Реферат: работа на тему: Алгоритм Фаулкса и его приложения

Курсовая работа

на тему: Алгоритм Фаулкса и его приложения

Семестр № 7

Преподаватель: Александров О. Е.

Студент: Поляков А. Ю.

Гр. ДО ИСТ 43017д

№ зачетной книжки 17321626

Серов 2007

Содержание:

Введение……………………………………………………………….3

Глава 1

«Новый Фреголли»……………………………………………………4

Алгоритм Фаулкса……………………………………………………9

Замечание……………………………………………………………..13

Глава 2

(Гамильтоновы циклы)

Основные понятия и определения …………………….……………15

Условия существования гамильтонова цикла………………….…..16

Задачи связанные с поиском гамильтоновых циклов……………...17

Методы построения гамильтоновых циклов в графе…………..…..21

Алгебраический метод построения гамильтоновых циклов……… 21

Введение

В труде и в быту, в общественной и личной жизни людям и коллективам буквально каждый день и каждый час приходится принимать решения. Всем процессам принятия решений – при огромном их разнообразии с точки зрения содержания, важности или сложности – присуще две основные черты.

Во — первых, принятие решений, допускаемых обстоятельствами дела, некоторого одного, вполне определенного решения. Таким образом, характерной особенностью процесса принятия решения является множественность имеющихся вариантов. Ясно, что чем большим числом вариантов мы располагаем, тем более громоздким оказывается описание всей задачи. Очень часто условие задачи принятия решений могут быть описаны не несколькими отдельными числами, а лишь целыми таблицами чисел, иногда довольно обширными.

Во – вторых, принятие решения производится всегда во имя той или иной цели; выбранное решение должно быть поэтому целесообразным, т. е. в наибольшей степени соответствовать этой цели. Однако для того, чтобы судить, в большей или меньшей степени соответствует выбранная альтернатива поставленной цели, необходимо уметь количественно оценивать степень осуществления цели при каждом варианте решения.

Из сказанного следует, что каждый процесс принятия решений может быть функцией, аргументами которой являются допустимые варианты решения, а значениями – числа, которые описывают меру достижения поставленной цели. Эту функцию принято называть целевой функцией. Задача принятия решения сводится тем самым к нахождению максимального (или минимального) значения целевой функции, а также к нахождению того конкретного решения – аргумента, на котором это значение достигается. Такое максимизирующее (минимизирующее) значение обычно называется оптимальным.

«Новый Фреголли»

На днях мы посетили нашего друга Фреголи, хорошо известного в Мексике, и спросили у него, не мог бы он раскрыть, который сделал его замечательным циркачом, неизменно любимым детьми и даже взрослыми. В самом деле, известно, что Фреголи может полностью сменить одежду за рекордное время. «Речь идет не о секрете, — сказал он нам, — а в логическом методе одевания и раздевания, переданном мне моими предками». И как хорошо воспитанный человек он счел возможным добавить: «Несомненно, математика, которая является вашей профессией, позволила бы вам представить себе усилия, которых потребовало от моего прадеда решение подобных задач».

Математика прошлого действительно позволяла подсчитать количество комбинаций, которые нужно использовать для того, чтобы одеться или раздеться по возможности наиболее удобным способом, то математика сегодняшнего дня позволяет определить лучшую (или лучшие) среди этих комбинаций. Предположим для простоты, что, когда наш друг Фреголи собирается сменить одежду, он не снимет белья – ни рубашки, ни кальсон. Тем не менее, что бы предстать в обличье денди, ему все еще остается напялить на себя целую форму, содержащую брюки, жилет, пиджак, галстук, пальто, носки, ботинки, перчатки, а затем взять в руку трость с серебряным набалдашником.

Посмотрим, что он может сделать по крайней мере в восемью первыми предметами; при этом любой согласится с тем, что:

1) взять свою трость он сможет в последнюю очередь,

2) ему остается исследовать самое большее

81=8*7*6*5*4*3*2*1=40320

Возможностей, из которых на самом деле большое количество отпадает в следствие невозможности надеть пальто раньше пиджака, пиджак раньше жилета и т.д.

