Реферат: Основы экономики

--PAGE_BREAK--2. Задача 2


Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б приведены в таблице:





Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочими с произвольной почасовой ставкой t(руб./чел.-час) оплаты труда.

2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка tоплаты труда равна 10 руб./чел.-час.

3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и кредита, обеспечивающего ее получение, от почасовой ставки tоплаты труда в диапазоне от 10 до 30 рублей за чел.-час. Найти функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.

Решение.

2.1 Построение математической модели оптимизации выпуска продукции. Для построения модели введем следующие обозначения:

х1 – объем выпуска продукции А,

х2 – объем выпуска продукции Б,

S– потребность в трудовых ресурсах,

t– почасовая ставка оплаты труда,

V– размер кредита,

Z– выручка от реализации произведенной продукции,

P– прибыль предприятия.

Выразим в математической форме основные условия и ограничения рассматриваемой задачи.

Ограничения по использованию сырья: 3x1+ 3x2£2070;

Ограничения по использованию оборудования: 3x1+ 5x2£2250;

Потребность в трудовых ресурсах Sопределяется необходимыми затратами труда для выпуска продукции в объемах х1 и х2:S= 2x1+ 3x2.

Размер необходимого кредита определяется, исходя из потребности в трудовых ресурсах Sи почасовой ставки оплаты труда t, т.е.V=tS= t(2x1+ 3x2).Выручка от реализации произведенной продукции:Z= 638x1+ 660x2

Сумма расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита и процентов по нему, т.е. равна


<img width=«282» height=«56» src=«ref-1_1007632538-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">
Прибыль предприятия определяется как разность между выручкой и расходами по обслуживанию кредита, т.е.
Р = Z– 1.1V.
Подставляя в эту формулу выражения для Zи V, получим
Р = (638x1+ 660x2)– 1,1 t(2x1+ 3x2) = (638 – 2,2t)х1 + (660 – 3,3 t)х2
Следовательно, математическая модель оптимизации выпуска продукции с привлечением кредитных ресурсов для оплаты труда рабочих принимает следующий вид:

Найти неизвестные значения объемов выпуска х1, х2, удовлетворяющих ограничениям
3x1+ 3x2£2070

3x1+ 5x2£2250 (1)

х1³0, х2³0,
и доставляющих максимальное значение целевой функции:
Р = (638 – 2,2t)х1 + (660 – 3,3 t)х2 → max.
При этом необходимый размер кредита Vопределяется по формуле:
V= tS= 2tx1*+ 3tx2*,


где х1*, х2* — оптимальное решение задачи (1). Модель (1) представляет собой задачу параметрического линейного программирования, так как в ее условиях содержится параметр t, от значения которого зависит оптимальное решение.

2.2 Определение оптимальной программы выпуска продукции. При фиксированной ставке оплаты труда t= 10 руб./чел.-час. математическая модель (1) примет вид:
3x1+ 3x2£2070

3x1+ 5x2£2250

х1³0, х2³0, Р = 616 х1 + 627х2 → max.
Графическое решение задачи изображено на рис. Точкой максимума является точка В с координатами х1* = 600, х2*= 90.Максимальный размер прибыли:Р* = 616´600 + 627 ´90= 426030 (руб.). Размер необходимого кредита:V* = 2tx1*+ 3x2* = 2´10´600 + 3´10´90 =14700 руб.Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1´14700= 1470руб.Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x1* +3 x2*= 2´600 + 3´90 = 1470(чел.-час.).
<img width=«371» height=«258» src=«ref-1_1007633132-5134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">


2.3 Нахождение функции спроса на трудовые ресурсы. Потребность в трудовых ресурсах Sдля обеспечения оптимального выпуска в объемах х1*, х2* определяются соотношением: S* = 2x1*+ 3x2*.

Но оптимальный план выпуска Х* = (x1*, x2*), зависит от почасовой ставки tоплаты труда. Следовательно, величина Sтакже зависит от t, т.е. потребность в трудовых ресурсов Sесть некоторая функция от параметра t.

Найдем эту функцию. Для этого рассмотрим модель (1) и определим оптимальные планы выпуска Х* = (x1*, x2*) при различных значениях t, используя графический метод решения задачи линейного программирования.

Пусть tдостаточно мало (близко к нулю). Рассмотрим уравнение линии уровня целевой функции Р = (638 – 2,2t)х1 + (660 – 3,3 t)х2= h.

При малых значениях tпрямая с таким уравнением будет почти параллельна прямой с уравнением Р = 638 х1 + 660 х2 = h.

