Реферат: Методика преподавания темы "Тригонометрические функции" в курсе алгебры и начал анализа

           Федеральноеагентство по образованию

Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математическийфакультет

Кафедраматематического анализа и методики преподавания математики

                              Выпускнаяквалификационная работа

Методика преподаваниятемы:                      «Тригонометрические функции»

в курсе алгебры и начал анализа

Выполнила: студентка Vкурса математического факультета

Втюрина ЮлияВладимировна

Научный руководитель: 

кандидат педагогическихнаук, доцент кафедры математического анализа и МПМ М.В. Крутихина

Рецензент:

кандидат педагогическихнаук, доцент кафедры математического анализа и МПМ И.В. Ситникова

Допущена к защите в государственнойаттестационной комиссии

«___» __________2005 г.     Зав.кафедрой                           М.В. Крутихина

«___»___________2005 г.     Деканфакультета                     В.И. Варанкина

                    

Содержание

 

Введение…………………………………………………………………………..3

§1. Общие вопросыизучения тригонометрических функций в школе..……6

§2. Анализ  изложения темы«Тригонометрические функции»

в различныхшкольных учебниках……………………………………………...9

§ 3.Методика преподавания темы: «Тригонометрические функции»

в курсе алгебры и начал анализа………………………………………………..19

§4.Опытноепреподавание……………………………………………………..37

Заключение……………………………………………………………………….44

Библиографический список….....……………………………………………….45

 

Приложения

Введение

В древноститригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительногодела, то есть  носила чисто геометрический характер и представляла главнымобразом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторыеаналитические  моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом,после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторонуматематического анализа.  Именно в это время тригонометрические зависимостистали рассматриваться как функции. Это имеет не только математико-исторический,но и методико-педагогический интерес.

В настоящее времяизучению тригонометрических функций именно как функций числового аргументауделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал анализа. Существуетнесколько различных подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе, иучитель, особенно начинающий, легко может запутаться в том,  какой подходявляется наиболее подходящим. А ведь тригонометрические функции представляютсобой наиболее удобное и наглядное средство для изучения  всех свойств функций(до применения производной), а в особенности  такого свойства многих природныхпроцессов как периодичность. Поэтому их изучению следует уделить пристальноевнимание. Все выше сказанное и обуславливает актуальность выбора темыдля данной исследовательской работы.

Кроме того, большиетрудности при изучении темы «Тригонометрические функции» в школьном курсевозникают из-за несоответствия между достаточно большим объемом содержания и относительно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы.Таким образом, проблема этой исследовательской работы состоит внеобходимости устранения этого несоответствия за счет тщательного отборасодержания и разработки эффективных методов изложения данного материала. Объектомисследования является процесс изучения функциональной линии в курсе старшейшколы. Предмет  исследования – методика изучения тригонометрическихфункций  в курсе алгебры и начала анализа в 10-11 классе.

Таким образом, основнойцелью написания данной квалификационной работы является разработка общихметодических положений, на которые нужно обратить внимание при изложении  темы:«Тригонометрические функции» в курсе алгебры и математического анализа.

Гипотеза: изучение тригонометрических функцийбудет более эффективным, в том случае когда:

1)             перед введениемтригонометрических функций проведена достаточно широкая пропедевтическаяработа  с числовой окружностью;

2)             числоваяокружность рассматривается не только как самостоятельный объект, но и какэлемент декартовой системы координат;

3)             построениеграфиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций,исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;

4)             каждое свойство функций  четко  обосновано и все они сведены в систему.

 Для  решения проблемы исследования,проверки достоверности гипотезы и достижения  цели реализуются следующиезадачи:

-              исследование  ужеимеющейся научно-методической литературы по этой теме;

-            проведениелогико-дидактического анализа изложения этой темы в современных учебныхпособиях;

-              обобщение исистематизация полученных сведений;

-              экспериментальнаяпроверка эффективности использования разработанной  методики.

Для достижения целей работы, проверкигипотезы и решения вышепоставленных задач были использованы следующие методы:

-              изучениепрограмм, учебных пособий, методических материалов, касающихсятригонометрических функций;

-              сопоставительныйанализ школьных учебников различных авторов;

-              опытноепреподавание;

-              наблюдение заучащимися во время проведения занятий.

Материалы даннойисследовательской работы имеют практическую значимость и могут бытьиспользованы преподавателями при изложении темы «Тригонометрические функции» вкурсе алгебры и математического анализа в 10-11 классах. 


§1. Общие вопросы изучения тригонометрических функций вшкольном курсе

Во введении говорилось онеобходимости изучения тригонометрических функций числового аргумента вшкольном курсе алгебре и математического анализа. Что же обуславливает даннуюнеобходимость?

Итак, основными целямиизучения тригонометрических функций числового аргумента являются:

1)  ознакомлениеучащихся с новым видом трансцендентных функций;

2)  развитие навыковвычислительной практики (работа с трансцендентными функциями зачастую требуетгромоздких вычислений);

3)  нагляднаяиллюстрация всех основных свойств функций (в особенности периодичности);

4)  установлениемежпредметных связей с практикой (изучение колебаний маятника, электрическоготока, волновой теории света невозможны без знаний о тригонометрическихфункциях);

5)  развитиелогического мышления (обилие формул порождает необходимость преобразований неалгебраического характера, которые носят исследовательский характер).

В изучениитригонометрических функций можно выделить следующие этапы:

                                    I.   Первое знакомствос тригонометрическими функциями углового аргумента в геометрии. Значениеаргумента рассматривается в промежутке (0о;90о). На этомэтапе учащиеся узнают, что  sin,сos, tg и ctg угла зависятот его градусной меры, знакомятся с табличными значениями, основнымтригонометрическим тождеством и некоторыми формулами приведения.

                                  II.   Обобщение понятийсинуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов (0о;180о).На этом этапе рассматривается взаимосвязь тригонометрических функций икоординат точки на плоскости, доказываются теоремы синусов и косинусов, рассматриваетсявопрос решения треугольников с помощью тригонометрических соотношений.

                                 III.   Введение понятийтригонометрических функций числового аргумента.

                                IV.   Систематизация ирасширение знаний  о тригонометрических функциях числа, рассмотрение графиковфункций, проведение исследования, в том числе и с помощью производной.

Отметим, что существуетнесколько способов определения  тригонометрических функций. Их можноподразделить на две группы: аналитические и геометрические. К аналитическимспособам относят определение функции у = sin х как решения дифференциального уравнения f''(х)=-c*f(х) или как сумму степенного ряда  sin х = х – х3 /3!+ х5/5! – …

К геометрическим способамотносят определение тригонометрических функций на основе проекций и координатрадиус-вектора, определение через соотношения сторон прямоугольноготреугольника и определения с помощью числовой окружности. В школьном курсепредпочтение отдается геометрическим способам в силу их простоты и наглядности.

Отметим, что изучениетригонометрических функций в школьном курсе имеет некоторые особенности.Во-первых, до изучения тригонометрических функций, рассматривались функции видау=f(x),где х и у – некоторые действительные числа, здесь же  — углуставится в соответствие число, что является несколько непривычным для учащихся.Кроме того, раньше все функции задавались формулами, в которых явным образомбыл указан порядок действий над значениями аргумента для получения значенийфункции. Теперь же учащиеся сталкиваются с функциями, заданными таблично.

Таким образом, изучаятригонометрические функции, учащиеся лучше начинают разбираться в сущностисамого понятия функции. Они начинают осознавать, что функцией может бытьзависимость между любыми множествами объектов, даже если они имеют различнуюприроду (лишь бы каждому значению аргумента соответствовало единственноезначение функции).  

     


§2. Анализ  изложения темы«Тригонометрические функции» в различных школьных учебниках

В настоящее время вопросытригонометрии изучаются в 10-11 классах в рамках 85 — часового курса«Алгебра и начала анализа». В разных вариантах тематических планов,опирающихся на учебники разных авторов, отводится от 15 до 28 часов; при этом восновном ставятся следующие цели:

-    ввести понятие синуса, косинуса,тангенса и котангенса для             произвольного угла;

-    систематизировать,обобщить и расширить  уже имеющиеся у учащихся знания о тригонометрическихфункциях углового аргумента;

-    изучить свойстватригонометрических функций;

-    научить учащихсястроить графики тригонометрических функций и выполнять некоторые преобразованияэтих графиков.

Проанализируем с точки зрения реализациивышеперечисленных целей те учебники, которые  наиболее распространенны вобщеобразовательных школах, а именно учебники [16], [2], [3], [11].