Итак, попытаемся найти путь в этом лабиринте, устанавливая возможные иерархии между различными частями одежды.

Для простоты записи мы обозначим их буквами:

А – брюки, В – жилет, С – пиджак, D – галстук, Е – пальто, F – носки, G – обувь, H – перчатки.

Мы уверены, что наш друг при всей своей ловкости не сможет, например, надеть жилет позже пиджака; мы выразим это необходимое условие обозначением

В < C

(что можно читать как «В предшествует С»). Зато ему безразлично, надеть ли прежде жилет или галстук, что запишется в виде

В >< D

Наконец, мы считаем почти немыслимым, чтобы он не обулся немедленно после того, как надел носки; отсюда напрашиваются общие обозначения

F /< G

(F непосредственно предшествует G).

Подытожим подобные соотношения различных типов, допускаемые нашей задачей:

А < B,D,C; B<C; B><D,F;

C<E; D<C,E,H; F/<G; G<C,H.

Эти соотношения могут выражаться рисунком или графом, если условиться обозначать единицей все реализуемые связи буквы, в строке, с буквой, указывающей столбец.

Теперь мы хотим определить, существует ли такой путь между какой-нибудь буквой, служащей входом, и какой-нибудь буквой служащей выходом, который дал бы возможность нашему другу Фреголи одеться, не нарушая выписанных выше соотношений.

Чтобы справиться с этой задачей, выполним довольно специфическую операцию – умножением матрицы М (матрица 1) на себя, заменяя, однако обычную арифметическую сумму булевой суммой элементов.

Мы не будем останавливаться на обсуждении по поводу булевой суммы, таблицу которой мы приводим ниже и которая была предметом специального исследования.

Таким образом, члены произведения, расположенные в третьей клетке первой строки, является произведением строки А на столбец С и равен одному, если рассматривать булеву сумму элементов.

Мы видим, что полученная матрица, которую мы обозначим через М[2] , будет содержать только ноли и единицы. Также будет обстоять дело и с М[4] .

Единицы, обозначенные (1), не входили в М и составляют часть М[2] .

Из матрицы М[4] видно, что А является элементом, за которым может следовать (прямо или косвенно) любой другой, но которому ни какой элемент не может предшествовать.

Для вычисления М[8] нет надобности сохранять столбец и строку А в М[4] ; мы получаем М 1[8] , относительно которой легко заметить, что она в точности равна соответствующей части М[4].

В этих условиях мы должны, согласно алгоритму Фаулкса, прекратить наши операции. Перестановкой строк и столбцов матрицу М[4] можно представить в форме М [4]; это означает, что задача порождает пять упорядоченных подграфов.

Это множество обладает одним и только одним гамильтоновым путем, которым является путь FDBFGCEH. Последнее означает, что наш друг Фреголи обладает одним и только одним способом одеться, как денди. Этот способ состоит в том, чтобы одеваться в таком порядке: галстук, жилет, носки, ботинки, пиджак, пальто, перчатки.

Некоторые аналогичные задачи могут привести к нескольким решениям; так, если бы в приведенном примере мы имели D><F, то существовало бы дополнительное решение ABDFGCEH.

Хотя мы описали алгоритм Фаулкса на столь забавном примере, ясно, что он может быть также использован при решении гораздо более серьезных задач.

Задачи о назначении и промышленности, например, могут носить такой же комбинаторный характер: речь может идти о выполнении некоторого числа операций на различных машинах; при этом на порядок этих операций могут быть наложены условия с помощью связей типа <, >< или /<. Когда имеется много машин и много операций, единственность решения встречается редко. В этих условиях остается выбирать, согласно определенному критерию (в качестве которого могут выступать затраты и длительность процесса), лучший из возможных порядков, даваемых решениями задачи.

Алгорифм Фаулкса

Рассмотрим шесть операций: A, B, C, D, E, F, между которыми суцществуют следующие соотношения:

А<B B/<C C<D E<D F<D

A<D B<D F<E

A><F B><E

B><F

Цель задачи состоит в том, чтобы найти (если это возможно) пути, проходящие один и только один раз через каждую из точек и удовлетворяющие написанным соотношениям: это гамильтоновы пути.

