Реферат: Развитие самостоятельности школьников при обучении математики
ВВЕДЕНИЕ
Внеурочные занятия по математике призваны решить целыйкомплекс задач по углубленному математическому образованию, всестороннемуразвитию индивидуальных способностей школьников и максимальному удовлетворениюих интересов и потребностей. Для непрерывного обучения и самообразования особоважное значение имеют развитие самостоятельности и творческой активностиучащихся и воспитание навыков самообучения по математике. Впсихолого-педагогической литературе самостоятельность обычно понимается какспособность личности к деятельности, совершаемой без вмешательства со стороны.Самостоятельность личности не выступает как изолированное качество личности,она тесно связана с независимостью, инициативностью, активностью,настойчивостью, самокритичностью и самоконтролем, уверенностью в себе. Важнойсоставной частью самостоятельности как черты личности школьника являетсяпознавательная самостоятельность, которая трактуется как его готовность(способность и стремление) своими силами вести целенаправленную познавательно-поисковуюдеятельность.
Самостоятельная познавательная деятельность учениковможет носить как характер простого воспроизведения, так и преобразовательный,творческий. При этом в применении к учащимся под творческой подразумеваетсятакая деятельность, в результате которой самостоятельно открывается нечтоновое, оригинальное, отражающее индивидуальные склонности, способности ииндивидуальный опыт школьника. Философское определение творческой деятельностикак деятельности, результатом которой является открытие нового оригинальногопродукта, имеющего общественную ценность, по отношению к учащемуся неприемлемо.Хотя бывают случаи, когда деятельность учеников выходит за рамки выполненияобычных учебных заданий и носит творческий характер, а ее результатомстановится продукт, имеющий общественную ценность: оригинальное доказательствоизвестной теоремы, доказательство новой теоремы, составление новой программыдля электронно-вычислительных машин и т. п., как правило, в учебнойдеятельности творчество проявляется в субъективном плане, как открытие новогодля себя, нового в своем умственном развитии, имеющего лишь субъективную новизну,но не имеющего общественной ценности.
Творческий (продуктивный) и воспроизводящий (репродуктивный)характер самостоятельной деятельности связаны между собой. Воспроизводящаясамостоятельная деятельность служит первоначальным этапом развитиясамостоятельности, этапом накопления фактов и действий по образцу, и имееттенденцию к перерастанию в творческую деятельность. В рамках воспроизводящейдеятельности уже имеют место элементы творчества. В свою очередь, в творческойдеятельности также содержатся элементы действий по образцу.
В дидактике установлено, что развитиесамостоятельности и творческой активности учащихся в процессе обучения математикепроисходит непрерывно от низшего уровня самостоятельности, воспроизводящейсамостоятельности, к высшему уровню, творческой самостоятельности,последовательно проходя при этом определенные уровни самостоятельности.Руководство процессом перерастания воспроизводящей самостоятельности втворческую состоит в осуществлении последовательных взаимосвязанных,взаимопроникающих и обусловливающих друг друга этапов учебной работы, каждый изкоторых обеспечивает выход учащегося на соответствующий уровеньсамостоятельности и творческой активности. Задача воспитания и развитиясамостоятельности личности в обучении заключается в управлении процессомперерастания воспроизводящей самостоятельности в творческую.
1. СИСТЕМА УЧЕБНОЙ РАБОТЫ ПО РАЗВИТИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ ИТВОРЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ
По характеру учебной самостоятельной деятельностиучащихся на внеурочных занятиях по математике целесообразно выделить четыреуровня самостоятельности.
Первый уровень — простейшая воспроизводящая самостоятельность.Особенно ярко проявляется этот уровень в самостоятельной деятельности ученикапри выполнении упражнений, требующих простого воспроизведения имеющихся знаний,когда учащийся, имея правило, образец, самостоятельно решает задачи,упражнения на его применение.
Ученик, вышедший на первый уровень самостоятельности,но не достигший еще второго уровня, при решении задачи использует имеющийся унего образец, или правило, или метод и т. п., если же задача не соответствуетобразцу, то он решить ее не может. При этом он даже не предпринимает попытоккак-то изменить ситуацию, а чаще всего отказывается от решения новой задачи подтем предлогом, что такие задачи еще не решались.
Первый уровень самостоятельности прослеживается вучебно-познавательной деятельности многих учеников, приступивших к внеурочнымзанятиям. Затем одни учащиеся быстро выходят на следующий уровень, другиезадерживаются на нем определенное время. Большинство из них в процессеизучения материала выходят на более высокий уровень самостоятельности, чемпервый.
Так как первый уровень развития самостоятельностипрослеживается у многих учеников в начале занятий, то задача учителязаключается не в игнорировании его, полагая, что школьники, посещающиевнеурочные занятия, уже достигли более высоких уровней, а в обеспеченииперехода всех учащихся на следующие, более высокие уровни самостоятельности.
Второй уровень самостоятельности можно назватьвариативной самостоятельностью. Самостоятельность на этом уровне проявляется вумении из нескольких имеющихся правил, определений, образцов рассуждении и т.п. выбрать одно определенное и использовать его в процессе самостоятельногорешения новой задачи. На данном уровне самостоятельности учащийся показываетумение производить мыслительные операции, такие, как сравнение, анализ.Анализируя условие задачи, ученик перебирает имеющиеся в его распоряжениисредства для ее решения, сравнивает их и выбирает более действенное.
Третий уровень самостоятельности — частично-поисковаясамостоятельность. Самостоятельность ученика на этом уровне проявляется вумении из имеющихся у него правил и предписаний для решения задач определенногораздела математики формировать (комбинировать) обобщенные способы для решенияболее широкого класса задач, в том числе и из других разделов математики; вумении осуществить перенос математических методов, рассмотренных в одномразделе, на решение задач из другого раздела или из смежных учебных предметов;в стремлении найти «собственное правило», прием, способ деятельности; в поискахнескольких способов решения задачи и в выборе наиболее рационального,изящного; в варьировании условия задачи и сравнении соответствующих способоврешения и т. п. В названных проявлениях самостоятельности присутствуютэлементы творчества.
Ученик на этом уровне обладает относительно большимнабором приемов умственной деятельности — умеет проводить сравнение, анализ,синтез, абстрагирование и т. п. В его деятельности значительное место занимаетконтроль результатов и самоконтроль. Он может самостоятельно спланировать иорганизовать свою учебную деятельность.
На внеурочных занятиях в X, а особенно в XI классесамостоятельность некоторых учащихся носит творческий характер, что находитвыражение в самостоятельной постановке ими проблемы или задачи, в составленииплана ее решения и отыскании способа решения; в постановке гипотез и ихпроверке; в проведении собственных исследований и т. п. Поэтому целесообразновыделить высший, четвертый уровень самостоятельности — творческуюсамостоятельность.
В соответствии с выделенными уровнями осуществляютсячетыре этапа учебной работы. Каждый этап связан с предыдущим и с последующим идолжен обеспечивать переход школьника с одного уровня самостоятельности наследующий.
