Реферат: цель этой работы, рассмотреть незаслуженно забытую проблему, которая не была решена. Явно недостаточное количество литературы по этому вопросу не позволяет многим людям попытаться внести свой вклад в эту область знаний.

БГУИР

Диофантовы уравнения

Халецкий Андрей Викторович

Черкас Леонид Антонович

Доктор физико-математических наук, профессор

МИНСК 2004

РЕФЕРАТ

Цель этой работы, рассмотреть незаслуженно забытую проблему, которая не была решена. Явно недостаточное количество литературы по этому вопросу не позволяет многим людям попытаться внести свой вклад в эту область знаний. Предмет исследования одновременно прост и сложен. Метод диафантова анализа, по своей сути предельно прост, но приемы, которые применяются, зачастую далеко не очевидны. Теория делимости чисел, как инструмент при решении задач используется не так часто, как например дифференциальное исчисление, но она предельно проста, многие ее положения просто очевидны, остальные легко понятны всем. Но выводы, которые мы можем получать при решении задач, могут быть просто невероятными.

На некоторые уравнения, приведенные в этой работе, было обращено внимание в книге «Диофантовы уравнения» (Базылев Д.Ф.). Так решение уравнения 2 x +3 y =5 z приводится по книге. Однако 2 x +3 y =7 z в этой же книге решено не верно. Уравнение 2 x +3 y =11 z в литературе не встречалось, при решении этого уравнения было использовано огромное количество методов ранее не известных автору.

При решении уравнений выяснилось, что решения таких уравнений, есть небольшие числа. Выдвинуто предположение «max {x,y,z} <= max{a,b,c}, c x +b y = az » которое, может вовсе снять проблему целого класса диафантовых уравнений.

Сейчас в приложениях ничтожное количество объектов и явлений которые описываются формулами с переменными натурального типа в показатели степеней (например, формула описывающая радиусы орбит планет Солнечной системы) однако не стоит забывать, что развитие математики ради математики, зачастую давало результаты которые нашли свое применение лишь через сотни лет.

Содержание.

Введение. 2

Решение уравнений вида 2 x +3 y = az .

1. Решение уравнений вида 2 x +3 y =(2 k ) z , k Î N 6

2. Решение уравнений вида 2 x +3 y =(3k) z , k Î N 6

3. Решение уравнения 2 x +3 y =5 z . 7

4. Решение уравнения 2 x +3 y =7 z . 9

5. Решение уравнения 2 x +3 y =11 z . 10

6. Решение уравнения 2 x +3 y =13 z . 15

Заключение. 16

Приложение. 18

Список литературы. 19

«Чтобы дойти до цели,

надо прежде всего идти»

О. Бальзак

ВВЕДЕНИЕ

Во многих сборниках математических головоломок конца XIX в. приводиться такая задача. Один фермер потратил 100 долларов на покупку 100 домашних животных. Каждая корова обошлась ему в 10 долларов, свинья—в 3 доллара, а овца—по 50 центов за голову. Предполагая, что фермер купил, по крайней мере, одну корову, одну свинью, одну овцу, подсчитать, сколько голов скота каждого вида он купил.

На первый взгляд кажется, что это обычная задача из элементарной алгебры, однако, начав ее решать, мы быстро обнаруживаем, что у нас получается система из двух уравнений с тремя неизвестными, каждое из которых должно быть положительным целым числом. Нахождение целочисленных решений алгебраических уравнений с тремя неизвестными в наши дни называется обычно диофантовым анализом. В прошлые столетия такой анализ допускал использование в качестве переменных и рациональные дроби, однако сейчас он ограничивается только целыми числами.

Термин «диофантов» берет свое начало от имени выдающегося греческого математика Диофанта из Александрии. К сожалению, до сих пор не известно точно в каком веке он жил, однако большинство ученых относят его работы к III в. О его жизни практически ничего не известно, за

исключением нескольких незначительных фактов, которые упоминаются в одной стихотворной задаче, вошедшей в один более поздний греческий сборник математических головоломок. Судя по этим фактам, у Диофанта был сын, умерший в среднем возрасте, а сам Диофант дожил до 84 лет. До нашего времени дошла примерно половина его главного труда—математического трактата «Арифметика». Поскольку в большинстве задач в этой книге предусматривает решение в целых числах, то для анализа подобного рода стал применяться термин «диофантов». Сам Диофант не предпринимал никаких попыток создать систематическую теорию таких задач, точно так же как нет почти никаких свидетельств использования методов диофантова анализа математиками, жившими до него.

