Реферат: Основы расчета надежности технических систем по надежности их элементов

--PAGE_BREAK--
Надежность резервированной системы


Одним из путей повышения надежности системы является введение в нее резервных (дублирующих) элементов. Резервные элементы включаются в систему как бы «параллельно» тем, надежность которых недостаточна.

Параллельное соединение резервного оборудования системы

Рассмотрим самый простой пример резервированной системы — параллельное соединение резервного оборудования системы. В этой схеме все n одинаковых образцов оборудования работают одновременно, и каждый образец оборудования имеет одинаковую интенсивность отказов. Такая картина наблюдается, например, если все образцы оборудования держатся под рабочим напряжением (так называемый «горячий резерв»), а для исправной работы системы должен быть исправен хотя бы один из n образцов оборудования.

В этом варианте резервирования применимо правило определения надежности параллельно соединенных независимых элементов. В нашем случае, когда надежности всех элементов одинаковы, надежность блока определяется по формуле (4.5.9)

Р = 1 — (1-р)n.
Если система состоит из n образцов резервного оборудования с различными интенсивностями отказов, то
P(t) = 1-(1-p1) (1-p2)… (1-pn).                                                      (4.5.21)

Выражение (4.5.21) представляется как биноминальное распределение. Поэтому ясно, что когда для работы системы требуется по меньшей мере k исправных из n образцов оборудования, то
P(t) = <img width=«57» height=«63» src=«ref-2_1494305844-558.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht73.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_31»>pi(1-p)n-i,  где <img width=«127» height=«65» src=«ref-2_1494306402-699.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht74.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_32»>.                                (4.5.22)

При постоянной интенсивности отказов lэлементов это выражение принимает вид

P(t) = <img width=«148» height=«68» src=«ref-2_1494307101-873.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht75.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_33»>,                                                               (4.5.22.1)

где р = еxp(-lt).

Включение резервного оборудования системы замещением


В данной схеме включения n одинаковых образцов оборудования только один находится все время в работе (рис. 4.5.11). Когда работающий образец выходит из строя, его непременно отключают, и в работу вступает один из (n-1) резервных (запасных) элементов. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все (n-1) резервных образцов не будут исчерпаны.

<img width=«212» height=«122» src=«ref-2_1494307974-1898.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht76.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_34»>

Рис. 4.5.11. Блок-схема системы включения резервного оборудования системы замещением
Примем для этой системы следующие допущения:
1. Отказ системы происходит, если откажут все n элементов.
2. Вероятность отказа каждого образца оборудования не зависит от состояния остальных (n-1) образцов (отказы статистически независимы).
3. Отказывать может только оборудование, находящееся в работе, и условная вероятность отказа в интервале t, t+dt равна ldt; запасное оборудование не может выходить из строя до того, как оно будет включено в работу.
4. Переключающие устройства считаются абсолютно надежными.
5. Все элементы идентичны. Резервные элементы имеют характеристики как новые.

Система способна выполнять требуемые от нее функции, если исправен по крайней мере один из n образцов оборудования. Таким образом, в этом случае надежность равна просто сумме вероятностей состояний системы, исключая состояние отказа, т.е.
Р(t) = еxp(-lt) <img width=«89» height=«64» src=«ref-2_1494309872-630.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht77.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_35»>.                                                            (4.5.23)

В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух резервных образцов оборудования, включаемых замещением. Для того чтобы эта система работала, в момент времени t, нужно, чтобы к моменту t были исправны либо оба образца, либо один из двух. Поэтому
Р(t) = еxp(-lt) <img width=«89» height=«64» src=«ref-2_1494309872-630.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht78.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_36»>=(exp(-lt))(1+lt).                             (4.5.24)

На рис. 4.5.12 показан график функции Р(t) и для сравнения приведен аналогичный график для нерезервированной системы.

<img width=«493» height=«261» src=«ref-2_1494311132-6761.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht79.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_37»>Рис. 4.5.12. Функции надежности для дублированной системы с включением резерва замещением (1) и нерезервированной системы (2)

Пример 4.5.11. Система состоит из двух идентичных устройств, одно из которых функционирует, а другое находится в режиме ненагруженного резерва. Интенсивности отказов обоих устройств постоянны. Кроме того, предполагается, что в начале работы резервное устройство имеет такие же характеристики, как и новое. Требуется вычислить вероятность безотказной работы системы в течение 100 ч при условии, что интенсивности отказов устройств l=0,001 ч-1.

Решение. С помощью формулы (4.5.23) получаем Р(t) = (exp(-lt))(1+lt).

При заданных значениях t и lвероятность безотказной работы системы составляет

Р(t) = е-0,1(1+0,1) = 0,9953.