 Прежде всего, отметим  некоторые особенности этихучебников как методических пособий   в целом,  а не по данной теме. Вообще,данные учебники дают цельное и полное представление о школьном курсе алгебры иначала анализа, отвечают требованиям обязательного минимума содержанияобразования. Но каждый из них имеет свои  особенности.        Учебник [16],например,  отличается более доступным для школьников,  по сравнению состальными учебниками, изложением теоретического материала, которое ведетсяочень подробно, обстоятельно и достаточно живым литературным языком, наличиембольшого числа примеров с подробными решениями. Построение всего курсаосуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии.Учебник [11] имеет прикладную направленность, содержание отличается большейнаучностью и близостью к математическому анализу, язык изложения в большей меренаучен, чем доступен. Теоретический материал изложен достаточно кратко илаконично. Учебник [3] также имеет прикладную направленность, но в отличие от[11] ориентирован на физические приложения математических знаний и умений. Вконце учебника представлены несколько лабораторных работ, например, «Построениематематической модели механического движения». В конце учебника весь изученныйматериал представлен в виде схем и таблиц, что удобно не только ученику приподготовке к какому-либо контрольному мероприятию, но и учителю при подготовкек уроку или к системе уроков. Также среди достоинств этого учебника стоитотметить и тот факт, что   каждая  глава открывается  вводной беседой,подготавливающей появление новых основных понятий, и заключительной беседой,которая включает в себя сведения, полезные для учащихся, интересующихсяматематикой.                                                                                     

  Ну, а учебник [2] по сравнению с другимиизобилует большим количеством цитат и шуточных математических рисунков. Это,несомненно, развивает математический кругозор учащихся, но, что касаетсясодержательной стороны этого учебника, то, по моему мнению, он больше подойдетдля обучения математике в профильных (не математических) классах.

  Перейдем к анализу  изложения конкретной темы«Тригонометрические функции» в данных учебниках. Напомним, что в школьном курсематематики в разные годы использовались разные варианты введениятригонометрических функций: при помощи тригонометрического круга, при помощипроекции  и некоторые другие.

В современных учебных пособиях предпочтениеотдается определению с помощью единичной окружности. При этом только в [16]уделено достаточное внимание работе с числовой  окружностью  как  с самостоятельным  объектом  изучения, и  это является одним из достоинств  этогоучебника.

Слишком поспешное введение понятий синуса и косинуса «по окружности»приводит к трудностям при дальнейшем обучении:  многие учащиеся испытываютзатруднения с геометрическим истолкованием «тригонометрического языка». Такимобразом, не получается создать надежный фундамент для успешного изученияматериала.

В учебнике [16]на работу с числовой окружностью отводится 5 часов, чтосоставляет почти  20% от 28 запланированных часов на изучение всей темы «Тригонометрические функции». Вообще говоря, здесь рассматриваются две математические модели: «числовая окружность» и «числоваяокружность на координатной плоскости». То есть учащиеся обучаются работатьодновременно в двух системах координат: в прямоугольной декартовой икриволинейной. Это поможет им в  дальнейшем, когда понятия синуса и косинусаугла будут вводиться через координаты.

Здесь не только четко выделяется алгоритм построения точкина числовой окружности, но и проводится аналогия с числовой прямой,  суказанием основных сходств и различий  в построении точки на окружности и напрямой. Неплохо в учебнике [16] мотивируется исамо введение числовой окружности: «В реальной жизни двигаться приходится нетолько по прямой, но и по окружности. Будем считать беговую дорожку стадионаокружностью…».  К тому же, уже на этапе изучения числовой окружности в неявномвиде происходит подготовка    к решению простейших тригонометрических уравненийи неравенств.

Например, рассматриваются задания типа: «Найти на числовойокружности точки с ординатой  у = 1/2 и записать, каким числам t онисоответствуют», «Найти на числовой окружности точки с абсциссой х < 1/2 изаписать, каким числам t они соответствуют». 

Итак, в учебнике [16], вотличие от остальных учебников, проводится  достаточно хорошая пропедевтическаяработа для введения тригонометрических функций.

В учебнике [3] такжеприсутствуют элементы работы с числовой окружностью, но не в таком количествекак в [16]. Здесь выделяется отдельныйпараграф «Вращательное движение и его свойства», в котором рассматриваютсятакие вопросы как построение точки по заданной мере угла и свойства вращательногодвижения.

 В учебнике [11] вкачестве подготовительной работы для введения тригонометрических функцийвыступает лишь повторение следующих вопросов:

-    радианная мера угла (измерение углов врадианах, таблица значений тригонометрических функций (рассматривается исходяиз геометрических соображений)),

-    основные формулы тригонометрии(основное тригонометрическое тождество, формулы суммы и разности двухаргументов, формулы приведения, формулы суммы и разности синусов и косинусов,формулы двойного и половинного аргументов).

Вообще вопросы  тригонометрии в этом учебнике рассматриваются в следующем порядке: тригонометрические преобразования –тригонометрические функции – тригонометрические уравнения и неравенства, вотличие от учебника [16], по которому сначалаизучаются функции, затем уравнения и неравенства, а только потом преобразования(как свойства функций).

Обучение же по учебникам [2]и [3]  предполагает изучениетригонометрических функций не в начале 10 класса (как это представлено вучебниках [11] и [16]), а в конце него.  Авторы учебника [2] предлагают приступить к изучениию тригонометрии  послеизучения показательной и логарифмической функций. Причем, сначала изучаются  тригонометрические преобразования, затем — тригонометрические уравнения итолько после этого – тригонометрические функции. Такое расположение темы имеетряд особенностей:

-    изучение тригонометрических уравненийподразумевает изучение обратных тригонометрических функций. Таким образом,сначала  учащиеся детально прорабатывают понятия арксинуса, арккосинуса иарктангенса, а затем только приступают к работе с синусом, косинусом итангенсом, хотя с точки зрения логики, целесообразнее сделать наоборот;

-    изучение тригонометрических функцийпосле тригонометрических уравнений выкидывает из рассмотрения один изнемаловажных методов решения тригонометрических уравнений – а именнографический метод (к тому времени мы ещё не умеем строить графикитригонометрических функций).

В учебнике же [3] жевообще предлагается изучать тригонометрию уже после изучения производной. Этопозволяет вычислять приближенные значения тригонометрических функций в точках,тем самым  облегчая их исследование, помогая при построении графиков и решениитригонометрических уравнений.

Что касается введения самих тригонометрических функций, тои здесь каждый из учебников имеет свои особенности. Начнем с определения синусаи косинуса. В учебнике [2] дается следующееопределение: «Сos х – это абсцисса точки единичной окружности, полученнойповоротом точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол х, а sin х – ее ордината». В [16]: «Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссуточки М называют косинусом числа t, а ординату точки М называют синусом числа t». Эти дваопределения, в общем-то, принципиально не различаются, за исключением толькотого, что в учебнике [2] тригонометрическиефункции определяются как функции углового аргумента, а в [16] как функции числового аргумента, да еще присутствуютразличия в обозначении переменной (заметим, что  при работе с числовойокружностью лучше употреблять символы sin t, cos t, tg t, ctg t, учитывая, чтознак х в сознании детей ассоциируется с абсциссой в декартовойпрямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовойокружности пути).

В учебникеже [11] как таковых определений синуса и косинуса нет, а вместо нихприсутствует фраза «… нетрудно понять, что ордината точки Рa  — этосинус угла a, а абсцисса этой точки – косинус угла a», азатем приведено геометрическое подтверждение этого факта. Благодаря этому, уучащихся не возникает недоумения по поводу того, почему раньше синусом называлиотношение длин катета и гипотенузы, а сейчас откуда–то выплыли какие–то абсциссыи ординаты. В учебнике [16] этот факт тожедовольно неплохо пояснен, но с опозданием в 3 параграфа, а в учебнике [3]  пояснение отсутствует вовсе.

Тангенс же  во всех учебниках, за исключением [11], определяется как отношение синуса к косинусу. В учебникеже [11] опять не дается четкого определениятангенса, а приводится лишь геометрическая интерпретация «ордината точкипересечения прямой ОРa (Рa — точка наединичной окружности) и касательной к окружности в точке (1;0) равна тангенсуугла a».

Определения котангенса авторы дают аналогично определениямтангенса за исключением учебника [2], вкотором  котангенс почему-то совсем игнорируется и не рассматривается  как функция.

Остановимся подробнее на вопросах исследования и построенияграфиков тригонометрических функций.

В учебнике [16] процесспостроения графика  и исследования функции происходит следующим образом: ужеизвестные ребятам факты обобщаются  и формулируются как свойства функций.Сначала рассматриваются такие свойства функции y=sin(x), как область определения, множество значений, нечетность,возрастание на отрезке [0;p/2] иубывание на отрезке [p/2; 3p/2], ограниченность сверху и снизу,наибольшее и наименьшее значение. Затем составляется таблица основных значенийфункции на отрезке [0;p],  строятсясоответствующие точки и плавно соединяются.

Используясвойство нечетности  синуса, полученный график отображается относительно началакоординат на отрезок [-p;0], используясвойство периодичности, график функции достраивается на остальных отрезкахдлиной 2p. С опорой  на построенныйграфик, выделяется свойство непрерывности функции синус и область ее значений.Исследование функции  cos х и построение ее графика как и во всехостальных учебниках основывается на том факте, что  cos х = sin (х+p/2).