Сегодня диофантов анализ—это обширная, сложная область теории чисел, которой посвящена многочисленная научная литература. При этом полная теория разработана лишь для линейных уравнений. Неизвестен (а, может, и не существует) общий метод решения уравнений второй и более высокой степеней. Анализ даже простейшего нелинейного диофантова уравнения может представить огромнейшие трудности. Такое уравнение может вообще не иметь решения, может иметь бесконечное множество решений или, наконец, может обладать произвольным конечным числом решений. Множество таких уравнений—причем порой настолько простых, что они понятны даже ребенку,—упорно сопротивляется всем попыткам найти их решение или доказать, что такое решение

невозможно.

В этой работе мы будем рассматривать уравнения вида 2 x +3 y = az , где x , y , z —неизвестные натуральные числа, a — данное натуральное число.

I . Решение уравнений 2 x +3 y = az .

1. Решение уравнения 2 x +3 y =1 z или 2 x +3 y =1 (1 a =1).

2 x +3 y =1,

2 x >1, 3 y >1 , где x , y —натуральные, тогда

2 x +3 y =1>2,

получили противоречие.

Ответ: Æ .

2. Решение уравнения 2 x +3 y =(2 k ) z , k Î N .

2x +3y =(2k)z ,

(2k)z -2x =3y ,

2(2z-1 kz -2x-1 )=3y ,

2(2 x -1 +2 z -1 kz ) —четное, 3 y —нечетное.

Ответ: Æ .

3. Решение уравнения 2 x +3 y =(3 k ) z , k Î N .

2x +3y =(3k)z ,

2x = (3k)z -3y ,

2 x =3(3 z -1 kz -3 y -1 ), тогда

2:3 , что невозможно.

Ответ: Æ .

4. Решение уравнения 2 x +3 y =5 z (Диофантовы Уравнения. Базылев Д.Ф.)

1) Если x =1 , тогда 2+3 y =5 z , (1;1;1) —решение уравнния 2 x +3 y =5 z . Пусть y >1, тогда (5 z -2):9 Þ 5 z º 2( mod 9). Рассмотрим остатки от деления 5 z на 9: 5;7;8;4;2;1 Þ z =6 k +5, ( k Î Z + );

(56 -1):7 (Малая теорема Ферма), то 5 z =56 k +5 =55 (56 k -1)+55 = 55 (7 a )+7 × 446+3=7 b +3 , значит, 3 y = 5 z -2= 7 b +1, т.е. 3 y º 1 ( mod 7),

3 n при делении на 7 дает остатки 3;2;6;2;5;1, т.е. y =6 q ( q Î N ), Итак, 5 z -36 m =2 Û5 z -3= 36 m -1.

Так как 36 -1 делится на 13, то 36 m -1 делиться на 13, значит, 5 z -3 делится на 13, однако 5 z при делении на 13 дает остатки 5;12;8;1. Получено противоречие. (1,1,1)—решение уравнения 2 x +3 y =5 z .

2) Пусть x =2, тогда уравнение принимает вид 4+3 y =5 z .

Предположим, y нечетное число, тогда, по условию имеем

(4+1) z -4=(4-1) y Û(4 a +1)-4=4 b -1 Ûa - b -1=1 /2 где a , b Î N , что невозможно.

Тогда y =2 m , m Î N .

Предположим, z нечетное число, тогда, согласно условию, имеем

(6-1) z =3 y +4 Û6 c -1=3 y +4 Û2 c -3 y -1 -1=2 /3 , где c Î N , что невозможно. Тогда z =2 n , n Î N .

Имеем 52 n -32 m =4 Û(5 n -3 m )( 5 n +3 m )=4 , откуда

ì5 n -3 m =1 или ì5 n -3 m =2 Û

î5n +3m =4 î5n +3m =2

ì5 n =2,5 или ì5 n =2

î3 m =1,5 î3 m =0, что невозможно.

Уравнение4+3 y =5 z решения не имеет.

