Реферат: «Уравнения с двумя неизвестными в целых числах»
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Саврушская средняя общеобразовательная школа
Похвистневский район Самарская область
Реферат по математике на тему:
«Уравнения с двумя
неизвестными
в целых числах »
Выполнили: Колесова Татьяна
Староверова Нина
у ченицы 10 класса
МОУ Саврушская СОШ
Похвистневского района
Самарской области.
Руководитель: Ятманкина Галина Михайловна
учитель математики.
Савруха 2011
Содержание
Введение._______________________________________________3
Глава 1. Теория уравнений с двумя переменными в целых числах.
1. Историческая справка _______________________________________5
1.1 Теоремы о числе решений линейных диофантовых уравнений___6
1.2 Алгоритм решения уравнения в целых числах_________________ 6
1.3 Способы решения уравнений_______________________________ 7
Глава 2. Применение способов решения уравнений.
1. Решение задач_____________________________________________ 8
2.1 Решение задач с помощью алгоритма Евклида________________ 8
2.2 Способ перебора вариантов________________________________ 9
2.3 Метод разложения на множители___________________________ 9
2.4 Метод остатков__________________________________________ 12
2. Задачи экзаменационного уровня___________________________ 13
Заключение________________________________________________ 16
Список используемой литературы_____________________________ 17
« Кто управляет числами,
Тот управляет миром»
Пифагор.
Введение.
Анализ ситуации: Диофантовы уравнения это актуальная в наше время тема, т. к. решение уравнений, неравенств, задач, сводящихся к решению уравнений в целых числах с помощью оценок для переменных, встречается в различных математических сборниках и сборниках ЕГЭ.
Изучив разные способы решения квадратного уравнения с одной переменной на уроках, нам было интересно разобраться, а как решаются уравнения с двумя переменными. Такие задания встречаются на олимпиадах и в материалах ЕГЭ.
В этом учебном году одиннадцатиклассникам предстоит сдавать Единый государственный экзамен по математике, где КИМы составлены по новой структуре. Нет части «А», но добавлены задания в часть «В» и часть «С». Составители объясняют добавление С6 тем, что для поступления в технический ВУЗ нужно уметь решать задания такого высокого уровня сложности.
Проблема: Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, мы заметили, что чаще всего встречаются в С6 задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Но мы не знаем способы решения таких уравнений. В связи с этим возникла необходимость изучить теорию таких уравнений и алгоритм их решения.
Цель: Освоить способ решения уравнений с двумя неизвестными первой и второй степени в целых числах.
Задачи: 1) Изучить учебную и справочную литературу;
2) Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;
3) Разобрать алгоритм решения уравнений данного вида;
4) Описать способ решения.
5) Рассмотреть ряд примеров с применением данного приема.
6) Решить уравнения с двумя переменными в целых числах из
материалов ЕГЭ-2010 С6.
Объект исследования : Решение уравнений
Предмет исследования : Уравнения с двумя переменными в целых числах.
Гипотеза: Данная тема имеет большое прикладное значение. В школьном курсе математики подробно изучаются уравнения с одной переменной и различные способы их решения. Потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие уравнения с двумя переменными. Поэтому повышенное внимание к этой теме не только оправдано, но и является актуальной в школьном курсе математики.
Данная работа может быть использована для изучения данной темы на факультативных занятиях учениками, при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. Мы надеемся, что наш материал поможет старшеклассникам научиться решать уравнения такого вида.
Глава 1. Теория уравнений с двумя переменными в целых числах.
1. Историческая справка.
Диофант и история диофантовых уравнений .
Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.
История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:
«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь» (примерно 84 года).
Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.
Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.)
Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.
1.1 Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения.
Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.
Теорема 1. Если в уравнении , , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.
Теорема 2. Если в уравнении , и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет.
Теорема 3. Если в уравнении , и , то оно равносильно уравнению , в котором .
Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:
где х0, у0 – целое решение уравнения , — любое целое число.
1.2. Алгоритм решения уравнения в целых числах.
Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .
1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b,
если и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;
если и , то
2. Разделить почленно уравнение на , получив при этом уравнение , в котором .
3. Найти целое решение (х0, у0 ) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ;
4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения
где х0, у0 – целое решение уравнения , — любое целое число.
1.3 Способы решения уравнений
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:
1. Способ перебора вариантов.
2. Алгоритм Евклида.
3. Цепные дроби.
4. Метод разложения на множители.
5. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной.
6. Метод остатков.
7. Метод бесконечного спуска.
Глава 2. Применение способов решения уравнений
1. Примеры решения уравнений.
2.1 Алгоритм Евклида.
Задача 1 . Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33.
Воспользуемся составленным алгоритмом.
1. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:
2816 = 407·6 + 374;
407 = 374·1 + 33;
374 = 33·11 + 11;
33 = 11·3
Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11
2. Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1
3. С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256.
256 = 37·6 + 34;
37 = 34·1 + 3;
34 = 3·11 + 1
Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.
1 = 34 – 3·11 = 34 – (37 – 34·1) ·11 = 34·12 – 37·11 = (256 – 37·6) ·12 – 37·11 =
– 83·37 – 256·(–12)
Таким образом, 37·(– 83) – 256·(–12) = 1, следовательно пара чисел х0 = – 83 и у0 = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3.
4. Запишем общую формулу решений первоначального уравнения
где t — любое целое число.
2.2 Способ перебора вариантов.
Задача 2. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?
Решение: Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число кроликов, у – число фазанов:
4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.
Выразим у через х : у = 9 – 2х.
Далее воспользуемся методом перебора:
х | 1 | 2 | 3 | 4 |
у | 7 | 5 | 3 | 1 |
Таким образом, задача имеет четыре решения.
Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).
2.3 Метод разложения на множители.
Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Поэтому покажем еще один прием — метод разложения на множители.
Задача 3. Решить уравнение в целых числах y 3 — x 3 = 91.
Решение. 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:
(y — x )(y 2 + xy + x 2 ) = 91……………………….(1)
2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91
3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число
y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 — 2|y ||x | + x 2 = (|y | — |x |)2 ≥ 0,
следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений:
; ; ;
4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.
Ответ: уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
Задача 4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению
.
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде
.
Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:
или .
Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .
Ответ: .
Задача 5. Решить уравнение в целых числах:
.
Решение. Запишем уравнение в виде
.
Разложим левую часть уравнения на множители. Получим
.
Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:
или .
Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.
Ответ: .
Задача 6. Решить в целых числах уравнение
.
Решение. Запишем данное уравнение в виде
.
Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки, получим
.
Произведение двух целых чисел может равняться 7 в следующих случаях:
7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1).Таким образом, получим четыре системы:
или , или , или .
Решением первой системы является пара чисел х = — 5, у = — 6. Решая вторую систему, получим х = 13, у = 6.Для третьей системы решением являются числа х = 5, у = 6. Четвёртая система имеет решение х = — 13, у = — 6.
Ответ: .
Задача 7. Доказать, что уравнение (x — y )3 + (y — z )3 + (z — x )3 = 30 не
имеет решений в целых числах.
Решение. 1) Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:
( x — y )(y — z )(z — x ) = 10…………………………(2)
2) Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (2) равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Задача 8. Решить уравнение: х2 — у2 =3 в целых числах.
Решение:
1. применим формулу сокращенного умножения х2 — у2 =(х-у)(х+у)=3
2. найдем делители числа 3 = -1;-3;1;3
3. Данное уравнение равносильно совокупности 4 систем:
х-у=1 2х=4 х=2, у=1
х+у=3
х-у=3 х=2, у=-1
х+у=1
х-у=-3 х=-2, у=1
х+у=-1
х-у=-1 х=-2, у=-1
х+у=-3
Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)
2.4 Метод остатков.
