Реферат: по математике. На тему: «основные методы решения систем уравнений с двумя переменными»

РЕФЕРАТ ПО МАТЕМАТИКЕ.

НА ТЕМУ:

«ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ».

АВТОР РАБОТЫ:

УЧЕНИК 9 КЛАССА «Б»

ГОУ ГИМНАЗИИ № 1505

СТАРИЧЕНКОВ АЛЕКСАНДР.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

БАТАЛОВА ВЕРА ИВАНОВНА.

ГОД РЕАЛИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ:

2010-2011 ГОД

ГОРОД МОСКВА.

СОДЕРЖАНИЕ:

1) ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………стр. 2

2) ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ РЕФЕРАТА………………………….стр. 3-9

ГЛАВА I: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ……………… стр.3-7

а) ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ………………………………стр.3

б) ГРАФИЧЕСИЙ МЕТОД………………………………………стр.3-4

в) СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ………………………………….стр.4-6

г) СПОСОБ ПОЧЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ…стр.6

д) СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ……………………………………стр.6-7

ГЛАВА II: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ………………………………………………………стр.7-8

а) ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ………………… стр.7-8

б) СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ……………стр.8

3) ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………стр.9

4) СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………… стр.10

5) ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………стр.11-17

I. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА………………………………… стр.11-12

II. РЕШЕБНИК……………………………………...……………… стр.12-16

а) СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ………………………………….стр. 12-14

б) СПОСОБ ПОЧЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ… стр. 14

в) ГРАФИЧЕСИЙ МЕТОД………………………………………стр. 14-16

г) СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ …………… стр. 16

д) ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ….……………стр. 16

ВВЕДЕНИЕ.

Тема моего реферата «Основные методы решения систем уравнений с двумя переменными». Эта темя изучается в школьном курсе алгебры: в 7 классе изучаются системы линейных уравнений, а в 9 классе – системы нелинейных уравнений. Решение многих задач по алгебре, физике, геометрии приводит к составлению системы уравнений. Умение решать эти системы означает успешное изучение курсов алгебры, физики, геометрии. Решение систем уравнений включено в государственный экзамен 9 и 11 класса.

Цель моего реферата: разобрать основные методы решения систем уравнений. Для реализации моей цели я ставлю перед собой следующие задачи:

1) Ознакомление с литературой по теме реферата;

2) Обобщить основные методы решения систем линейных уравнений;

3) Познакомиться с некоторыми методами решения систем нелинейных уравнений;

4) Рассмотреть вопросы равносильности систем уравнений.

В результате изучения этой темы я составлю решебник систем уравнений. Я надеюсь что, мой решебник сможет помочь учащимся 8-9 классов лучше подготовиться к выпускным экзаменам. А основные методы решения систем с параметром я буду изучать в 10-м классе.

ГЛАВА I : МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Для начала выясню, что такое линейные и нелинейные уравнения с двумя переменной:

1) Линейные уравнения с двумя переменной – уравнение первой степени.

2) Нелинейные уравнения с двумя переменной – уравнение второй степени.

Теперь выясним, что такое решение системы уравнения с двумя переменными:

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство, называют решением системы [1] .

Осталось только два вопроса: во-первых, что является графиком уравнения и, во-вторых, вопрос о равносильности систем уравнений:

1) Графиком уравнения с двумя переменными является изображение точек её решений на плоскости[2] .

2) Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают. Если обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными[3] .

Теперь, когда все основные понятия и определения разобраны, можно приступать к решению систем разных видов основными методами, которые мне известны на данный момент.

Основная цель при решении систем уравнений — решить эту систему, то есть найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя переменными используются:

1) графический способ;

2) способ замены переменной и алгебраического сложения и вычитания;

3) способ почленного умножения и деления;

4) способ подстановки.

Все эти способы используются во всех предметах, где необходимы знания математики: алгебра, физика, химия, геометрия.

Рассмотрим способ № 1: Известно, что графиком линейного уравнения является прямая. Вопрос о числе решений системы двух линейных уравнений сводиться к определению числа общих точек прямых, являющимися графиками уравнений системы. Рассмотрим три случая расположения прямой.

Случай 1: Прямые, которые являются графиком функции, входящих в данную систему, пересекаются.

Решим эту систему:

Уравнениями у=-1,1х+12 и у=-6х+18 задаются линейные функции. Угловые коэффициенты прямых этих функций различны. Следовательно, эти прямые пересекаются, и система имеет единственное решение. Прировняв правые части уравнений, найдем точку пересечения. Данная система имеет единственное решение: пара чисел равная (1,2; 10,7).

Случай 2: Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны.

Решим систему уравнений:

Прямые, являющиеся графиками линейных функций у=-0,4х+0,15 и у=-0,4х+3,2, параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с осью у различны. Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений.

Случай 3: Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают.

Очевидно, что графики уравнений совпадают. Это означает, что любая пара чисел (х; у), в которой х — произвольное число, а у = — 2,5х — 9, является решением системы. Система имеет бесконечно много решений.

Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности по ряду причин:

1) не умение, выражать одну переменную через другую;

2) не правильное построение системы координат (различный единичный отрезок на осях ординат и абсцисс).

Рассмотрим способ № 2(замена переменной): Легче всего это сделать, решив задачу, что мы сейчас и сделаем:

Условие задачи: Ученик задумал два числа. Первое число на 5 больше второго. Если от удвоенного первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 25. Какие числа задумал ученик?

Решение: Пусть х — первое число, у — второе число. По условию задачи составим систему уравнений.

В первом уравнении выразим х через у: х=у+5 .

Подставив во второе уравнение вместо переменной х выражение х = у + 7, получим систему

Очевидно, что получившееся второе уравнение является уравнением с одной переменной.

Решим его:

2y + 14 – 3y = 25

-1y = -11

y = 11

Подставив в первое уравнение системы вместо переменной у ее значение, равное 6, получим:

x = -11 + 5

x = -6

Ответ: ученик задумал числа равные -6 и -11, т. е. пара чисел (-6; -11) является решением данной системы.

Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности по ряду причин:

1) не умение, выражать одну переменную через другую;

2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).

Рассмотрим способ № 2(алгебраическое сложение): Как и в методе подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Решим систему уравнений:

В уравнениях этой системы коэффициенты при у являются противоположными числами (+3y и -3y). Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

2x = 18

x = 9

Заменим одно из данных нам уравнений системы, например первое, уравнением 2x = 18. Получим систему:

Полученная система равносильна данной системе. Решим полученную систему:

Из уравнения 2х=18 находим, что х=9. Подставив это значение х в уравнение 4х-3у=12, получим уравнение с переменной у.

Решим это уравнение:

4 × 9 + 3y = 12

3y = -24

y = -8

Пара чисел (11; — 9) — решение полученной системы, а значит, и данной нам системы.

Воспользовавшись тем, что в уравнениях данной нам системы коэффициенты при у являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Геометрически равносильность систем означает, что графики уравнений 4 x + 3 y = 12 и -2 x — — 3у=38 пересекаются.

Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по одной причине:

1) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).

Рассмотрим способ № 3: Если при решении систем уравнений учащийся не может ни заменить переменную, ни алгебраически сложить, то можно прибегнуть к этому способу. Разберём на примере.

Решим систему уравнений:

Домножим верхнее уравнение на 3. Получим:

Очевидно, что и в первом и во втором уравнениях есть 3y, только с разными знаками. Дальше решаем так же, как и прошлой системе (см. 3 разбор).

В конце получаем, что пара чисел (4,2; -4,8) является решением данной нам системы.

Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по ряду причине:

1) не видят, что и насколько надо домножить;

2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).

Рассмотрим способ подстановки: Этот метод или способ решения систем уравнений используется чаще всех. Грубо говоря, этот способ мы разобрали во всех остальных, т.к. заменяя одну систему на равносильную ей, мы находим одну переменную, а затем подставляем её значение в одно из уравнений данной нам системы. А, следовательно, возникающие проблемы при решении систем уравнений этим способом такие же, как и у всех остальных методов:

1) не умения, выражать одну переменную через другую;

2) не умение, подставить уже полученную переменную;

Итак, из всего выше сказанного можно сделать вывод:

во время решения систем нелинейных уравнений у учащихся возникают проблемы по ряду двум причинам:

1) не умения, выражать одну переменную через другую;

2) не умение, подставить уже полученную переменную;

3) не видят, что и насколько надо домножить.

ГЛАВА II : МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ[4] .

В этой части реферата я рассмотрю два основных метода решения систем нелинейных уравнений:

1) Однородные системы уравнений;

2) Симметричные системы уравнений.

1) Однородные системы уравнений:

Уравнения называются однородными, если все слагаемые, содержащие неизвестные, имеют одну и ту же степень (показатели степеней разных неизвестных в слагаемых складываются).

Почему же мы выделяем такие системы? Оказывается, существует стандартная подстановка x = t×y (y ≠ 0), которая позволяет решить систему.

Пример:

Пусть x = t×y (y ≠ 0), тогда

Зная t, легко сразу найти , учитывая, что . Используя это, найдём y, а затем и x.

a) t =3

b) t =

При y = 0 решения нет.

Ответ: {(3√3; √3); (-3√3; √3); (4; 5); (-4; -5)}.

2) Системы симметричных уравнений:

Выражение с двумя неизвестными называется симметричным, если при замене одного неизвестного на другое и наоборот выражение не изменяется.

Любое симметричное выражение с двумя неизвестными может быть представлено, как алгебраическая комбинация, через два простейших симметричных выражения: a + b = t и a×b = z.

Пример:

Пусть , тогда система имеет вид: .