3) Пусть x =3, тогда имеем уравнение 8+3 y =5 z .

Предположим, y нечетное.

Получаем (4+1) z =8+(4-1) y Û4 a +1=8+4 b -1 Û a - b -2=1 /2, где a , b Î N , что невозможно. Тогда, y =2 m , m Î N .

Предположим z =2 n +1.

Имеем 52 n +1 =8+(8+1) m Û 5(24 c +1)=8+(8 d +1) Û d -15 c +1=1 /2 , где c , d Î N , что невозможно.

Итак, z =2 n , n Î N .

Тогда имеем 52 n -32 m =8 Û(5 n -3 m )( 5 n +3 m )=8, учитывая, что 5 n ± 3 m четные и 5 n -3 m <5 n +3 m , получаем ì5 n -3 m =2 Þ5 n =3, что невозможно.

î5 n +3 m =4 .

4) Пусть x =4, тогда имеем уравнение16+3 y =5 z .

Предположим y -нечетное.

Получаем (4+1) z =16+(4-1) y Û4 a +1=16+4 b -1 Û a - b -31 /2 =0, где a , b Î N , что невозможно. Тогда y =2 m , m Î N .

Предположим z =2 n +1.

Имеем 52 n +1 =16+(8+1) m Û 5(24 c +1)=16+(8 d +1) Û 15 c - d =11 /2 , где c , d Î N , что невозможно.

Итак z=2n, n Î N.

Имеем (5 n -3 m )( 5 n +3 m )=16, учитывая, что 5 n ± 3 m четные и

5 n -3 m <5 n +3 m , получаем ì 5 n -3 m =2 Û ì2 × 5 n =10 Û ì5 n =5 Û

î5n +3m =8. î2 × 3 m =6 î3 m =3

n = m =1. Значит, (4;2;2)- решение уравнения 2 x +3 y =5 z .

5) Предположим, x ³ 5 , тогда 2 x +3 y =5 z . 5 z -3 y =2 x . (5 z -3 y ) делится на 32, т.е. числа 3 y и5 z дают один и тот же остаток при делении на 32 .

Рассмотрим остатки от деления на 32 5 z и3 y .

5 z при делении на 32 дает остатки: 5; 25; 29; 17; 21; 9; 13; 1 , а

3 y при делении на 32 дает остатки: 3; 9; 27; 17; 19; 25; 11; 1 . Итак, возможны пары ( z ; y ):

(8k+2; 8l+6); (8k+4; 8l+4); (8k; 8l).

Во всех случаях числа z , y четные, т.е. z =2 a , y =2 b a , b Î N , тогда

52a -32b =2x Û (5a -3b )( 5a +3b )=2x Û ì5a -3b =2c

î5a +3b =2d ,

где d > c >0; d , c , Î N , c + d = x .

Имеем 2 d -2 c =2 × 3 b Û 2 c -1 (2 d - c -1)=3 b . Значит, 3:2 c -1 , тогда c =1, следовательно, 3 b =2 d -1 -1, тогда b =1, d =3, c =1( см. Приложение), что противоречит предположению (x >4 x = d + c =3+1=4 ).

Ответ: (1;1;1), (4;2;2)

5. Решение уравнения 2 x +3 y =7 z

1) Пусть x =1 , тогда имеем уравнение 2+3 y =7 z .

Тогда 2+3 y =(6+1) z Û 2+3 y =6 a +1 Û 3 y -1 -2 a +1 /3 =0, где a Î N , что невозможно. Значит, уравнение 2+3 y =7 z решений не имеет.

2) Пусть x =2, тогда имеем уравнение 4+3 y =7 z .

y =1, z =1 решение. Предположим, y ³ 2, тогда 7 z -4=3 y , т.е.

7 z -4 делится на 9 Þ 7 z дает остаток 4 при делении на 9. 7 z при делении на 9 дает в остатке: 7; 4; 1 . Значит, z = 3 k +2, где k Î Z + .

Имеем 73 k +2 =3 y +4 Û 49(73 k -1)=3 y -45.

Заметим, что (73 -1):19 Þ(73 k -1):19 , т.е. (3 y -45):19 Þ (3 y -7):19.

