Реферат: Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи

Розрахунково-пояснювальна записка

До курсової роботи з основ теорії систем та системного аналізу:

Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи

Одеса — 2010

1. Еквівалентні та апроксимаційні перетворення моделі

1.1 Нелінійна модель агрегату

На прикладі розглянемо конкретну технічну систему — змішувальний бак:

Рисунок 1. Модель бака.

F1,F2,F — витрати рідини на притоці і витоці системи, м3/с;

C1,C2,C — концентрація на витоці і притоці системи, кмоль/м3;

h — рівень рідини в бакові, м; S — площа бака, м2;

V — об'єм рідини в бакові, м3;

Запишемо рівняння системи в стаціонарному (встановленому) стані, коли притік дорівнює витоку (рівняння матеріального балансу):

F10+F20-F0=0; C1/>,

де індекс 0 означає встановлений стан.

Записавши умови балансу кінетичної і потенціальної енергії на виході із бака

/>,

де

p — густина рідини, кг/м3;

w — швидкість витоку, м/с;

q — прискорення вільного падіння,q=9.81 м/с2;

і припускаючи, що

d — діаметр вихідного трубопроводу, м.

Одержимо:

/> чи, відповідно,

/>, де

k — коефіцієнт.

При зміні витрат у системі відбувається накопичення речовини і перехід до нового встановленого стану. Цей перехідний процес описується диференціальними рівняннями

де dv/dt — приріст об'єму рідини, /> — приріст маси рідини.

Наведемо цю систему у стандартному вигляді:

Позначимо:

/>− зміна у часі відхилення витрати від номінального щодо першого каналу

/> − теж щодо другого каналу

/> − зміна у часі відхилення об'єму від номінального у бакові;

/>− відхилення концентрації від номінальної;

/>— зміна втрати на виході;

/>— зміна концентрації на виході.

1.2 Нелінійна модель в стандартній формі

Розглянемо поповнення бака від 0 до номінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованій моделі. Таким чином, розглянемо стрибок u1=0,03; u2=0.

Позначивши />, рівняння бака запишемо у вигляді системи:

/>/>/>

Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяються

З урахуванням того, що /> запишемо:

/>,

чи підставляючи

Виразимо />

Підставляємо /> та />

Таблиця 1.

0.141

0.142

0.143

0.144

0.145

0.146

0.147

0.148

0.149

0.150

0.151

t, с

1.5

3.188

5.116

7.357

10.026

13.315

17.585

23.643

34.072

68.958

1.3 Отримання квадратичної моделі

Рівняння квадратичної моделі має вигляд:

Матриці з підстановкою номінального режиму:

1.4 Запис білінійної моделі

/>/>

1.5 Лінеаризована модель

Лінеаризуємо залежність />, розклавши її на ряд Тейлора.

/>/>/>

З урахуванням раніше викладеного запишемо:

/>; (т.к />), где />;

--PAGE_BREAK--

Припустивши у випадку остатку />. Тоді підставивши похідну />, отримаємо

/>;

В результаті маємо

Представивши цю систему в матричній формі:

Тоді матриці А і В запишуться в вигляді

/>, />

Для визначення матриці С необхідно встановити зв'язок між векторами x и y. Оскільки />, />, то

/>; />/>, то />

Тоді

Система буде мати вигляд

Коефіцієнти моделі системи:

/>/>/>

1.6 Модель в дискретному часі

система в дискретному часі має вид:

dt=14,89 c.

Таким чином

Задавшись />, />, тоді

Результати подальших ітерацій представлено в таблиці:

Таблиця 3.

Збурення

Реакція виходу системи y (t)

u1=0

u2=0,01

0,003298

0,00452

0,005299

0,00469

0,00773

0,006183

0,006512

0,006795

0,00725

0,00702

0,00769

0,00713

час t, с

14,894

29,787

44,681

59,574

74,468

89,362

1.7 Перетворення моделі у форму Ассео

/>/>/>/>

/>/>

1.8 Обчислення МПФ системи

/>; />; />; n=2; i=1; />

Таким чином

1.9 Структурні схеми системи в початковій формі, формі Ассео, ЗЗП

/>/>/>

Рисунок 2. Структурна схема системи в початковій формі.

/>/>/>

Рисунок 3. Структурна схема системи в формі Ассео.

/>/>

Рисунок 4. Структурна схема системи у зовнішньозв'язанному поданні.

1.10 Лінеаризована модель в непереривному і дискретному часі з датчиками і ВМ

a) в непереривному часі

/>/>/>

продолжение
--PAGE_BREAK--

Рисунок 5. Структурна схема системи в неперервному часі з датчиками і ВМ.

/>/>

б) в дискретному часі

Рисунок 6. Структурна схема системи в дискретному часі з датчиками і ВМ.

/>/>

1.11 Умова правомірності децентралізації

Система в формі Ассео:

/>/>

/>, />,/>,

Спектральна норма матриці />, тобто максимальне сингулярне число матриці:

/>, />.

Спектральна норма матриці F:

Тоді:

Похибка складає:

Можна допустити, що децентралізація є допустимою.

