.2024+429.6824+455.058+916.658) = =3420.5884/74=46.224 ;

Sy= 6.7988=6.80;
Вычислим границы интервала в кодированных переменных:
<img width=«106» height=«28» src=«ref-1_1424307269-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">.
Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в i-тый частичный интервал

Pi= Ф(Zi+1) — Ф(Zi); i=1,...,m,

где Ф(z) — функция Лапласа.

Вычислим теоретические частоты ni' =N×Pi.

Величины Zi, Piи ni' заносим в таблицу.

Определим наблюдаемое значение критерия
<img width=«161» height=«45» src=«ref-1_1424307504-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">

Kнабл= 0,9168 + 0,0526 + 4,008 + 0,69 + 0,4303 + 0,1555 + 0,3874 + 0,74137) = 7,38197;

Найдём критическое значение критерия Пирсона для уровня значимости q=0.1 и числа степеней свободы
f=m-2-1=8-2-1=5:

Kкр=c2 (q,f)= c2(0.1;5)=9.236.
Таблица 4.

№

<img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1424307992-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">

ni

<img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1424306143-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">

Z i

Ф(Z i)

Pi

ni1

ni

(ni1-ni)2

 ni1

1

2

3

4

5

6

7

8

-64

-60

-56

-52

-48

-44

-40

-36

-32

1

5

18

13

14

14

5

5

-62

-58

-54

-50

-46

-42

-38

-34

-¥

-1.83

-1.24

-0.65

-0.06

0.52

1.11

1.69

+¥

-0.5

-0.4664

-0.3925

-0.2415

-0.0239

0.19847

0.3665

0.45449

0.5

0.0336

0.0739

0.1504

0.2182

0.2224

0.1680

0.0880

0.0455

åPi=1

2.52

5.54

11.277

16.36

16.679

12.6

6.599

3.41

1

5

18

13

14

14

5

5

0.9168

0.0526

4.008

0.69

0.4303

0.1555

0.3874

0.74137



Так как Kнабл < Kкр, то гипотеза H0справедлива, т.е. результаты эксперимента распределены по нормальному закону.





    продолжение
--PAGE_BREAK--7.Проверка гипотезы о согласованности мнений экспертов (априорное ранжирование переменных)


Суть метода состоит в том, что специалистам (экспертам), хорошо знакомым с исследуемым процессом, предлагается расположить факторы в порядке убывания степени их влияния на переменную состояния.

Пусть приглашены mэкспертов, которым предложено проранжировать nфакторов: x1, x2,...,xn. Обозначим через аij
— ранг, выставляемый i-ым экспертом j-му фактору (1£а
ij
£n; i=1,...,m; j=1,...,n).

Результаты опроса заносятся в сводную таблицу:
Таблица 5.



Сумма рангов по строке (сумма рангов, выставляемых конкретным экспертом) для всех строк одинакова
<img width=«55» height=«42» src=«ref-1_1424308207-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">.
Среднее значение рангов в строке:
<img width=«36» height=«41» src=«ref-1_1424308413-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">
Среднее значение суммы рангов фиксированного фактора:

<img width=«84» height=«42» src=«ref-1_1424308564-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">
По результатам опроса экспертов проверяется гипотеза H
: мнение экспертов согласованы, при альтернативной гипотезе H
1: мнения экспертов не согласованы. Вычисляется коэффициент согласия (коэффициент конкордации):
<img width=«102» height=«46» src=«ref-1_1424308814-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">,
гдеS
(
d
2
)— сумма квадратов отклонения суммы рангов от средней суммы:
<img width=«165» height=«51» src=«ref-1_1424309323-679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">,

а <img width=«171» height=«41» src=«ref-1_1424310002-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">.
Если мнения экспертов согласованны, то:
<img width=«121» height=«24» src=«ref-1_1424310553-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">
Если мнения экспертов рассогласованны, то: S
(
d
2
) близко к0.

Таким образом, получаем, что если мнения экспертов согласованны, то коэффициент конкордации W
= 1. Если мнения экспертов полностью рассогласованны, то W
»
.

Для проверки нулевой гипотезы в качестве статистического критерия выбираем случайную величину (n
-1)
×
m
×
W. Доказано, что при n
>7эта случайная величина имеет c
2.— распределение с числом степеней свободы f
=
n
— 1. Таким образом, критическое значение критерия определяется по таблице критических точек c
2.-распределения в зависимости от qи f. Наблюдаемое значение:


c
2.набл.= (
n
-1)
×
m
×
W
Если c
2.набл.>
c
2.кр., то мнения экспертов согласуются. В противном случае мнения экспертов рассогласованны (критическая область левосторонняя).