Исследование графа, изображенного на рис. 16.4, показывает, что точка D есть безусловно конечная точка каждого гамильтонова пути (если таковой существует), ибо никакая дуга не имеет эту точку своим началом, тогда как дуга, исходящая из любой другой точки, достигает точки D.

Это свойство выражается наличием единиц во всем столбце D и нулей во всей строке D (очевидно, за исключением их пересечения).

Может наблюдаться и обратная ситуация: если для некоторой точки вся строка состоит из единиц и весь столбец, за исключением пересечения, состоит из нулей, эта точка является началом каждого гамильтонова пути (если таковой существует).

Матрицу графа можно упростить вычеркивая предварительно все пары строк и столбцов, которым необходимо соответствует либо начало, либо конец каждого гамильтонова пути.

Так, в настоящем случае строка и столбец D могут быть заранее опущены; мы получаем матрицу М 1. образуем элементарные произведения элементов какой-нибудь строки (например, строки А) на элементы какого-нибудь столбца (скажем С), как если бы мы хотели вычислить М 1[2].

Элементарные произведения в порядке их следования таковы:

а) 1*0=0; б) 1*1=1; в) 0*1-0; г) 0*0=0; д) 1*0=0. проследим, что они означают. Пусть мы хотим отправиться из А в С.

Тогда:

а) не существует прямого пути из А в С;

б) существует прямой путь, идущий из А в B и путь из B в C; следовательно имеется путь длины 2 из А в С;

в) не существует прямого пути из А в С;

г) нет прямого пути из А в Е и так же нет пути из Е в С;

д) есть прямой путь из А в F, но нет ни какого пути из F в С.

Таким образом, мы получили все пути из А в С длины меньшей или равной 2.

Так же мы ищем пути, связывающие различные точки графа, то вместо образования арифметической суммы, как в обычном матричном произведении, мы составим булеву сумму.

Таким образом, мы приходим к матрице М 1[2] , все единицы которой обозначают существование путей единицы меньшей или равной 2, а нули — их отсутствие.

Из матрицы М 1[2] мы заключаем, что точка С необходимо является крайней точкой гамильтонова пути, если таковой существует. Опять отбрасываем строку и столбец С, откуда получаем.

Точно так же, как мы, вычислив М 11[2] , нашли пути длины меньшей или равной 2, найдем пути длины меньшей или равной 3, вычисляя М 11[3] . Матрица М 1[8] М 11[3] содержит только единицы; это доказывает существование путей длины меньшей или равной 3 между всеми точками ABEF, взятыми по две.

В частности, можно идти из Е в А через B и F. Вычислять М 11[4] которая, очевидно, содержит только единицы, уже нет смысла.

Вообще, когда вычисляют последовательные символические степени М, можно остановиться на том n для которого

М(n+1) = М (n)

ибо это означает, что в М не существует пути, длина которого превышает n . Матрица М [3] , полученная возвращением на место строк и столбцов C и D, может быть перегруппирована таким образом, чтобы все нули были расположены под главной диагональю, а единицы – над ней.

Квадратные матрицы, состоящие из единиц опирающихся на главную диагональ, образуют классы эквивалентности относительно закона: точка Х связана с точкой Y и обратно.

Например, А связанная с Е через B или же через F и B; Е связанная с А через В и F. Мы упростим исходный граф, разбив его на классы. Определение единственного гамельтонова пути AFEBCD становится совсем простым (рис 16.5).

Возвращаясь к задаче Фреголи, которую мы решили выше, мы устанавливаем, что вычисление М [2] дало нам пути длины <= 2, вычисление М [4] — пути длины <= 4. Если бы мы вычислили М [7] , мы имели бы пути длины <= 7; в действительности мы вычислили М [8] , которая дает все пути, ибо каждый путь длины больше 7 проходит два раза через одну точку. Мы констатировали совпадении М [8] и М [4] .

Затем мы нашли классы эквивалентности, представляя М [4] в форме ABDFGCEH; в частности, BDF и EH образуют классы эквивалентности.