В учебнике [3]  построение синусоиды происходит припомощи единичной окружности переносом значения синуса к соответствующим точкамоси ОХ. А затем, после построения графика, еще раз происходит возвращение ксвойствам и к тому, как они проявляются на графике. В учебнике [11]   синусоида строится подобно тому, как она строитсяв [3], но все свойства функций за исключением области определения и множествазначений рассматриваются в следующей теме «Основные свойства функций», а затемтолько переносятся на тригонометрические.

    Отметим,что  в учебниках [16] и [11]  не обоснован тот факт, что областью определения функций sin и cos является множество всех действительныхчисел.  Конечно, этот факт достаточно очевиден,  но тем не менее учебникпишется не для учителя, а для учеников, а «мера очевидности», как известно, увсех разная. Поэтому не стоит забывать об обосновании даже очевидных фактов,ведь это приучает ребят к столь необходимой при изучении математики логическойчеткости и аккуратности мысли.

Что касаетсяобласти значений тригонометрический функций, то ни в одном из учебников нетчеткого  обоснования данного свойства. Все «попытки» обоснования этого свойствасводятся  к рассмотрению двойных  неравенств:  -1 £ sin х £ 1 и -1 £соs х £1, которые выполняются для всех значений х. Однако, отсюда совершенно неследует то, что в область значений данных функций  входят все точки отрезка[-1;1].*

При обосновании свойств четности и нечетноститригонометрических функций доказательство тождества sin(-х)= -sin(х) сводится в основном к симметричности точек хи –х, которая также четко не обоснована ни в одном из учебников. *

Монотонность же тригонометрических функций во всехучебниках, за исключением [11], иллюстрируетсяс помощью числовой окружности. В учебнике [11]в силу того, что тригонометрические преобразования изучаются передтригонометрическими функциями, монотонность функции у= sin(х)обоснована более доказательно, но все же некоторые недочеты имеются.*

При изучении свойства периодичности авторыучебников  [16], [2] и [11] дают следующее определение периодичности:«Функция f(x) называетсяпериодической, если существует такое число Т¹0,что для любого х из области определения данной функции выполняетсяравенство                       f(x-T)=f(x)=f(x+T).  Число Т называется периодом функции f(x)». В учебнике [3] равенство f(x-T)=f(x)=f(x+T) заменяется менеесильным равенством f(x)=f(x+T),но зато снимаются ограничения на х. Здесь х может быть любым, ане только из области определения. Заметим, что для функций, областьюопределения которых является все множество R, эти дваопределения будут не только равносильными, но и одинаково корректными (см. [23](стр. 108 №145)). Но если применять второе определение к функции у=sinÖх,то у учащихся может вызвать затруднения   сравнение значений данной функции вточках,  например, -p и p. Поэтому более целесообразным являетсяиспользование первого определения. 

 Проанализируем теперь системызадач, направленные на отработку умений и навыков, которые предусмотреныпрограммой по теме «Тригонометрические функции».

Система задач в учебнике [3] содержит в себе задания на перевод из градусной меры в радианную и наоборот,построение углов на единичной окружности, движение точки по окружности,определение тригонометрических функций, исследование и построение графиковкомбинаций тригонометрических функций, нахождение значений тригонометрическихфункций в некоторых точках и их знаков на некоторых промежутках, нахождениепроизводных комбинаций тригонометрических функций и вычисление приближенныхзначений тригонометрических функций.

  В учебниках [2] и [11] работе со свойствами комбинаций тригонометрических функцийуделяется  уже гораздо большее внимание, чем в учебнике [3], присутствуют задачи теоретического плана, например,«Докажите, что если функция y=f(x) является периодической, то и y=k*f(x)+b тоже периодическая», не остаютсябез практической отработки и гармонические колебания. В учебнике [2] присутствует еще одна особенность: здесь подобрано большоеколичество  задач с ограничением на переменную х, что помогает учащимсяв осознании того факта, что «не всякие свойства функции, рассматриваемой намножестве всех действительных чисел, сохраняются при наложении ограничений наобласть определения этой функции».

Наиболее же полноценной из всех является система задач вучебнике [16]. Здесь, кроме всего ужевышеперечисленного, большое внимание уделено отработке навыков и умений работы с числовой окружностью, присутствуют задачи для работы с тригонометрическимифункциями как числового, так и углового аргументов, используются функции,заданные кусочно, отрабатываются умения решать уравнения, содержащиетригонометрические функции, графическим методом.

 Вообще, говоря о системе задач этих учебников, следуетотметить некоторые недостатки учебника [3]. Видеале, решение каждой последующей задачи должно не только опираться напредыдущую, но и содержать какие–то дополнительные идеи. Здесь же не везде четко прослеживается система, да и по уровню сложности задачи не столь ужразнообразны.

 Зато наличие отдельного задачника к учебнику [16]   позволило дать в нем полноценную по объему системуупражнений, достаточную для работы в классе, для домашних заданий  и повторения.Все задания дифференцированы по блокам, отдельно выделены даже устные иполуустные упражнения, что дает возможность более рационального использованияучебного времени.  

Таким образом, наиболее удачным учебным пособием в планеизучения темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начала анализаявляется учебно-методический комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотяоставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит. 

§ 3. Методика преподавания темы «Тригонометрическиефункции» в курсе алгебры и начал анализа

В изучении  тригонометрическихфункций в школе можно выделить  два основных этапа:

ü Первоначальное знакомство стригонометрическими функциями  углового аргумента в курсе геометрии (8-9класс).

ü Систематизация и расширение знаний отригонометрических функциях в курсе  алгебры и начал анализа (10-11 класс ).

На первом этапе не доказывается и неуточняется, что изучаемые зависимости являются функциями. Изменение синуса икосинуса при изменении угла доказываются на основе свойств наклонной. Этипонятия достаточно абстрактны для курса геометрии, поэтому усваиваются довольноплохо. Но еще большие трудности вызывает переход к аргументу, большему 900.Ведь мы определяли тригонометрические функции через отношение сторонпрямоугольного треугольника, а, как известно, в прямоугольном треугольнике неможет быть угла с градусной мерой, большей 900. Для объяснения этогофакта уже на этом этапе приходится рассматривать окружность, и это являетсясвоеобразной пропедевтической работой для введения тригонометрических функцийчислового аргумента  с помощью окружности  в курсе алгебры и начал анализа. 

На втором этапе происходит переход отуглового аргумента к числовому. С самого начала курса мы должны рассматриватьтригонометрические функции углов любой величины – значит предварительно нужнопознакомить  учеников  с  углом   как  с  величиной,  способной  изменятся  от-¥ до +¥. В курсе геометрии такое понятие не фигурировало,следовательно, это необходимо восполнить  на втором этапе. Таким образом,возникает необходимость введения числовой окружности, работу с которойцелесообразно провести также на втором этапе.

В качествепропедевтической работы для изучения модели числовой окружности желательно рассмотреть геометрические задачи на нахождение длины дуг четверти окружностиданного радиуса, ее трети и половины. Обобщая полученные результаты, необходимоподвести учащихся к тому факту, что  для дальнейшей работы выгоднее выбиратьокружности именно единичного, а не  произвольного радиуса.

 В процессеработы с числовой окружностью у учащихся должны бытьсформированы следующие умения:

-    находить на числовой окружности точки,соответствующие заданным числам, выраженным в долях числа p  ивыраженным не в долях числа  p;

-    составлять аналитические записи для дугчисловой окружности;

-    определять принадлежность точкикакой-либо координатной четверти;

-    работать одновременно в двух системахкоординат – в криволинейной и прямоугольно-декартовой и осуществлять переход отодной системы координат к другой;

-    находить координаты точек числовойокружности и отыскивать на числовой окружности точки по заданным координатам;

Дляэтого целесообразно рассматривать задания следующих типов:

1)  Найти на числовой окружности точки p/2, 9p, 26p/3, -5p/4, -7p/6…..

2)  Найти на числовой окружности точки 1,2, -7,  4.5, -31 ….

3)  Определить, каким четвертям принадлежатточки 21p/4, -37p/6, 10, -95.

4)  Отметить на числовой окружности точки t,удовлетворяющие неравенствам: а) p/6+2pк £t £ 2p/3+2pк, кÎZ

  б) -p/3+2pк £ t £ 3p/4+2pк, кÎZ

5)  Найти декартовы координаты точек,соответствующих числам p/4,        -3p/2, 23p/6,-13p/3…..

6)  Найти положительные и отрицательныечисла, которым соответствуют точки с координатами (1/2;Ö3/2),(-Ö2/2; Ö2/2); (Ö3/2; -1/2), (-1,0)….

7)  Найти на числовой окружности точки сординатами (абсциссами) равными -Ö3/2, 1/2, -Ö2/2,0, -1,  абсциссы (ординаты) которых отрицательны, и записать, каким числам онисоответствуют.

8)  Найти на числовой окружности точки сординатой (абсциссой) > -Ö2/2 и записать, каким числам они соответствуют.