Если из нескольких факторов эксперт ни одному не может отдать предпочтение, то в этом случае в таблицу ранжирования этим факторам он выставляет одинаковые дробные ранги. Коэффициент конкордации вычисляется по формуле:
<img width=«186» height=«67» src=«ref-1_1424310992-809.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">,
где
<img width=«109» height=«45» src=«ref-1_1424311801-462.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">,
где i
— номер эксперта;

k
— номер повторения;

tik
— число одинаковых рангов в k-ом повторении.

Если мнения экспертов согласованны, то строится ранжировочная диаграмма. В ней по оси абсцисс откладываются факторы, по оси ординат — суммы рангов в обратном порядке. По виду диаграммы судят о значимом или незначимом влиянии факторов на переменную состояния и об использовании факторов в основном эксперименте.

Пример:

Для некоторого технологического объекта рассматриваются шесть факторов, влияющих на переменную состояния. Мнения четырёх экспертов приведены в таблице. Проверить гипотезу о согласованности экспертов и, если она справедлива, то изобразить гистограмму ранжирования.
Таблица 7.

№ф./ №спец

x
1


x
2


X
3


X
4


x
5


x
6


ti1

t3i1-ti1

ti2

t3i2 — ti2

Ti

1

1.5

5

1.5

4

3

6

2

6





6

2

2

3

1

4.5

4.5

6

2

6





6

3

2

3

1

5.5

5.5

4

2

6





6

4

1.5

3.5

1.5

5

3.5

6

2

6

2

6

12

<img width=«44» height=«36» src=«ref-1_1424312263-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">

7

14.5

5

19

16.5

2.2











<img width=«60» height=«34» src=«ref-1_1424312498-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">

-7

0.5

-9

5

2.5

8











dj2

49

0.25

81

25

6.25

64













m=4; n=6.

Средняя сумма рангов в столбце:
<img width=«125» height=«41» src=«ref-1_1424312781-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">.

<img width=«141» height=«46» src=«ref-1_1424313076-538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">.
Вычислим коэффициент конкордации:
<img width=«172» height=«71» src=«ref-1_1424313614-780.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"><img width=«213» height=«61» src=«ref-1_1424314394-684.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">.




Наблюдаемое значение критерия определяется по формуле:


c
2.набл=m(n-1)W=4×5×0,805=16,1..
Критическое значение критерия находим в таблице для уровня значимости q=0.05 и числа степеней свободы f= n— 1 = 6 – 1 = 5:


c
2.кр.=c
2.(0,05;5)=11,07.
Так как c
2.набл.>
c
2.кр., то мнения экспертов согласованны.
<img width=«12» height=«320» src=«ref-1_1424315078-219.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027"><img width=«310» height=«12» src=«ref-1_1424315297-144.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028"> åаij
<img width=«12» height=«2» src=«ref-1_1424315441-74.coolpic» v:shapes="_x0000_s1029"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_1424315515-74.coolpic» v:shapes="_x0000_s1030"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_1424315515-74.coolpic» v:shapes="_x0000_s1031"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_1424315441-74.coolpic» v:shapes="_x0000_s1032"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_1424315515-74.coolpic» v:shapes="_x0000_s1033"><img width=«12» height=«2» src=«ref-1_1424315441-74.coolpic» v:shapes="_x0000_s1034"> 0
<img width=«2» height=«50» src=«ref-1_1424315885-77.coolpic» v:shapes="_x0000_s1035"><img width=«2» height=«12» src=«ref-1_1424315962-74.coolpic» v:shapes="_x0000_s1036"><img width=«40» height=«2» src=«ref-1_1424316036-76.coolpic» v:shapes="_x0000_s1037"><img width=«41» height=«2» src=«ref-1_1424316112-76.coolpic» v:shapes="_x0000_s1038"><img width=«2» height=«184» src=«ref-1_1424316188-100.coolpic» v:shapes="_x0000_s1039"><img width=«40» height=«2» src=«ref-1_1424316288-76.coolpic» v:shapes="_x0000_s1040"><img width=«2» height=«194» src=«ref-1_1424316364-101.coolpic» v:shapes="_x0000_s1041"><img width=«40» height=«2» src=«ref-1_1424316465-76.coolpic» v:shapes="_x0000_s1042"> 10

<img width=«2» height=«31» src=«ref-1_1424316541-76.coolpic» v:shapes="_x0000_s1043"><img width=«2» height=«137» src=«ref-1_1424316617-95.coolpic» v:shapes="_x0000_s1044"> 