3 y при делении на 19 дает остатки:

3; 9; 8; 5; 15; 7; 2; 6; 18; 16; 10; 11; 14; 4; 12; 17; 13; 1. Значит, у=18 k +6=6(3 k +1)=6 n , n Î N . Заметим, что (36 -1):7 Þ(36 n -1):7.

Получили 4+36 n =7 z Û 5+36 n -1=7 z Þ 5+7 a =7 z Û 7 z -1 - a =5 /7 , где a Î N , что невозможно.

Значит, (2;1;1) решение уравнения 2 x +3 y =7 z .

3) Предположим, x ³ 3, тогда 7 z -3 y =2 x , т.е. 7 z -3 y делится на 8, тогда числа 7 z и 3 y при делении на 8 дают равные остатки.

7 z при делении на 8 дает остатки: 7; 1, а 3 y при делении на 8 дает остатки 3; 1. Значит, z =2 k , y =2 n , где k , n Î N .

Имеем 72k -32n =2x Û (7k -3n ) (7k +3n )=2x Û ì7k -3n =2a

î7k +3n =2b

где b>a>0; b,a, Î N; a+b=x, тогда

2 × 7k = 2a +2b Û 7k =2a-1 (2b-a +1) . Значит, 7 k :2a-1. Откуда a =1. Получаем2 b -1 +1=7 k . Остатки от деления 2 x на 7: 2;4;1.

Значит, 2 b -1 +1=7 k решения не имеет.

Ответ: (2;1;1)

6. Решение уравнения 2 x +3 y =11 z

1.) Заметим, что все степени 11 дают остаток 1 при делении на 10.

Рассмотрим остатки при делении на 10 2 x и 3 y :

24m+1 º 2(mod 10), 34n+1 º 3(mod 10),

24m+2 º 4(mod 10), 34n+2 º 9(mod 10),

24m+3 º 8(mod 10), 34n+3 º 7(mod 10),

24m+4 º 6(mod 10), 34n+4 º 1(mod 10).

Значит, если x и у являются решениями уравнения, то сумма последних цифр 2 x и 3 y равна 11, т.е. x ¹ 4 m , y ¹ 4 n , возможны пары ( x ; y ) :

(4m+1; 4n+2); (4m+2; 4n+3); (4m+3; 4n+1).

2.) Остатки 2 x при делении на 11: 2,4,8,5,10,9,7,3,6,1.

Остатки 3у при делении на 11: 3,9,5,4,1.

Значит x ¹ 2 k .

Тогда остались пары ( x ; y ) :

(4m+1; 4n+2); (4m+3; 4n+1).

3.) Пусть x =1, тогда имеем уравнение 2+3 y =11 z , где y =4 n +2 (из п.6.1), тогда

2+34 n +2 =11 z .

Видим, что у=2, z =1 —его решение. Если существуют другие решения, тогда

y=4n+2>2 Þ 34n+2:27.

Остатки от деления 11 z на 27: 11;13;8;7;23;10;2;22;26;16;14;19;20;4;17;25;5;1. Þ z =18 k +7.

Заметим, что 1118 -1 делиться на 19 (малая теорема Ферма).

Имеем 1118k+7 -2=3 y , тогда 117 ( 1118k -1)+117 -2=19 a +9=3 y .

Остатки от деления 3 y на 19: 3;9;8;5;15;7;2;6;18;16;10;11;14;4;12;17;13;1. Значит, y=18 n+2.

318 n +2 =9(318 n -1)+9=9(276 n -1)+9=7 a +9 (276 n -1 делится на7), т.е.

1118k+7 =7b+4.

Остатки от деления 11 z на7: 4;2;1 , т.е. z =3 c +1…

Дальнейшее доказательство этого уравнения с помощью теории делимости чисел не существует, однако, проверка простым перебором, с помощью вычислительной техники позволяет предположить, что это равенство выполняется только при z =1 , y =1 .

4.) Пусть x =3, тогда имеем уравнение 8+3 y =11 z , где y =4 m +1 (из п.6.1.), y =1, z =1 его решение.