Во многих случаях нельзя предполагать, что запасное оборудование не выходит из строя, пока его не включат в работу. Пусть l1 - интенсивность отказов работающих образцов, а l2 - резервных или запасных (l2>0). В случае дублированной системы функция надежности имеет вид:
Р(t) = ехр(-(l1+l2)t) + <img width=«68» height=«65» src=«ref-2_1494317893-500.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht80.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_38»>ехр(-l1t) — <img width=«68» height=«65» src=«ref-2_1494317893-500.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht81.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_39»>ехр(-(l1+l2)t).

Данный результат для k=2 можно распространить на случай k=n. Действительно

Р(t) = ехр(-l1(1+a(n-1))t) <img width=«220» height=«75» src=«ref-2_1494318893-1049.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht82.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_40»>               (4.5.25)
<img width=«189» height=«72» src=«ref-2_1494319942-866.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht83.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_41»>, где a = l2/l1> 0.

Надежность резервированной системы в случае комбинаций отказов и внешних воздействий


В некоторых случаях отказ системы возникает вследствие определенных комбинаций отказов образцов входящих в систему оборудования и (или) из-за внешних воздействий на эту систему. Рассмотрим, например, метеоспутник с двумя передатчиками информации, один из которых является резервным или запасным. Отказ системы (потеря связи со спутником) возникает при выходе из строя двух передатчиков или в тех случаях, когда солнечная активность создает непрерывные помехи радиосвязи. Если интенсивность отказов работающего передатчика равна l, а j - ожидаемая интенсивность появления радиопомех, то функция надежности системы
Р(t) = еxp(-(l+j)t) + lt еxp(-(l+j)t).                                       (4.5.26)

Данный тип модели также применим в случаях, когда резерв по схеме замещения отсутствует. Например, предположим, что нефтепровод подвергается гидравлическим ударам, причем воздействие незначительными гидроударами происходит с интенсивностью l, а значительными — с интенсивнностью j. Для разрыва сварных швов (из-за накопления повреждений) трубопроводу следует получить n малых гидроударов или один значительный.

Здесь состояние процесса разрушения представляется числом ударов (или повреждений), причем один мощный гидроудар равносилен n малых. Надежность или вероятность того, что трубопровод не будет разрушен действием микроударов к моменту времени t равна:

Р(t) = еxp(-(l+j)t) <img width=«89» height=«64» src=«ref-2_1494309872-630.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht84.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_42»>.                                                     (4.5.27)

Анализ надежности систем при множественных отказах


Рассмотрим метод анализа надежности нагруженных элементов в случае статистически независимых и зависимых (множественных) отказов. Следует заметить, что этот метод может быть применен и в случае других моделей и распределений вероятностей. При разработке этого метода предполагается, что для каждого элемента системы существует некоторая вероятность появления множественных отказов. Как известно, множественные отказы действительно существуют, и для их учета в соответствующие формулы вводится параметр a. Этот параметр может быть определен на основе опыта эксплуатации резервированных систем или оборудования и представляет собой долю отказов, вызываемых общей причиной. Другими словами, параметр а можно рассматривать как точечную оценку вероятности того, что отказ некоторого элемента относится к числу множественных отказов. При этом можно считать, что интенсивность отказов элемента имеет две взаимоисключающие составляющие, т. е. l=l1+l2, где l1— постоянная интенсивность статистически независимых отказов элемента,  l2— интенсивность множественных отказов резервированной системы или элемента. Поскольку a=l2/l, то l2=a/ l, и следовательно, l1=(1-a)l. Приведем формулы и зависимости для вероятности безотказной работы, интенсивности отказов и средней наработки на отказ в случае систем с параллельным и последовательным соединением элементов, а также систем с k исправными элементами из п и систем, элементы которых соединены по мостиковой схеме. Система с параллельным соединением элементов (рис. 4.5.13) - обычная параллельная схема, к которой последовательно подсоединен один элемент. Параллельная часть (I) схемы отображает независимые отказы в любой системе из n элементов, а последовательно соединенный элемент (II) — все множественные отказы системы. <img width=«321» height=«313» src=«ref-2_1494321438-5686.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht85.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_43»>Рис. 4.5.13. Модифицированная система с параллельным соединением одинаковых элементов Гипотетический элемент, характеризуемый определенной вероятностью появления множественного отказа, последовательно соединен с элементами, которые характеризуются независимыми отказами. Отказ гипотетического последовательно соединенного элемента (т.е. множественный отказ) приводит к отказу всей системы. Предполагается, что все множественные отказы полностью взаимосвязаны. Вероятность безотказной работы такой системы определяется как Rр={1-(1-R1)n}R2, где n — число одинаковых элементов; R1 — вероятность безотказной работы элементов, обусловленная независимыми отказами; R2 — вероятность безотказной работы системы, обусловленная множественными отказами. При постоянных интенсивностях отказов l1и l2выражение для вероятности безотказной работы принимает вид Rр(t)={1-(1-e-(1-a)lt)n}e-alt,                                                          (4.5.28)
где t — время. Влияние множественных отказов на надежность системы с параллельным соединением элементов наглядно демонстрируется с помощью рис. 4.5.14 – 4.5.16; при увеличении значения параметра aвероятность безотказной работы такой системы уменьшается. Параметр aпринимает значения от 0 до 1. При a=0 модифицированная параллельная схема ведет себя как обычная параллельная схема, а при a=1 она действует как один элемент, т. е. все отказы системы являются множественными.

Поскольку интенсивность отказов и среднее время наработки на отказ любой системы можно определить с помощью (4.3.7) и формул
<img width=«173» height=«64» src=«ref-2_1494327124-789.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht86.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_44»>,
<img width=«115» height=«69» src=«ref-2_1494327913-657.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht87.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_45»>,
с учетом выражения для Rр(t) получаем, что интенсивность отказов (рис. 4.5.17) и средняя наработка на отказ модифицированной системы соответственно равны
<img width=«267» height=«72» src=«ref-2_1494328570-1023.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht88.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_46»>,                                                  (4.5.29)
<img width=«197» height=«93» src=«ref-2_1494329593-1087.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht89.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_47»>,     где <img width=«135» height=«60» src=«ref-2_1494330680-589.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht90.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_48»>.                        (4.5.30)

<img width=«506» height=«282» src=«ref-2_1494331269-10713.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht91.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_49»>Рис. 4.5.14. Зависимость вероятности безотказной работы системы с параллельным соединением двух элементов от параметра a  <img width=«505» height=«291» src=«ref-2_1494341982-10525.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht92.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_50»>Рис. 4.5.15. Зависимость вероятности безотказной работы системы с параллельным соединением трех элементов от параметра a<img width=«506» height=«293» src=«ref-2_1494352507-10404.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht93.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_51»>Рис. 4.5.16. Зависимость вероятности безотказной работы системы с параллельным соединением четырех элементов от параметра a<img width=«424» height=«452» src=«ref-2_1494362911-10320.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht94.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_52»>Рис. 4.5.17. Зависимость интенсивности отказов системы с параллельным соединением четырех элементов от параметра aПример 4.5.12. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух одинаковых параллельно соединенных элементов, если l=0,001 ч-1; a=0,071; t=200 ч. Вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух одинаковых параллельно соединенных элементов, для которой характерны множественные отказы, равна 0,95769. Вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух параллельно соединенных элементов и характеризуемой только независимыми отказами, равна 0,96714. Система с k исправными элементами из п одинаковых элементов включает в себя гипотетический элемент, соответствующий множественным отказам и соединенный последовательно с обычной системой типа k из n, для которой характерны независимые отказы. Отказ, отображаемый этим гипотетическим элементом, вызывает отказ всей системы. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с k исправными элементами из n можно вычислить по формуле

<img width=«55» height=«28» src=«ref-2_1494373231-395.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht95.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_53»><img width=«219» height=«67» src=«ref-2_1494373626-1034.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht96.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_54»>,                                                (4.5.31)

где R1 — вероятность безотказной работы элемента, для которого характерны независимые отказы; R2 — вероятность безотказной работы системы с k исправными элементами из n, для которой характерны множественные отказы. При постоянных интенсивностях l1и l2полученное выражение принимает вид

<img width=«77» height=«28» src=«ref-2_1494374660-452.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht97.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_55»><img width=«327» height=«63» src=«ref-2_1494375112-1121.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht98.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_56»>.                      (4.5.32)

Зависимость вероятности безотказной работы от параметра aдля систем с двумя исправными элементами из трех и двумя и тремя исправными элементами из четырех показаны на рис. 4.5.18 — 4.5.20. При увеличении параметра aвероятность безотказной работы системы уменьшается на небольшую величину (lt). <img width=«517» height=«324» src=«ref-2_1494376233-11752.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht99.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_57»>Рис. 4.5.18. Вероятность безотказной работы системы, сохраняющей работоспособность при отказе двух из n элементов <img width=«505» height=«302» src=«ref-2_1494387985-10606.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht1.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_58»>Рис. 4.5.19. Вероятность безотказной работы системы, сохраняющей работоспособность при отказе двух из четырех элементов <img width=«515» height=«326» src=«ref-2_1494398591-12130.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht2.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_59»>Рис. 4.5.20. Вероятность безотказной работы системы, сохраняющей работоспособность при отказе трех из четырех элементов Интенсивность отказов системы с k исправными элементами из n и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом: <img width=«557» height=«113» src=«ref-2_1494410721-2091.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht3.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_60»>, (4.5.33)