<img width=«2» height=«108» src=«ref-1_1424316712-91.coolpic» v:shapes="_x0000_s1045"><img width=«2» height=«21» src=«ref-1_1424316803-75.coolpic» v:shapes="_x0000_s1046"><img width=«2» height=«79» src=«ref-1_1424316878-86.coolpic» v:shapes="_x0000_s1047"><img width=«41» height=«2» src=«ref-1_1424316112-76.coolpic» v:shapes="_x0000_s1048"> 20

<img width=«2» height=«59» src=«ref-1_1424317040-77.coolpic» v:shapes="_x0000_s1049"><img width=«40» height=«2» src=«ref-1_1424317117-76.coolpic» v:shapes="_x0000_s1050"> 

 

<img width=«22» height=«2» src=«ref-1_1424317193-75.coolpic» v:shapes="_x0000_s1051"> 30 X

 X3 X1 X2 X5 X4 X6

Рис.2. Ранжировочная гистограмма.
    продолжение
--PAGE_BREAK--


8. Уравнение линейной регрессии. Коэффициент корреляции. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции


После отсеивания незначимых факторов проверяется наличие корреляционных связей между факторами и между факторами и переменной состояния. Из статистики известно, что линейная связь между величинами Xи Yоценивается с помощью коэффициента корреляции.
<img width=«187» height=«46» src=«ref-1_1424317268-629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">
Пусть проведены N
экспериментов, в результате которых получены следующие значения величин Xи Y:





Нанесём результаты экспериментов на координатную плоскость в виде точек, координатами которых является xi

,
y

i
, получим корреляционное поле
<img width=«189» height=«197» src=«ref-1_1424317897-3406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"><img width=«194» height=«200» src=«ref-1_1424321303-7091.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">




<img width=«197» height=«195» src=«ref-1_1424328394-3280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">

Рис.3. Корреляционное поле.
На рис.3а) – явно линейная зависимость между Xи Y,

на рис.3б) –зависимость нелинейная,

на рис.3в) – зависимость между Xи Yотсутствует.

Простейшим видом эмпирической формулы является линейная зависимость
Y= aX+ b.
Функцию f(x) = ax+ bназывают линейной регрессией Yна X.

Существуют различные методы вычисления коэффициентов aи b: метод “натянутой нити”, метод сумм и метод наименьших квадратов.

 Рассмотрим метод “натянутой нити”.

 Нанесём результаты эксперимента на координатную плоскость (см. рис.4)). Мысленно натянем нить таким образом, чтобы по обе стороны от неё оставалось приблизительно равное число точек, при этом суммы расстояний от точек до нити с обеих сторон должны быть одинаковы и минимальны.




<img width=«305» height=«288» src=«ref-1_1424331674-7567.coolpic» v:shapes="_x0000_s1052">
Рис.4. Метод ”натянутой нити”.
На прямой, совпадающей с направлением нити, выберем две точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2). Подставим координаты точек в уравнение y=ax+b. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными aи bи решаем её
<img width=«105» height=«48» src=«ref-1_1424339241-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">

Составим уравнение y=ax+b, используя решение (a,b) системы.


8.1 Метод наименьших квадратов


Будем искать уравнение регрессии в виде линейной зависимости:
<img width=«136» height=«51» src=«ref-1_1424339607-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">




Коэффициенты aи a1определяются из условия: сумма квадратов отклонений экспериментальных значений yот рассчитанных по уравнению регрессии должна быть минимальной.
<img width=«312» height=«45» src=«ref-1_1424340199-926.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">
Для отыскания минимума составим систему уравнений
<img width=«236» height=«100» src=«ref-1_1424341125-1418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">
Решая эту систему, получаем значения коэффициентов:
<img width=«100» height=«77» src=«ref-1_1424342543-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">
Обозначим через rxyоценку коэффициента линейной корреляции:
<img width=«96» height=«49» src=«ref-1_1424342940-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">.
Тогда коэффициенты регрессии определяются равенствами

<img width=«96» height=«80» src=«ref-1_1424343229-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">

 Аналогичные вычисления для второго уравнения регрессии x
=
b
1
y
+
b

=
g
(
y
)дают следующие значения коэффициентов:
<img width=«99» height=«80» src=«ref-1_1424344229-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">.
Тогда уравнение регрессии имеет вид:
<img width=«138» height=«48» src=«ref-1_1424344685-533.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">.
Свойства коэффициента линейной корреляции:

1.Коэффициент линейной корреляции rxyпо абсолютной величине не превышает 1: <img width=«48» height=«29» src=«ref-1_1424345218-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">

2.Если Xи Y(случайные величины) независимы, то rxy
=0,обратное утверждение верно не всегда.

