Реферат: Устойчивость прямоугольных пластин судового корпуса

Курсовая работа

«Расчёт устойчивости прямоугольных пластин судового корпуса»

Исходные данные

№

п/п

Размер пластины (a), м

Размер пластины(b), м

Модуль упругости материала

Е ·103МПа

Толщина пластины (h), м

19

1.9

1,30

210

0.020

Дифференциальное уравнение нейтрального равновесия прямоугольной пластины, сжатой в двух взаимно перпендикулярных направлениях (1), (2)

Начнем изучение устойчивости пластин со случая, когда на свободно опертую прямоугольную пластину действуют сжимающие напряжения в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис.1).

/>

Рис.1

Пусть σ1 — абсолютная величина сжимающего напряжения, действующего в направлении оси ох; σ2-абсолютная величина сжимающего напряжения, действующего в направлении оси оу; "а" и "b"-размеры пластины в плане; "h"-толщина пластины.

Тогда дифференциальное уравнение нейтрального равновесия рассматриваемой пластины будет:

/> (1)

/> (2)

Задание формы упругой поверхности свободно опертой пластины при потере устойчивости в виде двойного тригонометрического ряда (3)

Упругая поверхность свободно опертой пластины при потере устойчивости в самом общем виде может быть представлена тригонометрическим рядом:

/> (3)

Граничные условия на кромках рассматриваемой прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины (4)

Каждый член ряда (3) удовлетворяет граничным условиям на контуре рассматриваемой пластины, т.е. условиям равенства нулю в точках на контуре величины прогиба пластины и изгибающих моментов:

/> (4)

Уравнение, устанавливающее сочетание нагрузок Т1и Т2, при котором свободно опёртая по контуру прямоугольная пластина может потерять устойчивость (8)

Подставляя формулу (3) в дифференциальное уравнение (1), Получим

/>

/>

или

/> (5)

Рассматриваемая пластина может потерять устойчивость при таком сочетании нагрузок Т1 и Т2, при котором какая-либо из скобок, входящих в выражение (5), обратится в нуль.

При этом соответствующее Аmn может стать отличным от нуля и форма потери устойчивости пластины будет

/>/>/>/> (6)

Таким образом, эйлерово сочетание нагрузок Т1 и Т2 определится из условия:

/>

Учитывая обозначения (2), получим

/> (7)

Или

/> (8)

Устойчивость прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, одинаково сжатой в обоих направлениях. (11)

Для дальнейшего исследования полезно выражение (7) переписать следующим образом:

/> (9)

При различных комбинациях чисел "m" и "n" мы имеем, на основании выражения (9) линейную зависимость между напряжениями σ1 и σ2.

Будем откладывать на оси абсцисс некоторой системы координатных осей напряжение σ1, а на оси ординат-напряжение σ2 (рис.2). Тогда любой точке плоскости будет соответствовать некоторая комбинация напряжений σ1 и σ2

/>

/>Рис.2

Рассматривая пластину с определенным отношением сторон а: b, можем, задаваясь различными "m" и "n", построить ряд прямых по уравнениям (9). Область тех напряжений, при которых пластина не теряет устойчивости, будет ограничена ближайшими к началу координат участками всех построенных прямых различных "m" и "n".

Легко убедиться, что для определения этих участков нужно построить лишь прямые, соответствующие различным "m" при n=1 и различным "n" при m=1.

Если σ1=σ2., т.е. пластина одинаково сжата в обоих направлениях, то на основании выражения (9) получим

σ1=σ2/>(10)

Правая часть формулы (10) растет при увеличении чисел "m" и "n". Поэтому в таком случае для разыскания эйлеровых значений сжимающих напряжений следует в формуле (10) положить m= n=1. Тогда получим

/> (11)

где /> — цилиндрическая жесткость пластины.

Следовательно, одинаково сжатая в двух пластина теряет устойчивость с образованием одной полуволны независимо от величины отношения а: b.

Расчёт эйлеровых значений сжимающих усилий прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, одинаково сжатой в обоих направлениях.