Первый этап ставит целью выход учащегося на первый уровеньсамостоятельности. На этом этапе учитель знакомит учащихся с элементарнымиформами познавательной деятельности, сообщая математические сведения,разъясняет, как можно было бы получить их самостоятельно. С этой целью ониспользует лекционную форму работы или рассказ, а затем организует самостоятельнуюдеятельность учеников, состоящую в изучении доступного материала учебногопособия и решении задач, предварительно разработанных учителем в качествепримеров. Эта деятельность учителя и учащихся на занятиях соответствуетаналогичной деятельности на уроках математики и довольно хорошо освещена вметодической литературе.
На данном этапе учитель организует элементарную работуучащихся по математическому самообучению: просмотр математическихтелевизионных передач во внеурочное время; самостоятельное решение конкурсныхзадач из сборников, содержащих подробные решения или указания для контроля,причем с обязательным условием использования при решении некоторых из нихзнаний, полученных на внеурочных занятиях.
На втором этапе учебной работы преподавательпривлекает учащихся к обсуждению различных способов решения познавательнойзадачи и отбору наиболее рационального из них; поощряет самостоятельнуюдеятельность учеников в сравнении способов. Учитель знакомит учащихся с общимии частными указаниями, содействующими самостоятельному выбору путей решения познавательнойзадачи с помощью уже изученных приемов, способов и методов решения аналогичныхзадач. На этом этапе педагог широко пользуется методом эвристической беседы,организует самостоятельное изучение учащимися нового материала по учебнымпособиям, раскрывающим материал конкретно-индуктивным способом и содержащимбольшое число примеров различной трудности.
На втором этапе продолжается работа по организацииматематического самообучения учащихся и руководству им. Ученики решают задачииз сборников конкурсных задач, готовятся к школьным математическим олимпиадам(обычно условия подготовительных задач помещаются на специальных стендах),читают доступную научно-популярную литературу, например, из серии «Популярныелекции по математике». Руководство самообучением учащихся на этом этапе носитфронтально-индивидуальный характер: учитель дает рекомендации по самообучениювсем учащимся, но выполнение их не обязательно для всех; помощь преподавателя ворганизации математического самообучения учащихся носит индивидуальныйхарактер.
Третий этап наиболее ответственный, так как именно наэтом этапе должен произойти выход всех учащихся на основной уровеньсамостоятельности. Здесь большое внимание уделяется организациисамостоятельного изучения учащимися дополнительной учебной, научно-популярнойи научной математической литературы, сопровождаемого решением достаточного числазадач; подготовке рефератов и докладов по математике; творческому обсуждениюдокладов и сообщений на семинарах, организуемых на факультативе (постановка иобсуждение гипотез, задач-проблем, математических методов, возможных обобщенийили приложений изученной теории и т. п.); участию в школьном конкурсе порешению задач, в школьной, районной или городской олимпиаде по математике, взаочных олимпиадах и конкурсах; самообучению учащихся с учетом индивидуальныхинтересов и потребностей.
Например, в качестве рефератов могут быть предложеныклассические задачи древности: о квадратуре круга, об удвоении куба, отрисекции угла. Примером приложения изученной теории может служитьиспользование метода координат к решению геометрических задач. Как задача-проблемаставится вопрос о вычислении работы переменной силы и т. п.
На этом этапе учитель организует на занятияхобобщающие беседы по самостоятельно изученному школьниками материалу;
систематизирует знания учащихся; учит приемамобобщения и абстрагирования; проводит разбор найденных учениками решений;показывает, как надо работать над задачей (все ли случаи рассмотрены, нет лиособых случаев, нельзя ли обобщить найденный способ, чтобы можно былоприменять его к целому классу задач, и т. п.); учит выдвигать гипотезы, искатьпути предварительного обоснования или опровержения их индуктивным путем, азатем находить дедуктивные доказательства; с помощью проблемных вопросовсоздает дискуссионную обстановку, направляет ход дискуссии и подводит итоги ит. д. Большое внимание уделяется индивидуальной работе с учащимися: оказаниененавязчивой помощи некоторым ученикам в поисках путей решения задачи, вподготовке к математическим олимпиадам, в подборе литературы для рефератов и ихписьменном оформлении, в организации и осуществлении математическогосамообучения.
Рассмотрим примеры. (Смотри приложение 1)
На четвертом этапе основной формой являетсяиндивидуальная работа с учащимися, дифференцируемая с учетом познавательныхинтересов и потребностей и профессиональной ориентации каждого.Самостоятельная работа школьника на этом этапе работы носитпоисково-исследовательский характер и требует творческих усилий. Учащиесясамостоятельно в течение сравнительно длительного срока решают задачи,сформулированные ими самими или выбранные из предложенных учителем. Помощьпреподавателя заключается в проведении индивидуальных консультаций, врекомендации соответствующей литературы, в организации обсуждения найденногоучеником доказательства и т. п.
На этом этапе проводятся конкурсы по решению задач,самостоятельная подготовка победителей школьной математической олимпиады крайонной (областной, республиканской) олимпиаде (под руководством учителя);продолжается работа по самообучению.
Наиболее глубоко и полно система учебной работы поразвитию самостоятельности и творческой активности школьников реализуется приизучении факультативных курсов по математике.
2. ОБУЧЕНИЕ ЧЕРЕЗ ЗАДАЧИ
Метод обучения математике через задачи базируется наследующих дидактических положениях:
1) Наилучшийспособ обучения учащихся, дающий им сознательные и прочные знания иобеспечивающий одновременное их умственное развитие, заключается в том, чтоперед учащимися ставятся последовательно одна за другой посильные теоретическиеи практические задачи, решение которых дает им новые знания.
2) Обучение нанемногочисленных, но хорошо подобранных задачах, решаемых школьниками восновном самостоятельно, способствует вовлечению их в творческуюисследовательскую работу, последовательно проводя через этапы научного поиска,развивает логическое мышление.
3) С помощьюзадач, последовательно связанных друг с другом, можно ознакомить учеников дажес довольно сложными математическими теориями.
4) Усвоениематериала курса через последовательное решение учебных задач происходит ведином процессе приобретения новых знаний и их немедленного применения, чтоспособствует развитию познавательной самостоятельности и творческой активностиучащихся.
Можно выделить следующие виды обучения через задачи навнеурочных занятиях.
Теоретический материал изучаемого математическогокурса раскрывается конкретно-индуктивным путем. Учащиеся, решая самостоятельноподготовительные задачи, анализируя, сравнивая и обобщая результаты решений,делают индуктивные выводы. Способы решения конкретных задач таковы, что ихможно применить при решении обобщенной задачи (теоремы), тем самым ученикиготовятся к дедуктивным доказательствам, которые они в дальнейшем могутосуществить самостоятельно при выполнении нестандартных упражнений наприменение теории и решение задач повышенной трудности.
Весь материал курса раскрывается через задачи восновном дедуктивным путем. Теоремы курса имеют вид задач. Полученные знаниянаходят применение при решении творческих исследовательских задач.