Замечание

Очевидно, что когда записывают отношения порядка (как, например, отношения предшествования) в некотором множестве, алгорифм Фаулкса представляет собой один из методов выяснения их совместимости (поскольку не должно существовать цикла). Он позволяет, кроме того, найти все отношения порядка между двумя, которые выводятся из предположений в силу транзитивности отношения порядка (из А<B и В<С следует, что А<С, хотя это отношение не было явно выражено ранее).

Только тогда, когда между точками нет связи виде отношения, можно вводить законно отношение индифферентности ><.

Зато на практике часто приходится иметь дело с соотношением частичного упорядочения, допускающим циклы. В этом случае этот алгорифм дает нам метод, хорошо приспособленный для решения задач.

Гамильтоновы циклы

Название «гамильтонов цикл» произошло от задачи «Кругосветноепутешествие» предложенной ирландским математиком Вильямом Гамильтоном в
1859 году. Нужно было, выйдя из исходной вершины графа, обойти все еговершины и вернуться в исходную точку. Граф представлял собой укладкудодекаэдра, каждой из 20 вершин графа было приписано название крупногогорода мира.

Основные понятия и определения

Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа по одному разу, то такой цикл называется гамильтоновым циклом, а граф называется гамильтоновым графом. Граф, который содержит простой путь, проходящий через каждую его вершину, называется полугамильтоновым. Это определение можно распространить на ориентированные графы, если путь считать ориентированным.

Гамильтонов цикл не обязательно содержит все ребра графа. Ясно, что гамильтоновым может быть только связный граф и, что всякий гамильтонов граф является полугамильтоновым. Заметим, что гамильтонов цикл существует далеконе в каждом графе.

Замечание.

Любой граф G можно превратить в гамильтонов граф, добавив достаточноеколичество вершин. Для этого, например, достаточно к вершинам v1,…,vp графа
G добавить вершины u1,…,up и множество ребер {(vi,ui)}[pic]{(ui,vi+1)}.

Степенью вершины v называется число ребер d(v), инцидентных ей, приэтом петля учитывается дважды. В случае ориентированного графа различают степень do(v) по выходящим дугам и di(v) — по входящим.

Условия существования гамильтонова цикла

В отличии от эйлеровых графов, где имеется критерий для графа быть эйлеровым, для гамильтоновых графов такого критерия нет. Более того, задача проверки существования гамильтонова цикла оказывается NP-полной.
Большинство известных фактов имеет вид: «если граф G имеет достаточное количество ребер, то граф является гамильтоновым». Приведем несколько таких теорем.

Теорема Дирака. Если в графе G(V,E) c n вершинами (n? 3) выполняется условие d(v)? n/2 для любого v[pic]V, то граф G является гамильтоновым.

Доказательство.

От противного. Пусть G — не гамильтонов. Добавим к G минимальное количество новых вершин u1, … ,un, соединяя их со всеми вершинами G так, чтобы G’:= G + u1 + … + un был гамильтоновым.

Пусть v, u1, w, … ,v — гамильтонов цикл в графе G’, причем v[pic]G,u1[pic]G’, u1[pic]G. Такая пара вершин v и u1 в гамильтоновом цикле обязательно найдется, иначе граф G был бы гамильтоновым. Тогда w[pic]G, w
[pic] {u1,…,un}, иначе вершина u1 была бы не нужна. Более того, вершина vнесмежна с вершиной w, иначе вершина u1 была бы не нужна.

Далее, если в цикле v,u1,w, … ,u’,w’, … ,v есть вершина w’, смежная с вершиной w, то вершина v’ несмежна с вершиной v, так как иначе можно было бы построить гамильтонов цикл v,v’, … ,w,w’, … ,v без вершины u1, взявпоследовательность вершин w, … ,v’ в обратном порядке. Отсюда следует, что число вершин графа G’, не смежных с v, не менее числа вершин, смежных с w.
Но для любой вершины w графа G d(w)? p/2+n по построению, в том числе d(v)
? p/2+n. Общее число вершин (смежных и не смежных с v) составляет n+p-1.
Таким образом, имеем: n+p-1 = d(v)+d(V)? d(w)+d(v)? p/2+n+p/2+n = 2n+p.