где   h = {1-e-(1-b)lt},

q = e(ra-r-a)lt

и

<img width=«521» height=«61» src=«ref-2_1494412812-1601.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht4.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_61»>

<img width=«456» height=«64» src=«ref-2_1494414413-1180.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht5.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_62»>.      (4.5.34)

Пример 4.5.13. Требуется определить вероятность безотказной работы системы с двумя исправными элементами из трех, если l=0,0005 ч-1; a=0,3; t=200 ч. С помощью выражения для Rkn находим, что вероятность безотказной работы системы, в которой происходили множественные отказы, составляет 0,95772. Отметим, что для системы с независимыми отказами эта вероятность равна 0,97455. Система с параллельно-последовательным соединением элементов соответствует системе, состоящей из одинаковых элементов, для которых характерны независимые отказы, и ряда ветвей, содержащих воображаемые элементы, для которых характерны множественные отказы. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с параллельно-последовательным (смешанным) соединением элементов можно определить с помощью формулы Rps={1-(1- <img width=«32» height=«31» src=«ref-2_1494415593-375.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht6.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_63»>)n}R2, где m — число одинаковых элементов в ответвлении, n — число одинаковых ответвлений.

При постоянных интенсивностях отказов l1и l2это выражение принимает вид

Rрs (t) = [1-(1-e-n(1-a)lt)m}e-alt.                                                    (4.5.35)

Интенсивность отказов системы с параллельно-последова­тельным соединением элементов и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:

lps(t)=al+mn(1-a)l<img width=«73» height=«57» src=«ref-2_1494415968-541.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht7.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_64»>,                                                    (4.5.36)где l=1/[1-e-n(1-g)lt] и

<img width=«193» height=«91» src=«ref-2_1494416509-1097.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht8.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_65»>.                                                                (4.5.37)

Система, элементы которой соединены по мостиковой схеме, соответствует схеме, состоящей из одинаковых элементов, для которых характерны независимые отказы, и последовательно подсоединенного к ним воображаемого элемента, для которого характерны множественные отказы. При множественном отказе гипотетического элемента вся система выходит из строя. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с элементами, соединенными по мостиковой схеме, можно вычислить по формуле

Rb={1-2(1-R1)5+5(1-R1)4-2(1-R1)3-2(1-R1)2}R2                        (4.5.38)

(здесь Rb — вероятность безотказной работы мостиковой схемы, для которой характерны множественные отказы). Эта формула при постоянных интенсивностях l1и l2принимает вид

Rb(t)=[1-2(1-e-At)5+5(1- e-At)4-2(1- e-At)3-2(1- e-At)2] e-blt.        (4.5.39)

(здесь А=(1-a)l). Зависимость безотказной работы системы Rb(t) для различных параметров aпоказана на рис. 4.5.21. При малых значениях lt вероятность безотказной работы системы с элементами, соединенными по мостиковой схеме, убывает с увеличением параметра a. <img width=«528» height=«327» src=«ref-2_1494417606-11868.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht9.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_66»>Рис. 4.5.21. Зависимость вероятности безотказной работы системы, элементы которой соединены по мостиковой схеме, от параметра a

Интенсивность отказов рассматриваемой системы и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:
lkn(t)=bl+A(-8p5+25p4-24p3+4p2+4p)+ <img width=«220» height=«56» src=«ref-2_1494429474-931.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht10.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_67»>, (4.5.40)

где          p=(1-e-At)    и

Т0= <img width=«79» height=«57» src=«ref-2_1494430405-507.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht11.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_68»>+ <img width=«88» height=«57» src=«ref-2_1494430912-537.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht12.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_69»>+ <img width=«88» height=«57» src=«ref-2_1494431449-537.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht13.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_70»>+ <img width=«88» height=«57» src=«ref-2_1494431986-537.coolpic» alt=«obzh.ru/nad/4-5.ht14.gif» v:shapes=«Рисунок_x0020_71»>.                     (4.5.41)

Пример 4.5.14. Требуется вычислить вероятность безотказной работы в течение 200 ч для системы с одинаковыми элементами, соединенными по мостиковой схеме, если l=0,0005 ч-1 и a=0,3. Используя выражение для Rb(t), находим, что вероятность безотказной работы системы с соединением элементов по мостиковой схеме составляет примерно 0,96; для системы с независимыми отказами (т.е. при a=0) эта вероятность равна 0,984.
    продолжение
--PAGE_BREAK--