Материал курса раскрывается через задачикомбинированным путем, т. е. как конкретно-индуктивным, так и дедуктивным. Вкурсе содержатся подготовительные, основные и вспомогательные задачи. Дляиндивидуальных заданий предусмотрены задачи повышенной трудности и творческие,исследовательские задачи.
Рассмотрим более подробно каждый из этих видовобучения.
Подготовительные задачи чаще всего располагаются всерии с нарастающей трудностью. Схематически ее можно изобразить так: А1—А2—А3—...—Ап,где Аk (k=1, 2, 3,…n) — подготовительная задача, решение которой способствует самостоятельномурешению учеником задачи Ak+1.
Каждая подготовительная задача должна быть небольшойпо объему информации, доступной для самостоятельного решения учащимися.Особенно важно это для первых задач серии, так как успех в решении одной задачистимулирует самостоятельную деятельность школьника при решении следующей.Задачи подбираются средней трудности, чтобы быть доступными всем ученикам. Есливзять слишком легкие задачи, то у сильных учащихся пропадает интерес к ихрешению. Слишком же трудные задачи исключают самостоятельность решения для всехучащихся. При возникновении затруднений учителем должна быть оказанаиндивидуальная помощь.
В ходе решения задач обязательно их письменное оформление,чтобы можно было, охватив решения всех задач серии, проследить пути к решениюосновной задачи-проблемы, сделать необходимые обобщения. Если первые задачисерии окажутся для какого-то ученика слишком легкими, он может по своемуусмотрению начать письменное оформление решений с задачи Ak, т. е. спромежуточной задачи. Тогда для него подготовительная серия задач будет иметьвид Ak—Ak+1—...—An.
Решения задач обсуждаются коллективно, анализируютсяразличные способы решения, проводится обобщение полученных результатов,формулируется учебная проблема и намечается способ ее решения. Всяческипоощряется самостоятельность суждений, отстаивание учащимися собственногомнения. (Смотри приложение 2)
Идея использования вспомогательных задач возникла наоснове наблюдений психологов о том, что при решении сложной задачи учащиесяобычно ищут, под какой из уже известных типов задач можно было бы ее подвести.При этом они, анализируя условие задачи, осуществляя поисковые пробы, пыталисьвоспользоваться такими данными, которые способствовали бы переносу ужеимеющегося в их опыте (полученном при решении ранее встречающихся задач) общегоили частного метода, способа или приема решения задач. То есть способы решенияодной задачи оказывают существенное влияние на самостоятельные поиски решениядругой.
Вспомогательные задачи являются своеобразнымиуказаниями к самостоятельной деятельности ученика при решении основнойзадачи. Они отличаются от указаний и готовых решений, имеющихся в большинствепособий по математике для самостоятельной подготовки к конкурсным экзаменам,тем, что не содержат рецептов, не навязывают способ решения автора, не даютготового решения. Указание (подсказка) во вспомогательной задаче заключается вее решении: нужно сначала самостоятельно решить вспомогательную задачу, а затемобнаружить содержащуюся в ней подсказку. Обычно для ученика одной вспомогательнойзадачи оказывается недостаточно. Тогда дается вторая вспомогательная задача ит. п. Образуется серия вспомогательных задач.
Схематично основная задача А вместе с серией вспомогательных задач A1,A2, ..., An изображается так: А: A1 —A2 — … —An.
Самостоятельная деятельность ученика начинается с решения задачи А.Если он за определенное время не сможет решить ее, то приступает к решениюпервой вспомогательной задачи А1: А—А1. В случае решениязадачи А1 ученик снова возвращается к задаче А: А1—А.Если задача А снова не решается, то он обращается к задаче А2. Решивзадачу A2,возвращается к задаче A и т. д. Возможен случай, когда школьник не сможетрешить вспомогательную задачу А1. Тогда он приступает к решениюзадачи А2. Если и A2 не решается, то переходит к задаче A3 и так до An. От задачи An<sub/>ученикпоследовательно возвращается к задаче
А: An —An-1— … —A1—A. Возможнаи другая последовательность решения задач, что можно изобразить схемами:
A<sub/>—A1— A—A2 —A<sub/>—<sub/>A3 —A<sub/> или
A<sub/>—A1— A—A2 —A1 — A—A3 —A2 —A1—A и т. д.
Составление вспомогательных задач наталкивается на серьезныетрудности. Для решения задачи Л может соответствовать и другая серия вспомогательныхзадач, отличная от указанной, например В1, В2, ..., Bk<sub/>Трудностьзаключается в отборе лучшей (оптимальной) серии для конкретного ученика. Далее,серия может быть и нелинейна. Этополучается тогда, когда для решения задачи A нужно знать способы решения сразудвух (или нескольких) задач. Схематическое изображение этой ситуации таково:
A:/>
Трудность заключается в том, что одна и та же сериявспомогательных задач для разных учащихся имеет различную эффективность: дляодних серия слишком длинна (содержит много задач), для других коротка, одни ите же задачи для одних слишком легки, для других трудны и т. п. Кроме того,вспомогательные задачи навязывают ученику определенный путь решения. Но и приподсказке учителя также навязывается ученику способ решения, намеченныйучителем.
Опыт применения вспомогательных задач на кружковых ифакультативных занятиях по математике показывает, что школьники, научившисьсамостоятельно решать задачи с помощью вспомогательных задач, предложенных учителем,замечают, что среди задач A1 —A2 — … —An имеются и такие, которые либо уже были решены ими ранее, либо решаютсяспособами (приемами), известными им. Это наталкивает учащихся на мысль, что прирешении новой задачи следует самостоятельно отыскивать среди уже решенных ранеезадач родственные данной и использовать их в качестве вспомогательных. Таквоспитывается умение при самостоятельном решении задач возвращаться к своемуопыту и применять его при продвижении вперед. Последнее является важным звеномумения решать задачи, умения самостоятельно приобретать новые знания.
Курсы, построенные на задачах, не содержат деленияматериала на теоретическую и практическую части. Сами задачи — это и естьизучаемый курс. Поэтому и содержание задач, и способы решения их направленыкак на вооружение учащихся теоретическими знаниями, так и на выработку умений изакрепление навыков. Рассматриваемые определения обычно включаются всодержание задач. Возможна формулировка определений и отдельно от задач.Теоремы имеют тоже вид задач. Если теорема большая или сложная, то онаразбивается на последовательность таких задач, что решение предыдущейоблегчает решение последующей, а совокупность этих решений дает доказательствотеоремы.
Любая тема курса состоит из серии задач, которыедолжны быть полностью решены каждым учеником, так как только в этом случаедостигается полное усвоение определенной математической теории. Однако виндивидуальные задания могут быть включены задачи подготовительные,вспомогательные или задачи для самоконтроля, которые не обязательны для всехучеников.