В процессе работы с числовой окружностью следует обратитьвнимание на следующие моменты.

В арсенале учителя должно находится как минимум два макетас числовыми окружностями. На первом из них отсчет ведется в положительномнаправлении с указанием расположения точек 0, p/6, p/4, p/3, p/2, 2p/3….  , на втором -  в отрицательном   с   указанием точек -0, -p/6, -p/4,   -p/3, -p/2, -2p/3….,  причем  второй  макет желательно вывесить послетого, как  учащиеся ответят  или  попытаются ответить на вопрос: «Что будет,если точка будет двигаться не положительном, а в отрицательном направлении?».

   Эта мотивационная задача позволяет еще раз провести связь между числовой окружностью и числовой прямой. Ведь на числовой прямой можно было откладывать не только положительные, но и отрицательные значения,причем сколь угодно большие.  На числовой окружности можно делать то же самое,но следует учитывать тот факт, что на прямой соответствие между точками ичислами взаимно-однозначное, а на окружности у каждой точки бесконечно многоимен, отличающихся друг от друга на 2pк, где кÎZ.

Это главное отличие учащиеся должны четко понимать иосознавать.  Для этого числовую окружность можно сравнить с колесом, а числовуюпрямую с бесконечной нитью, на которой отмечены точки. Наматывая нитку наколесо, предварительно совместив соответствующие нулевые точки, можно заметить,что точки, отличающиеся на 2p, попадут в одно и тоже место на колесе, благодаря тому, чтодлина  числовой окружности единичного радиуса составляет именно 2p. 

 Больше всего проблем, связанных с неоднозначностьюсоответствия   между точками и числами на окружности возникает при решениизадач вида:   «Найти на числовой окружности точки с ординатой (абсциссой)большей Ö3/2  и записать, каким числам они соответствуют».

Такие неравенства, характеризующие дугу, рекомендуется  наначальном этапе составлять в два шага. На первом шаге составить так называемое«ядро» аналитической записи  p/3 < t < 2p/3, и  только на втором составить общую запись p/3+2pk < t < 2p/3+2pk, где к ÎZ.

По этому поводу осмелюсь не согласиться с статьей [10], вкоторый автор пишет, что уточнение «где к Î Z» можно опускать, записываяего только в парадных случаях – на контрольных или экзаменационных работах. Вбольшинстве случаев это действительно можно делать совершенно безболезненно, но  как  быть,  если   при  отборе  корней                                                                                     уравнения или неравенства, или при наложении определенных ограничений нафункцию, параметр к сможет принимать не все а, например,  только положительныеили только четные значения?  

Учащиеся, привыкшие писать +2pk, не задумываясь над тем, какие значения может приниматьпараметр к,  и в этом случае напишут +2pk, что автоматически сделает их решение неверным.

Это приведет и к недопониманию того факта, что, например,множества «4pk, где к ÎZ»и «2pk, где к Î2Z»совпадают. Это, в свою очередь, может породить затруднения при рассмотрениифункций с периодом, равным  4p. А ведь таким функциям уделяется немало времени приизучении темы «Тригонометрические функции».

Таким образом, нельзя оставлять недоработанными никакие,даже самые маленькие детали, ведь незначительные с виду недоработки,возникающие  при изучении числовой окружности, в процессе изучения самихтригонометрических функций  могут стать причиной возникновения  большихпробелов в знаниях.

Теперь, когда мы научились работать с числовой окружностьюкак   самостоятельным объектом, можно приступать к введению самихтригонометрических функций.

Не стоитзабывать, что определения тригонометрических функций с помощью числовойокружности плохо укладываются в сознании ребят по одной простой причине: напервом этапе определения были даны в геометрической трактовке – как отношениясторон прямоугольного треугольника.

Изпсихологии известно: «если какое-нибудь важное понятие вводится в первый раз,то ассоциации, сопутствующие ему, врезаются в сознание учащегося чрезвычайнопрочно. Последующие впечатления бывают слабее и не могут стереть того обличия,в котором это понятие явилось впервые». [5]

Несмотря нато, что мы уже использовали окружность для введения «новых» определений синусаи косинуса на этапе расширения множества значений, принимаемых углом необходимоеще раз провести взаимосвязь между прямоугольным треугольником и числовойокружностью.

Напомним,что в школьных учебниках этому факту почему-то не уделяется должного внимания(см. главу «Анализ изложения темы «Тригонометрические функции» в различныхшкольных учебниках»), поэтому учителю стоит обратить внимание на то, чтобы при введении тригонометрических функций на этом этапебыли озвучены следующие моменты.

Рассмотрим числовую окружность единичногорадиуса, расположенную в прямоугольно декартовыхкоординатах.                                                                                                             Рис.1                                                                             />

           В положительном направлении от оси ОХ отложимугол a  такой, что 0 < a < 900. Обозначим полученнуюна окружности точку как Рa.Опустим из точки Рaперпендикуляр на ось ОХ, получим точку М. Рассмотрим получившийся прямоугольныйтреугольник ОМРa. Sina по определениюравен отношению МРa/ОРa, но радиус окружности ОРa равен единице, следовательно, Sina = МРa. Аналогичным образом, cosa = ОМ. Заметим,что длина ОМ — это абсцисса точки Рaв прямоугольно-декартовой системе координат, а длина МРa — ее ордината. Таким образом, синус икосинус угла a определяются черезординату и абсциссу точки Рa,что является более удобным при работе в прямоугольно-декартовой системекоординат.

Работая с числовой окружностью, мы уже усвоили тот факт,что так как  длина дуги единичной окружности легко выражается через центральныйугол, на нее опирающийся, то точку Рa, можно построить и другимспособом — откладывая дугу заданной длины. А так как длина дуги – всегдадействительное число, значит,  от тригонометрических функций углового аргументалегко можно перейти к тригонометрическим функциям числового аргумента.

Сейчас вернемся к наложенным на угол aограничениям. Угол a принадлежит промежутку от 00до 900,а значит и длина дуги лежит между нулем и p/2. Используя все ту жегеометрическую интерпретацию, легко показать, что эти определения можнораспространить и на любые  углы и числа.

Понятиятангенса и котангенса  можно вводить двояко: как отношение синуса к косинусу(косинуса к синусу) и как ординату (абсциссу) точки пересечения касательной кокружности в точке (1;0) ((0;1)) и прямой ОРa.

Рис.2    />

Вообщеговоря,  определив функции синус и косинус, мы уже не нуждаемся  в числовойокружности как средстве для введения понятий тангенса и котангенса. Но раз ужмы взялись работать с этой моделью, то неплохо бы показать, как определитьфункции тангенс и котангенс, используя только их геометрическое определения(заметим, что выражения «тангенс угла a  – это отношение синуса a к косинусу a»  и « котангенс угла a  –это отношение косинуса a к синусу a» не являются определениями – это уже свойства).

Использованиевторого подхода поможет нам не только на этапе изучения самихтригонометрических функций, но и на этапе решения тригонометрических уравненийи неравенств. Поэтому целесообразнее  использовать именно второй подход, аопределение тангенса a как отношениесинуса a  к косинусу a рассматривать как свойство.

Итак, мыввели понятия всех тригонометрических функций (которые предусмотреныпрограммой). Но перед тем, как перейти к их исследованию и построению графиков,необходимо проследить, чтобы у учащихся были отработаны следующие навыки:

üНахождение значений всех тригонометрических функций в «главных»точках.

(Для лучшегозапоминания значений тригонометрических функций можно использовать следующуювспомогательную таблицу:

a p/6 p/4 p/3 p/2  sina

/>

/>

/>

/>/>

/>

cosa

/>

/>

/>

/>

/>

Здесьзначения синуса и косинуса представлены в наиболее удобной для восприятия изапоминания форме.)

üРешение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

üОпределение знаков тригонометрических функций в заданных точках.

üУпрощение выражений с использованием основноготригонометрического тождества и формул приведения.

üНахождение по заданному значению одной из тригонометрическихфункций значений всех остальных тригонометрических функций.

           Приобретаявышеперечисленные навыки, учащиеся тем самым получают арсенал средств,достаточный для более основательного исследования и построения графиковтригонометрических функций.

           Работа по построениюграфиков и исследованию функций может проводиться двумя способами:

1)   Сначалапо точкам строится график, а затем с помощью графической интерпретацииисследуются все свойства функции

2)   Построениеграфика происходит после исследования функции, а наглядные представления освойствах учащиеся получают, анализируя поведение функций на числовойокружности.    

             Наиболеецелесообразно применять второй подход, так как при этом подходе, во-первых, всесвойства тригонометрических функций иллюстрируются на обеих моделях (начисловой окружности и на графике), а, во-вторых, это является хорошейподготовительной работой для дальнейшего обучения исследованию функций ипостроению графиков с помощью производной.

            Несмотря на то, чтоанализируя поведение функции на числовой окружности, мы всего лишь иллюстрируемнекоторое свойство, не стоит забывать, что иногда «доказательство» с помощьюокружности  является единственным доступным для школьников способом обоснованиянекоторых фактов. Хотя некоторые случаи все-таки  требуют более четкогообоснования формулируемых утверждений.