Если «закрепить» линию уровня в т.В и начать увеличивать значение параметра t, то точка пересечения линии уровня с осью Ох2 начнет перемещаться вверх по оси Ох2.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна ВС. Из равенства угловых коэффициентов получаем:<img width=«139» height=«38» src=«ref-1_1007638266-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">, t=20

Следовательно, точка В (600;90) остается точкой максимума пока tÎ[0;20).

Найдем максимальный размер прибыли для tÎ[0;20):
Р* = (638 – 2,2t) ´600 + (660 – 3,3 t)´90 = 442200- 1617t(руб.),
Размер необходимого кредита:
V* = 2tx1* + 3x2* = 2´t´600 +3´t´90 = 1470t руб.,




Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1´1470t= 147tруб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x1* + 3x2*= 2´600 +3´90 =1470 (чел.-час.).

Если t=20, то оптимальное решение будет достигаться на отрезке ВС, концы которого имеют координаты В(600;90) и C(690;0).

Если «закрепить» линию уровня в т.С и начать увеличивать значение параметра t, то линия уровня будет приближаться к оси Ох1.

Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна оси Ох1. Из равенства угловых коэффициентов получаем:<img width=«139» height=«38» src=«ref-1_1007638600-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">; t= 220 > 60.

Если tÎ[20; 30] точкой максимума станет точка С(690;0).

Найдем максимальный размер прибыли для tÎ[20;30]:
Р* = (638 – 2,2t) ´690 + (660 – 3,3 t)´0 = 440220 – 1518t(руб.),
Размер необходимого кредита:
V* = 2tx1* + 3x2* = 2´t´690 +3´t´0=1380t руб.,
Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 138tруб.

Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x1* + 3x2*= 2´690 +3´0 = 1380(чел.-час.).Итоги решения задачи представим в таблице:




<img width=«374» height=«260» src=«ref-1_1007638934-2697.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">
<img width=«421» height=«292» src=«ref-1_1007641631-5027.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">
<img width=«421» height=«292» src=«ref-1_1007646658-5509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">

    продолжение
--PAGE_BREAK--3. Задача 3


Максимизация объема выпускаемой продукции в условиях ограниченных финансовых ресурсов. Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.). Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:
<img width=«91» height=«23» src=«ref-1_1007652167-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">,
где Y
— объем выпуска продукции (ед.).

Требуется:

1. Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из переменных: а) K= 441; б) L=63.

2. Найти уравнения изоквант ПФ и построить их графики для Y1=656, Y2=984, Y3=1312.

3. Известны объем выпуска продукции Y
=984 и наличные трудовые ресурсы L
=63 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

4. Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда 90 (ден.ед./тыс. чел.-час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами 30 (ден.ед./тыс. ст.-час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 21000 (ден. ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, считая, что ПФ задана на всем множестве K≥ 0, L≥ 0; найти графическим методом ее решение. Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.



Решаем задачу для следующих значений параметров:





1) Производственная функция (ПФ) — функция, описывающая зависимость максимального объема производимого продукта от затрат ресурсов (факторов), используемых в производственном процессе. В данной задаче в качестве ресурсов выступают рабочая сила (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.). Производственная функция фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:
<img width=«91» height=«23» src=«ref-1_1007652167-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">



где Y— объем выпуска продукции (ед.).

Построим графики производственной функции при фиксированном значении одной из переменных.

а) По условию K=441. Тогда ПФ — степенная функция следующего вида:Y=4*<img width=«150» height=«25» src=«ref-1_1007652697-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">

График функции представлен на рис.
<img width=«325» height=«226» src=«ref-1_1007653005-1946.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">


б) По условию L = 63. Тогда ПФ — степенная функция следующего вида:Y=4*<img width=«151» height=«25» src=«ref-1_1007654951-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">

График функции представлен на рис.
<img width=«325» height=«226» src=«ref-1_1007655252-2287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">
2) Изокванта — совокупность всех комбинаций факторов производства (K,
L), обеспечивающих одинаковый объем выпускаемой продукции. Изокванты дают графическое представление двухфакторной производственной функции Y(K,
L)в виде ее линий уровня.

По условию Y1=656;Y
2
=984; Y3=1312.

Выпишем соответствующие этим значениям уравнения изоквант:
<img width=«91» height=«23» src=«ref-1_1007652167-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042"> =656;

<img width=«90» height=«23» src=«ref-1_1007657804-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">=984;

<img width=«90» height=«23» src=«ref-1_1007657804-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">=1312.
Для построения на декартовой плоскости OKLизоквант из их уравнений в явном виде выразим переменную L как функцию от переменной K:
<img width=«71» height=«37» src=«ref-1_1007658342-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> или <img width=«129» height=«41» src=«ref-1_1007658630-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">.



Итак, уравнения трех изоквант запишем в следующем виде:
<img width=«143» height=«41» src=«ref-1_1007659036-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">, отсюда <img width=«110» height=«41» src=«ref-1_1007659472-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">;

<img width=«143» height=«41» src=«ref-1_1007659791-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">,отсюда <img width=«108» height=«41» src=«ref-1_1007660229-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">;


<img width=«149» height=«41» src=«ref-1_1007660546-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">,отсюда <img width=«117» height=«41» src=«ref-1_1007660991-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">.
Графики изоквант, выпуклые к началу координат кривые, изображены на рис. Различные комбинации (K1,
L1)и (K2,
L2)используемых ресурсов, принадлежащие одной и той же изокванте, дают один и тот же объем выпуска Y. Изокванта Y3, расположенная выше изоквант Y2 и Y1, соответствует большему объему выпуска продукции (Y3 > Y2 > Y1).
<img width=«326» height=«237» src=«ref-1_1007661325-1721.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">
3) Известны объем выпуска продукции Yбаз= 984 (ед.) и наличные трудовые ресурсы Lбаз =63 (тыс. чел.-час.) в базовом периоде. Определим потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

При заданном увеличении объем выпуска продукции составитY= 1.1×Yбаз= 1.1×984 = 1082,4 (ед.).

Существует множество комбинаций факторов производства (K,
L), обеспечивающих выпуск продукции в объеме 1082,4 ед. Потребность в оборудовании в плановом периоде можно выразить как функцию от объема трудовых ресурсов. Используя уравнение изокванты <img width=«150» height=«23» src=«ref-1_1007663046-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">,имеем:<img width=«82» height=«41» src=«ref-1_1007663398-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">.

Таким образом, если объем трудовых ресурсов, используемых в производстве, не изменится и останется на уровне Lбаз =63 (тыс.чел.-час.), то потребность в оборудовании в плановом периоде составит<img width=«199» height=«41» src=«ref-1_1007663656-480.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056"> (тыс. ст.-час.).

В базовом периоде потребность в оборудовании составляла<img width=«232» height=«44» src=«ref-1_1007664136-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">(тыс. ст.-час.).
Потребность в ресурсах в плановомпериоде

<img width=«391» height=«236» src=«ref-1_1007664686-2429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">
Если же объем трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к базовому и составитL= 1.05×Lбаз= 1.05×63 = 66,15 (тыс. чел.-час.), то потребность в оборудовании в плановом периоде составит<img width=«141» height=«44» src=«ref-1_1007667115-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> (тыс. ст.-час.).

Итак, при объеме трудовых ресурсов <img width=«135» height=«23» src=«ref-1_1007667508-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060"> потребность в оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину <img width=«112» height=«23» src=«ref-1_1007667797-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">, определяемую соотношением<img width=«81» height=«41» src=«ref-1_1007668057-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">.

4) Согласно условию фирма может приобрести на рынке используемые в производстве ресурсы по ценам pK = 30 (ден. ед. / тыс. ст.-час.) и pL= 90 (ден. ед. / тыс. чел.-час.). Величина ее затрат C на покупку L единиц рабочей силы и К единиц оборудования составит
С = pKК + pLL = 30К + 90L.



Задача фирмы состоит в нахождении максимального объема выпуска продукции при условии, что уровень затрат на покупку ресурсов не превосходит 21000 ден. ед. Математическая модель этой задачи может быть записана так: найти объемы ресурсов К и L, удовлетворяющие ограничениям
К + 90L≤ 21000, (1)

К ≥ 0, L≥ 0 (2)
и доставляющие максимальное значение целевой функции
<img width=«91» height=«23» src=«ref-1_1007652167-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">→ max.(3)
Так как Y — нелинейная функция, то эта модель представляет собой задачу нелинейного программирования. Ограничение (1) называется бюджетным ограничением.




<img width=«382» height=«231» src=«ref-1_1007668580-7898.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">

Графическое решение задачи производителя
Ее решение можно найти графическим методом. Для этого построим область допустимых решений, задаваемую условиями (1) и (2). Она представляет собой заштрихованный треугольник ОАВ. Граничная прямая АВ бюджетного ограничения задается уравнением 30
K + 90L = 21000

Для определения оптимального решения проведем несколько линий уровня (изоквант) целевой функции, имеющих общие точки с областью допустимых решений. Как было показано в п. 2, чем выше находится изокванта, тем большему уровню целевой функции она соответствует (Y2 > Y1). Поэтому изокванта, соответствующая максимально возможному объему выпуска, должна касаться граничной прямой бюджетного ограничения (1), а точка ее касания D будет оптимальным решением задачи.