Перед изучением темы организуется пропедевтическаяработа, ставящая своей целью подготовить учеников к самостоятельному активномуизучению материала. В частности, здесь выявляются и ликвидируются пробелы взнаниях и формируются необходимые предварительные представления. Затем учительв форме лекции или беседы вводит учеников в тему, намечает круг вопросов,подлежащих изучению, формулирует сам или подводит учащихся к самостоятельнойформулировке первой проблемной задачи курса.
Основным этапом занятий является самостоятельноерешение школьниками задач. Учащимся в процессе самостоятельной работыразрешается пользоваться справочниками и конспектами, поскольку необходимоумственное развитие, умение самостоятельно решить возникающие задачи.Индивидуальная помощь учителя носит характер не подсказки, а направления наверный путь решения, для чего используются вспомогательные задачи. Расположениезадач в серии по принципу нарастающей трудности стимулирует развитиесамостоятельности учеников. Обучение с использованием серии вспомогательныхзадач строится по принципу от сложного к простому, от трудного к более легкому,что способствует формированию элементов творчества, стимулирует поискиучащимися способов решения, побуждает их мыслить. После решения всех задачсерии проводится коллективное обсуждение результатов. Полученный материалобобщается для последующего применения полученных знаний при решении новогокласса задач, делаются теоретические выводы. Всячески поощряетсясамостоятельность учеников в суждениях, в отстаивании собственного мнения.
Как показал опыт, обучение через задачи на внеурочныхзанятиях обеспечивает развитие самостоятельности и творческой активностиучащихся, способствует приобретению прочных и осознанных знаний, развиваетумение сравнивать, обобщать, делать творческие выводы из решенных задач,поддерживает интерес к математике.
3. АКТИВИЗАЦИЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ
Внеклассная работа по математике в ее традиционномтолковании проводится в школе учителем во внеурочное время с учащимися,проявляющими к математике интерес. Эта работа планируется учителем и по меренеобходимости корректируется. Государственных программ по внеклассной работенет, как нет и норм оценок. На внеклассные мероприятия и занятия ученикиприходят по желанию, без всякой предварительной записи. Если у ученика пропадетинтерес к внеклассной работе, он прекращает свое участие в ней. Активизациявнеклассной работы по математике призвана не только возбуждать и поддерживатьу учеников интерес к математике, но и желание заниматься ею дополнительно какпод руководством учителя во внеурочное время, так и при целенаправленнойсамостоятельной познавательной деятельности по приобретению новых знаний, т.е. путем самообучения.
Одной из форм внеурочной работы являются конкурсы,которые обладают большим эмоциональным воздействием на участников и зрителей.(Смотри приложение 3)
4. ОРГАНИЗАЦИЯ САМООБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ С УЧЕТОМИНДИВИДУАЛЬНЫХ ИНТЕРЕСОВ И ПОТРЕБНОСТЕЙ
В дидактике установлено, что самостоятельнаядеятельность учащихся по приобретению новых знаний по собственной инициативе,сверх программы школьного предмета, возможна лишь при наличии серьезногоинтереса к предмету, увлечения рассматриваемыми проблемами, переходящего впознавательную потребность приобретать сверхпрограммные знания в соответствиис индивидуальными интересами и потребностями.
С помощью анкет, в ходе личных бесед можно установить,почему тот или иной ученик посещает занятия кружка или факультатива. В младшемвозрасте, как правило, это интерес к математике как любимому учебному предмету,в среднем и старшем — это либо интерес к математике как науке, либопрофессионально-ориентационный, связанный с предполагаемой послешкольнойдеятельностью. Например, в одной из школ с помощью анкет учитель установил, чтосреди семиклассников, регулярно занимающихся в математических кружках ифакультативах, около 70% считают занятия по математике более любимыми в школе,чем по другим предметам, примерно 20% заявили о своем серьезном увлеченииматематикой как наукой и намерении посвятить математике свою трудовуюпослешкольную деятельность, а около 10% назвали другие причины, в том числеследование за товарищем, увлеченным математикой. Через два года анкетированиесреди этих же учеников показало, что лишь 6% изъявляют желание глубоко изучатьматематику, 83% связывают дополнительные занятия математикой с необходимостьюхорошо подготовиться к конкурсному экзамену по математике на вступительныхэкзаменах в вуз, а 11 % указывают другие причины. Для учителя полученные данныенужны для эффективного применения индивидуального подхода к школьникам вовнеурочной работе, корректировки своей работы, направленной на развитиеинтереса учащихся в ходе внеурочных занятий. В противном случае первоначальныйинтерес к математике, не получая подкрепления и развития, гаснет и ученикипрекращают посещать внеурочные мероприятия. Более того, они перестают самостоятельнозаниматься математикой дома, фактически прекращают самообучение.
Интерес к математике формируется с помощью не толькоматематических игр и занимательных задач, рассмотрения софизмов, разгадыванияголоволомок и т. п., хотя и они необходимы, но и логической занимательностьюсамого математического материала: проблемным изложением, постановкой гипотез,рассмотрением различных путей решения проблемной ситуации, решением задач илидоказательством теорем различными методами и другими разработанными в методикематематики приемами формирования познавательного интереса к математике. (Смотриприложение 4).
Разбор предложенных способов проходил на расширенномзаседании математического кружка с привлечением учащихся из группы факультативаи приглашением желающих и вызвал неподдельный интерес у присутствующих.Необходимые вычисления проводились с помощью микрокалькулятора.
Самообучение школьника невозможно без его умения ижелания работать с математической книгой.
Подбору математической литературы для самообучения учителюприходится уделять большое внимание. Установлено, что учащиеся по-разномуработают над книгой: одни стараются побыстрее пройти теоретический материал иприступить к решению задач, другие больше внимания уделяют, наоборот, теоретическимвопросам. Первым не нравятся многословные учебники и пособия, они предпочитаюткраткие дедуктивные доказательства; вторые предпочитают книги с подробнымивыкладками, пояснениями, индуктивными выводами, примерами и т. п.
Так, в одной из школ на факультативных занятиях в старшихклассах изучение программирования на ЭВМ осуществлялось с помощьюпрограммированных пособий. На факультативе их применение оправдывалось тем,что ученикам предлагалось усваивать материал в индивидуальном темпе,затруднения преодолевались с помощью индивидуальных консультаций, а подведениеитогов проводилось на заключительной конференции по книгам.
Наблюдения показали, что одни ученики старалисьбыстрее овладеть теорией. Если оказывалось, что выбранный ими ответ неверен,то, не пытаясь разобраться в причинах ошибки, они искали другой ответ, пока ненаходили верный, позволявший им читать очередную запрограммированную порциюучебной информации. В процессе изучения материала пособия многие из этихучащихся составляли свой шифр — последовательность страниц для чтения справильными ответами, а затем вторично прочитывали эти страницы в указаннойшифром последовательности, т. е. читали как обычную книгу, а не какпрограммированное пособие, составленное по разветвленной программе. Другим,наоборот, нравилось разбирать все замечания автора. Даже убедившись, чтовыбранный ими ответ верен, они читали указания и к другим, неверным ответам,чтобы рассмотреть приводимые примеры и уяснить причины возможных неправильныхответов.