3.Если rxy
=
±
1, то величины X
,
Yсвязаны функциональной линейной зависимостью.

4.Если <img width=«60» height=«29» src=«ref-1_1424345390-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">, то зависимость Xи Yстроят в виде линейной функции. В случае <img width=«62» height=«29» src=«ref-1_1424345582-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">рассматриваются другие виды зависимости, например, квадратичная зависимость, гиперболическая, логарифмическая:
<img width=«107» height=«24» src=«ref-1_1424345775-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">, <img width=«186» height=«41» src=«ref-1_1424345989-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">



    продолжение
--PAGE_BREAK--8.2 Проверка незначимости коэффициента корреляции


Пусть по результатам эксперимента рассчитана оценка коэффициента корреляции rxy. Выберем нулевую гипотезу: H
— коэффициент корреляции r
xyнезначим; альтернативную гипотезу: H
1– коэффициент корреляции r
xyзначим.

Для проверки справедливости H
0 выберем критерий Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия рассчитывается по результатам эксперимента по следующей формуле:
<img width=«120» height=«59» src=«ref-1_1424346318-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">;
По таблице критических точек критерия Стьюдента определим Ткр.= Т( q
,
f
)по уровню значимости qи числу степеней свободы f

=
N
-2. Если |Тнабл|<Ткр, то гипотеза H– справедлива, т.е. коэффициент корреляции r
xy— незначим. В противном случае, нулевая гипотез Hотвергается, т.е. случайные величины Xи Yсвязаны линейной зависимостью (критическая область двусторонняя).
<img width=«264» height=«62» src=«ref-1_1424346710-4315.coolpic» v:shapes="_x0000_s1053">
Рис.5. Критическая область критерия Стьюдента..
При использовании метода наименьших квадратов для вычисления коэффициента корреляции и построения уравнения регрессии предполагается, что Xи Yимеют нормальное распределение.





8.3. Использование корреляционной таблицы для вычисления коэффициента корреляции


Если число экспериментов велико, то составляются корреляционные таблицы. Для этого среди результатов эксперимента выбираются xmin, xmax, ymin, ymax. Интервал [xmin, xma
)] возможных значений Xделим с шагом h
1 на nчастичных интервалов, Интервал [ymin,ymax] для Yделим с шагом h
2 на mчастичных интервалов. Границы интервалов по Xзаписываются в 1-ый столбец, по Y— в 1-ую строку.

Для каждой пары (xi, yi) определяем в какую строку попало значение xiи в какой столбец yi. В клетку, расположенную на пересечении найденной строки и столбца, ставим палочку (или точку). Операцию проводим для всех пар. Подчитываем число палочек (точек) в каждой клетке и записываем полученное число в клетку. Просуммируем числа, стоящие в 1-ой строке, получим частоту <img width=«86» height=«46» src=«ref-1_1424351025-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">- число пар (xi,yi), у которых первая координата попала в первый частичный интервал. Проведём суммирование по всем остальным строкам, полученные числа <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1424351390-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">заносим в последний столбец.
Таблица 7

<img width=«50» height=«30» src=«ref-1_1424351515-146.coolpic» v:shapes="_x0000_s1054">Y,V
X, U

[y, y1) y1*, v1

[y1, y2) y2*, v2



……

[yj1,yj)

 yj*, vj

C2



……

[ym-1, ym) ym*, vm

<img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1424351661-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">

[x, x1)

x1*, u1

<img width=«28» height=«25» src=«ref-1_1424351788-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">

<img width=«29» height=«25» src=«ref-1_1424351925-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">

……

<img width=«36» height=«26» src=«ref-1_1424352100-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">

……

<img width=«37» height=«25» src=«ref-1_1424352246-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">

<img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1424352423-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">

[x1, x2)

x2*, u2

<img width=«29» height=«25» src=«ref-1_1424352547-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">

<img width=«30» height=«26» src=«ref-1_1424352721-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">

……

<img width=«30» height=«26» src=«ref-1_1424352871-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

……

<img width=«39» height=«25» src=«ref-1_1424353049-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">

<img width=«22» height=«25» src=«ref-1_1424353233-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">

………

………

………

……

………

……

…………

…………

[xi-1,xi)

C1, xi*, ui

<img width=«35» height=«25» src=«ref-1_1424353365-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">

<img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1424353537-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">

……

<img width=«36» height=«26» src=«ref-1_1424353684-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">

