Реферат: Применение геометрии

X районная научно-практическая конференция учащихся

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №92»

Применение геометрии

Работу выполнил:

Дороднева Анастасия

школа №92, 10 класс

Научный руководитель:

Прокопенко О.И., учитель математики и информатики

г.Новокузнецк, 2008г.

Содержание

1. Введение 3стр.

2. Измерение высоты дерева. 4.стр.

2.1 По длине тени. 4 стр.

2.2 Измерение высоты дерева при помощи простого

булавочного прибора. 5 стр.

2.3 При помощи записной книжки. 6 стр.

2.4 Измерение высоты дерева, не приближаясь к дереву. 7 стр.

3. Геометрия у реки. 9 стр.

3.1 Измерение ширины реки. 9 стр.

3.2 Измерение глубины пруда. 13 стр.

4. Заключение. 14стр.

5. Список литературы. 15 стр.

Введение

Геометрия – одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» — земля, «метрео» — мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям.

Целью работы служит рассмотреть применение геометрии на практике.

В своей работе рассматриваю следующие вопросы:

1. Измерение высоты дерева. (несколькими способами)

2. Измерение ширины, глубины реки.

Измерение высоты дерева

1. По длине тени

Существует множество различных способов измерения высоты дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку, при помощи весьма незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений.

Самый лёгкий и самый древний способ – без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался её тенью. Фалес, — говорит предание, — избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени. А чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было узнать некоторые геометрические свойства треугольника, — именно следующие два:

1) что углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно – что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою;

2) что сумма углов всякого треугольника равна двум прямым угла.

Только вооружённый этим знанием Фалес вправе был заключить, что, когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, и следовательно, вершина пирамиды, середина её основания и конец её тени должны обозначить равнобедренный треугольник.

Способ Фалеса в указанном виде применим не всегда, так как солнце у нас низко стоит над горизонтом, и тени бывают равны высоте отбрасывающих их предметов лишь в околополуденные часы летних месяцев.

Нетрудно, однако, изменить этот способ так, чтобы в солнечный день можно было пользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив, кроме того, и свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции:

AB: А1 В1 =BC: В1 С1

т.е. высота дерева во столько же раз больше вашей собственной высоты, во сколько раз тень дерева длиннее вашей тени. Это вытекает, конечно, из геометрического подобия треугольников АВС и А1 В1 С1.

Рис.1 Измерение высоты дерева.

2. Измерение высоты дерева при помощи простого булавочного прибора

Вполне возможно обойтись при измерении высоты и без помощи теней. Таких способов много; начнём с двух простейших.

Прежде всего мы можем воспользоваться свойством равнобедренного треугольника, обратившись к услугам весьма простого прибора, который легко изготовить из дощечки и трёх булавок. На дощечке любой формы, даже на куске коры, если у него есть плоская сторона, намечают три точки – вершины равнобедренного треугольника – и в них втыкают торчком по булавке. (рис.2) Пусть у вас нет под рукой чертёжного треугольника для построения прямого угла, нет циркуля для отложения равных сторон. Перегните тогда любой лоскут бумаги один раз, а затем поперёк первого сгиба ещё раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали, — и получите прямой угол. Та же бумага пригодится вместо циркуля, чтобы отмерить равные расстояния.

Рис.2 Булавочный прибор для измерения высот.

Обращение с ним не сложнее изготовления. Отойдя от измеряемого дерева, держите прибор так, чтобы один из катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можете пользоваться ниточкой с грузиком, привязанной к верхней булавке.

Рис.3 Схема применения булавочного прибора. Рис.4

Приближаясь к дереву или удаляясь от него, вы всегда найдёте такое место А (рис.3), из которого, глядя на булавки А1 и С1, увидите, что они показывают верхушку С дерева: это значит, что продолжение гипотенузы

А1 С1 проходит через точку С. Тогда, очевидно, расстояние А1 В равно СВ, так как угол а=450.

Следовательно, измерив расстояние А1 В и прибавив ВD, т.е. возвышение А1А глаза над землёй, получите искомую высоту дерева.

По другому способу вы обходитесь даже и без булавочного прибора. Здесь нужен шест, который вам придётся воткнуть в землю так, чтобы выступающая часть как раз равнялась вашему росту. Место для шеста надо выбрать так, чтобы, лежа, как показано на рис.6, вы видели верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Так как треугольник АВ1 С1 – равнобедренный и прямоугольный, то угол А=450и, следовательно, АВ равно ВС, т.е. искомый высоте дерева.

3. При помощи записной книжки

Рис. 5 Измерение высоты дерева при помощи записной книжки.