При переходе в дальнейшем к изучению обычнойлитературы по программированию на ЭВМ первые испытывали чувство удовлетворенияот того, что их не перебивают то и дело вопросами, на которые нужно даватьответ, а в случае неверного выбора еще и перечитывать назидания автора. вторыеже не всегда удовлетворялись краткостью авторского изложения материала, постояннообращались к учителю с вопросами, чувствуя необходимость в его комментариях.
С учетом избирательного отношения учеников кматематическим книгам можно рекомендовать для самообучения не одно учебноепособие, а несколько, чтобы ученики сами выбирали то, которое им большеподходит по их индивидуальным склонностям и способностям. Правда, учителю вэтом случае труднее контролировать их самостоятельную работу над книгой ипроводить консультации. Зато самообучение школьников будет более эффективным.
Большое значение для стимулирования самообучения имееторганизация обзоров изученной учащимися математической литературы, ееобсуждение на читательских конференциях или в устных журналах. Обычно делаетсяэто так. Объявляется тема для обзора и рекомендуется литература. Списоклитературы помещается на стенде. Там же указывается расписание консультаций.Дается время для подготовки, назначается место и время проведения.
Обзор литературы делают два-три ученика, они жеотвечают на вопросы. Впрочем, отвечать могут и присутствующие ученики иучитель, а также дополнять или поправлять докладчиков. При этом возникаютспоры, выдвигаются гипотезы, находятся новые решения и т. д. (Смотри приложение5).
Для самостоятельного обучения очень важно воспитать уучащихся потребность в самостоятельном поиске знаний и их приложении. Поэтомуодной из задач является приобщение учеников к решению задач по своейинициативе, сверх школьной программы. Одним из средств является математическаяолимпиада. Школьники убеждаются на собственном опыте, что, чем большеразнообразных задач они самостоятельно решают, тем значительнее их успехи нетолько в школьной, но и в районной олимпиаде. Это служит дополнительнымстимулом к самообучению.
Одним из условий самообучения является умение ученика
планировать свою самостоятельную внеурочнуюпознавательную деятельность по приобретению знаний. Учитель помогает ему всоставлении индивидуальных планов самообучения и в их реализации. Если в V—VIIклассах самообучение школьника проводится обычно по плану, подсказанномуучителем, в VIII—IX классах уже при совместных обсуждениях в индивидуальных илигрупповых беседах и консультациях, то в Х—XI классах эти планы составляютсясамим учеником. Лишь в некоторых случаях он прибегает к совету учителя илируководствуется его рекомендациями.
Так, в одной из групп факультатива XI класса учащимсябыло предложено уточнить свои индивидуальные планы самообучения на учебныйгод. В ходе индивидуальных бесед учитель установил, что ученики планировалиизучение научной и научно-популярной математической литературы, посещениематематического кружка школьников-старшеклассников при пединституте иматематического лектория при политехническом институте, решение задач изсборников задач различных математических олимпиад (отечественных и зарубежных).Большое место в планах отводилось самостоятельной работе по подготовке кпоступлению в вуз: изучению пособий по математике для поступающих в вуз ирешению конкурсных задач, публикуемых в «Кванте», обучению на заочныхподготовительных курсах в избранный или родственный вуз и т. д.
Выяснив планы учащихся, учитель осуществлялиндивидуально-групповое педагогическое руководство самообучением школьников,которое проводилось в следующих направлениях:
—корректирование (уточнение, детализация) индивидуальных планов самообучения;
— подборучебной, научно-популярной и научной литературы по математике длясамостоятельного изучения;
— болееконкретное ознакомление каждого учащегося с предполагаемой дальнейшейдеятельностью и уточнение места и значения математических знаний в этойдеятельности;
— проведениеиндивидуальных и групповых консультаций по вопросам самообучения;
— оказаниепрактической помощи учащимся, готовящимся к поступлению в вузы, где отабитуриентов требуется более углубленная математическая подготовка (МГУ, МФТИ,МИФИ и другие институты).
Чтобы педагогическое руководство самообучениемшкольников было эффективным, целесообразно осуществлять определеннуюдифференциацию, которая по сути будет индивидуально-групповой. Это обусловленотем, что учащихся по их познавательным интересам и практическим потребностям,которые они хотят удовлетворить, занимаясь самообразованием, можно разделить наусловные группы.
К первой группе можно отнести учащихся с ярковыраженной
интеллектуальной потребностью в углубленном изученииматематики, обусловленной стержневым познавательным интересом в областиматематики. Предполагаемая послешкольная деятельность их связана с серьезнымизучением математики либо на математических факультетах университетов, либо втехнических вузах с углубленным изучением математики.
Во вторую группу целесообразно включить учеников,основные познавательные интересы которых находятся в области физики, техники,в естественнонаучной или производственной сфере, а углубленное изучениематематики вызывается потребностями послешкольной деятельности (например,обучением в технических вузах общеинженерных профилей, на естественныхфакультетах университетов, в техникумах и профтехучилищах по специальностям,связанным с электроникой, робототехникой и другой современной техникой).
Третью группу составляют школьники, познавательные интересыкоторых находятся в областях, не требующих углубленных математических знаний.Занятия математикой во внеурочное время у них обусловлено не потребностями вдальнейшей деятельности, а исключительно увлечением математикой, возникшим науроках, любовью к математике как учебному предмету и сфере приложенияинтеллектуальных сил.
И наконец, в отдельную четвертую группу целесообразнообъединить учащихся, познавательные интересы которых еще не сформировались,характер дальнейшей деятельности не определился, а внеурочные занятияматематикой обусловлены различными, часто случайными мотивами.
Включение учеников в ту или иную группу учительосуществляет по результатам индивидуальных бесед с учащимися и их родителями,а также с помощью анкетирования.
Контроль за самообучением школьников можноосуществлять различными способами. Наиболее эффективный — через конкурсы порешению задач и различные математические состязания, в том числе имежпредметного содержания. Конкурс желательно проводить в несколько заочныхтуров и заключительный очный. Решения задач участники конкурсов могут даватьлюбые, но за каждый способ решения одной и той же задачи очки начисляютсяотдельно. Это поощряет поиски новых оригинальных путей решения задачи,использование теоретического материала из различных рекомендованных учителем поопределенной теме математических книг.
В качестве примера приведем задачи одного из туровзаочного конкурса по решению задач в связи с самостоятельной работойшкольников над темой «Метод координат». (Смотри приложение 6)
Условия задач помещаются на стенде. Там же указываютсяконкурсные требования, сроки сдачи письменных работ, место и время обсужденияпредставленных решений.
Об эффективности математического самообучения учительможет составить себе представление по многим критериям. Приведем некоторые изних:
а) повышение количества учащихся, изучающихдополнительную литературу;
б) смещение стержневого познавательного интересашкольников в сторону математики;
в) массовое применение в самостоятельных, контрольныхи зачетных работах, при решении конкурсных и олимпиадных задач математическихзнаний, полученных в результате самообучения;
г) широкое участие в различных формах математическогообразования в системе внешкольного обучения: в заочной математической школе приАПН СССР и МГУ, на заочных подготовительных курсах для поступающих в вузы, вочных олимпиадах, проводимых на местах многими вузами (физтехом, МИФИ и др.), ввоскресных математических лекториях при вузах и др.