……

<img width=«37» height=«25» src=«ref-1_1424353832-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">

<img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1424354008-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">

[xn1,xn) xn*,un

<img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1424354133-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">

<img width=«37» height=«25» src=«ref-1_1424354277-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">

……

<img width=«37» height=«26» src=«ref-1_1424354454-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">

……

<img width=«39» height=«25» src=«ref-1_1424354602-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">

<img width=«22» height=«25» src=«ref-1_1424354781-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">

<img width=«24» height=«26» src=«ref-1_1424354909-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">

<img width=«22» height=«25» src=«ref-1_1424355041-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">

<img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1424355168-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">

……

<img width=«24» height=«26» src=«ref-1_1424354909-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">

……

<img width=«25» height=«25» src=«ref-1_1424355432-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">

N

Просуммируем величины, которые стоят в первом столбце. Получим частоту <img width=«86» height=«45» src=«ref-1_1424355595-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">- число пар (xi, yi), у которых yпопадает в первый интервал. Найдём суммы по всем столбцам. Полученное значение запишем в последнюю строку. Суммы полученных значений равны N:
<img width=«125» height=«46» src=«ref-1_1424355957-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">
По виду корреляционной таблице можно судить о виде корреляционной зависимости.

Вычислим середины частичных интервалов
<img width=«91» height=«42» src=«ref-1_1424356451-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">; <img width=«95» height=«44» src=«ref-1_1424356682-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">

i
=1,…,
n
;
j
=1,…,
m
.
Внесем найденные значения в корреляционную таблицу. По таблице вычислим оценки математических ожиданий и дисперсий
<img width=«100» height=«45» src=«ref-1_1424356934-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">; <img width=«111» height=«46» src=«ref-1_1424357323-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">;

<img width=«135» height=«45» src=«ref-1_1424357749-518.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">; <img width=«132» height=«46» src=«ref-1_1424358267-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">;

<img width=«106» height=«34» src=«ref-1_1424358803-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">; <img width=«107» height=«35» src=«ref-1_1424359188-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">;

<img width=«171» height=«46» src=«ref-1_1424359569-586.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">.
Коэффициент линейной корреляции определяются по формуле:




<img width=«96» height=«49» src=«ref-1_1424342940-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">.
Для простоты вычислений обычно используют замену переменных:
<img width=«80» height=«48» src=«ref-1_1424360444-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">; <img width=«85» height=«48» src=«ref-1_1424360684-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">;
где С1 и С2 – значения xi
*и yj
*соответствующие максимальной частоте <img width=«32» height=«26» src=«ref-1_1424360933-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">. Желательно, чтобы клетка с данной частотой находилась в середине таблицы. Точку (С1, С2) называют ложным нулем. Переменные Uи V– принимают значения: 0; ±1; ±2,…
<img width=«104» height=«45» src=«ref-1_1424361083-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">, <img width=«129» height=«45» src=«ref-1_1424361486-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">, <img width=«106» height=«46» src=«ref-1_1424361944-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">,

<img width=«104» height=«34» src=«ref-1_1424362354-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">; <img width=«102» height=«34» src=«ref-1_1424362737-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">.
При вычислениях используем, что
<img width=«55» height=«26» src=«ref-1_1424363111-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">; <img width=«59» height=«26» src=«ref-1_1424363286-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">.
Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
<img width=«125» height=«48» src=«ref-1_1424363466-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">.
Вернемся к исходным переменным:
<img width=«87» height=«25» src=«ref-1_1424363801-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">; <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_1424363997-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">;

<img width=«83» height=«24» src=«ref-1_1424364176-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">; <img width=«69» height=«25» src=«ref-1_1424364367-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">.
Уравнения регрессии:
<img width=«139» height=«50» src=«ref-1_1424364545-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">; <img width=«141» height=«48» src=«ref-1_1424365095-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">.
Графики функций пересекаются в точке <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1424365641-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">.


Пример:

Даны результаты 78 экспериментов:

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

73

-291

57

-219

61

-241

68

-264

69

-270

71

-281

62

-243

62

-240

72

-279

66

-262

63

-245

70

-277

72

-282

76

-302

71

-282

70

-279

65

-254

70

-275

65

-252

65

-253

67

-264

68

-267

70

-276

70

-275

56

-216

74

-290

70

-276

63

-248

70

-276

68

-266

63

-246

63

-243

63

-248

71

-283

73

-284

67

-264

64

-253

60

-237

68

-271

68

-267

70

-276

56

-222

59

-227

55

-213

67

-262

71

-281

64

-256

56

-218

60

-234

68

-269

79

-309

58

-223

80

-313

66

-257

77

-300

70

-278

71

-278

60

-235

78

-310

59

-236

74

-292

70

-275

66

-255

68

-263

68

-271

69

-276

63

-252

69

-268

65

-256

72

-282

69

-274

63

-243

73

-291

70

-277

74

-291

70

-271

63

-243

69

-270











Начало первого интервала x= 53, y= –321;

Длина интервала h1= 5, h2= 17.      

