Реферат: Развитие самостоятельности школьников при обучении математики

ВВЕДЕНИЕ

Внеурочные занятия по математике призваны решить целыйкомплекс задач по углубленному математическому образованию, всестороннемуразвитию индивидуальных способностей школь­ников и максимальному удовлетворениюих интересов и потреб­ностей. Для непрерывного обучения и самообразования особоважное значение имеют развитие самостоятельности и творче­ской активностиучащихся и воспитание навыков самообучения по математике. Впсихолого-педагогической литературе само­стоятельность обычно понимается какспособность личности к деятельности, совершаемой без вмешательства со стороны.Само­стоятельность личности не выступает как изолированное качество личности,она тесно связана с независимостью, инициативностью, активностью,настойчивостью, самокритичностью и самоконтро­лем, уверенностью в себе. Важнойсоставной частью самостоя­тельности как черты личности школьника являетсяпознаватель­ная самостоятельность, которая трактуется как его готовность(способность и стремление) своими силами вести целенаправлен­ную познавательно-поисковуюдеятельность.

Самостоятельная познавательная деятельность учениковмо­жет носить как характер простого воспроизведения, так и пре­образовательный,творческий. При этом в применении к учащим­ся под творческой подразумеваетсятакая деятельность, в резуль­тате которой самостоятельно открывается нечтоновое, ориги­нальное, отражающее индивидуальные склонности, способности ииндивидуальный опыт школьника. Философское определение творческой деятельностикак деятельности, результатом которой является открытие нового оригинальногопродукта, имеющего общественную ценность, по отношению к учащемуся неприемле­мо.Хотя бывают случаи, когда деятельность учеников выходит за рамки выполненияобычных учебных заданий и носит твор­ческий характер, а ее результатомстановится продукт, имеющий общественную ценность: оригинальное доказательствоизвестной теоремы, доказательство новой теоремы, составление новой программыдля электронно-вычислительных машин и т. п., как правило, в учебнойдеятельности творчество проявляется в субъективном плане, как открытие новогодля себя, нового в своем умственном развитии, имеющего лишь субъективную но­визну,но не имеющего общественной ценности.

Творческий (продуктивный) и воспроизводящий (репродук­тивный)характер самостоятельной деятельности связаны между собой. Воспроизводящаясамостоятельная деятельность служит первоначальным этапом развитиясамостоятельности, этапом на­копления фактов и действий по образцу, и имееттенденцию к пе­рерастанию в творческую деятельность. В рамках воспроизводя­щейдеятельности уже имеют место элементы творчества. В свою очередь, в творческойдеятельности также содержатся элементы действий по образцу.

В дидактике установлено, что развитиесамостоятельности и творческой активности учащихся в процессе обучения математи­кепроисходит непрерывно от низшего уровня самостоятельности, воспроизводящейсамостоятельности, к высшему уровню, твор­ческой самостоятельности,последовательно проходя при этом определенные уровни самостоятельности.Руководство процессом перерастания воспроизводящей самостоятельности втворческую состоит в осуществлении последовательных взаимосвязанных,взаимопроникающих и обусловливающих друг друга этапов учебной работы, каждый изкоторых обеспечивает выход учаще­гося на соответствующий уровеньсамостоятельности и творче­ской активности. Задача воспитания и развитиясамостоятель­ности личности в обучении заключается в управлении процессомперерастания воспроизводящей самостоятельности в творческую.

1.   СИСТЕМА УЧЕБНОЙ РАБОТЫ ПО РАЗВИТИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ ИТВОРЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ

По характеру учебной самостоятельной деятельностиуча­щихся на внеурочных занятиях по математике целесообразно выделить четыреуровня самостоятельности.

Первый уровень — простейшая воспроизводящая самостоя­тельность.Особенно ярко проявляется этот уровень в самостоя­тельной деятельности ученикапри выполнении упражнений, требующих простого воспроизведения имеющихся знаний,когда учащийся, имея правило, образец, самостоятельно решает зада­чи,упражнения на его применение.

Ученик, вышедший на первый уровень самостоятельности,но не достигший еще второго уровня, при решении задачи исполь­зует имеющийся унего образец, или правило, или метод и т. п., если же задача не соответствуетобразцу, то он решить ее не может. При этом он даже не предпринимает попытоккак-то изменить ситуацию, а чаще всего отказывается от решения новой задачи подтем предлогом, что такие задачи еще не решались.

Первый уровень самостоятельности прослеживается вучебно-познавательной деятельности многих учеников, приступивших к внеурочнымзанятиям. Затем одни учащиеся быстро выходят на следующий уровень, другиезадерживаются на нем определен­ное время. Большинство из них в процессеизучения материала выходят на более высокий уровень самостоятельности, чемпервый.

Так как первый уровень развития самостоятельностипросле­живается у многих учеников в начале занятий, то задача учи­телязаключается не в игнорировании его, полагая, что школь­ники, посещающиевнеурочные занятия, уже достигли более высоких уровней, а в обеспеченииперехода всех учащихся на следующие, более высокие уровни самостоятельности.

Второй уровень самостоятельности можно назватьвариативной самостоятельностью. Самостоятельность на этом уровне про­является вумении из нескольких имеющихся правил, определе­ний, образцов рассуждении и т.п. выбрать одно определенное и использовать его в процессе самостоятельногорешения новой задачи. На данном уровне самостоятельности учащийся показы­ваетумение производить мыслительные операции, такие, как сравнение, анализ.Анализируя условие задачи, ученик переби­рает имеющиеся в его распоряжениисредства для ее решения, сравнивает их и выбирает более действенное.

Третий уровень самостоятельности — частично-поисковаяса­мостоятельность. Самостоятельность ученика на этом уровне проявляется вумении из имеющихся у него правил и предписаний для решения задач определенногораздела математики формиро­вать (комбинировать) обобщенные способы для решенияболее широкого класса задач, в том числе и из других разделов мате­матики; вумении осуществить перенос математических методов, рассмотренных в одномразделе, на решение задач из другого раздела или из смежных учебных предметов;в стремлении найти «собственное правило», прием, способ деятельности; в поискахнескольких способов решения задачи и в выборе наиболее рацио­нального,изящного; в варьировании условия задачи и сравнении соответствующих способоврешения и т. п. В названных прояв­лениях самостоятельности присутствуютэлементы творчества.

Ученик на этом уровне обладает относительно большимнабо­ром приемов умственной деятельности — умеет проводить срав­нение, анализ,синтез, абстрагирование и т. п. В его деятельности значительное место занимаетконтроль результатов и самоконт­роль. Он может самостоятельно спланировать иорганизовать свою учебную деятельность.

На внеурочных занятиях в X, а особенно в XI классесамо­стоятельность некоторых учащихся носит творческий характер, что находитвыражение в самостоятельной постановке ими проб­лемы или задачи, в составленииплана ее решения и отыскании способа решения; в постановке гипотез и ихпроверке; в проведе­нии собственных исследований и т. п. Поэтому целесообразновыделить высший, четвертый уровень самостоятельности — твор­ческуюсамостоятельность.

В соответствии с выделенными уровнями осуществляютсячетыре этапа учебной работы. Каждый этап связан с предыдущим и с последующим идолжен обеспечивать переход школьника с одного уровня самостоятельности наследующий.