          Остановимся подробнеена исследовании тригонометрических функций.

1)   Областьопределения.

«Областьюопределения функции действительного переменного называется множестводействительных значений аргумента, при которых функция принимает действительныеже значения».

Областьопределения функций у=sin x и у=соs x – множество всех действительных чисел. Этот факт достаточнолегко обосновывается с помощью окружности: каждому действительному числу хсоответствует точка на окружности Рх. Каждой точке Рх соответствуют ее абсцисса и ордината, каждая из них — это действительное число.Значит, значения функций у=sin x и у=соs x для любого действительного х будут действительнымичислами.

У функций у=tg х и у=сtg х область определенияимеет некоторые ограничения. Обосновать это свойство можно исходя из тогофакта, что

tg х = sin x/ соs x. Тогда областью определения функции у=tgх будут все действительные числа, за исключением нулей функции у=соs x. Этот жесамый факт можно обосновать и с помощью окружности:

                                                                  рис.3/>

любому действительному числу хсоответствует точка на окружности Рх.      Если х ¹ p/2+pк, кÎZ, то  эта  точка имеет  координаты, отличные  от  (0;1) и(0;-1), тогда через точки О и Рх.  можно провести прямую, котораяпересекает касательную к окружности, проходящую через точку  (1;0), в некоторойточке Тх. Эта точка имеет ординату, которая является действительнымчислом. То есть в таких точках функция у=tg х будетпринимать действительные значения. Если же  х = p/2+pк, кÎZ, то прямая ОРх.  будет совпадать с осью ОУ, а,следовательно, будет параллельна касательной к окружности. В этом случае мы несможем найти точку Тх и ее ординату, а, значит, в этих точкахфункция у=tg х будет не определена.  Таким образом,делаем вывод, что Дtg x  =R/{p/2+pк}, кÎZ.Для функции  у=сtg х рассуждения аналогичны, а, значит,учащиеся вполне могут провести их самостоятельно.

Областьопределения как свойство функций является ко времени изучения тригонометрии ужедостаточно хорошо изученным, а процесс ее нахождения  уже перешедшим из разрядаумений в разряд навыков. Тем не менее при изучении тригонометрических функцийстоит еще раз обратить внимание на отыскание области определения   вособенности функций  типа:  у = сtg х * tg х;  у=(sin х*соsх)/ сtg х, а также кусочно-заданных функций

/>/>          сtg (х+p/2), х<p                                            sin х, х<-p/2

у=                                                                   у =

             1/(sin х +1), х³p                                          tg х/(х-7) ³2p

2) Область значений функции.

«Областьюзначений функции f называется множество, состоящее извсех чисел f(х), таких, что х принадлежит областиопределения функции f». Четкого обоснования того факта,что областью значений функций у=sin х и у=соs х является отрезок [-1;1] ни в одном из действующихшкольных учебников не приводится, а вместо этого рассматриваютсянеравенства          -1 £ sin х £ 1 и -1 £ соs х £ 1, которые выполняются для всехзначений х. Однако, отсюда совершенно не следует то, что в область значенийданных функций  входят все точки отрезка [-1;1]. На этот момент стоит обратитьособое внимание, дабы разграничить в умах учащихся два совершенно различных свойства: ограниченность и область значений.  Рассмотрим пример.  

                                                                              Рис.4       /> 

Функция f(x) в данном случае являетсяограниченной (выполняются неравенства -1 £f(x)  £ 1), но отрезок [-1;1] не является множеством значенийданной функции.  Поэтому необходимо все-таки показать тот факт, что любое числоиз отрезка [-1;1] является значением функции у=sin х(у=соs х) в некоторой точке.  Показать это можно  хотябы следующим образом.

Возьмемпроизвольное действительное число х1 такое, что

-1 £ х1 £ 1. Рассмотрим отрезок  [-1;1] принадлежащий оси ОХ ивозьмем точку этого отрезка соответствующую х1, восстановим из нееперпендикуляр к оси ОХ. Он пересечет единичную окружность в некоторой точке Рх1Заметим, что х1 – это абсцисса точки Рх1,  а, значит, число х1 является значением функции  у=соs хдля точки Рх1.  (Аналогично для функции у=sinх.)

                                                                              рис.5/>

Послеизучения области значений целесообразно рассмотреть свойство ограниченностифункций у=соs х и у=sin х и провести взаимосвязь между этими свойствами не только для тригонометрических,но и для других классов  функций.

3) Четность  и нечетность.

          При изучении свойствчетности и нечетности тригонометрических функций необходимо четко обосноватьтот  факт, что  sin(-х) = -sin(х), a  cos(-х) = cos(х)для любых действительных значений х. Чаще всего обоснование этого фактасводится к симметричности точек окружности, соответствующих числам или углам t и – t  в зависимости от того, накаком этапе происходит обоснование. «Если числу tсоответствует точка М числовой окружности, то числу –tсоответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтальногодиаметра окружности (то есть относительно оси абсцисс). У таких точек одна и таже абсцисса, а ординаты равны по модулю, но отличаются знаком. Следовательно, sin(-t) = -sin(t),  a  cos(-t) = cos(t)»  (см. [16]).

        Заметим, что фактсимметричности точек t и – t неявляется очевидным, а значит, сам нуждается в обосновании, провести котороеможно, например, рассмотрев треугольник МОР. Обозначим точку пересеченияотрезка МР с осью ОХ за В. Тогда треугольник МОР равнобедренный (ОМ = ОР какрадиусы одной окружности), луч ОВ является биссектрисой угла МОР, а,следовательно, и высотой и медианой треугольника МОР. Тогда точки М и Рдействительно будут симметричными относительно оси ОХ по определению.  Это ипозволяет сделать вывод о значениях синуса и косинуса противоположных  углов.   После этого обоснование  равенств  tg (-t) =-tg (t) и  ctg (-t) = -ctg (t) не составит никакойтрудности.

         Далее  следует еще разобратить внимание учащихся на следующий факт. В определениях четных и нечетныхфункций в явном виде не указано то, что такие функции имеют областьопределения, симметричную относительно начала координат, но этот факт частооказывается полезным при решении задач типа «Докажите, что функция у= sin Öx, не является ни четной, ни нечетной».       Используявышеупомянутый факт и определив, что область определения данной функции неявляется симметричной относительно начала координат, сразу можно сделать выводо том, что функция у=sinÖx, действительно, не является ни четной, ни нечетной, нерассматривая соответствующих уравнений.

           Так же полезноопределять четность функций, заданных кусочно. Например, определить являются лиследующие функции четными или нечетными:

/>/>                        Sin (x),если х ³0                                              Соs(x/2), если х ³ p        

      f(x)=                                                                      f(x)=       p2+ х2, если -p < х < p

                        Соs(x), если х<0                                                Соs(x/2), если х £ p    

      4) Монотонность.

           При рассмотрениисвойства монотонности  тригонометрических функций  в большинстве действующихучебников (кроме [11]) не приводится четкого доказательства  возрастанияфункций    y=sin x и  y=соs x  на промежутках   [-p/2;p/2] и  [-p;0]соответственно, а обоснование этих фактов проводится с опорой на числовуюокружность: «При движении точки по четвертой и по первой четвертям окружности вположительном направлении ( от -p/2 до p/2 ) ее ордината постепенно увеличивается(от -1 до 1), значит функция y=sin x является возрастающей на этомпромежутке» (см. [16]).              Более строгое доказательство этого фактаприводится с опорой на формулу разности синусов и применимо в случае, когдатригонометрические преобразования изучаются раньше тригонометрических функций,то есть когда  формула разности синусов  к моменту исследования тригонометрическихфункций является   уже   известной (см. [11]).  «Пусть

                                           -p/2 £ х1 < х2 £ p/2,

                      применяяформулу разности синусов находим

                           sin х2 — sin х1= 2 соs [(х1 +х2)/2]*sin [(х2 – х1)/2].

                     Изнеравенства -p/2 £ х1 < х2 £ p/2следует, что

                         -p/2 <(х1 + х2)/2 <p/2  и  0 < (х2 – х1)/2< p/2,

поэтому соs(х1+х2)/2 > 0 и sin(х2-х1)/2> 0, аследовательно,                                 sin х2 — sin х1> 0 то есть  sinх2 > sin х1»(см. [11]). При этом учителю следуетобратить внимание на пояснение того, как из неравенства -p/2 £х1 < х2 £ p/2получаются неравенства  -p/2 < (х1+х2)/2 < p/2 и  0 < (х2–х1)/2 < p/2.