Такая информация поможет учителю своевременно вноситькоррективы в свою работу по организации самообучения учеников, способствоватьповышению самостоятельности и творческой активности школьников для получениясверхпрограммных математических знаний в соответствии с их индивидуальнымиинтересами, потребностями, планами дальнейшей деятельности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕСпецифика внеурочных занятий состоит в том, что онипроводятся по программам, выбранным учителем и обычно согласованным сучениками и корректируемым в процессе обучения с учетом их интеллектуальныхвозможностей, познавательных интересов и развивающихся потребностей. Участие вбольшинстве видов внеурочных занятий является необязательным, за результатыработы ученик отметок не получает, хотя его работа также оценивается, нодругими способами: поощрениями через стенную печать, награждением грамотами,книгами, сувенирами и т. п.
Само участие ученика в факультативе, в кружковойработе, в математических состязаниях и олимпиадах уже является дифференциациейобучения в школе. Тем не менее и к этой категории школьников целесообразно длямаксимального развития их индивидуальных способностей и интересов,удовлетворения потребностей широко применять дифференциацию обучения на факультативныхи кружковых занятиях и индивидуальный подход в организации и руководстве ихсамообучения.
Приложение 11. Учительпредлагает с помощью чертежей исследовать взаимное расположение гиперболы ипрямой. Учащиеся выдвигают гипотезы (индуктивным путем). Затем послеисследования системы уравнений
/>
можно дать дедуктивное доказательство их (при |k|< |/>| прямая пересекаетгиперболу в двух точках, а при |k| ³ |/>| точек пересечения нет).
2. При изучениикомплексных чисел ученикам предлагается исследовать возможные определенияпонятий «больше», «меньше» во множестве С. Затем на занятии в форме дискуссииопровергаются предлагаемые школьниками определения.
3. В качествеиндивидуального задания рекомендуется исследовать возможное обобщение: точкамна прямой ставятся в соответствие действительные числа, точкам на плоскости — комплексные,а точкам в пространстве? Результатом исследования могут быть рефераты илисообщения учащихся, обсуждаемые коллективно на занятии.
Приложение 2Приведем пример серии задач с нарастающей трудностьюпо теме «Площадь треугольника», в которой задачи 1—6 по сути являютсяподготовительными к задаче 7.
1. Даны точкиА(3;0), B(3,5), С(-1;3),К(-1;0). Вычислите площадь четырехугольника АBСK.
2. Даны точки А(2; 0), В (2; 3), С (- 1, 4), К (-3; 2). Е (-3; 0). Вычислите площадимногоугольников АВСКЕ и ВСК.
3. Даны точки A (x1; 0), В (х2; 0), С (х2; y2), К (x3; y3), Е (x1; y1).Укажите способ вычисления площади треугольника СКЕ, если:
1)x1<x3<x2, 0<y2<yl<y3;
2)x1<x2<x3, 0<y3<yl<y2.
4. Даны точки A(x1;y1), В (х2;у2), C(х3; у3), где y1, у2, у3 — положительные числа.Докажите, что площадь треугольника ABC может быть вычислена поформуле S=0.5|S1|, где
S1=x1(y2—y3)+x2(у3—y1)+x3 (у1—y2).
5. Докажите, чтоможно подобрать такой параллельный перенос на вектор /> (0; m),при котором точки A (х1; у1), В (х2; y2), С(х3; у3) перейдут в точки A'(х1'; у1'), B' (х2'; у2'),С' (х3'; у3'), причем у1'>0, у2'>0,у3'>0.
6. Даны три точки А(х1; у1), В(х2;у2), С (х3; у3) и точки A' (х1; у1+m), В'(х2; у2 +m),С' (х3; у3 +m), полученные при параллельномпереносе на вектор (0; m), причем у1 +m, у2 +m, у3+m — положительны. Вычислите площадь треугольникаА'В'С'. Объясните, почему результат не зависит от m.
7. Докажите, чтоплощадь треугольника АВС вычисляется по формуле
S=0.5|x1(y2—y3) + x2 (у3—y1)+ x3 (у1—y2)|
независимо от того, какая из его вершин обозначеначерез (x1;y1), (х2; у2), (х3; у3),
Приложение 3
Заморочки из бочкиНа столе ведущего стоит бочонок. Команды поочереднотянут из бочонка листочки с вопросами. На ответ дается не более одной минуты.
Если бы завтрашний день был вчерашним, то довоскресенья осталось бы столько дней, сколько дней прошло от воскресенья довчерашнего дня. Какой же сегодня день? [Среда.]
Груша тяжелее, чем яблоко, а яблоко тяжелее персика.Что тяжелее — груша или персик? [Груша.]
Два мальчика играли на гитарах, а один на балалайке.На чем играл Юра, если Миша с Петей и Петя с Юрой играли на разныхинструментах? [Юра играл на гитаре.]
На столе стояли три стакана с ягодами. Вова съел одинстакан и поставил его на стол. Сколько стаканов на столе? [Три.]
Шел муж с женой, да брат с сестрой. Несли 3 яблока иразделили поровну. Сколько было людей? [Трое: муж, жена и брат жены.]
У Марины было целое яблоко, две половинки и четыречетвертинки. Сколько было у нее яблок? [Три.]
Батон разрезали на три части. Сколько сделали разрезов?[Два.]
Мальчик Пат и собачонка весят два пустых бочонка.Собачонка без мальчишки весит две больших коврижки. А с коврижкой поросеноквесит — видите — бочонок. Сколько весит мальчик Пат? Сосчитай-ка поросят.[Мальчик весит столько же, сколько два поросенка.]
Один мальчик говорит другому: «Если ты дашь мнеполовину своих денег, я смогу купить карандаш». Сколько денег было у второгомальчика? [Установить невозможно.]
Петя и Миша имеют фамилии Белов и Чернов. Какуюфамилию имеет каждый из ребят, если Петя на год старше Белова. [Петя Чернов иМиша Белов.]
Человек, стоявший в очереди перед Вами, был вышечеловека, стоявшего после того человека, который стал перед Вами. Был личеловек, стоявший перед вами выше Вас? [Да.]
Как в древние времена называли «ноль»? [Цифра.]
Может ли при сложении двух чисел получиться нуль, еслихотя бы одно из чисел не равно нулю? [Нет, не может.]
В каком случае сумма двух чисел равна первому слагаемому?[Когда второе слагаемое — нуль.]
Который сейчас час, если оставшаяся часть суток вдвоебольше прошедшей? [8 часов.]
В семье я рос один на свете,
И это правда, до конца.
Но сын того, кто на портрете,
Сын моего отца.
Кто изображен на портрете? [Мой отец.]
Игра«Счастливый случай»
Вопросы для первойкоманды
Отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.[Радиус.]