Первый этап ставит целью выход учащегося на первый уро­веньсамостоятельности. На этом этапе учитель знакомит уча­щихся с элементарнымиформами познавательной деятельности, сообщая математические сведения,разъясняет, как можно было бы получить их самостоятельно. С этой целью ониспользует лекционную форму работы или рассказ, а затем организует са­мостоятельнуюдеятельность учеников, состоящую в изучении доступного материала учебногопособия и решении задач, пред­варительно разработанных учителем в качествепримеров. Эта деятельность учителя и учащихся на занятиях соответствуетаналогичной деятельности на уроках математики и довольно хорошо освещена вметодической литературе.

На данном этапе учитель организует элементарную работуучащихся по математическому самообучению: просмотр матема­тическихтелевизионных передач во внеурочное время; самостоя­тельное решение конкурсныхзадач из сборников, содержащих подробные решения или указания для контроля,причем с обяза­тельным условием использования при решении некоторых из нихзнаний, полученных на внеурочных занятиях.

На втором этапе учебной работы преподавательпривлекает учащихся к обсуждению различных способов решения познава­тельнойзадачи и отбору наиболее рационального из них; поощря­ет самостоятельнуюдеятельность учеников в сравнении способов. Учитель знакомит учащихся с общимии частными указаниями, содействующими самостоятельному выбору путей решения по­знавательнойзадачи с помощью уже изученных приемов, спосо­бов и методов решения аналогичныхзадач. На этом этапе педагог широко пользуется методом эвристической беседы,организует самостоятельное изучение учащимися нового материала по учеб­нымпособиям, раскрывающим материал конкретно-индуктивным способом и содержащимбольшое число примеров различной трудности.

На втором этапе продолжается работа по организациимате­матического самообучения учащихся и руководству им. Ученики решают задачииз сборников конкурсных задач, готовятся к школьным математическим олимпиадам(обычно условия подго­товительных задач помещаются на специальных стендах),чита­ют доступную научно-популярную литературу, например, из серии «Популярныелекции по математике». Руководство само­обучением учащихся на этом этапе носитфронтально-индиви­дуальный характер: учитель дает рекомендации по самообучениювсем учащимся, но выполнение их не обязательно для всех; помощь преподавателя ворганизации математического самообу­чения учащихся носит индивидуальныйхарактер.

Третий этап наиболее ответственный, так как именно наэтом этапе должен произойти выход всех учащихся на основной уро­веньсамостоятельности. Здесь большое внимание уделяется организациисамостоятельного изучения учащимися дополни­тельной учебной, научно-популярнойи научной математической литературы, сопровождаемого решением достаточного числазадач; подготовке рефератов и докладов по математике; творче­скому обсуждениюдокладов и сообщений на семинарах, органи­зуемых на факультативе (постановка иобсуждение гипотез, задач-проблем, математических методов, возможных обобщенийили приложений изученной теории и т. п.); участию в школьном конкурсе порешению задач, в школьной, районной или город­ской олимпиаде по математике, взаочных олимпиадах и конкур­сах; самообучению учащихся с учетом индивидуальныхинтересов и потребностей.

Например, в качестве рефератов могут быть предложеныклассические задачи древности: о квадратуре круга, об удвоении куба, отрисекции угла. Примером приложения изученной теории может служитьиспользование метода координат к решению геометрических задач. Как задача-проблемаставится вопрос о вычислении работы переменной силы и т. п.

На этом этапе учитель организует на занятияхобобщающие беседы по самостоятельно изученному школьниками материалу;

систематизирует знания учащихся; учит приемамобобщения и абстрагирования; проводит разбор найденных учениками реше­ний;показывает, как надо работать над задачей (все ли случаи рассмотрены, нет лиособых случаев, нельзя ли обобщить най­денный способ, чтобы можно былоприменять его к целому классу задач, и т. п.); учит выдвигать гипотезы, искатьпути предвари­тельного обоснования или опровержения их индуктивным путем, азатем находить дедуктивные доказательства; с помощью проб­лемных вопросовсоздает дискуссионную обстановку, направляет ход дискуссии и подводит итоги ит. д. Большое внимание уде­ляется индивидуальной работе с учащимися: оказаниененавяз­чивой помощи некоторым ученикам в поисках путей решения задачи, вподготовке к математическим олимпиадам, в подборе литературы для рефератов и ихписьменном оформлении, в ор­ганизации и осуществлении математическогосамообучения.

Рассмотрим примеры. (Смотри приложение 1)

На четвертом этапе основной формой являетсяиндивидуаль­ная работа с учащимися, дифференцируемая с учетом позна­вательныхинтересов и потребностей и профессиональной ориен­тации каждого.Самостоятельная работа школьника на этом этапе работы носитпоисково-исследовательский характер и требует творческих усилий. Учащиесясамостоятельно в течение сравнительно длительного срока решают задачи,сформулирован­ные ими самими или выбранные из предложенных учителем. Помощьпреподавателя заключается в проведении индивидуаль­ных консультаций, врекомендации соответствующей литературы, в организации обсуждения найденногоучеником доказатель­ства и т. п.

На этом этапе проводятся конкурсы по решению задач,само­стоятельная подготовка победителей школьной математической олимпиады крайонной (областной, республиканской) олимпиаде (под руководством учителя);продолжается работа по самообу­чению.

Наиболее глубоко и полно система учебной работы поразви­тию самостоятельности и творческой активности школьников реализуется приизучении факультативных курсов по математике.

2.    ОБУЧЕНИЕ ЧЕРЕЗ ЗАДАЧИ

Метод обучения математике через задачи базируется насле­дующих дидактических положениях:

1) Наилучшийспособ обучения учащихся, дающий им созна­тельные и прочные знания иобеспечивающий одновременное их умственное развитие, заключается в том, чтоперед учащимися ставятся последовательно одна за другой посильные теорети­ческиеи практические задачи, решение которых дает им новые знания.

2) Обучение нанемногочисленных, но хорошо подобранных задачах, решаемых школьниками восновном самостоятельно, способствует вовлечению их в творческуюисследовательскую работу, последовательно проводя через этапы научного поиска,развивает логическое мышление.

3) С помощьюзадач, последовательно связанных друг с другом, можно ознакомить учеников дажес довольно сложными математическими теориями.

4) Усвоениематериала курса через последовательное реше­ние учебных задач происходит ведином процессе приобретения новых знаний и их немедленного применения, чтоспособствует развитию познавательной самостоятельности и творческой ак­тивностиучащихся.

Можно выделить следующие виды обучения через задачи навнеурочных занятиях.

Теоретический материал изучаемого математическогокурса раскрывается конкретно-индуктивным путем. Учащиеся, решая самостоятельноподготовительные задачи, анализируя, сравни­вая и обобщая результаты решений,делают индуктивные выводы. Способы решения конкретных задач таковы, что ихможно при­менить при решении обобщенной задачи (теоремы), тем самым ученикиготовятся к дедуктивным доказательствам, которые они в дальнейшем могутосуществить самостоятельно при выполне­нии нестандартных упражнений наприменение теории и решение задач повышенной трудности.

Весь материал курса раскрывается через задачи восновном дедуктивным путем. Теоремы курса имеют вид задач. Получен­ные знаниянаходят применение при решении творческих иссле­довательских задач.