           Это целесообразнопроиллюстрировать, изобразив отрезок [-p/2;p/2]. Заметим, что (х1+х2)/2не что иное, как среднее арифметическое чисел х1 и х2, а,следовательно, принадлежит отрезку [х1; х2], который, всвою очередь, целиком лежит в отрезке [-p/2;p/2], то есть первое неравенство имеетместо.  Гораздо большую трудность вызывает обоснование второго неравенства.Заметим, что  модуль разности |х2-х1| — это расстояние между точками х1и х2, а так как обе точки принадлежат одному отрезку [-p/2;p/2],то расстояние между ними не может превышать длины этого отрезка, то  есть p. С другой стороны модуль – функциянеотрицательная, более того, в данном случае положительная, так как  х1и х2 различны. Имеем 0 < |х2-х1| £p,  но так как х1 < х2, то |х2-х1| = (х2-х1). Разделиввсе части неравенства на 2, получим доказываемое неравенство.

           Доказательствовозрастания  функции y=tg x на интервале (-p/2;p/2),целесообразнее всего проводить аналогичным образом, используя формулуразности    тангенсов  (см [11]).  В случае же, когда преподавание ведется поучебникам, в которых тригонометрические преобразования изучаются после функций,то есть формула разности тангенсов к моменту исследования функций еще неизвестна,  доказательство лучше проводить,  разбив интервал (-p/2;p/2)на  два  полуинтервала  [0;p/2)  и  (-p/2;0].  Обоснование возрастания функции y=tg x на полуинтервале  [0;p/2)не сложно и  приведено во всех учебниках, а доказательство монотонности навтором интервале авторы учебников [16] и [2] почему-то считают сложным иопускают вовсе. Поэтому учителю следует обратиться к учебнику [3], в которомдано довольно строгое, но вместе с тем несложное доказательство:

           Пусть  -p/2 <х1 < х2 £ 0, тогда 0 £ -х2 < -х1 < p/2.Теперь числа -х1 и -х2 лежат  в  первой   четверти,  в которой  тангенс   возрастает, следовательно tg(-х2)< tg(-х1). Так как y=tg x нечетнаяфункция, то

                                tg(-х2 )  tg(-х1)  Û -tg (х2 )  < — tg(х1),

а следовательно  tg(х1) tg(х2). Что и означает, чтофункция y=tg x возрастает на промежутке (-p/2;0],а значит и на интервале (-p/2;p/2). Доказательство монотонности функции y=сtg x целесообразно предложить в качестве задания длясамостоятельного выполнения.

5) Нули функции и промежуткизнакопостоянства.

         Нахождение нулейфункций и промежутков знакопостоянства сводится к решению простейшихтригонометрических уравнений и неравенств, которые учащиеся рассматривали приизучении числовой окружности и не вызывает затруднений.

6) Периодичность.

           Изучению этогосвойства необходимо уделить особое внимание, так как учащиеся впервыесталкиваются с периодическими функциями. Для отработки понятия периодичностифункции целесообразно использовать следующие упражнения.

           1. На рисункеизображена часть графика периодической функции на отрезке [-2;2], длинакоторого равна периоду функции. Постройте график функции на отрезках [-6;-2],[2;3].

           2. Постройте графикпериодической функции                       y=f(x), с периодом равным 2, еслиизвестно, что  f(x)=х2/2на отрезке [-1;1].

           3. Является ли число16p периодом функции y=sin x? А ееосновным периодом?

           4.  Найти основныепериоды функций y=sin(6x), y=соs(x/2), y=sin(кx).

           5. Докажите, чтоесли функция y=f(x) является периодической, то и y=k*f(x)+b тоже периодическая.

            6. Пусть функция f периодическая, Т1 и Т2 – ее периоды.Докажите, что любое число вида nТ1  +mТ2, где   n,mÎN,также является периодом функции f.

            7. Докажите, чтофункции f(x) = sin x2и  cos (x)*cos Öx  не являются периодическими.

            8. Докажите, чтовозрастающая функция не может быть периодической. И т.п.

        Следует обратитьвнимание учащихся на тот факт, что периодическая функция    имеет бесконечноемножество периодов, среди которых стараются выделить, если это возможно,наименьший положительный период, который называют основным. 

            После этого всесвойства тригонометрических функций желательно проиллюстрировать на графике исвести в одну таблицу.

Свойства

у=sin(x)

у=cos(x)

у=tg(x)

y=ctg(x)

Область определения Область значений Нули функции …

         Для дальнейшейотработки навыков по исследованию тригонометрических функций и построению ихграфиков используют гармонические колебания, которые имеют вид y =Asin(wt+a) и y =Acos(wt+a). Основной целью введениягармонических колебаний является наглядная демонстрация того, как изменяютсясвойства функций в зависимости от значения коэффициентов A,w и a. При этом целесообразноиспользовать задания вида:

        

         1.По графику функцийопределите задающую ее формулу:

                                                         Рис.6    />

    

  2. Какими свойствами обладаютданные функции на отрезке  [-p/2; p/2], а на отрезке [0; p]?

Возрастает Имеет ровно один корень Пробегает всё множество значений Убывает Не меняет знак Y=cos(x) Y=cos(x/2) Y=3cos(2x) Y=cos(x+p/4) Y=2cos(p/2-x)

Какими свойствами обладаютданные функции на данных промежутках?

[-p/2; p/2] [0; p] [-2p;0] [-3 p/2;- p] [-p; p] Y=cos(x) Y=cos(2x) Y=2cos(x/2) Y=cos(x+p/2) Y=3cos(p/4-x)

 

После того,как мы в достаточной мере хорошо научились оперировать свойствамитригонометрических функций, можно переходить к решению тригонометрическихуравнений и к тригонометрическим преобразованиям. Но не стоит центр тяжести приизучении тригонометрических функций смещать в сторону алгебры, то есть не нужновыдвигать на первое место  умения, связанные с выполнением тригонометрических преобразований.Эти умения, безусловно, важны и развивают у учащихся комбинаторные, логическиеи алгоритмические навыки, однако главное в изучении тригонометрических функцийуходит при этом в тень. Таким образом, не следует забывать, что основная задачаучителя математики – все-таки развитие умственных способностей ребенка.

§4 Опытное преподавание.

            Опытноепреподавание осуществлялось мной во время прохождения педагогической практикина выпускном курсе. Опытно-экспериментальной базой являлся  11б класс школы №10города Кирова. В это время мной было проведено несколько уроков из темы«Тригонометрические функции».

            Так  какпреподавание алгебры и начал анализа в данном классе велось по учебнику [2],потому к моменту изучения тригонометрических функций учащиеся уже умели решатьтригонометрические уравнения и неравенства, а также выполнятьтригонометрические преобразования (см. §2). Несмотря на это, у учащихся до сих пор возникали проблемы при работе стригонометрической окружностью. Многие забыли как найти точку на числовойокружности, которая соответствует некоторому числу (особенно не выраженному вдолях числа p), или найти числа,которые соответствуют точке  с  заданными  координатами.  Это  можно  объяснить,  на   мой  взгляд,  несколькими причинами.  Первая –  недостаточнаяработа с числовой окружностью на начальном этапе изучения тригонометрии в курсеалгебры и начал анализа. Вторая – достаточно большой временной разрыв между введениемтригонометрической окружности и изучением тригонометрических функций[1].Кроме того, если  изучение тригонометрических уравнений происходит послеизучения тригонометрических преобразований, то часто решение первых простосводится к «возне» со вторыми, а работа с тригонометрической окружностью как ссамостоятельным объектом отходит на второй план. Поэтому было принято решение — провести урок повторения по данной теме.

Урок №1. «Числоваяокружность на координатной плоскости»

Образовательные цели урока:

-    Обобщить имеющиеся у учащихся знания о числовой окружности как осамостоятельном объекте изучения.

-    Вспомнить основные принципы работы в двух системах координат – вкриволинейной и прямоугольной декартовой.

-    Повторить свойства синуса и косинуса, формулы приведения.

Ход основной части урока.

Данный урокбыл построен в форме беседы учителя и учащихся, в процессе которой былиозвучены ответы на следующие вопросы:

Что такоеокружность? А ее дуга?

Как найтидлину дуги окружности?

Что такоеединичная окружность? Почему удобнее использовать именно ее?

Что такоечисловая окружность?

Как найти начисловой окружности точки, соответствующие данным числам?

Чемотличается построение точки на числовой прямой и на числовой окружности?

Каксоставить аналитическую запись дуги числовой окружности?

Какрасполагается числовая окружность на координатной плоскости?

Как найти декартовы координаты точки числовой окружности?

Какопределить синус и косинус (угла и числа) с помощью координат?

Какиесвойства синуса и косинуса хорошо иллюстрируются на числовой окружности?

Какпроиллюстрировать основное тригонометрическое тождество с помощью числовойокружности? А формулы приведения?

В качествеиллюстрации ответов на вышеизложенные вопросы были рассмотрены решенияследующих упражнений.

1)             На единичной  окружности отмечены точки  А(1;0),  В(0;1),  С(-1;0) и Д(0;-1).Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья – на три равные частиточками Р и К. Чему равны длины дуг АМ, ВК, ДС, ВР, СВ, ВС?

2)             Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует  заданному числу  а, если а = π,  -π/2,  π/3, -5π, 25π/4,  1, –5,  13. 