1.                 Построить корреляционное поле для 4-ых столбцов Xи Yи методом “натянутой нити” найти линейные функции регрессии.

2.                 Составить корреляционную таблицу. Вычислить коэффициент линейной корреляции, найти уравнения регрессий и построить их графики.

3.                 Проверить гипотезу о незначимости коэффициента корреляции.

Решение.

1. По последним столбцам Xи Yнаходим:

xmin=55; ymin=-279;

xmax=70; ymax=-213;

На осях отображаем тот промежуток, где находятся значения Xи Y. Представляя в виде точек пары чисел (x1; yj) строим корреляционное поле:
<img width=«403» height=«284» src=«ref-1_1424365890-2667.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">
Используя метод “натянутой нити”, проведём прямую. На прямой выберем две точки (57, -220) и (69, -270), расположенные достаточно далеко друг от друга… Подставляя значения в функцию y=ax+b, получим систему уравнений относительно aи b.
<img width=«120» height=«48» src=«ref-1_1424368557-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> ,




Получим решение a= — 4,17; b= 17,69. Уравнение линейной регрессии имеет вид: y= — 4,17 x+ 17,69.

2.                 Найдём минимальные и максимальные значения Xи Yсреди результатов эксперимента:

xmin=55; ymin=-313; xmax=80; ymax=-213;

Составим корреляционную таблицу с шагом h1=5 по Xи h2=17 по Y. Учитываем, что левая граница входит в интервал, а правая нет.

Клетка в шапке сверху содержит границы интервала по Y[yj, yj+1], значение середины интервала yj*и значение середины интервала для условной переменной V. Клетка в шапке слева содержит границы интервала по X[xi, xi+1], значение середины интервала xi*и значение середины интервала для условной переменной U.

Произвольная клетка таблицы содержит число результатов <img width=«30» height=«26» src=«ref-1_1424368970-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">, попавших в соответствующие интервалы. В нижней строке записываются суммы чисел в столбцах. В крайнем левом столбце – суммы чисел в строках.
Таблица 8.

Y,V
X,U

[321,-304)

-312,5;

-2

[304,-287)

-295,5;

-1

[287,-270)

-278,5;



[270,-253)

-261,5;

 1

[253,-236)

-244,5;

 2

[236,-219)

-227, 5;

3

[219,-202)

-210,5; 4

nx

nu



[53,58)

55,5;-3











. 1

. .

… 4



5

[58,63)

60,5;-2









. .

… 4

. .

… 5





 9

[63,68)

65,5;-1







. .

… 9

… .

… 11







20

[68,73)

70,5;0





<img width=«14» height=«17» src=«ref-1_1424369118-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> <img width=«14» height=«17» src=«ref-1_1424369118-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">

… 24

. .

… 9









33

[73,78)

75,5;1



. .

… 7

.

 1











8

[78,83)

80,5;2

. .

. 3















 3

ny,

nv

 3



 7

 25

 18

 

 15

 

 6

 4



78



 Переход к условным вариантам.
<img width=«80» height=«48» src=«ref-1_1424360444-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">; <img width=«85» height=«49» src=«ref-1_1424369558-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">;
C1=70,5; С2=-278,5 – координаты клетки с максимальным числом результатов экспериментов.
<img width=«136» height=«41» src=«ref-1_1424369811-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">, <img width=«140» height=«41» src=«ref-1_1424370106-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">,…,<img width=«131» height=«41» src=«ref-1_1424370414-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">;

<img width=«167» height=«41» src=«ref-1_1424370716-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">, <img width=«167» height=«41» src=«ref-1_1424371067-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">,…,<img width=«157» height=«41» src=«ref-1_1424371429-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">;
Вычисляем средние:
<img width=«480» height=«45» src=«ref-1_1424371781-1014.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">

<img width=«187» height=«46» src=«ref-1_1424372795-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">.
Вычислим среднее квадратов:
<img width=«488» height=«87» src=«ref-1_1424373356-1498.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"><img width=«161» height=«46» src=«ref-1_1424374854-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">.
Вычислим среднее квадратическое отклонение:

<img width=«257» height=«34» src=«ref-1_1424375368-668.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">; <img width=«267» height=«34» src=«ref-1_1424376036-659.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">;

<img width=«429» height=«80» src=«ref-1_1424376695-1733.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"><img width=«96» height=«41» src=«ref-1_1424378428-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">;
Коэффициент корреляции:
<img width=«293» height=«49» src=«ref-1_1424378682-789.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">;
Находим статистические характеристики X, Y:
<img width=«212» height=«25» src=«ref-1_1424379471-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">; <img width=«267» height=«25» src=«ref-1_1424379824-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">;

<img width=«165» height=«24» src=«ref-1_1424380247-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">; <img width=«175» height=«25» src=«ref-1_1424380525-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">;
Уравнение регрессии:
<img width=«140» height=«48» src=«ref-1_1424380835-462.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">; <img width=«140» height=«46» src=«ref-1_1424381297-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">;

<img width=«225» height=«44» src=«ref-1_1424381755-617.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">;

<img width=«116» height=«21» src=«ref-1_1424382372-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> (I);

<img width=«216» height=«44» src=«ref-1_1424382597-618.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">;

<img width=«116» height=«21» src=«ref-1_1424383215-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> (II)






Определим координаты двух точек для каждого графика:



X

60

75

Y

-231,4

-291

Y

-300

-220

X

76,46

58,06


<img width=«328» height=«218» src=«ref-1_1424383441-1363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">
Графики пересеклись в точке M(68; -263,2)
3.                 Проверим гипотезу о незначимости коэффициента корреляции. Наблюдаемое значение критерия:
<img width=«127» height=«57» src=«ref-1_1424384804-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">; N
=
max
{
n
,
m
};


n
,
m– число частичных интервалов по Xи Y.

n
= 6; m
= 7; N
= 7.
<img width=«261» height=«55» src=«ref-1_1424385194-746.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">;


T
кр
=
T
(0,05;
N
-2)=
T
(0,05; 5)=2,57– по таблице распределения Стьюдента.

Так как |T
набл
|=6,65>2,57, то гипотеза отвергается, следовательно rxyзначим.




Вывод
В курсовую работу вошли задачи, решаемые на стадии предварительного эксперимента. При решении этих задач использованы идеи и методы математической статистики, в частности ее разделы — оценивание параметров и проверка статистических гипотез. Используя эти методы, проверяются следующие гипотезы: о воспроизводимости результатов эксперимента, о виде распределения результатов эксперимента, о наличии корреляционных связей между факторами и переменной состояния и др.



    продолжение
--PAGE_BREAK--Список литературы


1.Егоров А.Е., Азаров Г.Н., Коваль А.В. Исследование устройств и систем автоматики методом планирования эксперимента. – К.: Вища школа, 1986.

2.Бондарь А.Г., Статюха Г.А. Планирование эксперимента в химической технологии. – К.: Вища школа, 1978.

3.Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. – М.: Химия, 1971.

4.Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1991.

5.Твердохлебов Г.Н., Бродский А.Л., Старобина Е.К., Кутакова Д.А. Методические указания по математическим методам анализа и планирования эксперимента для студентов всех химических специальностей. -Ворошиловград, 1985.





Приложение 1 (таблица значений функции Лапласа Ф(х))


(Таблица значений функции <img width=«152» height=«51» src=«ref-1_1424385940-590.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> 