Вычтем из первого уравнения второе уравнение:

По теореме, обратной теореме Виета, данная система порождает квадратное уравнение + 4m + 3 = 0, корнями которого являются x и y. В силу симметричности имеем: (1; 3); (3; 1).

Из порождённого квадратного уравнения — 4n + 3 = 0 следует решения (-3; -1); (-1; -3).

Ответ: {(1; 3); (3; 1); (-3; -1); (-1; -3)}.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Итак, в своём реферате я, во-первых, обобщил основные методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными, во-вторых, рассмотрел некоторые методы решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными, в-третьих, составил решебник, который, я надеюсь, поможет читающим мой реферат лучше понять тему, которую я выбрал, и сформирует навык решения систем уравнений. Другими словами я решил все задачи, которые стояли передо мной, и справился с моей целью. Надеюсь, мой реферат был интересен для чтения, повторения прошлого и знакомства с частью нового материала. Я постараюсь продолжить работу над этой темой в 10 классе в качестве дипломной работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. А.Х.Шахмейстер: «Системы уравнений математика»

2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков «АЛГЕБРА. Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики» Москва 2006 год, 5-е издание — М.: Мнемозина, 439 страниц, иллюстрации.

3. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич «Сборник задач по алгебре 8-9 классы» Москва «Просвещение» 1994 год, 271 страница.

4. Системы уравнений. Поиск имён для исторической справки. ru.wikipedia.org

I . ИСОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА[5] :

В XVII — XVIII в.в. приемы исключения разрабатывали:

Пьер де Ферма(17 августа 1601 — 12 января 1665, прожил 63 года) — французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе;

Исаак Ньютон(25 декабря 1642 (4 января 1643) — 20 марта 1727 (31 марта 1727), прожил 84 года) — английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики;

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц(1 июля 1646 — 14 ноября 1716, прожил 70 лет) — немецкий философ, математик, юрист, дипломат;

Леонард Эйлер(4 (15) апреля 1707 — 7 (18) сентября 1783, прожил 76 лет) — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук;

Этьенн Безу(31 марта 1730 — 27 сентября 1783, прожил 53 года) — французский математик, член Парижской академии наук (1758);

Жозеф Луи Лагранж(25 января 1736 — 10 апреля 1813, прожил 77 лет) — французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером — лучший математик XVIII века.

II . РЕШЕБНИК.

В этой части приложения написан решебник на мою тему с целью помочь читающим попрактиковаться в решении систем уравнений с двумя переменными. Для каждого метода будет представлено по примеру и решение одного из них, в качестве примера как их решать тем или иным методом.

1) Метод замены переменной и алгебраического сложения и вычитания :

Для начала метод алгебраического сложения.

Пример №1 :

Решение :

Можно заметить, что в двух уравнениях присутствует одна и та же переменная: 3y, только с разными знаками. Следовательно, их можно алгебраически сложить и мы получим равносильную систему:

1) 6x = 6

x = 1

Итак, мы нашли значение первой переменной: x = 1. теперь подставляем это значение в любую из уравнений, чтобы найти значение второй переменной:

21 – 3y = 2

-3y = 0

y = 0

Получили: y = 0.

Ответ: (1; 0).

Метод алгебраического вычитания почти такой же, как и метод алгебраического сложения, только вместо того, чтоб складывать уравнения, мы вычитаем одно из другого.

Теперь разберём последовательность решения методом замены переменной:

Пример №2 :

Решение :

2) 1 + y + y = 1

2y = 0

y = 0

x + 0 = 1

x = 1

Объяснение :

Вначале я перенёс одну переменную из уравнения 1 вправо и получил: x = 1 –y. Затем, я подставил полученное значение во второе уравнение и нашёл значение переменной y: y = 0. после этого. Я подставил это значение во второе уравнение и получил значение переменной x: x = 1.

Ответ: (1, 0).

Теперь потренируйтесь самостоятельно.

Пример №3 (метод алгебраического сложения) :

У вас должен получиться ответ: (2; -0,(3)).

Пример №4 (метод замены переменной):

Правильный ответ: (7; 1).

2) Метод почленного умножения и деления :

Пример№1:

Решение :

Домножим первое уравнение на два и получим:

Теперь вычтем из первого уравнения второе (включаем в решение метод алгебраического вычитания). Затем решаем все, как и в прошлых примерах: находим значение одной переменной, затем второй и пишем ответ.

Ответ: (1; 1).

Метод почленного деления очень похож, но вместо умножения каждого члена уравнения на какое-либо число мы на него их делим.

Теперь потренируйтесь.

Пример №2 (метод почленного деления) :

Правильный ответ: (1; 1).

Пример №3 (метод почленного умножения):

У вас должен получиться ответ: (3 -4) и (-3; 4).

3) Метод графического решения .

Пример №1 :

Решение :

Для начала перенесём переменную x в правую сторону, чтобы получить уравнение функции:

Теперь начертим графики полученных функций: