Реферат: Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы

--PAGE_BREAK--<shape id="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image003.wmz» o:><img width=«124» height=«54» src=«dopb72690.zip» v:shapes="_x0000_i1026">  (эллипс, где р и q положительны)
Он, конечно, не выписывал уравнения в этой геометрической форме, так как в те времена не существовало еще алгебраической символики, а описывал уравнения, пользуясь геометрическими понятиями; у2 в его терминологии есть площадь квадрата со стороной у; рх — площадь прямоугольника со сторонами р и х и т.д. С этими уравнениями связаны названия кривых. Парабола по-гречески обозначает равенство: квадрат имеет площадь у2 равную площади рх прямоугольника. Гипербола по-гречески обозначает избыток: площадь квадрата у2 превосходит площадь рх прямоугольника. Эллипс по-гречески обозначает недостаток: площадь квадрата меньше площади прямоугольника.
Декарт внес в прямоугольные координаты очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Нужно сказать, однако, что одновременно с Декартом построил аналитическую геометрию и другой французский математик, Ферма.
Значение аналитической геометрии состоит, прежде всего, в том, что она установила тесную связь между геометрией и алгеброй. Эти две ветви математики ко времени Декарта достигли уже высокой степени совершенства. Но развитие их в течение тысячелетий шло независимо друг от друга, и ко времени появления аналитической геометрии между ними намечалась лишь довольно слабая связь.
<shapetype id="_x0000_t202" coordsize=«21600,21600» o:spt=«202» path=«m,l,21600r21600,l21600,xe»><path gradientshapeok=«t» o:connecttype=«rect»><img width=«217» height=«148» src=«dopb72691.zip» v:shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033">Координаты позволяют определять с помощью чисел положение любой точки пространства или плоскости. Это дает возможность «шифровать» различного рода фигуры, записывая их при помощи чисел. Соотношения между координатами чаще всего определяет не одну точку, а некоторое множество (совокупность) точек. Например, если отметить все точки, у которых абсцисса равна ординате, т. е. точки, координаты которых удовлетворяют уравнению х=у, то получится прямая линия — биссектрисы первого и третьего координатных углов.
<img width=«142» height=«44» src=«dopb72692.zip» hspace=«12» alt=«Подпись: Рис.1» v:shapes="_x0000_s1034">Иногда, вместо «множество точек», говорят «геометрическое место точек». Например, геометрическое место точек, координаты которых  удовлетворяют соотношению х=у — это, как  было  сказано  выше, биссектрисы первого и третьего координатного угла. Установление связей между алгеброй, с одной стороны, и геометрией — с другой, было по существу, революцией в математике.  Оно  восстановило  математику  как  единую науку, в которой нет «китайской стены» между отдельными ее частями.
Суть метода координат
Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.
Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает  тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.
В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно.

Глава 2
Методические основы обучения координатному методу
2.1.Этапы решения задач методом координат
Чтобы решать задачи как алгебраические, так и геометрические методом координат необходимо выполнение 3 этапов:
1) перевод задачи на координатный (аналитический) язык;
2)преобразование аналитического выражения;
3)обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык, в терминах которого сформулирована задача.
Для примера рассмотрим алгебраическую и геометрическую задачи и проиллюстрируем выполнение данных 3 этапов при их решении координатным методом.
№1. Сколько решений имеет система уравнений.
<shape id="_x0000_i1027" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image007.wmz» o:><img width=«111» height=«74» src=«dopb72693.zip» v:shapes="_x0000_i1027">
Решение:
1 этап: на геометрическом языке в данной задаче требуется найти, сколько точек пересечения имеют фигуры, заданные данными уравнениями. Первое из них является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1, а второе — уравнением параболы.
2 этап: построение окружности и параболы; нахождение точек их пересечения.
3 этап: количество точек пересечения окружности и параболы является ответом на поставленный вопрос.
№2. Найдите множество точек, для каждой из которых расстояния от двух данных точек равны.
Решение:
Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А Предположим далее, что АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0) и В(а,0). Точка М(х, у) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда АМ=МВ, или, что то же самое, АМ2=МВ2. Используя формулу расстояния от одной точки координатной плоскости до другой, получаем АМ2=x2+y2, MB2=(x-a)2+y2. Тогда х2+у2=(х-а)2 + у2
Равенство х2+у2=(х-а)2+у2и является алгебраической моделью ситуации, данной в задаче. На этом заканчивается первый этап ее решения (перевод задачи на координатный язык).