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

0.00

0.0000

0.22

0.0871

0.44

0.1700

0.66

0.2454

0.01

0.0040

0.23

0.0910

0.45

0.1736

0.67

0.2486

0.02

0.0080

0.24

0.0948

0.46

0.1772

0.68

0.2517

0.03

0.0120

0.25

0.0987

0.47

0.1808

0.69

0.2549

0.04

0.0160

0.26

0.1026

0.48

0.1844

0.70

0.2580

0.05

0.0199

0.27

0.1064

0.49

0.1879

0.71

0.2611

0.06

0.0239

0.28

0.1103

0.50

0.1915

0.72

0.2642

0.07

0.0279

0.29

0.1141

0.51

0.1950

0.73

0.2673

0.08

0.0319

0.30

0.1179

0.52

0.1985

0.74

0.2703

0.09

0.0359

0.31

0.1217

0.53

0.2019

0.75

0.2734

0.10

0.0398

0.32

0.1255

0.54

0.2054

0.76

0.2764

0.11

0.0438

0.33

0.1293

0.55

0.2088

0.77

0.2794

0.12

0.0478

0.34

0.1331

0.56

0.2123

0.78

0.2823

0.13

0.0517

0.35

0.1368

0.57

0.2157

0.79

0.2852

0.14

0.0557

0.36

0.1406

0.58

0.2190

0.80

0.2881

0.15

0.0596

0.37

0.1443

0.59

0.2224

0.81

0.2910

0.16

0.0636

0.38

0.1480

0.60

0.2257

0.82

0.2939

0.17

0.0675

0.39

0.1517

0.61

0.2291

0.83

0.2967

0.18

0.0714

0.40

0.1554

0.62

0.2324

0.84

0.2995

0.19

0.0753

0.41

0.1591

0.63

0.2357

0.85

0.3023

0.20

0.0793

0.42

0.1628

0.64

0.2389

0.86

0.3051

0.88

0.3106

1.14

0.3729

1.40

0.4192

1.66

0.4515

0.89

0.3133

1.15

0.3749

1.41

0.4207

1.67

0.4525

0.90

0.3159

1.16

0.3770

1.42

0.4222

1.68

0.4535

0.91

0.3186

1.17

0.3790

1.43

0.4236

1.69

0.4545

0.92

0.3212

1.18

0.3810

1.44

0.4251

1.70

0.4554

0.93

0.3238

1.19

0.3830

1.45

0.4265

1.71

0.4564

0.94

0.3264

1.20

0.3849

1.46

0.4279

1.72

0.4573

0.95

0.3289

1.21

0.3869

1.47

0.4292

1.73

0.4582

0.96

0.3315

1.22

0.3883

1.48

0.4306

1.74

0.4591

0.97

0.3340

1.23

0.3907

1.49

0.4319

1.75

0.4599

0.98

0.3365

1.24

0.3925

1.50

0.4332

1.76

0.4608

0.99

0.3389

1.25

0.3944

1.51

0.4345

1.77

0.4616

1.00

0.3413

1.26

0.3962

1.52

0.4357

1.78

0.4625

1.01

0.3438

1.27

0.3980

1.53

0.4370

1.79

0.4633

1.02

0.3461

1.28

0.3997

1.54

0.4382

1.80

0.4641

1.03

0.3485

1.29

0.4015

1.55

0.4394

1.81

0.4649

1.04

0.3508

1.30

0.4032

1.56

0.4406

1.82

0.4656

1.05

0.3531

1.31

0.4049

1.57

0.4418

1.83

0.4664

1.06

0.3554

1.32

0.4066

1.58

0.4429

1.84

0.4671

1.07

0.3577

1.33

0.4082

1.59

0.4441

1.85

0.4678

1.08

0.3599

1.34

0.4099

1.60

0.4452

1.86

0.4686

1.09

0.3621

1.35

0.4115

1.61

0.4463

1.87

0.4693

1.10

0.3643

1.36

0.4131

1.62

0.4474

1.88

0.4699

1.11

0.3665

1.37

0.4147

1.63

0.4484

1.89

0.4706

1.12

0.3686

1.38

0.4162

1.64

0.4495

1.90

0.4713

1.13

0.3708

1.39

0.4177

1.65

0.4505

1.91

0.4719



x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

1.92

0.4726

2.18

0.4854

2.52

0.4941

2.84

0.4977

1.93

0.4732

2.20

0.4861

2.54

0.4945

2.86

0.4979

1.94

0.4738

2.22

0.4868

2.56

0.4948

2.88

0.4980

1.95

0.4744

2.24

0.4875

2.58

0.4951

2.90

0.4981

1.96

0.4750

2.26

0.4881

2.60

0.4953

2.92

0.4982

1.97

0.4756

2.28

0.4887

2.62

0.4956

2.94

0.4984

1.98

0.4761

2.30

0.4893

2.64

0.4959

2.96

0.4985

1.99

0.4767

2.32

0.4898

2.66

0.4961

2.98

0.4986

2.00

0.4772

2.34

0.4904

2.68

0.4963

3.00

0.49865

2.02

0.4783

2.36

0.4909

2.70

0.4965

3.20

0.49931

2.04

0.4793

2.38

0.4913

2.72

0.4967

3.40

0.49966

2.06

0.4803

2.40

0.4918

2.74

0.4969

3.60

0.499841

2.08

0.4812

2.42

0.4922

2.76

0.4971

3.80

0.499928

2.10

0.4821

2.44

0.4927

2.78

0.4973

4.00

0.499968

2.12

0.4830

2.46

0.4931

2.80

0.4974

4.50

0.499997

2.14

0.4838

2.48

0.4934

2.82

0.4976

5.00

0.499997

2.16

0.4846

2.50

0.4938













    продолжение
--PAGE_BREAK--