Материал курса раскрывается через задачикомбинированным путем, т. е. как конкретно-индуктивным, так и дедуктивным. Вкурсе содержатся подготовительные, основные и вспомогатель­ные задачи. Дляиндивидуальных заданий предусмотрены задачи повышенной трудности и творческие,исследовательские задачи.

Рассмотрим более подробно каждый из этих видовобучения.

Подготовительные задачи чаще всего располагаются всерии с нарастающей трудностью. Схематически ее можно изобразить так: А1—А2—А3—...—Ап,где Аk (k=1, 2, 3,…n) — подготови­тельная задача, решение которой способствует самостоятельномурешению учеником задачи Ak+1.

Каждая подготовительная задача должна быть небольшойпо объему информации, доступной для самостоятельного реше­ния учащимися.Особенно важно это для первых задач серии, так как успех в решении одной задачистимулирует самостоятель­ную деятельность школьника при решении следующей.Задачи подбираются средней трудности, чтобы быть доступными всем ученикам. Есливзять слишком легкие задачи, то у сильных учащихся пропадает интерес к ихрешению. Слишком же трудные задачи исключают самостоятельность решения для всехучащих­ся. При возникновении затруднений учителем должна быть оказанаиндивидуальная помощь.

В ходе решения задач обязательно их письменное оформле­ние,чтобы можно было, охватив решения всех задач серии, проследить пути к решениюосновной задачи-проблемы, сделать необходимые обобщения. Если первые задачисерии окажутся для какого-то ученика слишком легкими, он может по своемуусмотрению начать письменное оформление решений с задачи Ak, т. е. спромежуточной задачи. Тогда для него подготовитель­ная серия задач будет иметьвид Ak—Ak+1—...—An.

Решения задач обсуждаются коллективно, анализируютсяразличные способы решения, проводится обобщение полученных результатов,формулируется учебная проблема и намечается способ ее решения. Всяческипоощряется самостоятельность суждений, отстаивание учащимися собственногомнения. (Смотри приложение 2)

Идея использования вспомогательных задач возникла наоснове наблюдений психологов о том, что при решении сложной задачи учащиесяобычно ищут, под какой из уже известных типов задач можно было бы ее подвести.При этом они, анализируя условие задачи, осуществляя поисковые пробы, пыталисьвос­пользоваться такими данными, которые способствовали бы пере­носу ужеимеющегося в их опыте (полученном при решении ранее встречающихся задач) общегоили частного метода, способа или приема решения задач. То есть способы решенияодной задачи оказывают существенное влияние на самостоятельные поиски решениядругой.

Вспомогательные задачи являются своеобразнымиуказания­ми к самостоятельной деятельности ученика при решении основ­нойзадачи. Они отличаются от указаний и готовых решений, имеющихся в большинствепособий по математике для самостоя­тельной подготовки к конкурсным экзаменам,тем, что не содер­жат рецептов, не навязывают способ решения автора, не даютготового решения. Указание (подсказка) во вспомогательной задаче заключается вее решении: нужно сначала самостоятельно решить вспомогательную задачу, а затемобнаружить содержа­щуюся в ней подсказку. Обычно для ученика одной вспомога­тельнойзадачи оказывается недостаточно. Тогда дается вторая вспомогательная задача ит. п. Образуется серия вспомогатель­ных задач.

Схематично основная задача А вместе с серией вспомога­тельных задач A1,A2, ..., An изображается так: А: A1 —A2 — … —An.

Самостоятельная деятельность ученика начинается с решения задачи А.Если он за определенное время не сможет решить ее, то приступает к решениюпервой вспомогательной задачи А1: А—А1. В случае решениязадачи А1 ученик снова возвраща­ется к задаче А: А1—А.Если задача А снова не решается, то он обращается к задаче А2. Решивзадачу A2,возвращается к зада­че A и т. д. Возможен случай, когда школьник не сможетрешить вспомогательную задачу А1. Тогда он приступает к решениюзадачи А2. Если и A2 не решается, то переходит к задаче A3 и так до An. От задачи An<sub/>ученикпоследовательно возвращается к задаче

А: An —An-1—  … —A1—A. Возможнаи другая последо­вательность решения задач, что можно изобразить схемами:

A<sub/>—A1—  A—A2 —A<sub/>—<sub/>A3 —A<sub/> или

A<sub/>—A1—  A—A2 —A1 —  A—A3 —A2 —A1—A и т. д.

Составление вспомогательных задач наталкивается на серьез­ныетрудности. Для решения задачи Л может соответствовать и другая серия вспомогательныхзадач, отличная от указанной, например В1, В2, ..., Bk<sub/>Трудностьзаключается в отборе лучшей (оптимальной) серии для конкретного ученика. Далее,серия  может быть и нелинейна. Этополучается тогда, когда для реше­ния задачи A нужно знать способы решения сразудвух (или нескольких) задач. Схематическое изображение этой ситуации таково:

A:/>

Трудность заключается в том, что одна и та же сериявспомо­гательных задач для разных учащихся имеет различную эффек­тивность: дляодних серия слишком длинна (содержит много задач), для других коротка, одни ите же задачи для одних слишком легки, для других трудны и т. п. Кроме того,вспомо­гательные задачи навязывают ученику определенный путь реше­ния. Но и приподсказке учителя также навязывается ученику способ решения, намеченныйучителем.

Опыт применения вспомогательных задач на кружковых ифакультативных занятиях по математике показывает, что школь­ники, научившисьсамостоятельно решать задачи с помощью вспомогательных задач, предложенных учителем,замечают, что среди задач A1 —A2 —  … —An имеются и такие, которые либо уже были решены ими ранее, либо решаютсяспособами (приемами), известными им. Это наталкивает учащихся на мысль, что прирешении новой задачи следует самостоятельно отыскивать среди уже решенных ранеезадач родственные данной и использовать их в качестве вспомогательных. Таквоспитывается умение при самостоятельном решении задач возвращаться к своемуопыту и применять его при продвижении вперед. Последнее является важным звеномумения решать задачи, умения самостоятельно приобретать новые знания.

Курсы, построенные на задачах, не содержат делениямате­риала на теоретическую и практическую части. Сами задачи — это и естьизучаемый курс. Поэтому и содержание задач, и спо­собы решения их направленыкак на вооружение учащихся теоретическими знаниями, так и на выработку умений изакреп­ление навыков. Рассматриваемые определения обычно вклю­чаются всодержание задач. Возможна формулировка опреде­лений и отдельно от задач.Теоремы имеют тоже вид задач. Если теорема большая или сложная, то онаразбивается на последова­тельность таких задач, что решение предыдущейоблегчает реше­ние последующей, а совокупность этих решений дает доказатель­ствотеоремы.

Любая тема курса состоит из серии задач, которыедолжны быть полностью решены каждым учеником, так как только в этом случаедостигается полное усвоение определенной математи­ческой теории. Однако виндивидуальные задания могут быть включены задачи подготовительные,вспомогательные или задачи для самоконтроля, которые не обязательны для всехучеников.

Перед изучением темы организуется пропедевтическаяработа, ставящая своей целью подготовить учеников к самостоятель­ному активномуизучению материала. В частности, здесь выявля­ются и ликвидируются пробелы взнаниях и формируются необхо­димые предварительные представления. Затем учительв форме лекции или беседы вводит учеников в тему, намечает круг вопро­сов,подлежащих изучению, формулирует сам или подводит учащихся к самостоятельнойформулировке первой проблемной задачи курса.

Основным этапом занятий является самостоятельноерешение школьниками задач. Учащимся в процессе самостоятельной ра­ботыразрешается пользоваться справочниками и конспектами, поскольку необходимоумственное развитие, умение самостоя­тельно решить возникающие задачи.Индивидуальная помощь учителя носит характер не подсказки, а направления наверный путь решения, для чего используются вспомогательные задачи. Расположениезадач в серии по принципу нарастающей труд­ности стимулирует развитиесамостоятельности учеников. Обу­чение с использованием серии вспомогательныхзадач строится по принципу от сложного к простому, от трудного к более лег­кому,что способствует формированию элементов творчества, стимулирует поискиучащимися способов решения, побуждает их мыслить. После решения всех задачсерии проводится коллек­тивное обсуждение результатов. Полученный материалобобща­ется для последующего применения полученных знаний при ре­шении новогокласса задач, делаются теоретические выводы. Всячески поощряетсясамостоятельность учеников в суждениях, в отстаивании собственного мнения.

Как показал опыт, обучение через задачи на внеурочныхзанятиях обеспечивает развитие самостоятельности и творческой активностиучащихся, способствует приобретению прочных и осознанных знаний, развиваетумение сравнивать, обобщать, делать творческие выводы из решенных задач,поддерживает интерес к математике.

3.   АКТИВИЗАЦИЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ

Внеклассная работа по математике в ее традиционномтолко­вании проводится в школе учителем во внеурочное время с учащимися,проявляющими к математике интерес. Эта работа планируется учителем и по меренеобходимости корректируется. Государственных программ по внеклассной работенет, как нет и норм оценок. На внеклассные мероприятия и занятия ученикиприходят по желанию, без всякой предварительной записи. Если у ученика пропадетинтерес к внеклассной работе, он прекращает свое участие в ней. Активизациявнеклассной работы по матема­тике призвана не только возбуждать и поддерживатьу учеников интерес к математике, но и желание заниматься ею дополнительно какпод руководством учителя во внеурочное время, так и при целенаправленнойсамостоятельной познавательной деятель­ности по приобретению новых знаний, т.е. путем самообучения.

Одной из форм внеурочной работы являются конкурсы,кото­рые обладают большим эмоциональным воздействием на участ­ников и зрителей.(Смотри приложение 3)

4.  ОРГАНИЗАЦИЯ САМООБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ С УЧЕТОМИНДИВИДУАЛЬНЫХ ИНТЕРЕСОВ И ПОТРЕБНОСТЕЙ

В дидактике установлено, что самостоятельнаядеятельность учащихся по приобретению новых знаний по собственной ини­циативе,сверх программы школьного предмета, возможна лишь при наличии серьезногоинтереса к предмету, увлечения рас­сматриваемыми проблемами, переходящего впознавательную потребность приобретать сверхпрограммные знания в соответ­ствиис индивидуальными интересами и потребностями.

С помощью анкет, в ходе личных бесед можно установить,почему тот или иной ученик посещает занятия кружка или факультатива. В младшемвозрасте, как правило, это интерес к математике как любимому учебному предмету,в среднем и стар­шем — это либо интерес к математике как науке, либопрофессионально-ориентационный, связанный с предполагаемой послешкольнойдеятельностью. Например, в одной из школ с помощью анкет учитель установил, чтосреди семиклассников, регулярно занимающихся в математических кружках ифакультативах, около 70% считают занятия по математике более любимыми в школе,чем по другим предметам, примерно 20% заявили о своем серьезном увлеченииматематикой как наукой и намерении посвятить математике свою трудовуюпослешкольную деятель­ность, а около 10% назвали другие причины, в том числеследо­вание за товарищем, увлеченным математикой. Через два года анкетированиесреди этих же учеников показало, что лишь 6% изъявляют желание глубоко изучатьматематику, 83% связывают дополнительные занятия математикой с необходимостьюхорошо подготовиться к конкурсному экзамену по математике на всту­пительныхэкзаменах в вуз, а 11 % указывают другие причины. Для учителя полученные данныенужны для эффективного при­менения индивидуального подхода к школьникам вовнеурочной работе, корректировки своей работы, направленной на развитиеинтереса учащихся в ходе внеурочных занятий. В противном случае первоначальныйинтерес к математике, не получая под­крепления и развития, гаснет и ученикипрекращают посещать внеурочные мероприятия. Более того, они перестают самостоя­тельнозаниматься математикой дома, фактически прекращают самообучение.

Интерес к математике формируется с помощью не толькоматематических игр и занимательных задач, рассмотрения со­физмов, разгадыванияголоволомок и т. п., хотя и они необхо­димы, но и логической занимательностьюсамого математического материала: проблемным изложением, постановкой гипотез,рас­смотрением различных путей решения проблемной ситуации, ре­шением задач илидоказательством теорем различными методами и другими разработанными в методикематематики приемами формирования познавательного интереса к математике. (Смотриприложение 4).

Разбор предложенных способов проходил на расширенномзаседании математического кружка с привлечением учащихся из группы факультативаи приглашением желающих и вызвал неподдельный интерес у присутствующих.Необходимые вычисле­ния проводились с помощью микрокалькулятора.

Самообучение школьника невозможно без его умения ижела­ния работать с математической книгой.

Подбору математической литературы для самообучения учи­телюприходится уделять большое внимание. Установлено, что учащиеся по-разномуработают над книгой: одни стараются побыстрее пройти теоретический материал иприступить к реше­нию задач, другие больше внимания уделяют, наоборот, теорети­ческимвопросам. Первым не нравятся многословные учебники и пособия, они предпочитаюткраткие дедуктивные доказатель­ства; вторые предпочитают книги с подробнымивыкладками, пояснениями, индуктивными выводами, примерами и т. п.

Так, в одной из школ на факультативных занятиях в стар­шихклассах изучение программирования на ЭВМ осуществлялось с помощьюпрограммированных пособий. На факультативе их при­менение оправдывалось тем,что ученикам предлагалось усваивать материал в индивидуальном темпе,затруднения преодолевались с помощью индивидуальных консультаций, а подведениеитогов проводилось на заключительной конференции по книгам.

Наблюдения показали, что одни ученики старалисьбыстрее овладеть теорией. Если оказывалось, что выбранный ими ответ неверен,то, не пытаясь разобраться в причинах ошибки, они искали другой ответ, пока ненаходили верный, позволявший им читать очередную запрограммированную порциюучебной ин­формации. В процессе изучения материала пособия многие из этихучащихся составляли свой шифр — последовательность стра­ниц для чтения справильными ответами, а затем вторично прочитывали эти страницы в указаннойшифром последователь­ности, т. е. читали как обычную книгу, а не какпрограммирован­ное пособие, составленное по разветвленной программе. Другим,наоборот, нравилось разбирать все замечания автора. Даже убедившись, чтовыбранный ими ответ верен, они читали ука­зания и к другим, неверным ответам,чтобы рассмотреть при­водимые примеры и уяснить причины возможных неправильныхответов.

При переходе в дальнейшем к изучению обычнойлитературы по программированию на ЭВМ первые испытывали чувство удовлетворенияот того, что их не переби­вают то и дело вопросами, на которые нужно даватьответ, а в случае неверного выбора еще и перечитывать назидания автора. вторыеже не всегда удовлетворялись краткостью авторского из­ложения материала, постояннообращались к учителю с вопроса­ми, чувствуя необходимость в его комментариях.

С учетом избирательного отношения учеников кматематичес­ким книгам можно рекомендовать для самообучения не одно учебноепособие, а несколько, чтобы ученики сами выбирали то, которое им большеподходит по их индивидуальным склонностям и способностям. Правда, учителю вэтом случае труднее конт­ролировать их самостоятельную работу над книгой ипроводить консультации. Зато самообучение школьников будет более эф­фективным.

Большое значение для стимулирования самообучения имееторганизация обзоров изученной учащимися математической ли­тературы, ееобсуждение на читательских конференциях или в устных журналах. Обычно делаетсяэто так. Объявляется тема для обзора и рекомендуется литература. Списоклитературы помещается на стенде. Там же указывается расписание консуль­таций.Дается время для подготовки, назначается место и время проведения.

Обзор литературы делают два-три ученика, они жеотвечают на вопросы. Впрочем, отвечать могут и присутствующие ученики иучитель, а также дополнять или поправлять докладчиков. При этом возникаютспоры, выдвигаются гипотезы, находятся новые решения и т. д. (Смотри приложение5).

Для самостоятельного обучения очень важно воспитать ууча­щихся потребность в самостоятельном поиске знаний и их прило­жении. Поэтомуодной из задач является приобщение учеников к решению задач по своейинициативе, сверх школьной програм­мы. Одним из средств является математическаяолимпиада. Школьники убеждаются на собственном опыте, что, чем большеразнообразных задач они самостоятельно решают, тем значитель­нее их успехи нетолько в школьной, но и в районной олимпиаде. Это служит дополнительнымстимулом к самообучению.

Одним из условий самообучения является умение ученика

планировать свою самостоятельную внеурочнуюпознавательную деятельность по приобретению знаний. Учитель помогает ему всоставлении индивидуальных планов самообучения и в их реали­зации. Если в V—VIIклассах самообучение школьника про­водится обычно по плану, подсказанномуучителем, в VIII—IX классах уже при совместных обсуждениях в индивидуальных илигрупповых беседах и консультациях, то в Х—XI классах эти планы составляютсясамим учеником. Лишь в некоторых случаях он прибегает к совету учителя илируководствуется его рекомендациями.

Так, в одной из групп факультатива XI класса учащимсябыло предложено уточнить свои индивидуальные планы само­обучения на учебныйгод. В ходе индивидуальных бесед учитель установил, что ученики планировалиизучение научной и научно-популярной математической литературы, посещениематемати­ческого кружка школьников-старшеклассников при пединституте иматематического лектория при политехническом институте, решение задач изсборников задач различных математических олимпиад (отечественных и зарубежных).Большое место в планах отводилось самостоятельной работе по подготовке кпоступлению в вуз: изучению пособий по математике для поступающих в вуз ирешению конкурсных задач, публикуемых в «Кванте», обучению на заочныхподготовительных курсах в избранный или родственный вуз и т. д.

Выяснив планы учащихся, учитель осуществлялиндивидуаль­но-групповое педагогическое руководство самообучением школь­ников,которое проводилось в следующих направлениях:

—корректирование (уточнение, детализация) индивидуаль­ных планов самообучения;

— подборучебной, научно-популярной и научной литературы по математике длясамостоятельного изучения;

— болееконкретное ознакомление каждого учащегося с пред­полагаемой дальнейшейдеятельностью и уточнение места и зна­чения математических знаний в этойдеятельности;

— проведениеиндивидуальных и групповых консультаций по вопросам самообучения;

— оказаниепрактической помощи учащимся, готовящимся к поступлению в вузы, где отабитуриентов требуется более уг­лубленная математическая подготовка (МГУ, МФТИ,МИФИ и другие институты).

Чтобы педагогическое руководство самообучениемшкольников было эффективным, целесообразно осуществлять определеннуюдифференциацию, которая по сути будет индивидуально-груп­повой. Это обусловленотем, что учащихся по их познаватель­ным интересам и практическим потребностям,которые они хотят удовлетворить, занимаясь самообразованием, можно разделить наусловные группы.

К первой группе можно отнести учащихся с ярковыраженной

интеллектуальной потребностью в углубленном изученииматема­тики, обусловленной стержневым познавательным интересом в областиматематики. Предполагаемая послешкольная деятель­ность их связана с серьезнымизучением математики либо на математических факультетах университетов, либо втехнических вузах с углубленным изучением математики.

Во вторую группу целесообразно включить учеников,основ­ные познавательные интересы которых находятся в области физики, техники,в естественнонаучной или производственной сфере, а углубленное изучениематематики вызывается потреб­ностями послешкольной деятельности (например,обучением в технических вузах общеинженерных профилей, на естественныхфакультетах университетов, в техникумах и профтехучилищах по специальностям,связанным с электроникой, робототехникой и другой современной техникой).

Третью группу составляют школьники, познавательные ин­тересыкоторых находятся в областях, не требующих углублен­ных математических знаний.Занятия математикой во внеурочное время у них обусловлено не потребностями вдальнейшей дея­тельности, а исключительно увлечением математикой, возникшим науроках, любовью к математике как учебному предмету и сфере приложенияинтеллектуальных сил.

И наконец, в отдельную четвертую группу целесообразнообъединить учащихся, познавательные интересы которых еще не сформировались,характер дальнейшей деятельности не опре­делился, а внеурочные занятияматематикой обусловлены раз­личными, часто случайными мотивами.

Включение учеников в ту или иную группу учительосуществ­ляет по результатам индивидуальных бесед с учащимися и их родителями,а также с помощью анкетирования.

Контроль за самообучением школьников можноосуществлять различными способами. Наиболее эффективный — через конкурсы порешению задач и различные математические состязания, в том числе имежпредметного содержания. Конкурс желательно проводить в несколько заочныхтуров и заключительный очный. Решения задач участники конкурсов могут даватьлюбые, но за каждый способ решения одной и той же задачи очки начисляютсяотдельно. Это поощряет поиски новых оригинальных путей ре­шения задачи,использование теоретического материала из различных рекомендованных учителем поопределенной теме математических книг.

В качестве примера приведем задачи одного из туровзаочного конкурса по решению задач в связи с самостоятель­ной работойшкольников над темой «Метод координат». (Смотри приложение 6)

Условия задач помещаются на стенде. Там же указываютсяконкурсные требования, сроки сдачи письменных работ, место и время обсужденияпредставленных решений.