На втором этапе осуществляется преобразование полученного выражения, в результате которого получаем соотношение <shape id="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image009.wmz» o:><img width=«45» height=«46» src=«dopb72694.zip» v:shapes="_x0000_i1028">.
На третьем этапе осуществляется перевод языка уравнения на геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние <shape id="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image011.wmz» o:><img width=«48» height=«46» src=«dopb72695.zip» v:shapes="_x0000_i1029">, т.е. серединного перпендикуляра к отрезку АВ.
2.2 Задачи, обучающие координатномуметоду
Для разработки методики формирования умения применять координатный метод важно выявить требования, которые предъявляет логическая структура решения задач мышлению решающего. Координатный метод предусматривает наличие у обучающихся умений и навыков, способствующих применению данного метода на практике. Проанализируем решение нескольких задач. В процессе этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное формирование.
Задача №1. В треугольнике ABC: AC=b, AB=c, ВС=а, BD — медиана. Докажите, что <shape id="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image013.wmz» o:><img width=«171» height=«57» src=«dopb72696.zip» v:shapes="_x0000_i1030">.
Выберем систему координат так, чтобы точка А служила началом координат, а осью Ох — прямая АС (рис. 2).
<img width=«239» height=«176» src=«dopb72697.zip» v:shapes="_x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046 _x0000_s1047"> (умение оптимально выбирать систему координат, т. е. так, чтобы наиболее просто находить координаты данных точек).
В выбранной системе координат точки А, С и D имеют следующие координаты: А(0,0), D(<shape id="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image016.wmz» o:><img width=«17» height=«47» src=«dopb72698.zip» v:shapes="_x0000_i1031">,0) и С(b,0)
(умение вычислять координаты заданных точек). Обозначим  координаты точки В через х и у. Тогда используя  формулу для нахождения расстояний между двумя точками, заданными своими координатами, получаем:
х2+у2=с2, (x-b)2+y2=a2                             (1)
(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)
По той же формуле <shape id="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image018.wmz» o:><img width=«142» height=«41» src=«dopb72699.zip» v:shapes="_x0000_i1032"> .                                (2)
Используя формулы (1) находим х и у.
Они равны:
<shape id="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image020.wmz» o:><img width=«129» height=«52» src=«dopb72700.zip» v:shapes="_x0000_i1033"> ; <shape id="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image022.wmz» o:><img width=«204» height=«59» src=«dopb72701.zip» v:shapes="_x0000_i1034">.
Далее, подставляя х и у в формулу (2), находим <shape id="_x0000_i1035" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image024.wmz» o:><img width=«382» height=«53» src=«dopb72702.zip» v:shapes="_x0000_i1035">.
<shape id="_x0000_i1036" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image026.wmz» o:><img width=«170» height=«57» src=«dopb72703.zip» v:shapes="_x0000_i1036">.
(умение выполнять преобразования алгебраических выражений)
Задача №2. Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная.
Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А.
(умение оптимально выбирать систему координат).
Предположим АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0), В(а,0).
(умение находить координаты заданных точек)
Точка М(х, у) принадлежит искомому множеству тогда только тогда, когда AM2-MB2=b2 где b — постоянная величина
(умение переводить геометрический язык на аналитический, составлять уравнения фигур).
Используя формулу расстояний между двумя точками, получаем:
<shape id="_x0000_i1037" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image028.wmz» o:><img width=«125» height=«29» src=«dopb72704.zip» v:shapes="_x0000_i1037">, <shape id="_x0000_i1038" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image030.wmz» o:><img width=«165» height=«29» src=«dopb72705.zip» v:shapes="_x0000_i1038">,
<shape id="_x0000_i1039" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image032.wmz» o:><img width=«217» height=«25» src=«dopb72706.zip» v:shapes="_x0000_i1039">
(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами),  или <shape id="_x0000_i1040" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image034.wmz» o:><img width=«83» height=«55» src=«dopb72707.zip» v:shapes="_x0000_i1040"> . Данное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние <shape id="_x0000_i1041" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image036.wmz» o:><img width=«88» height=«64» src=«dopb72708.zip» v:shapes="_x0000_i1041">.
(умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ)
Нетрудно видеть, что и для решения этой задачи необходимо овладение перечисленными выше умениями. Кроме того, для решения приведенной задачи, а также и других задач важно умение «видеть за уравнением» конкретный геометрический образ, которое является обратным к умению составлять уравнения конкретных фигур.
Выделенные умения являются основой при решении и более сложных задач.
Задача №3. В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям. Найти большую диагональ, если сумма противоположных углов равна <shape id="_x0000_i1042" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image038.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb72709.zip» v:shapes="_x0000_i1042">, а основания равны а и b.
Направим оси координат по меньшей диагонали и одному из оснований (рис. 3).
<img width=«281» height=«220» src=«dopb72710.zip» v:shapes="_x0000_s1048 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1052 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061">(умение оптимально выбирать систему координат).
Тогда точка А имеет координаты (0,0), точка В — (а,0), точка С — (0,c), точка D -  (b,c).  
(умение находить координаты заданных точек)
Пусть <shape id="_x0000_i1043" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image041.wmz» o:><img width=«87» height=«20» src=«dopb72711.zip» v:shapes="_x0000_i1043"> и <shape id="_x0000_i1044" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image043.wmz» o:><img width=«85» height=«23» src=«dopb72712.zip» v:shapes="_x0000_i1044"> острые углы в трапеции АВСD, тогда их сумма равна <shape id="_x0000_i1045" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image045.wmz» o:><img width=«20» height=«47» src=«dopb72713.zip» v:shapes="_x0000_i1045">. Для вычисления длины большей диагонали BD надо найти значение с. Его можно вычислить 2 способами. Первый — из прямоугольного треугольника АВС по формуле <shape id="_x0000_i1046" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image047.wmz» o:><img width=«80» height=«47» src=«dopb72714.zip» v:shapes="_x0000_i1046"> находим <shape id="_x0000_i1047" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image049.wmz» o:><img width=«69» height=«21» src=«dopb72715.zip» v:shapes="_x0000_i1047">. Второй способ из прямоугольного треугольника ACD: <shape id="_x0000_i1048" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image051.wmz» o:><img width=«79» height=«24» src=«dopb72716.zip» v:shapes="_x0000_i1048">. Отсюда получили, что
<shape id="_x0000_i1049" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image053.wmz» o:><img width=«135» height=«24» src=«dopb72717.zip» v:shapes="_x0000_i1049">                             (1)
Из равенства (1) находим отношение <shape id="_x0000_i1050" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image055.wmz» o:><img width=«17» height=«48» src=«dopb72718.zip» v:shapes="_x0000_i1050">: оно равно -<shape id="_x0000_i1051" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image057.wmz» o:><img width=«41» height=«29» src=«dopb72719.zip» v:shapes="_x0000_i1051">, так как <shape id="_x0000_i1052" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image059.wmz» o:><img width=«69» height=«41» src=«dopb72720.zip» v:shapes="_x0000_i1052">. Выразим <shape id="_x0000_i1053" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image061.wmz» o:><img width=«33» height=«21» src=«dopb72721.zip» v:shapes="_x0000_i1053">. Он равен <shape id="_x0000_i1054" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image063.wmz» o:><img width=«40» height=«47» src=«dopb72722.zip» v:shapes="_x0000_i1054">, исходя из этого, пользуясь зависимостью (1), получаем <shape id="_x0000_i1055" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image065.wmz» o:><img width=«80» height=«27» src=«dopb72723.zip» v:shapes="_x0000_i1055">.
(умение выразить недостающие координаты через уже известные величины)
Далее воспользовавшись координатной формулой расстояния между двумя точками, найдем длину BD.
(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами)
Она равна <shape id="_x0000_i1056" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image067.wmz» o:><img width=«123» height=«31» src=«dopb72724.zip» v:shapes="_x0000_i1056">.
Итак, компонентами умения применять координатный метод в конкретных ситуациях являются следующие умения:
1.             переводить геометрический язык на аналитический для одного типа задач и с аналитического на геометрический для другого;
2.             стоить точку по заданным координатам;
3.             находить координаты заданных точек;
4.             вычислять расстояние между точками, заданными координатами;
5.             оптимально выбирать систему координат;
6.             составлять уравнения заданных фигур;
7.             видеть за уравнением конкретный геометрический образ;
8.             выполнять преобразование алгебраических соотношений.
Данные умения можно отработать на примере следующих задач, формирующих координатный метод:
1)    задачи на построение точки по ее координатам;
2)    задачи на нахождение координат заданных точек;
3)    задачи на вычисление расстояния между точками, заданными координатами;
4)    задачи на оптимальный выбор системы координат;
5)    задачи на составление уравнения фигуры по ее характеристическому свойству;
6)    задачи на определение фигуры по ее уравнению;
7)    задачи на преобразование алгебраических равенств;
Приведем примеры таких задач.
I. Построение точек на плоскости.
С координатной прямой, а затем и с координатной плоскостью учащиеся знакомятся в 5-6 классах при изучении математического материала. При этом удобно использовать мультимедийные презентации, которые позволяют в динамике излагать необходимый материал, использовать всевозможные иллюстрации и звуковые эффекты, тем самым, заинтересовывая учащихся и являясь хорошим наглядным средством. Одним из примеров является презентация «Метод координат», опирающаяся на учебник [7]. (см. приложение 1). Приведем несколько примеров задач, которые можно использовать при изучении координатной плоскости. Эти задачи могут быть использованы:
§  для оттачивания навыков построения точек по их координатам со всем классом;
§  для дополнительных заданий отстающим ученикам;
§  для развития интереса к изучаемой теме.
1)    На координатной плоскости постройте точки А(7,2), B(-2,1), C(0,2).
2)     Отметьте на плоскости несколько точек. Начертите произвольную систему координат и найдите в ней координаты заданных точек.
3)    <imagedata src=«15292.files/image069.png» o:><img width=«217» height=«265» src=«dopb72725.zip» v:shapes="_x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067">Постройте фигуры по координатам их узловых точек. Указание: узловыми будем называть точки, служащие концами отрезков, образующих фигуры. Точки, координаты которых записаны подряд через запятую, соединяйте последовательно друг с другом. Если же координаты разделяются знаком «;», то соответствующие точки не следует соединять. Они нужны для изображения вспомогательных элементов.
    А) Камбала (Рис. 4)                                                           
(3,7), (1,5), (2,4), (4,3),
(5,2), (6,2), (8,4), (8,-1),
(6,0), (0,-3),(2,-6),(-2,-3),
(-4,-2),(-5,-1),(-6,1),(-4,1);
(-6,1), (-6,2), (-3,5), (3,7);
(-4,-2),(-2,0),(-2,2),(-3,5);(-3,3).
Б)Найдите координаты выделенных на рисунке точек, двигаясь по часовой стрелке от самой жирной точки. (Рис. 5 и 6)
<imagedata src=«15292.files/image071.png» o:><img width=«139» height=«193» src=«dopb72726.zip» v:shapes="_x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072"><imagedata src=«15292.files/image073.png» o:><img width=«219» height=«175» src=«dopb72727.zip» v:shapes="_x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075 _x0000_s1076 _x0000_s1077">
II.Задачи на выбор системы координат
Выбор системы координат имеет очень важное значение при применении метода координат.
Для примера возьмем задачу, которая рассмотрена в учебнике [2] «Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин».
Первым шагом при применении метода координат является такой выбор осей и системы координат, при котором алгебраические выкладки становятся более простыми. Для данной задачи удачный выбор системы координат показан на рисунке 7. Таким образом, начало координат помещаем в точку А, а оси проводим через точки В и С так, чтобы эти точки лежали на положительных лучах осей. Следовательно, В(а,0) и С(0,b). Поэтому по формуле середины отрезка D(<shape id="_x0000_i1057" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image075.wmz» o:><img width=«37» height=«47» src=«dopb72728.zip» v:shapes="_x0000_i1057">). Теперь <shape id="_x0000_i1058" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image077.wmz» o:><img width=«186» height=«51» src=«dopb72729.zip» v:shapes="_x0000_i1058">, <shape id="_x0000_i1059" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image079.wmz» o:><img width=«177» height=«53» src=«dopb72730.zip» v:shapes="_x0000_i1059">.
Поэтому AD=BD. А так как по определению середины отрезка BC=CD, то теорема доказана.
Можно выбрать систему координат и по-другому (рис.8, рис.9). Если выбрать оси совсем случайно, то легкую задачу можно превратить в очень трудную. Чтобы начать доказательство исходя из рисунка 10, нужно найти способ, позволяющий выразить алгебраически, что треугольник ABC имеет при вершине А прямой угол. Сделать это можно, но будет это не очень просто.
    продолжение
--PAGE_BREAK--<img width=«263» height=«205» src=«dopb72731.zip» v:shapes="_x0000_s1078 _x0000_s1079 _x0000_s1080 _x0000_s1081 _x0000_s1082 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1085 _x0000_s1086 _x0000_s1087 _x0000_s1088 _x0000_s1089 _x0000_s1090 _x0000_s1091 _x0000_s1092"><img width=«222» height=«215» src=«dopb72732.zip» v:shapes="_x0000_s1093 _x0000_s1094 _x0000_s1095 _x0000_s1096 _x0000_s1097 _x0000_s1098 _x0000_s1099 _x0000_s1100 _x0000_s1101 _x0000_s1102 _x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1105 _x0000_s1106 _x0000_s1107">
<shapetype id="_x0000_t6" coordsize=«21600,21600» o:spt=«6» path=«m,l,21600r21600,xe»><path gradientshapeok=«t» o:connecttype=«custom» o:connectlocs=«0,0;0,10800;0,21600;10800,21600;21600,21600;10800,10800» textboxrect=«1800,12600,12600,19800»><img width=«109» height=«42» src=«dopb72733.zip» alt=«Подпись: C(c,d)» v:shapes="_x0000_s1108"> <img width=«274» height=«190» src=«dopb72734.zip» v:shapes="_x0000_s1109 _x0000_s1110 _x0000_s1111 _x0000_s1112 _x0000_s1113 _x0000_s1114 _x0000_s1115 _x0000_s1116 _x0000_s1117 _x0000_s1118 _x0000_s1119 _x0000_s1120 _x0000_s1121">  

<img width=«259» height=«209» src=«dopb72735.zip» v:shapes="_x0000_s1122 _x0000_s1123 _x0000_s1124 _x0000_s1125 _x0000_s1126 _x0000_s1127 _x0000_s1128 _x0000_s1129 _x0000_s1130 _x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1133 _x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136">

Поэтому необходимо вырабатывать у учащихся, начиная с 6 класса, представления о возможности произвольного выбора системы координат. Эту работу целесообразно вести в процессе решения задач. В целях пропедевтической работы можно рекомендовать в 6 классе задачи из учебника на нахождение координат точек по рисунку, разнообразя их с помощью изменения направления осей и начала координат. (см. приложение1)
1.     Длина отрезка АВ равна 5см.  а)Выберите систему  координат, в которой можно было бы наиболее просто  определить координаты концов отрезка. б)Выберите систему координат так, чтобы координаты концов отрезка были бы: А (-2.5,0), В(2.5,0).
2.     Постройте квадрат ABCD со стороной 2 см; отметьте точку М- центр квадрата. Поместите начало координат последовательно в точки A, B, C, D и выберите направление осей координат так, чтобы точка М в каждой системе координат имела координаты (1;1). За единичный примите отрезок длиной 1 см.
3.     Треугольник ABC равносторонний (длина стороныравна 6 см.). Выберите систему координат так, чтобы можно проще было бы определить координаты его вершин.
III. Расстояние между точками
1)    Точка М(а, с) находится от начала координат и точки А(4,0) соответственно на расстояниях 3 и 4 см. Определите координаты точки М.
2)    Дан прямоугольник ABCD (АВ=2 см., ВС=4 см.). Как выбрать систему координат, чтобы его вершины имели координаты А(-1,-2), В(-1,2), С(1,2), D(l,-2)?
3)    Длины сторон треугольника ABC равны 3, 4 и 5 см. Выберете систему координат и определите в ней координаты вершин треугольника ABC.
4)    Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты:       А(-3,1), В(3,6), С(2,2) и D(-4,3). Установите вид четырехугольника.
IV. Составление уравнения фигур
Это умение является одним из основных умений, которые необходимы при применении метода координат к решению задач.
1)              Изобразите систему координат. Отметьте на оси Ох точки А и В. Запишите соотношения, которым удовлетворяют координаты точек, принадлежащих: а)отрезку АВ; б)лучу АВ; в)лучу ВА;
2)              Запишите   уравнение   прямой,   содержащей  начало координат и точку А(2,5).
3)              Запишите уравнение прямой, содержащей точки А(2,7)и В(1,3).
4)              Изобразите на координатной плоскости произвольную прямую и найдите ее уравнение.
5)              Запишите соотношения, которым удовлетворяю координаты точек прямоугольника с вершинами А(2,3), В(2,5), С(4,5), D(4,3).