/>

/>

Устойчивость прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, сжатой в одном направлении вдоль длинной стороны пластины. (12)

Если пластина сжата лишь в одном направлении, то ее эйлерову нагрузку можно найти из общих зависимостей предыдущего параграфа, положив в них σ2=0. На основании формулы (9) получим

/> (12)

Установление числа полуволн формы потери устойчивости прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, сжатой в одном направлении вдоль длинной стороны (15).

Число полуволн "m", образующихся вдоль направления сжатия при потере устойчивости пластины, будет зависеть от отношения а: b.

Действительно, каждому отношению а: b должно соответствовать определенное число "m", при подстановке которого в формулу скобка, входящая в ее правую часть, будет принимать наименьшее значение.

/> (13)

Это число "m" должно, очевидно, удовлетворять тому условию, при котором при подстановке в правую часть формулы вместо m величины (m+ 1) и (m — 1) значение скобки будет увеличиваться. Это условие запишется в виде:

/> (14)

Из выражения (15) можно получить:

/> (15)

Последние неравенства показывают, что на длине пластины образуется следующее число полуволн:

/>

Расчёт эйлеровых значений сжимающих усилий прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, сжатой вдоль короткой стороны опорного контура (16)

Для стальной пластины с параметрами Е=2,15*106кг/см2; μ=0,3, сжатой вдоль короткой стороны опорного контура, эйлерово напряжение определяется:

/> (16)

Для определения эйлерова напряжения пластины с параметрами Е=210·103МПа = 2,1·106кг/см2иμ=0,3 вдоль короткой стороны необходимо формулу (21) домножить на Е/Ест, тогда:

--PAGE_BREAK--

/>

/>

Расчёт эйлеровых значений сжимающих усилий прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, сжатой вдоль длинной стороны опорного контура (17)

Для стальной пластины с параметрами Е=2,15*106кг/см2; μ=0,3, сжатой вдоль длинной стороны опорного контура, эйлерово напряжение определяется:

/> (17)

Для определения эйлерова напряжения пластины с параметрами Е=210·103МПа = 2,1·106кг/см2иμ=0,3 вдоль длинной стороны необходимо формулу (21) домножить на Е/Ест, тогда:

/>

/>

Устойчивость пластин, свободно опертых по двум кромкам. Решение в виде ординарного тригонометрического ряда. Расчётная схема (рис.3)

/>

/>Рис.3

Решение для упругой поверхности пластины, у которой кромки х = constсвободно оперты на жесткий контур (18)

Рассмотрим пластину, у которой кромки х = const свободно оперты на жесткий контур, и загруженную сжимающими усилиями в направлении оси ох. Решение для упругой поверхности такой пластины можно искать в виде ординарного тригонометрического ряда:

/> (18)

Дифференциальное уравнение нейтрального равновесия пластины (24). Дифференциальное уравнение, которому должны удовлетворять функции />(20)

Дифференциальное уравнение нейтрального равновесия пластины:

/> (19)

где Т1= — σ1h

Функции />должны удовлетворять дифференциальному уравнению:

/> (20)

Общий интеграл для функций />(21)

На основании решения, полученного при рассмотрении изгиба пластин, свободно опертых по двум кромкам, формула общего интеграла для функций /> запишется в виде:

/> (21)

Где

/> (22)

Граничные условия для функции/>, для пластины, жестко заделанной по своим продольным кромкам, (25)

Рассматриваемое решение позволяет исследовать устойчивость пластин при различных условиях закрепления на кромках, параллельных сжимающей нагрузке.

Продольные кромки жестко заделаны (рис.4).

/>

/>Рис.4

В этом случае граничные условия для упругой поверхности пластины w(х, у) будут:

/> (23)

Учитывая, что ожидаемая форма потери устойчивости будет симметрична относительно оси ох, можем в общем интеграле функции /> сохранить лишь четные члены, т.е. записать его в виде

/> (24)

и подчинить это выражение граничным условиям на кромке />.