В качестве прибора для приблизительной оценки недоступной высоты вы можете использовать и свою карманную записную книжку, если она снабжена карандашом, всунутым в чехлик или петельку при книжке. Она поможет вам построить в пространстве те два подобных треугольника, из которых получается искомая высота. Книжка должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигается над верхним обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а, видеть вершину В дерева покрытой кончиком В1 карандаша. (рис. 5) Тогда вследствие подобия треугольников А1 В1 С1 и А1 BC высота ВС определиться из пропорции ВС: В1 С1 = А1 C: А1 С1

Расстояние В1 С1, А1 С1 и А1 С измеряются непосредственно. К полученной величине ВС надо прибавить ещё одну длину СD, т.е. – на ровном месте – высоту глаза над почвой.

Так ширина А1 С1 книжки неизменна, то если вы будете всегда становиться на одном и том е расстоянии от изменяемого дерева, высота дерева (например, 10м) будет зависеть только от выдвинутой части В1 С1 карандаша. Поэтому вы можете заранее вычислить, какая высота соответствует тому или иному выдвижению, и нанести эти числа на карандаш. Ваша записная книжка превратится тогда в упрощённый высотомер, так как вы сможете при её помощи определять высоты сразу, без вычислений.

4. Измерение высоты дерева, не приближаясь к дереву.

Рис. 6

Случается, что почему-либо неудобно подойти вплотную к основанию измеряемого дерева. Можно ли в таком случае определить его высоту?

Вполне возможно. Для этого и придуман остроумный прибор, который, как и предыдущие, легко изготовить самому. Две планки ab и cd скрепляются под прямым углом так, чтобы аb равнялось bc, а bd составляло половину аb. Вот и весь прибор. Чтобы измерить им высоту, держат его в руках, направив планку cd вертикально, и становятся последовательно в двух местах: сначала в точку А, где располагают прибор концом вверх, а затем в точке A', подальше, где прибор держат вверх концом d. (рис. 10) Точка А избирается так, чтобы, глядя из а на конец с, видеть его на одной прямой с верхушкой дерева. Точку же А' отыскивают так, чтобы, глядя из а' на точку d', видеть её совпадающей с В. В отыскании этих двух точек А и А' заключается всё измерение, потому что искомая часть высоты дерева ВС равна расстоянию АА'. Равенство вытекает, как легко сообразить, из того, что аС=ВС, а а'С=2ВС; значит, a'C-aC=BC.

Вы видите, что, пользуясь этим простым прибором, мы измеряем дерево, не подходя к его основанию ближе его высоты. Само собою разумеется, что если подойти к стволу возможно, то достаточно найти только одну из точек – А или А', чтобы узнать его высоту.

Вместо двух планок можно воспользоваться четырьмя булавками, разместив их на дощечке надлежащим образом; в таком виде «прибор» ещё проще.

Задача про две сосны.

Рис.7

В 40м одна от другой растут две сосны. Вы измерили их высоту: одна оказалась 31м высоты, другая, молодая – всего 6м.

Можете ли вы вычислить, как велико расстояние между их верхушками?

РЕШЕНИЕ

Искомое расстояние между верхушками сосен по теореме Пифагора равно =47м.

ГЕОМЕТРИЯ У РЕКИ

Измерение ширины реки

Не переплывая реки, измерить её ширину – так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на вершину. Непреступное расстояние измеряют теми же приёмами, какими мы измеряли недоступную высоту. В обоих случаях определение искомого расстояния, легко поддающегося непосредственному измерению.

Из многих способов решения этой задачи рассмотрим несколько наиболее простых.

1)Для первого способа понадобится уже знакомый нам «прибор» с тремя булавками на вершинах треугольника… Пусть требуется определить ширину АВ реки (рис.10), стоя на том берегу, где точка В, и не перебираясь на противоположный. Став где-нибудь у точки С, держите булавочный прибор близ глаз так, чтобы, смотря одним глазом вдоль двух булавок, вы видели, как обе они покрывают точки В и А. Понятно, что, когда это вам удастся, вы будете находиться как раз на продолжении прямой АВ. Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль других двух булавок и заметьте точку D, покрываемую этими булавками, т.е. лежащую на прямой, перпендикулярной к АС. После этого воткните в точку С веху, покиньте это место и идите с вашим инструментом вдоль прямой СD, пока не найдёте на ней такую точку Е (рис.11), откуда можно одновременно покрыть для глаза булавкой b шест точки С, а булавкой а – точку А. Это будет значить, что вы отыскали на берегу третью вершину треугольника АСЕ, в котором угол С – прямой, а угол Е равен острому углу булавочного прибора, т.е. ½ прямого. Очевидно, и угол А равен – прямого, т.е. АС=СЕ. Если вы измерите расстояние СЕ хотя бы шагами, вы узнаете расстояние АС, а отняв ВС, которое легко измерить, определите искомую ширину реки.