6)              Что представляют собой множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствам: а)х≤3; b)-5≤х≤0; c)x>1; d)x<-2; e)<shape id="_x0000_i1060" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image087.wmz» o:><img width=«20» height=«28» src=«dopb72736.zip» v:shapes="_x0000_i1060">≥2; f)<shape id="_x0000_i1061" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image089.wmz» o:><img width=«20» height=«28» src=«dopb72736.zip» v:shapes="_x0000_i1061">≥0?
7)              Какую фигуру образует множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств 2≤x≤5 и 1≤y≤3?
8)              Постройте  точки, симметричные точкам  А(2,-3), В(5,0), С (0,7) относительно: а) оси Ох;  б) оси Оу; в)биссектрисы I и III координатных углов. Запишите эти координаты.
9)              Установите, относительно какой из координатных осей симметричны точки А(1,2), В (-7,2).
10)         Точки А(5,…), В(…,2) симметричны относительно оси Ох. Запишите пропущенные координаты.
11)         Постройте образы точек А(1,5), В(-2,3), С(3,0) при параллельном переносе а)О(0,0)→К(3,0); 6)0(0,0)→М(2,3). Запишите их координаты.
12)         С помощью какого параллельного переноса можно отобразить точку М(-3,4) в точку M1(2,4)?
13)         Найдите  на  прямых  у=-Зх+1  и  у=2х+3  точки, симметричные относительно оси Ох.
14)         Запишите уравнение прямой, на которую отображается прямая у=4х-3 вектором с координатами (3,4).
15)         На прямых у=Зх+2 и у=-5х+5 найдите такие точки, которые находятся одна от другой на расстоянии 5 см, и принадлежат прямой, параллельной оси Ох.
2.3 Виды задач, решаемых методомкоординат
Применяя метод координат, можно решать задачи двух видов.
1.     Пользуясь координатами можно истолковать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функции первый пример такого применения метода координат.
2.     Задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Например, можно выразить через координаты основную геометрическую величину — расстояние между точками.
В связи с усилением роли координатного метода в изучении геометрии особенно актуальной становиться проблема его формирования. Наиболее распространенными среди планиметрических задач, решаемых координатным методом, являются задачи следующих 2 видов: 1) на обоснование зависимостей между элементами фигур, особенно между длинами этих элементов; 2) на нахождение множества точек, удовлетворяющих определенным свойствам.
Примером задач первого вида может служить следующая:
«В треугольнике ABC, AB=c, AC=b, BC=a, BD — медиана.
Доказать, что <shape id="_x0000_i1062" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image090.wmz» o:><img width=«161» height=«52» src=«dopb72737.zip» v:shapes="_x0000_i1062">»
Задача: «Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная» — является примером задач второго вида.
Решения этих задач были разобраны выше.
Несмотря на недостатки метода координат такие как  наличие большого количества дополнительных формул, требующих запоминания, и отсутствие предпосылок развития творческих способностей учащихся, некоторые виды задач трудно решить без применения данного метода. Поэтому изучение метода координат необходимо, однако более детальное знакомство с этим методом целесообразно проводить на факультативных занятиях. Далее приведем ряд задач для факультативов.