Следовательно, 0? n+1, что противоречит тому, что n > 0.

Теорема Оре. Если число вершин графа G(V,E) n? 3 и для любых двух несмежных вершин u и v выполняется неравенство: d(u)+d(v)? n и [pic](u,v)[pic]E, то граф G — гамильтонов.

Граф G имеет гамильтонов цикл если выполняется одно из следующихусловий:

Условие Поша: d(vk)? k+1 для k < n/2.

Условие Бонди: из d(vi)? i и d(vk)? k => d(vi)+d(vk)?n (k?i)

Условие Хватала: из d(vk)? k? n/2 => d(vn-k)? n-k.

Далее, известно, что почти все графы гамильтоновы, то есть где H(p) — множество гамильтоновых графов с p вершинами, а G(p) —множество всех графов с p вершинами. Таким образом, задача отыскания гамильтонова цикла или эквивалентная задача коммивояжера являются практически востребованными, но для нее неизвестен (и, скорее всего несуществует) эффективный алгоритм решения.

Пример графа, когда не выполняется условие теоремы Дирака, но граф является гамильтоновым.

[pic]

N = 8; d(vi) = 3; 3? 8/2 = 4 не гамильтонов граф, но существует гамильтонов цикл: M = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1)

Задачи связанные с поиском гамильтоновых циклов

В ряде отраслей промышленности возникает следующая задача планирования. Нужно произвести n продуктов, используя единственный тип аппаратуры. Аппарат должен быть перенастроен после того как был произведен продукт pi (но до того как начато производство продукта pj), в зависимости от комбинации (pi,pj). Стоимость перенастройки аппаратуры постоянна и независит от производимых продуктов. Предположим, что эти продукты производятся в непрерывном цикле, так что после производства последнего из n продуктов снова возобновляется в том же фиксированном цикле производство первого продукта.

Возникает вопрос о том, может ли быть найдена циклическая последовательность производства продуктов pi (i=1,2,…,n), не требующая перенастройки аппаратуры. Если представить эту задачу в виде ориентированного графа, то ответ на поставленный вопрос зависит от того, имеет ли этот ориентированный граф гамильтонов цикл или нет.

Если не существует циклической последовательности продуктов, нетребующей перенастройки аппаратуры, то какова должна быть последовательность производства с наименьшими затратами на перенастройку, т.е. требующая наименьшего числа необходимых перенастроек?

Таким образом мы рассмотрим следующие две задачи.

Задача 1. Дан ориентированный граф G, требуется найти в G гамильтонов цикл (или все циклы), если существует хотя бы один такой цикл.

Задача 2. Дан полный ориентированный цикл G, дугам которого приписаны произвольные веса C=[cij], найти такой гамильтонов цикл, который имеет наименьший общий вес. Следует отметить, что если ориентированный граф G неполный, то его можно рассматривать как полный ориентированный граф, приписывая отсутствующим дугам бесконечный вес.

Алгоритмы решения задачи коммивояжера и ее вариантов имеют большое число практических приложений в различных областях человеческой деятельности. Рассмотрим, например, задачу в которой грузовик выезжает с центральной базы для доставки товаров данному числу потребителей и возвращается назад на базу. Стоимость перевозки пропорциональна пройденному грузовиком расстоянию, и при заданной матрице расстояний между потребителями маршрут с наименьшими транспортными затратами получается как решение соответствующей задачи коммивояжера. Аналогичные типы задач возникают при сборе почтовых отправлений из почтовых ящиков, составлении графика движения школьных автобусов по заданным остановкам и т.д. Задача очень легко обобщается и на тот случай, когда доставкой (сбором) занимаются несколько грузовиков, хотя эту задачу можно также переформулировать как задачу коммивояжера большей размерности. Другие приложения включают составление расписания выполнения операций на машинах, проектирование электрических сетей, управление автоматическими линиями и т.д.