Задача 9 .Решить уравнение: х2 +ху=10
Решение:
1. Выразим переменную у через х: у= 10-х2
Х
У = — х
2. Дробь будет целой, если х Є ±1;±2; ±5;±10
3. Найдем 8 значений у.
Если х=-1, то у= -9 х=-5, то у=3
Х=1, то у=9 х=5, то у=-3
Х=-2, то у=-3 х=-10, то у=9
Х=2, то у=3 х=10, то у=-9
Задача 10. Решить уравнение в целых числах:
2х2 -2ху +9х+у=2
Решение:
выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени — в данном случае у:
2х2 +9х-2=2ху-у
У =
выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:
Следовательно, разность 2х-1 может принимать только значения -3,-1,1,3.
Осталось перебрать эти четыре случая.
Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
2. Задачи экзаменационного уровня
Рассмотрев несколько способов решения уравнений первой степени с двумя переменными в целых числах, мы заметили, что чаще всего применяются метод разложения на множители и метод остатков.
Уравнения, которые даны в вариантах ЕГЭ -2011, в основном решаются методом остатков.
1. Решить в натуральных числах уравнение: , где т>п
Решение:
Выразим переменную п через переменную т :
Найдем делители числа 625: т -25 Є 1; 5; 25; 125; 625
1) если т -25 =1, то т =26, п =25+625=650
2) т -25 =5, то т =30, п =150
3) т -25 =25, то т =50, п =50
4) т -25 =125, то т =150, п =30
5) т -25 =625, то т =650, п =26
Ответ: т =150, п =30
т =650, п =26
2. Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т
Решение: тп +25 = 4т
1) выразим переменную т через п :
4т – тп =25
т(4-п) =25
т =
2) найдем натуральные делители числа 25: ( 4-п) Є 1; 5; 25
если 4-п =1, то п =3, т =25
4-п =5, то п =-1, т =5 (посторонние корни)
4-п =25, то п =-21, т =1 (посторонние корни)
Ответ: (25;3)
3.Найдите все пары ( х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:
х2 +у 2 < 18х – 20у — 166,
32х — у2 > х2 + 12у + 271
Решение: Выделяя полные квадраты, получим:
(х-9)2 + (у+10)2 <15
(х-16)2 + (у+6)2 <21
Из первого и второго неравенства системы :
(х-9)2 < 15 6≤ х ≤ 12
(х-16)2 < 21, 12≤ х ≤ 20, х=12.
Подставляя х = 12 в систему, получим:
(у+10)2 < 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8
(у+6)2 < 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8
Ответ: (12; -8)
Заключение.
Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах является одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. В связи с этим, учащимся старших классов будет небезынтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в целых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах, а в этом году такие уравнения включены еще и в материалы ЕГЭ.
В своей работе мы рассматривали только неопределенные уравнения первой и второй степени. Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Мы выделили виды таких уравнений и алгоритмы их решений. Также было найдено общее решение таких уравнений.
С уравнениями второй степени сложнее, поэтому мы рассмотрели лишь частные случаи: теорему Пифагора и случаи, когда одна часть уравнения имеет вид произведения, а вторая раскладывается на множители.
Уравнениями третьей и больше степеней занимаются великие математики, потому что их решения слишком сложны и громоздки
В дальнейшем мы планируем углубить свое исследование в изучении уравнений с несколькими переменными, которые применяются в решении задач
Литература.
1. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. Москва « Просвещение» 1985г.
2. Галкин Е.Г. Нестандартные задачи по математике. Челябинск «Взгляд» 2004г.
3. Галкин Е.Г. Задачи с целыми числами. Челябинск «Взгляд» 2004г.
4. Глейзер Е.И. История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983г.
5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Москва 2003г.
6. Математика. ЕГЭ 2010. Федеральный институт
педагогических измерений.
7. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение
задач. Москва 1986г.