<img width=«263» height=«234» src=«dopb72738.zip» v:shapes="_x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1139 _x0000_s1140 _x0000_s1141 _x0000_s1142 _x0000_s1143 _x0000_s1144 _x0000_s1145 _x0000_s1146 _x0000_s1147 _x0000_s1148 _x0000_s1149 _x0000_s1150 _x0000_s1151 _x0000_s1152 _x0000_s1153 _x0000_s1154">Пример 1. Докажите, что сумма квадратов расстояний от  точки, взятой на диаметре окружности, до концов любой из параллельных ему хорд постоянна.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат с началом в центре окружности. Пусть хорда  МР параллельна оси Ох, а точка А принадлежит диаметру (рис. 11). Обозначим расстояние ОА через а, а расстояние от точки Р до оси Ох через b. Тогда точка А имеет координаты (а, 0). Точки Р и М принадлежат окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1, следовательно их координаты удовлетворяют уравнению данной окружности <shape id="_x0000_i1063" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image093.wmz» o:><img width=«92» height=«29» src=«dopb72739.zip» v:shapes="_x0000_i1063">. Используя это уравнение находим координаты точек  Р(<shape id="_x0000_i1064" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image095.wmz» o:><img width=«79» height=«32» src=«dopb72740.zip» v:shapes="_x0000_i1064">) и М(<shape id="_x0000_i1065" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image097.wmz» o:><img width=«93» height=«32» src=«dopb72741.zip» v:shapes="_x0000_i1065">). Необходимо доказать, что АМ2+АР2 не зависит от переменной b. Найдем АМ2 и АР2 используя формулу нахождения расстояния между двумя точками по их координатам: <shape id="_x0000_i1066" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image099.wmz» o:><img width=«236» height=«35» src=«dopb72742.zip» v:shapes="_x0000_i1066">. Они соответственно равны  <shape id="_x0000_i1067" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image101.wmz» o:><img width=«145» height=«37» src=«dopb72743.zip» v:shapes="_x0000_i1067"> и <shape id="_x0000_i1068" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image103.wmz» o:><img width=«145» height=«37» src=«dopb72744.zip» v:shapes="_x0000_i1068">, а их сумма после приведения подобных равна 2а2+2. Это число не зависит от переменной b, что и требовалось доказать.
Пример 2. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей. (Теорема Эйлера)
Решение: Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке 12.
<img width=«280» height=«216» src=«dopb72745.zip» v:shapes="_x0000_s1155 _x0000_s1156 _x0000_s1157 _x0000_s1158 _x0000_s1159 _x0000_s1160 _x0000_s1161 _x0000_s1162 _x0000_s1163 _x0000_s1164 _x0000_s1165 _x0000_s1166 _x0000_s1167 _x0000_s1168 _x0000_s1169 _x0000_s1170 _x0000_s1171 _x0000_s1172 _x0000_s1173">Пусть точки А, В, С и D имеют координаты (0,0), (d,0), (c,d) и (0,d) соответственно. Следовательно, координаты точек L и P есть (<shape id="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image106.wmz» o:><img width=«67» height=«47» src=«dopb72746.zip» v:shapes="_x0000_i1069">) и (<shape id="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image108.wmz» o:><img width=«39» height=«47» src=«dopb72747.zip» v:shapes="_x0000_i1070">). Найдем квадраты длин отрезков, с помощью формулы нахождения расстояния между точками по их координатам.
AD2=<shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image110.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb72748.zip» v:shapes="_x0000_i1071">; BC2=<shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image112.wmz» o:><img width=«101» height=«29» src=«dopb72749.zip» v:shapes="_x0000_i1072">; DC2=<shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image114.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb72750.zip» v:shapes="_x0000_i1073">; AB2=<shape id="_x0000_i1074" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image116.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb72751.zip» v:shapes="_x0000_i1074">;
AC2=<shape id="_x0000_i1075" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image118.wmz» o:><img width=«103» height=«29» src=«dopb72752.zip» v:shapes="_x0000_i1075">; BD2=<shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image120.wmz» o:><img width=«61» height=«25» src=«dopb72753.zip» v:shapes="_x0000_i1076">; LP2=<shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image122.wmz» o:><img width=«96» height=«47» src=«dopb72754.zip» v:shapes="_x0000_i1077">.
Запишем выражение, которое необходимо доказать, используя найденные нами значения.
AD2+BC2+DC2+AB2=AC2+BD2+4LP2
<img width=«263» height=«234» src=«dopb72755.zip» v:shapes="_x0000_s1174 _x0000_s1175 _x0000_s1176 _x0000_s1177 _x0000_s1178 _x0000_s1179 _x0000_s1180 _x0000_s1181 _x0000_s1182 _x0000_s1183 _x0000_s1184 _x0000_s1185 _x0000_s1186 _x0000_s1187 _x0000_s1188 _x0000_s1189 _x0000_s1190"><shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image110.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb72748.zip» v:shapes="_x0000_i1078">+<shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image125.wmz» o:><img width=«101» height=«29» src=«dopb72749.zip» v:shapes="_x0000_i1079">+<shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image114.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb72750.zip» v:shapes="_x0000_i1080">+<shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image126.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb72751.zip» v:shapes="_x0000_i1081">=<shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image118.wmz» o:><img width=«103» height=«29» src=«dopb72752.zip» v:shapes="_x0000_i1082">+<shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image120.wmz» o:><img width=«61» height=«25» src=«dopb72753.zip» v:shapes="_x0000_i1083">+4<shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image127.wmz» o:><img width=«96» height=«47» src=«dopb72756.zip» v:shapes="_x0000_i1084">
Раскроем скобки, приведем подобные и получим верное равенство 0=0. Значит, сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей.