2. Аналіз якісних властивостей системи

А) />/>

Матриця являється гурвіцевою.

Б) />/>

max s1 (A) =||A||2=0.067<1

Відповідно, матриця А є нільпотентною.

Перевірити, чи є система (А, В, С) сталою, керованою, спостережною, ідентифікованою з вектором-стовпцем х = (1; 1.25), параметрично інваріантною, мінімально фазовою, розчеплюваною, мінімально.

А) сталість:

Відповідно система являється сталою.

Б) керованість:

/>; />/>

По першому входу:

Система керована по першому входу.

По другому входу:

Система керована по другому входу.

В) спостережність:

Система спостережна.

Г) ідентифікованість:

Система є ідентифікована.

Д) параметрична інваріантність:

Система не інваріантна відносно відхилення dA.

Система не інваріантна відносно відхилення dB.

Система не інваріантна відносно відхилення dС.

Е) мінімальнофазовість і астатичність:

/>/>/>

/>система являється мінімально фазовою і статичною.

Ж) розчеплюваність:

/> det=0.016

Система є розчеплюваною.

3. Дослідження процесів в системі і аналіз кількісних властивостей системи

3.1 Побудова графіків розгінних кривих непереривної системи

Побудова графіку розв'язання у (t) для системыи {А, В, С}, якщо

/> и />

/>/>/>

Таблиця 4.

Збурення

Реакція виходу системи y (t)

u1=0,01

u2=0

0,00435

0,00445

0,00681

0,00609

0,00820

0,0067

0,00898

0,00692

0,00942

0,00700

0,00967

0,00703

u1=0

u2=0,01

0,00435

0,037

продолжение
--PAGE_BREAK--

0,00681

0,051

0,00820

0,056

0,00898

0,058

0,00942

0,059

0,00967

0,059

час t, с

14,3

28,6

42,9

57,2

71,5

85,8

Рисунок 7. Розгінна крива витрати рідини для неперервної системи при збуренні 0 і 0,01.

Рисунок 8. Розгінна крива концентрації для неперервної системи при збуренні 0.

Рисунок 9. Розгінна крива концентрації для неперервної системи при збуренні 0,01.

3.2 Побудова графіків кривих разгону дискретної системи

Система в дискретному часі має вид:

dt=14,89 c.

Таким чином

Задавшись />, />, тоді

Результати подальших ітерацій представлено в таблиці:

Таблиця 5.

Збурення

Реакція виходу системи y (t)

u1=0

u2=0,01

0,003298

0,00452

0,005299

0,00469

0,00773

0,006183

0,006512

0,006795

0,00725

0,00702

0,00769

0,00713

час t, с

14,894

29,787

44,681

59,574

74,468

89,362

Рисунок 10. Характеристика витрати рідини в дискретному часі.

Рисунок 11. Характеристика концентрації в дискретному часі.

3.3 Побудова графіків кривих разгону нелінійної системи

Позначивши />, рівняння бака запишемо у вигляді системи:

/>/>/>

Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяються

З урахуванням того, що /> запишемо:

/>, чи підставляючи

Виразимо />

Підставляємо /> та />

Таблиця 6.

0.141

0.142

0.143

0.144

0.145

0.146

0.147

0.148

0.149

0.150

0.151

t, с

1.5

3.188

5.116

7.357

10.026

13.315

17.585

23.643

34.072

68.958

По отриманим даним побудуємо графік:

продолжение
--PAGE_BREAK--

Рисунок 12. Лінійна та нелінійна характеристика витрати води.

Так як немає аналітичної залежності />, використаємо її кус очно-лінійну апроксимацію, представляючи на проміжкові від />до />функцію />как />. Тоді,

/>; />

Отримані дані занесемо в таблицю:

Рисунок 13. Лінійна та нелінійна характеристика концентрації.

3.4 Сталий стан системи

Вичислимо постійне значення системи при умовах

І порівняємо його з результатом розрахунку.

4. Ідентифікація багатомірної математичної моделі по даним експеремента

4.1 Активна ідентифікація

Для дискретної форми системи (F, G, C) провести реалізацію системи.

Запишемо систему у вигляді:

/>/>/>

Подавши імпульс по першому входу, розрахуємо:

/>/>/>

/>/>

/>/>/>

/>/>

Із власних векторів від (/>) і (/>) побудуємо:

/>/>

/>/>/>

При />/>/>

Знайдемо передаточну функцію системи:

/>.

4.2 Пасивна ідентифікація

Для дискретної форми системи (F, G, C) провести пасивну ідентифікацію системи:

Таблиця 7.

Такт, n

U (n)

0.01

0.04

0.01

0.02

0.03

/>/>/>

Використовуючи матриці системи в дискретній формі для заданих значень вектора входу, розрахуємо значення вектора виходу

Результати розрахунку занесемо до таблиці:

Таблиця 8.