Учитывая выражения (18) и (23), получим следующие граничные условия для функции/>:

/> (25)

Система линейных однородных уравнений относительно постоянных Amи Сm(26)

Подчиняя выражение (24) условиям (25), получим

/> (26)

Определение эйлеровых напряжений пластины, жестко заделанной по своим продольным кромкам (27)

Определение эйлеровых напряжений пластины, жестко заделанной по своим продольным кромкам, по формуле:

/> (27)

Где kвыбирается из таблицы в зависимости от соотношения сторон пластины b: a

b: а

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

k

9,44

7,69

7,05

7,00

7,29

7,83

7,69

/>

Примем коэффициент k=7,00 тогда

/>

Устойчивость пластины, одна продольная кромка которой свободно оперта, другая совершенно свободна. Расчётная схема (рис.5)

Одна продольная кромка пластины свободно оперта, другая совершенно свободна

/>/>

/>Рис.5

Определение эйлеровых напряжений пластины, одна продольная кромка которой свободно оперта, другая совершенно свободна (28)

Для стальной пластины с параметрами Е=2,15*106кг/см2; μ=0,3, сжатой вдоль длинной стороны опорного контура, при закреплении показанном на Рис.6, эйлерово напряжение определяется по формуле:

/> (28)

Для определения эйлерова напряжения пластины с параметрами Е=210·103МПа = 2,1·106кг/см2иμ=0,3 необходимо формулу (28) домножить на Е/Ест, тогда:

/>

/>

Устойчивость пластин при действии касательных напряжений. Расчётная схема (Рис.6)

Рассмотрим свободно опертую пластину, находящуюся в условиях чистого сдвига под действием касательных напряжений τ (Рис.6).

Сдвигающие усилия на единицу длины пластины будут />

/>

/>Рис.6

Вычисление эйлеровой нагрузки пластин при действии касательных напряжений (29)

/> (29)

/>

Заключение

Анализ прямоугольных пластин позволяет сделать вывод об их устойчивости и как следствие прочности всей судовой конструкции. Полученные значения касательных и эйлеровых напряжений допустимы.

Список литературы

Основная литература

1. Ипатовцев Ю.Н., Короткин Я.И. Строительная механика и прочность корабля: Учебник. Л.: Cудостроение, 1991

2. Короткин Я.И., Ростовцев Д.М., Сиверс Н.Л. Прочность корабля: Учебник. Л.: Судостроение, 1974

3. Постнов В.А. и др. Строительная механика корабля и теория упругости: Учебник: в 2-х томах. Л.: Cудостроение, 1987

Дополнительная литература

Архангородский А.Г., Беленький Л.М. Аналитический метод проектирования корпуса корабля, Л.: Судпромгиз. 1961

Короткин Я.И., Локшин А.З., Сиверс Н.Л. Изгиб и устойчивость стержней и стержневых систем: Учебное пособие, М.Л. .: Машгиз, 1953

Короткин Я.И., Локшин А.З., Сиверс Н.Л. Изгиб и устойчивость пластин и круговых цилиндрических оболочек: Учебное пособие, Л.: Судпромгиз, 1955

Крыжевич Г.Б. Основы расчётов надёжности судовых конструкций: Учебное пособие, Санкт-Петербург.: СПбГМТУ, 1995

Локшин А.З., Рябов Л.И. Судовые кничные соединения, Л.: Cудостроение, 1973

Попов Ю.Н. и др. Прочность судов, плавающих во льдах, Л.: Cудостроение, 1967

Справочник по строительной механике корабля: в 3-х томах / Под ред. акад. Ю.А. Шиманского. Л.: Судпромгиз. 1960

Справочник по строительной механике корабля: в 3-х томах/Бойцов Г.В., Палий О.М., Постнов В.А., Чувиковский В.С. Л.: Cудостроение, 1982

Чибиряк И.М. Методические указания к выполнению курсовой работы по конструкции корпуса корабля. Владивосток, изд. ДВПИ им.В. В. Куйбышева, 1977.