Очевидно, что сформулированная выше задача (1) является частным случаем задачи (2). В самом деле, приписывая случайным образом дугам заданного ориентированного графа G конечные веса, получаем задачу коммивояжера. Если решение для этой задачи, т.е. кратчайший гамильтонов цикл, имеет конечное значение, то это решение является гамильтоновым циклом ориентированного графа G (т.е. ответом на задачу 1). Если же решение имеет бесконечное значение, то G не имеет гамильтонова цикла.

С другой стороны можно дать еще одну интерпретацию задачи 1).
Рассмотрим снова полный ориетированный граф G1 с общей матрицей весов дуг
[cij] и рассмотрим задачу нахождения такого гамильтонова цикла, в котором самая длинная дуга минимальна. Эту задачу можно назвать минимаксной задачей коммивояжера. Тогда классическую задачу коммивояжера в той же терминологии можно было бы назвать минисуммной задачей коммивояжера. Покажем теперь, что задача (1) действительно эквивалентна минимаксной задаче коммивояжера.

В вышеупомянутом полном ориентированном графе G1 мы можем наверняка найти гамильтонов цикл. Пусть это будет цикл Ф1, и пусть вес самой длинной его дуги равен ?1. Удалив из G1 любую дугу, вес которой не меньше ?1, получим ориентированный граф G2. Найдем в ориентированном графе G2гамильтонов цикл Ф2, и пусть вес его самой длинной дуги равен ?2. Удалим из
G2 любую дугу, вес которой не меньше ?2, и так будем продолжать до тех пор, пока не получим ориентированный граф Gm+1, не содержащий никакого гамильтонова цикла. Гамильтонов цикл Фm в Gm (с весом ?m) является тогда по определению решением минимаксной задачи коммивояжера, так как из отсутствия гамильтонова цикла в Gm+1 следует, что в G1 не существует никакого гамильтонова цикла, не использующего по крайней мере одну дугу с весом, большим или равным ?m.

Таким образом, алгоритм нахождения гамильтонова цикла в ориентированном графе решает также минимаксную задачу коммивояжера.
Наоборот, если мы располагаем алгоритмом решения последней задачи, то гамильтонов цикл в произвольном ориентированном графе G может быть найден с помощью построения полного ориентированного графа G1 с тем же самым множеством вершин, что и в G, дугам которого, соответствующим дугам из G, приписаны единичные веса, а остальным дугам — бесконечные веса. Если решение минимаксной задачи коммивояжера для G1 имеет конечный вес (на самом деле равный единице), то в графе G может быть найден соответствующий гамильтонов цикл. Если же решение имеет бесконечный вес, то в графе G не существует никакого гамильтонова цикла. Следовательно, две указанные задачи можно рассматривать как эквивалентные, поскольку было продемонстрировано, что алгоритм нахождения гамильтонова цикла позволяет решать минимаксную задачу коммивояжера и наоборот.

Ввиду того, что обе сформулированные выше задачи (1) и (2) часто встречаются в практических ситуациях и (как мы увидим позже) задачу (1)саму по себе решить намного проще, чем как подзадачу задачи (2), мы обе эти задачи рассмотрим по отдельности.

Методы построения гамильтоновых циклов в графе.

Пока неизвестно никакого простого критерия или алгебраического метода, позволяющего ответить на вопрос, существует или нет в произвольном графе G гамильтонов цикл. Критерии существования, данные выше, представляют теоретический интерес, но являются слишком общими и не пригодны для произвольных графов, встречающихся на практике. Алгебраические методы определения гамильтоновых циклов не могут быть применены с более чем несколькими десятками вершин, так как они требуют слишком большого времени работы и большой памяти компьютера. Более приемлемым является способ Робертса и Флореса, который не предъявляет чрезмерных требований к памяти компьютера, но время в котором зависит экспоненциально от числа вершин в графе. Однако другой неявный метод перебора имеет для большинства типов графов очень небольшой показатель роста времени вычислений в зависимости от числа вершин. Он может быть использован для нахождения гамильтоновых циклов в очень больших графах. Ниже будут описаны алгебраический метод, перебор с возвратами, его улучшение, мультицепной метод.

