Реферат: Расчет параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго-защемленными концами

«Расчёт параметров изгиба однопролётной балки со свободно опёртым и упруго защемленным концами»

Дано:

L= 7,9 м = 790 см.

q= 33,3 кгс/см

E= 210000 МПа

J= 7800 см4

æ= 0.94

1. Дифференциальное уравнение изгиба призматической балки имеет следующий вид:

EJWIV (x) = q (x) (1)

После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (1) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:

/>, (2)

в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки.

2. Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом конце при значении х = 0 имеют вид:

W(0) = 0 (3)

WII(0) = 0 (4)

На правом конце балки при значении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:

W(L) = 0 (5)

/>(6)

3. В связи с тем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балку действует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q= const, дифференциальное уравнение (1) изгиба призматической балки будет иметь вид:

EJWIV (x) = q 0, (7)

а выражение (2) для общего интеграла дифференциального уравнения (7) будет:

/>( 8)

Для подчинения общего интеграла (8) дифференциального уравнения (7) граничным условиям (3), (4), (5). (6) необходимо предварительно получить выражения для первой и второй производных от общего интеграла (8), которые будут иметь соответственно вид:

/>(9)

/>(10)

Если подчинить выражение общего интеграла (8) граничному условию (3), то в результате получим, что

W(0) = D,

откуда следует, что величина D будет равна: D = 0 (11)

Если воспользоваться граничным условием (4), то подставляя в выражение (10) значение х = 0, в результате получим, что WII(0)=В, откуда следует, что величина В будет равна: В = 0 (12)

Подчиняя выражение общего интеграла (8) граничному условию (5), получим, что

/>(13)

Воспользовавшись выражениями (9) и (10), из граничного условия (6) получим следующую зависимость:

/>(14)

или />,

откуда после преобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида

/>(15)

Выражения (14) и (15) в окончательном виде преобразуются к уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые образуют систему двух алгебраических уравнений:

/>(16)

Для решения системы уравнений (16) можно воспользоваться методом миноров.

/>/>(17)

значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:

/>; (18)

/>, (19)

где: Δ– определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:

/>

ΔА — определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов правой части С1 и С2 и коэффициентов при неизвестной величине С:

/>

ΔС — определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А и из коэффициентов правой части С1 и С2:

/>

Учитывая вышеприведенные формулы, получим следующие выражения:

/>,

которые после несложных преобразований примут вид:

/>

Тогда, учитывая выражения (18) и (19), значения величин А и С будут определяться формулами:

/>(20)

/>(21)

в которых введены обозначения:

/>(22)

/>(23)

4. Общий интеграл (8) дифференциального уравнения (7), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогибаW(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:

/>

5. Общий интеграл приведенный к виду с безразмерными значениями переменного аргумента:

/>(24)

6. Значения изгибающих моментовM(x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются второй производной по прогибу балки, которая учитывая полученную формулу (24) преобразуется к виду:

--PAGE_BREAK--

/>

или к выражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:

/>(25)

На основании формулы (25) может быть построена эпюра значений изгибающих моментовM(x).

Для определения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр необходимо в первую очередь определить значение координаты (xпр) расположения этого изгибающего момента Mпр. Для определения значения координаты (xпр) необходимо получить выражение для первой производной от выражения (25):

/>(26)

Тогда значение координаты (xпр), где изгибающий момент будет иметь экстремальное значениеMпр, определится из условия: />

или, учитывая выражение (26), из следующего уравнения:

/>,

Откуда (xпр)/> (27)

Тогда экстремальное значениеMпр будет равно:

/>(28)

Наибольшее значение изгибающий момент M(x), исходя из характера его распределения по длине балки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L(значениеMоп) или при x = xпр (значениеMпр).

Значение Mопопределим из выражения (25), подставляя в последнее значение координаты х = L:

/>(29)

7. Коэффициент опорной пары æ определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки Mоп, к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления Mжз:

æ /> (30)

Значение изгибающего момента Mжз в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (29), если в последней предположить, что коэффициент податливости заделкиor равен нулю:

/>, (31)

тогда на основании формул (29), (30), (31) получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары æ упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:

æ/> (32)

Из формулы (32) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки orчерез значения коэффициента опорной пары æ:

/>(33)

Использование формулы (33) позволяет выразить значения коэффициентов АI и СI при постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (22) и (23), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары æ:

/>(34)

/>(35)

Тогда экстремальное значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значения опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mопбудут определяться соответственно следующими выражениями через значения коэффициентов опорной пары æ:

/>(36)

/>(37)

А значение координаты (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) определится выражением:

/>(38)

8. Значения перерезывающих сил N(x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются известной зависимостью Журавского:

/>,

которая, учитывая формулу (25), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки преобразуется к виду:

/>(39)

Из формулы (39) следует, что перерезывающие силы распределяются по длине балки по линейному закону, то есть по прямой линии, поэтому для построения эпюры перерезывающих сил достаточно определить значения перерезывающей силы в двух крайних точках, а именно в начале координат:

/>(40)

и в районе упругой заделки (при x = L ):

/>(41)

Откуда видно, что выполняется следующее очевидное соотношение

/>

9. Расчет значений параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами.

В этом случае, исходя из формул (34) и (35)

/>;

/>,

а координата (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) будет равна:

/>

или в безразмерном относительном виде:

/>0.3825

Экстремальное значение изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значение опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mопв соответствии с формулами (25) и (29) будут равны:

Mпр =M(302,175) /> -3040614,03 кг*с*см

/>2441947,28кг*с*см

Определим значение перерезывающей силы в начале координат (на левой опоре) на основании формулы (40):

N(0) = — 10062,43 H.

На основании формулы (41) определим значение перерезывающей силы в районе упругого защемления балки (на правой опоре):

N(L) = 16244,57 H.

Отметим, что перерезывающая сила N в районе действия экстремального значения изгибающего момента Mпр в пролёте балки имеет нулевое значение:

    продолжение
--PAGE_BREAK--

/>,00 Н.

Приведенные в таблице 1 числовые значения позволяют построить эпюры, показывающие характер распределения по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки таких параметров, как прогиб балки w(х) и действующие на балку изгибающие моменты М(х) и перерезывающие силы N(x).

L

wx)

M(x)

N(x)

-5680

0,05

0,4842

-207206

-4807,39

0,1

0,9418

-379930

-3934

0,15

1,3503

-518172

-3062

0,2

1,6917

-621933

-2189

0,25

1,9525

-691213

-1316

0,3

2,1238

-726011

-443

0,35

2,2009

-726327

430

0,4

2,1840

-692162

1303

0,45

2,0775

-623515

2176

0,5

1,8904

-520387

3049

0,55

1,6362

-382777

3922

0,6

1,3328

-210686

4795

0,65

1,0028

-4114

5668

0,7

0,6730

236941

6541

0,75

0,3750

512476

7414

0,8

0,1448

822494

8286

0,85

0,0228

1166992

9159

0,9

0,0539

1545973

10032

0,95

0,2876

1959435

10905

1

0,7779

2407378

11778