Пусть y >1 , тогда 11z -8=3 y , т.е. 11z -8 делится на 9 , значит, 11 z дает остаток 8 при делении на 9. 11 z при делении на 9 дает остатки: 2; 4; 8; 7; 5; 1. Откуда z =6 k +3 , тогда 11 z =116 k +3 = 113 × 116 k =113 (116 k -1)+ 113 , заметим 116 -1 делится на 7 Þ 116k -1 делится на 7 , тогда 113 (116 k -1)+113 =113 × 7 a +113 = 113 × 7 a + 7 × 190 + 1= 7(113 a +190) + 1, откуда 11z -8=7 b -7=7 c , одновременно 11z -8=3 y , значит,3 y :7 , что невозможно. (3;1;1)- решение уравнения 2 x +3 y =11 z .

5.) Допустим x >3, тогда 11 z -3 y =2 x делится на 16, т.е. 11 z и 3 y даю одинаковые остатки при делении на 16.

11 z при делении на16 дает остатки: 11; 9; 3; 1.

3 y при делении на 16 дает остатки: 3; 9; 11; 1.

Из п.6.2. y =4 n +1 или y =4 n +2; тогда z =4 k +3 или z =4 k +2 соответственно. Рассмотрим уравнение 11 z -3 y =2 x при y =4 n +2; z =4 k +2, тогда 114 k +2 -34 n +2 =2 x Û

ì112k+1 -32n+1 =2a

î112k+1 +32n+1 =2b, где b>a, a+b=x

Откуда 112 k +1 =2 a -1 (2 b - a +1) , что возможно только при a =1 , т.к.

112 k +1 : 2 a -1 , если a -1=0 , тогда 112 k +1 =2 b -1 +1 Þ 10 d +1 = 2 b -1 +1 Þ 2 b -1 : 5, что невозможно.

Рассмотрим уравнение 11 z -3 y =2 x при y =4 n +1; z =4 k +3. 114 k +3 -34 n +1 =2 x Û 113 (114 k -1)+113 –3(34 n -1)-3=2 x Û 113 (114 k -1) –3(34 n -1)+13 =2 x , зная, что 114 k -1 и 34 n -1 делятся на 5, запишем

113 (114 k -1)+11 –3(34 n -1)-3=2 x как 113 × 5 a -15 b +8=2 x откуда 5с+3=2 x Þ 2 x при делении на 5 дает остаток 3. 2 x при делении на 5 дает остатки: 2; 4; 3; 1. Тогда x =4 m +3 , что не противоречит ни одному из пунктов.

Как мы видим, решение по x не дало результатов, рассмотрим решение по y .

6.) Пусть y =1 , тогда имеем уравнение 2 x +3=11 z .

Тогда x =3, z =1 — его решение.

При x =4;5 —решений нет. Пусть x >5, тогда (11z -3):64 . Остатки от деления 11 z на 64: 11;57;51;49;27;41;3;33;43;25;19;17;59;9;35;1. Откуда z =16 k +7 , имеем 1116 k +7 -3=117 (1116k -1)+117 -3 Заметим, что

(1116 -1):17 (Малая теорема Ферма) и (1116 k -1):17 .

1116k+7 -3=17a+17 × 1146304+3–3=17d. Получаем 2 x =17 d , что невозможно. (3;1;1)- решение 2 x +3 y =11 z .

7.) Пусть y =2, тогда имеем уравнение 9+2 x =11 z . Видим, что x =1 z =1 — его решение.Пусть x >1, тогда 11 z -9 делится на 4 Þ11 x при делении на 4 дает остаток 1. 11 z при делении на 4 дает остатки 3; 1. т.е. z =2 k . Отсюда 112 k -9=2 x Û

ì11 k -3=2 a

î11 k +3=2 b , где b > a a , b Î N . Тогда 11 k =2 a -1 (2 b - a +1), что возможно только при a =1 . Значит, 11 k =2 b -1 +1 Þ 10 d +1=2 b -1 +1. откуда 2 b -1 :5 , что невозможно. (1;2;1)-решение уравнения 2 x +3 y =11 z .

8.) Пусть y >2. Возможны случаи: 34 n +2 +24 m +1 =11 z ; 34 n +1 +24 m +3 =11 z .