Такт, n

y (n)

0.117

0.188

0,349

0.68

0.765

0.464

-0.00509

0.03787

0.09342

0.01402

0.12438

0.04577

Тогда

/>/>

продолжение
--PAGE_BREAK--

Следовательно, />/>/>

5. Конструювання багатомірних регуляторів, оптимізуючи динамічні властивості агрегату

5.1 Конструювання П-регулятора, оптимізую чого систему по інтегральному квадратичному критерію

Регулятор стану який оптимізує систему по критерію:

/>/>

Визначається по співвідношенню: P=LR1 (A,B,Q,R);

/>/>

Притом Q=R=I

Так як матриця С є інвертованою, для створення регулятора виходу немає

Необхідно конструювати спостерігач стану -недосяжний стан вичислюється по формулі />. Відповідно регулятор виходу має вид />

Позначивши через z задане значення виходу у і припускаючи, що />, отримаємо

5.2 Конструювання компенсаторів завдань і вимірюваних збурень

Прийнявши до уваги, що А=В

Якщо при компенсації збурень і завдань зчитувати «вартість» управління, записавши критерій в виді

/>,

то компенсатори визначаються залежностями

Значення виходу при дії збурення f в системі без компенсаторів при z=0

З оптимальною компенсацією

/>f

5.3 Конструювання регулятора з компенсатором взаємозв'язків

Следовательно,

Перевіримо чи регулятор дійсно розчіплює систему, тобто матриця передаточних функцій являється діагональною

/>, />, де />, />.

Знайдемо

1. />/>

2. />/>.

5.4 Конструювання аперіодичного

Аперіодичний регулятор для дискретної системи може бути отриманий із умови />. Запишем />

5.5 Конструювання децентралізованого регулятора

Використовуючи форму Ассео, запишем:

/>/>

Відповідно, отримаємо />

/>, />

Розв'яжим рівняння Ляпунова.

/> T=B

5.6 Конструювання надійного регулятора

Якщо матриця G моделяє відмови каналів вимірювання, то регулятор знаходиться в виді />

нехай s=0.041

Відповідно, система являеться постійною при любих відхиленнях.

5.7 Конструювання блочно-ієрархічного регулятора

Використаємо регулятор стану і перевіримо чи можна створити послідовність регуляторів стану.

/>; />; />; />; />

Рисунок 14. Схема блочно-ієрархічного регулятора.

5.8 Конструювання регулятора для білінійної моделі

/>/>

5.9 Конструювання регулятора для нелінійної системи

Сконструювати нелінійний регулятор, використовуючи початкову не спрощену модель бака.

/>, />

Розрахункове співвідношення для регулятора — />, де />

продолжение
--PAGE_BREAK--

При s=4, W=1 запишемо

Підставивши /> запишемо

5.10 Конструювання програмного регулятора

Використовуючи лінеаризовану модель в дискретному часі, запишемо програму переходу системи із стану /> в стан

/>.

При />; />

Отримаємо

6. Аналіз властивостей зконструйованої системи з оптимальним П-регулятором

6.1 Побудова процесу в системі з П-регулятором

Стале значення виходу при дії збурення f у системі без компенсаторів при z=0

З оптимальною компенсацією

/>f

Рисунок 15. Графіки перехідних процесів та кривих розгону по першому та другому виходах з оптимальним П-регулятором з компенсатором і без.

6.2 Обчислення критерію оптимальності в системі

Величина критерію оптимальності обчислюється за залежністю/>. Для обчислення величини критерію з довільним регулятором слід використовувати формулу

/>, де />.

розв'язавши рівняння Ляпунова отримаємо

При 10% та 5%

/>,/>

/>, />

Розв'яжемо /> для всіх матриць при нових значеннях

/>, />

/>, />, />, />

При 10% та 5%

/>, />

/>,/>

/>, />.

6.3 Обчислити чуйність системи

6.4 Проаналізувати робастність системи

6.5 Розв'язати зворотну задачу конструювання

Знайти за яким критерієм є оптимальний регулятор з компенсаторів взаємозв'язків.

де W — довільна матриця яка задовольняє умові S>0

розв'язавши отримаємо

Висновок

Таким чином, в ході виконання курсової роботи на прикладі моделі змішувального бака була розгляне на технологічна послідовність конструювання систем: побудова та перетворення моделей системи, аналіз властивостей початкової системи, конструювання регуляторів, аналіз властивостей і порівняння сконструйованих систем. Також при виконанні були отримані ряд кривих розгону та перехідних процесів для моделі бака, були побудовані структурні схеми моделі в початковій формі, Ассео, зовнішньо зв’язаній формі. Отримали навики конструювання систем з використанням регулятора з компенсатором взаємозв”язків, аперіодичного, децентралізованого, надійного, блочно-ієерархічного регуляторів, програмного регулятора, регулятора для нелінійної моделі, регулятора для білінійної моделі.

Література

Методические указания к практическим занятиям по курсу «Основы системного анализа и теория систем», А.А. Стопакевич

«Сложные системы: анализ, синтез, управление», А.А. Стопакевич

Додаток

Розв'язання рівняння Рікарті

Розв'язання рівняння Рікарті />визначення матриці Р.

Сформуємо матрицю

Для обчислення власних значень розкриємо визначник />

/>/>

/>.

Розв'язання рівняння Ляпунова />

/>/>.