3)             Найдите декартовы координаты следующих точек числовой окружности:М(π/4),  С(-3π/2),  А(23π/6),  В(-31π/4).

4)              На числовой окружности укажите точку М, координаты которойудовлетворяют данным условиям, и найдите все числа, которым соответствуетданная точка: а) у=-1/2, х<0 б) х=-Ö3/2,у>0

5)             Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или ординатой,удовлетворяющей заданному неравенству и запишите (с помощью двойногонеравенства), каким числам t они соответствуют. а)х<1/2   б) х³-Ö3/2  в) у>Ö2/2  г) у £0.

6)             Вычислите синус t и косинус t,если t = 0, π/2, -π/4, -5π/3,23π/6.

7)             Определите знак числа  а)  sin(4π/7)   б) cos(-3π/8)   в) sin(-12)   г) cos5 д)  sin(-14π/9)*cos(π/8).

8)             Сравните: а) sin 2  и cos2 б) sin 3 и sin( –3) в) cos 6 и sin 1.

9)              />Вычислите:    cos(π+a)*cos (-a-π/2)

/>                                                                    (sin(-a)* sin (π/2-a))

 Краткийанализ урока.

     Несмотря на то, что ответына многие вопросы были известны учащимся, активность проявляли не все. Многиебыли неуверены в правильности своих мыслей, поэтому  некоторых учениковприходилось спрашивать поименно. Тем не менее, к концу урока активностьвозросла, да и количество правильных ответов тоже увеличилось. Результатынебольшой проверочной работы, проведенной на следующем уроке говорят сами засебя: из 23 учащихся, присутствовавших на уроке, 18 получили 4 и 5. Поэтому  ясчитаю, что данное занятие прошло довольно неплохо.

Урок № 2. Функция у= sin х, ее свойства и график.

Образовательные цели урока:

     1) Изучить свойствафункции у= sin х.

2)   Сформироватьу учащихся умение изображать график этой функции и по графику находить областьопределения и область значений, промежутки возрастания и убывания, нули,наибольшее и наименьшее значения.

Форма занятия.

     Так как многие свойствасинуса учащимся известны, то лучше всего в качестве формы данного урока избратьбеседу.

Содержание основной частиурока.

1)   Ввестифункцию у= sin х. Обосновать, что это действительнофункция.

2)   Установитьее область определения и область значений. Обосновать.

         (подробнее прообоснования всех свойств см. в §3.«Методика   преподавания          темы: «Тригонометрические функции» в курсеалгебры и   начал анализа»)

3)   Сформулироватьи обосновать с помощью тригонометрической окружности такие свойства функции у=sinх как промежутки возрастания и убывания, нули, нечетность,ограниченность, а также наибольшее и наименьшее значения.

4)   Воспользовавшисьданными свойствами и равенством  sin(x+2p)=sin(x), построить график и сообщить, что он называетсясинусоидой.

5)   Ещераз проиллюстрировать все свойства данной функции, но уже с помощью графика.

Практическая часть.

1)   Невыполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции у=sin х точка с координатами:  а) (-π/2;1)  б)(π/2;1/2)  в) (π;1) г) (0;0)?

2)   Используяграфик функции f(х), где f(х)=sin х, найдите: а)f(π) б) f(3π/2) в) f(-π/2)  г) f(23π) д) f(-15π/2).

3)   Отметьтена графике  функции у=sin х и назовите все точки, вкоторых значение функции равно а) ½  б) -Ö3/2 в) Ö2/2 г) –1  д) 10.

4)   Найдитевсе значения переменной х и отметьте их на числовой прямой, при которых функцияу=sin х принимает значения: а) большие ½ б)меньшие Ö2/2 в) большие 0, номеньшие  Ö3/2  г)  меньшие –1, нобольшие –2.

5)   Найдитенаибольшее и наименьшее значение функции у=sin х а) наотрезке [π/4, 2π/3];  б) на луче [π/3, +¥];  в)  на интервале (-3π/2,3π/4).

6)   Сравнитеа) sin 0 и sin(-3); б) sin 2 и sin е; в) sin(-4) и sin 5; г) sin 8,3 и sin 9 д) sin 315 и sin317 е) sin (–630) и sin (–631).

Краткий анализ урока.

        Урок прошел хорошо.Ребята работали активно, так как практически все задания решались  фронтально иполуустно за исключением 4 в) и 6 г), д) и е). Цели, поставленные на данныйурок, были  реализованы. По результатам 7-минутной проверочной работы, котораяпроводилась на следующем уроке, можно сделать следующие выводы: 1. Учащиесянаучились строить график функции  у=sin х. 2.Большинство из них, пользуясь схемой анализа, могли свободно перечислить всесвойства этой функции.  Неплохо решали задачи, подобные тем, что былиразобраны. Наибольшее затруднение вызвали задачи подобные 5 в) и 6 е) и д).Хотя, в общем, с работой справились не плохо.

Урок № 3. Функция у= sin х, ее свойства и график.

Образовательные цели урока:

1)   Способствоватьформированию навыков применения свойств функции у= sinх при исследовании функций, для которых она является одной из составляющих.

2)   Научитьприменять известные ранее правила преобразования графиков функций к функции у= sin х.

3)   Выработатьу учащихся навыки решения некоторых уравнений, содержащих синус, графическимспособом.

Форма занятия.

       Фронтальное коллективноеи самостоятельное решение задач.                                      

Содержание основной частиурока.

1)   Постройтеи прочитайте график функции у= f (х), где

/>                              х2, если х < 0,

          f(х)=

                         sin х, если х ³0.

Вычислите  f(p),  f(p/3),  f(-2),  f(-p/2), f(3,14).

2)   Постройтеграфик функции у= f (х), где

                              х<sup/>-2p,  если х < 0,

/>          f(х)=       sin х,если  -2p < х <0,

                        Öх, если х ³0.

Для даннойфункции найдите область определения, область значений, промежутки возрастания иубывания, нули и промежутки знакопостоянства.

3)   (Длясамостоятельно решения с последующей проверкой.)

       Постройте график функции у= f (х), где

                              -(х<sup/>+p)2,  если х < 0,

/>          f(х)=       sin х,если  -p < х <p,

                          (х<sup/>-p)2, если х ³0.

       Запишите все известные вам свойства данной функции.

4)   Постройтеграфик функции у= sin(х+p/4).По графику определите нули данной функции и промежутки знакопостоянства.

5)   Постройтеграфик функции у = sin(х-2p/3)+2. По графику определите все известные вам свойства этойфункции.

6)   Решитеграфически уравнения а) sin(х) =p+х    б) sin(х) =3х    в) sin(х) +(х+p/2)2+1=0

7)     (Длясамостоятельно решения с последующей проверкой)

        а) sin(х+4p/3)-1= (х-p)2  б)  -sin(х-p/6)+1,5 -  ((х-4p/6)2 +0,5)=0

Краткий анализ урока.

           На данном урокеучащиеся научились исследовать кусочно-заданные функции, содержащие функцию у= sin х как одну из своих составляющих, научились применятьизвестные ранее правила преобразования графиков функций к функции у=sinх, а также графически решать некоторые тригонометрическиеуравнения. Об этом можно судить исходя из результатов проделанной учащимисядомашней работы, а также по последующему применению полученных умений при решенииподобных задач для функции  у= соs х. Поэтому можносделать вывод о том, что цели данного урока были реализованы. Что касаетсязатруднений, то наибольшие затруднения вызвали задания, связанные спреобразованием графиков. Часто учащиеся путались в вопросе  — когда в какуюсторону переносить график. Но в целом урок прошел неплохо.

Заключение.

            Итак, приняв вовнимание описанные в первом параграфе общие положения, касающиеся изучениятригонометрических функций, мы проанализировали  наиболее распространенныеучебники с точки зрения изложения данной темы (см. § 2) и обобщили полученныерезультаты в §3. Используя опыт практического преподавания, описанный в §4можно сделать следующие выводы:

1.   Тригонометрическиефункции являются наиболее удобным и наглядный средством для обучения учащихсяисследованию функций.

2.  Преподавание темы «Тригонометрические функции» требуеттщательного подбора содержания, средств и методов обучения, то есть разработкиэффективной методики.

3.   Изучение тригонометрических функцийбудет более эффективным, в том случае когда:

ü перед введением тригонометрическихфункций проведена достаточно широкая пропедевтическая работа  с числовойокружностью;

ü числовая окружность рассматриваетсяне только как самостоятельный объект, но и как элемент декартовой системыкоординат;

ü построение графиков осуществляетсяпосле исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализаповедения функции на числовой окружности;

ü каждое свойство  функций  четко обоснованно и все они сведены в систему.

4.  Наиболее удачным как с методической, так и с  содержательнойточек зрения является учебник   [16].

Библиографический список:

1.    Алексеев, А.  Тригонометрическиеподстановки [Текст] / Алексеев А., Курляндчик Л.  // Квант. – 1995. — №2. –с.40 – 42.