34 n +2 +24 m +1 =11 z , x >1, тогда 11 z -34 n +2 =24 m +1 делится на 4, т.е. 11 z и 3 y дают одинаковые остатки при делении на 4. 11 z при делении на 4 дает остатки: 3; 1. 32(2 n +1) при делении на 4 дает остаток 1 . Тогда z =2 k . Получили 112 k -34 n +2 =2x Û ì11 k -32 n +1 =2a

î1 1 k +32 n +1 =2 b , где b > a , a + b = x , тогда 11 z =2 a -1 (2 b - a +1) , что возможно только при a =1 , тогда

10 d +1=2 b -1 +1, 2 b -1 =10 d , откуда 2 b -1 :5, что невозможно.

34 n +1 +24 m +3 =11 z . y >1, тогда 34 n +1 =11 z -24 m +3 делится на 9, т.е.

11 z и 24 m +3 дают одинаковые остатки.

11 z при делении на 9 дает остатки: 2; 4; 8; 7; 5; 1.

2 x при делении на 9 дает остатки: 2; 4; 8; 7; 5; 1. (из п.6.2) x ¹ 2 m , тогда возможно 3 варианта.

1*)

z =6 k +1, x =6 m +1 , откуда 11(116 k -1)+11-2(26 m -1)-2=3 y .

7 a +7 b +9=3 y Û 7 d +2=3 y , тогда 3 y при делении на 7 дает остаток 2.

3 y при делении на 7 дает остатки: 3; 2; 6; 4; 5; 1. Откуда y =6 k +2, что противоречит условию(y =4 n +1 )

2*)

z=6k+3, x=6n+3, откуда 113 (116k -1)+113 -23 (26n -1)-23 =3y 7a+7b+7 × 189=3y

7 d =3 y , тогда 3 y :7 , что невозможно.

3*)

z =6 k +5, x =6 n +5 откуда

115 (116k -1)+115 -25 (26n -1)-25 =3y

7 a +5=3 y , тогда 3 y при делении на 7 дает остаток 5 .

3 y при делении на 7 дает остатки: 3; 2; 6; 4; 5; 1. Откуда y =6 k +5.

Получаем 116 k +5 -26 m +5 =36 n +5 . Заметим, что 36 -1 делится на 13, тогда 36 n -1 делится на 13 (См. Приложение.)

36n+5 =35 (36n -1)+ 35 =13d+9.

Остатки от деления 11 z на 13: 11;4;5;3;7;12;2;9;8;10;6;1.

Остатки от деления 2x на 13: 2;4;8;3;6;12;11;9;5;10;7;1.

Получаем 116 k +5 º 7 ( mod 13) и 116 k +5 º 6 ( mod 13), а

26k+5 º 6 (mod 13) и 26k+5 º 7 (mod 13).

Тогда возможны варианты: 116 k +5 =13 a +7 или 116 k +5 =13 a +6, а

26 k +5 =13 b +6 или 26 k +5 =13 b +7.

116k+5 -26m+5 =(13a+7)-(13b+6)=13(a-b)+1,

116k+5 -26m+5 =(13a+7)-(13b+7)=13(a-b),

116k+5 -26m+5 =(13a+6)-(13b+6)=13(a-b),

116 k +5 -26 m +5 =(13 a +6)-(13 b +7)=13( a - b )-1=13 c +12,

что противоречит равенству 36 n +5 =13 d +9.

Ответ: (1;2;1);(3;1;1).

7. Решение уравнения 2 x +3 y =13 z

1.) Рассмотрим остатки при делении на 13 2 x и 3 y

Остатки 2 x при делении на 13: 2;4;8;3;6;12;11;9;1.

Остатки 3у при делении на 13: 3,9,1. Откуда x =2 m .

2.) Пусть x =2 , тогда имеем уравнение 4+3 y =11 z .

13z -3y =4.

Рассмотрим остатки от деления 13 z и 3 y на 4:

13z на4:1.

3 y на4: 3;1. Получили, что y =2 n . Тогда 1 3 z -4=32 n ,

13 z -4=9 n , при n =1 решение(2;2;1 решение 2 x +3 y =13 z ),

пусть n >1, тогда (13 z -4):27.

Рассмотрим остатки от деления 13 z на 27:

13 z на 27: 13; 7; 10 22; 16; 19; 4; 25; 1. Откуда z =9 k +7.

Заметим, что (139 -1):10 Þ (139 k -1):10.