Об эффективности математического самообучения учительможет составить себе представление по многим критериям. При­ведем некоторые изних:

а) повышение количества учащихся, изучающихдополнительную литературу;

б) смещение стержневого познавательного интересашкольников в сторону математики;

в) массовое применение в самостоятельных, контрольныхи зачетных работах, при решении конкурсных и олимпиадных задач математическихзнаний, полученных в результате само­обучения;

г) широкое участие в различных формах математи­ческогообразования в системе внешкольного обучения: в заочной математической школе приАПН СССР и МГУ, на заочных подготовительных курсах для поступающих в вузы, вочных олимпиадах, проводимых на местах многими вузами (физтехом, МИФИ и др.), ввоскресных математических лекториях при вузах и др.

Такая информация поможет учителю своевременно вноситькоррективы в свою работу по организации самообучения учеников, способствоватьповышению самостоятельности и творческой активности школьников для получениясверхпрограммных мате­матических знаний в соответствии с их индивидуальнымиинте­ресами, потребностями, планами дальнейшей деятельности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Специфика внеурочных занятий состоит в том, что онипро­водятся по программам, выбранным учителем и обычно согласо­ванным сучениками и корректируемым в процессе обучения с учетом их интеллектуальныхвозможностей, познавательных интересов и развивающихся потребностей. Участие вбольшинстве видов внеурочных занятий является необязательным, за результа­тыработы ученик отметок не получает, хотя его работа также оценивается, нодругими способами: поощрениями через стенную печать, награждением грамотами,книгами, сувенирами и т. п.

Само участие ученика в факультативе, в кружковойработе, в математических состязаниях и олимпиадах уже является диф­ференциациейобучения в школе. Тем не менее и к этой категории школьников целесообразно длямаксимального развития их ин­дивидуальных способностей и интересов,удовлетворения потреб­ностей широко применять дифференциацию обучения на факуль­тативныхи кружковых занятиях и индивидуальный подход в организации и руководстве ихсамообучения.

Приложение 1

1. Учительпредлагает с помощью чертежей исследовать взаимное расположение гиперболы ипрямой. Учащиеся выдви­гают гипотезы (индуктивным путем). Затем послеисследования системы уравнений

/>

можно дать дедуктивное доказательство их (при |k|< |/>| прямая пересекаетгиперболу в двух точках, а при |k| ³ |/>| точек пересечения нет).

2. При изучениикомплексных чисел ученикам предлагается исследовать возможные определенияпонятий «больше», «мень­ше» во множестве С. Затем на занятии в форме дискуссииопровергаются предлагаемые школьниками определения.

3. В качествеиндивидуального задания рекомендуется ис­следовать возможное обобщение: точкамна прямой ставятся в соответствие действительные числа, точкам на плоскости — комплексные,а точкам в пространстве? Результатом исследова­ния могут быть рефераты илисообщения учащихся, обсуждае­мые коллективно на занятии.

Приложение 2

Приведем пример серии задач с нарастающей трудностьюпо теме «Площадь треугольника», в которой задачи 1—6 по сути являютсяподготовительными к задаче 7.

1. Даны точкиА(3;0), B(3,5), С(-1;3),К(-1;0). Вычис­лите площадь четырехугольника АBСK.

2. Даны точки А(2; 0), В (2; 3), С (- 1, 4), К (-3; 2). Е (-3; 0). Вычислите площадимногоугольников АВСКЕ и ВСК.

3. Даны точки A (x1; 0), В (х2; 0), С (х2; y2), К (x3; y3), Е (x1; y1).Укажите способ вычисления площади треугольника СКЕ, если:

1)x1<x3<x2, 0<y2<yl<y3;

2)x1<x2<x3, 0<y3<yl<y2.

4. Даны точки A(x1;y1), В (х2;у2), C(х3; у3), где y1, у2, у3 — положительные числа.Докажите, что площадь треугольника ABC может быть вычислена поформуле S=0.5|S1|, где

S1=x1(y2—y3)+x2(у3—y1)+x3 (у1—y2).

5. Докажите, чтоможно подобрать такой параллельный пе­ренос на вектор /> (0; m),при котором точки A (х1; у1), В (х2; y2), С(х3; у3) перейдут в точки A'(х1'; у1'), B' (х2'; у2'),С' (х3'; у3'), причем у1'>0, у2'>0,у3'>0.

6. Даны три точки А(х1; у1), В(х2;у2), С (х3; у3) и точки A' (х1; у1+m), В'(х2; у2 +m),С' (х3; у3 +m), полученные при па­раллельномпереносе на вектор (0; m), причем у1 +m, у2 +m, у3+m — положительны. Вычислите площадь треугольникаА'В'С'. Объясните, почему результат не зависит от m.

7. Докажите, чтоплощадь треугольника АВС вычисляется по формуле

S=0.5|x1(y2—y3) + x2 (у3—y1)+ x3 (у1—y2)|

независимо от того, какая из его вершин обозначеначерез (x1;y1), (х2; у2), (х3; у3),

Приложение 3

Заморочки из бочки

На столе ведущего стоит бочонок. Команды пооче­реднотянут из бочонка листочки с вопросами. На от­вет дается не более одной минуты.

Если бы завтрашний день был вчерашним, то довоскресенья осталось бы столько дней, сколько дней прошло от воскресенья довчерашнего дня. Какой же сегодня день? [Среда.]

Груша тяжелее, чем яблоко, а яблоко тяжелее перси­ка.Что тяжелее — груша или персик? [Груша.]

Два мальчика играли на гитарах, а один на балалай­ке.На чем играл Юра, если Миша с Петей и Петя с Юрой играли на разныхинструментах? [Юра играл на гитаре.]

На столе стояли три стакана с ягодами. Вова съел одинстакан и поставил его на стол. Сколько стаканов на столе? [Три.]

Шел муж с женой, да брат с сестрой. Несли 3 яблока иразделили поровну. Сколько было людей? [Трое: муж, жена и брат жены.]

У Марины было целое яблоко, две половинки и че­тыречетвертинки. Сколько было у нее яблок? [Три.]

Батон разрезали на три части. Сколько сделали раз­резов?[Два.]

Мальчик Пат и собачонка весят два пустых бочонка.Собачонка без мальчишки весит две больших коврижки. А с коврижкой поросеноквесит — видите — бочонок. Сколько весит мальчик Пат? Сосчитай-ка поросят.[Мальчик весит столько же, сколько два поросенка.]

Один мальчик говорит другому: «Если ты дашь мнеполовину своих денег, я смогу купить карандаш». Сколько денег было у второгомальчика? [Установить невозможно.]

Петя и Миша имеют фамилии Белов и Чернов. Ка­куюфамилию имеет каждый из ребят, если Петя на год старше Белова. [Петя Чернов иМиша Белов.]

Человек, стоявший в очереди перед Вами, был вышечеловека, стоявшего после того человека, который стал перед Вами. Был личеловек, стоявший перед вами выше Вас? [Да.]

Как в древние времена называли «ноль»? [Цифра.]

Может ли при сложении двух чисел получиться нуль, еслихотя бы одно из чисел не равно нулю? [Нет, не может.]

В каком случае сумма двух чисел равна первому сла­гаемому?[Когда второе слагаемое — нуль.]

Который сейчас час, если оставшаяся часть суток вдвоебольше прошедшей? [8 часов.]

В семье я рос один на свете,

 И это правда, до конца.

Но сын того, кто на портрете,

Сын моего отца.

Кто изображен на портрете? [Мой отец.]