Рис.8 Рис.9

Рис.10

2)Второй способ сходен с первым. Здесь также находят точку С на продолжении АВ и намечают при помощи булавочного прибора прямую CD под прямым углом к СА. Но дальше поступают иначе. (рис.12) На прямой СD отмеряют равные расстояния СУ и ЕF произвольной длины и втыкают в точки Е и F вехи. Став затем в точке F с булавочным прибором, намечают направление FG, перпендикулярное к FC. Теперь, идя вдоль FG, отыскивают на этой линии такую точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Это будет означать, что точки Н, Е и А лежат на одной прямой.

Задача решена: расстояние FH равно расстоянию АС, от которого достаточно лишь отнять ВС, чтобы узнать, искомую ширину реки.

Этот способ требует больше места, сем первый; если местность позволяет осуществить оба приёма, полезно проверить один результат другим.

Рис.11

3) Описанный сейчас способ можно видоизменить: отмерить на прямой СF не равные расстояния, а одно в несколько раз меньше другого. Например, (рис.13) отмеряют FE в четыре раза меньше ЕС, а далее поступают по-прежнему: по направлению FG, перпендикулярному к FC, отыскивают точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Но теперь уже FH не равно АС, а меньше этого расстояния в четыре раза: треугольники АСЕ и ЕFH здесь не равны, а подобны. Из подобия треугольников следует пропорция

АС:FH=СУ: УF=4:1.

Значит, измерив FH и умножив результат на 4, получим расстояние АС, а отняв ВС, узнаем искомую ширину реки.

Этот способ требует, как мы видим, меньше места и потому удобнее для выполнения, чем предыдущий.

4) Четвёртый способ основан на том свойстве прямоугольного треугольника, что если один из его острых углов равен 30', то противолежащий катет составляет половину гипотенузы. Убедиться в правильности этого положения осень легко. Пусть угол В прямоугольного треугольника АВС равен 30'; докажем, что в таком случае АС=1/2АВ. Повернём треугольник АВС вокруг ВС так, чтобы он расположился симметрично своему первоначальному положению (рис.14), образовав фигуру АВD; линия АСD – прямая, потому что оба угла у точки С прямые. В треугольнике АВD угол А=60', угол АВD, как составленный из двух углов по 30', тоже равен 60'. Значит, АD=BD как стороны, лежащие против равных углов. Но АС=1/2AD; следовательно, АС=1/2АВ.

Рис. 12 Рис. 13

Желая воспользоваться этим свойством треугольника, мы должны расположить булавки на дощечке так, чтобы основания их обозначали прямоугольный треугольник, в котором катет вдвое меньше гипотенузы. С этим прибором мы помещаемся в точке С (рис.15) так, чтобы направление АС совпадало с гипотенузой булавочного треугольника. Смотря вдоль короткого катета этого треугольника, намечают направление СD и отыскивают на нём такую точку Е, чтобы направление ЕА было перпендикулярно к СD. Легко сообразить, что расстояние СУ – катет, лежащий против угла 30', — равно половине АС. Значит, измерив СЕ, удвоив это расстояние и отняв ВС, получим искомую ширину АВ реки.

Вот четыре легко выполнимых приёма, при помощи которых всегда возможно, не переправляясь на другой берег, измерить ширину реки со вполне удовлетворительной точностью. Способов, требующих употребления более сложных приборов, мы здесь рассматривать не будем.

Реки в центре Новокузнецка.

Глубина пруда

У древних индусов был обычай задачи и правила предлагать в стихах. Вот одна из таких задач:

ЗАДАЧА

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Воле цветка над водой,

Нашёл же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода

Здесь глубока?

РЕШЕНИЕ

Обозначим искомую глубину СD пруда через х. (рис. 16) Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

BD²-х²=ВС², т.е. х²=(х+1/2)²-2², откуда х²=х²+х+1/4-4, х=3(3/4).

Искомая глубина – 3(3/4) фута.

Близ берега реки или неглубокого пруда вы можете отыскать водяное растение, которое доставит вам реальный материал для подобной задачи: без всяких приспособлений, не замочив даже рук, определить глубину водоёма в этом месте.

Рис.14

Заключение

Геометрия возникла на основе практической деятельности, поэтому важно знать как при помощи геометрии измерить некоторые величины.

Целью работы служит рассмотреть применение геометрии на практике.

Рассмотренные примеры в работе позволяют измерить высоту дерева несколькими способами, не залезая на него (по длине тени, при помощи простого булавочного прибора, при помощи записной книжки), измерить ширину реки и глубину пруда.

Данная работа важна тем, что наглядно показывает, что геометрия – это не просто школьный предмет, а наука, находящая применение в жизни.

Практическое применение работы состоит в том, чтобы использовать знания и умения в решении задач по геометрии, расширении кругозора учащихся.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов А.Ф., Кадомцев С.В. и др. Геометрия 10-11 кл. – М.: Просвещение, 2003г. – 206с.

2. Брохгауз Ф.Б. Иллюстрированный энциклопедический словарь.-М.: Эксмо, 2006-960с.

3. Перельман Я.И. Занимательная алгебра, занимательная геометрия.-М.: АСТ, 2007-474с.