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединойпротиволежащей стороны. [Медиана.]
Два созвездия, по форме напоминающие ковш. [БольшаяМедведица и Малая Медведица.]
Аппарат для подводного плавания. [Акваланг.]
Утверждение, требующее доказательства. [Теорема.]
График квадратичной функции. [Парабола.]
Цифровая оценка успехов. [Балл.]
Множество точек плоскости, равноудаленных от концаданного отрезка. [Перпендикуляр, проведенный к середине данного отрезка.]
Угол, смежный с углом треугольника при данной вершине.[Внешний угол.]
Прямоугольник, у которого все стороны равны.[Квадрат.]
Мера веса драгоценных камней. [Карат.]
Часть круга, ограниченная дугой и ее хордой.[Сегмент.]
Направленный отрезок. [Вектор.]
Отношение противолежащего катета к гипотенузе. [Синус.]
Угол, меньший прямого. [Острый.]
Вопросы для второйкоманды
Отрезок, соединяющий любые две точки окружности.[Хорда.]
Утверждение, не вызывающее сомнений. [Аксиома.]Устройство для запуска двигателя внутреннего сгорания. [Стартер.]
Вид местности, открывающийся с возвышенного места.[Панорама.]
Самая знаменитая звезда в созвездии Малой Медведицы.[Полярная.]
График линейной функции. [Прямая.] Множество точекпространства, равноудаленных от данной точки. [Сфера.]
Кусок, часть чего-нибудь. [Осколок.] Сумма длин всехсторон многоугольника. [Периметр.]
Ромб, у которого все углы прямые. [Квадрат.] Зажим дляприсоединения, закрепления проводов. [Клемма.]
Самая большая хорда в круге. [Диаметр.] Простейшеегеометрическое понятие. [Точка.] Часть прямой, ограниченная с одной стороны.[Луч.] Отношение прилежащего катета к гипотенузе. [Косинус.]
Игра«Счастливый случай»
Вопросы для первойкоманды
Результат сложения. [Сумма.]
Сколько цифр вы знаете? [Десять.]
Наименьшее трехзначное число. [100.]
Сотая часть числа. [Процент.]
Прибор для измерения углов. [Транспортир.]
Сколько сантиметров в метре? [Сто.]
Сколько секунд в минуте? [Шестьдесят.]
Результат деления. [Частное.]
Сколько лет в одном веке? [Сто.]
Наименьшее простое число. [2.]
Сколько нулей в записи числа миллион? [Шесть.]
Величина прямого угла. [90°.]
Когда произведение равно нулю? [Когда хотя бы один измножителей равен 0.]
График прямой пропорциональности. [Прямая, проходящаячерез начало координат.]
Что больше: 2 м или 201 см? [201 см.]
Что меньше: /> или 0,5?[/>]
Радиус окружности 6 см. Диаметр? [12 см.]
Какую часть часа составляют 20 мин? [1/3.]
Сколько сантиметров составляет 1% метра? [1см.]
Корень уравнения |х| = —1. [Не существует.]
Вопросы для второй команды Результат вычитания.[Разность.]
На какое число нельзя делить? [На 0.]
Наибольшее двузначное число. [99.]
Прибор для построения окружности. [Циркуль.]
Сколько граммов в килограмме? [Тысяча.]
Сколько минут в часе? [Шестьдесят.]
Сколько часов в сутках? [Двадцать четыре.]
Результат умножения. [Произведение.]
Сколько дней в году? [365 или 366.1
Наименьшее натуральное число. [1.]
Сколько нулей в записи числа миллиард? [Девять.]
Величина развернутого угла. [180°.]
Когда частное равно нулю? [Когда делимое равно нулю.]
График обратной пропорциональности. [Гипербола.]
Что больше: 2 дм или 23 см? [23 см.]
4 Что меньше:0,7 или /> [0,7.]
Диаметр окружности 8 м. Радиус? [4 м.]
Какую часть минуты составляют 15 сек? [1/4.]
Найдите 10% тонны. [100 кг.]
Корень уравнения |х| = —7. [Не существует.]
Игра«Третий лишний»
Командам поочередно демонстрируются названия различныхобъектов. Два из них имеют какое-то общее свойство, а третий нет. Командыдолжны быстро ответить, какой объект не обладает свойством, которое присущедвум другим. Например:
гектар, сотка, метр;
ярд, тонна, центнер;
конус, квадрат, призма;
треугольник, прямоугольник, ромб;
прямая, отрезок, угол.
Игра«Что? Где? Когда?»
Вопросы
Индийцы называли его «сунья», арабские математики«сифр». Как мы называем его сейчас? [Нуль.]
Именно этот учебник был первой в России энциклопедиейматематических знаний. По нему учился М.В.Ломоносов, называвший его «вратамиучености». Именно в нем впервые на русском языке введены понятия «частное»,«произведение», «делитель». Назовите учебник и его автора. [«Арифметика»Л.Ф.Магницкого.]
Это название происходит от двух латинских слов«дважды» и «секу», буквально «рассекающая на две части». О чем идет речь? [Обиссектрисе.]
Ее знакомство с математикой произошло в 8 лет, так какстены ее комнаты были оклеены листами с записями лекций по математикепрофессора Остроградского. Кто она? [С.В.Ковалевская.]
На могиле этого великого математика был установленпамятник с изображением шара и описанного около него цилиндра. Почти спустя200 лет по этому чертежу нашли его могилу. Кто этот математик? [Архимед.]
В древности такого термина не было. Его ввел в XVII в.французский математик Франсуа Виет, в переводе с латинского он означает «спицаколеса». Что это? [Радиус.]
В черном ящике лежит предмет, название которого произошло отгреческого слова, означающего в переводе «игральная кость». Термин ввелипифагорейцы, а используется этот предмет в играх маленькими детьми. Что вчерном ящике? [Куб, кубик.]
Слово, которым обозначается эта фигура, в переводе сгреческого означает «натянутая тетива». Что это? [Гипотенуза.]
Точка, от которой в Венгрии отсчитывают расстояния,отмечена особо. В этом месте в центре Будапешта стоит памятный знак. Кто иличто было удостоено таких почестей? [Нуль.]
Воины римского консула Марцелла были надолго задержаныу стен города Сиракузы мощными машинами-катапультами. Их изобрел для защитысвоего города великий ученый Архимед. В черном ящике лежит еще одноизобретение Архимеда, которое и поныне используется в быту. Что в черном ящике?[Винт Архимеда, используется в мясорубке.]
Мы, в отличие от египтян, римлян и славян, пользуемсяпозиционной системой счисления, в которой всего десять цифр и «ступеньки». Чтоэто за «ступеньки», перечислите их. [Это разряды, их всего три — единицы,десятки, сотни.]
Математическаяпьеса «Бесплатный обед»
(по мотивам рассказаЯ.И.Пврвльмана)
Ведущий. Десять друзей, решив отпраздновать окончаниесредней школы в ресторане, заспорили у стола о том, как усесться вокруг него.