Игра«Счастливый случай»

Вопросы для первойкоманды

Отрезок, соединяющий точку окружности с ее цен­тром.[Радиус.]

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с се­рединойпротиволежащей стороны. [Медиана.]

Два созвездия, по форме напоминающие ковш. [БольшаяМедведица и Малая Медведица.]

Аппарат для подводного плавания. [Акваланг.]

Утверждение, требующее доказательства. [Теорема.]

График квадратичной функции. [Парабола.]

Цифровая оценка успехов. [Балл.]

Множество точек плоскости, равноудаленных от концаданного отрезка. [Перпендикуляр, проведенный к середине данного отрезка.]

Угол, смежный с углом треугольника при данной вершине.[Внешний угол.]

Прямоугольник, у которого все стороны равны.[Квадрат.]

Мера веса драгоценных камней. [Карат.]

Часть круга, ограниченная дугой и ее хордой.[Сегмент.]

Направленный отрезок. [Вектор.]

Отношение противолежащего катета к гипотенузе. [Синус.]

Угол, меньший прямого. [Острый.]

Вопросы для второйкоманды

Отрезок, соединяющий любые две точки окружнос­ти.[Хорда.]

Утверждение, не вызывающее сомнений. [Аксиома.]Устройство для запуска двигателя внутреннего сго­рания. [Стартер.]

 Вид местности, открывающийся с возвышенного места.[Панорама.]

Самая знаменитая звезда в созвездии Малой Медве­дицы.[Полярная.]

График линейной функции. [Прямая.] Множество точекпространства, равноудаленных от данной точки. [Сфера.]

Кусок, часть чего-нибудь. [Осколок.] Сумма длин всехсторон многоугольника. [Пери­метр.]

Ромб, у которого все углы прямые. [Квадрат.] Зажим дляприсоединения, закрепления проводов. [Клемма.]

Самая большая хорда в круге. [Диаметр.] Простейшеегеометрическое понятие. [Точка.] Часть прямой, ограниченная с одной стороны.[Луч.] Отношение прилежащего катета к гипотенузе. [Ко­синус.]

Игра«Счастливый случай»

Вопросы для первойкоманды

Результат сложения. [Сумма.]

Сколько цифр вы знаете? [Десять.]

Наименьшее трехзначное число. [100.]

Сотая часть числа. [Процент.]

Прибор для измерения углов. [Транспортир.]

Сколько сантиметров в метре? [Сто.]

Сколько секунд в минуте? [Шестьдесят.]

Результат деления. [Частное.]

Сколько лет в одном веке? [Сто.]

Наименьшее простое число. [2.]

Сколько нулей в записи числа миллион? [Шесть.]

Величина прямого угла. [90°.]

Когда произведение равно нулю? [Когда хотя бы один измножителей равен 0.]

График прямой пропорциональности. [Прямая, проходящаячерез начало координат.]

Что больше: 2 м или 201 см? [201 см.]

Что меньше: /> или 0,5?[/>]

Радиус окружности 6 см. Диаметр? [12 см.]

Какую часть часа составляют 20 мин? [1/3.]

Сколько сантиметров составляет 1% метра? [1см.]

 Корень уравнения |х| = —1. [Не существует.]

Вопросы для второй команды Результат вычитания.[Разность.]

 На какое число нельзя делить? [На 0.]

Наибольшее двузначное число. [99.]

Прибор для построения окружности. [Циркуль.]

Сколько граммов в килограмме? [Тысяча.]

Сколько минут в часе? [Шестьдесят.]

 Сколько часов в сутках? [Двадцать четыре.]

Результат умножения. [Произведение.]

Сколько дней в году? [365 или 366.1

Наименьшее натуральное число. [1.]

Сколько нулей в записи числа миллиард? [Девять.]

Величина развернутого угла. [180°.]

Когда частное равно нулю? [Когда делимое равно нулю.]

График обратной пропорциональности. [Гипербола.]

Что больше: 2 дм или 23 см? [23 см.]

4 Что меньше:0,7 или /> [0,7.]

Диаметр окружности 8 м. Радиус? [4 м.]

Какую часть минуты составляют 15 сек? [1/4.]

Найдите 10% тонны. [100 кг.]

Корень уравнения |х| = —7. [Не существует.]

Игра«Третий лишний»

Командам поочередно демонстрируются названия различныхобъектов. Два из них имеют какое-то общее свойство, а третий нет. Командыдолжны быстро отве­тить, какой объект не обладает свойством, которое присущедвум другим. Например:

гектар, сотка, метр;

ярд, тонна, центнер;

конус, квадрат, призма;

треугольник, прямоугольник, ромб;

прямая, отрезок, угол.

Игра«Что? Где? Когда?»

Вопросы

Индийцы называли его «сунья», арабские матема­тики«сифр». Как мы называем его сейчас? [Нуль.]

Именно этот учебник был первой в России энцик­лопедиейматематических знаний. По нему учился М.В.Ломоносов, называвший его «вратамиучености». Именно в нем впервые на русском языке введены по­нятия «частное»,«произведение», «делитель». Назо­вите учебник и его автора. [«Арифметика»Л.Ф.Маг­ницкого.]

Это название происходит от двух латинских слов«дважды» и «секу», буквально «рассекающая на две части». О чем идет речь? [Обиссектрисе.]

Ее знакомство с математикой произошло в 8 лет, так какстены ее комнаты были оклеены листами с записями лекций по математикепрофессора Остроград­ского. Кто она? [С.В.Ковалевская.]

На могиле этого великого математика был установ­ленпамятник с изображением шара и описанного око­ло него цилиндра. Почти спустя200 лет по этому чертежу нашли его могилу. Кто этот математик? [Ар­химед.]

В древности такого термина не было. Его ввел в XVII в.французский математик Франсуа Виет, в переводе с латинского он означает «спицаколеса». Что это? [Ра­диус.]

В черном ящике лежит предмет, название которого произошло отгреческого слова, означающего в пере­воде «игральная кость». Термин ввелипифагорейцы, а используется этот предмет в играх маленькими детьми. Что вчерном ящике? [Куб, кубик.]

Слово, которым обозначается эта фигура, в перево­де сгреческого означает «натянутая тетива». Что это? [Гипотенуза.]

Точка, от которой в Венгрии отсчитывают расстоя­ния,отмечена особо. В этом месте в центре Будапешта стоит памятный знак. Кто иличто было удостоено та­ких почестей? [Нуль.]

Воины римского консула Марцелла были надолго задержаныу стен города Сиракузы мощными машина­ми-катапультами. Их изобрел для защитысвоего горо­да великий ученый Архимед. В черном ящике лежит еще одноизобретение Архимеда, которое и поныне используется в быту. Что в черном ящике?[Винт Ар­химеда, используется в мясорубке.]

Мы, в отличие от египтян, римлян и славян, пользу­емсяпозиционной системой счисления, в которой все­го десять цифр и «ступеньки». Чтоэто за «ступеньки», перечислите их. [Это разряды, их всего три — едини­цы,десятки, сотни.]

Математическаяпьеса «Бесплатный обед»

(по мотивам рассказаЯ.И.Пврвльмана)

Ведущий. Десять друзей, решив отпраздновать окон­чаниесредней школы в ресторане, заспорили у стола о том, как усесться вокруг него.