Для нахождения значений координат точки D используем тот факт, что градиент целевой функции gradY = <img width=«68» height=«44» src=«ref-1_1007676478-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">, вычисленный в точке касания, перпендикулярен прямой АВ. Это означает, что вектор gradY и вектор нормали ОС = (pK,
pL) этой прямой пропорциональны, т.е. справедливо равенство
<img width=«141» height=«48» src=«ref-1_1007676775-633.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">.(4)


Поскольку <img width=«224» height=«44» src=«ref-1_1007677408-647.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> отсюда имеем, что <img width=«129» height=«45» src=«ref-1_1007678055-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">

Следовательно, K = 7L. Подставляя полученное выражение K через L в уравнение граничной прямой АВ, получаем:90
L+ 30*7L = 21000.

Отсюда имеем, что оптимальная величина трудовых ресурсов равна L* = 70.

Оптимальный объем оборудования равен K* = 7*L = 7*70 = 490, а соответствующий объем выпуска Y* = 4*4900.7∙700.3 ≈ 1093,3.

Предельная норма технологического замещенияоборудования рабочей силойв точке рыночного равновесия равна отношению цен этих ресурсов, т.е.<img width=«212» height=«22» src=«ref-1_1007678425-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">.

Предельная эффективность финансовых ресурсов
<img width=«31» height=«44» src=«ref-1_1007678890-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">= <img width=«67» height=«48» src=«ref-1_1007679054-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> = (4*0.7∙350-0.3∙500.7)/30≈ 0.816,
что означает следующее: при увеличении затрат на 1 ден. ед. объем выпускаемой продукции возрастет на 0.816 ед.

Итак, получены следующие результаты.

1.      Фирма должна взять в аренду K* = 490 тыс. ст.-час. оборудования и нанять по контракту L* = 70 тыс. чел.-час. рабочей силы. В этом случае при имеющемся бюджетном ограничении будет выпущено максимальное количество продукции Y* = 1093,3 ед.

2.      Предельная норма технологического замещения оборудования рабочей силой MRTSKL= 0,333.

3.      Предельная эффективность финансовых ресурсов равна 0.816.




4. Задача 4
Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме выполнения приведены в следующей таблице:





Требуется:

1.С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ.

2.Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и его продолжительность, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.

3.Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 2 дн. С какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона.

Решение

Упорядоченный сетевой график строительства торговой павильона изображен на рис., где рядом с буквой, обозначающей работу, в скобках проставлено число, равное нормальному сроку ее выполнения.


<img width=«457» height=«172» src=«ref-1_1007679462-5202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">
Обозначим

Ткр – критическое время, т.е. наименьшее время выполнения всего комплекса работ.

Трi – раннее время наступления i-й события, т.е. момент времени, раньше которого событие iне может наступить.

Рассчитаем Трi для всех событий сетевого графика, т.е. для i= 1,2,…,7. Время наступления 1-го события сетевого графика будем считать равным нулю, т.е. Тр1 = 0. Далее последовательно находим Тр2,…, Тр6
<img width=«47» height=«25» src=«ref-1_1007684664-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">дн

<img width=«171» height=«25» src=«ref-1_1007684806-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074"> дн;

<img width=«291» height=«25» src=«ref-1_1007685105-480.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075"> дн;

<img width=«396» height=«25» src=«ref-1_1007685585-620.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076"> дн;

<img width=«460» height=«25» src=«ref-1_1007686205-714.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077"> дн;
Стоимость S= 33+84+78+31+35+19+71+74+38,5+40=503,8

Критический срок Ткр = 46 дней.

Критический пути (V,Q, В), (V,Q,H,D).
Сокращение сроков строительства торгового павильона



<img width=«398» height=«331» src=«ref-1_1007686919-9599.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">
Просматривая все полные некритические пути, убеждаемся, что при сокращении срока строительства на 2 дня, т.е. до 44 дней, критическими могут стать пути Р4 и Р5. Эффективно сократить работу Qна 2 дня. При этом дополнительные затраты составят2 (дня) ´7,7 (млн.руб./день) = 15,4(млн.руб.), критическое время станет равнымТкр = 46 –2 =44 (дней). Новая стоимость работ будет равнойS = 503,5+15,4=518,9(млн.руб.)



    продолжение
--PAGE_BREAK--