Первый друг. Давайте сядем в алфавитном порядке, тогданикому не будет обидно.
Второй. Нет, сядем по возрасту.
Третий. Нет, нет. Сядем по успеваемости.
Четвертый. Да ну, опять успеваемость, это вам нешкола, да и надоело.
Пятый. Тогда я предлагаю сесть по росту, и никакихпроблем.
Шестой. Устроим здесь физкультуру не так ли?
Седьмой. Придется тащить жребий.
Восьмой. Ну уж нет.
Девятый. По-моему уже обед остыл.
Десятый. Я сажусь, где придется, и вы, давайте замной.
Появляется официант. Вы еще не расселись? Молодыедрузья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол, как кому придется, ивыслушайте меня.
Все сели как попало.
Официант. Пусть один из вас запишет, в каком порядкевы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже вином порядке. Послезавтра сядете опять по-иному и т.д., пока не перепробуетевсе возможные размещения. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите высегодня, тогда — обещаю торжественно — я начну ежедневно угощать васвсех бесплатно самыми изысканными обедами.
Друзья почти хором. Вот здорово, будем каждый деньобедать у вас.
Друзья сидят за столом, выходит вперед ведущий.
Ведущий. Друзьям не пришлось дождаться того дня, когдаони стали питаться бесплатно. И не потому, что официант не исполнил обещания, апотому что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оноравняется ни мало, ни много — 3 628 800. Такое число дней составляет, какнетрудно сосчитать, почти 10 000 лет! Вам может показаться невероятным, чтобы 10человек могли размещаться таким большим числом различных способов. Проверьтерасчет сами.
Возьмите любое трехзначное число. Допустим 475. Сколькоеще можно получить чисел путем перестановки цифр этого трехзначного числа?
Переставляя цифры, получим следующие числа: 475, 457,745, 754, 547, 574. Всего 6 перестановок.
Добавим четвертую цифру: 4753. Сколько будет тогдаперестановок?
4753, 4735, 4573,4537, 4357, 4375, ...
Если каждую цифру поставить на первое место, то тридругие дадут шесть перестановок, значит, так как у нас всего четыре цифры, товсего получится 4-6=24 перестановки. То есть, когда взяли три цифры, перестановокполучили 6, а когда взяли четыре цифры, перестановок оказалось 24. В первомслучае число перестановок равно 1×2×3=6, во втором 1×2×3×4=24. А в нашей сценке число перестановок равно 1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800.
Математическаяпьеса «Задача о чашах»
Много лет тому назад очень богатый шах объявил, чтохочет разделить наследство между своими детьми, а того, кто поможет ему в этом,он щедро вознаградит.
Шах. В трех чашах хранил я жемчуг. Подарю я старшемусыну половину жемчужин из первой чаши, среднему — одну треть из второй, амладшему только четверть жемчужин из последней. Затем я подарю старшей дочери4 лучшие жемчужины из первой чаши, средней — 6 жемчужин из второй чаши, амладшей дочери — две жемчужины из третьей чаши. И осталось у меня в первой чаше38, во второй — 12, а в третьей — 19 жемчужин. Сколько жемчужин у меня должнобыть в каждой чаше сначала? Хватит ли моего жемчуга для детей и меня?
Ведущий. И вот из разных стран пришли во дворецмудрецы. И первый мудрец, поклонившись шаху, написал свое решение задачи.
Первый мудрец. Если в первой чаше, о великий шах,останется 38 жемчужин, а подаришь ты старшей дочери 4 жемчужины, то эти 42жемчужины и составят половину того, что хранится сейчас в чаше. Ведь вторуюполовину ты подаришь старшему сыну? Значит, в первой чаше у тебя должно бытьсейчас 84 жемчужины. Во второй чаше должно остаться 12 жемчужин, да 6 тыподаришь другой дочери. Эти 18 жемчужин составят 2/3 того, что хранится вовторой чаше сейчас. Ведь 1/3 ты пожалуешь среднему сыну. Значит, во второй чашедолжно быть сейчас 27 жемчужин. Ну а в третьей чаше должно остаться 19жемчужин, да две ты подаришь младшей дочери. Выходит, что 21 жемчужина — это3/4 содержимого третьей чаши. Ведь 1/4 ты отдаешь младшему сыну. Значит, сейчасв третьей чаше должно быть 28 жемчужин.
Во время рассказа первый мудрец записывает решение надоске:
38+4=42 42:1/2=42×2=84,12+6=18 18:2/3=18-3/2=27, 19+2=21 21:3/4=21×4/3=28.
Шах. Как же ты смог решить такую сложную задачу?
Первый мудрец. Мне помогла арифметика — наука очислах, их свойствах и правилах вычисления. Это очень древняя наука, ей ужемного тысяч лет.
Шах. Твое решение мне понятно, но оно длинное иутомило меня. А что скажет другой мудрец?
Второй мудрец. О великий шах! Я обозначу числожемчужин в первой чаше буквой х. Тогда старшему сыну ты подаришь /> жемчужин.Если из х вычесть его половину, да еще 4 жемчужины, что ты подаришь старшейдочери, то остаток нужно приравнять к 38. Вот какое уравнение я составил:
x-/>-4=38.
Решим его. /> = 42, а х в два раза больше,т.е. х = 84. Выходит, что в первой чаше должно быть сейчас 84 жемчужины. А длявторой чаши, если количество жемчужин в ней обозначить через у, получимуравнение
y-/>-6=12
Решим его. />у == 18, а теперь 18 разделим на 2 и умножим на 3. Значит у = 27.
Рассуждая также, составляем уравнение для третьей
чаши:
z-/>-2=19, />z =21, z =28.
Следовательно, в третьей чаше должно быть сейчас 28 жемчужин.
Шах. Твое решение мне тоже нравится. И ответы у васодинаковые. Но нельзя ли решить это все как-то покороче?
Тогда молча вышел третий мудрец и показал плакат, гденаписано следующее:
х — ах — b = с.
Ответ: х= />.
Шах. А здесь я ничего не понимаю! И вообще один ответ,а у меня три чаши!
Третий мудрец. Все три ответа уместились в одном, овеликий шах! Ведь задачи про чаши совершенно одинаковые, лишь числа разные. Я иобъединил три решения в одном, обозначив через х неизвестное число жемчужин,через а — часть жемчужин, подаренных сыну, через b — число жемчужин, отданных дочери,а через с — число оставшихся в чаше жемчужин. Теперь можно подставлять вместоэтих букв числа, которые ты задашь в своей задаче, и будут получатьсяправильные ответы. Будь у тебя 100 чаш, 100 сыновей, 100 дочерей, одного моегоуравнения хватит, чтобы получить все ответы.
Шах. Да, твое решение, оказывается, самое удобное. Какже ты придумал его?
Третий мудрец. Мне помогла решить эту задачу алгебра,как и второму мудрецу. В этой науке буквы используются наравне с числами. Подбуквой можно разуметь любое число. Алгебра дает самое короткое, самое общеерешение для многих похожих друг на друга задач.