Алгебраический метод построения гамильтоновых циклов

Этот метод включает в себя построение всех простых цепей с помощью последовательного перемножения матриц. «Внутреннее произведение вершин»цепи x1, x2, … ,xk-1, xk определяется как выражение вида x2*x3* … xk-1, не содержащее две концевые вершины x1 и xk. «Модифицированная матрица смежности» B=[?(i,j)] — это (nЧn)- матрица, в которой ?(i,j) — xj, если существует дуга из xi в xj и нуль в противном случае. Предположим теперь, что у нас есть матрица PL = [pL(i ,j)], где pL(i,j) — сумма внутренних произведений всех простых цепей длины L (L?1) между вершинами xi и xj дляxi?xj. Положим pL(i,i)=0 для всех i. Обычное алгебраическое произведение матриц B*PL = P’L+1 = [p’L+1(s,t)] определяется как

т.е. p’L+1(s,t) является суммой внутренних произведений всех цепей из xs вxt длины l+1. Так как все цепи из xk в xt, представленные внутренними произведениями из pL(k,t), являются простыми, то среди цепей, получающихся из указанного выражения, не являются простыми лишь те, внутренние произведения которых в pL(k,t) содержат вершину xs. Таким образом, если изp’L+1(s,t) исключить все слагаемые, содержащие xs (а это можно сделать простой проверкой), то получим pL+1(s,t). Матрица PL+1=[pL+1(s,t)], все диагональные элементы которой равны 0, является тогда матрицей всех простых цепей длины L+1.

Вычисляя затем B*PL+1, находим PL+2 и т.д., пока не будет построена матрица Pn-1, дающая все гамильтоновы цепи (имеющие длину n-1) между всеми парами вершин. Гамильтоновы циклы получаются тогда сразу из цепей в Pn-1 и тех дуг из G, которые соединяют начальную и конечную вершины каждой цепи. С другой стороны, гамильтоновы циклы даются членами внутреннего произведения вершин, стоящими в любой диагональной ячейке матрицы B*Pn-1 (все диагональные элементы этой матрицы одинаковые).

Очевидно, что в качестве начального значения матрицы P (т.е. P1)следует взять матрицу смежности A графа, положив все ее диагональные элементы равными нулю.

Недостатки этого метода совершенно очевидны. В процессе умножения матриц (т.е. когда L увеличивается) каждый элемент матрицы PL будет состоять из все большего числа членов вплоть до некоторого критического значения L, после которого число членов снова начнет уменьшаться. Это происходит вследствие того, что для малых значений L и для графов, обычно встречающихся на практике, число цепей длины L+1, как правило, больше, чем число цепей длины L, а для больших значений L имеет место обратная картина.
Кроме того, так как длина каждого члена внутреннего произведения вершин увеличивается на единицу, когда L увеличивается на единицу, то объем памяти, необходимый для хранения матрицы PL, растет очень быстро вплоть до максимума при некотором критическом значении L, после которого этот объем снова начинает уменьшаться.

Небольшая модификация вышеприведенного метода позволяет во много раз уменьшить необходимый объем памяти и время вычислений. Так как нас интересуют только гамильтоновы циклы и, как было отмечено выше, они могут быть получены из членов внутреннего произведения любой диагональной ячейки матрицы B*Pn-1, то необходимо знать только элемент pn-1(1,1). При этом на каждом этапе не обязательно вычислять и хранить всю матрицу PL, достаточно лишь найти первый столбец PL. Эта модификация уменьшает необходимый объем памяти и время вычислений в n раз. Однако даже при использовании этой модификации программа для ЭВМ, написанная на языке PL/1, который позволяет построчную обработку литер и переменное распределение памяти, не была способна найти все гамильтоновы циклы в неориентированных графах с более чем примерно 20 вершинами и средним значением степени вершины, большим 4.
Использовался компьютер IBM 360/65 с памятью 120 000 байтов. Более того, даже для графа с вышеуказанными «размерами» данный метод использовал фактически весь объем памяти и время вычислений равнялось 1.8 минуты. Не такое уж незначительное время для столь небольшого графа.