139 k +7 -4=9 n Û 137 (139 k -1)+137 -4=9 n учитывая что (139 k -1):10,

получаем 10 a +7-4=9 n Û 9 n -3=10 a Þ (9 n -3):10, что невозможно

9 n на 10 : 9;1. Æ .

3.) Пусть x >2, тогда (13 z -3 y ):8.

Рассмотрим остатки от деления 13 z и3 y на 8.

3 y на 8: 3; 1,

13 y на 8: 5; 1. Откуда у=2 n , z =2 k , имеем 132 k -32 n =2 x Û

ì13k -3n =2b , получаем 2 × 13k =2a +2b Û 13k =2a-1 (2b-a +1),

î13 k +3 n =2 a

13 k =2 a -1 (2 b -a +1) может иметь решения только при a =1 , тогда уравнение принимает вид 13 k =2 b -1 +1.

Рассмотрим остатки от деления 2 x на 13: 2;4;8;3;6;12;11;9;5;10;7;1.

Тогда b -1=12 c +6=6 d , получили 26 d -1+2=13 k Þ 7 e +2=13 k , что невозможно 13 k при делении на 7 дает остатки 6,1. Решений при x >2 нет.

Ответ: (2 ;2;1 )

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Общая схема решения диофантовых уравнений вида bx +( b +1) y = az ,

где a Î N , b Î N , на основе этой работы выглядит так:

1. Оценить остатки при делении выражения на a , b или ( b +1).

Возможны результаты:

А) Противоречия, корней нет. Ответ: Æ

Б) Возможны корни, при некоторых

ограничениях.(Переходим к п.2)

2. Выбираем одну из переменных (обозначим ее с ) и анализируем наличие корней при с=1, с=2,… с= q , с> q , учитывая полученные ранее ограничения.

Возможны результаты:

А) Получены противоречия, корней нет. Ответ.

Б) Отсев некоторых показателей, нахождение некоторых корней, доказательство, что при c > q корней нет. Ответ.

В) Новые ограничения. Нет доказательства отсутствия корней при c > q .(Переходим к п.3.)

3. Выбираем другую переменную и переходим к п.2.

А) Доказательство найдено. Ответ.

Б) Доказательство не найдено. Рассматриваем остатки от деления на другие числа.

С помощью теории делимости чисел можно легко показать, что уравнения вида bx +( b +1) y = az , где a Î N , b Î N , не имеют решения, например, если b или ( b +1) имеет общий делитель с а . Всегда можно наложить существенные ограничения на показатели степеней. Затем, эти ограничения можно использовать при доказательстве другими методами или в дальнейшем анализе. Стоит заметить, что все решения тривиальны, возможно, справедливо утверждение: «max {x,y,z} <= max{a,b,c}, c x +b y = az » Если удастся это доказать, то уравнения этого вида можно будет решать, простым перебором. конечного числа вариантов.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Малая теорема Ферма.

ap - a делится на простое p для любого натурального а. В частности, если

a и p взаимнопростые, то а p -1 -1 делится на p .

(Доказательство см. Диофантовы уравнения Д.Ф. Базылев. стр.20)

Бином Ньютона.

(x-a)n =xn +C1n axn-1 +…+an, n Î N.

Отсюда

1. для n =2 k +1 k Î Z + .( x -1) n = lx -1 , где l -некоторое натуральное число.

2. для n =2 k k Î N .( x -1) n = lx +1, где l -некоторое натуральное число.

3. для любого n .( x +1) n = lx +1, где l -некоторое натуральное число.

Формулы сокращенного умножения.

am -bm =(a-b)(am-1 +am-2 b+…+abm-2 +bm-1 ),m Î N.

Отсюда ( ak × m -1)= ( ak × m -1 k )=( am -1)(…) делится на ( am -1) .

Решение уравнеия 3 y =2 x -1.

3 y =2 x -1. 2 x -1. делится на 3. 2 x при делении на 3 дает остатки: 2;1.

Отсюда x =2 m . Имеем 3y =22m -1 Û ì2m -1=3a

î2m +1=3b, b>a, a+b= у .

Тогда 2 m +1 =3 a +3 b , b =1, a =0- его решение. Если а>0 , тогда 2 m +1 =3(3 a -1 +3 b -1 ), откуда 2 m +1 :3 , что невозможно.