Пример 3. Диаметры  AB и CD окружности перпендикулярны. Хорда ЕА пересекает диаметр СD в точке К, хорда ЕС пересекает диаметр АВ в точке L. Докажите, что если СК:KD так же как 2:1, то AL:LB так же как 3:1.
Решение:  Введем прямоугольную систему координат, направив оси по данным диаметрам  AB и CD (рис. 13). 
Радиус окружности будем считать равным 1. Тогда точки А, В, С, D будут иметь координаты (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) соответственно. Так как СК:KD=2:1, то точка К имеет координаты (,<shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image129.wmz» o:><img width=«16» height=«48» src=«dopb72757.zip» v:shapes="_x0000_i1085">). Найдем координаты точки Е как точки пересечения прямой АК, имеющей уравнение <shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image131.wmz» o:><img width=«96» height=«48» src=«dopb72758.zip» v:shapes="_x0000_i1086"> и окружности, заданной уравнением <shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image093.wmz» o:><img width=«92» height=«29» src=«dopb72739.zip» v:shapes="_x0000_i1087">. Получаем, что точка Е имеет координаты (<shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image133.wmz» o:><img width=«37» height=«48» src=«dopb72759.zip» v:shapes="_x0000_i1088">). Точка L – это точка пересечения прямых СЕ и оси абсцисс, значит ординаты точки L равна 0.
Найдем абсциссу точки L. Прямая СЕ задана уравнением <shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image135.wmz» o:><img width=«79» height=«24» src=«dopb72760.zip» v:shapes="_x0000_i1089">. Она пересекает ось Ох в точке (<shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image137.wmz» o:><img width=«17» height=«47» src=«dopb72761.zip» v:shapes="_x0000_i1090">,). Отсюда координаты точки L(<shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15292.files/image139.wmz» o:><img width=«17» height=«47» src=«dopb72761.zip» v:shapes="_x0000_i1091">,).  Найдем отношение AL:LB. Оно равно трем, что и требовалось доказать.
Задачи
1.     Доказать, что если в треугольнике две медианы конгруэнтны, то треугольник равнобедренный.
2.     Найти множество таких точек Р, что отношение расстояний от каждой из них до двух данных точек равно а.
3.     Докажите, что уравнение окружности с центром в точке С (а, с) и радиусом r имеет вид: (х-а)2+(у-с)2=r2
4.     Найти угол между прямыми Зх-4у+6=0 и 12х+5у+8=0
5.     Определите расстояние от точки А(-3,4) до прямой у=х+2.
6.     Вычислите площадь треугольника, вершины которого имеют следующие координаты: А (0,-2), В(6,2) и С(2,4).
7.     На прямой с даны три точки А, В, С так, что точка В лежит между точками А и С. В одной полуплоскости с границей а построены равносторонние треугольники АМВ и ВРС. Доказать, что середина отрезка РА, середина отрезка МС и точка В являются вершинами равностороннего треугольника.
8.     Доказать, что  для любой точки Р лежащей между вершинами В и треугольника ABC, справедливо равенство:
АВ2*РС+АС*ВР-АР2*ВС=ВС*ВР*РС.
9.     Дан прямоугольник. Докажите,  что  сумма  квадратов расстояний  от  произвольной  точки,   принадлежащей плоскости этого прямоугольника до его вершин, в два раза больше суммы квадратов расстояний от этой точки до сторон прямоугольника.
10. Доказать, что если через некоторую точку М провести прямую, пересекающую окружность в точках А и В,  то произведение  МА*МВ  постоянно и не зависит от положения прямой.
11. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, для которых MA2+MC2=MB2+MD2.  (ответ:  множество  точек  М есть плоскость)
12. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, для которых MA+MC=MB+MD. (Ответ: пара прямых)
13. Дан прямоугольный треугольник ABC (ÐC=90°). Найти множество точек Р, для которых 2РС2=РА2+РВ2. (ответ: множество точек Р есть прямая, содержащая середину М гипотенузы АВ и перпендикулярная к медиане СМ).
    продолжение
--PAGE_BREAK--