Первый друг. Давайте сядем в алфавитном порядке, тогданикому не будет обидно.

Второй. Нет, сядем по возрасту.

Третий. Нет, нет. Сядем по успеваемости.

Четвертый. Да ну, опять успеваемость, это вам нешкола, да и надоело.

Пятый. Тогда я предлагаю сесть по росту, и никакихпроблем.

Шестой. Устроим здесь физкультуру не так ли?

Седьмой. Придется тащить жребий.

Восьмой. Ну уж нет.

Девятый. По-моему уже обед остыл.

Десятый. Я сажусь, где придется, и вы, давайте замной.

Появляется официант. Вы еще не расселись? Моло­дыедрузья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол, как кому придется, ивыслушайте меня.

Все сели как попало.

Официант. Пусть один из вас запишет, в каком по­рядкевы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже вином порядке. После­завтра сядете опять по-иному и т.д., пока не перепро­буетевсе возможные размещения. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите высегодня, тогда — обещаю торжественно — я начну ежедневно угощать васвсех бесплатно самыми изысканными обедами.

Друзья почти хором. Вот здорово, будем каждый деньобедать у вас.

Друзья сидят за столом, выходит вперед ведущий.

Ведущий. Друзьям не пришлось дождаться того дня, когдаони стали питаться бесплатно. И не потому, что официант не исполнил обещания, апотому что число всех возможных размещений за столом чересчур вели­ко. Оноравняется ни мало, ни много — 3 628 800. Такое число дней составляет, какнетрудно сосчитать, почти 10 000 лет! Вам может показаться невероятным, чтобы 10человек могли размещаться таким большим числом различных способов. Проверьтерасчет сами.

Возьмите любое трехзначное число. Допустим 475. Сколькоеще можно получить чисел путем перестанов­ки цифр этого трехзначного числа?

Переставляя цифры, получим следующие числа: 475, 457,745, 754, 547, 574. Всего 6 перестановок.

Добавим четвертую цифру: 4753. Сколько будет тогдаперестановок?

4753, 4735, 4573,4537, 4357, 4375, ...

Если каждую цифру поставить на первое место, то тридругие дадут шесть перестановок, значит, так как у нас всего четыре цифры, товсего получится 4-6=24 перестановки. То есть, когда взяли три цифры, пере­становокполучили 6, а когда взяли четыре цифры, перестановок оказалось 24. В первомслучае число перестановок равно 1×2×3=6, во втором 1×2×3×4=24. А в нашей сценке число перестановок равно 1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800.

Математическаяпьеса «Задача о чашах»

Много лет тому назад очень богатый шах объявил, чтохочет разделить наследство между своими детьми, а того, кто поможет ему в этом,он щедро вознаградит.

Шах. В трех чашах хранил я жемчуг. Подарю я стар­шемусыну половину жемчужин из первой чаши, сред­нему — одну треть из второй, амладшему только чет­верть жемчужин из последней. Затем я подарю стар­шей дочери4 лучшие жемчужины из первой чаши, средней — 6 жемчужин из второй чаши, амладшей дочери — две жемчужины из третьей чаши. И осталось у меня в первой чаше38, во второй — 12, а в третьей — 19 жемчужин. Сколько жемчужин у меня должнобыть в каждой чаше сначала? Хватит ли моего жемчуга для детей и меня?

Ведущий. И вот из разных стран пришли во дворецмудрецы. И первый мудрец, поклонившись шаху, на­писал свое решение задачи.

Первый мудрец. Если в первой чаше, о великий шах,останется 38 жемчужин, а подаришь ты старшей доче­ри 4 жемчужины, то эти 42жемчужины и составят половину того, что хранится сейчас в чаше. Ведь вто­руюполовину ты подаришь старшему сыну? Значит, в первой чаше у тебя должно бытьсейчас 84 жемчужи­ны. Во второй чаше должно остаться 12 жемчужин, да 6 тыподаришь другой дочери. Эти 18 жемчужин со­ставят 2/3 того, что хранится вовторой чаше сейчас. Ведь 1/3 ты пожалуешь среднему сыну. Значит, во второй чашедолжно быть сейчас 27 жемчужин. Ну а в третьей чаше должно остаться 19жемчужин, да две ты подаришь младшей дочери. Выходит, что 21 жемчу­жина — это3/4 содержимого третьей чаши. Ведь 1/4 ты отдаешь младшему сыну. Значит, сейчасв третьей чаше должно быть 28 жемчужин.

Во время рассказа первый мудрец записывает реше­ние надоске:

38+4=42    42:1/2=42×2=84,12+6=18     18:2/3=18-3/2=27, 19+2=21     21:3/4=21×4/3=28.

Шах. Как же ты смог решить такую сложную задачу?

Первый мудрец. Мне помогла арифметика — наука очислах, их свойствах и правилах вычисления. Это очень древняя наука, ей ужемного тысяч лет.

Шах. Твое решение мне понятно, но оно длинное иутомило меня. А что скажет другой мудрец?

Второй мудрец. О великий шах! Я обозначу числожемчужин в первой чаше буквой х. Тогда старшему сыну ты подаришь /> жемчужин.Если из х вычесть его половину, да еще 4 жемчужины, что ты подаришь старшейдочери, то остаток нужно приравнять к 38. Вот какое уравнение я составил:

x-/>-4=38.

Решим его. /> = 42, а х в два раза больше,т.е. х = 84. Выходит, что в первой чаше должно быть сейчас 84 жемчужины. А длявторой чаши, если количество жемчу­жин в ней обозначить через у, получимуравнение

y-/>-6=12

Решим его. />у == 18, а теперь 18 разделим на 2 и умножим на 3. Значит у = 27.

Рассуждая также, составляем уравнение для третьей

чаши:

z-/>-2=19, />z =21, z =28.

Следовательно, в третьей чаше должно быть сейчас 28 жемчужин.

Шах. Твое решение мне тоже нравится. И ответы у васодинаковые. Но нельзя ли решить это все как-то покороче?

Тогда молча вышел третий мудрец и показал плакат, гденаписано следующее:

х — ах — b = с.

Ответ: х= />.

Шах. А здесь я ничего не понимаю! И вообще один ответ,а у меня три чаши!

Третий мудрец. Все три ответа уместились в одном, овеликий шах! Ведь задачи про чаши совершенно одинаковые, лишь числа разные. Я иобъединил три решения в одном, обозначив через х неизвестное число жемчу­жин,через а — часть жемчужин, подаренных сыну, че­рез b — число жемчужин, отданных дочери,а через с — число оставшихся в чаше жемчужин. Теперь можно под­ставлять вместоэтих букв числа, которые ты задашь в своей задаче, и будут получатьсяправильные ответы. Будь у тебя 100 чаш, 100 сыновей, 100 дочерей, одного моегоуравнения хватит, чтобы получить все ответы.

Шах. Да, твое решение, оказывается, самое удобное. Какже ты придумал его?

Третий мудрец. Мне помогла решить эту задачу алгеб­ра,как и второму мудрецу. В этой науке буквы исполь­зуются наравне с числами. Подбуквой можно разуметь любое число. Алгебра дает самое короткое, самое общеерешение для многих похожих друг на друга задач.

еще рефераты
Еще работы по педагогике