2.   Алимов, Ш.А.  Алгебра и началаанализа 10-11[Текст]  / Ш.А. Алимов // Учебник — Москва:  Просвещение,  2001.

3.   Башмаков,  Алгебра и начала анализа10-11 [Текст] /Башмаков //Учебник — Москва:  Просвещение,  1992.

4.   Бескин, Н.М.  Вопросы тригонометрии иее преподавания  [Текст] / Бескин Н.М.  — Москва: Учпедгиз, 1950.

5.    Гилемханов, Р.Г.  О преподаваниитригонометрии в 10 классе по курсу В [Текст] / Гилемханов Р.Г. //Математика вшколе. 2001-№ 6 -с. 26-28.

6.    Горнштейн, П.И.  Тригонометрияпомогает алгебре [Текст] / Горнштейн П.И.  // Квант. 1989-№5 – с. 68-70.

7.    Дорофеев, Г.  Периодичность и непериодичность функций [Текст] / Дорофеев Г., Розов Н.   //Квант. 1977- №1-с.43-48.

8.   Зарецкий, В.И.  Изучениетригонометрических функций в средней школе [Текст]  / Зарецкий В.И. — Минск: Народная асвета,  1970.

9.    Земляков, А.  Периодические функции[Текст] / Земляков А., Ивлев Б.  // Квант. 1976-№12- с. 34-39.

10.                                                                                                                            Калинин, С.И. Задачи и упражнения по началам математического анализа [Текст] / Калинин С.И.,Канин Е.С., Маянская Г.М., Ончукова Л.В., Подгорная И.И., Фалелеева С.А. - Киров: ВГПУ, 1997.

11.                                                                                                                            Колмогоров, А.Н.Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст]  /А.Н. Колмогоров// Учебник — Москва: Просвещение,  1999.

12.                                                                                                                            Крамор, В.С. Тригонометрические функции [Текст] / Крамор В.С., Михайлов П.А. – Москва: Просвещение,  1979.

13.                                                                                                                            Лященко, Е.И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст]/Лященко Е.И. – Москва:   Просвещение,  1988.

14.                                                                                                                            Мишин, В.И. Методика преподавания математики в средней школе (Частная методика). [Текст] /Мишин, В.И. -  Москва: Просвещение,  1987.

15.                                                                                                                             Мордкович, А.Г.  Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе[Текст] / Мордкович А.Г.  //Математика в школе. 2002 — № 6 –  с.32-38.

16.                                                                                                                            Мордкович, А.Г.Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст]  /А.Г. Мордкович//   Учебник- Москва: Мнемозина,  2003.

17.                                                                                                                            Панчишкин, А.А. Тригонометрические функции в задачах [Текст] / Панчишкин А.А., Шавгулидзе Е.Т.-   Москва:  Наука,  1986.

18.                                                                                                                             Раббот, Ж. Тригонометрические функции [Текст] / Раббот Ж.  // Квант. 1972- №5- с.   36-38.

19.                                                                                                                             Синакевич, С.В. Тригонометрические функции [Текст] / Синакевич С.В. — Москва:  Учпедгиз,  1959.

20.                                                                                                                             Смирнова, И.М.   Необычный способ получениясинусоиды [Текст]  / Смирнова И.М. // Математикав школе. 1993-№3- с.56-58.

21.                                                                                                                             Цукарь, А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии  [Текст] / Цукарь А.Я. //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.

22.                                                                                                                            Шаталов, В.Ф.  Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии[Текст] / Шаталов В.Ф. -  Москва:  Новая школа,  1993.

23.                                                                                                                             Шенфельд, Х. Что  общего между  заходом солнца и функцией       y=sin х [Текст]/Шенфельд Х.   // Математика в школе. 1993-№2- с.75-77.

Приложение

 

Факультатив «Тригонометрияпомогает алгебре».

Известно,что «тот или иной материал усваивается школьниками не тогда, когда этотматериал является целью обучения, а тогда, когда он становится средством длярешения других задач»[10]. Поэтому целесообразно показать учащимся то, какможно применять свойства тригонометрических функций и тригонометрическиетождества при решении, например, алгебраических задач.

Цели: 

1)  Провестимежпредметные связи между тригонометрией и алгеброй.

2)Способствовать  формированию умений решать некоторые виды уравнений алгебры спомощью  тригонометрических подстановок.

   Место изучения.

Этот факультатив желательнопроводить после того, как изучены все разделы тригонометрии.

    Ход факультатива:

          Учащимся предлагаетсяпопробовать решить уравнение /> самостоятельно.Попробовав выполнить стандартное возведение в квадрат обеих частей, учащиесянатыкаются на уравнение 6-ой степени, решение которых в школьном курсе нерассматривается. Обратив внимание учащихся, на то, что областью допустимыхзначений переменной данного уравнения является отрезок  [-1;1], учительпредлагает вспомнить изученные функции, областью значений которых являетсяданный отрезок. После чего делается вывод: если из условия задачи следует, чтодопустимые значения переменной x определяютсянеравенством |x|≤1, то удобны замены х=sinα, α/>, или х=cosα,   α/>, причем какую из нихвыбрать, зависит от конкретной задачи.

Учащиеся совместно с учителемпрорешивают данное уравнение.

        «Поскольку функция 4х3-3хсуществует при любых значениях х, найдем область определения функции f(x)= />: 1- х2 ≥0, значит х/>. Введем замену х=cosα. Нас интересуют все значения этойфункции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция косинуспринимает все свои значения, например отрезок />.

Подставим х=cosα в уравнение,получим                               />

                     Так как α/>, то sinα ≥0 и можно опустить модуль:

/>

/>

Условию α/> удовлетворяют три значенияα1=/>, α2=/>,  α3=/>.

x1=cos α1=cos/>=/>,

x2=cos α2=cos/>=-sin/>= />=/>

x3= cos α3=cos />=-cos/>=/>.

Ответ: x1=/>,x2=/>,x3=/>.

Пример 2.  Сколько корней на отрезке[0;1] имеет уравнение

                                      />

 При отсутствии лишнего временирешение лучше вынести в качестве домашнего задания. Если уровень подготовкикласса не очень высок, то учитель может сделать подсказку «Замена х=cosα, α/> ставит в соответствие каждомузначению х на [0;1] ровно одно значение α/>. Значит, число решений исходногоуравнения на [0;1] равно числу решений соответствующего уравнения на />, причем так как х¹0 и х¹1, то можно взять α/>». Уравнение примет вид

/>

/>

/>

/>

Условию α/> удовлетворяютчетыре значения α1=/>, α2=/>, α3=/>, α4=/>.

Ответ:уравнение на отрезке [0;1] имеет ровно четыре корня.

Пример 3. Решить систему уравнений

                                                                 />

Внимательно посмотрев напервое уравнение системы, учащиеся сами (или с помощью учителя) замечают, чтооно очень похоже на основное тригонометрическое тождество и делают вывод: еслив задаче встречается равенство х2+y2=1, то часто бывает полезно сделать замену х= sinα, y= cosα, α/>, так как числа, сумма квадратовкоторых равна 1, это синус и косинус одного и того же числа. Дальнейшее решениесистемы не вызывает затруднений и может быть произведено учащимисясамостоятельно.

Пусть х= sinα, y= cosα, α/> Второе уравнениесистемы примет вид

/>

Условию α/> удовлетворяютчетыре значения α1=/>, α2=/>, α3=/>, α4=/>.

х1=/>    y1=/>

х2=/>  y2=/>

х3=/> y3=/>

х4=/> y4=/>

Ответ: х= />, y= />; x= />, y= />; x= />,

y= />; x= />, y= />.

В качестве домашнего задания учащимсяможно предложить решить задачу:

Числа a, b, c, d таковы, что a2+b2=1, c2+d2=1, ac+bd=0. Чему равно ab+cd?

Решение можетвыглядеть следующим образом. «Пусть а= sinα, b= cosα, α/>, c=sinβ, d=cosβ, β/>. Уравнение ac+bd=0 перепишем в виде

                             />

Преобразуем выражение ab+cd:

             />

Так как cos(α- β)=0, то sin(α +β)*cos(α- β)=0, a значит ab+cd=0.

Ответ: ab+cd=0»

После этого учительподводит учащихся к вопросу: «Можно ли применять тригонометрические подстановкидля решения уравнений, в область допустимых значений которых входят вседействительные числа?»

Можно, но в случаях, когда переменнаяможет принимать различные значения, используются замены x=tgα, α/> иx=ctgα, α/>.

Пример 5. Доказать, что при любых действительных хи у

/>.

Замечание. Желательно обсудить с учащимися лишьнеобходимую замену. Все остальное они в силах проделать самостоятельно.

           Положим />,где />. Тогда

/>

/>

Так как все значения выражения

                                      />лежат впромежутке [-1/2;1/2], следовательно, и все значения исходного выражения лежатв этом же промежутке. Что и требовалось доказать.

 

еще рефераты
Еще работы по педагогике